Nghiên cứu đường cong ứng suất giới hạn của vật liệu trực hướng

bộ giáo dục và đào tạo
trờng đại học bách khoa hà nội
---------------------------------------

luận văn thạc sĩ khoa học
ngành : cơ học K THUT

NGHIấN CU NG CONG NG SUT
GII HN CA VT LIU TRC HNG

Nguyễn TH LC

Hà Nội 2009


MỤC LỤC
Nội dung

Trang

Mục lục
Danh sách các ký hiệu hình vẽ và đồ thị
Lời nói đầu
CHƯƠNG I.TIÊU CHUẨN CHẢY DẺO

1
4

1.1. Các phương trình xác định. Các mô hình vật rắn.

4

1.2. Tiêu chuẩn chảy dẻo của Hill:

9

1.2.1. Tiêu chuẩn Hill 1979:

10

1.2.2. Tiêu chuẩn Hill 1948:

11

CHƯƠNG II.GIỚI THIỆU VỀ ĐƯỜNG CONG BIẾN DẠNG GIỚI HẠN

15

2.1 Khái niệm về đường cong giới hạn

15

2.2. Những yếu tố ảnh hưởng tới đường cong biến dạng giới hạn.

16

2.2.1. Ảnh hưởng của biến dạng trước trong trường hợp có biến dạng lớn

17

và ảnh hưởng của chất tải theo chu kì.

2.2.2. Ảnh hưởng của khuyết tật của vật liệu và lý thuyết dẻo áp dụng.
2.3. Các dạng co thắt của vật liệu

22
24

2.3.1. Sự co thắt khuyếch tán của biến dạng

24

2.3.2 Sự co thắt cục bộ ( theo các mô hình dẻo khác nhau)

24

2.3.2.1 Mô hình Hill (1952)

24

2.3.2.2 Mô hình của Storen và Rice

25

2.3.2.3. Mô hình của Hutchinson và Neale (1978)

26

2.3.3 Sự co thắt hỗn hợp của biến dạng (Tiêu chuẩn Cordebois)
CHƯƠNG III. MÔ HÌNH DẺO 3G
3.1. Mô hình của CRM

27
29
29

3.1.1. Biến dạng của trạng thái cắt thuần tuý

29

3.1.2. Quan hệ giữa các thành phần biến dạng trượt của mô hình dẻo 3G

35

và của lý thuyết cổ điển.


3.1.3. Các đẳng thức lý thuyết cơ bản của mô hình dẻo 3G
3.2. Bài toán dập phẳng

36
37

3.2.1. Mô hình dẻo nhớt

37

3.2.2. Hệ số dị hướng

38

3.3.

40

So sánh giữa mô hình dẻo 3G với mô hình dẻo trước đó.

3.3.1. Lý thuyết cơ bản

40

3.3.2. Lý thuyết theo CRM

41

3.3.3.Biểu thức của mô hình 3G biểu diễn theo dạng khác trước đó.
CHƯƠNG IV.ĐƯỜNG CONG BIẾN DẠNG GIỚI HẠN XÁC ĐỊNH

42
44

BẰNG THỰC NGHIỆM
4.1.Các đặc trưng cơ học của vật liệu thép tôn cán

44

4.2. Xác định biến dạng giới hạn của vật liệu

44

4.3. Xác định biến dạng giới hạn với quỹ đạo biến dạng phức tạp

47

CHƯƠNG V.XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG ỨNG SUẤT GIỚI HẠN

51

5.1. Theo lý thuyết dẻo 3G + Hill.

51

5.1.1. Trường hợp không có biến dạng trước

51

5.1.1.1 Tính ứng suất

52

5.1.1.2. Tính hệ số nhân dẻo dλ

53

5.1.2.Trường hợp có biến dạng trước

55

5.1.3.Tính các ứng suất theo phương chính của vật liệu

56

5.2. Lý thuyết dẻo Hill + Hollomon

57

5.2.1. Cơ sở lý thuyết

57

5.2.2. Các giả thuyết đơn giản hóa

59

5.2.3 Ứng suất giới hạn

59

5.3.Thuật toán và chương trình tính cho mô hình 3G +Hill.

62

5.3.1.Thuật toán

62

5.3.2. Chương trình

62


5.3.2.1.Phần thiết kế giao diện (Forms)

63

5.3.2.2. Phần xử lý dữ liệu (Module):

64

5.3.2.3. Phần đưa ra kết quả

64

5.4. So sánh hai mô hình Hill + Holonom và mô hình 3G + Hill

71

5.5 Kết luận.

72

Tài liệu tham khảo
Bảng tính toán kết quả
Thuật toán và chương trình
Tóm tắt


1

LỜI NÓI ĐẦU
Ngày nay cùng với sự phát triển mạnh mẽ của ngành công nghiệp, của
khoa học công nghệ, nhiều vật liệu có khối lượng nhẹ, chống chịu được sự

thay đổi nhiệt độ môi trường, đảm bảo độ bền, thẩm mỹ và giá thành đang
được trú trọng quan tâm sử dụng rộng rãi. Những loại vật liệu đó thường
được dùng trong ngành chế tạo vỏ ô tô, vỏ máy bay, vỏ tàu thủy, vỏ ty vi và
trong cả ngành công nghiệp thực phẩm (sản xuất bao bì, đồ hộp…). Một
trong những vật liệu hay dùng đó là vật liệu thép tôn cán.
Trong quá trình sản xuất chế tạo ra sản phẩm, thường xuất hiện vết nứt,
phá vỡ cấu trúc ở những vùng chịu biến dạng lớn trong quá trình tạo hình
biến dạng. Để hạn chế sự suất hiện vết nứt đó đã có nhiều nhà khoa học tìm
hiểu, nghiên cứu và họ đã cho rằng: trong quá trình dập, sự xuất hiện hiện
tượng co thắt ở miền biến dạng dẻo của chi tiết và sự phá hủy là những vấn
đề phức tạp, chúng chịu ảnh hưởng của rất nhiều nhân tố liên quan tới cấu
trúc của vật liệu (tính dị hướng của vật liệu) và lực tác động.
Để đánh giá khả năng tạo hình của một vật liệu và để so sánh với các
vật liệu khác. Keeler người đầu tiên đưa ra khái niệm về đường cong giới hạn
khi có co thắt ở vật liệu. Ông cho rằng sự kéo giãn lớn nhất cục bộ là đủ để
đánh giá tỷ lệ biến dạng cho một tấm tôn cán trong khi dập. Ông nhận thấy
rằng nếu mang các giá trị biến dạng ( ε 1 , ε 2 ) ứng với sự phá hỏng theo các
phương chính biến dạng lên một biểu đồ thì các điểm( ε 1 , ε 2 ) nằm trên cùng
một đường cong gọi là dường cong giới hạn hình thành khi dập. Đường cong
này lúc đầu giới hạn trong một phần tư mặt phẳng ở đó biến dạng ngang là
dương. Sau đó nó được bổ xung bởi công trình nghiên cứu của Goodwin cho
miền trong đó biến dạng ngang là âm (miền thắt).
Từ những nghiên cứu thực nghiệm và lý thuyết họ đã xây dựng nên
đường cong biến dạng giới hạn. Tuy nhiên những đường cong đó phụ thuộc


2

vào quỹ đạo biến dạng, trong khi các sản phẩm trong công nghiệp phần lớn
đòi hỏi qua nhiều công đoạn gia công khác nhau. Như thế với mỗi quy trình

công nghệ ta phải xác định lại một đường cong tương ứng. Để tránh điều đó,
người ta đã đưa ra một tiêu chuẩn khác không phụ thuộc vào quỹ đạo biến
dạng, đó là đường cong ứng suất giới hạn, được xây dựng từ đường cong biến
dạng giới hạn.
Khi dùng phương pháp tạo hình nguội, những tấm tôn cán biểu thị một
quy luật ứng xử cơ học dị hướng, trong đó những biến dạng tương ứng với
những trạng thái giới hạn khác nhau, thay đổi khác nhau theo các hướng so
với phương cán trên mặt phẳng của tấm. Trên thực tế khi dập một sản phẩm
phức tạp, những hướng chính của vật liệu không phải lúc nào cũng trùng với
phương chính của biến dạng.
Trong các luận văn thạc sỹ trước, việc nghiên cứu đường cong ứng
suất giới hạn chỉ giới hạn trong trường hợp hướng kéo trùng với hướng cán
( β = 0) . Để làm nổi bật rõ sự khác nhau về tính chất cơ học của vật liệu đặc
biệt là vật liệu trực hướng, trong đề tài này tôi nghiên cứu với các góc
nghiêng khác nhau so với hướng cán là β = 30 0 ,450 ,600 .
Ở đây tôi dùng mô hình kết hợp 3G + Hill để tính toán. Trợ giúp cho
việc tính toán và mô phỏng đường cong ứng suất giới hạn một cách trực
quan, tôi dùng lập trình và tính toán trên phần mềm Visual Basic, để thấy rõ
sự khác biệt về cơ học của vật liệu trực hướng theo các hướng kéo khác nhau
so với hướng cán, có kể đến ảnh hưởng của biến dạng trước.
Báo cáo này được trình bày theo 5 chương:
Chương I: Tiêu chuẩn chảy dẻo
Chương II: Giới thiệu về đường cong biến dạng giới hạn hình thành
- Trình bày khái niệm đường cong biến dạng giới hạn
- Các yếu tố ảnh hưởng


3

- Các mô hình khác nhau về sự co thắt biến dạng cục bộ của vật liệu.

Chương III: Mô hình dẻo 3G
- Giới thiệu mô hình dẻo của CRM
- Bài toán dập phẳng trong mô hình dẻo 3G, xác định hệ số dị hưởng của
vật liệu với bất kỳ hướng kéo ( β ) nào so với phương cán.
- So sánh mô hình dẻo 3G với các mô hình trước đó.
Chương IV: Đường cong biến dạng giới hạn xác định bằng thực nghiệm
- Các đặc trưng cơ học của vật liệu thép tôn cán
- Xác định biến dạng giới hạn bằng thực nghiệm.
Chương V: Xây dựng đường cong ứng suất giới hạn
- Theo lý thuyết dẻo 3G + Hill.Công thức tổng quát xác định ứng suất (bài
toán thuận), biến dạng (bài toán ngược) với góc β .
- Theo lý thuyết dẻo Hill + Hollomon
- Xây dựng chương trình và lập trình tính toán trên phần mềm Visual Basic
theo lý thuyết dẻo 3G + Hill.
- Kết quả là đưa ra được bảng số liệu tính toán, đồ thị ứng suất và biến dạng.
- So sánh với các kết quả tính trước đó. Đưa ra nhận xét.
Sau một thời gian nghiên cứu, học tập thêm phần mềm cùng sự hướng
dận rất tận tình của PGS.TS Nguyễn Nhật Thăng, trường Đại học Bách khoa
Hà nội. Tôi đã hoàn thành luận văn của mình.
Trong quá trình thực hiện đề tài này, tôi nhận được sự giúp đỡ nhiệt
tình của các bạn cùng lớp, sự giúp đỡ to lớn của trường Đại học Lâm nghiệp,
khoa Cơ điện và Công trình Bộ môn Cơ sở kỹ thuật, Bộ môn cơ học vật liệu,
Bộ môn Sức bền vật liệu trường Đại học Bách khoa Hà Nội. Tôi xin bày tỏ
lòng biết ơn đối với thầy giáo hướng dẫn, các đơn vị và các bạn đồng nghiệp
đã giúp đỡ tôi hoàn thành đề tài luận văn này.


4

CHƯƠNG I

TIÊU CHUẨN CHẢY DẺO
1.1. Các phương trình xác định. Các mô hình vật rắn.
a. Lý thuyết đàn hồi
Quá trình biến dạng đàn hồi là một quá trình thuận nghịch, quan hệ
giữa ứng suất và biến dạng là tuyến tính hoặc phi tuyến. Các quan hệ này
được xác nhận bằng thí nghiệm, một trong những thí nghiệm đơn giản nhất là
thí nghiệm đối với trạng thái ứng xuất đơn, thí nghiệm kéo hoặc nén mẫu
thanh làm bằng các loại vật rắn khác nhau. Trên hình 1.1 trình bày quan hệ
ứng suất- biến dạng đàn hồi tuyến tính (hình 1.1a) và ứng suất- biến dạng đàn
hồi phi tuyến (hình 1.1b). Đặc điểm chung là quá trình tăng tải hoặc quá trình
giảm tải trùng nhau.
σ

σ

ε

ε
b

a

Hình 1.1
Các quan hệ σ − ε nhận được từ trạng thái ứng suất đơn sẽ được chuyển sang
quan hệ giữa các thành phần của tenxơ ứng suất và các thành phần của tenxơ
biến dạng trong trạng thái ứng suất khối. Nếu quan hệ là tuyến tính thì ta có
thể dùng nguyên lý độc lập tác dụng (hoặc cũng gọi là nguyên lý cộng tác
dụng).

5

b.Lý thuyết dẻo
Đặc điểm của biến dạng dẻo là quá trình không thuận nghịch, quan hệ
giữa các đại lượng ứng suất - biến dạng không phải là tuyến tính. Trên hình
1.2 vẽ sơ đồ chung của quan hệ này đối với trạng thái ứng suất đơn, nhận
được từ thí nghiệm. Khi ứng suất σ trong mẫu nhỏ hơn một giá trị xác định
nào đó, kí hiệu σ ch , gọi là giới hạn chảy thì biến dạng là thuần túy đàn hồi.
Khi ứng suất trong mẫu vướt quá giới hạn đó σ >σch thì suất hiện những biến
dạng dẻo. Đường tăng tải và đường giảm tải không trùng nhau, khi ứng suất
trở về không thì biến dạng vẫn còn một lượng khác không, gọi là biến dạng
dư hay biến dạng dẻo. Ta có thể viết biến dạng như là một tổng của biến dạng
đàn hồi ε dh và biến dạng dẻo ε d

ε = ε dh + ε d
Vấn đề ban đầu cần đặt ra trong lý thuyết dẻo là khi nào xuất hiện
những biến dạng dẻo đầu tiên.
σ

σ
σch

ε
εdh

εd

Hình 1.2. Ứng suất - biến dạng ở trạng thái đơn không phải là tuyến
tính
Trong bài toán một chiều (trạng thái ứng suất đơn) dấu hiệu xuất hiện

biến dạng dẻo hoặc gọi là điều kiện dẻo sẽ là σ = σ ch , còn trong trạng thái ứng


6

suất khối tổng quát thì điều kiện dẻo sẽ phụ thuộc giá trị của các ứng suất và
các hằng số biểu thị tính chất của vật liệu C. Với vật thể đẳng hướng, ta có
thể viết điểu kiện dẻo dưới dạng tổng quát như sau:
φ (σ ij , C ) = 0 ,

(1.1)

Hoặc phụ thuộc vào giá trị của ba ứng suất chính

Φ(σ 1 ,σ 2 ,σ 3 , C ) = 0 .

(1.2)

Dạng của các hàm φ , Φ tùy theo từng kiến nghị của các tác giả. Thông
thường, trong lý thuyết dẻo, người ta hay sử dụng các điều kiện dẻo sau đây,
tương đối phù hợp với kết quả thí nghiệm hơn cả:
* Điều kiện dẻo Treska:

σ1 −σ3 =σ0 .

(1.3)

* Điều kiện dẻo Von -Mises:

σi =σ0 .

(1.4)

Với σi là cường độ ứng suất.
Phương trình trạng thái mô tả quan hệ ứng suất - biến dạng sẽ khác
nhau tùy thuộc từng lý thuyết dẻo cụ thể.
Một cách tổng quát, ta có thể phân ra hai loại lý thuyết: Lý thuyết biến dạng
dẻo và lý thuyết chảy dẻo.
•

Lý thuyết biến dạng dẻo

Phương trình xác định mô tả quan hệ giữa các thành phần của tenxơ ứng suất
và các thành phần của tenxơ biến dạng.
Ví dụ, lý thuyết dẻo Hencky-Nadai chấp nhận quan hệ sau đây giữa tenxơ
lệch ứng suất Dσ và tenxơ lệch biến dạng Dε

Dσ = ΨDε
Hoặc

ε ii − δ ijε tb = Ψ (σ ij − δ ijσ tb ) ,

(1.5)


7

Với Ψ là một thừa số vô hướng nào đó tạm thời chưa xác định.
Thay các chỉ số, ta có
ε 11 − ε tb = Ψ (σ 11 − σ tb );

ε 12 = Ψσ 12 ;

ε 22 − ε tb = Ψ (σ 22 − σ tb );

ε 23 = Ψ σ 23;

ε 33 − ε tb = Ψ (σ 33 − σ tb );

ε 31 = Ψσ 31 .

Từ các quan hệ trên, ta có thể viết quan hệ giữa các cường độ ứng suất và
cường độ biến dạng
2
3

(1.6)

3 εi
.
2 σi

(1.7)

ε i = Ψσ i .
Ψ=

Như thế, ta thêm vào ẩn số là thừa số vô hướng Ψ .Phương trinh bổ xung sẽ là
điều kiện dẻo (1.3) hoặc (1.4).
Hệ 16 phương trình khép kín bao gồm 3 phương trình chuyển động hoặc cân

bằng, 6 phương trình xác định (1.5), 6 phương trình hình học biểu thị quan hệ
giữa biến dạng và chuyển vị, ví dụ hệ phương trình Navier-Cauchy và điều
kiện dẻo (1.3) hoặc (1.4) .
Hệ phương trình chứa 16 ẩn số là 6 thành phần ứng xuất,6 thành phần biến
dạng, 3 thành phần chuyển vị, 1 thừa số vô hướng Ψ .
Kết hợp với các điều kiện biên, hệ phương trình khép kín trên đủ để giải bài
toán của lý thuyết dẻo Hencky-Nadai.
•

Lý thuyết chảy dẻo

Phương trình xác định mô tả quan hệ giữa các thành phần của tenxơ ứng xuất
và các thành phần của tenxơ tốc độ biến dạng hoặc giữa các số gia của các
thành phần của tenxơ ứng suất và các thành phần của tenxơ tốc độ biến
dạng.Ví dụ,lý thuyết chảy dẻo Prandtl sử dụng quan hệ


8

d( ε ii − δ ij ε tb ) =

1
d (σ ij − δ ijσ tb ) + dλ (σ ij − δ ijσ tb )
2G

(1.8)

Với G là môđun đàn hồi khi trượt và d λ là một thừa số vô hướng nào đó xác
định theo điều kiện dẻo.Trong(1.8), gia số độ lệch biến dạng đã được chia
thành hai phần: một phần đàn hồi (số hạng thứ nhất) và một phần dẻo (số

hạng thứ hai).
Hệ phương trình khép kín cũng bao gồm các phương trình tương đương như
đối với lý thuyết Hencky-Nadai.
c. Lý thuyết từ biến
Từ biến, với nghĩa rộng, là hiện tượng thay đổi theo thời gian của ứng
suất và biến dạng khi các tác động bên ngoài lên vật thể đang xét không thay
đổi. Cơ sở nghiên cứu của lý thuyết từ biến là các đường cong từ biến hoặc
đường cong chùng ứng suất nhận được từ các thí nghiệm đối với trạng thái
ứng suất đơn (kéo, nén các mẫu vật liệu). Trên hình 1.3 là đường cong từ
biến: khi ứng suất không thay đổi thì biến dạng ε thay đổi theo thời gian t, ε 0
là biến dạng ở thời điểm ban đầu.
Ngược lại với từ biến là hiện tượng ứng suất giảm dần theo thời gian khi biến
dạng không thay đổi, đường cong quan hệ ứng suất - thời gian được gọi là
các đường cong chùng ứng suất và được vẽ trên hình 1.4 với σ 0 là ứng suất ở
thời điểm ban đầu.
Lý thuyết từ biến nghiên cứu trường hợp tổng quát, khi ứng suất và
biến dạng đều thay đổi theo thời gian, được chia thành nhiều hướng nghiên
cứu, nhiều nhóm lý thuyết khác nhau.Lý thuyết đơn giản nhất, trong đó sử
dụng được nguyên lý độc lập tác dụng, là lý thuyết di truyền tuyến tính. Theo
lý thuyết này,biến dạng tại thời điểm t,kí hiệu ε (t ) , không những phụ thuộc
vào ứng suất tác động ở thời điểm t, kí hiệu σ (t ) , mà còn phụ thuộc vào ứng


9

suất tác động tại thời điểm τ trước đó, phụ thuộc này sẽ giảm dần theo
khoảng cách thời gian t- τ .
ε

σ

σ = const
σ

ε = const

ε0
t

t

Hình.1.3

Hình.1.4

Thành phần biến dạng do ứng suất σ (t ) gây ra được viết theo luật tuyến
tính, nghĩa là bằng

σ (t )
E

với E gọi là môđun đàn hồi tức thời.

Thành phần biến dạng do ứng suất σ (τ ) sẽ tỉ lệ với giá trị của ứng suất, tỷ
lệ với độ lâu hoặc thời gian tác động d τ của ứng suất và sẽ giảm dần,”lãng
quên” dần khi khoảng cách thời gian (t- τ ) tăng. Nguyên lý này được gọi
là nguyên lý Boltzmann và được diễn tả bởi biểu thức của thành phần biến
dạng do ứng suất σ (τ )dτ gây ra là H(t- τ ), với
H(t- τ ) là một hàm giảm dần theo biến số (t- τ ).
1.2. Tiêu chuẩn chảy dẻo của Hill:

Năm 1948, Hill đưa ra một tiêu chuẩn là sự tổng quát hóa tiêu chuẩn
chảy dẻo của Von-Mises. Tiêu chuẩn Hill 1948, có tính đến dị hướng phẳng,
đã được ứng dụng rất rộng rãi vì biểu thức quan hệ của nó đơn giản.
Năm 1979, khi xét đến một số đặc tính được gọi là dị hướng của một số
vật liệu, Hill đã đưa ra một số hàm mới. Sau đây là dạng tổng quát và 5
trường hợp phổ biến của nó.


10

1.2.1. Tiêu chuẩn Hill 1979:
Năm 1979 Hill đã đưa ra một tiêu chuẩn chảy dẻo có phạm vi ứng dụng
rất rộng rãi:
σ

m
e

= f σ

+ b 2σ

2

− σ

2

− σ

m

m

− σ

1

+ g σ

3
3

− σ

3

+ c 2σ

3

m

+ h σ

1

− σ

2

− σ

1

− σ

m
2

+ a 2σ

1

− σ

2

− σ

m
1

(1.9)
Sáu hệ số đặc trưng cho tính dị hướng của vật liệu σ e là ứng suất tương
đương. Cùng với tiêu chuẩn Hosford ta có thể đưa ra 5 trường hợp phổ biến
từ quan hệ tổng quát trên:
Trường hợp 1:
a=b=h=0
c1 σ 1 + σ 2

m

và f = g

(

m

+ c2 σ 1 + σ 2

c1 = (1+2R)/(1+R);

m

)= σ

(1.10)

m
e

c2 = R/(1+R)

Trường hợp 2:
c = f = g = 0 và a = b
c1 ( 2σ 1 − σ 2

m

m

+ 2σ 2 − σ 1 ) + c2 σ 1 − σ 2

c1 = R/(1+R)(2m-1 -1)

m

= σ em

(1.11)

c2 = 1- (2m + 1)c1

;

Trường hợp 3:
c = h = 0, f = g và a = b
c1 ( 2σ 1 − σ 2

m

m

(

m

+ 2σ 2 − σ 1 ) + c2 σ 1 + σ 2

c1 = R/(1+R)(2
Trường hợp 4:

m-1

+ 2)

;

m

)= σ

(1.12)

m
e

m

c2 = 1- (2 + 1)c1

m
3


11

a=b=f=g=0

c1 σ 1 + σ 2
c1 =

m

+ c2 σ 1 − σ 2

1
2(1 + R )

c2 =

m

= σ em

(1.13)

1 + 2R
2(1 + R )

Trường hợp 5:
a=b=c=0

(

m

c1 σ 1 + σ 2

c1 =

1
(1 + R )

m

và f = g

)+ c (σ
2

; c2 =

1

−σ2

m

)= σ

(1.14)

m
e

R
(1 + R )

Hàm chảy dẻo cũng có thể được biểu diễn dưới dạng quan hệ giữa ứng
suất ở trạng thái ứng suất cân bằng (equibiaxiale), có nghĩa là σ1 = σ2 = σb và
ứng suất ở trạng thái ứng suất đơn σu :
σb / σu = ½ [2(1+R)1/n]

(1.15)

I.2.2. Tiêu chuẩn Hill 1948:
Trường hợp (4) ở trên chính là tiêu chuẩn Hill 1948, khi mà m = 2
( σ1 + σ2 )2 + (1+2R)( σ1 – σ2 )2= 2(1+R) σe2

(1.16)

Và sẽ đưa về tiêu chuẩn của Von-Mises khi m = 2, R = 1. Hàm chảy dẻo
(1.16) cũng dẫn đến:
σb / σu = [(1+R)/2]1/2
Trong đó R là một tham số, với trường hợp kéo nén đơn:
R = ε&2P / ε&3P


12

Theo nguyên lý công cực đại, hàm giới hạn phải là hàm lồi trong không
gian ứng suất. Đối với các trường hợp (4) và (5), khi m ≥ 1, các hàm đều là
lồi.
Trong trường hợp (3), một vùng lồi rộng lớn tồn tại trong mặt phẳng R –
m đặc biệt là khi R < 3. Trường hợp (2), hàm chỉ là lồi với những giá trị lớn
của R khi m ≠ 2. Còn ở trường hợp (1) hàm không phải là lồi, trừ khi m = 2
hoặc khi R rất bé và m ≠ 2.
Định luật cơ sở của lý thuyết chảy dẻo là:

ε&iP = (∂σ e / ∂σ i )ε&eP , i = 1,2

(1.17)

trong đó ε&iP là các thành phần của vận tốc biến dạng dẻo và:
ε&eP = (1/Et - 1/Es ) σ&e

biểu diễn vận tốc biến dạng dẻo tương đương.
Công thức (1.17) tuân theo định luật:
σi . ε&i = σe. ε&e

(1.18)

Theo lý thuyết biến dạng dẻo, công thức (1.16) là:
ε ip = (∂σ e / ∂σ i )ε ep , i = 1,2

Với ε ep = (1 / Et − 1 / Es )σ e ,

(1.19)
Es = 3µ

Hàm chảy dẻo (1.13) không đủ sức đưa ra dự đoán chi tiết về điểm chảy
dẻo theo tính toán của Bishop-Hill. Vì vậy Bassani đã phát triển bổ xung
thêm như sau:
m

n

σ 1 − σ 2 + m / n(1 + 2 R)σ em − n σ 1 − σ 2 = [1 + m / n(1 + 2 R )]σ em

(1.20)

Để hàm chảy dẻo là lồi, đòi hỏi n, m ≥ 1 và với m = n công thức (1.20)
sẽ đưa về (1.13) của tiêu chuẩn Hill 1979.


13

Hàm Bassani (1.20) đưa ra quan hệ về ứng suất chảy dẻo giữa trạng thái
ứng suất đơn và trạng thái ứng suất phẳng sau:
σb / σe = 1/2[1+ n/m (1+2R)]1/n

(1.21)

Ứng suất tương đương σe trong (1.20) là hàm thuần nhất bậc một. Những
định luật cơ bản (1.17) và (1.19) đều áp dụng được với (1.20).
Mới đây, Bundiansky đã giới thiệu một hàm chảy dẻo tổng quát cho
trường hợp của trạng thái ứng suất phẳng:

(σ1 −σ2 ) / 2σs = g(φ)sinφ ; (σ 1 + σ 2 ) / 2σ b = g (φ ) cos φ

(1.22)

Trong đó σs là ứng suất chảy dẻo trong trường hợp cắt thuần túy:

σ u = 2σ bφu cos(φ ) với

φu = tg −1 (σ b / σ s )

(1.23)

Để đơn giản, ta ký hiệu X = σb / σu; Y = σb / σs. Theo định luật trực giao
của vận tốc biến dạng trong mặt phẳng chảy dẻo (1.22) và theo biểu thức
(1.18), định luật chảy dẻo kết hợp sẽ là:
ε&1p = ε&ep / 2 g 2 [−(Y / X )( g cos φ )'+(1 / X )( g sin φ )' ]
ε&2p = ε&ep / 2 g 2 [(Y / X )( g cos φ )'+(1 / X )( g sin φ )' ]

(1.24)

Ở (1.23) thông số R liên quan tới Y, g (φu ) , g ′(φu ) bởi công thức:
2

g ′(φu ) / g (φu ) = [Y – (1+2R)]/[2Y(1+R)]

hoặc từ (1.23), φu = tg −1 (Y )
Hàm chảy dẻo Bundiansky (1.22) trở thành hàm chảy dẻo Bassani khi:
( g sin φ ) m + ( g cos φ ) n = 1

(1.25)

Trong đó X = σb / σu như trong (1.24) và
Y = (2X)1-n/m [n/m(1+2R)]1/m

(1.26)

Nó trở thành biểu thức trong trường hợp (4) của Hill (1979) khi m = n và trở
thành hàm gốc của tiêu chuẩn Hill 1948, khi m = n = 2.


14

Người ta cũng đã tìm ra rằng những đường cong giới hạn hình thành đều
nhạy cảm với các thông số (m, n) của hàm chảy dẻo dị hướng (1.20) với
0 ≤ ρ ≤ 1, ( ρ =

ε1
).
ε2

Hình 1.5 dưới đây đưa ra một ví dụ của đường cong giới hạn hình thành
trong miền giãn, được xác định bằng cách đưa những quan hệ của trường hợp
(4) và (5) vào mô hình M-K. Chúng cho dự đoán kết quả phù hợp thực
nghiệm tốt hơn các kết quả nhận được bởi sử dụng tiêu chuẩn Hill 1948
ε1

ε2

Hình 1.5. Đường cong giới hạn hình thành trong miền giãn theo mô hình
tính toán của M – K (Marciniak – Kuczinski).


15

CHƯƠNG II
GIỚI THIỆU VỀ ĐƯỜNG CONG BIẾN DẠNG GIỚI HẠN
2.1 Khái niệm về đường cong giới hạn
Việc tạo hình bằng biến dạng dẻo đối với vật liệu kim loại ở dạng tấm bị
giới hạn bởi sự hạn chế của biến dạng khi nó gây ra sự co thắt cục bộ dẫn đến
phá hủy của vật liệu.
Quá trình nghiên cứu khả năng rèn dập của vật liệu có thể nói chính là

quá trình nghiên cứu và sử dụng đường cong giới hạn hình thành mà người
đưa ra đầu tiên là Keeler và sau này là Goodwin đã bổ sung đầy đủ cho nó
trong miền biến dạng ngang âm (Hình 2.1).

Hình 2.1 Đường cong giới hạn hình thành của một tấm thép tôn cán
Đường cong giới hạn hình thành nêu lên mối quan hệ giữa các độ giãn
dài ε 1 và ε2. Nhờ có đường cong giới hạn hình thành ta có thể biết trước được
giới hạn biến dạng tối đa của một tấm tôn trước khi xuất hiện sự co thắt hoặc
phá hủy. Vị trí của các điểm biểu thị các các trạng thái biến dạng so với


16

đường cong giới hạn hình thành, cho phép ta đánh giá xem liệu mẫu còn tiếp
tục dập được nữa hay gần đến giới hạn xuất hiện sự co thắt.
Nói tóm lại, đường cong giới hạn hình thành biểu diễn trạng thái giới hạn
của vật liệu khi chịu lực trong quá trình tạo hình. Đường cong giới hạn hình
thành được dùng để đánh giá khả năng biến dạng của vật liệu và để so sánh
với vật liệu khác. Đường cong giới hạn hình thành có thể biểu diễn ở 2 dạng
cơ bản là:
Đường cong biến dạng giới hạn .
Đường cong ứng suất giới hạn.
Các nhà nghiên cứu cho rằng, những hiện tượng co thắt cục bộ xuất hiện
trong những chiều dày khác nhau của vật liệu là không thể chấp nhận được vì
lý do thẩm mỹ hơn là vì lý do cơ học.
Sự xuất hiện sự co thắt cục bộ được coi như một tiêu chuẩn cơ bản để
loại những chi tiết trong khi dập. Một kết luận về giới hạn khả năng chị dập
của vật liệu đạt được bằng cách xác định bằng thực nghiệm tất cả các biến
dạng nằm trong vùng giới hạn theo 2 kiểu: dãn phẳng đều theo 2 trục đối
xứng và kéo đơn.

Quỹ đạo biến dạng của vật liệu được đặc trưng bằng mối quan hệ :
ρ = ε1 / ε 2

(2.1)

Trong trường hợp vật liệu là đẳng hướng mối quan hệ đó có dạng:
ρ = (2α – 1)/(2 – α)

(2.2)

Ở đây: α = σ1 / σ2
Chỉ số 1 dùng để chỉ hướng biến dạng lớn nhất, còn chỉ số 2 chỉ hướng
vuông góc với hướng 1 trong mặt phẳng của tấm.
2.2. Những yếu tố ảnh hưởng tới đường cong biến dạng giới hạn.
Trên biểu đồ biến dạng, đường cong giới hạn hình thành là ranh giới chia
các trạng thái biến dạng ứng với sự thành công và sự phá hủy của vật liệu khi


17

bị dập. Đường cong giới hạn hình thành nhận được bằng cách tạo ra các
phương thức biến dạng khác nhau dẫn đến sự phá hỏng hay sự co thắt của
nhiều mẫu kim loại trong khi dập. Nếu tính đến các khả năng có thể gây ra
biến dạng của vật liệu, vùng biểu thị các phương thức biến dạng thường gặp
khi dập bao gồm từ biến dạng kéo nén đơn trục đến biến dạng kéo giãn đều
theo hai phương của mẫu (hình 2.2).
ε1
miền
giãn

miền thắt

Kéo nén đơn

Dãn đều theo hai
phương
ε2

Hình 2.2 Các trạng thái biến dạng cơ bản thường gặp của vật liệu khi bị dập
Độ lớn và hình dạng của đường cong giới hạn hình thành phụ thuộc vào
rất nhiều thông số. Ví dụ như: tốc độ biến dạng, quỹ đạo biến dạng, độ dày
của tấm, các thông số cơ tính của vật liệu và quy luật chảy dẻo được sử dụng.
Trong thực tế ta thường gặp một số dạng co thắt của vật liệu như sau: co
thắt khuyếch tán; co thắt cục bộ; co thắt hỗn hợp.
2.2.1. Ảnh hưởng của biến dạng trước trong trường hợp có biến dạng lớn
và ảnh hưởng của chất tải theo chu kì.
Mô hình hoá bền của Mroz năm 1967 (kết hợp các đặc tính hoá bền
đẳng hướng và dị hướng), đã được nghiên cứu bởi Chu cho vật liệu thép tôn
cán vào năm 1978. Ảnh hưởng của chất tải chu kì và biến dạng trước lên
đường cong biến dạng giới hạn đã được nghiên cứu ở đây.


18

Mô hình của Mor biểu diễn trong không gian 3 chiều là như sau:
d ε = M : dσ

(2.3)

ở đó:

{M }ijkl = 1 + ν (δ ik δ jl + δ jk δ il ) − ν δ ijδ kl + 9 ( 1
2E

E

4 Et

−

1 rij rkl
)
E k2

r = S- α

(2.4)
(2.5)

α - ten xơ của vị trí của bề mặt chảy dẻo

s - ten xơ lệch ứng suất
Từ mô hình của Mroz, Chu đã đưa ra tiêu chuẩn mất ổn định dẻo của
vật liệu. Sự mất ổn định dẻo sẽ xảy ra khi determinant của ma trận các hệ số
bằng không, có nghĩa:
A
A
A
A
M 2211

σ 11A M 3322
− M 2222
(1 + σ 11A M 3311
)=0

(2.6)

Các đường cong biến dạng giới hạn theo mô hình của Mroz, mô hình
hóa bền đẳng hướng và dị hướng, được biểu diễn trên các hình (2.3, 2.4, 2.5)

Hình 2.3. Ảnh hưởng của biến dạng trước đến đường cong biến dạng
giới hạn theo mô hình tổng hợp của Mroz


19

Hình 2.4. Ảnh hưởng của biến dạng trước đến đường cong biến dạng
giới hạn trong trường hợp hoá bền đẳng hướng theo mô hình Chu và Mroz

Hình 2.5. Ảnh hưởng của biến dạng trước đến đường cong biến dạng
giới hạn trong trường hợp hoá bền dị hướng theo mô hình Chu và Mroz.


20

Theo các đồ thị, ta nhận thấy biến dạng trước làm tăng khả năng chịu lực của
vật liệu trong quá trình tạo hình biến dạng đối với trường hợp biến dạng
phẳng. Ngược lại, trong các trường hợp khác, biến dạng trước là dãn đều theo
2 phương có xu hướng làm giảm khả năng chịu lực của vật liệu theo mô hình
tổng quát của Mroz và mô hình hóa bền đẳng hướng. Hiệu ứng của biến dạng

trước theo 2 phương không được nghiên cứu bởi mô hình hóa bền động.
Trên hình (2.6) biểu thị sự giảm độ biến dạng giới hạn tỉ lệ với sự tăng
biến dạng trước trong trường hợp kéo nén đơn.
Theo mô hình hóa bền đẳng hướng, sự giảm biến dạng ( ε jj ) là tuyến
tính với biến dạng trước tương đương.
Đối với mô hình hóa bền đẳng hướng sự giảm của ε ij là đột ngột ngay
khi có biến dạng trước bé. Sau đó, nó lại là hằng số không thay đổi. Mô hình
của Mroz cho các đường

ε

ij

giảm theo biến dạng trước, sau đó chúng trở nên

ổn định.
Trên hình (2.7), biểu thị sự thay đổi của

ε

2

trong quá trình chất tải. Độ

nghiêng của các đường biến dạng giới hạn phụ thuộc vào tham số dị hướng
R. Người ta giả thiết vật liệu ban đầu là đẳng hướng (có nghĩa R0=1). Theo
mô hình hóa bền đẳng hướng R luôn luôn bằng 1. Tuy nhiên, mô hình của
Mroz và mô hình hóa bền di hướng cho ta thấy sự thay đổi này phụ thuộc vào
lịch sử chất tải. Giá trị của R tiến tới 1, khi vật liệu chất tải theo chu kì trong
vùng dẻo của nó sẽ mất ảnh hưởng của biến dạng trước.

Trong trường hợp có biến dạng trước, mô hình của Chu cho đường
cong biến dạng giới hạn hình thành nằm ở vị trí thấp nhất so với các đường
cong biến dạng giới hạn tính theo mô hình hóa bền đẳng hướng và dị hướng.


21

ε pre

Hình 2.6. Ảnh hưởng của biến dạng trước đến biến dạng giới hạn lớn
nhất ε 1 theo các mô hình khác nhau.

Hình 2.7. Ảnh hưởng của biến dạng trước đến biến dạng giới hạn theo
mô hình Chu.