DE THI DAP AN hoc sinh gioi QUANG BINH 20162017

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2016-2017
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi có 01 trang)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1(2 điểm ).
a.Rút gọn biểu thức P 

3x  9 x  3
x 1
x 2
với x  0; x  1 .


x x 2
x  2 1 x
2


7 
3
b.Tính giá trị của biểu thức  4  15  6  35     4  15  6  35  
2 
2


2

Câu 2(2 điểm ).
a.Giải phương trình







x  2  x  2 1  x2  4  4

x(x  y  1)  2y(y  1)
b.Giải hệ phương trình 



x 1  y  2

Câu 3(1,5 điểm ).Cho x, y, z  0 ,tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P

5x 2  6 xy  5y 2
5y 2  6yz  5z 2
5z 2  6 xz  5x 2


x  y  2z
y  z  2x

x  z  2y

Câu 4(3,5 điểm ).Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R có đường kính BC cố
định .Lấy điểm A thuộc nửa đường tròn trên sao cho AB >AC .Gọi H là hình chiếu
vuông góc của A trên BC và E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên
AB,AC .Đường thẳng EF cắt nửa đường tròn tại P,Q (E nằm giữa P và F ).
a.Chứng minh rằng AO vuông góc với EF và AP 2  AE.AB .Từ đó suy ra tam giác
AHP cân tại A .
b.Gọi D là giao điểm của BC và PQ ,K là giao điểm AD với đường tròn .Chứng
minh tứ giác AEFK nội tiếp .
c.Đặt BH = x .Tính diện tích tam giác ABH theo R và x .Tìm vị trị điểm A để diện
tích tam giác ABH lớn nhất .


Câu 5(1 điểm ).Tìm x ,y nguyên dương để P 

x2 y2
là số nguyên tố
x2  y2

Bài làm
Câu 1(2 điểm ).
a.Rút gọn biểu thức P 

3x  9 x  3
x 1
x 2
với x  0; x  1 .



x x 2
x  2 1 x
2


7 
3
b.Tính giá trị của biểu thức  4  15  6  35     4  15  6  35  
2 
2


Bài làm
a. Ta có P 

3x  9 x  3
x 1
x  2 3x  3 x  3  x  1  x  4
x 1




x x 2
x  2 1 x
x 1
x 2
x 1





2


7 
3
b.  4  15  6  35     4  15  6  35  
2 
2



1
2





8  2 15  12  2 35  7



1
2



3 7
 5
2 2

5 3 7 5 7



2



1
2



 
2



1
2



5 3 7 5 3





x  2  x  2 1  x2  4  4

x(x  y  1)  2y(y  1)
b.Giải hệ phương trình 



2

8  2 15  12  2 35  3

Câu 2(2 điểm ).
a.Giải phương trình



x 1  y  2

Bài làm



2



2

2


a.Điều kiện x  2 .Đặt a  x  2; b  x  2, a, b  0 .Ta có phương trình
 x2  x2
a  b

 x  1
 a  b 1  ab   a 2  b 2   a  b 1  b 1  b   0   a  1   x  2  1  
 x3

 b  1
x

2

1


Đối chiếu với điều kiện .Ta kết luận vậy nghiệm phương trình là x = 3 .
x(x  y  1)  2y(y  1)
b. Ta có 
.Điều kiện x  1; y  0 .
x 1  y  2








x( x  y  1)  2y( y  1)
( x  y  1)( x  2y )  0
Ta có 


x 1  y  2
x 1  y  2






x  y  1  0
 x  2y  0
.

x 1  y  2

Lúc đó ta có trường hợp x  2y  0 (loại do điều kiện x  1; y  0 ).
 2 y 2
y  1

.


x


2
x

1

y

2
 x 1  y  2





x( x  y  1)  2y( y  1)


Nên ta có 




x 1  y  2

x  y 1

Vậy nghiệm hệ phương trình là (2;1).
Câu 3(1,5 điểm ).Cho x, y, z  0 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P

5x 2  6 xy  5y 2
5y 2  6yz  5z 2
5z 2  6 xz  5x 2


x  y  2z
y  z  2x
x  z  2y

Bài làm
Ta có 5x2  6 xy  5y2  4(x  y)2  (x  y)2  4(x  y)2 .Nên suy ra :
P

2( x  y )
2( y  z )
2( z  x)
.Đặt a  x  y; b  y  z; c  x  z; a; b; c  0 .


x  y  2z y  z  2x z  x  2y

Ta có P 

2a
2b
2c
1
1 
 1



 (a  b  b  c  c  a ). 


6  9 6  3.
bc ca ab
 bc ca ab 

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 khi x  y  z .


Câu 4(3,5 điểm ).Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R có đường kính BC cố
định .Lấy điểm A thuộc nửa đường tròn trên sao cho AB >AC .Gọi H là hình chiếu
vuông góc của A trên BC và E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên
AB,AC .Đường thẳng EF cắt nửa đường tròn tại P,Q (E nằm giữa P và F ).
a.Chứng minh rằng AO vuông góc với EF và AP 2  AE.AB .Từ đó suy ra tam giác
AHP cân tại A .
b.Gọi D là giao điểm của BC và PQ ,K là giao điểm AD với đường tròn .Chứng
minh tứ giác AEFK nội tiếp .
c.Đặt BH = x .Tính diện tích tam giác ABH theo R và x .Tìm vị trị điểm A để diện
tích tam giác ABH lớn nhất .
Bài làm
P
A
E
I
J

K

F
B
O

H

Q
C

D

a.Gọi I là giao điểm của AO và EF .Ta có AEHF là hình chữ nhật nên
AEI  HAB; EAI  ABH .Mà HAB  ABH  900  AO  EF .Hai tam giác ABP và tam
giác APE đồng dạng vì : PAB (chung ) và
ABP  APE (góc nội tiếp chắn cung AP và AQ bằng nhau ).Lúc đó suy ra
AP AB

 AP 2  AB. AE  AH 2  AP  AH . Từ đó suy ra tam giác AHP cân tại A.
AE AP

b.Gọi J là giao điểm AH và EF.J là trực tâm tam giác AOD nên OJ vuông góc với
AK .Suy ra OJ đi qua trung điểm AK ,nên OJ là trung trực của AK .Lúc đó ta có


JA  JK  JE  JF .Vậy tứ giác AEFK nội tiếp .Đặt BH  x  R  x  2 R  .Ta có

AH  HB.HC  x(2R  x) .Mà
1
1
1

x
1
S ABH  .BH . AH  x. x(2 R  x) 
3x . (2 R  x) 
3x .
2
2
2
3
2

2R  x 
2

x
3  1 . 3x ( R  x )
2
3

1
x 3 3 x
x 3 3 x
x 2 3R 2 3
Mà ta thấy . 3x ( R  ) 
. Nên ta có
. (R  ) 
(  R ) 
2
3
2 3

3
8 3
3
8
S ABH

3R
3R 2 3
.Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x  .Khi đó A là giao điểm đường

8
2

trung trực OC và nửa đường tròn (O).
x2 y2
Câu 5(1 điểm ).Tìm x ,y nguyên dương để P  2 2 là số nguyên tố
x y

Bài làm
x2 y2
Ta có P  2 2  x2 (y 2  P )  Py 2  Py 2 x2  y x (1).
x y
x2 y2
Mà P  2 2  y 2 (x2  P )  Px2  Px2 y 2  x y (2).
x y

Từ (1) và (2) suy ra x  y  x2  2P  P 2  P  2  x  y  2.

CHUYÊN GIA VỀ TOÁN HÀNG ĐẦU TẠI QUẢNG NGÃI
,NHƯNG MÀ GIÁO DỤC XÃ HỘI KHÔNG CẦN

TOÁN CAO CẤP ,TOÁN NÂNG CAO ,BỒI DƯỠNG HSG
TỈNH HUYỆN ,CASIO SỐ MỘT TẢI QUẢNG NGÃI –
VÙNG ĐẤT NGHÈO NHẤT VIỆT NAM
Kính chào tạp chí toán tuổi thơ !

Ngày 15-11-2016 tạp chí toán tuổi thơ mời mình ra Hà Nội ,Lại một lần
nữa mình không ra dược vì không có tiền mua vé tàu .Tại sao cuộc đời
lại bất công với tôi như thế .Mình sống trên núi cao quá ,mọi thứ đều
khó khăn


Trên chuyến tàu của toán học luôn thiếu mình .Một lời giải mà mình giải
không ra .Đó là Tiền ,tại sau toi lại bần cùng đến như vậy hả trời .Buồn
cho xã hội không tận dụng nhân tài .Tuyển dụng công chức là để tìm
người nhà và tiền .Kẻ như tôi thì không có : THÂN THẾ TIỀN và như
thế bị vứt ra đường trong chuyến tàu tốc hành của giáo dục Việt Nam
.Tại sao người ta có thể mua một kg nho Nhật Bản với giá 1,3 triệu -1,5
triệu để ăn mà mình lại mua một vé tàu đi về Quảng Ngãi –Hà Nội giá
700 trăm nghìn không được ,bài toán giải mãi mà chẳng xong .Người
bần cùng ,kẻ thì mua kg nho Nhật Bản 2 triệu cho đứa con 4 tuổi để ăn
,mua hàng mà phải đặt tiền cọc trước .Nho này hiếm mà có kg nào nhập
về là dân Việt Nam giới thượng lưu mua hết trong một giời đồng hồ
.Thật sự sốc ,trái cây Việt Nam rẻ như bèo mà “cho không lấy ,thấy
không xin nói gì tới việc mua bán nữa “

Kính chào tạp chí toán tuổi thơ !
Tôi tên là :Trương Quang An
Vừa rồi ngày 4-1-2016 tôi có nhận được 1 giấy mời ra Hà Nội nhân diệp tạp chí
toán tuổi thơ 15 năm tuổi .Bản thân tôi và gia đình rất vui và thấy đây là một vinh
dự nhưng hoàn cảnh gia đình quá khó khăn .Tôi đi làm lương quá thấp ,dạy hợp

đồng ,vợ tôi đi làm công nhân ở xa .sáng đi 5h sáng ,chiều 8h mới về nhà .Vợ tôi
làm thì tháng nào có sản phẩm thì có lương ,không có sản phẩm làm thì tháng đó
không có lương ,một tháng được 2 triệu /tháng .Hai vợ chồng làm không đủ trang
trải cho cuộc sống hằng ngày .Tôi học toán-tin và chỉ dạy tin học .Thời gian làm
thêm phụ gia đình nhiều để có tiền trang trải cuộc sống .Cha tôi ngày xưa làm phụ
hồ ,làm thuê làm mướn cho người ta ,mẹ tôi đi rửa chén thuê cho các nhà quán ăn
.Tôi đam mê toán học khi là học sinh cấp 1 .Tôi rất nghèo nhưng niềm đam mê
toán học trong tôi rất lớn dù tôi có hoạt đông bên lĩnh vực khác .Tôi xin chân
thành cảm ơn tạp chí đã có thư mời tôi ra Hà Nội nhé .Tiền tàu xe đi và về ,ăn ở
bản thân tôi lo không nổi nên không thể ra dự với tạp chí .Năm ngoái tôi không ra
Đà Nẵng dự hội thảo được ,năm nay lại thất hứa .Xin lỗi tạp chí TOÁN TUỔI


THƠ ,tuy nhiên tôi xin chúc tạp chí luôn phát triển mạnh mẽ và có nhiều người
đam mê toán học nhé .Tôi xin hứa là sẽ thường xuyên viết bài và gởi bài cho tạp
chí toán tuổi thơ và tạp chí toán học& tuổi trẻ
Tôi rất buồn .Xin chân thành ghi nhận tấm lòng của tạp chí

Tên : Trương Quang An
Ngày sinh :20-5-1987
Tốt nghiệp cao đẳng sư phạm toán quảng Ngãi năm 2009
Ra trường đi xin việc khắp mọi nơi vào cuối năm 2011 mới xin hợp đồng
làm việc giảng dạy toán cho 1 trường cấp 2
Nhà hiện nay ở Thành Phố Quảng Ngãi
Thành tích lúc đi học :
Lớp 8 : Học sinh đạt giải nhì học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi
Lớp 9 : Học sinh đạt giải ba học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi
Lên cấp 3 học Trường Cấp 3 Chuyên Lê Khiết
Năm 2005 thi đại học sư phạm Quy Nhơn đạt 28 điểm , tôi phải xa giảng
đường đại học vì mẹ tôi đau quá nặng ,gánh nặng cơm áo gạo tiền mà tôi phai chia

tay đại học .Sau đó tôi về quê nhà học cao đẳng sư phạm Quảng Ngãi
3 năm học tại đây tôi là sinh viên giỏi nhất khoa về Toán học .Các Thành
tích :
- Giải nhất toán lý sơ cấp 3 năm học 2006,2007,2008
-Ba năm giải nhất môn giải tích trong kỳ thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN
cấp trường Cao Đẳng Sư Phạm Quảng Ngãi năm học 2006 ,2007,2008
-Trong 3 lần đại diện cho trường thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN Toàn
quốc thì 1 lần đạt giải ba ,1 lần giải khuyến khích .


-Ba năm liền đạt giải nhất trong kỳ thi sinh viên giải toán trên máy tính casio
cấp trường .
-Sinh viên đầu tiên của trường cao đẳng sư phạm được đăng đề trong mục đề
ra kỳ này của tạp chí toán học tuổi trẻ
-Sinh viên đầu tiên của trường cao đẳng sư phạm được đăng bài trong mục
chuyên đề của đặc san tạp chí toán học tuổi trẻ
-Giáo viên đầu tiên của tỉnh Quảng Ngãi được đăng bài trên đặc san tạp chí
toán học và tuổi trẻ
-Hiện nay sáng dạy ở trường vì đồng lương quá thấp nên đi dạy kém khắp
nơi đề kiếm thêm tiền để trang trải cuộc sống hằng ngày và phụ giúp cha mẹ nghèo
ở quê Quảng Ngãi
-Bản thân là người rất đam mê môn toán từ khi tôi còn là học sinh lớp 7 ,
hiện nay tôi thường giải các bài tập khó và dạy kèm cho các học sinh có nhu cầu
vào chuyên toán
-Hiện nay bản thân muốn học lên đại học nhưng có lẻ ước mơ đó của tôi
không thành hiện thức vì chuyện tiền bạc va gia đình hoàn cảnh
-Những giáo viên yêu toán nếu có nhu cầu giải các bài toán khó và giao lưu
học hỏi
-Xóm tôi bình thường lắm ,bọn nhỏ ngây thơ ,ngộ nghĩnh đáng yêu .Hằng
ngày bọn trẻ xóm tôi thường nhờ tôi giúp các bài toán khó .Tôi đến với tạp chí toán

học tuổi trẻ khi tôi còn là một học sinh lớp 7 .Mười sáu năm qua tôi đã coi tạp chí
như một người bạn quen thuộc mà tôi mong đợi vào ngày 15 hằng tháng .Ban đầu
tôi thích thú tò mò tìm thêm tài liệu ,sau nay cố gắng giải các bài tập trong chuyên
mục đề ra kỳ này .Trong 16 năm qua tạp chí đã cho tôi được tiếp xúc với các bài
toán rất hay ,chuyên đề hay .Ba năm học cao đẳng là thời gian đẹp nhất cuộc đời
tôi .Tôi bước vào sư phạm toán với nền tảng kiến thức vô cùng tốt .Ngay tôi được
tạp chí đăng 1 bài trên chuyên mục đề ra kỳ này tôi rất vui sướng ,không tả nỗi .Đó
là thời điểm năm 2008 ,khi đó tôi chỉ là 1 sinh viên nghèo của trường ,điều kiện
học tập không có ,sinh viên cao đẳng như tôi viết bài cho 1 tạp chí toán học là điều
viễn vông ,đó là sư thật .Nhưng tôi không nản lòng và cuối cùng tôi cũng đạt được
ước mơ của tôi .Những ngày đó thật khó khăn ,tôi chỉ ghi bài giải trên giấy A4 rồi
đem thư ra bưu điện gởi .Cách đây 1 năm thì có chị họ làm quán PHÔ T Ô COPPY
bán lại một chiếc máy tính đề bàn cũ ,tôi mua với giá 500 ngàn ,vui lắm các bạn
,thế là từ nay có thể đánh vi tinh các bài toán mà minh suy nghĩ và sưu tầm ,sau khi
hoàn thiện tôi chạy ra quán PHÔ T Ô COPPY để gởi vì nhà không có mạng
INTERNET .Có lẽ tôi sẽ gục ngã trước cuộc sống nghèo khổ và thiếu tiền bạc nếu
như tôi không có niềm đam mê toán học .Tôi nhớ mãi năm 2008khi cầm trên tay tờ
báo có đăng bài của minh tôi đã vui run luôn ,tôi ra bưu điện mua báo toán ,trên kệ
báo còn đúng 1 tờ ,đọc và thấy tên mình và tôi đã lên xe đạp cà tàng của sinh viên
đạp nhanh nhanh về nhà ,thật nhanh ,tôi không biết tôi đã qua mấy ngã tư nữa ,chỉ


biết đạp thật nhanh .Mấy tháng sau có thư nhận tiên nhuận bút 120.000 ,đối với 1
đứa sinh viên nghèo như tôi đó là số tiền 1 tháng đề ăn sáng đi học ,vui lắm các
bạn ak .Sinh viên qua nhanh ,ra trương vì hoàn cảnh cha mẹ đau và không có
tiền,không nơi nào nhận mình vào dạy học ,mình đã đi chạy bàn cà phê,chạy bàn
đám cưới cho nhà hàng ,mình đi dạy kèm khắp nơi ,có khi phải đi chạy xe ôm
nhưng khi rảnh mình thường lấy tạp chí toán học ra xem .Tạp chí như một phần
trong cơ thể mình ,rồi sau 4 năm chạy việc khắp nơi tôi cũng xin được hợp đồng
cho 1 trường cấp 2 để dạy toán . Nhà tôi hiện nay sách toán rất nhiều ,16 năm qua

tôi đã có trong tay khoảng 451 số báo toán học ,mua có ,tôi mượn báo để phô tô
cũng có .Hồi xưa khi tới ngày 15 hằng tháng tôi thường ra bưu điện đề mua ,từ nhà
đạp xe đạp ra ,tới nơi mệt nhưng khi mua được báo là tôi vui lắm .Vào năm 2014
thì đi làm cuộc sống cũng đỡ khó khăn thì tôi mạnh dạn dành tiên lên bưu điện đặt
báo để nhân viên giao tận nhà luôn .Qua thời gian tôi cung mua được chiếc xe máy
cũ đề đi làm .Qua nhũng tâm sự này tôi muốn các bạn yêu toán mà có điều kiện
hơn tôi hãy cố gắng lên nhé ,hãy đặt mua tạp chí toán học ,hãy viết bài cho tạp chí
.Tiền trong cuộc sống không là gì ,nếu chúng ta cố gắng và có ý chí thì chúng ta sẽ
thành công .Tôi hiện nay có 2 ước mơ ,thứ nhất được ra thăm toán chí toán học
tuổi trẻ 1 lần cho biết ,năm ngoái được tạp chí toán học tuổi thơ mời ra dự buổi hội
thảo toán học ở Đà Nẵng nhưng do công việc và cha mẹ đau nặng tôi đã không ra
.Thứ 2 mong được học lên đại học hệ chính quy .Mặc dù ở quê tôi có dạy hệ tại
chức ,nhưng tôi thích học chính quy hơn ,ước mơ đó có thể với mọi người rất đơn
giản nhung với mình khó vì gia đình ,cha mẹ ,tiền bạc phải mưu sinh vì cuộc sống
hằng ngày . Trên toàn quốc ,nếu trường nào cần giáo viên như tôi thì liên hệ số
điện thoại 01208127776 .Không biết tạp chí toán học có tuyển một cộng tác viên
trình độ cao đẳng như tôi không .Lương hợp đồng 15.000đ/tiết quá thấp ,tôi không
sống được bằng nghề sư phạm ,
Một người đam mê Toán và tạp chí toán học và tuổi trẻ ,
tạp chí toán tuổi thơ
Nghĩa Thắng ,Tư Nghĩa ,Quảng Ngãi
Trương Quang An