Nghiên cứu tính toán từ trường và dòng điện xoáy trong vùng dẫn có cấu trúc vỏ mỏng bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Viện Điện

Trường ĐHBK Hà Nội
LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian học tập tại lớp Cao học Kỹ thuật điện khóa 2013-2015,
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, tôi đã được đào tạo và tích lũy nhiều kiến thức
cho bản thân cũng như phục vụ công việc. Đặc biệt là khoảng thời gian thực hiện
đề tài: “Nghiên cứu tính toán từ trƣờng và dòng điện xoáy trong vùng dẫn có
cấu trúc vỏ mỏng bằng phƣơng pháp phần tử hữu hạn”.
Tôi xin bày tỏ lòng tri ân tới các Thầy, Cô Bộ môn Thiết Bị Điện – Điện Tử –
Viện Điện - Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ
tôi trong học tập, nghiên cứu và làm luận văn.
Đặc biệt xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS. Đặng Quốc
Vương đã dành nhiều thời gian và công sức hướng dẫn tôi thực hiện và hoàn thành
luận văn này.
Mặc dù bản thân cũng đã cố gắng, song với kiến thức còn hạn chế và thời
gian có hạn, luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong
nhận được sự góp ý của các thầy, các cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được
hoàn thiện hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, ngày tháng năm 2015
Học viên

Trần Thanh Tuyền

HV: Trần Thanh Tuyền

KTĐ 2013 - 2015

Viện Điện

Trường ĐHBK Hà Nội
MỤC LỤC

DANH MỤC HÌNH ẢNH
DANH MỤC BẢNG
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT
MỞ ĐẦU

1

Chƣơng I: MÔ HÌNH LÝ THUYẾT CHO BÀI TOÁN ĐIỆN TỪ………..

4

1.1 Tổng quan ...…………………………………………………………...….

4

1.2 Phƣơng trình Maxwell ...…………………………………………….…...

4

1.2.1 Đặc tính vật liệu …………………………………..…...…………….….

5

1.2.2 Điều kiện chuyển tiếp bề mặt và điều kiện biên ……...….….…….…....

7

1.2.3 Phương trình Maxwell trong miền tần số ...............................................

9

1.3 Mô hình toán liên tục và không gian hàm ................................................

10

1.4 Sơ đồ Tonti ..................................................................................................

11

1.5 Định nghĩa mô hình bài toán tổng quát ....................................................

13

1.6 Mô hình bài toán từ tĩnh và bài toán từ động ………………….……….

13

1.6.1 Mô hình bài toán từ tĩnh ………………………………………..………

13

1.6.2 Mô hình bài toán từ động …………………….………………….……..

15

1.7 Kết luận …………………………………………….…….…….…………

17

CHƢƠNG II: PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỐI VỚI BÀI
TOÁN ĐIỆN TỪ……..……………………………..........................................

18

2.1 Tổng quan ……………...…………………………………….………..….

18

2.2 Rời rạc hóa các phần tử ……………………..………….………..........…

18

2.2.1 Phương pháp phần tử hữu hạn ………………...........…...….…………

18

2.2.2 Định luật Green ……………………………….............…..….…………

19

2.2.3 Các biểu thức yếu nhận ………...………………….....…...............……

20

2.2.4 Phần tử hữu hạn .…………………………….………....……….……...

21

2.3 Mô hình phần tử hữu hạn ………......…….….......……....……….……...

25

2.3.1 Các hàm nội suy ……………………….………..............……….……...

26

2.3.2 Các phần tử tham chiếu ………….........…….………....….…….……...

29

2.4 Phƣơng trình yếu nhận với vectơ từ thế A ………………..….…………

31

HV: Trần Thanh Tuyền

KTĐ 2013 - 2015


Viện Điện

Trường ĐHBK Hà Nội

2.4.1 Tổng quan ………………...…….…………..………………..….………

31

2.4.2 Phương trình yếu nhận ………………………….…..…….……..……...

31

2.5 Phƣơng trình yếu nhận với vectơ cƣờng độ từ trƣờng H ….………….

33

2.5.1 Tổng quan ………………...………………..……………………………

33

2.5.2 Phương trình yếu nhận ……………………………….…..….………...

34

2.6 Kết luận …………………………………………………….……………

36

CHƢƠNG III: TÍNH TOÁN TỪ TRƢỜNG VÀ DÒNG ĐIỆN XOÁY
BẰNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN………......……………….

37

3.1 Tổng quan ………………………………………………………………...

37

3.2 Bài toán 1: Mô hình 2D của cuộn dây - màn chắn có cấu trúc mỏng ....

38

3.2.1 Mô hình 2D với một màn/tấm chắn ………………..……………..…….

38

3.2.2 Mô hình 2D với hai màn/tấm chắn …………………….…...…….……

42

3.3 Bài toán 2: Mô hình 2D với lõi thép và cuộn dây ……………..………..

47

3.4 Bài toán 3: Mô hình 3D với bài toán TEAM Problem 21B ……..…….

50

3.5 Kết luận ………………………………………………….…………..……

55

KẾT LUẬN ……………………………………………………….…………..

56

HƢỚNG PHÁT TRIỂN TIẾP THEO ………………………………………

57

TÀI LIỆU THAM KHẢO …………………………………………………...

58

HV: Trần Thanh Tuyền

KTĐ 2013 - 2015


Viện Điện

Trường ĐHBK Hà Nội
DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hình 1.1: Điều kiện chuyển tiếp bề mặt giữa hai miền khác nhau Ω1 và Ω2 ........

8

Hình 1.2: Miền bị chặn Ω và các miền con Ωg, Ωs và Ωt ..............……….……… 12
Hình 1.3: Mặt cắt của miền đa liên…………....………………………….………

13

Hình 2.1: Miền không gian áp dụng phần tử hữu hạn (K, PK, K) …..…….…....

22

Hình 2.2: Một phần lưới 2D của miền …………………………….…….……

24

Hình 2.3: Tập hợp các phần tử hình học khác nhau ………………………..……

25

Hình 2.4: Các dạng hình học: nút, cạnh và mặt (i, j, k, l  N) .…………....……

26

Hình 2.5: Định nghĩa miền phẳng xác định biểu thị ký hiệu N

…………..…

26

Hình 2.6: Mô tả hình học của hàm cạnh seij ………………………………..……

28

Hình 2.7: Vector a×b trong hàm sf ……………...………..………………...…....

29

Hình 2.8: Mô tả hình học của hàm mặt phẳng sf ……….......................................

29

Hình 2.9: Khối tứ diện tham chiếu T ………........................................................

29

Hình 2.10: Khối sáu mặt tham chiếu H ….............................................................

30

Hình 2.11: Khối lăng trụ tham chiếu P …......................…...................................

30

Hình 2.12: Miền nghiên cứu  và đường biên bao quanh ………………….......

32

Hình 3.1: Sơ đồ thuật toán áp dụng phần mềm Gmsh và GetDP ……..………..

38

Hình 3.2: Mô hình cuộn cảm và màn chắn vỏ mỏng …………….……...............

38

Hình 3.3: Mô hình chia lưới 2D với 1 tấm chắn ……………...............................

39

Hình 3.4: Phân bố của từ thế A (µ = 1, ζ =10 MS/m, f = 50Hz) ..........................

39

Hình 3.5: Phân bố của từ thế A (µ = 1, σ =10 MS/m, f = 300Hz) ……................

40

Hình 3.6: Phân bố của từ thế A (µ = 100, ζ =10 MS/m, f = 50Hz) ......................

40

Hình 3.7: Phân bố của mật độ từ cảm (µ = 1, ζ = 10 MS/m, f = 300Hz) .............

40

Hình 3.8: Phân bố của mật độ từ cảm (µ = 100, ζ = 10 MS/m, f = 50Hz) ...........

41

_

F , j,i

Hình 3.9: Phân bố mật độ dòng điện xoáy dọc theo màn chắn (trên) và phân bố
của mật độ dòng điện nguồn trong cuộn dây (dưới) (µ = 100, ζ =10 MS/m, f =
50Hz) .....................................................................................................................

41

Hình 3.10: Mật độ tổn hao công suất dọc theo màn chắn, từ tâm đến cuối ..........

42

Hình 3.11: Mô hình cuộn cảm và màn chắn vỏ mỏng với hai màn chắn .............

42

Hình 3.12: Mô hình chia lưới 2D với 2 màn chắn ................................................

43

HV: Trần Thanh Tuyền

KTĐ 2013 - 2015


Viện Điện

Trường ĐHBK Hà Nội

Hình 3.13: Phân bố của từ thế A (µ = 1, ζ =10 MS/m, f = 300Hz) ......................

43

Hình 3.14: Phân bố của từ thế A theo z (µ = 1, ζ =10 MS/m, f = 300Hz) ...........

44

Hình 3.15: Phân bố của từ thế A (µ = 100, ζ =10 MS/m, f = 50Hz) ....................

44

Hình 3.16: Phân bố của mật độ dòng điện xoáy dọc theo 2 màn chắn (µ = 1, ζ
=10 MS/m, f = 300Hz) ..........................................................................................

45

Hình 3.17: Phân bố của mật độ dòng điện xoáy dọc theo 2 màn chắn (µ = 100,
ζ =10 MS/m, f = 50Hz) .........................................................................................

45

Hình 3.18: Mật độ tổn hao công suất dọc theo màn chắn 1 (d = 3mm, khoảng
cách D = H2/2), từ tâm đến cuối ............................................................................

45

Hình 3.19: Mật độ tổn hao công suất dọc theo màn chắn 1 (d = 3mm, khoảng
cách D = 2H2), từ tâm đến cuối .............................................................................

46

Hình 3.20: Mật độ tổn hao công suất dọc theo màn chắn 1 (d = 7mm, khoảng
cách D = H2/2), từ tâm đến cuối ............................................................................

47

Hình 3.21: Mật độ tổn hao công suất dọc theo màn chắn 1 (d = 7mm, khoảng
cách D = 2H2), từ tâm đến cuối............................................................................

47

Hình 3.22: Mô hình chia lưới 2D của của lõi thép và cuộn dây ...........................

48

Hình 3.23: Phân bố của nguồn dòng trong cuộn dây ............................................

48

Hình 3.24: Phân bố của nguồn dòng trong cuộn dây và từ cảm trong lõi thép (μr
= 500, ζ = 10 MS/m, f = 50Hz) .............................................................................

48

Hình 3.25: Phân bố của từ cảm trong lõi thép (μr = 500, ζ = 10 MS/m, f = 1kHz)

49

Hình 3.26: Phân bố từ trường với mật độ từ cảm b trong các lá thép kỹ thuật
điện theo mặt cắt vuông góc với trục 0x ….………..……………………………

49

Hình 3.27: Phân bố của mật độ dòng điện xoáy trong lõi thép (μr = 500, ζ =
10MS/m, f = 1kHz) ...............................................................................................

50

Hình 3.28: Phân bố mật độ dòng điện xoáy trong các lá thép kỹ thuật điện theo
mặt cắt vuông góc với trục 0x ………………….……………………..…………

50

Hình 3.29: Mô hình hai cuộn cảm và một tấm chắn từ mỏng ...............................

51

Hình 3.30: Mô hình kiểm nghiệm với hai cuộn cảm và một tấm chắn từ ............

51

Hình 3.31: Mô hình chia lưới 3D của cuộn dây và tấm chắn ...............................

52

Hình 3.32: Phân bố của nguồn dòng chạy trong nửa cuộn cảm thứ nhất .............

52

Hình 3.33: Phân bố của mật độ từ trường trong vùng nghiên cứu và giới hạn
biên ………………………………………………………………………………

53

Hình 3.34: Phân bố của mật độ từ trường sinh ra bởi cuộn dây ...........................

53

Hình 3.35: Phân bố của mật độ dòng điện xoáy trên nửa tấm chắn từ .................

53

HV: Trần Thanh Tuyền

KTĐ 2013 - 2015


Viện Điện

Trường ĐHBK Hà Nội

Hình 3.36: Phân bố của mật độ dòng điện xoáy trên mặt cắt ngang của nửa tấm
chắn từ tính từ tâm ra ngoài của tấm chắn ……………........................................

54

Hình 3.37: Phân bố của mật độ dòng điện xoáy trên mặt cắt dọc của nửa tấm
chắn từ tính từ tâm ra ngoài của tấm chắn ............................................................

54

Hình 3.38: Phân bố của mật độ tổn thất công suất trên mặt cắt ngang của nửa
tấm chắn từ tính từ tâm ra ngoài của tấm chắn .....................................................

54

Hình 3.39: Phân bố mật độ tổn thất công suất trên mặt cắt dọc của nửa tấm
chắn từ tính từ tâm ra ngoài của tấm chắn ............................................................

HV: Trần Thanh Tuyền

55

KTĐ 2013 - 2015


Viện Điện

Trường ĐHBK Hà Nội
DANH MỤC BẢNG

Bảng 1.1: Hằng số từ thẩm tương đối μr của một số vật liệu …………………….

6

Bảng 1.2: Hằng số điện môi tương đối εr của một số vật liệu ……..….…....……

6

Bảng 1.3: Mật độ điện tích mặt của một số vật liệu ………....……….….....……. 7

HV: Trần Thanh Tuyền

KTĐ 2013 - 2015


Viện Điện

Trường ĐHBK Hà Nội
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Bảng k t alpha beta

a

Từ thế vector (Wb/m)

b

Từ cảm (T)

c

Tốc độ ánh sáng trong chân không (m/s)

d

Cảm ứng điện (C/m2)

e

Cường độ điện trường (V/m)

E2

Hệ tọa độ phẳng

E3

Hệ tọa độ không gian

f

Tần số (Hz)

H (Curl; Ω)

Không gian hàm curl

H (div; Ω)

Không gian hàm div

h

Cường độ từ trường ( /m)

i

Toán tử ảo

j

Mật độ dòng điện ( /m2)

L2(Ω) ; L2(Ω)

Trường bình phương khả tích và vectơ trường trên miền Ω

m

Độ từ hóa ( /m)

p

Độ phân c c điện (C/m2)

t

Biến thời gian

X = (x,y)

Tọa độ điểm trong không gian E2

X = (x,y,z)

Tọa độ điểm trong không gian E3
Bảng k t hy lạp

γ

Hệ số điện dẫn suất



Biên của miền Ω



Hằng số điện môi (F/m)

o

Hằng số điện môi của chân không (F/m)

r

Hằng số điện môi tương đối

λ

Bước sóng ánh sáng



Hằng số từ thẩm (H/m)

o

Hằng số từ thẩm của chân không (H/m)

r

Hằng số từ thẩm tương đối (  r =  /  o )

HV: Trần Thanh Tuyền

KTĐ 2013 - 2015

Viện Điện

Trường ĐHBK Hà Nội



Suất từ trở ( 1/  )



Mật độ điện tích (C/m3)



Mật độ điện dẫn (S/m)

ϕ

Từ thế vô hướng (V)

e

Hệ số phân c c

m

Hệ số từ hóa (độ từ cảm)



Tần số góc (rad/s)

Ω

Miền kín trong không gian E3
Bảng các chữ viết tắt

1D

Một chiều

2D

Hai chiều

3D

Ba chiều

BC

Điều kiện biên

IBC

Điều kiện trở kháng biên

IC

Điều kiện bờ

PE

Dẫn điện lý tưởng

PM

Dẫn từ lý tưởng

PTHH

Phần tử hữu hạn

SI

Hệ đo lường Quốc tế
Các toán tử

Curl

Hàm curl

Div

Hàm div

Grad

Gradien

re, im

Phần th c, phần ảo



Toán tử biên

x, y ,z

Đạo hàm riêng theo các phương x, y, z

t

Đạo hàm biến thời gian

HV: Trần Thanh Tuyền

KTĐ 2013 - 2015


Viện Điện

Trường ĐHBK Hà Nội
MỞ ĐẦU

1. Cơ sở th c tiễn của đề tài
Máy điện là một trong những thiết bị điện đóng vai trò rất quan trong s phát
triển của nền kinh tế quốc dân (ví dụ: trong công nghiệp, trong sản xuất...). Vì vậy,
việc nghiên cứu và tính toán máy điện là một phần quan trọng và không thể thiếu

đối với các nhà thiết kế và các nhà nghiên cứu. Mục đích của việc nghiên cứu là áp
dụng các lý thuyết vật lý vào mô hình toán học để mô tả quá trình biến đổi điện từ
xảy ra trong máy điện thông qua công cụ máy tính. Trên cơ sở đó, đã giúp các nhà
thiết kế và nghiên cứu phân tích được các hiện tượng vật lý và quá trình biến đổi
điện từ trong hệ thống điện nói chung và máy điện nói riêng.
Như chúng ta biết, mọi quá trình biến đổi điện từ xảy ra trong thiết bị điện
nói chung và máy điện nói riêng đều được mô tả bởi hệ phương trình Maxwell cùng
với luật trạng thái của chúng [10, 15, 16]. Đây là các phương trình đạo hàm riêng
đối với vector cường độ điện trường E và cường độ từ trường H, phân bố trong
không gian và biến đổi theo thời gian. Để giải được các bài toán này và mô phỏng
các hiện tượng vật lý, các nhà thiết kế và các nhà nghiên cứu thường sử dụng các
phương pháp nghiên cứu khác nhau [5]:
+ Phương pháp giải tích;
+ Phương pháp mạch từ không gian thay thế;
+ Phương pháp phần tử hữu hạn.
Trong đó, phương pháp giải tích th c chất là phương pháp phân ly biến số
[5], có nghĩa là bài toán được giả thiết rằng nghiệm của nó làm hàm số phụ thuộc
vào một biến số trong khi đó các tham số khác không thay đổi. Phương pháp này có
ưu điểm là tìm được nghiệm cụ thể, dễ ràng phân tích các yếu tố ảnh hưởng và giải
thích được các hiện tượng xảy ra trong thiết bị điện hay tính toán các đại lượng liên
quan. Ngoài ra, nghiệm của bài toán cũng phản ánh các điều kiện biên của bài toán,
đặc tính của nguồn trường cung cấp. Tuy nhiên, đối với bài toán có mô hình và điều
kiện biên giữa các môi trường tiếp giáp phức tạp thì việc áp dụng phương pháp giải
tích sẽ gặp khó khăn (gây ra sai số lớn) và đôi khi không thể th c hiện được.
Phương pháp mạch từ không gian thay thế [5] là phương pháp chuyển từ mô
hình Maxwell sang mô hình Kirchhoff một cách tường minh và giữ nguyên tính
chất vật lý của bài toán. Với phương pháp này, một bài toán có cấu trúc phức tạp

HV: Trần Thanh Tuyền

1

KTĐ 2013 - 2015


Viện Điện

Trường ĐHBK Hà Nội

được chia thành các miền con có hình dạng hợp lý và tạo thành một lưới các phần
tử trong không gian 2D hoặc 3D. Ưu điểm của phương pháp là đảm bảo được độ
chính xác cao, tuy nhiên với mô hình có số bậc t do lớn hơn 100, thì việc áp dụng
phương phường này khó khăn và không đáp ứng được [5]. Để khắc phục được
nhược điểm trên, trong những năm gần đây các nhà nghiên cứu thường áp dụng
phương pháp số để phân tích và tính toán bài toán trường. Phương pháp này ứng
dụng đối với các bài toán đa biến mà phương pháp giải tích và mạch từ không gian
thay thế không thể th c hiện được.
Một trong những phương pháp số hay được áp dụng, đó là phương pháp
phần tử hữu hạn (PTHH); phương pháp sai phân hữu hạn; phương pháp phần tử
biên. Trong đó, phương pháp PTHH là phương pháp phổ biến nhất được áp dụng để
giải bài toán trường trong máy điện, đặc biệt bài toán với mô hình từ động.
Phương pháp PTHH ban đầu có nguồn gốc trong cấu trúc của phương pháp
giải tích. Mặc dù thuật toán của phương pháp được đưa ra bởi Courant năm 1943,
nhưng phương pháp này vẫn không được áp dụng để giải các bài toán điện từ cho
đến năm 1968. Kể từ đó, phương pháp này đã được ứng dụng một cách rộng rãi và
đa dạng trong các lĩnh v c như bài toán ống dẫn sóng, máy điện, các thiết bị bán
dẫn, microstrip hay trường hấp thụ bức xạ điện từ của cơ thể sinh học,... Phương
pháp PTHH có thể được coi là phương pháp số mạnh mẽ và linh hoạt nhất trong
giải quyết các bài toán có hình dạng phức tạp cũng như có nhiều các môi trường
không đồng nhất [7].

Do đó, việc áp dụng phương pháp PTHH đã được nghiên cứu phát triển trên
thế giới từ những năm 90 của thế kỷ trước. Hiện là bài toán th c tế đang được quan
tâm ở Việt Nam.
Việc áp dụng phương pháp PTHH để tính toán s phân bố từ trường, dòng
điện xoáy trong máy biến áp cũng đã được tác giả S.V. Kulkarni để cập trong bài
báo [13]. Trong các bài báo [10, 15, 16], tác giả Vuong. Dang Quoc và P. Dular
cũng đã đưa ra một phương pháp mô hình các bài toán nhỏ PTHH để phân tích s
phân bố của từ trường, dòng điện xoáy. Tuy nhiên, hiện nay ở Việt Nam việc áp
dụng các phương pháp này vào bài toán th c tế để tính toán và mô phỏng s phân
bố của trường, phân bố nhiệt“hot pot” và dòng điện xoáy trong máy điện vẫn là
một vấn đề mới mang tính chất thời s và đang được quan tâm. Đặc biệt, đó vẫn là

HV: Trần Thanh Tuyền

2

KTĐ 2013 - 2015


Viện Điện

Trường ĐHBK Hà Nội

một vấn đề hết sức nhức nhối đối với một số nhà máy chế tạo thiết bị điện ở Việt
Nam, cụ thể: nhà máy chế tạo máy biến áp Đông

nh, nhà máy chế tạo biến thế

BB…
Trong nội dung và phạm vi của đề tài, tác giả sử dụng phương pháp PTHH

để tính toán s phân bố từ trường, dòng điện xoáy và tổn hao vùng dẫn có cấu trúc
vỏ mỏng (lõi thép) và vỏ máy biến áp.
Đề tài tập trung vào nghiên cứu và xây d ng mô hình toán đối với từ thế
vector A, cường độ điện trường H và mô tả các trạng thái, s phân bố của từ trường,
phân bố dòng xoáy tổn hao trong vùng dẫn. Kết quả của phương pháp nghiên cứu
có thể áp dụng tr c tiếp cho các máy biến áp phân phối tại các nhà máy chế tạo (ví
dụ như nhà máy chế tạo máy biến áp Đông nh, nhà máy chế tạo biến thế BB…).
Từ những phân tích ở trên, dưới s hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo TS.
Đặng Quốc Vƣơng và các Thầy cô trong Bộ môn Thiết Bị Điện – Điện Tử, tác giả
đã chọn đề tài: “Nghiên cứu tính toán từ trƣờng và dòng điện xoáy trong vùng
dẫn có cấu trúc vỏ mỏng bằng phƣơng pháp phần tử hữu hạn” làm đề tài luận
văn Thạc sỹ ngành kỹ thuật điện.
2. Mục tiêu của đề tài
Tính toán s phân bố của từ trường, dòng điện xoáy và tổn thất công suất
trong vùng dẫn có cấu trúc vỏ mỏng bằng phương pháp PTHH.
3. Nội dung của đề tài, các vấn đề cần giải quyết:
 Tổng quan chung về bài toán điện từ;
 Mô hình lý thuyết cho bài toán điện từ;
 Phương pháp PTHH;
 Các bài toán áp dụng.

CHƢƠNG I: MÔ HÌNH LÝ THUYẾT CHO BÀI TOÁN ĐIỆN TỪ

HV: Trần Thanh Tuyền

3

KTĐ 2013 - 2015

Viện Điện

Trường ĐHBK Hà Nội

1.1 Tổng quan
Các vấn đề về trường điện từ thường gặp khá nhiều trong nhiều lĩnh v c của
cuộc sống, chúng xuất hiện và tồn tại xung quanh các thiết bị điện và hệ thống điện.
Việc nghiên cứu hay tính toán các bài toán điện từ thường được giải quyết bằng
việc sử dụng các dạng mô hình hóa trường điện từ. Hiện nay với s tiến bộ khoa
học công nghệ - máy tính, đã giúp các nhà nghiên cứu và các nhà khoa học có thể
th c hiện giải các bài toán điện từ có cấu trúc phức tạp với độ chính xác cao. Đặc
biệt, với s trợ giúp của máy tính, việc nghiên cứu, tính toán, thiết kế và giải quyết
các bài toán điện từ trở nên thuận tiện và đơn giản hơn. Các kết quả đạt từ phương
pháp PTHH và được thông qua s mô phỏng trên máy tính giúp giải quyết các vấn
đề mà phương pháp giải tích không làm được. Ngày nay, phương pháp PTHH đang
trở thành công cụ hữu hiệu cho các nhà nghiên cứu và ngày càng được phổ biến
rộng rãi.
1.2 Phƣơng trình Maxwell
Trong phần này, tác giả giới thiệu tổng quan về một số khái niệm cơ bản của
bài toán điện từ và hệ phương trình Maxwell [1], [4], [5], [7], [11], [12], [17]. Hệ
phương trình Maxwell là một hệ phương trình cơ bản mô tả toàn bộ các hiện tượng
điện tử xảy ra trong thiết bị điện và hệ thống điện. Hệ phương trình này bao gồm
các phương trình đạo hàm riêng được liên kết với nhau thông qua các hiện tượng từ
trường và điện trường cùng với luật trạng thái và các điều kiện biên. Hệ phương
trình Maxwell được viết trong không gian ba chiều Eculidean 3 [11]:
curl h – ∂t d = j,

(1.1)

curl e + ∂t b = 0,

(1.2)

div b = 0,

(1.3)

div d = .

(1.4)

Phương trình (1.1) là phương trình Ampere, phương trình (1.2) là phương
trình Faraday. Phương trình (1.3) và (1.4) là phương trình Gauss. Các vector trường
h, e, b, d lần lượt là vector từ cường độ trường ( /m), vector cường độ điện trường
(V/m), vector cảm ứng từ (T) và vector cảm ứng điện (C/m2). Mật độ điện tích 
(C/m3) và mật độ dòng điện j (A/m2) là các nguồn trong các phương trình trên. Khi
miền nghiên cứu không đổi theo thời gian, các đạo hàm theo thời gian trong hệ

HV: Trần Thanh Tuyền

4

KTĐ 2013 - 2015


Viện Điện

Trường ĐHBK Hà Nội

phương trình Maxwell trở nên bằng không và các hiện tượng điện và từ không liên

kết với nhau.
Bằng cách lấy div hai vế của phương trình (1.1), sau đó thay vào (1.4),
phương trình bảo toàn điện tích được viết như sau:
div j + ∂t = 0.

(1.5)

Nếu j được cho với thời gian mọi thời gian, điện tích có thể đạt được bằng
cách lấy tích phân hai vế của (1.5) trong một miền khối V. Sau đó áp dụng lý thuyết
Gauss, phương trình (1.5) trở thành:



 j.nds      dx.

V

(1.6)

t V

Trong đó, toàn bộ điện tích nằm trong miền khối V thay đổi theo dòng chảy
điện ngang qua bề mặt của ∂V. Một cách tương t , định luật Gauss (1.3) có thể
được rút ra từ phương trình (1.2) nếu giả thiết ban đầu divb = 0.
1.2.1 Đặc tính vật liệu
Hệ phương trình Maxwell (1.1) đến (1.4) vẫn chưa được xác định, vì các
biến số (unknowns) cần tìm nhiều hơn so với số lượng của phương trình. Vì vậy, hệ
phương trình Maxwell chỉ được xác định duy nhất khi được kết hợp với các luật
trạng thái của chúng. Trong môi trường chân không, giá trị vector từ cảm b và
vector cảm ứng điện d được xác định:

b = 0h,

d = 0e,

(1.7-1.8)

trong đó 0 là độ từ thẩm của môi trường chân không và là hằng số không đổi trong
quan hệ giữa b và h. 0 là hằng số điện môi của môi trường chân không và là hằng
số không đổi giữa vector d và e. Các giá trị của 0 và 0 được chọn theo hệ thống
đơn vị và phụ thuộc vào nhau. Trong hệ thống SI, độ từ thẩm 0 chân không được
xác định 0 = 4.10-7(Hm-1) và hằng số điện môi chân không được xác định ε0 =
1/(μoc2) (Fm-1), ở đây c là vận tốc của ánh sáng. Độ từ thẩm và hằng số điện môi có
thể được biểu diễn theo tham số từ hóa m và s phân c c điện p. Như vậy, b và d
trong phương trình (1.7) và (1.8) được viết lại như trong tài liệu [14].
b = μoh + μom

(1.9)

d = ε0.e + p

(1.10)

HV: Trần Thanh Tuyền

5

KTĐ 2013 - 2015


Viện Điện

Trường ĐHBK Hà Nội

Trong môi trường từ tuyến tính, hệ số m được xác định m = χmb [14], ở đây
χm là hệ số từ hóa (độ từ cảm), trong khi với các vật liệu phân c c tuyến tính, p có
thể coi p = ε0. χee [5], ở đây χe là hệ số phân c c. Với các mối quan hệ đã kể trên,
mỗi quan hệ (1.7) và (1.8) được viết lại như sau:
b = μo(1+ χm)h = μoμrh = μh

(1.11)

d = ε0(1+ χe)e = ε0 εre = εe

(1.12)

Ở đây, μ hệ số từ thẩm (H/m) và ε là hằng số điện môi (F/m). μr là hệ số từ
thẩm tương đối và εr là hằng số điện môi tương đối của vật và được cho ở bảng 1.1
và 1.2 [14].
Định luật tiếp được thể hiện thông qua định luật bảo toàn dòng điện:
j = jc + j s

(1.13)

trong đó, jc là mật độ dòng điện dẫn và được miêu tả theo định luật Ohm:
jc= ζe

(1.14)

trong đó ζ là mật độ điện dẫn (S/m) và luôn luôn dương (hoặc bằng 0 với vật liệu
không dẫn điện).

Bảng 1.1: Hằng số từ thẩm tương đối μr của một số vật liệu
Vật liệu từ

μr (H/m)

Vật liệu từ

μr (H/m)

Vật liệu từ

μr (H/m)

Niken

250

Bismuth

0,99983

Nhôm

1,000021

Coban

600

Vàng

0,99996

Magie

1,000012

Sắt

4000

Bạc

0,99998

Paladi

1,00082

Hợp kim Mu

100000

Đồng

0,99999

Titan

1,00018

Bảng 1.2: Hằng số điện môi tương đối εr của một số vật liệu
Vật liệu

εr (F/m) Vật liệu εr (F/m) Vật liệu εr (F/m) Vật liệu

εr (F/m)

Không khí

1,0

Dầu

2,3

Nh a PE

2,3

Đất

3-4

Nh a bakelit

5,0

Giấy

2-4

Gỗ dán

2,6

Teflon

2,1

Thủy tinh

4-10

Paraffin

2,2

Sứ

5,7

Nước

8,0

Mica

6,0

Metanol

32,6

HV: Trần Thanh Tuyền

Cao su 2,3 – 4,0 Nước biển

6

7,2

KTĐ 2013 - 2015


Viện Điện

Trường ĐHBK Hà Nội

Trong các vật liệu phi tuyến, μ, ε và ζ sẽ không còn là các hằng số và chúng
có thể là “tensors” khi kể đến các trạng thái không đẳng hướng. js là mật độ dòng
điện nguồn cho trước (ví dụ: cuộn dây). Nguồn dòng này không phụ thuộc vào các
điện trường và từ trường trong miền nghiên cứu. Một số giá trị của mật độ điện dẫn
σ được cho trong bảng 1.3 [14].
Bảng 1.3: Mật độ điện tích mặt của một số vật liệu
Vật liệu

σ (S/m) Vật liệu σ (S/m) Vật liệu σ (S/m)
6,17.107 Đồng thau 1,57.107 Nước sạch

Bạc

Vật liệu

σ (S/m)

Sứ

2.10-13

10-3

Đồng

5,08.107 Đồng thiếc

107

Nước cất

Vàng

4,0.107

106

Đất khô

10-5

Cao su

10-15

Nhôm

3,54.107 Nước biển

4

Thủy tinh

10-12

Teflon

10-25 - 10-23

Sắt

2.10-4 Không khí

3.10-15

Các mối quan hệ (1.11), (1.12) và (1.14) là các luật trạng thái. Trong phạm vi
nghiên cứu này, tác giả chỉ xét đến những vật liệu tuyến tính và đẳng hướng và giả
thiết rằng các thông số của vật liệu không thay đổi theo thời gian.
1.2.2 Điều kiện chuyển tiếp bề mặt và điều kiện biên
Mặc dù, số lượng phương trình tương thích với số lượng biến số cần tìm,
nhưng hệ phương trình Maxwell (1.1) – (1.4) vẫn chưa được hoàn thành. Khi tiến

hành giải hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng trong một miền nghiên cứu xác
định trước, ta phải đặt các điều kiện biên (BC) cũng như các điều kiện chuyển tiếp
bề mặt (IC), trong đó các tham số vật liệu là không liên tục.
1.2.2.1 Điều kiện chuyển tiếp bề mặt
Để khảo sát các điều kiện IC của s phân bố trường điện từ qua hai vật liệu
khác nhau (hình 1.1), bây giờ chúng ta lấy tích phân hai lớp của hai vế của phương
trình Maxwell (1.1) – (1.4) trên một bề mặt S có đường bao quanh ∂S. Áp dụng lý
thuyết Stoke để phân tích định luật Ampere (1.1) và định luật Faraday (1.2), các
quan hệ tích phân được xác định [14]:

HV: Trần Thanh Tuyền



S

h.dr   ( j   t d ).ds

(1.15)



S

e.dr     t b.ds.

(1.16)

S

S

7

KTĐ 2013 - 2015


Viện Điện

Trường ĐHBK Hà Nội

Một cách tương t , áp dụng lý thuyết Gauss cho các phương trình (1.3) và
(1.4) trên một miền khối V với biên ∂V, lấy tích phân hai vế:



V



V

b.ds  0

(1.17)

d .ds     .dV
V

(1.18)

Phương trình (1.17) cho thấy thông lượng b qua một bề mặt kín ∂V là bằng 0.
Phương trình (1.18) ngụ ý rằng thông lượng d qua bề mặt ∂V bằng tổng điện tích
trong bề mặt đó.

Hình 1.1: Điều kiện chuyển tiếp bề mặt giữa hai miền khác nhau Ω1 và Ω2
Chúng ta hãy xét bề mặt biên Г giữa hai miền liên tục Ω1 và Ω2 trong hình
1.1. Vector pháp tuyến n của bề mặt Г có hướng từ Ω1 đến Ω2. Tại mặt biên Г có
thể tồn tại các mật độ điện tích mặt ρs và mật độ dòng điện mặt js. Các điều kiện
chuyển tiếp bề mặt cho các trường điện từ trên mặt tiếp giáp giữa hai miền khác
nhau (hình 1.1) [14] có thể viết như sau:

n  (h2  h1 )   j s ,

(1.19)

n  (e2  e1 )



 0,

(1.20)

n. b2  b1 



 0,

(1.21)

n. d2  d1     s ,

(1.22)

trong đó, các chỉ số dưới 1 và 2 thể hiện các trường trên các phía của bề mặt biên
trong miền tương ứng Ω1 và Ω2. Các biểu thức trên được đơn giản bằng cách lấy
tích phân hai vế của các phương trình Maxwell cho các khối và các mặt thông qua
thể thông qua mặt chuyển tiếp Г.
Các phương trình (1.19), (1.20), (1.21) và (1.22) có quan hệ với thành phần
pháp tuyến hoặc tiếp tuyến của trường. Điều này có nghĩa là thành phần pháp tuyến
của b và thành phần tiếp tuyến của e được liên tục thông qua mặt chuyên tiếp Г.
Thành phần pháp tuyến của d và thành phần tiếp tuyến của h là không liên tục qua

HV: Trần Thanh Tuyền

8

KTĐ 2013 - 2015


Viện Điện

Trường ĐHBK Hà Nội

mặt chuyển tiếp Г, nếu mật độ điện tích khối ρs và mật độ dòng điện js khác 0.
Chúng chỉ liên tục khi mật độ điện tích khối ρs và mật độ dòng điện js bằng 0.
Các điều kiện chuyển tiếp IC (1.19) – (1.22) được sử dụng cho việc giải các
phương trình Maxwell với các miền khác nhau, sau đó kết nối các nghiệm để đạt

được các trường trong toàn bộ không gian của miền nghiên cứu.
1.2.2.2 Điều kiện biên
Các phương trình Maxwell được trình bày ở mục 1.2 xác định trường điện từ
trong miền hữu hạn nếu những điều kiện biên BC thích hợp được đặt lên biên của
miền nghiên cứu. Một số điều kiện BC thường được sử dụng cho các thành phần
pháp tuyến và tiếp tuyến của trường điện từ được xác định như sau:
 Một vật liệu dẫn từ lý tưởng (PM) được ký hiệu là Ωpm (tức là μ ~ ∞). Do đó,
phương trình (1.11) ngụ ý h ~ 0 trên miền Ωpm. Điều đó có nghĩa rằng điều kiện
chuyển tiếp IC (1.19) trở thành điều kiện biên BC, tức là:
n h

 pm

 0,

(1.23)

trong đó: Гpm = ∂Ωpm là đường bao của Ωpm
 Một vật liệu dẫn điện lý tưởng (PE) được ký hiệu Ωpe (tức là ζ ~ ∞). Điều này
có nghĩa rằng điều kiện (1.20) cũng trở thành điều kiện BC, tức là:
ne

 pe

0

(1.24)

trong đó: Гpe = ∂Ωpe là đường bao của Ωpe
1.2.3 Phương trình Maxwell trong miền tần số

Các phương trình Maxwell có thể được giải trong miền tần số nếu hệ thống
được cung cấp bởi nguồn hình sin và các luật trạng thái là tuyến tính. Trong trường
hợp này, các nghiệm được viết dưới dạng ký hiệu số phức như sau:
h(x, y, z, t) = re (hm(x, y, z)ejωt),

(1.25)

e(x, y, z, t) = re (em(x, y, z)ejωt),

(1.26)

b(x, y, z, t) = re (bm(x, y, z)ejωt) ,

(1.27)

d(x, y, z, t) = re (dm(x, y, z)ejωt) ,

(1.28)

trong đó: j là phần ảo và re(.) là phần th c. Các vector phức hm(x, y, z), em(x, y, z),
bm(x, y, z) và dm(x, y, z) phụ thuộc vào vị trí đặt nhưng không phụ thuộc vào thời

HV: Trần Thanh Tuyền

9

KTĐ 2013 - 2015


Viện Điện

Trường ĐHBK Hà Nội

gian. Chúng cho biết các thông tin về hướng, độ lớn và các pha tương ứng của
trường điện từ. Tương t như trên, mật độ dòng điện và mật độ điện tích được viết
như sau:
j(x, y, z, t) = re (jm(x, y, z)ejωt)

(1.29)

ρ(x, y, z, t) = re (ρm(x, y, z)ejωt)

(1.30)

Thông qua các phương trình (1.25) – (1.30), các toán tử đạo hàm theo thời
gian được chuyển thành jω có nghĩa là d/dt = jω. Nếu tất cả các trường vật lý được
giả thiết là các số phức như các phương trình trên, các phương trình Maxwell (1.1)
– (1.4) trong miền tần số được thể hiện như sau:
curl hm – jωdm = jm

(1.31)

curl em – jωbm = 0

(1.32)

div bm = 0

(1.33)

div dm = ρ

(1.34)

1.3 Mô hình toán liên tục và không gian hàm
Gọi Гh và Гe là hai phần bổ sung của biên Г của miền Ω, vì vậy ta có:

  h  e

 h   e  ,

và

(1.35)

Trong đó: các trường vô hướng ωh và ωe, hoặc các trường vector ωh và ωe
được đặt vào một cách tương ứng. Do vậy, các miền của ba toán tử gradh, curlhvà
divhđược xác định [8]:

H h1 ()  H h1 (grad, )    L2 () : grad  L2 ()}

(1.36)

H h (curl, )  ω  L2 () : curlω  L2 ()}

(1.37)

H h (div, )  ω  L2 () : divω  L2 ()}

(1.38)

def

def

def

Và các miền của ba toán tử grade, curlevà dive được xác định bởi [8]:

H e1 ()  H e1 (grad, )    L2 () : grad  L2 ()}

(1.39)

H e (curl, )  ω  L2 () : curlω  L2 ()}

(1.40)

def

def

HV: Trần Thanh Tuyền

10

KTĐ 2013 - 2015


Viện Điện

Trường ĐHBK Hà Nội
H e (div, )  ω  L2 () : divω  L2 ()}
def

(1.41)

Các không gian trên là các miền của các toán tử được xem xét. Chúng ta có
thể ký hiệu H1h (grad, Ω) bằng H1h (Ω), H1e (grad, Ω) bằng H1e (Ω). Với các điều
kiện đồng nhất BCs, chúng ta sẽ có các không gian tương ứng với các miền của các
toán tử đạo hàm đã được xác định ở trên. Điều này sẽ được xem xét như các không
gian hàm cho các hàm thử được sử dụng trong các phương trình yếu nhận “weak
formulations”. Các không gian này được ký hiệu là: H10h (Ω), H0h (curl; Ω),
H0h(div; Ω), H10e (Ω), H0e (curl; Ω) và H0e (div; Ω), tức là:
def



H h10 (grad, )    H h1 (grad, ), 
def

h



H h0 (curl, )  ω  H h (curl, ), n  ω
def



H h0 (div, )  ω  H h (div, ), n  ω

h

 h  0}
h

(1.42)

 n  ωh  0}

(1.43)

 n  ωh  0}

(1.44)

 h  0}

(1.45)

Và:
def



H h10 (grad, )    H h1 (grad, ), 
def

h



H h0 (curl, )  ω  H h (curl, ), n  ω
def



H h0 (div, )  ω  H h (div, ), n  ω

h

h

 n  ωh  0}

 n  ωh  0}.

(1.46)
(1.47)

1.4 Sơ đồ Tonti
Sơ đồ Tonti được mô tả như hình dưới đây [8]:

(1.48)
Sơ đồ (1.48) được gọi là sơ đồ cơ bản hoặc sơ đồ kép liên quan đến các
phương trình chúng ta cần tính toán (tức là phần trên của sơ đồ là các biểu thức cơ
bản liên quan đến phương trình từ trường, phần phía dưới của sơ đồ liên quan đến
các phương trình mật độ điện trường).
Các phương trình Maxwell được trình bày ở phần (1.1 – 1.4) với các luật
trạng thái (1.7 – 1.8) và (1.14) cũng được mô tả trong sơ đồ (1.48). Thật vậy, các

HV: Trần Thanh Tuyền

11

KTĐ 2013 - 2015


Viện Điện

Trường ĐHBK Hà Nội

trường vector như h và e được tính toán giá trị theo đường biên thông qua không
gian hàm H(curl,). Các vector giống như b hoặc j được tính toán giá trị thông qua
thông lượng qua bề mặt theo H(div,). Tương t , trường vô hướng
  H e1 (grad, ) và   L1 () được xác định và tích phân trên miền khối tương ứng.

Không gian hàm của các giá trị h, d, j, e và b như sau:
h  H h (curl ; ) d , j  H h (div; )
e  H e (curl ; ) và b  H e (div; )

Hệ phương trình và luật trạng thái được mô tả trong sơ đồ sau:

(1.49)
Sơ đồ này áp dụng dễ dàng đưa ra các phương trình phần tử hữu hạn. Đối với
bài toán điện từ, các phương trình thường dẫn theo hướng ngang trên cả hai chiều
của sơ đồ, trong đó các luận trạng thái đưa ra theo chiều dọc của sơ đồ.
D a trên cơ sở sơ đồ Tonti (1.48), chúng ta có thể có 2 hướng nghiên cứu bài
toán từ động.
Thứ nhất, nếu bài toán thỏa mãn định luật Ampere với b = μh, khi đó

h  H h (curl ; ) và j  H h (div; ). Điều đó có nghĩa là b phải thuộc H h (curl ; ) và vì

vậy định luật Faraday được coi là phương trình yếu nhận của bài toán. Từ đây ta có
thể xác định được biểu thức mật độ từ thông (b – formulation).
Thứ hai, nếu bài toán thỏa mãn định luật Faraday với b = μh, khi đó
e  H e (curl ; ) và b  H e (div; ). Điều đó có nghĩa h cũng thuộc H e (curl ; ) và vì

vậy định luật Ampere được coi là phương trình yếu nhận của bài toán. Hướng đi này
giúp ta xác định được biểu thức từ trường (h – formulation).
Một trong hai hướng giải trên được sử dụng với các điều kiện bài toán phù
hợp. Biểu thức b – formulation thỏa mãn chính xác định luật Ampere, trong đó biểu
thức h – formulation thỏa mãn định luật Faraday. Từ đó, giúp chúng ta có thể giải
quyết bài toán thông qua một trong hai hướng trên. Các phương trình yếu nhận dẫn
xuất để giải bài toán được tác giả trình bày ở nội dung tiếp theo của chương 2.

HV: Trần Thanh Tuyền

12

KTĐ 2013 - 2015


Viện Điện

Trường ĐHBK Hà Nội

1.5 Định nghĩa mô hình bài toán tổng quát
Mục đích của chúng ta là giải hệ phương trình Maxwell (1.1) – (1.4) cùng
với các luật trạng thái (1.11), (1.12) và (1.14) trong miền không bị chặn Ω trong
không gian Eculidean E3. Biên ∂Ω của miền Ω được ký hiệu là Г với các đặc tính: μ

> 0, ζ ≥ 0 và ε ≥ ε0. Miền nghiên cứu Ω có thể chia thành hai phần: một miền dẫn
gọi là Ωc (ζ > 0) và một miền không dẫn ΩcC = Ω\Ωc (ζ = 0). Vector đơn vị pháp
tuyến hướng ra phía ngoài trường của đường bao Г ký hiệu là n. Mô hình như vậy
được chỉ trong hình 1.2:
Г = Гh U Гe

(1.50)

Trong phạm vi của đề tài này, các nguồn của bài toán điện từ có thể là các
cuộn dây dẫn điện được xác định bởi các đại lượng cục bộ hoặc các đại lượng chính
(ví dụ, như điện áp và dòng điện) và vị trí đặt bên trong hoặc bên ngoài miền Ω như
hình 1.2. Miền Ωe được xem như là tập hợp miền cuộn dây Ωe,i với i = 1, ..., e nằm
bên ngoài miền Ω. Trường được tạo ra bởi các nguồn này được xác định ưu tiên.
Các nguồn bên trong của miền nghiên cứu Ω bao gồm Ωs và Ωg, chúng là
tập con của miền Ω. Miền mỏng Ωt được trình bày trong [14].

Hình 1.2: Miền bị chặn Ω và các miền con Ωg, Ωs và Ωt
1.6 Mô hình bài toán từ tĩnh và bài toán từ động
Từ hệ phương trình Maxwell tổng quát ở phần 1.2, hai mô hình bài toán bài
toán từ động và từ tĩnh được xác định như sau:
1.6.1 Mô hình bài toán từ tĩnh

HV: Trần Thanh Tuyền

13

KTĐ 2013 - 2015


Viện Điện

Trường ĐHBK Hà Nội

Mô hình bài toán từ động là mô hình được xem xét với các hiện tượng điện
từ độc lập về thời gian (đó là ∂td = 0, ∂tb = 0). Khi đó, các phương trình Maxwell
(1.1) – (1.4) và các luật trạng thái (1.11) được viết lại như sau:
curl h = j, divb = 0 , b = μh,

(1.51a-b-c)

trong đó: j = js là mật độ dòng điện áp được đặt vào miền Ωs. Mật độ từ cảm b trong
phương trình (1.51b) có thể xác định từ một vector từ thế a trong toàn bộ miền Ω,
thật vậy:
b = curl a

(1.52)

Tuy nhiên, a không phải là duy nhất (a được xác định là một Gradient của
một hàm bất kỳ). Thật vậy, nếu a là một nghiệm thì một hàm bất kỳ có thể viết a’ =
a + grad f cũng là một nghiệm và không phụ thuộc vào f. Để có được nghiệm duy
nhất của a, một điều kiện Gauss phải được áp dụng [8], [14]. Các điều kiện biên cần
thiết có thể xác định như sau:
n × a = 0 trên miền Гe,

(1.53)

điều đó có nghĩa rằng n·b = 0 trên miền Гe. Điều đáng chú ý rằng b luôn luôn được
xác định là duy nhất ngay cả khi a không xác định duy nhất.
Từ trường h trong công thức (1.51a) được phân tích thành hai thành phần hs
và hr, đó là:

h = h r + hs ,

(1.54)

trong đó hs là một trường nguồn được xác định thông qua mật độ dòng điện được
đặt vào cuộn dây:
curl hs = js

(1.55)

Từ trường hs trong công thức (1.55) chỉ được xác duy nhất nếu điều kiện
Gauss được đặt vào. Ngoài ra, trường này cũng có thể xác định thông qua định luật
Biot – Savart [14].

HV: Trần Thanh Tuyền

14

KTĐ 2013 - 2015


Viện Điện

Trường ĐHBK Hà Nội

Hình 1.3: Mặt cắt của miền đa liên
Từ trường hr trong phương trình (1.54) được tạo ra do từ hóa của vật liệu từ
và được gọi là trường phản ứng. Trong các vùng không có dòng điện (khe hở không
khí), trường này có thể được xác định thông qua một từ thế vô hướng ϕ, đó là:
hr  grad

(1.56)

Phương trình (1.56) được xem như là phương trình đơn giản nhưng chúng ta
cần phải kiểm tra thông qua miền nghiên cứu th c tế. Nếu miền nghiên cứu không
phải là một s kết nối đơn giản (ví dụ: một trường hợp dòng điện vòng kín), chúng
ta phải sử dụng một mặt cắt  với s không liên tục của từ thế ∆ϕ , được đưa vào để
xác định dòng điện [14][15]. Nếu một vòng kín mang theo một dòng điện (hình
1.3), thông lượng từ trường dọc theo đường cong khép kín bằng tổng dòng điện I
chạy qua mặt kín đó (định luật Ampere), tức là:



C

hr dl 



C

grad  dl    I

(1.57)

Căn cứ vào sơ đồ Tonti, đối với bài toán từ tĩnh, các đại lượng cần xác định
h ϵ Hh(curl; Ω) và j ϵ Hh(div; Ω), b ϵ He(div; Ω) (nghiệm của phương trình
(1.51) với luật trạng thái (1.11)), điện thế ϕ ϵ He1(Ω) và a ϵ He (curl; Ω) có thể
được xác định trong sơ đồ Tonti và được kiểm tra bởi (1.52) và (1.56) một cách
tương ứng. Các không gian còn lại như He1(Ω), Hh(curl; Ω), He(curl; Ω), He(div;

Ω) cũng được xác định trong sơ đồ Tonti và chứa các điều kiện BC áp dụng cho các
trường trên các biên Гh và Гe của miền nghiên cứu Ω.
1.6.2 Mô hình bài toán từ động
Trong mô hình này, giả thiết chính là kích thước của miền Ω nhỏ hơn rất
nhiều so với chiều dài bước sóng λ = c/f trong mỗi môi trường. Do đó, mật độ dòng

HV: Trần Thanh Tuyền

15

KTĐ 2013 - 2015


Viện Điện

Trường ĐHBK Hà Nội

điện dịch chuyển ∂td trong phương trình (1.1) có thể bỏ qua được. Vì vậy, phương
trình Maxwell tổng quát (1.1) – (1.4) được viết lại như sau:
curl e = -∂tb , curl h = j,

div b = 0

(1.58.a-b-c)

với hai luật trạng thái (1.11) và (1.14) của vật liệu là:
b = μh,

j = σe

(1.59 a-b)

Các phương trình (1.58a-b) được giải cùng với các điều kiện biên, với các
thành phần tiếp tuyến của trường n×e và trường n×h lần lượt được đặt lên biên Гh
và Гe.
Một cách tương t như đối với bài toán từ tĩnh, đối với phương trình (1.58c)
từ cảm b được xác định thông qua một từ thế vector a, tức là:
b = curl a

(1.60)

Kết hợp phương trình (1.60) với (1.58a), ta được curl (e + ∂ta) = 0, điều này
dẫn đến s xác định của điện thế vô hướng v như sau:
e = - ∂ta – gradυ

(1.61)

Một cách tương t như trường hợp của bài toán từ tĩnh, một điều kiện Gauss
được đặt vào để đảm bảo tính duy nhất của nghiệm a. Một điều kiện Gauss được ẩn
trong miền dẫn ΩC cho điện thế vô hướng υ bằng không trong toàn miền dẫn ΩC.
Điều này dẫn đến một s tổng quát hóa của của s thay đổi công thức từ thế vector
[14]. Từ phương trình (1.58b), từ trường h được phân tích thành:
h = hs + hr – grad ϕ , với curl hs = js,

(1.62)

trong đó trường hr được xác định trong vùng dẫn Ωc và từ thế vô hướng ϕ được xác
định trong vùng không dẫn ΩcC. Từ thế ϕ trong vùng ΩcC là đa trị khi miền ΩcC là
một đa kết nối và khi đó giá trị đơn trị được xác định thông qua các lớp cắt ∑i của
mỗi một lỗ trong miền dẫn Ωc [14][15].

Bài toán từ động cũng được xác định theo sơ đồ Tonti. Các đại lượng h ϵ
Hh (curl; Ω) và j ϵ Hh (div; Ω), b ϵ He (div; Ω), e ϵ He (curl; Ω) (nghiệm của
phương trình (1.51) với luật trạng thái (1.11)), ϕ ϵ Hh1(Ω), a ϵ He(curl;Ω) và υ ϵ
He1(Ω) có thể được xác định trong sơ đồ Tonti và được kiểm tra thông qua (1.60)

HV: Trần Thanh Tuyền

16

KTĐ 2013 - 2015