bài giảng Hình học - họa hình

Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc và quy hoạch

BÀI GIẢNG 1: CÁC LOẠI PHÉP CHIẾU...........................................................3
I. Khái niệm về các phép chiếu.........................................................................3
II. Các loại phép chiếu và tính chất của chúng..................................................4
III. Những u cầu của bản vẽ kỹ thuật.............................................................8
IV. Phần tự học..................................................................................................9
BÀI GIẢNG 2: BIỂU DIỄN ĐIỂM TRONG PHƯƠNG PHÁP HÌNH CHIẾU
THẲNG GĨC........................................................................................................9
I. Định nghĩa về đồ thức của một điểm...........................................................10
II. Đồ thức các điểm đặc biệt...........................................................................10
II.1. Đồ thức của một điểm trong hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu............10
II.2. Đồ thức của một điểm trên ba mặt phẳng hình chiếu..............................14
III. Phương pháp tìm hình chiếu thứ ba...........................................................16
III.1. Bài tốn..................................................................................................16
III.2. Tọa độ của điểm.....................................................................................18
IV. Phần tự học................................................................................................19
BÀI GIẢNG 3: ĐỒ THỨC CÁC ĐƯỜNG THẲNG..........................................20
I. Đồ thức của một đường thẳng......................................................................20
II. Biểu diễn đường thẳng................................................................................20
II.1. Hình chiếu vng góc của đường thẳng bất kỳ trên hai mặt phẳng hình
chiếu................................................................................................................20
II.2. Hình chiếu vng góc của đường thẳng bất kỳ trên ba mặt phẳng hình
chiếu................................................................................................................21
III. Đồ thức các đường đặc biệt.......................................................................21
III.1. Đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu................................21
III.2. Đường thẳng vng góc với mặt phẳng hình chiếu...............................23
IV. Phần tự học:...............................................................................................27
Hình học họa hình

1

Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc và quy hoạch

BÀI GIẢNG 4: ĐỒ THỨC CỦA MẶT PHẲNG................................................28
I. Đồ thức của mặt phẳng.................................................................................28
II. Vết của mặt phẳng......................................................................................30
II.1. Khái niệm................................................................................................30
II.2. Xác định vết của mặt phẳng....................................................................30
II.3 . Các mặt phẳng đặc biệt...........................................................................32
III. Phần tự học................................................................................................37
BÀI GIẢNG 5: SỰ LIÊN THUỘC TRONG PHƯƠNG PHÁP HÌNH CHIẾU
THẲNG GĨC......................................................................................................38
I. Sự liên thuộc giữa điểm và đường thẳng.....................................................38
i.1. Sự liên thuộc của điểm và đường thẳng bất kỳ.........................................38
I.2. Sự liên thuộc của điểm và đường thẳng cạnh...........................................39
II. Sự liên thuộc giữa đường thẳng và mặt phẳng...........................................40

Hình học họa hình

2


Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc và quy hoạch

BÀI GIẢNG 1: CÁC LOẠI PHÉP CHIẾU
*Mục tiêu bài dạy:
- Kiến thức: Hiểu được cơ bản các loại phép chiếu cơ bản trong khơng gian,
khái niệm và tính chất của các phép chiếu
-Kỹ năng: Sinh viên rèn luyện kỹ năng biểu diễn các hình trong khơng gian lên

một mặt bằng các phép chiếu
I. Khái niệm về các phép chiếu
Giả thiết trong khơng gian, ta lấy một mặt phẳng P và một điểm S ở ngồi
mặt phẳng đó. Từ một điểm A bất kì trong khơng gian dựng đường thẳng SA,
đường này cắt mặt phẳng P tại một điểm A’
S
A

Hình 1.1
Như vậy ta đã thực
và gọi mặt phẳng P là mặt
đường thẳng SA là tia chiếu

hiện một phép chiếu
phẳng hình chiếu,

A'
P

và điểm A' là hình

chiếu của điểm A trên mặt phẳng P.

Hình học họa hình

3


Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc và quy hoạch

II. Các loại phép chiếu và tính chất của chúng
1/. Phép chiếu xun tâm:
a. Định nghĩa: Là phép chiếu mà các tia chiếu xuất phát từ một điểm (cố định).
Điểm O cố định: tâm chiếu.
A', B', C': hình chiếu xun tâm của hình ABC trên mặt phẳng hình chiếu P.

Hình 1.2: phép chiếu xun tâm
Ví dụ: Trong thực tế ta thường thấy những hiện tượng giống như các phép chiếu.
Ánh sáng của một ngọn đèn chiếu đồ vật lên mặt đất giống như phép chiếu
xun tâm với một ngọn đèn là tâm chiếu, mặt đất là mặt phẳng chiếu, bóng đồ
vật trên mặt đất là hình chiếu xun tâm của đồ vật đó
Chú ý:
- Hình là một tập hợp điểm. Vậy để chiếu một hình ta chiếu một số điểm thành
phần của hình đủ xác định hình đó.
- Nếu trong khơng gian Ơclic ta bổ sung thêm các yếu tố vơ tận thì:
+ Hai đường thẳng song song xem như cắt nhau tại một điểm ở vơ tận:
a//b thì a∩b = M∞
+ Hai mặt phẳng song song xem như cắt nhau theo một đường thẳng ở vơ
tận
Mpα//mpβ =d∞
b. Tính chất:
- Hình chiếu xun tâm của một đường thẳng khơng đi qua tâm chiếu là một
đường thẳng. Khi chiếu đường thẳng a, các tia chiếu SA, SB hình thành một mặt
Hình học họa hình

4


Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc và quy hoạch

phẳng (SAB) gọi là mặt phẳng chiếu. Do đó hình chiếu a' (≡ A'B')=mp(SAB)
∩mp(P)

Hình 1.3
- Hình chiếu xun tâm của những đường thẳng song song nói chung là những
đường thẳng đồng quy
Giả sử cho a//b nên các mp(S,a) và mp(S,b) sẽ giao với mp(P) cho các giao
tuyến a', b' cắt nhau tại điểm M' (M' là hình chiếu xun tâm của điểm M∞ của
đường thẳng a,b)

Hình 1.4
Ứng dụng: Phép chiếu xun tâm được dùng khi vẽ hình chiếu phối cảnh.
Phép chiếu xun tâm được dùng trong vẽ mỹ thuật, trong các bản vẽ xây dựng,
kiến trúc. Phép chiếu xun tâm cho ta những hình vẽ của vật thể giống như
những hình ảnh khi ta nhìn vật thể đó.
2/. Phép chiếu song song:
Hình học họa hình

5


Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc và quy hoạch

a. Định nghĩa: Là phép chiếu mà nếu tất cả các tia chiếu khơng đi qua một
điểm cố định mà song song với một đường thẳng cố định l (phương chiếu).
A'B'C'D': hình chiếu song song của
hình ABCD trên mặt phẳng hình
B

C

chiếu P.

l

l: phương chiếu

D

A

C'

B'

A'

D'

P

Dễ dàng thấy rằng phép chiếu song
song là trường hợp riêng của phép
chiếu xun tâm với tâm chiếu S ở
xa vơ tận. Khi đó tâm chiếu S∞

được xác định bởi phương chiếu l.
Ví dụ: Ánh sáng của mặt trời chiếu đồ vật lên mặt đất giống như phép chiếu
song song. Các tia sáng mặt trời là những tia chiếu song song, mặt đất là mặt
phẳng chiếu và bóng đồ vật trên mặt đất là hình chiếu song song của đồ vật đó

b. Tính chất: Vì phép chiếu song song là trường hợp đặc biệt của phép chiếu
xun tâm nên nó có mọi tính chất của phép chiếu xun tâm như:
- Hình chiếu song song của một đường thẳng nói chung là một đường thẳng, nếu
đường thẳng song song với hướng chiếu thì hình chiếu của đường thẳng suy
biến thành một điểm.
- Mặt phẳng song song với hướng chiếu (mặt phẳng chiếu) có hình chiếu suy
biến thành một đường thẳng.
- Trong một phép chiếu song song thì tính liên thuộc của điểm với đường thẳng
được bảo tồn.
Ngồi ra phép chiếu song song còn có những tính chất riêng sau:
- Trong một phép chiếu song song hai đường thẳng song song chiếu thành hai
đường thẳng song song.

Hình học họa hình

6


Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc và quy hoạch

- Trong phép chiếu song song tỷ số đơn của ba điểm thẳng hàng bằng tỷ số đơn
của ba điểm hình chiếu của chúng

Hình 2.2
Ứng dụng: Trong vẽ kỹ thuật thường dùng phép chiếu song song vì phép chiếu
này cho ta tính trực quan và dễ vẽ so với phép chiếu xun tâm.
3/. Phép chiếu vng góc:
a. Định nghĩa: Trong phép chiếu song song nếu phương chiếu l vng góc với
mặt phẳng chiếu, ta gọi đó là phép chiếu vng góc.

Hình 2.3 : Hình chiếu vật thể trên các mặt phẳng hình chiếu
b. Tính chất:
Phép chiếu vng góc có những tính chất của phép chiếu song song; ngồi ra
còn có nhiều tính chất, chúng ta sẽ nghiên cứu ở chương sau
Ứng dụng: Phép chiếu vng góc thường được sử dụng rộng rãi trong các bản
vẽ kỹ thuật nói chung và các bản vẽ cơ khí nói riêng.
Để diễn tả một cách chính xác hình dạng và kích thước của vật thể, trên các bản
vẽ kỹ thuật, người ta dùng phép chiếu vng góc.
Hình học họa hình

7


Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc và quy hoạch

Góc để chiếu vật thể lên các mặt phẳng hình chiếu vng góc với nhau, sau đó
gập các mặt phẳng hình chiếu cho trùng với mặt phẳng bản vẽ, sẽ được các hình
chiếu vng góc của một vật thể. Đó chính là phương pháp các hình chiếu
vng góc.
III. Những u cầu của bản vẽ kỹ thuật
1/.Tính tương đương hình học:
u cầu cơ bản của bản vẽ kỹ thuật là bản vẽ phải thỏa mãn tính tương
đương hình học, tức là phải xây dựng sao cho người ta có thể dựng lại hình
khơng gian mà nó biểu diễn.
Những phép chiếu - cơng cụ để xây dựng bản vẽ - khơng thiết lập mối liên
hệ một đối một giữa các yếu tố trong khơng gian với các yếu tố trên mặt phẳng,
bởi vì trong một phép chiếu những điểm trên cùng một tia chiếu thì có hình
chiếu trùng nhau, và ngược lại, một điểm bất kỳ trên mặt phẳng hình chiếu có
thể xem là hình chiếu của vơ số điểm của đường thẳng đi qua điểm ấy và tâm
chiếu.

Vì vậy để xây dựng các bản vẽ người ta dùng hai hoặc ba phép chiếu hoặc
bên cạnh phép chiếu người ta dùng cách ghi chú bằng số.
2/.Tính trực quan:
Ngồi tương đương hình học, trong kỹ thuật người ta còn muốn bản vẽ phải
có tính trực quan, tức là những hình biễu diễn trên bản vẽ phải gây nên một ấn
tượng giống như ấn tượng người ta có được khi quan sát trực tiếp trong thực tế.
Muốn có tính trực quan ấy những điểm và đường thẳng trong thực tế phải được
biễu diễn bằng những điểm và đường thẳng trong bản vẽ. Người ta chứng minh
được rằng một ánh xạ của khơng gian lên mặt phẳng trong đó điểm có ảnh là
một điểm, đường thẳng có ảnh là đường thẳng, điểm thuộc đường thẳng thì ảnh
của điểm thuộc ảnh của đường thẳng, đồng thời một điểm trong mặt phẳng ảnh
có thể coi là ảnh của nhiều điểm nằm trên một đường cong nào đó là một phép

Hình học họa hình

8


Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc và quy hoạch

chiếu. Ðó cũng là điều cắt nghĩa tại sao các bản vẽ dùng trong kỹ thuật hiện nay
được xây dựng bằng phép chiếu.
Tuy nhiên tính trực quan khơng phải là u cầu bắt buộc của bản vẽ. Bản
vẽ có tính trực quan thì càng tốt, khơng có cũng được. Bản vẽ càng tổng qt thì
càng ít tính trực quan nhưng càng được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học.
Với sự phát triển mạnh mẽ của các ngành tốn học và khoa học hiện đại, các bản
vẽ được xây dựng bằng phép chiếu sẽ dần dần trở nên ít hiệu lực vì các bản vẽ
ấy dùng khơng được thuận lợi trong các q trình sản xuất cơ giới hóa và tự
động hóa. Vì vậy, hiện nay ở nhiều nước việc xây dựng các bản vẽ mới đang là
một vấn đề nghiên cứu khoa học sơi nổi.

Một trong những hướng nghiên cứu vấn đề ấy là xây dựng các bản vẽ trong
đó mỗi phép vẽ tương ứng với một tốn tử nào đó.
Những bản vẽ như vậy dĩ nhiên sẽ khơng có tính trực quan như các bản vẽ
đã có trước đây.
IV. Phần tự học
Lý thuyết:
1. Đọc kỹ chương II, Mục II.1, II.2
2. Những tính chất của các phép chiếu được thể hiện trên hình học như thế
nào?
Câu hỏi:
1. Có mấy loại phép chiếu? Khái niệm và tính chất của chúng?
2. Ứng dụng các phép chiếu trong thực tiễn mà em biết?

BÀI GIẢNG 2: BIỂU DIỄN ĐIỂM TRONG PHƯƠNG PHÁP HÌNH
CHIẾU THẲNG GĨC
Hình học họa hình

9


Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc và quy hoạch

*Mục tiêu bài dạy:
- Kiến thức: Hiểu được khái niệm đồ thức của một điểm, đồ thức trong hai mặt
phẳng hình chiếu và 3 mặt phẳng hình chiếu
-Kỹ năng: Sinh viên rèn luyện kỹ năng biểu diễn điểm lên một mặt bằng các
phép chiếu thẳng góc, từ đó đưa ra đồ thức của một điểm, giải các bài tốn về
tìm hình chiếu thứ 3
I. Định nghĩa về đồ thức của một điểm
Định nghĩa: Đồ thức là các hình biểu diễn trong mặt phẳng đảm bảo tính phản

chuyển bằng phương pháp hình chiếu thẳng góc
II. Đồ thức các điểm đặc biệt
II.1. Đồ thức của một điểm trong hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu
a. Hệ thống chiếu
Phương pháp hai hình chiếu
thẳng góc được dùng rộng rãi trong kỹ
thuật nhất là trong các bản vẽ cơ khí và
xây dựng. Phương pháp này do nhà
tốn học người Pháp Gaspard Monje
(1746-1818) đề ra nên còn gọi là
phương pháp Monje.
Trong khơng gian lấy hai mặt
phẳng thẳng góc P1 và P2 cắt nhau theo
đường thẳng x. Thơng thường lấy P1 là
mặt phẳng thẳng đứng và P2 là mặt
phẳng nằm ngang. Mặt phẳng P1 được
chọn làm mặt phẳng hình vẽ, tức là
mặt phẳng trên đó sẽ vẽ hình biểu diễn
của khơng gian.
Hình học họa hình

10


Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc và quy hoạch

Gọi G là mặt phẳng phân giác Hình 1.1
của góc nhị diện hợp bởi P1 , P2 và s1 ,
s2 , s3 là những hướng chiếu tương ứng
vng góc với P1 , P2 và G (Hình 1.1)

Để biểu diễn một điểm A bất kỳ ta làm như sau (hình 1.1):
- Chiếu thẳng góc điểm A lên mặt phẳng P1, được hình chiếu A1.
- Chiếu thẳng góc điểm A lên mặt phẳng P2, được hình chiếu A’2.
- Chiếu điểm A’2 lên mặt phẳng P1 theo hướng chiếu vng góc với mặt
phẳng phân giác G, được hình chiếu A2.
Cặp điểm A1 , A2 gọi là hình biểu diễn của điểm A. Dễ dàng thấy rằng hai
điểm A1 , A2 nằm trên một đường thẳng thẳng góc với x vì mặt phẳng A A 1A2 là
mặt phẳng vng góc với x.
Mỗi điểm A trong khơng gian được biểu diễn bằng một cặp điểm A1 , A2
cùng nằm trên một đường thẳng thẳng góc với x. Ngược lại mỗi cặp điểm A 1 , A2
bất kỳ cùng nằm trên một đường thẳng thẳng góc với x đều là hình biểu diễn của
một điểm A xác định trong khơng gian.
Ta dùng các tên gọi như sau :
P1 : mặt phẳng hình chiếu đứng
P2 : mặt phẳng hình chiếu bằng
x

: trục hình chiếu

A1 : hình chiếu đứng của điểm A
A2 : hình chiếu bằng của điểm A
Đường thẳng nối A1 , A2 gọi là đường
gióng của điểm A. Cặp điểm A1 , A2 gọi là
hình biểu diễn hay là đồ thức của điểm A.
Vì mặt phẳng P1 được chọn làm mặt phẳng
Hình 1.2

hình vẽ nên ta có hình biểu diễn của điểm

A như trên hình 1.2.

Hai mặt phẳng P 1 và P 2 chia khơng gian thành 4 góc nhị diện vng :
Hình học họa hình

11


Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc và quy hoạch

- Góc 1 ở trước P 1 và trên P 2.
- Góc 2 ở sau P 1 và trên P 2.
- Góc 3 ở sau P 1 và dưới P 2.
- Góc 4 ở trước P 1 và dưới P 2.
Mặt phẳng phân giác của góc nhị diện 1 và 3 gọi là mặt phẳng phân giác 1.
Mặt phẳng phân giác của góc nhị diện 2 và 4 gọi là mặt phẳng phân giác 2.
Hình 1.3 thể hiện hình ảnh của hệ thống chiếu nhìn theo hướng a // x.

Để vẽ hai hình chiếu của điểm A trên cùng một mặt phẳng, người ta giữ P 1
cố định, cho P2 quay quanh x một góc 900 để P2 trùng với P1, khi đó A1 và A2 sẽ
nằm trên đường thẳng vng góc với trục x.
Vậy một điểm A bất kỳ trong khơng gian được biểu diễn bằng một cặp
điểm A1 , A2 nằm trên cùng một đường thẳng vng góc với trục x. Ngược lại
một điểm trong khơng gian hồn tồn được xác định khi biết hai hình chiếu của
nó trên hai mặt phẳng hình chiếu. Thật vậy, vì từ hai điểm A 1, A2 (A1A2 vng
góc với trục x), bằng cách thực hiện ngược lại các thao tác trên, sẽ xác định
được một điểm A trong khơng gian.
Cặp hình chiếu A1 , A2 nằm trên đường vng góc với trục x gọi là hình
biểu diễn hay đồ thức của điểm A (hình 1.4).
Đồ thức có các tính chất sau:
• Đường thẳng A1A2 vng góc với trục x (A1A2⊥x)
Hình học họa hình

12


Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc và quy hoạch

• Từ 2 hình chiếu vng góc A1, A2 của điểm A trên đồ thức thì vị trí của
điểm A hồn tồn được xác định trong khơng gian.

Hình 1.4
Kết luận :
Một điểm A bất kỳ trong khơng gian được biểu diễn bằng một cặp điểm
A1 , A2 nằm trên một đường thẳng vng góc với trục hình chiếu. Ngược lại một
cặp điểm A1 , A2 thuộc một đường thẳng vng góc với trục hình chiếu biểu diễn
một điểm A duy nhất trong khơng gian.
Như vậy các điểm trong khơng gian và hình biểu diễn thẳng góc của
chúng có sự tương đương hình học.
Quan sát hình 3.4 ta có :
A1 Ax = AA2 ,

A2 Ax = AA1

AA2 là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng P2 , AA1 là khoảng cách từ

điểm A đến mặt phẳng P1 .
Vì xem P1 , P2 như các mặt phẳng chuẩn nên người ta gọi A 1Ax là độ cao
và A2Ax là độ xa của điểm A.
b. Độ cao của một điểm :
Độ cao của một điểm là khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng hình
chiếu bằng. Trên hình biểu diễn, đó là khoảng cách từ hình chiếu đứng của điểm

tới trục hình chiếu.
Hình học họa hình

13


Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc và quy hoạch

c. Độ xa của một điểm :
Độ xa của một điểm là khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng hình chiếu
đứng. Trên hình biểu diễn, đó là khoảng cách từ hình chiếu bằng của điểm tới
trục hình chiếu.
II.2. Đồ thức của một điểm trên ba mặt phẳng hình chiếu
Trong khơng gian lấy 3 mặt phẳng P1, P2, P3 vng góc với nhau từng đơi một
làm 3 mặt phẳng hình chiếu (hình 1.5).
P1: là mặt phẳng hình chiếu đứng
P2: là mặt phẳng hình chiếu bằng
P3: là mặt phẳng hình chiếu cạnh
Ba trục chiếu ox, oy, oz là giao tuyến
của từng cặp mặt phẳng hình chiếu.
- Lấy 1 điểm A tuỳ ý trong khơng gian,
chiếu vng góc điểm A lên 3 mặt phẳng
Hình 1.5

hình
chiếu sẽ có A1 trên P1, A2 trên P2, A3 trên
P3
(hình 1.6).

Hình 1.6

A1: gọi là hình chiếu đứng của điểm A.
A2: gọi là hình chiếu bằng của điểm A.
Hình học họa hình

14


Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc và quy hoạch

A3: gọi là hình chiếu cạnh của điểm A.
- Để vẽ 3 hình chiếu của điểm A trên cùng một mặt phẳng, người ta giữ
P1 cố định, cho P2 và P3 quay một góc 900 quanh hai trục Ox và Oy, để P 2 và P3
trùng với P1.
- Ba điểm A1, A2, A3 là 3 hình chiếu của một điểm A trên 3 mặt phẳng hình
chiếu hay là đồ thức của điểm A trên 3 mặt phẳng hình chiếu. Đồ thức có các
tính chất sau:
• Đường thẳng A1A2 ⊥ Ox
• A1A3 ⊥ Oz
• Khoảng cách từ A2 đến trục Ox bằng khoảng cách từ A 3 đến trục Oz và
bằng khoảng cách từ điểm A đến P1 (A2AX = A3AZ).

Hình 1.7
Điểm A3 gọi là hình chiếu cạnh của điểm A. Khoảng cách từ điểm A đến
mặt phẳng hình chiếu cạnh P3 là AA3 và gọi là độ xa cạnh của điểm A.
Quy ước :
Độ xa cạnh của một điểm là dương, bằng 0 hay âm tùy theo điểm ấy ở
phía trái, thuộc hay ở phía phải của mặt phẳng P3 .
Nhận xét :
- Trục y có hai vị trí : trùng với trục z do gập mặt phẳng P 2 trùng với mặt
phẳng P1 và trùng với trục x do gập mặt phẳng P3 trùng với mặt phẳng P1 .

Hình học họa hình

15


Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc và quy hoạch

- Hình chiếu cạnh của một điểm thể hiện đồng thời độ cao và độ xa của
điểm đó.
- Khi biết hai trong ba hình chiếu thẳng góc của một điểm ta có thể xác
định được hình chiếu còn lại của điểm đó.
III. Phương pháp tìm hình chiếu thứ ba
III.1. Bài tốn
Cho hai hình chiếu (A1 , A2) của điểm A.
Vẽ hình chiếu cạnh của điểm đó ( Hình 1.8)
Ap dụng tính chất của đồ thức của một điểm A trong hệ thống ba mặt
phẳng hình chiếu thẳng góc, ta tìm hình chiếu thứ ba A3 của điểm như sau :
Qua A1 vẽ đường dóng A1 Az ⊥ z.
Trên đường dóng này kể từ điểm A z
đặt về phía phải của trục z một đoạn Az A3
= Ax A2 .
Trên hình 1.9 cũng cho thấy cách
xác định hình chiếu cạnh A3 của điểm A
bằng cách dùng đường phụ trợ nghiêng
góc 45o ở góc thứ tư của hệ trục tọa độ.

Hình 1.8

- Nối A1 với A2 .

- Từ A2 kẻ đường ngang gặp đường
nghiêng 45o dựng tiếp đường gióng thẳng
đứng(theo chiều mũi tên trên hình vẽ).

Hình học họa hình

16


Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc và quy hoạch

- Từ A1 gióng đường nằm ngang
gặp đường thẳng đứng gióng từ đường
nghiêng 45o tại A3. Vậy điểm A3 ta đã tìm
được.
Ngồi ra ta cũng có thể dùng thước
và compa để tìm hình chiếu thứ ba của
điểm khi đã biết được hai hình chiếu của
điểm đó.
Hình 1.9
Ví dụ 1 : Biết hình
chiếu đứng và hình chiếu
bằng của điểm A. Hãy vẽ hình chiếu
cạnh của điểm
đó ( Hình 1.10).

Hình 1.10
Cách vẽ như sau :
- Vẽ đường gióng ngang qua A1 .
- Vẽ đường gióng ngang qua A2 , xác định giao điểm Ay ∈ yz .

- Quay cung tròn tâm O, bán kính OA y với chiều ngược chiều kim đồng
hồ để xác định điểm Ay ∈ yx (hoặc vẽ đường nghiêng 45o so với trục yz).
- Vẽ qua điểm Ay ∈ yx đường gióng đứng và tìm giao điểm A3 của nó với
đưòng gióng ngang qua A1. Ta sẽ gọi bài tốn trên là bài T [(1,2) → 3 ]

Hình học họa hình

17


Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc và quy hoạch

Ví dụ 2 : Biết hình chiếu đứng và
hình chiếu cạnh của điểm A. Hãy vẽ
hình chiếu cạnh của điểm đó ( Hình
1.11).

Hình 1.11

Cách vẽ như sau :
- Vẽ đường gióng đứng qua A1 .
- Vẽ đường gióng đứng qua A3, xác định giao điểm Ay ∈ yx .
- Quay cung tròn tâm O, bán kính OAy theo chiều kim đồng hồ để xác
định điểm Ay ∈ yz (hoặc vẽ đường nghiêng 45o so với trục yx).
- Vẽ qua điểm Ay∈ yz đường gióng ngang và tìm giao điểm A2 của nó với
đưòng gióng đứng qua A1. Ta sẽ gọi bài tốn trên là bài T [(1,3) → 2 ]
III.2. Tọa độ của điểm
Một điểm A trong khơng gian bao giờ cũng được xác định bằng ba tọa độ
A(x,y,z), như vậy A1(x,z), A2(x,y), A3(y,z).
Ví dụ 3: Cho A(5,3,7). Hãy vẽ ba hình chiếu của điểm A (hình 3.11)

Vậy A1(5,7), A2(5,3), A3(3,7).
Cách vẽ : Kẻ hai đường trục vng góc nhau, lấy tỷ lệ xích trên các trục
tọa độ.
Từ trục Ox lấy điểm 5 gióng lên và từ trục Oz lấy điểm 7 gióng sang ta có
điểm A1. Tương tự như vậy ta tìm được điểm A2 và A3.

Hình học họa hình

18


Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc và quy hoạch

Hình 3.11
IV. Phần tự học
Lý thuyết:
1. Đọc kỹ chương II,III
2. Có mấy đồ thức của các điểm đặc biệt trong hệ thống hình chiếu thẳng
góc?cho ví dụ minh họa các đồ thức đó
Bài tập:
1. Cho hai hình chiếu A1 A2 của điểm A và hình chiếu đứng B1 của B. Vẽ
hình chiếu bằng B2 của B biết A2B2=l
2. Vẽ hình chiếu thứ ba của các điểm ở hình 3.44

Hình học họa hình

19


Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc và quy hoạch

BÀI GIẢNG 3: ĐỒ THỨC CÁC ĐƯỜNG THẲNG
*Mục tiêu bài dạy:
Kiến thức: Hiểu được cách biểu diễn đường thẳng trong phương pháp hình
chiếu thẳng góc, đồ thức các đường thẳng đặc biệt
-Kỹ năng: Sinh viên rèn luyện kỹ năng biểu diễn đường thẳng lên hai mặt phẳng
hình chiếu, ba mặt phẳng hình chiếu,từ đó đưa ra đồ thức của đường thẳng
I. Đồ thức của một đường thẳng
Một đường thẳng được xác định bởi hai điểm, do đó muốn biểu diễn một đường
thẳng chỉ cần biểu diễn hai điểm bất kỳ của đường thẳng đó
II. Biểu diễn đường thẳng
II.1. Hình chiếu vng góc của đường thẳng bất kỳ trên hai mặt phẳng hình
chiếu
Đường thẳng bất kỳ là đường thẳng khơng song song và cũng khơng
vng góc với mặt phẳng hình chiếu nào.
AB là đường thẳng bất kỳ trong khơng gian. Dùng phép chiếu vng góc
chiếu điểm A,B lần lượt lên P1,P2 và biểu diễn đồ thức của một đường thẳng bất
kỳ ( Hình 3.13).

Hình học họa hình

20


Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc và quy hoạch

Hình 3.13
II.2. Hình chiếu vng góc của đường thẳng bất kỳ trên ba mặt phẳng hình
chiếu
AB là đường thẳng bất kỳ trong khơng gian. Dùng phép chiếu vng góc

chiếu điểm A,B lần lượt lên P1,P2,P3 và biểu diễn đồ thức của một đường thẳng
bất kỳ (Hình 3.14).
Trên đồ thức:
- Đường thẳng A1 B1 gọi là hình chiếu đứng của đường thẳng AB.
- Đường thẳng A2B2 gọi là hình chiếu bằng của đường thẳng AB.
- Đường thẳng A3B3 gọi là hình chiếu cạnh của đường thẳng AB
P1

z
B3

B1
B1
B

B3

A1

P3

A1

A3
0

x

B2

B2
A

A3

A2

A2

P2

y

Hình 3.14
III. Đồ thức các đường đặc biệt
III.1. Đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu
a. Đường mặt
Đường mặt là đường thẳng song song với
mặt phẳng hình chiếu đứng P1 ( Hình 3.15).
Hình học họa hình

21


Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc và quy hoạch

- Dấu hiệu đặc trưng của đường mặt là
hình chiếu bằng của nó song song với trục x (A2B2 // x)
- Hình chiếu đứng của đường mặt là

Hình 3.15

một đường thẳng nghiêng với trục x góc
đúng bằng góc nghiêng của nó với mặt phẳng
hình chiếu bằng P2.
- Nếu một đoạn thẳng AB thuộc đường mặt
thì A1B1 = AB.
b. Đường bằng
Đường bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng

Hình 3.16

hình chiếu bằng P2 ( Hình 3.16).
- Dấu hiệu đặc trưng của đường bằng là hình chiếu đứng của nó song song
với trục x (A1B1 // x).
- Hình chiếu bằng của đường bằng là một đường thẳng nghiêng với trục
x góc đúng bằng góc nghiêng của nó với mặt phẳng hình chiếu đứng P1.
- Nếu một đoạn thẳng AB thuộc đường bằng thì A2B2 = AB.
c. Đường cạnh
Đường cạnh là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh P 3 (hình
3.17).
- Hình chiếu đứng A1B1 và hình chiếu bằng A2 B2 của đường cạnh cùng
nằm trên đường thẳng vng góc với trục x .
- Nếu một đoạn thẳng AB thuộc đường cạnh thì A3B3 = AB.

Hình học họa hình

22

Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc và quy hoạch

Hình 3.17
III.2. Đường thẳng vng góc với mặt phẳng hình chiếu
a.

Đường thẳng chiếu đứng:

Đường thẳng chiếu đứng là đường thẳng vng góc với mặt phẳng hình
chiếu đứng P1 (hình 3.18).
- Hình chiếu đứng của đường thẳng chiếu
đứng suy biến thành một điểm (A1 ≡ B1).
- Hình chiếu bằng của đường thẳng chiếu đứng
vng góc với trục x.
- Đường thẳng chiếu đứng cũng là đường bằng
nên nếu có một đoạn thẳng AB thuộc đường
thẳng này thì A2B2 = AB.
- Đường thẳng chiếu đứng vừa // P2 ; vừa // P3
nên A2B2 = AB = A3B3 .

Hình 3.18
3.2. Đường thẳng chiếu bằng:

Hình học họa hình

23


Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc và quy hoạch

Đường thẳng chiếu bằng là đường thẳng
vng góc với mặt phẳng hình chiếu bằng P2 (hình
3.19).
- Hình chiếu bằng của đường thẳng chiếu
bằng suy biến thành một điểm (A2 ≡ B2).
- Hình chiếu đứng của đường thẳng chiếu
bằng vng góc với trục x.
- Đường thẳng chiếu bằng cũng là đường
mặt nên nếu có một đoạn thẳng AB thuộc đường
thẳng này thì A1B1 = AB.
- Đường thẳng chiếu bằng vừa // P 1 ; vừa //
P3 nên A1B1 = AB = A3B3 .

Hình 3.19

3.3.3.2. Đường thẳng chiếu cạnh:
Đường thẳng chiếu cạnh là đường thẳng vng góc với mặt phẳng hình chiếu
cạnh P3 (Hình 3.20).
- Hình chiếu cạnh của đường thẳng chiếu cạnh suy biến thành 1 điểm (A3 ≡ B3 )
- Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của đường thẳng chiếu cạnh song song
với trục x.
- Nếu một đoạn thẳng AB thuộc đường thẳng chiếu cạnh thì A1B1 = A2B2 = AB.

Hình học họa hình

24


Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc và quy hoạch

Hình 3.20
Đồ thức của các đường thẳng đặc biệt được tóm tắt ở bảng 3-1 và 3-2 như
sau :

Bảng 3-1 : Hình chiếu của đường thẳng song song với các mặt phẳng hình
chiếu
Vị trí Hình khơng gian
của
đường
thẳng
AB
(P1)

Hình chiếu

//

Tính chất

B1
A1

B1
A1

B
A

A2

Hình học họa hình

x

B3
A3

B3

A1B1 = AB

A3

A2B2 // Ox

O
A2

B2

A3B3 // Oz

B2

25