KHÁI NIỆM SỐ TỰ NHIÊN TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở BẬC TIỂU HỌC
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (8.33 MB, 106 trang )
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi1 of 138.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
DƯƠNG HỮU TÒNG
KHÁI NIỆM SỐ TỰ NHIÊN TRONG DẠY HỌC
TOÁN Ở BẬC TIỂU HỌC
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh - 2008
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi1 of 138.
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi2 of 138.
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi2 of 138.
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi3 of 138.
MỤC LỤC
MỤC LỤC .................................................................................................................... 3
30T
T
0
3
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 6
30T
30T
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT ............................................................................ 7
30T
T
0
3
MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 8
30T
T
0
3
1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát ........................................................................8
T
0
3
T
0
3
2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu và mục tiểu nghiên cứu .................................................9
T
0
3
T
0
3
3. Phương pháp nghiên cứu ...............................................................................................9
T
0
3
30T
5. Tổ chức của luận văn ...................................................................................................10
T
0
3
30T
Chương 1: ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM SỐ TỰ
30T
NHIÊN ........................................................................................................................ 12
T
0
3
1.1. Mục tiểu của chương .................................................................................................12
T
0
3
30T
1.2. Đặc trung khoa học luận của khái niệm số tự nhiên ...............................................12
T
0
3
T
0
3
1.2.1. Giai đoạn 1: từ thời kỳ nguyên thủy cho đến thời cổ đại ....................................12
T
0
3
T
0
3
1.2.2. Giai đoạn 2: thời trung cổ đến ba phần tư đầu của thế kỷ XIX ...........................16
T
0
3
T
0
3
1.2.3. Giai đoạn 3: phần tư còn lại của thế kỷ XIX .......................................................19
T
0
3
T
0
3
1.3. Một số kết luận ...........................................................................................................23
T
0
3
30T
1.3.1. Các giai đoạn nảy sinh và phát triển ....................................................................23
T
0
3
T
0
3
1.3.2. Phạm vi tác động của khái niệm số tự nhiên và các bài toán có liên quan .........24
T
0
3
T
0
3
1.3.3. Các đối tượng có liên quan ..................................................................................25
T
0
3
T
0
3
1.3.4. Các cách tiếp cận khái niệm số tự nhiên .............................................................25
T
0
3
T
0
3
Chương 2: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM SỐ TỰ NHIÊN ....... 27
30T
T
0
3
2.1. Mối quan hệ thể chế vói số tự nhiên trong các nhà trường đào tạo GV tiểu học...27
T
0
3
T
0
3
2.1.1. Số tự nhiên trong học phần số học ......................................................................28
T
0
3
T
0
3
2.1.2. Số tự nhiên trong học phần Phương pháp giảng dạy Toán ..................................31
T
0
3
T
0
3
2.1.3. Kết luận................................................................................................................35
T
0
3
30T
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi3 of 138.
3
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi4 of 138.
2.2. Mối quan hệ thể chế với số tự nhiên ở bậc tiểu học.................................................37
T
0
3
T
0
3
2.2.1. Sách cải cách giáo dục (M 1 ) ................................................................................37
T
0
3
R
R
T
0
3
2.2.2. Sách giáo khoa hiện hành (M 2 ) ...........................................................................44
T
0
3
R
R
T
0
3
2.3. Kết luận chương 2 ......................................................................................................54
T
0
3
30T
Chương 3: THỰC NGHIỆM .................................................................................... 57
30T
30T
3.1. Thực nghiệm A đối với giáo viên ...............................................................................57
T
0
3
T
0
3
3.1.1. Hình thức và nội dung thực nghiệm ....................................................................57
T
0
3
T
0
3
3.1.2. Phân tích tiên nghiệm bộ câu hỏi ........................................................................59
T
0
3
T
0
3
3.1.3. Phân tích hậu nghiệm các câu hỏi thực nghiệm ..................................................62
T
0
3
T
0
3
3.1.3. Một số kết luận rút ra từ thực nghiệm A..............................................................68
T
0
3
T
0
3
3.2. Thực nghiệm B đối với học sinh ...............................................................................68
T
0
3
T
0
3
3.2.1. Phân tích tiên nghiệm tình huống thực nghiệm ...................................................68
T
0
3
T
0
3
3.2.1.1. Tình huống cơ sở ..........................................................................................68
T
0
3
30T
3.2.1.2. Cơ sở xây dựng tình huống thực nghiệm .....................................................69
T
0
3
T
0
3
3.2.1.3. Các chiến lược và cái có thể quan sát được ................................................70
T
0
3
T
0
3
3.2.1.4. Môi trường .................................................................................................71
T
0
3
30T
30T
30T
3.2.1.5. Tình huống thực nghiệm (Xem phụ lục 3) .................................................72
T
0
3
30T
30T
T
0
3
3.2.1.6. Tổ chức thực nghiệm..................................................................................72
T
0
3
30T
30T
T
0
3
a) Đối tượng: Các em HS lớp 2 - đã được học số tự nhiên ở lớp 1. .........................72
T
0
3
T
0
3
b) Dàn dựng kịch bản ................................................................................................72
T
0
3
30T
3.2.1.7. Đặc trưng của ánh huống thực nghiệm qua cách chọn các giá trị của biến
T
0
3
T
0
3
...................................................................................................................................73
3.2.1.8. Ảnh hưởng của việc lựa chọn giá trị của biến đến các chiến lược ..............74
T
0
3
T
0
3
3.2.1.9. Phân tích kịch bản ........................................................................................75
T
0
3
30T
3.2.2. Phân tích hậu nghiệm tình huống thực nghiệm ...................................................76
T
0
3
T
0
3
3.2.2.1. Một số kết quả ban đầu ..............................................................................76
T
0
3
30T
30T
T
0
3
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi4 of 138.
4
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi5 of 138.
3.2.2.2. Phân tích chi tiết kết quả thực nghiệm ......................................................76
T
0
3
30T
30T
T
0
3
3.2.3. Một số kết luận rút ra từ thực nghiệm B..............................................................80
T
0
3
T
0
3
KẾT LUẬN ................................................................................................................ 81
30T
30T
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 83
30T
30T
Tiếng Việt ...........................................................................................................................83
T
0
3
T
0
3
Tiếng Anh ..........................................................................................................................84
T
0
3
T
0
3
Tiếng Pháp.........................................................................................................................84
T
0
3
30T
PHỤ LỤC ................................................................................................................... 85
30T
T
0
3
PHỤ LỤC 1: Các câu hỏi trong thực nghiệm A đối với giáo viên .................................85
T
0
3
T
0
3
Phụ lục 2: ..........................................................................................................................87
T
0
3
T
0
3
PHỤ LỤC 3: Tình huống thực nghiệm và quy tắc trò chơi trong thực nghiệm B ........99
T
0
3
T
0
3
PHỤ LỤC 4 : Các protocole pha 2,3,4 trong thực nghiệm ...........................................100
T
0
3
T
0
3
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi5 of 138.
5
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi6 of 138.
LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Lê Văn Tiến, người đã tận
tình hướng dẫn tôi về mặt nghiên cứu khoa học và góp phần quan trọng vào việc hoàn thành
luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn: PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS.
Đoàn Hữu Hải, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Nguyễn Ái Quốc, TS. Lê Thái Bảo Thiên
Trung đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ kiến thức và niềm say mê đối với Didactic Toán.
Tôi xin trân trọng cám ơn: PGS.TS. Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot, TS. Alain
Birebent đã nhiệt tình góp ý hướng nghiên cứu đề tài và giải đáp những thắc mắc cần thiết
cho chúng tôi.
Tôi xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Xuân Tú Huyên nhiệt tình giúp đỡ cho tôi
trong việc dịch luận văn này sang tiếng Pháp.
Tôi cũng xin chân thành cám ơn:
- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN - SĐH trường ĐHSP TP.HCM đã tạo
điều kiện thuận lợi cho chúng tôi khi được học tập tại trường.
- Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm, Trường Đại học Cần Thơ và các đồng nghiệp thuộc
Bộ môn Toán đã tạo mọi thuận lợi cho tôi trong lúc học tập tại trường ĐHSP TP.HCM.
- Ban Giám hiệu và các giáo viên của trường tiểu học Lê Quý Đôn, TP. Cần Thơ đã
nhiệt tình giúp đỡ và sắp xếp cho tôi thực nghiệm tại Quý trường.
Xin gởi những lời cảm ơn chân thành đến các bạn trong lớp Didactic khóa 16 đã cùng
tôi học tập, trải qua những ngày vui buồn và những khó khăn trong khóa học.
Sau cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thành viên trong gia đình tôi, luôn
động viên và giúp đỡ tôi về mọi mặt.
Dương Hữu Tòng
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi6 of 138.
6
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi7 of 138.
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
GV:
Giáo viên
HS:
Học sinh
M1:
Sách cải cách giáo dục
M2:
Sách giáo khoa hiện hành
SGK:
Sách giáo khoa
SGV:
Sách giáo viên
R
R
R
R
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi7 of 138.
7
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi8 of 138.
MỞ ĐẦU
1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Trong bài giảng của mình tại trường xuân Đà Lạt tháng 04/2007, GS.Annie Bessot đã
tình bày một tình huống "bút vẽ" trong thực nghiệm của B. de Villegas, Trường Đại học Los
Andes:
"Có các lọ màu để cách xa các cây bút vẽ. Trẻ em phải đến lấy bút vẽ và đặt vào các
lọ màu. Các em chỉ được lấy bút vẽ một lần và đảm bảo rằng lọ nào cũng có một cây bút vẽ
và không có cây bút vẽ nào bị dư."
Thực nghiệm được thực hiện với trẻ em đã biết đếm, theo nghĩa đã biết giải quyết hai
dạng toán sau :
+ Dạng toán 1: Xác định số tự nhiên ứng với số phần tử của tập hợp cho trước.
+ Dạng toán 2: Tạo ra tập hợp có số phần tử băng số tự nhiên n cho trước.
Thực nghiệm chỉ ra rằng trẻ không giải quyết được tình huống "bút vẽ", dù các em biết
giải quyết hai dạng toán này.
Theo G.Brousseau, ứng xử trên của trẻ cho phép chỉ ra sự khác biệt giữa phép đếm
như là một kiến thức văn hóa đời thường và phép đếm như là kiến thức công cụ để giải
quyết tình huống cơ bản.
Những phân tích trên đặt ra cho chúng tôi nhiều câu hỏi cần giải đáp :
- Trong thể chế dạy học toán bậc tiểu học ở Việt Nam, khái niệm số tự nhiên được đưa
vào như thế nào? Xoay quanh những dạng toán nào? Hai dạng toán nêu ở trên và mối quan
hệ giữa chúng có vị trí, vai trò gì trong việc hình thành khái niệm số tự nhiên?
- Phép đếm như là một kiến thức văn hóa đời thường có vai trò gì trong việc dạy học
khái niệm số tự nhiên? Phép đếm như là một kiến thức toán học có đặc trưng gì?
- Học sinh tiểu học Việt Nam, sau khi học về các số tự nhiên đầu tiên (ít nhất trong
phạm vi 100) ứng xử thế nào trước tình huống kiểu tình huống "bút vẽ" của B. de Villegas?
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi8 of 138.
8
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi9 of 138.
- Giáo viên dạy học toán ở trường tiểu học Việt Nam có quan niệm như thế nào về
khái niệm số tự nhiên và dạy học số tự nhiên? Họ quan niệm như thế nào về hai loại kiến
thức phép đếm: phép đếm - kiến thức văn hóa đời thường và phép đếm như là một kiến thức
toán học?
2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu và mục tiểu nghiên cứu
Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi của didactic toán với việc vận dụng
các yếu tố lý thuyết sau đây:
- Lý thuyết nhân chủng học: chuyển đổi didactic, quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân
đối với một đối tượng tri thức, tổ chức toán học.
- Lý thuyết tình huống, họp đồng didactic.
Mục tiểu nghiên cứu của chúng tôi là tìm câu trả lời cho các câu hỏi xuất phát nêu
trên, mà bây giờ được cụ thể hóa và mở rộng trong phạm vi lí thuyết didactic như sau :
1.Trong quá trình hình thành và phát triển, số tự nhiên có những đặc trưng khoa học
luận cơ bản nào?
2.Mối quan hệ thể chế với khái niệm số tự nhiên ở nhà trường đào tạo GV tiểu học có
những đặc trưng cơ bản nào ? Sự tương đồng và khác biệt của nó so với quá trình phát triển
của nó trong lịch sử?
3.Mối quan hệ thể chế với khái niệm số tự nhiên trong thể chế dạy học toán ở bậc tiểu
học có đặc trưng cơ bản nào? Sự tương đồng và khác biệt so với quá trình phát triển của nó
trong lịch sử và so với mối quan hệ thể chế đào tạo GV tiểu học?
4.Những ràng buộc của thể chế dạy học ảnh hưởng như thế nào trên mối quan hệ cá
nhân của GV và HS? Có những quy tắc ngầm ẩn nào của hợp đồng didactic liên quan đến
khái niệm số tự nhiên đáng được chú ý?
3. Phương pháp nghiên cứu
Sau đây là sơ đồ thể hiện phương pháp nghiên cứu mà chúng tôi sử dụng nhằm tìm ra
câu trả lời cho các câu hỏi được nêu ở trên:
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi9 of 138.
9
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi10 of 138.
- Đầu tiên, chúng tôi phân tích, tổng họp các công trình có liên quan đến đến đặc trưng
khoa học luận của khái niệm số tự nhiên.
- Tiếp theo nghiên cứu tri thức luận, phân tích chương trình và các giáo trình toán
(được sử dụng đê dạy cho GV tiểu học) được thực hiện nhằm tìm hiểu khái niệm số tự nhiên
được nghiên cứu như thế nào ở cấp độ đại học và mối quan hệ thể chế đào tạo GV với đối
tượng số tự nhiên.
- Hai nghiên cứu trên là cơ sở tham chiếu cho việc phân tích thể chế dạy học số tự
nhiên ở tiểu học. Phân tích chương trình và SGK, sách GV Toán 1, tài liệu hướng dẫn giảng
dạy sẽ làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng số tự nhiên.
- Sau những nghiên cứu trước đó, cho phép chúng tôi đề xuất các câu hỏi mới và giả
thuyết nghiên cứu. Tính thỏa đáng của chúng được kiểm chứng bằng các thực nghiệm trên
đối tượng GV và HS.
5. Tổ chức của luận văn
❖
Mở đầu.
❖
Nội dung.
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi10 of 138.
10
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi11 of 138.
• Chương 1: Đặc trưng khoa học luận của khái niệm số tự nhiên.
• Chương 2: Mối quan hệ thể chế với khái niệm số tự nhiên.
2.1.Mối quan hệ thể chế với số tự nhiên trong các nhà trường đào tạo GV
tiểu học.
2.2.Mối quan hệ thể chế với số tự nhiên ở bậc tiểu học.
2.3.Kết luận chương 2.
• Chương 3: Thực nghiệm.
❖
Kết luận.
■
Tài liệu tham khảo.
■
Phụ lục.
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi11 of 138.
11
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi12 of 138.
Chương 1: ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM SỐ
TỰ NHIÊN
1.1. Mục tiểu của chương
Mục tiểu của chương này là phân tích và tổng hợp một số nghiên cứu lịch sử hay khoa
học luận về khái niệm số tự nhiên nhằm làm rõ các đặc trưng của đối tượng này trong quá
trình nảy sinh và tiến triển của nó. Cụ thể, chúng tôi nhắm đến trả lời các câu hỏi sau đây:
1.Khái niệm số tự nhiên hình thành và phát triển qua những giai đoạn lịch sử nào?
2.Khái niệm số tự nhiên xuất hiện và tác động trong những kiểu bài toán, những kiểu
tình huống nào? Nhằm giải quyết những bài toán nào? Trong phạm vi nào? Đặc trưng cơ
bản của nó?
3.Những đôi tượng, khái niệm toán học nào có liên quan và góp phần nảy sinh và phát
triển khái niệm số tự nhiên ?
4.Có những cách tiếp cận nào đối với khái niệm số tự nhiên? ứng với từng cách tiếp
cận ấy, số tự nhiên sẽ lấy nghĩa gì?
Tài liệu tham chiếu dùng để phân tích: Charles J. Brainerd (1979), John Crossley
(1987), Martino T.-Spagnolo F (1996), Nguyễn Cang (1999), Nguyễn Phú Lộc (2008).
1.2. Đặc trung khoa học luận của khái niệm số tự nhiên
Số tự nhiên là một thành tựu toán học lâu đời nhất của loài người. Lịch sử nảy sinh và
phát triển của khái niệm số có thể được chia làm 3 giai đoạn. Giai đoạn 1 kéo dài từ thời kỳ
nguyên thủy cho đến thời cổ đại. Đóng góp của giai đoạn này có từ nền văn minh cổ xưa: Ai
Cập, Babylon và Hy lạp. Giai đoạn 2 từ thời trung cổ đến 3 phần tư-đầu của thế kỷ XIX. Sự
đóng góp chính trong giai đoạn này thuộc về các học giả Thiên Chúa giáo và Đạo Hồi. Giai
đoạn 3 được tính trong một phần tư sau của thế kỷ XIX. Trong suốt giai đoạn này, các nhà
toán học đưa ra những quan điểm khác nhau về số.
1.2.1. Giai đoạn 1: từ thời kỳ nguyên thủy cho đến thời cổ đại
❖Cách tiếp cận số tự nhiên của người nguyên thủy
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi12 of 138.
12
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi13 of 138.
Số tự nhiên ra đời là do nhu cầu nhận biết về số lượng của sự vật. Chẳng hạn, người ta
cần biết được số lượng của đàn thú để tổ chức cuộc đi săn, cần biết được số lượng của bên
địch để tổ chức chiến đấu...Tình huống xuất hiện của số tự nhiên là nhu cầu cần đếm các đồ
vật, đã có ngay từ các thời kì tiền sử. Ở bậc thấp của xã hội nguyên thủy không có khái
niệm số trừu tượng. Điều này không có nghĩa là người nguyên thủy không đếm được số
lượng đồ vật của một tập họp cụ thề, thí dụ số lượng người tham gia một buổi săn bắt, số
lượng ao hồ có thể bắt cá,...Để nói về phép đếm của người nguyên thủy, tác giả Nguyễn Phú
Lộc đã viết: "Có lẽ phép đếm sớm nhất là phương pháp đối chiếu theo nguyên tắc tương ứng một - một. Khi đếm
một đàn cừu, chẳng hạn, thì mỗi con cừu ứng với một ngón tay, hay một viên đá, sỏi, hoặc bằng cái que, bằng một vét
vạch lên mặt đất, bằng một cái nút trên một sợi dây..."
[10, tr.9].
Để hiểu được số tự nhiên hình thành như thế nào, ta hãy hình dung con người nhận
thức được số lượng sự vật bằng cách nào? Người nguyên thủy có thể phân biệt trong tự
nhiên giữa một cái cây và một rừng cây, giữa một con chó sói và một bầy chó sói,...nghĩa là
phân biệt giữa nhiều hơn và ít hơn. Có thể nói, con người nhận thức được số lượng sự vật
bằng cách so sánh. Để nhận biết được số lượng của một tập hợp các "vật" nào đó, ta so sánh
nó vói một tập họp mà ta đã biết rõ số lượng. Tập hợp này được gọi là tập hợp chuẩn. Để so
sánh ta cho tương ứng mỗi vật của tập hợp đang xét với một vật xác định của tập hợp chuẩn,
sao cho hai vật khác nhau được ứng với hai vật phân biệt của tập họp chuẩn. Dễ hình dung
rằng khi lập tương ứng như vậy, mỗi phần tử của tập họp chuẩn và ngược lại (tương ứng
như vậy gọi là tương ứng 1-1 hay là một song ánh) thì ta coi rằng hai tập hợp có số lượng
bằng nhau, hay theo thuật ngữ toán học gọi là hai tập hợp có cùng lực lượng. Dần dần người
ta đi đến đặt ra các con số để chỉ đặc điểm chung của các tập hợp có cùng lực lượng.
* Nhận xét:
- Khái niệm số tự nhiên chỉ xuât hiện trong đời sống sinh hoạt của người nguyên thủy
chứ chưa hiện diện trong lĩnh vực toán học.
- Từ những ghi nhận của tác giả Nguyễn Phú Lộc, chúng ta thấy được phép đếm của
người nguyên thủy chính là sự thiết lập tương ứng 1-1. Đây chính là kiến thức toán học của
phép đếm. Nó cho phép giải quyết tình huống. Phép đếm như thế cho phép so sánh được số
phần tử của hai tập hợp. Cụ thể, điều này sẽ được đề cập ở bên dưới.
- Khái niệm số tự nhiên xuất hiện ngầm ẩn trong tình huống: "So sánh sự nhiều hơn, ít
hơn về số phần tử của hai tập hợp". Kĩ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này là: Cho tương
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi13 of 138.
13
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi14 of 138.
ứng mỗi phần tử của tập này với duy nhất một phần tử của tập kia, tập nào có "thừa" phần tử
sẽ có nhiều phần tử hơn. số tự nhiên vẫn chưa có tên, chưa được định nghĩa.
- Ở đây, chúng ta cũng thấy được nghĩa của số tự nhiên, số tự nhiên lấy nghĩa "kết quả
của phép đếm" một cách tường minh, còn nghĩa "biểu thị quan hệ tương ứng 1-1" một cách
ngầm ẩn. Trên cơ sở như trên, đặc trưng bản số của số tự nhiên cũng được đề cập một cách
không tường minh. (Đặc trung bản số của số tự nhiên là có chức năng biểu thị quan hệ số
lượng - theo Từ điển Bách Khoa Toán học).
❖Cách tiếp cận số tự nhiên của người Ai Cập và Babylon
Có nhiều điểm khác nhau về tri thức số của người Ai Cập và Babylon, nhưng họ lại có
điểm giống nhau cơ bản. Các tác phẩm về số của hai nhóm này đều tập trung vào tính toán.
Người Ai Cập cũng như người Babylon chưa từng nghĩ để xây dựng một khoa học về số.
Đặc biệt, có lẽ không có bằng chứng nào cho câu hỏi như "số là gì ?". Đối với người Ai
Cập, câu hỏi này có lẽ không có nghĩa gì cả. Đối với người Babylon, với cách tiếp cận về số
của họ, câu hỏi này có thể có nghĩa nào đó. Mặc dù, người Babylon là người cổ đại am hiểu
tường tận về tính toán, nhưng khoa học về số đối với họ là không tồn tại. Gần như, họ khám
phá ra các cách dùng chung của số, nhưng ý nghĩa về sự tồn tại hữu ích của nó không được
họ nhắc đến. Nói chung, họ không quan tâm đến việc làm rõ ý nghĩa của số tự nhiên hay tìm
cách định nghĩa nó mà chỉ tập trung vào yếu tố "công cụ" của nó. Hai lĩnh vực toán học mà
họ chọn để phát triển nó là Số học và Đại số.
❖Cách tiếp cận số tự nhiên của người Hy Lạp
Người Hy Lạp là người đầu tiên thành công trong việc xây dựng khoa học về số vào
khoảng thể kỷ thứ 6 đến thế kỷ 4 TCN. Thật vậy, họ được xem là người khởi đầu cho khoa
học về số. Theo Bertrand Russell (1919), chúng ta vẽ ra biên của toán học và khoa học toán
như sau: "Khi làm toán, người ta tham gia vào quá trình mà nhờ đó tầm ứng dụng của các khái niệm được mở rộng.
Tức là, người ta tìm thêm các cách khác nhau để cho các khái niệm toán học được sử dụng. Khi làm khoa học toán,
người ta tham gia vào quá trình ngược lại. Thay vì, mở rộng tầm ứng dụng của khái niệm, người ta lại thu hẹp. Trong
khoa học toán, chúng ta đặt ra câu hỏi "khái niệm này có nghĩa gì?"[26,
tr.25]. Các nhà toán học Hy Lạp
nhận thấy câu hỏi như thế đầy thú vị. Ở đây, chỉ xét đến hai người đóng góp quan trọng
nhất: Pythagoras và Plato.
Cách tiếp cận số tự nhiên của Pythagoras (569 - 500 TCN)
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi14 of 138.
14
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi15 of 138.
Trong suốt những năm sinh sống ở Croton, Pythagoras có câu trả lời kinh ngạc cho
câu hỏi "số là gì ?". Đối với ông, số là tất cả mà nó có theo nghĩa đen. số là thực tế duy nhất
và số là ngôn ngữ của vũ trụ. Theo quan niệm của người Hy Lạp, vũ trụ và mọi thứ trong nó
đều có thể quy về một hay một vài tổng quát như thế. Mặc dù, "Tất cả là số" nghe như nó
khá ngây thơ so với ngày nay, nhưng nó là một ví dụ tuyệt vời cho cách tiếp cận của người
Hy Lạp để giải mã các bí mật của tự nhiên.
Khái niệm-về số của Pythagoras rất hẹp so với chúng ta ngày nay. Thật vậy,
Pythagoras chỉ thừa nhận hai loại số : (1) dãy các nguyên dương vô tận (1, 2, 3, ...) tức được
𝑎
gọi là các số tự nhiên ngày nay và (2) dãy các phân số vô tận( 1 ,
và tử số đều là các số tư nhiên (gói là "số hữu tỉ" ngày nay).
𝑎2 𝑎3
, ,...) mà tất cả mẫu số
𝑏1 𝑏2 𝑏3
* Nhận xét:
- Xét về lịch sử, phát biểu "Tất cả là số" đánh dấu bước đột phá quan trọng: phán đoán
về các nền tảng của toán học. Theo quan điểm Pythagoras, toán học không thể diễn ra nếu
thiếu vắng đi nên tảng của số.
- Pythagoras đưa ra được dãy các số tự nhiên 1, 2, 3, 4...và dãy các phân số. Ông cũng
phát hiện ra được tính vô hạn của dãy số tự nhiên. Tuy nhiên, ông không đề cập đến số 0
trong hai dãy số trên. Mặc dù, ông không đưa ra được định nghĩa số tự nhiên dưới ngôn ngữ
toán học ngày nay, nhưng ông cũng đánh dấu được một bước ngoặt là-quan tâm đến yếu tố
"đối tượng" hơn là "công cụ" của số tự nhiên.
Cách tiếp cận số tụ nhiên của Plato (428 hay 427-347 TCN)
Ít hay nhiều, Plato đi đến cùng kết luận về nguồn gốc của số như Pythagoras. Tức là,
ông kết luận rằng số là "thực". Ông đưa ra giải thích như sau: đại lượng số, không giống
như các đại lượng mùi, màu, và vị, nó rất trừu tượng. Trong khi chúng ta có thể trải nghiệm
và đạt được về kiến thức về mùi, màu, và vị theo lối trực tiếp trực giác, nhưng chúng ta
không thể đạt được kiến thức về số theo lối này. Tuy nhiên, chúng ta biết nhiều về số, có lẽ,
nhiều hơn chúng ta biết về các đại lượng trải nghiệm qua trực giác. Kiến thức như thế có thể
đạt được bằng cách nào? Nếu trong đầu suy ngẫm về những thứ mà không thể thấy được, thì
những thứ này phải độc lập trong trí óc và những thứ vật chất khác. Sự tin tưởng của Plato
về sự tồn tại độc lập của số và nói chung các khái niệm toán học có trong ba tác phẩm nổi
tiếng của ông: The Meno, The Phaedo, và The Republic.
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi15 of 138.
15
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi16 of 138.
* Nhận xét:
Điểm nhấn của Plato là ông phát hiện ra được bản chất của số tự nhiên: tồn tại độc lập
đối với các vật trông thấy được. Tuy nhiên, ông cũng không đưa ra được một định nghĩa
chính xác cho số tự nhiên. Dưới ngôn ngữ của toán học, số tự nhiên không phụ thuộc nội
dung của các đồ vật mà chỉ liên hệ đến số lượng phần tử của tập hợp.
Tóm lại, trong giai đoạn này số tự nhiên có các đặc trưng cơ bản sau:
- Nguồn gốc làm xuất hiện khái niệm số trừu tượng là cách đếm nguyên sơ các đồ vật,
mà nội dung là so sánh các vật của tập hợp cụ thể đã cho với các vật của một tập họp xác
định nào đó, lấy làm chuẩn. Theo ngôn ngữ toán học, số tự nhiên xuất hiện trong tình huống
"So sánh sự nhiều hơn, ít hơn về số phân tử của hai tập hợp".
- Các bài toán có liên quan là: xác định số phần tử của một tập hợp, so sánh số phần tử
của hai tập hợp,...số tự nhiên thể hiện chức năng "công cụ" của mình. Cơ chế đối tượng của
số tự nhiên chỉ được nhắc đến một cách mờ nhạt. Trong giai đoạn này, khái niệm số tự
nhiên lấy cơ chế của một khái niệm protomathémtique.
- Đến đây, đặc trưng bản số của số tự nhiên được tiếp cận không tường minh. Đặc
trưng tự số tồn tại một cách ngầm ẩn. Bởi lẽ, khi so sánh số phần tử của hai tập hợp sẽ xảy
ra các trường hợp "nhiều hơn, ít hơn, bằng nhau" về số phân tử của hai tập đó. Khi đó, đặc
trưng tự số của số tự nhiên tồn tại một cách ngầm ẩn.
- Số tự nhiên xuất hiện như thế đó và nó cũng có nghĩa riêng của bản thân. Số tự nhiên
lấy nghĩa "kết quả của phép đếm", còn nghĩa "biểu thị tương ứng 1-1 giữa các tập hợp" một
cách ngầm ẩn thông qua phép đếm.
- Bước tiến quan trọng trong sự phát triển số tự nhiên là nhận thức được tính vô hạn
của dãy số tự nhiên. Hơn thế nữa, số tự nhiên không lệ thuộc vào nội dung các đồ vật mà chỉ
phụ thuộc vào quan hệ số lượng phần tử của các tập hợp. Đây là khám phá quan trọng của
các nhà toán học. Bởi lẽ, nó cho phép trừu tượng hóa, khái quát hóa lên những thuộc tính
bản chất của số tự nhiên.
1.2.2. Giai đoạn 2: thời trung cổ đến ba phần tư đầu của thế kỷ XIX
Điểm quan trọng nhất về thời kỳ Trung cổ là khoa học giả thần bí của "số luận" hoàn
toàn thống trị tri thức về số trong giai đoạn này. Các tác phẩm của các học giả số bắt đầu và
kết thúc với số luận. "Số luận" nên được hiểu là luận đề mà tính đúng sai của các mệnh đề
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi16 of 138.
16
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi17 of 138.
được chứng minh bằng các phân tích về số. Trong suốt thời kỳ Trung cổ, số luận được hầu
hết mọi người chấp nhận như là một phương pháp để có được kiến thức về một thứ nào đó.
Như đã biết, cả hai Pythagoras Brotherhood và trường phái của Plato đều tán thành các dạng
của số luận. Cả hai đều nghĩ rằng sự thật về vũ trụ có thể được làm sáng tỏ bằng cách thực
hiện tính toán số học với các con số đặc biệt nào đó. Nhưng cả hai đều không đưa số luận
đến thời kỳ rực rỡ của nó.
Nigidius Figulus (La Mã) - sống trong suốt thế kỷ thứ nhất SCN, được xem như là cha
đẻ của số luận Trung cổ. Điểm giống nhau của việc giảng dạy của Nigidius và tác phẩm của
Pythagoras là số luận. Chú ý rằng, số luận của Pythagoras chỉ liên quan đến các câu hỏi mà
được ngày nay xem như là các vấn đề khoa học chính đáng. Nhưng, trường Nigidius và một
trường triết học La mã sau đó nhận thấy rằng các câu hỏi như thế khá khô khan và không
thú vị. Thần học là lĩnh vực mà họ rất quan tâm và họ nhận thấy khả năng rất lớn của số
luận trong lĩnh vực này. Rõ ràng, họ quyết định số luận có thể được dùng để chứng minh
tính chân trị của các mệnh đề thần học hằng ngày.
Các nhà số luận Alexandria mở rộng số luận thần học của Nigidius đến mức độ logic
bằng cách phát minh ra "gematria". Trong gematria, số luận được ứng dụng cho các Kinh
Cựu ước. Các tiết trong Kinh Cựu ước chứa các số nào đó về kí tự, số từ, các dấu nhấn và
chúng được giải thích là chứa đựng ý nghĩa bí ẩn nào đó.
St. Augustine (353 - 430) được xem như là người đầu tiên thay đổi số luận trong số ở
nhà thờ. Augustine tin rằng gematria được áp dụng cho Kinh Tân ước hơn là Kinh Cựu ước.
Đây là một điểm cực kỳ quan trọng cho bộ mặt số luận trong suốt thế kỷ IV và V. Augustine
được cho là người hoàn chỉnh gematria - như là phân tích các Kinh Tân ước. Sau đó, ông
kết luận rằng thượng đế là người số luận và số là ngôn ngữ chung mà thượng đế ban tặng
cho nhân loại.
Có rất nhiều nhà số luận trong thời Augustine như là Proclus (411- 485), St. Isadore
(579 - 636), St. Thomas Aquinas (1226 - 1274) và nhà thơ Dante (1265 -1321). Proclus phát
minh ra các công thức số luận. Nhưng không may mắn, ông ấy không có những suy nghĩ
trước đó để các công thức số luận của ông ấy dựa vào Kinh Tân ước. St. Isadore được cho là
người chuẩn bị một quyển tự điển tham khảo về số trong cả hai Kinh Tân ước và Cựu ước.
Aquinas mở rộng số luận Thiên chúa giáo của các thế kỷ trước, bao gồm các quan niệm về
số mà ông ấy khám phá trong các tác phẩm của Aristotle. Dante phát hiện số luận trong thơ
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi17 of 138.
17
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi18 of 138.
của mình. Trong tác phẩm The Divine Comedy của mình, Dante trang bị đầy đủ hệ các ký
hiệu số còn mập mờ.
Sau đó, các nhà toán học Hồi giáo tiếp cận số học và đại số theo lối của tổ tiên
Babylon và Hy Lạp. Các nhà toán học Hồi giáo thêm số 0 vào các số tự nhiên và số hữu tỷ
của người Hy Lạp. Người Babylon đã sử dụng con số 0 này trước đó. Họ cũng đưa ra các kí
hiệu số như hiện tại. Ngoài việc thêm số 0 vào hệ thống số của người Hy Lạp và các kí hiệu
mới, các nhà toán học Hồi giáo có đóng góp không nhiều. Họ cố tìm kiếm để bắt chước và
giữ lại các tác phẩm của người Hy Lạp, hơn là tự tìm ra các hướng mới cho riêng mình.
Trong rất nhiều tác phẩm của người Hồi giáo, đều gặp phải một vấn đề như người Babylon
và Hy Lạp đã từng gặp: sự thu hẹp khái niệm số. Nhớ lại rằng, người Hy Lạp chỉ chấp nhận
hai loại số: số tự nhiên và phân số. Tuy nhiên, để có thể hoàn thành được hệ thống số học và
đại số, các loại số khác phải được thừa nhận, đặc biệt: số âm, số vô tỷ, và số phức. Người
Hy Lạp xem các loại số khác chỉ là tưởng tượng và người Hồi giáo cũng xem như thế.
Khái niệm số của thời kỳ cổ đại và trung cổ số luận bị giới hạn bởi các tiểu chuẩn hiện
đại. Đến cuối giai đoạn hai, khái niệm số được mở rộng và hình thành nhiều loại số mới. Đó
là kết quả của việc áp dụng các phép toán đại số và số học đối với số tự nhiên và phân số.
Trong suốt quá trình mở rộng đầy phức tạp này, các nhà toán học ngầm ẩn giả định rằng:
các số mới này xét về mặt logic được suy ra từ khái niệm số của người Hy Lạp. Tức là, họ
giả định các số mới có thể được suy ra từ số tự nhiên.
Nói chung, trong giai đoạn này số tự nhiên có các đặc trưng như sau:
- Lĩnh vực chiếm ưu thế của số tự nhiên trong giai đoạn này là số luận. Có rất nhiều
nhà số luận. Tuy nhiên, họ không quan tâm nhiều đến yếu tố "đối tượng" mà chỉ tập trung
vào yếu tố công cụ. Phạm vi hoạt động của số tự nhiên: thần học, Kinh Cựu ước, Kinh Tân
ước, thơ, số học, Đại số,...
- Việc bổ sung số 0 vào dãy các số tự nhiên làm cho tập hợp số tự nhiên được hoàn
thiện như như ngày nay. Có nhiều tập hợp số mới được hình thành trong giai đoạn này,
chẳng hạn: số hữu tỷ, số âm, số vô tỷ,...Tuy nhiên, khái niệm số tự nhiên vẫn chưa được
định nghĩa. Trong giai đoạn này, số tự nhiên lấy cơ chế của khái niệm paramathémtique.
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi18 of 138.
18
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi19 of 138.
1.2.3. Giai đoạn 3: phần tư còn lại của thế kỷ XIX
Giai đoạn bắt đầu trong suốt phhần tư còn lại của thế kỷ XIX. Đặc trưng của thời kỳ
này là việc thống nấát khái niệm số được thực hiện nhiều hơn là mở rộng nó. Lịch sử ghi
nhận lại sự cố gắng của các nhà toán học trong việc xây dựng thành công các định nghĩa của
số tự nhiên thỏa đáng về mặt logic.
❖Cách tiếp cận "bản số" của George Cantor (1845 -1918)
Trong quá trình phát triển lý thuyết tập hợp, Cantor phát minh ra khái niệm bản số
trong những năm từ 1874 đến 1884. Đầu tiên, ông thiết lập bản số như là công cụ để so sánh
các tập hợp hữu hạn. Ví dụ, các tập hợp {1,3,5} và {2,3,4} không bằng nhau, nhưng có
cùng số phần tử, tức là 3.
Bên cạnh đó, ông đưa ra khái niệm phép tương ứng 1-1. Phép tương ứng này cho phép
chứng minh hai tập hợp hữu hạn có cùng bản số nếu có một tương ứng 1-1 giữa các phần tử
của các tập họp. Khi sử dụng tương ứng 1-1 này, ông chuyển từ khái niệm này sang các tập
hợp vô hạn, tức tập hợp các số tự nhiên N = {1,2,3,...}
* Nhân xét:
- Để thấy được thành tựu của nhà toán học người Đức này, chúng tôi xin trình bày
đoạn trích" trong Từ điển Bách Khoa Toán học như sau: "Ông đã định nghĩa khái niệm
tương đương của các tập hợp. Thêm nữa, số đồ vật cấu thành một tập hợp cho sẵn - được
xác định là chung cho tập hợp cho sẵn và mọi tập hợp đồ vật tuông đương với nó, không
phụ thuộc gì đặc trung nội dung của những đồ vật này. Định nghĩa này đã phản ánh thực
chất của số tự nhiên là kết quả đếm các đồ vật, cấu tạo nên tập hợp đã cho. Thật vậy, mọi
giai đoạn lịch sử, việc đếm bao hàm sự đối chiếu, từng cái một, các đồ vật cần đếm với các
đồ vật làm thành tập hợp "chuẩn " (ở giai đoạn lịch sử sơ khai, đó là các ngón tay trên bàn
tay, các vật khắc trên thanh gỗ,...; ở giai đoạn hiện đại, đó là các từ ngữ hay kí hiệu biểu
diễn số)" [18, tr.27]. Qua đó, ta rút ra được một số điểm cần lưu ý như sau:
+ Nghĩa của các số tự nhiên được đề cập tường minh: "kết quả của phép đếm", "biểu
thị lớp các tập hợp tương đương", "biểu thị tương ứng 1-1 giữa các tập hợp".
+ Sự tồn tại của hai kiến thức phép đếm: phép đếm - gắn liền với số phần tử của tập
hợp và phép đếm - sự thiết lập tương ứng 1-1.
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi19 of 138.
19
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi20 of 138.
+ Cũng giống như Plato đã nhận định rằng số tự nhiên không phụ thuộc vào nội dung
của các đồ vật. Định nghĩa như trên của Cantor được xem như là một xuất phát điểm để mở
rộng khái niệm đặc trưng số lượng của các tập hợp vô hạn.
- Xét về lịch sử, Cantor là người có công trong việc tiếp cận số tự nhiên theo đặc trưng
bản số. Một số khái niệm toán học trong lý thuyết tập hợp có liên quan đến khái niệm số tự
nhiên là: hai tập hợp tương đương, bản số, tương ứng 1-1.
❖Cách tiếp cận "thứ tự' của Dedekỉnd (1831 -1916)
Ngày nay, Richard Dedekind được nhớ như là người quan trọng nhất trong việc đưa ra
lá cắt Dedekind - một phương pháp được chấp nhận rộng rãi để định nghĩa khái niệm số
thực. Tuy nhiên, chúng ta cũng cần quan tâm đến Dedekind bởi vì ông là nhà toán học đầu
tiên đề nghị một lý thuyết quan hệ hoàn chỉnh về số. Lý thuyết được trình bày trong "Was
sind und was sollen die zahlen" (Bản chất và ý nghĩa của số).
Bởi vì, số thứ tự là các số hạng chung của các cấp số. Điều đó dẫn Dedekind (1887)
đồng nhất số tự nhiên với số thứ tự. "Những phần tử này được gọi là số tự nhiên hay số
thứ tự hay đơn giản là số". Nguyên nhân số chỉ phụ thuộc duy nhất vào các tính chất thứ tự
của số tự nhiên dẫn ông đến kết luận rằng số thứ tự cơ bản hơn bản số. Đây là một điều
quan trọng về lý thuyết của Dedekind. Ông đề nghị rằng các số tự nhiên là gì đi nữa, trước
tiên chúng phải là một cấp số.
❖Nhận xét:
Điểm mấu chốt trong lý thuyết của Dedekind là: đồng nhất số tự nhiên với số thứ tự.
Khái niệm số tự nhiên xuất hiện gắn liền với số thứ tự và cấp số. Do đó, ông chỉ tiếp cận số
tự nhiên trên đặc trưng tự số (tính sắp thứ tốt của dãy các số tự nhiên) của nó mà bỏ qua
hẵn đặc trưng bản số. Với cách tiếp cận của Dedekind, số tự nhiên sẽ lấy nghĩa "chỉ vị trí
của số hạng trong một cấp số".
❖Cách tiếp cận "tiên đề" của Peano (1858 -1932)
Mặc dù, nói chung các lý thuyết của Dedekind và Peano là không khác nhau, nhưng
cần chỉ ra rằng lý thuyết của Peano được xem xét rộng rãi hơn. Lý thuyết của Peano xuất
hiện đầu tiên vào năm 1899 trong quyển "Formulaire de mathématiques". Lý thuyết của
Peano có 3 khái niệm cơ bản và 5 tiên đề sử dụng 3 khái niệm trên. Các khái niệm không
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi20 of 138.
20
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi21 of 138.
định nghĩa của Peano là "1", "số tự nhiên", "số kề sau". Các tiên đề của Peano có thể phát
biểu như sau:
1)1 là số tự nhiên.
2)Nêu X là số tự nhiên thì số kê sau của X cũng là số tự nhiên.
3)Các số tự nhiên khác nhau có các số kê sau khác nhau.
4)1 không là số kề sau của bất kỳ số tự nhiên nào.
5)Nếu 1 và số kề sau của mỗi số tự nhiên có tính chất p, mọi số tự nhiên đều có tính
chất P.
* Nhận xét:
- Cách tiếp cận số tự nhiên của Peano theo phương pháp tiên đề. Ông đánh dấu bước
ngoặt thứ hai sau Dedekind về cách tiếp cận số tự nhiên theo quan điểm thứ tự. Do đó, số tự
nhiên cũng lấy nghĩa như cách tiếp cận của Dedekind.
- Theo phương pháp tiên đề như trên, các số tự nhiên có thể được định nghĩa dựa vào
số liền trước nó. Ở đây, số 1 đóng vai trò khái niệm cơ bản nên không được định nghĩa, số 0
không được Peano chọn làm khái niệm cơ bản trong các hệ tiên đề ông đưa ra. Do đó, các
số tự nhiên (ngoại trừ số 0) có thể được tiếp cận theo tiến trình sau:
❖ Cách tiếp cận "lớp" của Frege (1848 -1925) và Russell (1872 -1969)
Xét về lịch sử, bản dịch của Frege có được sự ưu tiên hơn của Russell. Bản dịch này
xuất hiện trong quyển "Die grundlagen der Arirhmetik" (Nen tảng của số học). Có một số
điểm khác nhau giữa lý thuyết của Frege và Russell. Frege thích định nghĩa lớp dựa vào nội
hàm của nó. Tuy nhiên, Russell làm theo định nghĩa thông thường hơn, đó là lớp liên quan
đến hàm mệnh đề một ẩn. Định nghĩa này làm cho lớp đồng nghĩa với ngoại diên của nó.
Ngoài ra, Frege sử dụng một định nghĩa thuộc về tập hợp ∈ hơi mơ hồ hơn định nghĩa như
là một loại hàm mệnh đề hai ẩn nào đó. Cả hai bản dịch đồng ý trên 3 điểm chính: Đầu tiên,
quan điểm của số tự nhiên xuất phát từ quan điểm nhiều bằng nhau hơn là quan điểm thứ tự.
Thứ hai, số tự nhiên đồng nhất với bản số. Thứ ba, mỗi số tự nhiên được xem như là một
loại lớp nào đó.
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi21 of 138.
21
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi22 of 138.
Russell bắt đầu phát triển lý thuyết của mình bằng sự phê bình định nghĩa về số được
đề cập trước đó bởi phương pháp tiền đề của Peano. Theo lý thuyết này, số tự nhiên được
định nghĩa như một cấp số cộng đặc biệt bắt đầu bởi 1 và các số sau có được từ việc cộng
thêm 1 vào số liền trước nó. Cách tiếp cận định nghĩa này được gọi là "triết học". Russell
không chấp nhận định nghĩa này vì nó gây ra "sự khác nhau khó chịu" giữa 1 và các số hạng
khác của cấp số. Bằng cách thông qua cách tiếp cận định nghĩa "toán học", Russell tuyên bố
rằng có thể định nghĩa 1 theo cách các số còn lại. Để loại ra sự khác biệt giữa 1 và các số
khác, chúng ta có thể xem tính chất của số như là tính chất của các lớp, đặc biệt, chúng ta
xem dãy các số tự nhiên như là các bản số. Do đó, số tự nhiên sẽ liên hệ đến số phần tử mà
lớp đó chứa. Thật vậy, để định nghĩa số tự nhiên, trước tiên phải định nghĩa bản số. Bước
đầu tiên trong định nghĩa là đưa ra câu hỏi "Hai tập hợp có cùng số phần tử lấy nghĩa gì?".
Russell đưa ra câu trả lời cho câu hỏi này dựa vào quan hệ tương ứng: "Hai tập hợp có
cùng số phần tử khi các số hạng của chúng có tương quan 1-1 để bất kỳ số hạng của tập
hợp này sẽ tương ứng một và chỉ một số hạng của tập hợp kia." (Russell - 1903). Sau đó,
Russell (1919) đưa ra định nghĩa ngắn gọn như sau: "Số của một lớp là lớp tất cả các tập
hợp tương đương". Với định nghĩa này, ta có thể hiểu như sau: A = {a,b,c,d}; B = {1,2,3,4};
c = { xanh, đỏ, tím, vàng}; D = {gà, vịt, ngỗng, ngang},... 4 = {A, B, c, D,...}; 4 chính là lớp
các tập hợp có 4 phần tử.
* Nhận xét:
Frege và Russell là hai nhà toán học đánh dấu bước tiếp cận "lớp" cho đối tượng số tự
nhiên. Khi đó, số tự nhiên lấy nghĩa "biểu thị lớp các tập hợp tương đương". Russell cũng
như Frege có cách tiếp cận liên quan đến đặc trưng bản số của số tự nhiên. Khi đó, số tự
nhiên còn lấy nghĩa "chỉ số phân tử của tập hợp".
❖Cách tiếp cận số tự nhiên của Jean Piaiget
Cách tiếp cận của ông dựa trên nên tảng logic. Luận điểm chính của ông là kết hợp cả
hai quan điểm về số: quan hệ thứ tự và lớp. Ông tranh luận: thật là không chính xác nêu xây
dựng số tự nhiên chỉ dựa vào một trong hai số thứ tự hay bản số. Thay vì vậy, số tự nhiên có
thể đồng nhất cả hai: thứ tự và bản số.
Một số điều rút ra từ quan điểm của Piaget. Đầu tiên, ông giả định Russell đúng khi
ông cho số tự nhiên đồng nhất với bản số. Có các nguyên nhân để nghi ngờ rằng sự kết nối
giữa số và tính chất cùng số lượng của các lớp riêng biệt như lý thuyết của Frege - Russell.
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi22 of 138.
22
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi23 of 138.
Piaget không ủng hộ các tranh luận này. Thứ hai, mặc dù khái niệm số được suy ra từ khái
niệm số giữa các lớp, nhưng điều đó không phải là tất cả những gì nó có liên quan. Thứ ba,
ngoài tương ứng ra, cũng nên giới thiệu thứ tự như là khái niệm cơ bản trong lý thuyết. Điều
này sẽ cho mỗi số hạng trong lớp bất kỳ là số thứ tự. Bằng cách phát hiện ra quy luật là: mỗi
cặp số hạng của các lớp khác nhau phải có cùng số thứ tự. Chúng ta chắc chắn rằng, với hai
lớp có cùng số phần tử đã cho, mỗi số hạng trong lớp này sẽ được ghép đôi một và chỉ một
số hạng trong lớp còn lại và ngược lại.
* Nhận xét:
Số tự nhiên do Piaget đề nghị dựa trên sự kết hợp của hai lý thuyết: thứ tự và bản số.
Ông đưa ra nó trên cơ sở tìm ra câu trả lời cho các phê bình của các nhà trực giác đối với lý
thuyết của Russell.
Nói chung, trong giai đoạn này số tự nhiên có các đặc trưng như sau:
- Tình huống xuất hiện để đưa đến một định nghĩa chính xác cho số tự nhiên là sự ảnh
hưởng của phương pháp tiên đề và nhu cầu xem xét lại và phê phán nền tảng của giải tích
toán học. Chính vì thế, cần phải xem xét cơ sở của khái niệm số tự nhiên.
- Sự xuất hiện của nhiều định nghĩa về số tự nhiên làm cho nó mang cơ chế của khái
niệm mathématique. Đặc trưng tự số và bản số của nó được đề cập một cách tường minh.
Phạm vi hoạt động chủ yếu của khái niệm số tự nhiên trong giai đoạn này là: số học, lý
thuyết tập hợp, tâm lý,..
- Một số nghĩa của số tự nhiên được trình bày một cách rõ ràng. Chẳng hạn, các nghĩa
mà số tự nhiên có thể lấy như sau: "chỉ vị trí của số hạng trong một cặp số", "chỉ số phần tử
của tập hợp", "biểu thị tương ứng 1-1 giữa các tập hợp", "biểu thị lớp các tập hợp tương
đương".
1.3. Một số kết luận
Phân tích, tổng họp các kết quả nghiên cứu về lịch sử hình thành và phát triển của khái
niệm số tự nhiên mang lại cái nhìn tổng quát về quá trình nảy sinh, phát triển cũng như một
số đặc trưng khoa học luận của đối tượng này.
1.3.1. Các giai đoạn nảy sinh và phát triển
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi23 of 138.
23
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi24 of 138.
Cũng giống như các khái niệm toán học khác, lịch sử hình thành khái niệm số tự nhiên
trải qua rất dài và nảy sinh gắn liền với các tình huống thực tế. Quá trình này có thể được
phân chia thành 3 giai đoạn tương ứng với 3 cơ chế hoạt động của nó.
a) Giai đoạn 1:
Trong giai đoạn này, khái niệm số tự nhiên lấy cơ chế của một khái niệm
protomathémtique. Nó xuất hiện như là một công cụ ngầm ẩn để giải quyết các bài toán:
đếm các vật thể (con thú săn được, bao nhiều quân địch,...), kinh tế thương gia, số học, đại
số, hình học,...Phép đếm là khái niệm gắn liền với việc hình thành các số tự nhiên ban đầu ở
giai đoạn này. Khi đó, số tự nhiên lấy một số nghĩa như sau: "kết quả của phép đếm", "chỉ
số phân tử của tập hợp" một cách tường minh, còn nghĩa "biểu thị tương ứng 1-1 giữa các
tập hợp" một cách ngầm ẩn.
b) Giai đoạn 2:
Số tự nhiên lấy cơ chế của khái niệm paramathématique. Nó được dùng như một công
cụ nhưng không được định nghĩa. Các nhà toán học Ấn Độ bổ sung số 0 vào dãy các số tự
nhiên.
c) Giai đoạn 3:
Khái niệm số tự nhiên được định nghĩa bằng phương pháp tiên đề trong tác phẩm
"Formulaire de mathématiques" của Peano năm 1899. Bên cạnh đó, nó cũng được Frege và
Russell định nghĩa thông qua khái niệm lớp. Khi đó, nó lấy cơ chế của một khái niệm
mathématique. Số tự nhiên được định nghĩa và là đối tượng nghiên cứu của các nhà toán
học, cũng như là công cụ tường minh giải quyết các bài toán trong nhiều lĩnh vực toán,
trong đó có lý thuyết tập hợp. Số tự nhiên lấy hết các nghĩa vốn có của nó như sau: "chỉ vị
trí của số hạng trong một cấp số ", "chỉ số phần tử của tập hợp", "biểu thị tương ứng 1-1
giữa các tập hợp", "biểu thị lớp các tập hợp tương đương ".
1.3.2. Phạm vi tác động của khái niệm số tự nhiên và các bài toán có liên quan
a) Phạm vi tác động của khái niệm số tự nhiên
Khái niệm số tự nhiên xuất hiện đầu tiên ngầm ẩn dưới dạng bài toán xác định số con
thú săn được, số quân địch,..., sau đó, nó được dùng như một công cụ để giải quyết các bài
toán trong số học, đại số, hình học, số luận, lý thuyết tập hợp,...Một số lĩnh vực khác mà số
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi24 of 138.
24
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi25 of 138.
tự nhiên cũng xuất hiện như một công cụ đó là: kinh tế thương gia, vật lý, thiên văn, thần
học, kinh thánh, thơ ca,...
b) Các bài toán có liên quan
- Bài toán xác định số con thú săn được, số quân địch,...
- So sánh sự nhiều hơn, ít hơn về số phần tử của hai tập họp.
- Các bài toán về chia ruộng đất, xây dựng kim tự tháp,...
- Bài toán liên quan đến kinh tế thương gia.
- Các bài toán liên quan đến số học, đại số , hình học và lý thuyết tập hợp
- Các bài toán ứng dụng trong lĩnh vực khác: thần học, kinh thánh, thơ ca,...
1.3.3. Các đối tượng có liên quan
Khái niệm đầu tiên có liên quan mật thiết đến khái niệm số tự nhiên là phép đếm. Số
tự nhiên ban đầu được hình thành thông qua việc đếm các vật thể. Những khái niệm khác có
vai trò quan trọng lịch sử hình thành khái niệm số tự nhiên: số hạng đầu tiên, số hạng cuối
cùng, cấp số hữu hạn, cấp số vô hạn đơn giản, cấp số cộng, công sai, số kề sau,...được sử
dụng trong cách tiếp cận quan hệ của Dedekind, Peano.
Một số khái niệm khác có vị trí quan trọng trong cách tiếp cận số tự nhiên của Cantor,
Frege và Russell, Piaget là: hai tập hợp tương đương, bản số, lớp, tương ứng 1-1,... Chúng
được xem như là công cụ để hoàn thiện lý thuyết lớp về số tự nhiên.
1.3.4. Các cách tiếp cận khái niệm số tự nhiên
a) Cách tiếp cận dựa trên đo lường
Trong cách tiếp cận dựa trên đo lường, số tự nhiên có liên quan rát nhiều đến số lượng
các vật thể của một toàn thể và số các đơn vị đo lường. Người Hy Lạp xem số như là đo
lường mọi thứ. Họ đồng nhất đo lường với đếm. Khi đó, số tự nhiên lấy nghĩa như là "kết
quả của phép đếm".
b) Cách tiếp cận quan hệ thứ tự
Cách tiếp cận thứ tự có ít nhất từ thời Hy Lạp, nó tồn tại ngầm ẩn trong các tác phẩm
của các nhà toán học. Một phần tác phẩm Elements của Euclid (được viết trong suốt thế kỷ
thứ III TCN) giả định trước một quan điểm quan hệ về số. Cũng giống như vậy, các nhà triết
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi25 of 138.
25
