Chủ đề 1 khảo sát hàm số và câu hỏi phụ

Chủ đề I
A/SƠ ĐỒ CHUNG KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊNVÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ:

y=
I / Hàm số :
1) Tập xác định : +/ D = R \{ 2) Sự biến thiên :
+/ Chiều biến thiên :
y’ =

•

ad − bc
(cx + d ) 2

.

d
c

ax + b
cx + d

.}

∀x ∈

y’ > 0 ( y’ < 0 ) ,
D
+/ Hàm số đồng biến ( Nghịch biến ) . trên các khoảng (….) và (…..)
+/ Cực trị : Hàm số khơng có cực trị .
+ / Tiệm cận và Giới hạn :

a
a
a
lim y =
lim y =
c
c
c
x → −∞
x → +∞
và
=> tiệm cận ngang : y = .
lim y =
lim y =
−d
−d
−d
x→
x→
c
c
c
? và
? => tiệm cận đứng : x =
.
+/ Bảng biến thiên :
−d
x -∞
+∞
c

•

−

+

y’

?

?

y

?

?

3) Đồ thị : * Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y =

b
d

−b
a

.

*Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x =
,

Y
−d a
c c
*Đồ thị nhận giao điểm I(
; ) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng
O

1

X


II / Hàm số y = ax4 + bx2 + c ( a ≠ 0) .
1) Tập xác định : +/ D = R .
2) Sự biến thiên :
+/ Chiều biến thiên :
• y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b ) .
 x = 0  f (0) = c


 x = ? ⇒  f ( x) =
x = ?
 f ( x) =



y’ = 0 <=>
Xét dấu y’:
+/ trên các khoảng (….) và (…..) : y’ > 0 , : Hàm số đồng biến .
Trên khoảng (….) : y’ < 0 ,

: Hàm số Nghịch biến .
•
•

+/ Cực trị : Kết luận về cực trị hàm số .
Hàm số đạt cực tiểu tại x = …., yCT = ….
Hàm số đạt cực đại tại x = …., yCĐ = ….
+ / Giới hạn ở Vô cực :

lim y =
x → −∞

?
;
+/ Bảng biến thiên :
x -∞
?
y’
?
?
y

lim y =
x → +∞

?.

?
?
?

?
?
?

+∞

3) Đồ thị :
Y
• Hàm số đã cho là hàm số chẵn, do đó đồ thị nhận trục 0y làm trục đối xứng.
• Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = ? . Các điểm khác …
Đồ thị :
O

X

2


III / Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d ( a ≠ 0) .
1) Tập xác định : +/ D = R .
2) Sự biến thiên :
+/ Chiều biến thiên :
• y’ = 3ax2 + 2bx + c .
• y’ = 0 <=> xi = ? ; f(xi) = ? .
• Xét dấu y’:
+/ trên các khoảng (….) và (…..) : y’ > 0 , : Hàm số đồng biến .
Trên khoảng (….) : y’ < 0 ,
: Hàm số Nghịch biến .
+/ Cực trị : Kết luận về cực trị hàm số .

Hàm số đạt cực tiểu tại x = …., yCT = ….
Hàm số đạt cực Đại tại x = …., yCĐ = ….
+ / Giới hạn ở Vô cực :

lim y =
x → −∞

lim y =
?

x →+∞

;

+/ Bảng biến thiên :
x -∞
?
y’
?
y
?

?.

?
?
?

?
?

?

+∞

3) Đồ thị :
+ ) Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y = d .
+) Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = ? ., Các điểm khác : …
+) Đồ thị :
Y

O

X

3


Bài tập mẫu dạng 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
y=

a)

1 − 2x
x−2

b)y =

1 − 2x
y=
x−2

x+3
x −1

y=
c)

2x +1
1− x

.

d)y =

x +1
x−2

Cách giải: a)
1) Tập xác định : +/ D = R \{ ….. }
2) Sự biến thiên :
+/ Chiều biến thiên :
y’ =

•

..... − .....
(... x + ...) 2

∀x ∈

y’ … 0 ,
D
+/ Hàm số đồng biến trên các khoảng (….) và (…..)
+/ Hàm số nghịch biến trên các khoảng (….) và (…..)
+/ Cực trị : Hàm số khơng có cực trị .
+ / Tiệm cận và Giới hạn :
•

lim y = .....
x →−∞

lim y = .....
x →.....

lim y = .....

và

x →+∞

lim y = .....

và
+/ Bảng biến thiên :
x

=> tiệm cận ngang : y =…

-∞

x →.....

=> tiệm cận đứng : x =…. .
+∞

…..

y’

…..

y

…..

Y

…..
…..

3) Đồ thị : * Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y = …. .
*Giao điểm đồ thị với trục Ox : Oy = 0 => x =…..
X
*Đồ thị nhận giao điểm I(…..;…..) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng
4


Bài tập mẫu dạng 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
y=

a)

1 4
3
x − 3x 2 +
2
2
y=

b) y = –x4 + 2x² + 3

1 4
3
x − 3x 2 +
2
2

Cách giải: a)
1) Tập xác định : +/ D = ….
2) Sự biến thiên :
+/ Chiều biến thiên :
• y’ = … x3 + … x = 2x(….. x2 + … ) .
x = 0
 f (0) = c


 x = ... ⇒  f ( x) = ...
 x = ...
 f ( x) = ...




y’ = 0 <=>
Xét dấu y’:
+/ trên các khoảng (….) và (…..) : y’ > 0 , : Hàm số đồng biến .
Trên khoảng (….) : y’ < 0 ,
: Hàm số Nghịch biến .
+/ Cực trị : Kết luận về cực trị hàm số .
Hàm số đạt cực tiểu tại x = …., yCT = ….
Hàm số đạt cực đại tại x = …., yCĐ = ….
+ / Giới hạn ở Vơ cực :
•
•

lim y =
x → −∞

…
;
+/ Bảng biến thiên :
x -∞
…
y’
…
…

lim y =
x → +∞

…

….
…
…

…

5

…
…

+∞
…


…

y

…

…

3) Đồ thị :
• Hàm số đã cho là hàm số chẵn, do đó đồ thị nhận trục 0y làm trục đối xứng.
• Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = … . Các điểm khác …
Đồ thị :
Y

O

X

Bài tập mẫu dạng 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
y=

1 3
x + x2 + 5
3

a) y = f(x) = –x³ + 3x + 1.
b)y = x³ – 2x² + x – 2
c)
Cách giải: a) y = f(x) = –x³ + 3x + 1
1) Tập xác định : +/ D = … .
2) Sự biến thiên :
+/ Chiều biến thiên :
• y’ = … x2 + … x + … .
• y’ = 0 <=> xi = … ; f(xi) = … .
• Xét dấu y’:
+/ trên các khoảng (….) và (…..) : y’ > 0 , : Hàm số đồng biến .
Trên khoảng (….) : y’ < 0 ,
: Hàm số Nghịch biến .
+/ Cực trị : Kết luận về cực trị hàm số .
Hàm số đạt cực tiểu tại x = …., yCT = ….
Hàm số đạt cực Đại tại x = …., yCĐ = ….
+ / Giới hạn ở Vô cực :

lim y =

x → −∞

lim y =
x →+∞

….
;
.... .
+/ Bảng biến thiên :
x -∞
…
…
y’
…
…
…
…
…
y
…
…
3) Đồ thị :
+ ) Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y = .. .
6

+∞


+) Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = .. ., Các điểm khác : …
+) Đồ thị :

Y

O

X

B/ CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN
ĐẾN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1/ y = ax3 + bx2 + cx + d ( C )
2/ y = ax4 + bx2 + c
(C)

y=

ax + b
cx + d

3/
(C)
Bài 1 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) :
1/ Tại điểm M0 (x0 ; y0 )
Xác định:
Viết phương trình: y= +
2/ Có hệ số góc cho trước ( song song với đường thẳng y = kx + p ).
•
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng :
y = k(x – x0 ) + y0
(*)
⇔

•

k = f’(x0 )
giải phương trình tìm x0 ; thế x0 vừa tìm được vào ( C ) tìm y0 .
Thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm.
3/ Vng góc với đường thẳng y = k’x + p
•
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng :
y = k(x – x0 ) + y0
(*)
•

•

Trong đó k.k’ = -1
⇔

⇔

k=

−1
k'

.

thế k = f’(x0 )
giải phương trình tìm x0 ; thế x0 vừa tìm được vào ( C ) tìm y0 .
Thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm.
4/ Các dạng khác : cho biết x0 hoặc y0 tìm các yếu tố cịn lại suy ra có (*)

5/ Đi qua điểm M1 (x1 ; y1 ) € ( C ) :
7


Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng :
y = k(x – x1 ) + y1
(*)
k = f’(x1) ; thế k , x1 , y1 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm
Bài 2 : Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
a’x3 + b’x2 + c’x + n = 0 (2).
•

⇔

⇔

(2)
ax3 + bx2 + cx + d = k.m ; ( ax4 + bx2 + c = k.m )
Số nghiệm phương trình (2) bằng số giao điểm của đồ thị ( C) với
đường thẳng d: y = k.m (vẽ d)
• Nhận xét số giao điểm d: với ( C ) , theo yCT và yCĐ của ( C ).
Bài 3 : Tìm m để y = f(x ; m ) cắt đồ thị ( C ) tại t đểm phân biệt ?
Hướng dẫn : Số giao điểm của f(x) = f(x;m ) với ( C ) , bằng số nghiệm phương trình :
f( x ) = f ( x ; m ) . Từ đó ta tìm ra điều kiện của m cần tìm .
--------------------------------------------------•
•

Bài tập mẫu dạng 1:
y = x3 − 3 x + 5

Bài 1: Cho hàm số
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C):
a) Tại điểm A (-1; 7). b)Tại điểm có hồnh độ x = 2. c)Tại điểm có tung độ y =5.
Cách giải:
a/ Ta có : y’(x)=…
Tại điểm … (… ; …. )
Xác định:
Viết phương trình: y= +…
Bài 2: Cho đồ thị (C) của hàm số
a)
b)
c)

y = x3 − 2 x 2 + 2 x − 4

.
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hồnh.
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm x0 thỏa mãn y”(x0) = 0.
y=

Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C):
y = 3x − 2

đường thẳng (d):

x+2
x −1

tại các giao điểm của (C) với

.
-------------------------------------------------

8


y = x3 − 3x 2 + 1

Bài tập mẫu dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
(C). Biết
tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + 6.
Cách giải:
•
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng :
y = k(x – x0 ) + y0
(*)
⇒

k = y’(x0 )
Vì tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + 6 => k = …
Với y’= …
⇔

•

giải phương trình ……………………………………………..
=> x0 = ……;
thế x0 vừa tìm được vào ( C ) => y0 =...
Thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm.

y =…….
y = x3 − 3x 2

Bài tập mẫu dạng 2: Cho hàm số
(C) biết hệ số góc của tiếp tuyến k = -3

(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

---------------------------------------------------------------------------------

9


Bài tập mẫu dạng 3: Cho hàm số

y = x3 − 3x + 2

(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C)

y=

−1
x
9

biết tiếp tuyến đó vng góc với đường thẳng
.
Cách giải:
•
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng :

y = k(x – x0 ) + y0
(*)
y=

Vì tiếp tuyến đó vng góc với đường thẳng
=> k . … = -1
Với y’= …

⇔

−1
x
9

=> k’=…

k =…

⇔

•

giải phương trình ……………………………………………..
=> x0 = ……;
thế x0 vừa tìm được vào ( C ) => y0 =...
Thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm.
y =…….
y=

Bài tập mẫu dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số:

biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d):

x + 5 y − 2016 = 0

1 4
x + 2 x2
4

.

Bài tập mẫu dạng Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
y=

1 4
3
x − 3x 2 +
2
2

Cho hàm số:
có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Tìm điều kiện của m để phương trình sau có 4 nghiệm:

x 4 − 6x 2 + 1 + m = 0

⇔

x 4 − 6x 2 + 1 + m = 0

.

Cách giải: b)
(2) …x4 - … x2 + …=…
Số nghiệm phương trình (2) bằng số giao điểm của đồ thị ( C) với
đường thẳng d: y = …….
TH1: phương trình vơ nghiệm khi : ………
TH2: phương trình có 2 nghiệm khi : ………
TH3: phương trình có 3 nghiệm khi : ………
TH4: phương trình có 4 nghiệm khi : ………
--------------------------------------------------------------------------------------------Bài tập mẫu dạng Tìm m để y = f(x ; m ) cắt đồ thị ( C ) tại t đểm phân biệt ?
10

,


y = 2+

3
x −1

Cho hàm số
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Tìm m để đường thẳng d: y = –x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
Cách giải: b)
y = 2+

Số giao điểm của
2+

3
x −1

3
x +1

với đường thẳng d: y = –x + m , bằng số nghiệm phương trình :
.......... .......... ....
x +1

= –x + m . <=>
= –x + m <=>……………….= (-x+m)(………)
<=>…………………………=0 <=>……………………….
Từ đó điều kiện của m là:……………………….. .
--------------------------------------------------------------------------------------------------Bài 1: Tìm m để hàm số:
Bài 2:Cho hàm số
.

y = 1 x 3 + ( m 2 − m + 2 ) x 2 + ( 3m 2 + 1) x + m − 5
3

1
1
y = mx3 − ( m − 1) x 2 + 3 ( m − 2 ) x +
3
3

. Tìm

m

đạt cực tiểu tại x = −2.

để hàm số đạt cực đại tại

x=0

Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số
Bài tốn 1: Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên một đoạn
?
Phương pháp:
• Tính
• Giải phương trình
, để tìm các nghiệm
• Tính các giá trị
và
• GTLN là số lớn nhất trong các giá trị vừa tìm
• GTNN là số bé nhất trong các giá trị vừa tìm.
Bài tốn 2: Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trên miền các định hay một khoảng.
11


Phương pháp:
• Tìm tập xác định
• Tính
• Giải phương trình
(các điểm tới hạn ) và tính giá trị tại các điểm tới hạn .
• Lập bảng biến thiên , căn cứ bảng biến thiên
GTLN,GTNN.
-----------------------------------------------------------Bài tập mẫu dạng 1Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số:

trên đoạn
Cách giải :
•
•
•
•

Ta có
Kết luận:

,

,

---------------------------------------------------------------------------------------------------Bài tập tương tự dạng 1
Bài 1: Tìm GTLN,GTNN của hàm số

a)

trên đoạn

c)

trên đoạn

.

b)

trên đoạn

.

.

Bài 2: Tìm GTLN,GTNN của hàm số
a)

trên đoạn

.

b)

c)

trên đoạn

d)

Bài tập mẫu dạng 2 Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Hướng dẩn giải:
• Tập xác định : D=[0;2]
•
•
•

Bảng biến thiên:
12

trên đoạn

.
.


x
y’
y
•

…
…
…

…
…
…

…
…
…

Kết luận:

--------------------------------------------------------------------------------Bài tập tương tự dạng 2
Bài 3: Tìm GTLN,GTNN của hàm số
a)

b)

c)

Bài tốn 3: Tìm điều kiện để hàm số y = f(x,m) có GTLN (GTNN) trên đoạn [a; b] là
một số cho trước
Phương pháp giải:
13


Giả sử bài tốn u cầu: Tìm giá trị của tham số để hàm số
có giá trị lớn nhất
(giá trị nhỏ nhất ) trên đoạn
là (là m), ta có thể tiến hành theo một tring các cách sau.
Chú ý: Hàm số

liên tục trên

Cách 1:
•
•
•
•
•
•

Tính đạo hàm
Gải phương trình
để tìm các nghiệm
Tính các giá trị
và

Từ các kết quả trên, xác định GTLN (GTNN) của hàm số , giả sử là
Giải phương trình
để tìm nghiệm
Nêu kết luận cho bài tốn để hồn tất bài tốn.

Cách 2:
•
•
•
•
•
•

Xác định điều kiện để bất phương trình :
được thỏa mãn
Giải điều kiện vừa tìm để xác định các giá trị của thỏa điều kiện vừa nêu
Xác định điều kiện để phương trình:
có nghiệm
Giải điều kiện vừa tìm để xác định các giá trị của thỏa điều kiện
So sánh các giá trị của m tìm được ở các bước 2 và 3 để chọn ra giá trị m thỏa bài toán
Nêu kết luận cho bài toán để hồn tất bài tốn.

Cách 3:
•
•
•
•

Tính đạo hàm
Giải phương trình

để tìm các nghiệm
Tính các giá trị
và
Lần lượt giải các phương trình:
để tìm các nghiệm

•
•

chúng
Thay
vào hàm số và kiểm tra trực tiếp xem giá trị
nhận hoặc loại giá trị
Nêu kết luận cho bài tốn để hồn tất bài tốn.

thực sự thỏa bài toán để

Bài tập 1:
Xét hàm số:
hàm số giá trịlớn nhất trên

. Xác định giá trị của tham số $latex m$ sao cho
là

Hướng dẩn giải:
•
•
•
•
•

Ta có đạo hàm :
, vậy
Nhận xét rằng :
,
Do vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất trên
(1)
(2)

x=m
hoặc tại

14

của

hoặc tại

, suy ra


•
•

Do
Do

Với

, nên từ (1) suy ra

, nên từ (2) suy ra
, thay vào hàm số ta được:

.

Bảng biến thiên: (các em tự lập)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên
Suy ra
Với

là

, suy ra

loại
, thay vào hàm số ta được :

Bảng biến thiên: (các em tự lập)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên
Suy ra giá trị
•

là

thỏa mãn bài tốn .

Kết luận: Giá trị cần tìm :

15

khơng thỏa bài toán