Ứng dụng phương pháp backstepping trong điều khiển robot hai bậc tự do planar (planar 2DOF)

MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan……………………………………………………………………….….4
Lời cám ơn………………………………………………………………………….….5
Danh mục các bảng
Danh mục các hình vẽ, đồ thị
MỞ ĐẦU………………………………………………………………………….……6
CHƢƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ ROBOT CÔNG NGHIỆP ....................................... 7
1.1

Khái niệm về Robot và Robot công nghiệp .................................................... 7

1.2

Phân loại robot công nghiệp ............................................................................ 8

1.3

Ứng dụng Robot trong công nghiệp .............................................................. 10

CHƢƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT PHƢƠNG PHÁP BACKSTEPPING ............ 13
2.1

Đặt vấn đề ........................................................................................................ 13

2.2

Lý thuyết ổn định Lyapunov ......................................................................... 14

2.3

Lý thuyết phƣơng pháp Backstepping ......................................................... 19

2.3.1

Thiết kế cuốn chiếu hàm CLF cho hệ truyền thẳng ............................... 20

2.3.2

Thiết kế cuốn chiếu hàm CLF cho hệ truyền ngược .............................. 22

2.4

Phƣơng pháp điều khiển backstepping tổng quát cho robot n dof: .......... 24

2.4.1

Phân tích các tham số trong phương trình động lực học ....................... 24

2.4.2

Điều khiển trong không gian khớp .......................................................... 25

2.4.3

Luật điều khiển backstepping trong không gian làm việc ...................... 27

CHƢƠNG 3 ÁP DỤNG PHƢƠNG PHÁP ĐIỀU KHIỂN BACKSTEPPING CHO
ROBOT PLANNAR 2 BẬC TỰ DO .......................................................................... 32
3.1

Giải bài toán động học thuận robot Pelican (Planar 2DOF) ...................... 33

3.2

Giải bài toán động học ngƣợc robot Pelican ................................................ 35

3.3

Động lực học robot Pelican ............................................................................ 35

3.4

Tính toán ma trận Jacoby : ........................................................................... 39

3.5

Điều khiển Backstepping cho robot Pelican trong không gian khớp: ....... 40
1


3.6

Điều khiển Backstepping cho robot Pelican trong không gian làm việc: .. 40

CHƢƠNG 4: KẾT QUẢ MÔ PHỎNG ĐIỀU KHIỂN CHUYỂN ĐỘNG ROBOT
PELICAN BẰNG PHƢƠNG PHÁP BACKSTEPPING VÀ BÀN LUẬN ............. 42
CHƢƠNG 5: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.............................................................. 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 49
PHỤ LỤC ...................................................................................................................... 50

2


Danh mục các hình vẽ, đồ thị
Hình 1-1: Mô tả dạng hình học của một số loại robot ................................................. 9
Hình 1-2: Biểu đồ tỉ lệ ứng dụng robot trong công nghiệp phân theo công việc [1] 12
Hình 1-3: Biểu đồ phân bố tỷ lệ các loại robot theo phƣơng pháp điều khiển [1]...... 12
Hình 2-1: Minh họa khái niệm ổn định Lyapunov...................................................... 16
Hình 2-2 Kiểm tra tính ổn định của hệ tại

............................................................... 17

Hình 2-3: Đối tƣợng truyền thẳng qua một khâu tích phân ........................................ 20
Hình 2-4 Cấu trúc hệ truyền ngƣợc ............................................................................. 22
Hình 3-1 Hình ảnh robot Pelican ................................................................................ 32
Hình 3-2 Mô tả hệ tọa độ gắn với các khớp của robot Pelican ................................... 32
Hình 3-3 Hệ trục tọa độ gắn với các khớp của robot Pelican ..................................... 33
Hình 4-1: Kết quả mô phỏng trên Matlab chuyển động bám quỹ đạo trong .............. 44
Hình 4-2: Kết quả mô phỏng trên Matlab chuyển động bám quỹ đạo trong không ... 45
Hình 4-3: Sơ đồ khối mô phỏng điều khiển bám quỹ đạo trong không gian làm việc
của robot Pelican ......................................................................................................... 46
Hình 4-4: Kết quả mô phỏng chuyển động bám quỹ đạo trong không gian làm việc
của robot Pelican với các thông số điều khiển tại 4-3................................................. 47

Danh mục các bảng
Bảng 1 Tham số mô tả robot Pelican ........................................................................33
Bảng 2 Bảng thông số D – H: ...................................................................................34
Bảng 3: Thông số động học và đông lƣc hoc ............................................................43

3

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan:
1. Những nội dung trong luận văn này là do tôi thực hiện dƣới sự hƣớng dẫn trực
tiếp của PGS. TS. Nguyễn Phạm Thục Anh – giảng viên bộ môn Tự động hóa,
trƣờng Đại học Bách Khoa Hà Nội.
2. Mọi tham khảo trong luận văn đều đƣợc trích dẫn rõ ràng tên tác giả, tên công
trình, thời gian, địa điểm công bố.
3. Mọi sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo, hay gian trá, tôi xin chịu
hoàn toàn trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 10 năm 2015
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Dung

4


LỜI CẢM ƠN
Trƣớc hết, với tình cảm chân thành và lòng biết ơn sâu sắc, tôi xin gửi lời cảm
ơn đến các thầy, cô giáo Bộ môn Tự động hóa xã hội chủ nghĩa; các thầy, cô giáo
Khoa Điện, Viện Điện; các cán bộ làm công tác quản lý Khoa Điện, Viện Điện, Viện
Đào tạo sau đại học trƣờng Đại học Bách Khoa Hà Nội đã tận tình truyền thụ kiến
thức, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu để hoàn thành Luận văn thạc
sỹ.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Lãnh đạo Viện Khoa học năng lƣợng đã động
viên, khuyến khích, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi về thời gian, cơ sở vật chất cần
thiết trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Nguyễn Phạm Thục

Anh đã dành nhiều thời gian tâm huyết, trực tiếp hƣớng dẫn tận tình, chỉ bảo và tạo
điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình thực hiện nghiên cứu đề tài và hoàn
chỉnh luận văn chuyên ngành Điều khiển và Tự động hóa.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cám ơn gia đình, đồng nghiệp đã động viên,
khích lệ, chia sẻ và đồng hành cùng tôi trong cuộc sống cũng nhƣ trong quá trình học
tập và nghiên cứu.
Hà Nội, ngày 06 tháng 10 năm 2015
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Dung

5


MỞ ĐẦU
Robot công nghiệp đóng một vai trò quan trọng trong các hệ thống sản xuất,
đặc biệt trong các hệ thống sản xuất linh hoạt. Tuy nhiên động lực hệ thống robot
mang tính phi tuyến cao và các thông số của nó rất khó khăn để xác định chính xác.
Điều đó ảnh hƣởng đáng kể đến độ chính xác bám quỹ đạo chuyển động của robot
khi áp dụng các phƣơng pháp điều khiển cơ bản do các phƣơng pháp này đòi hỏi cần
phải có đầy đủ thông tin về các thông số động học, động lực học của robot nhƣ: chiều
dài thanh nối, khoảng cách từ trục khớp nối đến trọng tâm thanh nối, khối lƣợng, mô
men quán tính, hệ số ma sát. Yêu cầu đƣợc đặt ra là phát triển các thuật toán thông
minh hơn để áp chế đƣợc sự bất định về thông số động lực học, loại bỏ nhiễu ngoại
và đảm bảo bám quỹ đạo chính xác. Phƣơng pháp điều khiển thích nghi và bền vững
đƣợc xem nhƣ những giải pháp phù hợp. Hàng loạt các giải thuật điều khiển đƣợc đề
xuất trong đó có phƣơng pháp Backstepping và hiện là một phƣơng pháp đang đƣợc
quan tâm nghiên cứu nhằm giải quyết vấn đề đặt ra.
Ƣu thế vƣợt trội của phƣơng pháp Backstepping là đƣa ra một quy trình mang
tính hệ thống cao trong thiết kế bộ điều khiển đảm bảo ổn định bằng giải pháp tuần tự

theo từng bƣớc. Ƣu thế khác của backstepping là tránh đƣợc sự triệt tiêu tính phi
tuyến hữu ích để đạt đƣợc ổn định trong bám quỹ đạo. Trong bài luận văn này, đã
chứng minh rằng kỹ thuật backstepping có thể tăng tính bền vững của chuyển động
bám quỹ đạo trong điều kiện bất định về thông số động lực học. Nội dung chính của
luận văn gồm 4 chƣơng chính sau:
-

Tổng quan về Robot công nghiệp
Cơ sở phƣơng pháp Backstepping
Xây dựng mô hình toán của Robot Planar 2DOF

-

Áp dụng phƣơng pháp Backstepping cho điều khiển bám quỹ đạo của
Robot Planar 2DOF

6


CHƢƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ ROBOT CÔNG NGHIỆP
1.1 Khái niệm về Robot và Robot công nghiệp
Thuật ngữ “Robot” lần đầu tiên xuất hiện năm 1922 trong tác phẩm
“Rossum’s Universal Robot” của Kerel Capek. Theo tiếng Séc thì robot là ngƣời làm
tạp dịch. Trong tác phẩm này nhân vật Rossum và con trai của ông đã tạo ra những
chiếc máy gần giống nhƣ con ngƣời để hầu hạ con ngƣời [1]
Có rất nhiều khái niệm về Robot. Có thể dẫn ra một số khái niệm nhƣ sau:
-

Robot là một tay máy có nhiều chức năng thay đổi đƣợc các chƣơng trình hoạt

động, đƣợc dùng để di chuyển vật liệu, chi tiết máy, dụng cụ hoặc dùng cho những
công việc đặc biệt thông qua những chuyển động khác nhau đã đƣợc lập trình nhằm
mục đích hoàn thành những nhiệm vụ đa dạng.1
-

Robot là một loại máy có thể thực hiện những công việc một cách tự

động bằng sự điều khiển của máy tính hoặc các vi mạch điện tử đƣợc lập trình và là
một tác nhân cơ khí, nhân tạo, ảo, thƣờng là một hệ thống cơ khí-điện tử. Với sự xuất
hiện và chuyển động của mình, robot gây cho ngƣời ta cảm giác rằng nó giác quan
giống nhƣ con ngƣời. Nhƣ vậy, từ "robot" (ngƣời máy) thƣờng đƣợc hiểu với hai
nghĩa: robot cơ khí và phần mềm tự hoạt động.2
Hiện nay, khái niệm về Robot vẫn chƣa thống nhất nhƣng một cách gần chính
xác thì robot phải có một vài (không nhất thiết phải đầy đủ) các đặc điểm sau đây:
-

Không phải là tự nhiên, tức là do con ngƣời sáng tạo ra.

-

Có khả năng nhận biết môi trƣờng xung quanh.

-

Có thể tƣơng tác với những vật thể trong môi trƣờng.

-

Có sự thông minh, có khả năng đƣa ra các lựa chọn dựa trên môi trƣờng và

đƣợc điều khiển một cách tự động theo những trình tự đã đƣợc lập trình trƣớc.

1
2

Theo Viện nghiên cứu về Robot của Hoa Kỳ
Theo Wikipedia

7


-

Có khả năng điều khiển đƣợc bằng các lệnh để có thể thay đổi tùy theo yêu

cầu của ngƣời sử dụng.
-

Có thể di chuyển quay hoặc tịnh tiến theo một hay nhiều chiều.

-

Có sự khéo léo trong vận động.
Do nhu cầu nâng cao năng suất và chất lƣợng sản phẩm ngày càng đòi hỏi ứng

dụng rộng rãi các phƣơng tiện tự động hóa trong sản xuất. Xu hƣớng tạo ra những
dây chuyền về thiết bị tự động có tính linh hoạt cao đang hình thành và đang thay thế
dần các máy tự động “cứng” chỉ đáp ứng một việc nhất định trong khi thị trƣờng luôn
đòi hỏi thay đổi mặt hàng về chủng loại, kích cỡ, tính năng… Việc ứng dụng robot để
tạo ra các hệ thống sản xuất tự động linh hoạt ngày càng tăng nhanh dẫn đến sự ra

đời của Robot công nghiệp. Một số khái niệm về Robot công nghiệp nhƣ sau:
-

Robot công nghiệp là những máy hoạt động tự động đƣợc điểu khiển theo

chƣơng trình thể hiện việc thay đổi vị trí của những đối tƣợng thao tác khác nhau với
mục đích tự động hoá các qúa trình sản xuất.3
-

Robot công nghiệp là những thiết bị tự động linh hoạt, bắt chƣớc đƣợc các

chức năng lao động, công nghiệp của con ngƣời. Trong đó,
+ Thiết bị tự động linh hoạt: nhấn mạnh khả năng thao tác với nhiều bậc tự do,
đƣợc điều khiển trợ động và lập trình thay đổi đƣợc.
+ Bắt chƣớc chức năng lao động, công nghiệp của con ngƣời: nhấn mạnh sự
không hạn chế từ các chức năng lao động chân tay đơn giản đến trí khôn nhân tạo,
tùy theo loại hình công việc lao động cần đến chức năng đó hay không và mức độ
cần thiết bắt chƣớc đƣợc nhƣ con ngƣời hay không.
1.2 Phân loại robot công nghiệp
Trong công nghiệp ngƣời ta sử dụng những đặc điểm khác nhau cơ bản nhất
của Robot để giúp cho việc nhận biết dễ dàng. Có 4 yếu tố chính để phân loại rôbôt
nhƣ sau:
3 Theo Mikell p.groo ve – chuyên gia nghiên cứu rôbôt

8


-

Theo dạng hình học của không gian hoạt động: Robot tọa độ vuông góc, robot

tọa độ trụ, robot tọa độ cầu, robot bản lề, robot phỏng sinh.

a) Robot liên kết bản lề

b) Robot tọa độ vuông góc

c) Robot tọa độ trụ

d) Robot dạng SCARA

Hình 1-1: Mô tả dạng hình học của một số loại robot

-

Theo cách thức và đặc trƣng điều khiển: Robot điều khiển tự động; Robot điều

khiển bằng dạy học; Robot điều khiển bằng tay; Robot nhìn đƣợc…
-

Theo dạng công nghệ chuyên dụng: Robot sơn, Robot hàn, Robot lắp ráp…

-

Theo nguồn đẫn động: Robot dùng nguồn cấp điện; Robot dùng nguồn khí

nén; Robot dùng nguồn thủy lực. Trong đó, robot dùng nguồn cấp điện có ƣu điểm là
thiết kế gọn, chạy êm, định vị rất chính xác, hiện đƣợc ứng dụng nhiều trong công
nghiệp hàn và sơn. Robot dùng nguồn khí nén và thủy lực thƣờng cồng kềnh, sử
9

dụng nhiều trong công nghiệp thực hiện các thao tác lắp đặt không đòi hỏi độ chính
xác cao, tải trọng lớn.
-

Theo thế hệ robot: Hiện nay có 5 thế hệ robot từ Robot thế hệ thứ nhất đến

Robot thế hệ thứ 5. Trong đó, Robot thế hệ thứ 5 là hiện đại nhất, đƣợc trang bị trí
tuệ nhân tạo nhƣ nhận dạng tiếng nói, hình ảnh; xác định khoảng cách; cảm nhận đối
tƣợng tiếp xúc.
1.3 Ứng dụng Robot trong công nghiệp
Mục tiêu ứng dụng rôbôt trong công nghiệp nhằm góp phần nâng cao năng suất
dây chuyền công nghệ, giảm giá thành, nâng cao chất lƣợng và khả năng cạnh tranh
của sản phẩm; cải tiến điều kiện lao động. Điều này xuất phát từ những ƣu điểm cơ
bản của robot, đã kết thúc lại qua bao nhiêu năm đƣợc ứng dụng ở nhiều nƣớc.
Những ƣu điểm cơ bản đó là:
-

Robot có thể thực hiện một quy trình thao tác hợp lý bằng hoặc hơn thợ lành

nghề một cách ổn định trong suốt thời gian làm việc. Vì thế robot có thể góp phần
nâng cao chất lƣợng và khả năng cạnh tranh của sản phẩm. Hơn thế, robot còn có thể
nhanh chóng thay đổi công việc để thích nghi với sự biến đổi mẫu mã, kích cỡ sản
phẩm theo yêu cầu của thị trƣờng cạnh tranh.
-

Khả năng giảm giá thành sản phẩm do ứng dụng rôbôt do giảm đƣợc đáng kể

chi phí cho ngƣời lao động, nhất là ở các nƣớc tiên tiến có giá nhân công lao động,

phụ cấp, bảo hiểm xã hội cao. Theo số liệu của Nhật Bản thì nếu một rôbôt làm việc
thay cho môt ngƣời thợ thì tiền mua rôbôt chỉ bằng tiền chi phí cho ngƣời thợ đó từ 3
đến 5 năm tuỳ theo số ca làm việc của rôbôt.
-

Việc áp dụng rôbôt có thể làm tăng năng suất dây chuyền công nghệ đến 3 lần

do có thể tăng tốc độ làm việc và khả năng làm việc liên tục trong thời gian dài.
-

Ứng dụng rôbôt có thể cải thiện điều kiện lao động. Đó là ƣu điểm nổi bật mà

chúng ta cần lƣu tâm. Trong thực tế sản xuất có rất nhiều nơi ngƣời lao động phải
làm việc suốt buổi trong môi trƣờng rất bụi bặm, ẩm ƣớt, nóng nực hoặc ồn ào quá

10


mức cho phép nhiều lần. Thậm chí ở nhiều nơi ngƣời lao động còn làm việc ở môi
trƣờng độc hại, nguy hiểm đến sức khoẻ của con ngƣời, nguy cơ tại nạ lao động cao,
dễ bị nhiễm hoá chất độc hại, nhiễm sóng điện từ và phóng xạ.
Các lĩnh vực ứng dụng nhiều robot công nghiệp nhƣ sau:
1/ Công nghiệp luyện kim: Robot đƣợc ứng dụng để tự động hóa công đoạn
đúc, bao gồm: rót kim loại nóng chảy vào khuôn, lấy vật đúc ra khỏi khuôn, cắt
bavia; phục vụ các máy đúc áp lực; chuẩn hóa về thời gian thao tác, nhiệt độ…
2/ Trong công nghiệp gia công áp lực: Robot đƣợc sử dụng nhiều để cấp, lấy,
lật phôi cho các máy rèn, dập. Trong lĩnh vực này, việc áp dụng các loại robot đơn
giản nhất cũng có thể đƣa năng suất lao động tăng 1,5 ÷ 2 lần, cải thiện điều kiện làm
việc cho ngƣời lao động. So với các cơ giới và tự động khác phục vụ các máy rèn dập
thì dùng robot có ƣu điểm là nhanh hơn, chính xác hơn và cơ động hơn.

3/ Trong công nghiệp hàn và nhiệt luyện: Robot đƣợc sử dụng phổ biến trong
tự động hóa quá trình hàn, đặc biệt trong công nghiệp sản xuất ô tô nơi hàn hồ quang
sử dụng robot có thể cho các mối hàn dài chạy theo đƣờng cong trong không gian.
Ngoài ra, robot hàn còn phát huy tác dụng lớn khi thực hiện hàn trong những môi
trƣờng đặc biệt.
4/ Trong công nghiệp gia công và lắp ráp: Robot dùng nhiều để thực hiện các
công việc tháo lắp phôi và sản phẩm cho các máy gia công bánh răng, máy khoan,
máy tiện bán tự động…

11


Hình 1-2: Biểu đồ tỉ lệ ứng dụng robot trong công nghiệp phân theo công việc [1]

Hình 1-3: Biểu đồ phân bố tỷ lệ các loại robot theo phƣơng pháp điều khiển [1]

12


CHƢƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT PHƢƠNG PHÁP BACKSTEPPING
2.1 Đặt vấn đề
Robot công nghiệp thƣờng đƣợc điều khiển trong không gian khớp. Trong
thực tế, để bám theo một quỹ đạo đặt trƣớc trong không gian làm việc, thì robot công
nghiệp phải đi theo một quỹ đạo định trƣớc trong không gian khớp. Sự biến đổi từ
không gian làm việc sang không gian khớp đƣợc thực hiện bằng kỹ thuật “dạy và lặp
lại” (teach and play back) thay cho việc sử dụng khâu biến đổi động học ngƣợc có
thể bao gồm mô hình không xác định. Kỹ thuật này làm việc tốt nếu phép biến đổi có
thể lặp lại. Do vậy sẽ không ngạc nhiên nếu một bộ điều khiển không gian khớp có
thể thực hiện bám theo quỹ đạo thiết kế trong không gian làm việc mà không cần
phản hồi từ vị trí khâu tác động cuối, từ đó robot công nghiệp đƣợc kết cấu chất

lƣợng cao với khả năng lặp lại chính xác và giải quyết để loại bỏ tính không xác định.
Trong điều khiển không gian khớp, phản hồi từ không gian khớp đƣợc đƣa về
để điều khiển hệ thống bám theo quỹ đạo thiết kế. Hệ thống điều khiển này không
phát hiện ra sai lệch vị trí của khâu tác động cuối trong không gian làm việc. Hơn
nữa, việc thu đƣợc tín hiệu phản hồi từ không gian làm việc không dễ dàng nhƣ ở
không gian khớp: vị trí của khớp đƣợc đo phù hợp bằng thiết bị encoder; vị trí khâu
tác động cuối có thể đƣợc phát hiện khi sử dụng hệ thống quan sát.
Có một thách thức trong điều khiển robot là loại bỏ tính bất định, phi tuyến và
sự nối từ nhiều hƣớng khác nhau trong không gian của điều khiển bền vững. Điều
khiển bền vững cung cấp sự ổn định trong tính bất định với sự đánh đổi giữa thực
hiện bám và biên giới của sự bất định. Phƣơng pháp điều khiển này tiếp cận bao quát
để điều khiển robot trong không gian khớp trong khi điều khiển trong không gian làm
việc vẫn là vấn đề phức tạp.
Bộ điều khiển xấp xỉ Jacoby đƣợc đề xuất với không gian làm việc suy giảm
cho điều khiển giá trị đặt của robot với động học và động lực học bất định. Và bộ
điều khiển thích nghi Jacoby đƣợc đề nghị cho điều khiển bám quỹ đạo của tay máy
trong không gian làm việc khi các tham số không xác định. Bộ điều khiển không yêu

13


cầu chính xác về ma trận Jacoby và thông số động học. Hơn nữa, một phƣơng pháp
điều khiển bám thích nghi trong không gian làm việc đƣợc đề xuất sử dụng quan sát
thông tin không gian làm việc để loại bỏ việc không xác định của các tham số trong
mô hình gồm cả thiết bị chấp hành. Nhƣ vậy điều khiển thích nghi robot trong không
gian làm việc sẽ thành công trong việc loại bỏ sự bất định của các thông số, tuy nhiên
tính không có cấu trúc là một vấn đề cần tiếp tục xem xét.
Hiện nay trên phƣơng diện lý thuyết có nhiều phƣơng pháp thiết kế phi tuyến
nhƣ phƣơng pháp tuyến tính hóa chính xác, phƣơng pháp tựa phẳng, điều khiển mờ,
mạng nơron… Trong đồ án này sử dụng phƣơng pháp thiết kế phi tuyến dựa trên cơ

sở hàm Lyapunov thiết lập theo phƣơng pháp Backstepping.
2.2 Lý thuyết ổn định Lyapunov
*

Xác định điểm cân bằng và điểm làm việc:
Xét hệ thống không tự trị mô tả bởi:
(2.1)
Trong đó

là vecto các tín hiệu trạng thái( hệ có

là vecto các tín hiệu điều khiển ( hệ có
Điểm trạng thái cân bằng

tín hiệu đầu vào).

của hệ (2.1) là điểm mà hệ sẽ nằm nguyên tại đó

khi không bị một tác động nào từ bên ngoài (
của hệ (2.1) cũng là điểm cân bằng
thái cân bằng

biến trạng thái ) và

) ,nhƣ vậy các trạng thái xác lập

của nó. Theo định nghĩa trên thì điểm trạng

phải là nghiệm của:
(

)

̃(

)

(2.2)

Do phƣơng trình (2.2) có thể có nhiều nghiệm hoặc có thể vô nghiệm nên hệ
phi tuyến (2.1) có thể có nhiều điểm cân bằng nhƣng cũng có thể không có một điểm
cân bằng nào. So sánh với một hệ tuyến tính tham số hằng có mô hình trạng thái:
(2.3)

14


luôn cân bằng tại gốc tọa độ
những cân bằng tại gốc
Nếu ma trận

. Ngoài ra nếu ma trận

suy biến thì nó không

mà còn tại tất cả các điểm thuộc không gian nhân

.

còn là không suy biến (khả nghịch) thì hệ tuyến tính (2.3) chỉ có một

điểm cân bằng duy nhất là tại gốc tọa độ.
Tƣơng tự nhƣ khái niệm về điểm cân bằng

nhƣng ứng với một tác động

cố định không đổi và cho trƣớc ta còn khái niệm về điểm dừng đƣợc định
nghĩa nhƣ sau: “Một điểm trạng thái
hệ đang ở trạng thái

đƣợc gọi là điểm dừng của hệ (2.1) nếu nhƣ

và với tác động

cố định cho trứơc thì hệ sẽ nằm

nguyên tại đó”. Nhƣ vậy điểm dừng là nghiệm của:
(
*

)

(

)

Định nghĩa ổn định Lyapunov: Một trong những điều kiện hay tiêu chuẩn chất

lƣợng đầu tiên mà bộ điều khiển cần phải mang đến đƣợc cho hệ thống là tính ổn
định. Đây là tính chất động học đảm bảo rằng sau khi bị một tác động tức thời đánh

bật hệ ra khỏi điểm cân bằng

thì sau đó hệ có khả năng tự tìm về điểm cân bằng

ban đầu (hoặc ít nhất thì cũng về đƣợc lân cận khác của nó). Nói cách khác, nếu sau
khi bị nhiễu tức thời đánh bật ra khỏi điểm cân bằng
thái

không mong muốn nào đó mà hệ:

-

Tự quay đƣợc về một lân cận của

-

Tự quay về đƣợc đúng điểm cân bằng

cận tại

và đƣa tới một điểm trạng

thì đƣợc gọi là ổn định tại

.

ban đầu thì đƣợc gọi là ổn định tiệm

.
Điều kiện tự quay về đƣợc điểm cân bằng ban đầu có ý nói rằng không cần bất

kì một tác động cƣỡng bức nào từ bên ngoài để dẫn nó về
hiệu điều khiển , hay tín hiệu điều khiển đƣợc xem là bằng
là ổn định nếu nhƣ nghiệm

, tức là không cần tín
. Điều này cho thấy , hệ

của phƣơng trình vi phân (2.1) ứng với, gọi là quỹ

đạo trạng thái tự do, tức là nghiệm của:
(

)

15

̃(

)

(2.4)


Thỏa mãn điều kiện đầu

O , luôn có xu hƣớng tiến về

.

Do hệ phi tuyến (2.1) có thể có nhiều điểm cân bằng, nên khái niệm ổn định
của hệ phi tuyến cũng phải gắn liền với điểm cân bằng

đƣợc xét. Hệ (2.1) có thể

ổn định tại điểm cân bằng này , song lại không ổn định tại những điểm cân bằng
khác. Trong khi một hệ tuyến tính đã ổn định tại một điểm cân bằng nào đó thì cũng
sẽ ổn định tại mọi điểm cân bằng khác.
(

Định nghĩa: Giả sử hệ (2.1) cân bằng tại gốc tọa độ , tức là
Gọi O là một lân cận nào đó đủ lớn của
-

Ổn định tại

. Khi đó hệ (2.1) sẽ là:

của nó, tức là nghiệm của (2.4) , với điều kiện đầu

O, thỏa mãn: ‖ ‖
-

Ổn định tiệm cận tại

.

bất kì bao giờ cũng tồn tại δ phụ thuộc ε sao cho

nếu với

quỹ đạo trạng thái tự do

)

‖

‖

nếu nó ổn định tại

và thỏa mãn:

Lân cận O khi đó đƣợc gọi là miền ổn định. Nếu miền ổn định O là toàn bộ
không gian trạng thái thì tính ổn định còn đƣợc gọi là ổn định toàn cục.
Định nghĩa trên nói rằng nếu cho trƣớc một lân cận
điểm trong không gian trạng thái thỏa mãn ‖

‖

tùy ý nhƣng cho trƣớc, thì phải tồn tại một lân cận
quỹ đạo trạng thái tại thời điểm

‖

‖

, lân cận

cũng của

sao cho mọi đƣờng

thuộc lân cận

. Vì

phải nằm trong lân cận .
𝑥 𝑡
𝛿

𝜀

𝑥

Hình 2-1: Minh họa khái niệm ổn định Lyapunov

16

, tức là tập các

với là một số thực dƣơng

đi qua một điểm

thời điểm đó sẽ nằm hoàn toàn trong lân cận

của

thì kể từ

nên để có đƣợc


Tuy rằng khái niệm ổn định Lyapunov chỉ phát biểu cho trƣờng hợp điểm cân
bằng là gốc tọa độ

, song điều này hoàn toàn không hạn chế tính tổng quát của nó.

Chẳng hạn để xét tính ổn định của hệ (2.1) tại một điểm cân bằng
̃

̃

thông qua biến mới:

nào đó, thì

. Việc xét tính ổn định của nó tại

nay

sẽ trở thànhviệc xét tính ổn định của:
̃
tại điểm gốc tọa độ ̃

(̃

)

̃

.

Tiêu chuẩn Lyapunov: Để việc tiếp cận tới tiêu chuẩn Lyapunov đƣợc đơn

*

giản, ta sẽ bắt đầu với hệ tự trị có mô hình trạng thái không bị kích thích (
(

nó là:

̃

)

(2.5)

Giả thiết rằng hệ cân bằng tại gốc tọa độ
tại

của

. Khi đó để xét tính ổn định của hệ

, định nghĩa về tính ổn định Lyapunov gợi ý cho ta một hƣớng đi đơn giản

thông qua dạng quỹ đạo trạng thái tự do
giá trị đầu

O thích hợp. Chẳng hạn bằng cách nào đó ta đã có đƣợc họ

các đƣờng cong khép kín
định tại
thái đầu

của nó, tức là nghiệm của (2.5) với một

bao quanh gốc tọa độ

. Vậy thì để kiêmt tra hệ có ổn

hay không ta chỉ cần kiểm tra xem nghiệm
có cắt các đƣờng cong

này theo hƣớng từ ngoài vào trong hay không.

Nếu

cắt mọi đƣờng cong họ

tiến về

và do đó hệ sẽ ổn định tiệm cận tại
𝑥
𝑥 𝑡

của (2.5) đi từ điểm trạng

theo chiều từ ngoài vào trong thì hiển nhiên

𝑥
φ

.

∇𝒗
𝑥 𝑡

Hình 2-2 Kiểm tra tính ổn định của hệ tại

17


Rõ ràng là cần và đủ để quỹ đạo pha
cong khép kín thuộc họ
của

của hệ không cắt bất cứ một đƣờng

theo chiều từ trong ra ngoài là tại điểm cắt đó , tiếp tuyến

phải tạo với vecto ∇ , đƣợc định nghĩa là vecto vuông góc với đƣờng cong

đó theo hƣớng từ trong ra ngoài , một góc φ không nhỏ hơn 90o . Nói cách khác , hệ
sẽ ổn định tại

nếu nhƣ có đƣợc điều kiện sau:
|∇ | | |

Tại mọi giao điểm của

∇

(2.6)

với các đƣờng cong thuộc họ.

Vấn đề còn lại là làm thế nào để có đƣợc các đƣờng cong

sao cho việc kiểm

tra điều kiện (2.6) đƣợc thuận tiện. Câu trả lời là sử dụng hàm xác định dƣơng

,

đƣợc hiểu là một hàm trơn thỏa mãn:
| |
Với mọi
γ

| |

, trong đó

và

là hàm thuộc lớp

thực, không âm, đơn điệu tăng, thỏa mãn

còn có thêm

(2.7)

, của biến thực

đƣợc gọi là thuộc lớp

thì hàm

Với đặc điểm (2.7) của hàm xác định dƣơng
đƣờng cong

. Nếu

.

thì vectơ ∇ của họ các

sẽ đƣợc xác định một cách đơn giản nhƣ sau:
(

∇
Vì vectơ gradient
tăng giá trị

, tức là những hàm

của ( )

)

(

)

luôn luôn vuông góc với đƣờng cong

và chỉ chiều

,tức là chỉ chiều từ trong ra ngoài của đƣờng cong

Từ đây điều kiện (2.6) trở thành:
̃( )

∇
Trong đó ta thƣờng dùng kí hiệu:

18

.


̃( )

̃

và gọi là phép tính Lie.

Một cách tổng quát ta đi đến định lí phát biểu chung cho hệ phi tuyến không tự trị
nhƣ sau:
Định lí 2.1: Hệ phi tuyến không tự trị, cân bằng tại gốc tọa độ và khi không bị kích
thích thì đƣợc mô tả bởi mô hình:
̃
sẽ ổn định tại

(2.8)

với miền ổn định O nếu:

+ Trong O tồn tại một hàm xác định dƣơng

.

+ Đạo hàm của nó dọc theo (2.8) có giá trị không dƣơng trong O, tức là:
̃( )
Hàm

với

̃

O

(2.9)

khi đó đƣợc gọi là hàm Lyapunov (CLF).

Ngoài ra, nếu dấu bằng trong (2.9) xảy ra khi và chỉ khi

thì tính ổn định

đó còn gọi là ổn định tiệm cận tại .
2.3 Lý thuyết phƣơng pháp Backstepping
Cho đến nay, hàm CLF

đƣợc xem nhƣ là một công cụ toàn năng để thiết

kế bộ điều khiển ổn định cho đối tƣợng phi tuyến, cho cả những đối tƣợng phức tạp
nhƣ đối tuợng không dừng, không autonom, thậm chí bất định. Song hiện vẫn chƣa
có một phƣơng pháp tổng quát nào giúp ta xác định đƣợc hàm CLF một cách nhanh
chóng và đơn giản.
Một tƣ tƣởng thiết kế (hiện có lẽ là duy nhất) rất hữu ích trong việc xác định
hàm CLF cho hệ gồm nhiều hệ con tạo thành là thiết kế cuốn chiếu (backstepping)
hàm CLF. Đây là tƣ tƣởng xác định hàm CLF cho toàn hệ từ những hàm CLF của các
hệ con bên trong nó đƣợc giả thiết là đã biết. Bắt nguồn từ tƣ tƣởng này ngƣời ta
19


cũng đã xây dựng đƣợc một số phƣơng pháp thiết kế cụ thể cho các hệ có cấu trúc
cascade đặc biệt nhƣ hệ truyền thẳng (feedforward), hoặc hệ truyền ngƣợc
(backward).
2.3.1 Thiết kế cuốn chiếu hàm CLF cho hệ truyền thẳng
Cho đối tƣợng phi tuyến dạng truyền thẳng qua khâu tích phân
( )

,
Trong đó (

( )

) là vectơ các biến trạng thái và
𝑢

⬚

𝑧

𝑥

𝑓(𝑥)

(2.10)
là đầu vào điều khiển

𝑔(𝑥) 𝑧

𝑥

Hình 2-3: Đối tƣợng truyền thẳng qua một khâu tích phân
Giả thiết với khâu phi tuyến con bên trong (2.10) là:
( )

( )

(2.11)

( )

Trong đó
Ta đã có hàm điều khiển

cũng nhƣ bộ điều khiển

( ) tƣơng ứng. Vấn đề

và ( ) đó ta phải tìm hàm điều khiển Lyapunov (

đặt ra ở đây là từ

cũng nhƣ bộ điều khiển (

)

) cho đối tuợng truyền thẳng (2.10) ban đầu.

Định lí 2.2: Xét đối tƣợng truyền thẳng (2.10). Nếu khâu phi tuyến con (2.11) bên
trong nó có hàm điều khiển Lyapunov
( )

tƣơng ứng thỏa mãn

( )

và bộ điều khiển ổn định, khả vi
thì một trong các hàm điều khiển

Lyapunov có thể có của đối tƣợng ban đầu là:
(

)

( )

[

( )]

(2.12)

Tƣơng ứng với nó là bộ điều khiển phản hồi trạng thái:

20


(

)

Trong đó

[

( )

( )]

* ( )

( ) +

(2.13)

là một hằng số tùy ý.
( ) là tín hiệu điều

là hàm điều khiển Lyapunov và

Chứng minh: Nếu

khiển tƣơng ứng của hệ con (2.11) thì sẽ có:
( )

* ( )

( )

( )+

( ) thì do:

Tiếp theo , ta đặt

( )

( )

Và:
*

Ta sẽ có với (2.12) khi
(

:

)

(

)

(

)

Nhƣ vậy để chỉ (

[

*

*

*

)
⏟

+

) là hàm điều khiển Lyapunov cho đối tƣợng (2.10) ban

xác định theo (2.13), vì với nó ta có:
(

+]

+

đầu, ta chỉ cần chỉ rằng tồn tại ít nhất một tín hiệu (
đó chính là

+

(

)

21

) làm cho

(

)

, và


2.3.2 Thiết kế cuốn chiếu hàm CLF cho hệ truyền ngược

*

Xét hệ thống mô tả bởi:
( )

,
Trong đó (

(

( )

(2.14)

)

) là vectơ các biến trạng thái và

là đầu vào điều khiển.

Nhƣ vậy hệ này bao gồm một khâu phi tuyến với đầu vào “ảo” là :
( )

( )

( )

(2.15)

là tín hiệu điều khiển.

(2.16)

, trong đó

Và một khâu phi tuyến thứ hai :
(

)

, trong đó
𝑢

⬚

𝑧

𝑥

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) 𝑧

𝑥

(𝑥 𝑧)
Hình 2-4 Cấu trúc hệ truyền ngƣợc
Hai khâu này mắc nối tiếp. Chính vì có cấu trúc truyền ngƣợc thành phần
trạng thái

nhƣ vậy mà hệ (2.14) đƣợc gọi là hệ truyền ngƣợc.

Định lí 2.3: Xét hệ (2.14) bao gồm hai hệ (2.15) và (2.16) mắc nối tiếp. Giả thiết rằng
cho khâu phi tuyến con (2.15) với đầu vào “ảo”
điều khiển GAS tƣơng ứng ( ) thỏa mãn ( )

ta đã có hàm CLF

( ) cùng bộ

. Khi đó hệ lớn (2.14) ban đầu

cũng sẽ có hàm CLF nhƣ sau:
(

)

( )

[

( )]

(2.17)

Và tƣơng ứng với nó là bộ điều khiển GAS phản hồi trạng thái:
[

( )]

(

)

* ( )

22

( ) +


( ) là hàm CLF của (2.15) ứng với

Chứng minh: Trƣớc tiên, do có giả thiết rằng

bộ điều khiển ( ) nên phải có (theo LaSalle):
* ( )

( )

( )+

( )

( ) là hàm xác định dƣơng. Từ đây và cùng với hàm (

Với

) cho bởi (2.17), ta

có:
(

)

[

( )] *

* ( )

( ) +

* ( )

( )

+

[

( )] *

( )+

( )[

[

(

)

( )

( )

[

[

+

( )] *

( )] ,*

( )] ,* (

+

)

( )

( )]

+

( )-

( ) +

-

Nhƣ vậy nếu chọn bộ điều khiển thỏa mãn:
* (

)

( )

[
Với

( )]

(

( )

+

)

( )

là số nguyên lẻ, cùng với điều kiện ( )
(

)

( )

[

( )]

23

[

( )]

( )
, ta sẽ có hàm xác định âm:


2.4 Phƣơng pháp điều khiển backstepping tổng quát cho robot n dof:
2.4.1 Phân tích các tham số trong phương trình động lực học
*

Ta có phƣơng trình động lực học của robot

bậc tự do:

̈

(2.18)

Trong đó:
là vectơ góc khớp của cánh tay robot.
̈

là các véctơ vận tốc khớp và gia tốc khớp tƣơng ứng.
là ma trận quán tính xác định dƣơng.
là hàm véc tơ chứa lực coriolis và li tâm.
là hàm véctơ lực trọng trƣờng.
là ma trận đƣờng chéo của hệ số ma sát động và nhớt.
là véctơ ma sát tĩnh.
là véctơ chứa thành phần nhiễu tác động.
là hàm véctơ mô men tổng.

Thay:
̈

Ta đƣợc:

(2.19)

Trong phƣơng trình (2.19) chứa các thành phần không xác định nhƣ: lực ma
sát, tải thay đổi, nhiễu, mô hình động lực học. Nên ta tách ra thành các thành phần
xác định (known) và không xác định (unknown).
{

(2.20)

Trong đó:
{

*

Thiết kế bộ điều khiển cần phải có giả thiết sau:

 ‖

‖

‖ ‖
24


 ‖

‖

 ‖

‖ ‖

‖

 ‖ ‖
là các hằng số dƣơng đã biết trƣớc.

Với:

Ta có đƣợc các giả thiết này là do: Ma trận

là đối xứng xác định dƣơng,

các thành phần đều có biên độ giới hạn vì chỉ chứa các hàm
Thành phần lực

và momen nhớt

của biến khớp.

, momen trọng trƣờng

cũng

là những đại lƣợng bị chặn. Đồng thời thành phần masat, nhiễu cũng phải có giá trị
hữu hạn cho phép tùy thuộc kết cấu cơ khí của robot.
2.4.2 Điều khiển trong không gian khớp
*

Điều khiển đầu vào không gian khớp
Thay hệ phƣơng trình (2.20) vào (2.19) đƣợc
̈

(2.21)

Đặt sai lệch vị trí và sai lệch vận tốc trong không gian khớp là:

Theo phƣơng trình (2.21) ta đề xuất đƣa ra luật điều khiển có dạng sau:
̈
Ở đây: ̈

(2.22)

là gia tốc đặt trƣớc.
là các hằng số dƣơng.
là luật điều khiển bền vững mới.

Thay (2.22) vào (2.21) và rút gọn ta đƣợc:
̈

̈

(2.23)

Đặt:
̈

(2.24)

Coi tất cả các khớp là quay và theo các giả thiết phía trên ta có:
‖

‖

‖

‖‖ ̈ ‖

‖ ‖

‖ ‖
‖ ‖

25

‖ ‖

(2.25)