DE HSG Lop9 - Co DAP AN

Đ1
đề thi học sinh giỏi lớp 9
( Thời gian 150 phút )
Bài 1 : Cho a,b,c là các số dơng . Chứng minh :

2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
+ +
+ +
+ + +
Bài 2 : Cho các số x , y không âm thoả mãn x +y = 1. Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của :

1 1
x y
P
y x
= +
+ +
Bài 3 : Cho biểu thức :
2 2
2 2
2 2
2 2
x x x x x x
A
x x x x x x
+
=
+

a. Tìm TXĐ và rút gọn biểu thức A
b. Tìm các giá trị của x để A < 2
Bài 4 :
Cho đờng tròn (O) Nội tiếp tam giác đều ABC . Một tiếp tuến của đờng tròn cắt các cạnh
AB và AC theo thứ tự ở M và N.
a. Tính diện tích tam giác AMN biết BC = 8cm ; MN = 3cm.
b. Chứng minh rằng : MN
2
= AM
2
+ AN
2
- MN. AN
c. Chứng minh
1
AM AN
MB NC
+ =
Bài 5 : Giải phơng trình :
( )
2
2
2 1 2 1x x+ =
.
H1
Hớng dẫn chấm
đề thi học sinh giỏi lớp 9
Bài 1 : ( 3 điểm )
Vì a,b,c là các số dơng . áp dụng bất đẳng thức Cô -si ta có :
2 2

2
2 . 2.
4 4 2
4
a b c a b c a
a
b c b c
a b c
a
b c
+ +
+ = =
+ +
+

+
( 1 điểm )
Tơng tự :
2
2
4
4
b a c
b
c a
c a b
c
a b
+

+
+

+
( 1 điểm )
Cộng từng vế 3 đẳng thức ta đợc :
2 2 2
( )
2 2
a b c a b c a b c
a b c
b c c a a b
+ + + +
+ + + + =
+ + +
(1 điểm )
Bài 2 : ( 3 điểm )
( )
2
2 2 2 2
2 1
1 2 2
.
1 2 2 2
x y xy
x x y y x y xy
A
xy x y xy xy xy
+ +
+ + + + +

= = = =
+ + + + + +
Ta có
1 1
2 2 4
x y
xy xy
+
=
(1 điểm )
Đặt xy = t thì
1 2 2 6
0 ; 2
4 2 2
t
t A
t t

= = +
+ +
A nhỏ nhất
6
2t

+
nhỏ nhất
6
1
a
M

a
+
=
+

t+2 lớn nhất

t lớn nhất


1
4
t =
1
2
x y = =
. Khi đó Min
2
.
3
A =
(1 điểm )
A lớn nhất
6
2t

+
lớn nhất

t+2 nhỏ nhất

t nhỏ nhất

t = 0
0, 1
1, 0
x y
x y
= =



= =

Khi đó Max A = 1 (1 điểm )
Bài 3 : ( 6 điểm )
a. TXĐ :
2
0
x
x



<

(1 điểm )
+ Kết quả rút gọn :
2
2 2A x x=

(3 điểm )
b. Giải A< 2 ta đợc
1 2 1 2x < < +
Kết hợp với TXĐ suy ra các gioá trị phải tìm của x là
:
1 2 0; 2 1 2x x < < < +
(2 điểm )
Bài 4 : ( 8 điểm )
Gọi r là bán kính của (O) ; D và E là tiếp điểm trên cạnh
AB và AC.
Đặt AB = AC = BC = a; AM =x ; AN = y ; MN = z
a. (3 điểm )Tính
4 3
3
r =
(1 điểm )
Lần lợt tính S
ADOE
; S
MON

Và chú ý S
AMN
= S
ADOE
- 2.S
MON
=
( )
2

4 3
3
cm
(2 điểm )

r
r
r
D
M
H
N
E
O
B
C
A
b. (3 điểm )Kẻ NH vuông góc với AB . Ta có
3
; ;
2 2 2
y y y
AH NH HM x= = =

Theo định lý Py - Ta - go ta có :
MN
2
= NH
2
+ HM

2
=
2
2 2
3
2 2
y y
x x y xy


+ = +
ữ
ữ
ữ


c. (2 điểm ) Dễ thấy x + y +z = 2 AD = a . Hệ thức phải chứng minh tơng đơng với
1 1
x y x y
a x a y y z x z
+ = + =
+ +


x(x+z) + y ( y + z ) = ( x+ z )( y+ z )


x
2
+ xz + y

2
+ yz = xy + xz + yz + z
2


x
2
+ y
2
- xy = z
2

Đẳng thức này đã đợc chứng minh ở câu b.
Bài 5 : ( 2 điểm )
Đặt y = 1 - 2x
2


y + 2x
2
= 1 ( y

1 )
Ta có hệ phơng trình:
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2

2 2
2 1 1
2 1 1
2 0
1 2 2 0
1 2
2
x y a
y x b
y x y x
y x
y x y x
x
y

+ =


+ =


=
=


=


=

* Với y = x ; y

1 ( * ), ta có :
(1b)

2x
2
+x -1 = 0

x = 1 ; x = 1/2 thoả mãn (*)
- Với
1 2 1
;
2 2
x
y x

=
( ** ) ta có :
(1b)
2
1 5
4 2 1 0
4
x x x

= =
Thoả mãn (**)
Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm .
..

Ngời ra đề
Nguyễn Mạnh Thảo
Ngời thẩm định
Bùi Thị Tình
Hiệu Trởng
Nguyễn Xuân Hoàng