Sang kien kinh nghiem Một số bài toán phương trình đường thẳng trong chương trình hình học 10

SỞ GD VÀ ĐT TUYÊN QUANG
TRƯỜNG THPT ATK TÂN TRÀO

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

---------------------------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Một số bài toán phương trình đường thẳng trong chương trình hình học 10
Năm học 2013 - 2014
1. Sơ lược về lý lịch
- Họ và tên: Trần Thị Thu Hương
- Sinh ngày: 06/11/1982.
- Giới tính: Nữ.
- Dân tộc: Kinh.
- Quê quán: Xã Thạch Sơn, huyện Lâm Thao, tỉnh Phú Thọ
- Chỗ ở hiện nay: TND Tân Phúc , thị trấn Sơn Dương, huyện Sơn Dương, tỉnh
Tuyên Quang.
- Đơn vị công tác: Tổ Toán – Tin, trường THPT ATK Tân Trào.
- Nhiệm vụ được phân công: Giảng dạy bộ môn Toán tại các lớp 10A1, 10A4,
10A5, 10A6, 10A7.
2. Mô tả ý tưởng
a. Thực tế, nguyên nhân
Phương trình đường thẳng là nội dung kiến thức quan trọng học sinh được học
trong chương trình hình học lớp 10, tuy nhiên việc khái quát kiến thức và phân loại ra
các kiểu bài tập có tính đặc trưng cơ bản đối với học sinh còn gặp nhiều khó khăn. Là
một giáo viên trực tiếp tham gia giảng dạy chương trình Toán 10 nhiều năm tôi xin đưa
ra một số kiểu bài tập tiêu biểu thường gặp về phương trình đường thẳng trong mặt
phẳng nhằm giúp trang bị cho học sinh một cơ sở vững chắc các kiến thức về đường

thẳng trong mặt phẳng nói riêng và các kiến thức về phương pháp tọa độ trong mặt
phẳng nói chung, giúp học sinh tiếp thu các kiến thức có nội dung tương tự về phương
pháp tọa độ trong không gian ở chương trình hình học 12 sau này và cũng là nội dung
thường xuất hiện trong các kỳ thi Đại học, Cao đẳng.
b. Ý tưởng
Tổng hợp các kiến thức cơ bản về phương pháp tọa độ trong không gian và
phương trình đường thẳng.
Phân loại được các dạng bài tập thường gặp.
Giúp học sinh củng cố nắm chắc các kiến thức, thực hiện giải tốt các bài tập liên
quan trong chương trình phổ thông và bước đầu tiếp cận với những bài toán nâng cao
trong đề thi Đại học, Cao đẳng.
3. Nội dung công việc


- Nghiên cứu các bài tập về phương trình đường thẳng trong chương trình và trong cấu
trúc đề thi đại học các năm.
- Tìm hiểu các tài liệu viết về phương trình phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và cụ
thể về phương trình đường thẳng.
- Viết nội dung chuyên đề.
- Triển khai thực hiện đối với học sinh trong khối lớp 10 trường THPT ATK Tân Trào.
4. Triển khai thực hiện
- Chuyên đề này đã được triển khai thực hiện theo theo các bươc sau:
Bước 1. Nghiên cứu chương trình, các bài giải phương trình đường thẳng trong mặt
phẳng, một số tài liêu tham khảo và khả năng của học sinh về vấn đề này
Bước 2. Xây dựng ý tưởng và viết chuyên đề.
Bước 3. Áp dụng thực hiện chuyên đề.
- Thời gian thực hiện: Từ tháng 25/8/2013 đến tháng 10/5/2014.
Bước 4. Phối hợp để thực hiện chuyên đề: Trong qua trình thực hiện chuyên đề này đã có sự chỉ
đạo của Ban Giám hiệu trường THPT ATK Tân Trào, Tổ Toán – Tin và sự phối hợp của các đồng chí
giáo viên giảng dạy bộ môn toán, các em học sinh lớp 10A1, 10A4, 10A5.

NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ
I. Kiến thức cơ bản
- Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là
vectơ khác vectơ và có giá vuông góc với
đường thẳng đó.
- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng có phương trình tổng quát dạng:
với
- Đường thẳng đi qua điểm , có vectơ pháp tuyến , có phương trình là:
- Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn: Đi qua hai điểm là:
- Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
và
TH 1. vô nghiệm.
TH 2. vô số nghiệm.
TH 3. có một nghiệm.
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng là
vectơ khác vectơ và có giá song song hoặc


trùng với đường thẳng đó.
- Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm , có vectơ chỉ phương là:
với t là tham số.
- Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm , có vectơ chỉ phương là:
II. Phân loại các dạng bài tập
1. Dạng 1. Lập phương trình đường thẳng
a. Dạng phương trình tổng quát
* Cách 1
- Tìm một điểm thuộc đường thẳng.
- Tìm một vectơ pháp tuyến của đường thẳng.
- Đường thẳng đi qua điểm , có vectơ pháp tuyến , có phương trình là:

* Cách 2
- Tìm một vectơ pháp tuyến của đường thẳng.
- Giả sử đường thẳng đã cho có dạng
- Vì đường thẳng đi qua điểm nên thế tọa độ vào phương trình ta tìm được C.
Đặc biệt:
- Giả sử ta có phương trình đường thẳng
- Nếu thì d’ có phương trình .
- Nếu thì d’ có phương trình .
b. Dạng phương trình tham số, chính tắc
- Tìm một điểm thuộc đường thẳng.
- Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng.
- Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm , có vectơ chỉ phương là:
với t là tham số.
- Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm , có vectơ chỉ phương là:
Đặc biệt:
- Đường thẳng đi qua hai điểm thì có vectơ chỉ phương là .
- Giả sử ta có phương trình đường thẳng .
- Nếu thì d’ có vectơ chỉ phương là hoặc .
- Nếu thì d’ có vectơ chỉ phương là .
- Đường thẳng có hệ số góc k thì có vectơ chỉ phương là .
Chú ý:
- Nếu đường thẳng cắt hai trục tọa độ thì dùng phương trình đoạn chắn.
- Nếu đường thẳng có vectơ pháp tuyên thì có vectơ chỉ phương là hoặc .
Ví dụ 1. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng trong các trường hợp sau :
a) đi qua và có vtpt


b) đi qua và có vtcp
c) đi qua và có hệ số góc
d) đi qua hai điểm ,

e) đi qua và có vtpt
f) đi qua và có vtcp
Đáp số: a) 2x−y−2= 0 b) 3x−2y−12= 0
x+2y-11=0 f) 3x-4y-17=0

c) 3x+y+23=0

d) 2x+3y−7=0

e)

Ví dụ 2. Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng
trong mỗi trường hợp sau:
a) đi qua và có vectơ chỉ phương
b) đi qua góc tọa độ và vtcp
c) đi qua và vuông góc với đường thẳng có pt tổng quát là: ;
d) đi qua hai điểm và
e) đi qua và có vectơ pháp tuyến
f) đi qua và có hệ số góc .

Đáp số: a)

 x = 1 + 2t
x −1 y + 4
ptts : 
; ptct:
=
2
3
 y = −4 + 3t

c)

e)

b)

x = t
x
y
ptts : 
; ptct: =
1 −2
 y = −2t

 x = 2t
x y−3
ptts : 
; ptct: =
2
−5
 y = 3 − 5t
 x = 5 + 3t
x−5 y +2
ptts : 
; ptct:
=
3
4
 y = −2 + 4t

d)

f)

 x = 1 − 3t
x −1 y − 5
ptts : 
; ptct:
=
−3
4
 y = 5 + 4t
x = 5 + t
x − 5 y −1
ptts : 
; ptct:
=
1
3
 y = 1 + 3t

2. Dạng 2. Vị trí tương đối, tương giao của hai đường thẳng
- Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
và
TH 1. vô nghiệm.
TH 2. vô số nghiệm.
TH 3. có một nghiệm.

- Để tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng ta giải hệ phương trình trên
- Hai đường thẳng vuông góc khi tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến hoặc hai vectơ
chỉ phương bằng 0.
- Ba đường thẳng đồng quy khi tọa độ giao điểm của hai đường thẳng thỏa mãn
phương trình đường thẳng
Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau :
a) d1: 2x−5y+6=0 và

d2: −x+y-3=0

b) d1: −3x+2y-7=0 và

d2: 6x−4y−7=0

c) d1:

2

x+y−3=0 và

d2: 2x+

d) d1: (m−1)x+my+1=0 và

2

y−3

2

=0

d2: 2x+y−4=0

Ví dụ 2. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng sau vuông góc
∆1 : mx+y+q=0 và ∆2 : x−y+m=0
3. Dạng 3. Tìm hình chiếu H của điểm A trên đường thẳng d
- Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua A và vuông góc vơid d.
- Hình chiếu H là giao điểm của d và d’.
4. Dạng 4. Tìm điểm đối xứng A’ của A qua đường thẳng d
- Tìm H là hình chiếu của A trên d
- A’ đối xưng với A qua d khi và chỉ khi H là trung điểm của AA’
Ví dụ 1. Cho đường thẳng d: x−2y+4=0 và điểm A(4;1)
a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A xuống d.
b) Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua d
5. Dạng 5. Tìm đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm I cho trước
- Lấy một điểm cụ thể A thuộc d
- Tìm điểm B đối xứng với A qua I thì B thuộc d’
- Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua B và nhận vectơ pháp tuyến của d làm
vectơ pháp tuyến
6. Dạng 6. Tìm đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng cho
trước
* Trường hợp 1. d cắt
- Tìm giao điểm I của d và
- Lấy điểm A thuộc d rồi tìm điểm đối xứng A’ của A qua I
- Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua I và A’
* Trường hợp 2. d song song


- Lấy điểm A thuộc d rồi tìm điểm đối xứng A’ của A qua

- Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua A’ và nhận vectơ pháp tuyến của d làm
vectơ pháp tuyến
Ví dụ 1. Cho đường thẳng
a) Tìm ảnh d’ đối xứng với d qua điểm
b) Tìm ảnh d’ đối xứng với d qua đường thẳng
7. Dạng 7. Các yếu tố của tam giác ABC biết tọa độ ba đỉnh
- Phương trình cạnh BC là đường thẳng đi qua hai điểm B, C
- Phương trình đường cao AH là đi qua A và vuông góc với BC
- Phương trình đường trung tuyến AM là đi qua A và trung điểm M của BC
- Phương trình đường trung trực của BC là đi qua trung điểm của BC và vuông
góc với BC
8. Bài tập vận dụng
1. Trong mp 0xy cho A(2;4); B(6;2); C(4;-2).
a) Chứng minh tam giác ABC vuông cân tại B. Tính diện tích tam giác ABC.
b) Viết phương trình tham số của đt AB; chính tắc của đt AC; tổng quát của BC.
c) Viết phương trình đường cao BH của tam giác ABC.
d) Viết phương trình đường trung tuyến CM của tam giác ABC.
e) Viết phương trình đường trung trực cạnh BC của tam giác ABC.
g) Viết phương trình đường thẳng đi qua C và song song với AB.
h) Viết phương trình đường thẳng (h) đi qua A và vuông góc AC.
k) Gọi K là giao điểm giữa (h) và trung trực cạnh BC. Tìm tọa độ điểm K. Chứng minh
ABHK là hbh.
l) Tìm tọa độ điểm D thuộc Oy sao cho tam giác ACD vuông tại C.
m) Viết phương trình đường thẳng DC. Tìm tọa độ giao điểm của DC và trục hoành.
2.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(3; 5) và hai đường thẳng: d1: x – 2y + 1 = 0

a) Viết phương trình đường thẳng
b) Viết phương trình đường thẳng
c) Viết phương trình đường thẳng
d) Viết phương trình đường thẳng

∆1
∆2
∆3

∆4

d2:

x −1 y + 5
=
2
−3

qua M và song song d1.
qua M và song song d2.
qua M và vuông góc d1.
qua M và vuông góc d2.

3. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trung điểm của các cạnh lần lượt
là:
M(2;1); N(5;3); P(3;4).


4. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x – 2y + 3 = 0 đi qua điểm A(4;1).
∆

a) Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc d.
b) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A xuống d.
c) Tìm điểm đối xứng với A qua d.

5. Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng
a) Tính góc tạo bởi

∆1

và

∆2

.

b) Tính khoảng cách từ M(5;3) đến

∆1

và

∆2

∆1

: x + 2y – 6 = 0 và

.

c) Viết phương trình đường phân giác góc nhọn tạo bởi
6. Trong mặt phẳng Oxy cho
phương trình:

∆

∆1

và

∆2

∆2

: x – 3y + 9 = 0.

.

ABC có cạnh AB: 5x – 3y + 2 = 0 và hai đường cao có
AH: 4x – 3y + 1 = 0;
BI: 7x + 2y – 22 = 0.
∆

Lập phương trình hai cạnh còn lại và đường cao thứ ba của ABC.
7. Lập ptđt d đi qua M(2;5) đồng thời cách đều hai điểm P(6;2) và Q(5;4) .
8. Lập ptđt

∆

đi qua A(2;1) và tạo với đt d: 2x + 3y + 4 = 0 góc 450.

9. Lập pt đường thẳng d đi qua A(3 ;1) và cách điểm B(1 ;3) một khoảng bằng
10. Lập pt các cạnh của

2 2

.

∆

ABC biết B(-4 ;-5) và hai đường cao có pt : 5x + 3y – 4 = 0
3x + 8y + 13 = 0.
11. Hai cạnh của hbh có pt : x - 3y = 0 và 2x+5y+6=0 .Một đỉnh của hbh là C(4 ;-1)Viết
pt hai cạnh còn lại và đường chéo AC.
12. Lập pt các cạnh của
= 0 ;y – 1 = 0.
13. Cho đt

∆

:

ABC ,biết A(1 ;3) và hai đường trung tuyến có pt : x - 2y + 1

x = 2 + 2t
y=3+t

Tìm M nằm trên
∆

∆

∆

và cách điểm A(0 ;1) một khỏang bằng 5.

14. Cho ABC, M(-1 ;1) là trung điểm của một cạnh còn hai cạnh kia có pt: x+2y-2=0
và 2x+6y+3=0
Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác.


15. Cho hình vuông đỉnh A(-4 ;5)và một đường chéo đặt trên đt :7x-y+8=0. Lập pt các
cạnh và đường chéo thứ 2 của hình vuông.
16. Một hình bình hành có 2 cạnh nằm trên 2 đt : x + 3y – 6 = 0 ; 2x - 5y – 1 = 0. Tâm
I(3 ;5).
Viết pt hai cạnh còn lại của hình bình hành.
17. Trong mp 0xy cho 3 đt: d1: 3x + 4y – 6 = 0 ; d2: 4x + 3y – 1 = 0 ; d3: y = 0.
∩

∩

∩

a. Xác định tọa độ 3 đỉnh A,B,C biết: A= d1 d2 ; B= d2 d3 ;C= d1 d3.
b. Viết pt đường phân giác trong của các góc A,B.
c. Tìm tâm và bán kính của đường tròn nội tiếp
18. Tìm quỹ tích các điểm cách đt

∆

∆

ABC.

: 2x - 5y + 1 = 0 một troảng bằng 3.

19. Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai đt d1: 4x - 3y + 2 = 0
d2: y – 3 = 0.
20. Lập ptđt qua P(2 ;-1) sao cho đt đó cùng với 2 đt d1: 2x - 4y + 5 = 0 ; d2: 3x + 6y –
1 = 0 tạo ra một

∆

cân có đỉnh là giao điểm của d1 và d2.

∆

21. Cho ABC cân tại A biết AB : x + y + 1 = 0 và BC : 2x - 3y – 5 = 0.
Lập pt cạnh AC biết nó đi qua M(1 ;1).
∆

22. Cho ABC cân tại A(3 ;0) tìm tọa độ B và C biết B,C nằm trên đt d :3x + 4y + 1 =
0 và SABC = 18.
23. Cho

∆

ABC có B(2 ;-1). Đường cao đi qua A có pt : 3x - 4y + 27 = 0, đường phân

giác trong của gód C là : x + 2y – 5 = 0. Hãy tìm tọa độ các đỉnh của

∆

ABC .

∆

24. Viết pt các cạnh ABC biết tọa độ của chân ba đường cao kẻ từ các đỉnh A,B,C là
M(-1 ;-2), N(2 ;2), K(-1 ;2).
5. Kết quả đạt được
Đề tài này được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy trong trường THPT lớp
10 năm học 2013 - 2014. Trong quá trình học đề tài này, học sinh thực sự thấy tự tin khi
gặp các bài toán về phương trình đường thẳng, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích
môn toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến
thức đã học, tạo nền cho học sinh tự học, tự nghiên cứu.


Có khoảng 50% học sinh có thể tự giải được các bài toán về phương trình đường
thẳng nói riêng và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng nói chung từ cơ bản trở lên,
tăng so với trước 10%.
6. Khả năng tiếp tục phát huy, mở rộng sáng kiến đã thực hiện.
Một trong những cách để tạo sự chuyển biến tích cực trong công tác giảng dạy đó
là giáo viên viết các chuyên đề, sáng kiến kinh nghiệm phục vụ cho công tác giảng dạy để
viết thành sáng kiến kinh nghiệm nhằm nâng cao năng lực về chuyên môn, góp phần chia
sẻ cùng các đồng nghiệp các em học sinh những ý tưởng phục vụ cho việc dạy và học
được tốt hơn.
Bài toán nói chung rất đa dạng và phong phú. Mỗi bài toán lại có rất nhiều cách
giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học sẽ làm cho học
sinh phát triển tư duy sáng tạo. Chuyên đề này chỉ mang tính chất gợi mở cung cấp cho
học sinh cách nhìn mới, phát huy sự sáng tạo. Do đó học sinh cần có thêm nhiều thời
gian để sưu tầm các tài liệu tham khảo liên quan và rất mong sự đóng góp ý kiến của các
đồng chí, đồng nghiệp để sáng kiến này phát huy tốt hơn. Xin trân trọng cảm ơn!

Minh Thanh, ngày 24 tháng 4 năm 2014
NGƯỜI VIẾT SÁNG KIẾN

Trần Thị Thu Hương
XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
Minh Thanh, ngày … tháng … năm 2014
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

Thạch Văn Bắc