Ứng dụng vòng tròn lượng giác vào giải bài tập dao động điều hòa

ỨNG DỤNG VÒNG TRÒN LƯỢNG GIÁC
VÀO GIẢI BÀI TẬP
DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
Gv: Chế Tân Kỳ

Lớp Học Vật Lý Thầy Kỳ - Sài Gòn
/>

Lớp Học Vật Lý Thầy Kỳ - Sài Gòn

01284067916

FB NHÓM

DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA VÀ CHUYỂN ĐỘNG TRÒN ĐỀU
CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG VÒNG TRÒN LƯỢNG GIÁC
Trước khi đi vào bài mới này, Thầy tua lại bài 1 + 2 “ đại cương về dao động điều hòa ”
một chút nhé các em, qua hai bài đã học các em đã biết các khái niệm về dao động cơ học, dao
động tuần hoàn và dao động điều hòa. Giữa 3 khái niệm đó, các em có thể nhớ về mối liên hệ
giữa chúng như sau: Dao động điều hòa là con của dao động tuần hoàn và dao động tuần hoàn là
con của dao động điều hòa.
Trong dao động điều hòa lại có phương trình ly độ là x  Acos t    vận tốc là đạo
hàm của ly độ v  x '   A sin t    và cuối cùng là gia tốc a  v '  x ''   A 2cos t   
Ngoài ra, chúng ta còn biết về mối liên hệ giữa 3 đại lượng x, v, a khi tham số t bị khử
như sau

x2
v2
v2
a2
và




 1 tiếp đó chúng ta quy đồng mẫu chung là A2 rồi rút
1
2 2
2
2 2
2 4
A
A
A
A

căn thì và được A  x 2 

v2

2

Như đã trình bày ở trên và những gì được học, các em có thể thấy các công thức tính tới
thời điểm hiện tại đều có “ tổ tiên” là từ phương trình ly độ x  Acos t    , vậy có bao giờ
các em tự hỏi rằng “nó từ đâu đến” ?
Cũng bởi lẻ đó, Thầy gửi đến các em bài học này để giúp các em tự mình có thể trả lời
được câu hỏi trên cũng như giải quyết được các bài toán liên quan mà đề thi hay hỏi.
Tài liệu được sưu tầm từ các nguồn khác nhau.

Gv: Chế Tân Kỳ

FB: />

1


Lớp Học Vật Lý Thầy Kỳ - Sài Gòn

01284067916

FB NHÓM

1. Chuyển động tròn đều và dao động điều hòa
Tính chất
Hình chiếu của chuyển động tròn đều trên trục nằm trong mặt phẳng quỹ đạo biểu diễn một dao
động điều hòa x  Acos t   
Rồi !!! bây giờ Thầy xét điểm P chuyển động ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn như hình
và hình chiếu của điểm P là điểm M nhé.
Khi P  P1 ( vị trí trên hình ) thì hình chiếu trùng với chính nó
Khi P  P2 ( vị trí trên hình ) thì hình chiếu là điểm M  M 2
Khi P  P3 ( vị trí trên hình ) thì hình chiếu là điểm M  M 3
Khi P  P4 ( vị trí trên hình ) thì hình chiếu là điểm M  M 4  O
Khi P  P5 ( vị trí trên hình ) thì hình chiếu là điểm M  M 5
Khi P  P6 ( vị trí trên hình ) thì hình chiếu là điểm M  M 6
Khi P  P7 ( vị trí trên hình ) thì hình chiếu là điểm M  M 7
Đến đây điểm P tiếp tục di chuyển nhưng ở nửa dưới của đường tròn như sau

Gv: Chế Tân Kỳ

FB: />
2

Lớp Học Vật Lý Thầy Kỳ - Sài Gòn

01284067916

FB NHÓM

P4

P5

P3

P6

P2

M8

M9

M12

M 11

P7  M 7
M3

M5

M6

P8

P13  M 13

M2

P12
P9

A

P1  M 1

P10

P11

O

A

Khi P  P8 ( vị trí trên hình ) thì hình chiếu là điểm M  M 8
Khi P  P9 ( vị trí trên hình ) thì hình chiếu là điểm M  M 9
Khi P  P10 ( vị trí trên hình ) thì hình chiếu là điểm M  M10  O
Khi P  P11 ( vị trí trên hình ) thì hình chiếu là điểm M  M11
Khi P  P12 ( vị trí trên hình ) thì hình chiếu là điểm M  M 12
Khi P  P13 ( vị trí trên hình ) thì hình chiếu là điểm M  M 13  M 1

Gv: Chế Tân Kỳ

FB: />
3


Lớp Học Vật Lý Thầy Kỳ - Sài Gòn

01284067916

FB NHÓM

Đến đây điểm P lại tiếp tục di chuyển nhưng ở nửa trên của vòng tròn và các điểm M lại tiếp tục
trùng với các điểm M1 , M 2 , M 3 , M 4 , M 5 , M 6 , M 7 rồi điểm P tiếp tục di chuyển xuống nửa dưới
và điểm M lại tiếp tục trùng với các điểm M 8 , M 9 , M10 , M 11 , M 12 , M 13 ,...
Nhận xét
Các em chỉ cần để ý đến sự di chuyển của điểm M thì sẽ thấy, nó chuyển động qua lại vị trí cân
bằng là gốc tọa độ O và giới hạn chuyển động của nó là bán kính của đường tròn R
Như vậy rõ ràng, khi điểm P chuyển động trên vòng tròn lượng giác thì hình chiếu của nó là điểm
M lại chuyển động theo nguyên lý của dao động điều hòa với VỊ TRÍ CÂN BẰNG LÀ GỐC

TỌA ĐỘ O và BIÊN ĐỘ A  R đến đây ta đã biết rõ hơn về đại lượng trong phương trình ly độ
x  Acos t    là biên độ A = bán kính của vòng tròn. Vậy còn  và  là gì.

Ở đây ta quay lại một chút về lớp 10 các em nhé.
Khi một vật chuyển động trên một đường tròn thì quãng đường vật đi được trên đường tròn ( cung
tròn ) là bao nhiêu thì tương ứng với nó sẽ quét được một góc bấy nhiêu.
Vậy ta xét về “ góc”
Khi vật chuyền động trên vòng tròn từ điểm này đến điểm kia thì vật sẽ quét góc  hay hiểu nôm
na là quãng đường lúc này tính theo góc là S   mà vận tốc thì bằng quãng đường chia thời gian

 vận tốc =




và đại lượng
này được đặt tên là “ TẦN SỐ GÓC ” và kí hiệu là "  " nó
t
t
t

là đại lượng đặc trưng cho sự biến thiên về tốc độ của vật nhưng xét trên phương diện góc quét.
Tiếp tục ta xét về “ đường tròn ( cung tròn ) ”
Khi vật chuyển động trên cung tròn thì sẽ xuất hiện một vận tốc tương ứng được gọi là “ TỐC ĐỘ
DÀI ” có biểu thức là vd  A

Gv: Chế Tân Kỳ

FB: />
4


Lớp Học Vật Lý Thầy Kỳ - Sài Gòn

01284067916

FB NHÓM

Nói tóm lại: Khi vật chuyển động trên vòng tròn thì có HAI LOẠI VẬN TỐC xuất hiện MỘT
LOẠI TÍNH THEO GÓC QUÉT là " 


t

" và MỘT LOẠI TÍNH THEO CUNG TRÒN là

vd  A

2. Ví dụ
Một điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo tâm O bán kính R với tốc độ

Ví dụ

100 (cm / s) . Gọi P là hình chiếu của M trên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo. khi P cách

O một đoạn 6 (cm) có tốc độ là 50 (cm / s) . Giá trị của R là
A. 4 3 (cm)

C. 6 3 (cm)

B. 2, 5 (cm)

D. 5 (cm)

Hướng dẫn giải
Phân tích: Bài này yêu cầu các em tìm bán kính R thật chất chính là tìm biên độ dao động A ,
mà đề bài đã cho các đại lượng ly độ x  6 (cm) và vận tốc v  50 (cm / s) ta nghĩ ngay đến biểu
thức độc lập với thời gian

x2

v2

1
A2 ( A )2

Mà tốc độ dài của chuyển động tròn đều là vd   A  100  cm / s  thay vào biểu thức trên
x2
v2
62 502
1 2 
 1  A  4 3 (cm)  chọn A
 2
A (vd ) 2
A 1002

Lưu ý
Ở phần này khi ra làm bài các em chỉ cần phân biệt được đâu là vận tốc dài và đầu là tần số gốc
thôi nhé !!!
Và bây giờ chúng ta đến với một số dạng toán Ứng Dụng Của Vòng Tròn Lượng Giác

BÀI TOÁN
Khoảng Thời Gian Để Vecto Vận Tốc Và Gia Tốc Cùng Chiều, Ngược Chiều

Gv: Chế Tân Kỳ

FB: />
5


Lớp Học Vật Lý Thầy Kỳ - Sài Gòn

01284067916

FB NHÓM

Giải thích dạng toán
Như các em đã biết, vật chuyển động từ VTCB ra hai biên thì nó sẽ chuyển động CHẬM DẦN
lúc này thì vecto vận tốc và vecto gia tốc sẽ ngược chiều nhau. (

nhớ: vecto gia tốc luôn

hướng về vị trí cân bằng ), còn khi vật chuyển động từ hai biên về VTCB thì nó sẽ chuyển động
NHANH DẦN lúc này vecto vận tốc và vecto gia tốc chùng chiều
Điều này được thể hiện trên vòng tròn lượng giác như sau nè các em

 /2

 II 
  A 

I 
0

 III 

 IV 

  A

3 / 2

a  0

 vật đi từ x   A đến x  0  0  t    
 
 góc phần tư thứ ( I ) thì vecto
2
v  0

vận tốc ngược chiều dương  v  0 còn vecto gia tốc luôn hướng về VTCB nên cũng chuyển
động ngược chiều dương  a  0
a  0
3
 vật đi từ x  0 đến x  A 
 
 t     2  góc phần tư thứ ( IV ) thì
2
v  0

vecto vận tốc cùng chiều dương  v  0 còn vecto gia tốc luôn hướng về VTCB nên cũng
chuyển động ngược chiều dương  a  0

Gv: Chế Tân Kỳ

FB: />
6


Lớp Học Vật Lý Thầy Kỳ - Sài Gòn

01284067916

FB NHÓM

a  0

 vật đi từ x  0 đến x   A   t       góc phần tư thứ ( II ) thì vecto
 
2
v  0

vận tốc ngược chiều dương  v  0 còn vecto gia tốc luôn hướng về VTCB nên chuyển động
cùng chiều dương  a  0
a  0
3
 vật đi từ x   A đến x  0    t    
 
 góc phần tư thứ ( III ) thì
2
v  0

vecto vận tốc cùng chiều dương  v  0 còn vecto gia tốc luôn hướng về VTCB nên cũng
chuyển động cùng chiều dương  a  0
Ví dụ 1

Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox có phương trình



x  Acos  5 t   (cm) . Vecto vận tốc và vecto gia tốc sẽ cùng chiều dương của trục Ox
2


trong khoảng thời gian nào (kể từ lúc t  0 ) sau đây
A. 0, 2 (s)  0, 3 (s)

B. 0 (s)  0,1 (s)

C. 0, 3 (s)  0, 4 (s)

D. 0,1 (s)  0, 2 (s)

Hướng dẫn giải
v  0
Muốn vecto vận tốc và vecto gia tốc cùng chiều dương của trục Ox tức là 
a  0

 Chất điểm chuyển động phải thuộc góc phần tư thứ ( III )
   5 t 

Ví dụ 2


2



3
 0,1 (s)  0, 2 (s)  chọn đáp án D
2

Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox có phương trình



x  Acos  5 t   (cm) . Vecto vận tốc và vecto gia tốc sẽ cùng chiều âm của trục Ox trong
2

khoảng thời gian nào ( kể từ lúc t  0 ) sau đây
A. 0, 2 (s)  t  0, 3 (s)

Gv: Chế Tân Kỳ

B. 0 (s)  t  0,1 (s)

FB: />
7


Lớp Học Vật Lý Thầy Kỳ - Sài Gòn

01284067916

FB NHÓM

D. 0,1 (s)  t  0, 2 (s)

C. 0, 3 (s)  t  0, 4 (s)
Hướng dẫn giải

v  0
Muốn vecto vận tốc và vecto gia tốc cùng chiều âm của trục Ox tức là 

a  0

 Chất điểm chuyển động phải thuộc góc phần tư thứ ( I )  0  5 t 


2




2

Đến đây nếu các em giải bất phương trình bình thường thì thì vế trái sẽ cho kết quả t  0 mà thời
gian luôn dương
Vì thế ta cộng hai vế bất phương trình cho một lượng 2  0  2  5 t 


2




2

 2

 0, 3 (s)  t  0, 4 (s)  chọn C
BÀI TOÁN
Tìm Ly Độ Và Hướng Chuyển Động
Phương pháp giải

Cách 1

DÙNG ĐẠI SỐ


 x  Acos t   
Thay t  t0 vào 

v  x '   A sin t   
 x  Acos t0   

ta được 
v  0
v

x
'


A

sin

t







0

v  0

Nếu v  0 vật đi theo chiều dương (ly độ tăng)
Nếu v  0 vật đi theo chiều âm (ly độ giảm)

Cách 2

DÙNG VÒNG TRÒN

Gv: Chế Tân Kỳ

FB: />
8


Lớp Học Vật Lý Thầy Kỳ - Sài Gòn

01284067916

FB NHÓM

Thay t  t0 vào pha dao động của vật  t0   ta xác định được vị trí của vật trên vòng tròn
lượng giác và từ đó xác định được chiều chuyển động của vật
Nếu vị trí ở nửa trên vòng tròn lượng giác  vật đi theo chiều âm (ly độ giảm)
Nếu vị trí ở nửa dưới vòng tròn lượng giác  vật đi theo chiều dương (ly độ
tăng)
Thay t  t0 vào phương trình ly độ x  Acos t    ta tìm được ly độ của vật.
3 


Một vật dao động điều hòa với phương trình x  2 2cos 10 t 
 (cm, s ) .
4 


Ví dụ 1

Lúc t  0 vật có
A. Ly độ 2 (cm) và đang đi theo chiều âm
B. Ly độ 2 (cm) và đang đi theo chiều dương
C. Ly độ 2 (cm) và đang đi theo chiều dương
D. Ly độ 2 (cm) và đang đi theo chiều âm
Hướng dẫn giải
Cách 1: Dùng Đại Số
Thay t  0 vào phương trình ly độ và vận tốc ta được


3 

 xt 0  2 2cos 10 .0  4   2




3

v
 x '  2 2 . 10  .sin 10 .0 
t 0



4







 0


chọn đáp án A.

Cách 2. Dùng Vòng Tròn

Gv: Chế Tân Kỳ

FB: />
9


Lớp Học Vật Lý Thầy Kỳ - Sài Gòn
3

Thay t  0 vào pha dao động của vật  10 .0 
4


01284067916

FB NHÓM

 3
thuộc nửa trên của vòng tròn lượng

 4

giác  vật chuyển động theo chiều âm.
Thay t  0 vào phương trình ly độ x  Acos t    ta tìm được ly độ của vật như cách 1 là

x  2
Chọn đáp án A.

Ví dụ 2



Một vật dao động điều hòa với phương trình x  2cos 10 t   (cm, s ) . Lúc
4


t  5 (s) vật chuyển động
A. nhanh dần theo chiều dương của trục Ox
B. nhanh dần theo chiều âm của trục Ox
C. chậm dần theo chiều dương của trục Ox
D. chậm dần theo chiều âm của trục Ox
Hướng dẫn giải
Cách 1. Dùng Đại Số



Thay t  5 (s) và phương trình vận tốc v  x '  20 sin 10 .5    0  Vật đi theo chiều
4

âm
Đến đây ta có hai sự lực chọn, vì vật chuyển động theo chiều âm có hai trường hợp sau
TH1. Nếu vật đi từ x  A  x  0 chuyển động chậm dần  chọn D
TH2. Nếu vật đi từ x  0  x   A chuyển động nhanh dần  chọn B

Gv: Chế Tân Kỳ

FB: />
10


Lớp Học Vật Lý Thầy Kỳ - Sài Gòn

01284067916

FB NHÓM

Vì Vậy để biết chính xác ta phải biết lúc t  5 (s) vật đang ở đâu nên ta thay t  5 (s) vào
phương trình ly độ



 x  2 cos 10 .5    2  vật đi từ x  2  x  0 nhanh dần
4


 chọn đáp án B.
Cách 2. Dùng Vòng Tròn

  201


Thay t  5 (s) vào pha dao động của vật  10 .5   
  25.2 
4
4
4

Vhư vậy dể thấy lúc t  5 (s) vật đang ở nửa trên vòng tròn lượng giác và ở góc phần tư thứ ( I )

 vật đang chuyển động nhanh dần theo chiều âm của trục Ox

 chọn đáp án B.
Lưu ý.

201

  25.2  thì lượng 25.2 không cần quan tâm tới vì khi quay được k.2 vật
4
4

trở lại trạng thái ban đầu ( trạng thái ban đầu là cùng vị trí và cùng vận tốc )

Ví dụ 3



Một vật dao động điều hòa với phương trình x  2cos  2 t   (cm, s ) . Lúc
6


t  0,5 (s) động năng của vật

A. Đang tăng lên

B. Có độ lớn cực đại

C. Đang giảm đi

D. Có độ lớn cực tiểu

Hướng dẫn giải
Ta sử dụng cách 2. Dùng vòng tròn lượng giác

  7


Thay t  0,5 (s) vào pha dao động của vật   2 .0,5   
 
6 6
6


Gv: Chế Tân Kỳ

FB: />
11


Lớp Học Vật Lý Thầy Kỳ - Sài Gòn

01284067916

FB NHÓM

Suy ra lúc này vật đang ở nửa dưới của vòng tròn lượng giác và thuộc góc phần tư thứ ( III )

1
 vận tốc đang chuyển động theo chiều dương và đang tăng, mà động năng Wd  mv2 tỉ lệ
2
với vận tốc nên động năng cũng đang tăng  chón đáp án A.

BÀI TOÁN
Tìm Trạng Thái Quá Khứ Tương Lai Đối Với Bài Toán Không Cho Biết Phương Trình
Của x, v, a, F ,...
Phương pháp
Dựa vào trạng thái ở thời điểm t0 để xác định vị trí tương ứng trên vòng tròn lượng giác.
Để tìm trạng thái ở thời điểm QUÁ KHỨ  t0  t  ta quét theo chiều âm một góc
  .t

Để tìm trạng thái ở thời điểm TƯƠNG LAI  t0  t  ta quét theo chiều dương một góc
  .t

t0

Ví dụ 1

Một chất điểm chuyển động tròn đều với tốc độ 1 (m / s) trên đường tròn đường

kính 0, 5 (m) . Hình chiếu M ' của điểm M lên đường kính của đường tròn dao động điều hòa.

Gv: Chế Tân Kỳ

FB: />
12


Lớp Học Vật Lý Thầy Kỳ - Sài Gòn

01284067916

FB NHÓM

Biết tại thời điểm t  t0 điểm M ' đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm. Hỏi trước thời điểm và
sau thời điểm t0 là 8, 5 (s) hình chiếu M ' ở vị trí nào và đi theo chiều nào?
Hướng dẫn giải
Cách 1. Dùng vòng tròn lượng giác
0,5

 A  2  0, 25(m)
Ta có 
vd  A    vd  1  4(rad / s )

A 0, 25

Từ thởi điểm t  0  t  8,5(s)  t  8,5(s ) điểm M quét được một góc
  .t  4.8,5  34  10,82  5.2  0,82

 Để tìm trạng thái ở thời điểm QUÁ KHỨ t  t0  8,5 ta chỉ cần quay theo chiều âm của
vòng tròn lượng giác một góc 0,82  147, 6o từ vị trí ban đầu của M là tại VTCB

M Hiện tại

O

x

Quá khứ quay theo
chiều âm

M trong quá khứ
Lúc này ta thấy điểm M trong quá khứ ở nửa dưới đường tròn lượng giác nên để chuyển động
đến vị trí M hiện tại thì điểm M phải đi theo chiều dương còn vị trí x  ? ta làm như sau
Xét OxM






x

cos xOM  cos  0,82    cos  0,32  
2
A


 x  A cos  0,32   0,132 (m)

Gv: Chế Tân Kỳ

FB: />
13


Lớp Học Vật Lý Thầy Kỳ - Sài Gòn

01284067916

FB NHÓM

Tiếp theo ta làm tương tự nhưng quay theo chiều dương để tìm Trạng thái ở thời điểm TƯƠNG
LAI t  t0  8,5 ta chỉ cần quay theo chiều dương của vòng tròn lượng giác một góc
0,82  147, 6o từ vị trí ban đầu của M và VTCB

M Hiện Tại

Tương lai

x

O

Lúc này ta thấy điểm M tương lai ở nửa dưới đường tròn lượng giác nên sau thời gian
t  t0  8,5 thì điểm M sẽ đi theo chiều dương và đang ở vị trí

x   Acos t     0, 25cos  0,32   0,132 (m)
Kết luận:
Ở thời điểm quá khứ vật đang ở ly độ x  0,132 (m) và đang đi theo chiều dương.
Ở thời điểm tương lai vật đang ở ly độ x  0,132 (m) và đang đi theo chiều dương.
Cách 2. Dùng Phương Trình Ly Độ Và Vận Tốc




 x  0, 25cos  4t  2 



Ta có phương trình ly độ và vận tốc của vật là 
v  x '   sin  4t   



2


(*)

Để tim trạng thái QUÁ KHỨ của điểm M trước đó một khoảng thời gian 8, 5 (s) ta thay
t  8,5 vào (*)

Gv: Chế Tân Kỳ

FB: />
14

Lớp Học Vật Lý Thầy Kỳ - Sài Gòn

01284067916

FB NHÓM




 x  0, 25cos  4.(8,5)  2   0,132(m)




v   sin  4.(8,5)     0



2

Lúc này ta kết luận vật đang ở ly độ x  0,132 (m) và đang đi theo chiều dương.
Để tìm trạng thái TƯƠNG LAI của điểm M sau một khoảng thời gian 8, 5 (s) ta thay
t  8,5 vào (*)




 x  0, 25cos  4.(8,5)  2   0,132(m)





v   sin  4.(8,5)     0



2

Lúc này ta kết luận vật đang ở ly độ x  0,132 (m) và đang đi theo chiều dương.
Ví dụ 2

Một chất điểm chuyển động tròn đều với tốc độ 0, 75 (m / s) trên đường tròn

đường kính 0, 25 (m) . Hình chiếu M ' của điểm M lên đường kính của đường tròn dao động
điều hòa. Biết tại thời điểm ban đầu, điểm M ' đi qua vị trí x 

A
theo chiều âm. Hỏi tại thời
2

điểm t  8 (s) hình chiếu M ' qua ly độ bao nhiêu?
Hướng dẫn giải





 A  25(cm)

x  25cos  3t   (cm)

3



Ta có   3(rad / s )  



A v  x '  75sin  3t   (cm / s)
t  0  x 

3


2

(*)

Trạng thái của vật sau thời điểm ban đầu 8 (s) (tương lai) ta thay t  8 (s) và hệ (*)

Gv: Chế Tân Kỳ

FB: />
15


Lớp Học Vật Lý Thầy Kỳ - Sài Gòn

01284067916

FB NHÓM




 x  25cos  3.8  3   24,9(cm)



 
v  x '  75sin  3.8     6, 4  0(cm / s)



3

Vậy lúc này điểm M đang ở li độ x  24,9 (cm) và đang chuyển động theo chiều dương.
Một chất điểm dao động điều hòa theo trục Ox ( với O là gốc tọa độ trùng với vị

Ví dụ 3

trí cân bằng ) có chu kỳ T  2 (s) , biên độ A . Sau khi dao động được 4, 25 (s) vật ở ly độ cực
đại. Tại thời điểm ban đầu vật đi theo chiều
A. Dương qua ly độ x 

A
(cm)
2

B. Âm qua ly độ x 

A
(cm)
2

C. Dương qua ly độ x 

A
(cm)
2

D. Âm qua ly độ x 

A
(cm)
2

Hướng dẫn giải
Dùng vòng tròn lượng giác
Đây là bài toán ngược, đề cho sau t  4, 25 vật ở vị trí cực đại  x  A  và hỏi vị trí ban đầu lúc

t  0  bài toán này hỏi về trạng thái quá khứ
Ta có: Góc mà chất điểm quét được trong khoảng thời gian t  4, 25 (s) là

  .t   .4, 25  4 


4

Như vậy từ vị trí ly độ cực đai ( x  A) ta chỉ cần quay ngược chiều dương của vòng tròn lượng
một góc


4

như hình

Gv: Chế Tân Kỳ

FB: />
16


Lớp Học Vật Lý Thầy Kỳ - Sài Gòn

01284067916

x

FB NHÓM

A
2

x

A

A


4
Như vậy tài thời điểm ban đầu vật đang ở x 

A 2
và đang chuyển động theo chiều dương
2

 chọn A

Ví dụ 4

Một chất điểm dao động điều hòa theo trục Ox ( với O là gốc tọa độ trùng với vị

trí cân bằng ) có chu kỳ T  1,5 (s) , biên độ A . Sau khi dao động được 3, 25 (s) vật ở ly độ cực
tiểu. Tại thời điểm ban đầu vật đi theo chiều
A. Dương qua ly độ x 

A
(cm)
2

C. Dương qua ly độ x  

B. Âm qua ly độ x 

A
(cm)

2

A
(cm)
2

D. Âm qua ly độ x  

A
(cm)
2

Hướng dẫn giải
Cách 1. Dùng phương trình ly độ và vận tốc
Trong bài toán này ta chọn lại gốc tọa độ lúc t  3, 25 (s) và đang ở ly độ cực tiểu là x   A


 2

t     cm 
 x  Acos 

 1,5

 phương trình ly độ và vận tốc là 
v  x '   A 2 sin  2 t     cm / s 


1,5  1,5


Thay t  3, 25 (s) vào phương trình ly độ và phương trình vận tốc, ta được

Gv: Chế Tân Kỳ

FB: />
17


Lớp Học Vật Lý Thầy Kỳ - Sài Gòn

01284067916

FB NHÓM


A
 2

 x  Acos  .(3, 25)      (cm)
2

 1,5


v  x '   A  2  sin  2 .(3, 25)     0
 1,5   1,5



 


Như vậy tại thời điểm ban đầu vật đang ở ly độ x  

A
(cm) và đi theo chiều âm.
2

Suy ta chọn đáp án D.
Lưu ý. Trong bài thay t  3, 25 (s) vì trạng thái đề hỏi thuộc về quá khứ
Cách 2. Dùng Vòng Tròn Lượng Giác
Góc mà chất điểm quét được trong khoảng thời gian t  3, 25 (s) là


 2 
  .t  
.  3, 25   4 

3
 1,5 
Như vậy từ vị trí ly độ cực tiểu ( x   A) ta chỉ cần quay ngược chiều dương của vòng tròn
lượng một góc


3

được biểu diễn như hình

A

x

A

A
2


3

Để tìm được tọa độ x  

Gv: Chế Tân Kỳ

A
ta chỉ cần xét tam giác vuông như VÍ DỤ 1
2

FB: />
18


Lớp Học Vật Lý Thầy Kỳ - Sài Gòn

Như vậy tại thời điểm ban đầu vật ở vị trí x  

01284067916

FB NHÓM

A

và đang đi theo chiều âm.
2

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 5

Một chất điểm chuyển động tròn đều với tốc độ 0, 75 (m / s) trên đường tròn

đường kính 0, 5 (m) . Hình chiếu M ' của điểm M lên đường kính của đường tròn dao động điều
hòa. Biết tại thời điểm ban đầu, điểm M ' đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm. Hỏi tại thời điểm

t  8 (s) hình chiếu M ' qua ly độ
A. 10,17 (cm) theo chiều dương

B. 22, 64 (cm) theo chiều âm

C. 22, 64 (cm) theo chiều dương

D. 22, 64 (cm) theo chiều âm

Hướng dẫn giải
A  0, 25 (m) , vd  A   

vd 0,75

 3 (rad / s)
A 0, 25

Ta có tại thời điểm ban đầu t  0 chất điểm qua VTCB theo chiều âm   


2





 x  25cos  3t   (cm)  v  x '  75sin  3t   (cm / s)
2
2


Trạng thái của chất điểm sau đó 8 (s) ta chỉ cần thay t  8 vào phương trình ly độ và vận tốc






 x  0, 25cos  3t  2   25cos  3.8  2   22, 64(cm)





Ta được 
 v  x '  75sin  3t     75sin  3.8     0






2
2


Như vậy lúc này chất điểm đang ở ly độ x  22, 64 (cm) và đang chuyển động theo chiều âm.
Suy ra chọn D.
Lưu ý: Đối với bài toán này nếu như viết được phương trình ly độ thì bài toán sẽ dễ dàng hơn
nhiều so với cách làm bằng vòng tròn lượng giác.

Ví dụ 6

Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ A tại thời điểm t1  1, 2 (s) vật

đang ở vị trí x 

A
và chuyển động theo chiều âm, tại thời điểm t2  9, 2 (s) vật đang ở biên âm
2

và đã đi qua vị trí cân bằng 3 lần tính từ thời điểm t1 . Hỏi tại thời điểm ban đầu vật đang ở đâu

Gv: Chế Tân Kỳ

FB: />
19

Lớp Học Vật Lý Thầy Kỳ - Sài Gòn

01284067916

A. 0,98A đang đi theo chiều âm

B. 0,98A đang đi theo chiều âm

C. 0,98A đang đi theo chiều dương

D. 0,98A đang đi theo chiều dương

FB NHÓM

Hướng dẫn giải
Tại thời điểm ban đầu vật đang ở ly độ x1 

A
ta quay một vòng ( tương đương một T ) thì thấy
2

vật đi qua vị trí biên âm 2 lần, chúng ta quay tiếp một góc

2
( tương đương T / 3) vật sẽ đến vị
3

trí biên âm lần thứ 3.

 t2  t1  9, 2  1, 2  T 

T

 T  6 ( s)   
3
3

Lúc này ta chọn gốc thời gian lúc t  1, 2 (s) đang ở x 

A
và đi theo chiều âm
2






 x  Acos  t   (cm)  v  x '   A sin  t  
3
3
3
3
3
Để tìm trạng thái ban đầu  t  0  ta thay t  1, 2 (s) vào phương trình ly độ và vận tốc







 x  Acos  3 t  3   Acos  3 .(1, 2)  3   0,98 A





Ta được 
v  x '   A  sin   t      A  sin   .(1, 2)     0





3
3
3
3
3
3
Như vậy lúc đầu vật đang ở ly độ x  0.98 A và đang đi theo chiều dương
Suy ra chọn đáp an C.
Bài tập trắc nghiệm
Câu 1.

Một chất điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo tâm O bán kính 10 (cm) . Với tốc
độ 100 (cm / s) . Hình chiếu của M trên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo dao động
điều hòa với tần số góc là

Câu 2.

A. 10 (rad / s)

B. 20 (rad / s)

C. 5 (rad / s)

D. 100 (rad / s)

Một chất điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo tâm O bán kính 5 (cm) với tốc độ

v . Gọi P là hình chiếu của M trên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo dao động
điều hòa với tần số góc 20 (rad / s) . Giá trị của v là

Gv: Chế Tân Kỳ

FB: />
20


Lớp Học Vật Lý Thầy Kỳ - Sài Gòn

Câu 3.

01284067916

A. 10 (cm / s)

B. 20 (cm / s)

C. 50 (cm / s)

D. 100 (cm / s)

FB NHÓM

Một chất điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo tâm O với tốc độ 50 (cm / s) . Hình
chiếu của M trên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo dao động điều hòa với tần số góc

20 (rad / s) và biên độ là

Câu 4.

A. 10 (cm)

B. 2, 5 (cm)

C. 50 (cm)

D. 5 (cm)

Một chất điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo tâm O bán kính 10 (cm) với tốc độ

100 (cm / s) . Gọi P là hình chiếu của M trên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo. khi
P cách O một đoạn 5 3 (cm) nó có tốc độ là

Câu 5.

A. 10 (cm)

B. 20 (cm)

C. 50 (cm)

D. 100 (cm)

Một chất điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo tâm O bán kính 10 (cm) với tốc
độ 100 (cm / s) . Gọi P là hình chiếu của M trên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo.
khi P cách O một đoạn b (cm) có tốc độ là 50 3 (cm / s) . Giá trị của b là

Câu 6.

A. 10 (cm)

B. 2, 5 (cm)

C. 50 (cm)

D. 5 (cm)

Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox có phương trình x  Acos  5 t  (cm) .
Vecto vận tốc hướng theo chiều âm và vecto gia tốc hướng theo chiều dương của trục

Ox trong khoảng thời gian nào (kể từ lúc t  0 ) sau đây

Câu 7.

A. 0, 2 (s)  0, 3 (s)

B. 0 (s)  0,1 (s)

C. 0, 3 (s)  0, 4 (s)

D. 0,1 (s)  0, 2 (s)



Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox có phương trình x  Acos  5 t  
4

(cm) . Vecto vận tốc hướng theo chiều âm và vecto gia tốc hướng theo chiều dương của

trục Ox trong khoảng thời gian nào (kể từ lúc t  0 ) sau đây
A. 0, 2 (s)  0, 3 (s)

B. 0,05 (s)  0,15 (s)

C. 0, 3 (s)  0, 4 (s)

D. 0,1 (s)  0, 2 (s)

Gv: Chế Tân Kỳ

FB: />
21


Lớp Học Vật Lý Thầy Kỳ - Sài Gòn

Câu 8.

01284067916

FB NHÓM

Chọn câu sai. Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox . Góc O trùng với vị trí cân bằng
của vật. vào thời điểm t vật đi qua điểm M có vận tốc v  20 (cm / s) và gia tốc a  2
(m / s 2 ) . Vào thời điểm đó vật đang

Câu 9.

A. chuyển động nhanh dần

B. có li độ dương

C. chuyển động chậm dần

D. đang đi về O

Chọn phát biểu sai
A. Dao động điều hòa là dao động mà li độ được mô tả bằng một định luật dạng sin (
hoặc cosin ) theo thời gian: x  A cos t    trong đó A,  ,  là những hằng số.
B. Dao động điều hòa có thể coi như hình chiếu của một chuyển động tròn đều xuống
một đường thẳng nằm trong mặt phẳng quỹ đạo.
C. Dao động điều hòa có thể được biểu diễn bằng một vecto không đổi.
D. Khi một vật dao động điều hòa thì động năng của vật đó cũng dao động tuần hoàn.

Câu 10.




Một vật dao động điều hòa theo phương trình x  4 cos 17t   (cm) , t đo bằng giây.
3

Người ta chọn mốc thời gian là lúc vật có
A. li độ 2 (cm) và đang đi theo chiều âm
B. li độ 2 (cm) và đang đi theo chiều dương
C. li độ 2 (cm) và đang đi theo chiều dương
D. li độ 2 (cm) và đang đi theo chiều âm

Câu 11.



Một vật dao động điều hòa theo phương trình x  3cos  2 t   (cm) , t đo bằng giây.
3

Người ta chọn mốc thời gian là lúc vật có
A. li độ 1,5 (cm) và đang đi theo chiều dương
B. li độ 1,5 (cm) và đang đi theo chiều dương
C. li độ 1,5 (cm) và đang đi theo chiều âm
D. li độ 1,5 (cm) và đang đi theo chiều âm

Câu 12.

Chọn phương án sai khi nói về dao động điều hòa
A. thời gian dao động đi từ vị trí cân bằng ra đến biến bằng thời gian đi ngược lại
B. thời gian đi qua vị trí cân bằng 2 lần liên tiếp là 1 chu kỳ
C. tại mỗi li độ có 2 giá trị của vận tốc

Gv: Chế Tân Kỳ

FB: />
22


Lớp Học Vật Lý Thầy Kỳ - Sài Gòn

01284067916

FB NHÓM

D. khi gia tốc đổi dấu thì vận tốc có độ lớn cực đại.
Câu 13.

Một vật dao động điều hòa có tần số 2 ( Hz ) và biên độ 4 (cm) . Ở một thời điểm nào đó
vật chuyển động theo chiều âm qua vị trí có li độ 2 (cm) thì sau thời điểm đó

1
(s) vật
12

chuyển động theo
A. chiều dương qua vị trí có li độ 2 (cm) .
B. chiều âm qua vị trí có li độ 2 3 (cm)
C. chiều âm qua vị trí cân bằng
D. chiều âm qua vị trí có li độ 2 (cm)
Câu 14.

Một chất điểm chuyển động với tốc độ 0, 75 (m / s) trên đường tròn đường kính 0, 5 (m) .

Hình chiếu M ' của M lên đường kính của đường tròn dao động điều hòa. Tại t  0 thì
M ' qua vị trí cân bằng theo chiều âm. Khi t  4 (s) li độ của M ' là

Câu 15.

A. 12,5 (cm)

B. 13, 4 (cm)

C. 13, 4 (cm)

D. 12,5 (cm)

Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ A tại thời điểm t1  1, 2 (s) vật đang ở vị
trí x 

A
và chuyển động theo chiều dương, tại thời điểm t2  4, 7 (s) vật đang ở biên
2

âm và đã đi qua vị trí cân bằng 3 lần tính từ thời điểm t1 ( không tính lần ở t1 ) . Hỏi tại
thời điểm ban đầu vật đang ở đâu và đi theo chiều nào

Câu 16.

A. 0 đang đi theo chiều âm

B. 0,588A đang đi theo chiều dương

C. 0,588A đang đi theo chiều âm

D. 0,55A đang đi theo chiều âm

Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox , (với O là vị trí cân bằng) có chu kỳ 2 (s) ,
biên độ A . Sau khi dao động được 2,5 (s) vật ở li độ cực đại. Tại thời điểm ban đầu vật
đi theo chiều

Câu 17.

A. dương qua vị trí cân bằng

B. âm qua vị trí cân bằng

C. dương qua vị trí có li độ  A / 2

D. âm qua vị trí có li độ  A / 2

Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox , (với O là vị trí cân bằng) có chu kỳ 1,5 (s)
, biên độ A . Sau khi dao động được 3,5 (s) vật ở li độ cực đại. Tại thời điểm ban đầu vật
đi theo chiều

Gv: Chế Tân Kỳ

FB: />
23


Lớp Học Vật Lý Thầy Kỳ - Sài Gòn

Câu 18.

01284067916

A. dương qua vị trí cân bằng

B. âm qua vị trí cân bằng

C. dương qua vị trí có li độ  A / 2

D. âm qua vị trí có li độ A / 2

FB NHÓM

Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox , (với O là vị trí cân bằng) có chu kỳ 2 (s) ,
biên độ A . Sau khi dao động được 4, 25 (s) vật ở li độ cực tiểu. Tại thời điểm ban đầu
vật đi theo chiều
A. dương qua vị trí có li độ
C. dương qua vị trí có li độ

Câu 19.

A
2

B. âm qua vị trí có li độ 

A
2

D. âm qua vị trí có li độ

A
2

A
2

Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox , (với O là vị trí cân bằng) có chu kỳ 2 (s) ,
biên độ A . Sau khi dao động được 4, 25 (s) vật ở vị trí cân bằng và đang đi theo chiều
dương. Tại thời điểm ban đầu vật đi theo chiều
A. dương qua vị trí có li độ  A / 2

B. âm qua vị trí có li độ A / 2

C. dương qua vị trí có li độ A / 2

D. âm qua vị trí có li độ A / 2

Gv: Chế Tân Kỳ

FB: />
24