Một số kỹ thuật tham số dùng khi giải toán

DÙNG THAM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
Ví dụ 1. Giải phương trình 2x  x  2 
2

x 2  x  9  3x  1 .

Định hướng:
+) Nhận thấy : x  1, x  0 là nghiệm của phương trình đã cho ( Các bạn cũng có thể sử dụng máy tính
CasiO để tìm nghiệm x  1, x  0 ) nên chúng ta tìm cách để rút nhân tử chung là x(x-1).
+) Khi x  1, x  0 thì :
+) Khi x  1 thì :

x2  x  9  9  3  x2  x  9  3  0 .

3x  1  2 và khi x  0 thì : 3x  1  1 nên ta phải chọn a,b để

3x  1  (ax+b)=Ax(x  1) (*) (Trong đó A là biểu thức chứa x)
Từ (*), cho x = 0 ta được 1 – b = 0 hay b = 1.
Từ (*), cho x = 1 ta được 2 – a – b = 0. Do đó a = b = 1.
Từ đó ta có lời giải sau

1
3

Lời giải : Điều kiện :

x

PT  2 x 2  2 x 

x 2  x  9  3  3x  1  x  1

 2 x 2  x  




x2  x

3x  1  x 2  2 x  1
3x  1  x  1
x2  x  9  3





2
  x  x  2 









1

0


2
3
x

1

x

1
x  x9 3


1

x  0

 x2  x  0  

x  1

Vậy Tập nghiệm của PT là

(Vì

x

1  2 
3

1
x2  x  9  3



1
 0)
3x  1  x  1

S  0;1 

Ví dụ 2. Giải phương trình : 4 1  x  x  6  3 1  x 2  5 1  x
Định hướng: Điều kiện : 1  x  1 .
Đặt : a  1  x ; b  1  x
Ta tách x  6 dưới dạng x  6  m 1  x    m  11  x   2m  5
Phương trình đã cho trở thành
4a  ma 2   m  1 b2  2m  5  3ab  5b  ma 2   3b  4  a   m  1 b 2  5b  2m  5  0  m  0 
Xem a là ẩn số, b là tham số ta cần chọn m để:
2
a   3b  4   4m  m  1 b2  5b  2m  5 4a   4m2  4m  9  b 2  4  6  5m  b  8m2  20m  16
có dạng  a  k  b    hay  a là tam thức bậc hai ẩn b và có
2

 '  4  6  5m    4m2  4m  9 8m2  20m  16   0
2

Dùng máy tính hoặc giải phương trình này tìm được nghiệm m = 1, từ đó có lời giải sau
Lời giải: Điều kiện : 1  x  1 . Đặt : a  1  x ; b  1  x  a, b  0  x  6  1  x   2  x  1  3
Phương trình đã cho trở thành :
4a  a 2  2b2  3  3ab  5b  a 2  a  3b  4   2b 2  5b  3  0 *

Xem a là ẩn số, b là tham số ta có : a   3b  4   4  2b2  5b  3  b2  4b  4   b  2 
2

2

1



 3b  4    b  2   b  1
 a
2
Từ đó suy ra phương trình (*) có nghiệm : 

 3b  4    b  2   2b  3
a 

2
3
+) Với a  b  1 , ta có : 1  x  1  x  1  x  
2
+) Với a  2b  3 , ta có : 1  x  2 1  x  3 VN 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm : x  
x2

Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình sau

y2

2

x

xy

2xy

3
7x

9

3
2
(1)

5y

(2)

Định hướng:
Nhân hai vế của phương trình (1) với
rồi cộng theo vế với phương trình (2) được
2
2
x
2xy 7x 5y 9
x
xy y 2

3

1
Chọn

x2
2y
y 7 x
y 2 5y 9 3
0
để phương trình này là phương trình bậc hai ẩn x (Xem y là tham số) có
2y

x

y

2

7

y2

4 1

5y

9

3

4

3

2

y2

6

8 y

72

36

0

12

2

24

13

 x  k  y    hay
2

'y

3

4

2

4

3

2

2

12

24

13

4

36

72

3

1 . Từ đó ta có lời giải như sau(ngoài ra ta cũng có thể trừ vế với vế).
1 hoặc
Lời giải:
Cộng hai phương trình của hệ ta có
2x 2 y 2 3xy 7x 5y 6 0
y 2x 3 y x 2
0

y

2x

3

0

y

3

2x

y

x

2

0

y

2

x

x2

Suy ra hệ phương trình tương đương với
Giải hệ (3): 3

y

x

1

x

2
3

2x

Giải hệ (4): 4

x2

x 3
y

x

1

y

1

x2

y

2x

hoặc

x 2

2x

x

2

y

2

3

2x

(3) hoặc

3x 2

3

x2
y

9x

6

y

3

2x

2x

1

0

y2

xy

3

2

x

x

1

y

1

(4)

0

1

x
y

3

2x

3

3

y2

xy

2

x

2

x2

3

y

x

2

2

x

Vậy hệ phương trình có nghiệm x ; y là 1;1 và 2; 1
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình

x3

x

2

2xy 2
2y

2

2x 2y
xy

x

4
2y

.

Định hướng:
Nhận thấy rằng đối với biến y thấy có sự tương đồng về bậc trong hai phương trình có ở hệ do đó ta
nhân với phương trình hai một số thực khác không rồi cộng vế với vế với phương trình đầu ta được
2


x3

2xy 2
2x

x2
y2

2

2y 2

2x 2y

2x 2

x

x3

y

2

xy

4

x2

x
2,

2

0
2x x
x 2
0
2 thỏa mãn (*) do đó ta có lời giải sau

x

2

0

2xy 2

x2 x

2

2y 2 x

x

2

2xy

x

y

2x 2y

y x

2
2

y

2y
1

2

x2

x

x

2

4

0

2

2 rồi cộng vế với vế với phương trình đầu ta được
2x 2y 4

2 xy x 2y

4y 2

2y

2

0
x3

2x 2

2 x

4

2

x3

x

x

x

Lời giải:
Nhân phương trình thứ hai với
x 3 2xy 2

2 x 2 2y 2

2

2y
2x 2

sao cho đúng với mọi y , suy ra 2x

Ta sẽ chọn
(*)
Ta có 2x 2
Dễ thấy x

x

2 2x
2

2

2

2xy

1

4y

4

2 x

2

2x

2

0
0

2

y 1
1 0)
x
2 (vì x y
2 vào phương trình thứ hai ta có
Thay x
2
4 2y
2y 2 2y
2y 2 4y 2 0
2;1
Vậy phương trình có nghiệm là x ; y

y

1

Ví dụ 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số



y  x 3  5  x2



Định hướng tìm lời giải 1:
TXĐ của hàm số là D =   5; 5  .
Vì hàm số đó là hàm số lẻ trên D nên chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức





A= y  x 3  5  x 2 với x  D
Đưa vào tham số thực dương k.
Với mọi x  D, áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có

3  5  x2 



3
 9

.k  1. 5  x 2   2  1 k 2  5  x 2
k

k




(1)

Suy ra









 9

 9

 9

A  x  2  1 k 2  5  x 2   2  1 k 2  5  x 2 x 2   2  1
k

k

k


k

2



 5  x2 x2

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có

k

2



 5  x2 x2 

k 2  5  x2  x2 k 2  5

2
2

(2)

Do đó
A

k2 5  9


 2  1
2
k


3


Chọn k sao cho tồn tại x  D để đẳng thức ở (1) và (2) đồng thời xảy ra hay
 k
 2 k2  5
5  x2


 x  2
k  3
k 2  3
3
1
( Vì k > 0 )






5 k2
x2  4
x  2

2


 2k

3
k
k  5  x 2  x 2
2

Do đó chọn k =

3.

Lời giải 1:
TXĐ của hàm số là D =   5; 5  .
Với mọi x  D, áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có

3  5  x 2  3. 3  1. 5  x 2 

3  13  5  x 2 







= 2 8  x2

Suy ra y  x 3  5  x 2  2 x 8  x 2  2 x 2 8  x 2



(1.1)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có

8  x x
2



2

8  x2  x2
4
2

(1.2)

Từ (1.1) và (1.2) suy ra y  8  8  y  8 .
y= 8 chẳng hạn khi x = 2; y=-8 chẳng hạn khi x = -2.
Vậy max y  8; min y  8 .
D

D

Định hướng tìm lời giải 2:
Đưa vào tham số thực dương l.

Với mọi x  D, ta có





A  y  x 3  5  x2  3 x 





1
1
.2l x 5  x 2  3 x  .2. l 2 x 2 5  x 2 .
2l
2l

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có





2. l 2 x 2 . 5  x 2  l 2 x 2  5  x 2 .

Suy ra
A 3x 





1 2 2
l x  5  x2 .
2l

l 2 1 2
5
.x  3 x 
Hay A 
(Đẳng thức xảy ra khi l 2 x 2  5  x 2 )
2l
2l

Đặt t  x (t  0) , khi đó
A  f (t ) 

l 2 1 2
5
.t  3t 
2l
2l

l 2 1
3l
 0 thì f(t) là tam thức bậc hai (ẩn t) và đạt được giá trị lớn nhất khi t   2
Nếu
. Do đó ta cần
2l

l 1
l 2 1
 0 hay l  (0;1) và tồn tại x thỏa mãn
chọn số thực dương l sao cho
2l

4



5
 2
x

l 2 x 2  5  x 2
2

l 1
 x   3l   2
9l 2
2
x



l 1
2

l 2 1




( Vì l  (0;1) )



Vì thế chọn l sao cho
l  (0;1)

 5
9l 2
1


l
2
2
2
l  1 l 1
2






Do đó chọn l =

1

.
2

Lời giải 2:
TXĐ của hàm số đó là D =   5; 5  .





Ta có y  x 3  5  x 2  3 x  x 5  x 2 = 3 x  2.



1 2
x 5  x2
4



Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có
2.





1 2
1
x 5  x2  x2  5  x2

4
4

Suy ra
2
3
3
y   x2  3 x  5    x  2  8  8 .
4
4

Hay y  8  8  y  8 .
y= 8 chẳng hạn khi x = 2; y=-8 chẳng hạn khi x = -2.
Vậy max y  8; min y  8 .
D

D

Định hướng tìm lời giải 3: Dùng máy tính sẽ dự đoán được y đạt giá trị lớn nhất khi x = 2 và y đạt giá
trị nhỏ nhất khi x = - 2, từ đó ta giải được như lời giải 1 hoặc 2.

5