Sáng Kiến kinh nghiệm phương trình đường thẳng lớp 10

SỞ GD VÀ ĐT TUYÊN QUANG
TRƢỜNG THPT ATK TÂN TRÀO

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

---------------------------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Một số bài toán phƣơng trình đƣờng thẳng trong chƣơng trình
hình học 10, năm học 2015 - 2016
1. Sơ lƣợc về lý lịch
- Họ và tên: Phạm Ngọc Chiến
- Sinh ngày: 19/12/1983 .
- Giới tính: Nam.
- Dân tộc: Kinh.
- Quê quán: Xã Yên Nghĩa, huyện Ý Yên, tỉnh Nam Định.
- Chỗ ở hiện nay: TDP Tân Phúc , thị trấn Sơn Dương, huyện Sơn Dương,
tỉnh Tuyên Quang.
- Đơn vị công tác: Tổ Toán – Tin, trường THPT ATK Tân Trào.
- Nhiệm vụ được phân công: Giảng dạy bộ môn Toán tại các lớp 10A2, 12C1,
12C2, 12C3.
2. Mô tả ý tƣởng
a. Thực tế, nguyên nhân
Phương trình đường thẳng là nội dung kiến thức quan trọng mà học sinh được
học trong chương trình hình học lớp 10, tuy nhiên việc khái quát kiến thức và phân
loại ra các kiểu bài tập có tính đặc trưng cơ bản đối với học sinh còn gặp nhiều khó
khăn. Là một giáo viên trực tiếp tham gia giảng dạy chương trình Toán 10 nhiều năm
tôi xin đưa ra một số kiểu bài tập tiêu biểu thường gặp về phương trình đường thẳng
trong mặt phẳng nhằm giúp trang bị cho học sinh một cơ sở vững chắc các kiến thức

về đường thẳng trong mặt phẳng nói riêng và các kiến thức về phương pháp tọa độ
trong mặt phẳng nói chung, giúp học sinh tiếp thu các kiến thức có nội dung tương tự
về phương pháp tọa độ trong không gian ở chương trình hình học 12 sau này và cũng
là nội dung thường xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia sau này.
b. Ý tƣởng
Tổng hợp các kiến thức cơ bản về phương pháp tọa độ trong không gian và


phương trình đường thẳng.
Phân loại được các dạng bài tập thường gặp.
Giúp học sinh củng cố nắm chắc các kiến thức, thực hiện giải tốt các bài tập
liên quan trong chương trình phổ thông và bước đầu tiếp cận với những bài toán nâng
cao trong đề các đề thi.
3. Nội dung công việc
- Nghiên cứu các bài tập về phương trình đường thẳng trong chương trình và
trong cấu trúc đề thi các năm.
- Tìm hiểu các tài liệu viết về phương trình phương pháp tọa độ trong mặt
phẳng và cụ thể về phương trình đường thẳng.
- Viết nội dung chuyên đề.
- Triển khai thực hiện đối với học sinh trong khối lớp 10 trường THPT ATK
Tân Trào.
4. Triển khai thực hiện
- Chuyên đề này đã được triển khai thực hiện theo theo các bươc sau:
Bước 1. Nghiên cứu chương trình, các bài giải phương trình đường thẳng trong
mặt phẳng, một số tài liêu tham khảo và khả năng của học sinh về vấn đề này.
Bước 2. Xây dựng ý tưởng và viết chuyên đề.
Bước 3. Áp dụng thực hiện chuyên đề.
- Thời gian thực hiện: Từ tháng 11/2015 đến tháng 5/2016.
Bước 4. Phối hợp để thực hiện chuyên đề: Trong qua trình thực hiện chuyên đề này đã
có sự chỉ đạo của Ban Giám hiệu trường THPT ATK Tân Trào, Tổ Toán – Tin và sự phối

hợp của các đồng chí giáo viên giảng dạy bộ môn toán cùng các em học sinh.
MỘT SỐ BÀI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG TRONG CHƢƠNG
TRÌNH HÌNH HỌC 10
I. Kiến thức cơ bản
1. Vectơ pháp tuyến của đƣờng thẳng
⃗
- Vectơ pháp tuyến ⃗ của đường thẳng là
vectơ khác vectơ ⃗ và có giá vuông góc
với đường thẳng đó.


2. Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng
- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng có phương trình tổng quát dạng:
với
- Đường thẳng đi qua điểm
, có vectơ pháp tuyến ⃗
, có phương trình
là:
- Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn: Đi qua hai điểm

là:

3. Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng
- Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
và
TH 1.
TH 2.
TH 3.

{

vô nghiệm.

{

vô số nghiệm.
{

có một nghiệm.

4. Vectơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng
- Vectơ chỉ phương ⃗ của đường thẳng là
vectơ khác vectơ ⃗ và có giá song song
hoặc trùng với đường thẳng đó.
5. Phƣơng trình tham số, chính tắc của đƣờng thẳng
- Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm
⃗
là:
{

⃗

, có vectơ chỉ phương

với t là tham số.

- Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm
phương ⃗
là:

, có vectơ chỉ


II. Phân loại các dạng bài tập
1. Dạng 1. Lập phƣơng trình đƣờng thẳng
a. Dạng phƣơng trình tổng quát
* Cách 1
- Tìm một điểm
thuộc đường thẳng.
- Tìm một vectơ pháp tuyến ⃗
của đường thẳng.
- Đường thẳng đi qua điểm
, có vectơ pháp tuyến ⃗
là:

, có phương trình

* Cách 2
- Tìm một vectơ pháp tuyến ⃗
của đường thẳng.
- Giả sử đường thẳng đã cho có dạng
- Vì đường thẳng đi qua điểm
nên thế tọa độ vào phương trình ta tìm được
C.
Đặc biệt:
- Giả sử ta có phương trình đường thẳng
- Nếu
thì d’ có phương trình
.
- Nếu

thì d’ có phương trình
.
b. Dạng phƣơng trình tham số, chính tắc
- Tìm một điểm
thuộc đường thẳng.
- Tìm một vectơ chỉ phương ⃗
của đường thẳng.
- Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm
⃗
là:
{

, có vectơ chỉ phương

với t là tham số.

- Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm
phương ⃗
là:

, có vectơ chỉ

Đặc biệt:
- Đường thẳng đi qua hai điểm
thì có vectơ chỉ phương là
⃗⃗⃗⃗⃗
.
- Giả sử ta có phương trình đường thẳng
.
- Nếu

thì d’ có vectơ chỉ phương là ⃗
hoặc ⃗
.
- Nếu
thì d’ có vectơ chỉ phương là ⃗
.
- Đường thẳng có hệ số góc k thì có vectơ chỉ phương là ⃗
.


Chú ý:
- Nếu đường thẳng cắt hai trục tọa độ thì dùng phương trình đoạn chắn.
- Nếu đường thẳng có vectơ pháp tuyên ⃗
thì có vectơ chỉ phương là ⃗
hoặc ⃗
.
Ví dụ 1. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng
a) đi qua
và có vtpt ⃗
b)

đi qua

c)

đi qua

d)

đi qua hai điểm

e)

đi qua

f)

đi qua

trong các trường hợp sau :

và có vtcp
và có hệ số góc
,

và có vtpt ⃗
và có vtcp ⃗

Lời giải.
a) Phương trình tổng quát của đường thẳng

b) Đường thẳng

là

nên có vtpt là ⃗

có vtcp

Phương trình tổng quát của đường thẳng

là

Đáp số:
c)

d)

e)

f)

Ví dụ 2. Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc (nếu có) của đường
thẳng trong mỗi trường hợp sau:
và có vectơ chỉ phương ⃗

a)

đi qua

b)

đi qua gốc tọa độ và vtcp ⃗

c)
;

đi qua

d)

đi qua hai điểm

e)

đi qua

và vuông góc với đường thẳng có pt tổng quát là:
và
và có vectơ pháp tuyến ⃗


f)

đi qua

và có hệ số góc

.

Lời giải.
a) Phương trình tham số của đường thẳng

là:

{
Phương trình chính tắc của đường thẳng

b) Phương trình tham số của đường thẳng

là:

là:

{
Phương trình chính tắc của đường thẳng

là:

Đáp số:
 x  2t
x y 3
; ptct: 
2
5
 y  3 5t

c) ptts : 

 x  1 3t
x 1 y 5
; ptct:

3
4
 y  5  4t

d) ptts : 

 x  5  3t

x  5  t
x 5 y2
x 5 y 1
; ptct:

; ptct:

f) ptts : 
3
4
1
3
 y  2  4t
 y  1  3t

e) ptts : 

2. Dạng 2. Vị trí tƣơng đối, tƣơng giao của hai đƣờng thẳng
- Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
và
TH 1.
TH 2.
TH 3.

{

vô nghiệm.

{

vô số nghiệm.
{

có một nghiệm.

- Để tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng ta giải hệ phương trình trên


- Hai đường thẳng vuông góc khi tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến hoặc hai
vectơ chỉ phương bằng 0.
- Ba đường thẳng
đồng quy khi tọa độ giao điểm của hai đường thẳng
thỏa mãn phương trình đường thẳng
Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau :
a)

và

b)

và

c)

và

2

d)

2

và

Lời giải.
a) Hệ phương trình {

{

Vậy hai đường thẳng cắt nhau
b) Hệ phương trình {

hệ vô nghiệm

Vậy hai đường thẳng song song với nhau

Ví dụ 2. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng sau vuông góc
1 :

và 2 :

Lời giải.
Đường thẳng

có vtpt là ⃗

Đường thẳng

có vtpt là ⃗

Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi ⃗

⃗

3. Dạng 3. Tìm hình chiếu H của điểm A trên đƣờng thẳng d
- Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua A và vuông góc với d.
- Hình chiếu H là giao điểm của d và d’.

2


4. Dạng 4. Tìm điểm đối xứng A’ của A qua đƣờng thẳng d
- Tìm H là hình chiếu của A trên d
- A’ đối xưng với A qua d khi và chỉ khi H là trung điểm của AA’
{

Ví dụ 1. Cho đường thẳng

và điểm A

a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của
b) Tìm tọa độ điểm

đối xứng với

xuống

qua

Lời giải.

⃗

a) Gọi là đường thẳng đi qua và vuông góc với , khi đó
, phương trình tổng quát của là:

Gọi là hình chiếu vuông góc của
và có tọa độ là nghiệm hệ phương trình :

{

{

đối xứng với

b) Vì

trên , khi đó

là giao điểm của

(

qua đường thẳng

có vtpt là

và

)

nên

là trung điểm của

, ta có

Vậy

(

)

5. Dạng 5. Tìm đƣờng thẳng d’ đối xứng với đƣờng thẳng d qua điểm I cho
trƣớc
- Lấy một điểm cụ thể A thuộc d
- Tìm điểm B đối xứng với A qua I thì B thuộc d’
- Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua B và nhận vectơ pháp tuyến của d
làm vectơ pháp tuyến
6. Dạng 6. Tìm đƣờng thẳng d’ đối xứng với đƣờng thẳng d qua đƣờng thẳng
cho trƣớc
* Trƣờng hợp 1. d cắt


- Tìm giao điểm I của d và
- Lấy điểm A thuộc d rồi tìm điểm đối xứng A’ của A qua I
- Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua I và A’
* Trƣờng hợp 2. d song song
- Lấy điểm A thuộc d rồi tìm điểm đối xứng A’ của A qua
- Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua A’ và nhận vectơ pháp tuyến của d
làm vectơ pháp tuyến

Ví dụ 1. Cho đường thẳng
a) Tìm ảnh d’ đối xứng với d qua điểm
b) Tìm ảnh d’ đối xứng với d qua đường thẳng
7. Dạng 7. Các yếu tố của tam giác ABC biết tọa độ ba đỉnh
- Phương trình cạnh BC là đường thẳng đi qua hai điểm B, C
- Phương trình đường cao AH là đi qua A và vuông góc với BC
- Phương trình đường trung tuyến AM là đi qua A và trung điểm M của BC
- Phương trình đường trung trực của BC là đi qua trung điểm của BC và
vuông góc với BC
8. Bài tập vận dụng
Bài 1. Trong mp
cho
a) Chứng minh tam giác
vuông cân tại . Tính diện tích tam giác
.
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng
; chính tắc của đường thẳng
; tổng quát của
.
c) Viết phương trình đường cao
của tam giác
.
d) Viết phương trình đường trung tuyến
của tam giác
.
e) Viết phương trình đường trung trực cạnh BC của tam giác
.
g) Viết phương trình đường thẳng đi qua và song song với
.
h) Viết phương trình đường thẳng đi qua và vuông góc

.
k) Gọi K là giao điểm giữa và trung trực cạnh
. Tìm tọa độ điểm .
Chứng minh
là hình bình hành.
l) Tìm tọa độ điểm thuộc
sao cho tam giác
vuông tại
m) Viết phương trình đường thẳng
. Tìm tọa độ giao điểm của
và trục
hoành.
Bài 2. Trong mặt phẳng

cho điểm

và hai đường thẳng:
x 1 y5

2
3

a) Viết phương trình đường thẳng
b) Viết phương trình đường thẳng
c) Viết phương trình đường thẳng
d) Viết phương trình đường thẳng

1 qua M và song song d1.
 2 qua M và song song d2.
 3 qua M và vuông góc d1.

 4 qua M và vuông góc d2.


Bài 3. Lập phương trình các cạnh của tam giác
lượt là:
Bài 4. Trong mặt phẳng

biết trung điểm của các cạnh lần

cho đường thẳng

đi qua điểm

a) Viết phương trình đường thẳng  qua A và vuông góc d.
b) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A xuống d.
c) Tìm điểm đối xứng với A qua d.
Bài 5. Trong mặt phẳng
cho hai đường thẳng
1 :
và  2 :
a) Tính góc tạo bởi 1 và  2 .
b) Tính khoảng cách từ
đến 1 và  2 .
c) Viết phương trình đường phân giác góc nhọn tạo bởi 1 và  2 .
Bài 6. Trong mặt phẳng Oxy cho
có cạnh
đường cao có phương trình:
phương trình hai cạnh còn lại và đường cao thứ ba của
Bài 7. Lập phương trình đường thẳng đi qua
và

.
Bài 8. Lập phương trình đường thẳng  đi qua
một góc
.
Bài 9. Lập phương trình đường thẳng
khoảng bằng √ .

đi qua

và hai
Lập
đồng thời cách đều hai điểm

) và tạo với đường thẳng

và cách điểm

một

Bài 10. Cho hình vuông đỉnh
và một đường chéo đặt trên đường thẳng
. Lập phương trình các cạnh và đường chéo thứ 2 của hình vuông.
5. Kết quả đạt đƣợc
Đề tài này được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy trong trường THPT
lớp 10 năm học 2015 - 2016. Trong quá trình học đề tài này, học sinh thực sự thấy tự
tin hơn khi gặp các bài toán về phương trình đường thẳng, tạo cho học sinh niềm đam
mê, yêu thích môn toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng
tạo các kiến thức đã học, tạo nền cho học sinh tự học, tự nghiên cứu.
Có khoảng 50% học sinh có thể tự giải được các bài toán về phương trình
đường thẳng nói riêng và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng nói chung từ cơ bản

trở lên, tăng so với trước 10%.


6. Khả năng tiếp tục phát huy, mở rộng sáng kiến đã thực hiện.
Một trong những cách để tạo sự chuyển biến tích cực trong công tác giảng dạy
đó là giáo viên viết các chuyên đề, sáng kiến kinh nghiệm phục vụ cho công tác giảng
dạy để viết thành sáng kiến kinh nghiệm nhằm nâng cao năng lực về chuyên môn, góp
phần chia sẻ cùng các đồng nghiệp các em học sinh những ý tưởng phục vụ cho việc
dạy và học được tốt hơn.
Bài toán nói chung rất đa dạng và phong phú. Mỗi bài toán lại có rất nhiều
cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học sẽ làm cho
học sinh phát triển tư duy sáng tạo. Chuyên đề này chỉ mang tính chất gợi mở cung
cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sự sáng tạo. Do đó học sinh cần có thêm
nhiều thời gian để sưu tầm các tài liệu tham khảo liên quan và rất mong sự đóng góp ý
kiến của các đồng chí, đồng nghiệp để sáng kiến này phát huy tốt hơn. Xin trân trọng cảm
ơn!

Minh Thanh, ngày 15 tháng 5 năm 2016
NGƯỜI VIẾT SÁNG KIẾN

Phạm Ngọc Chiến
XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƢỜNG
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
Minh Thanh, ngày … tháng … năm 2016
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

Thạch Văn Bắc