Cơ sở quang tử học dành cho sinh viên và học viên cao học

Hồ quang quý, chu văn lanh
đoàn hoài sơn, Mai văn lưu

Cơ sở

Quang tử học
(dành cho sinh viên và học viên cao học)

Nhà xuất bản đại học quốc gia hà nội


Cơ sở quang tử học

1

_________________________________________________________________

Chng 1

quang học của tia sáng
1.1. Các tiên đề của quang học tia sáng
Tiên đề 1.
Tia sáng truyền lan ở dạng tia (ray). Tia sáng được phát xạ từ
các nguồn ánh sáng (light source) và có thể quan sát được khi chúng
gặp đầu thu (detecter).
Tiên đề 2.
ánh sáng truyền trong môi trường quang học (optical
medium) đặc trưng bởi đại lượng

n 1
gọi là chiết suất (refractive index).

Chiết suất là tỉ số giữa vận tốc ánh sáng trong chân không (c0) và
vận tốc ánh sáng trong môi trường (c). Do đó, thời gian ánh sáng cần
để truyền trong quảng đường có độ dài d bằng d / c nd / c0 . Tức là,
thời gian truyền tỉ lệ thuận với đại lượng

nd
gọi là quang trình (optical path).
Tiên đề 3.
Trong môi trường không đồng nhất (inhomogenous medium),


chiết suất là hàm của toạ độ không gian r ( x, y, z ) , tức là n(r ) . Độ
dài quang trình giữa hai điểm A và B (xem hình 1.1)sẽ là
B


AB n(r )ds ,



(1.1)

A

trong đó, ds là số gia (differential element) độ dài theo quang trình.


Chương 1. Quang học của tia sáng
2
_______________________________________________________________________

Hình 1.1 Quang trình tổng quát của tia sáng.
Thời gian ánh sáng cần để đi từ A đến B tỉ lệ thuận với độ dài
quang trình.
Tiên đề 4.
Nguyên lý Fermat (Fermats principle). Các tia ánh sáng
truyền giữa hai điểm A và B theo một quang trình xác định nào đó
trong một thời gian cần thiết, sao cho thời gian đó có tương quan cực
trị so với quang trình bên cạch. ý nghĩa của cực trị thể hiện ở chỗ tốc
độ thay đổi bằng không, tức là
B


0 n(r )ds



(1.2)

A

Cực trị có thể là cực tiểu và cực đại hoặc là một điểm uốn. Tuy
nhiên, thông thường cực trị là cực tiểu. Trong trường hợp này, chúng
ta có thể phát biểu:
Tia sáng truyền theo quang trình nào mất ít thời gian nhất, tức
là theo quang trình ngắn nhất.
Trong nhiều trường hợp, thời gian cực tiểu đó không chỉ tính
trong một quang trình xác định, mà có thể được tính theo nhiều
quang trình khác nhau. Các quang trình này nối tiếp nhau liên tục.
Hệ quả:

- Trong môi trường đồng nhất tia sáng đi theo đường thẳng.
- Tia sáng khúc xạ qua mặt ngăn cách giữa hai môi trường có
chiết suất khác nhau.
- Tia sáng phản xạ trên mặt gương.


Cơ sở quang tử học

3

_________________________________________________________________

1.2. Các linh kiện quang học đơn giản
Từ các tiên đề trên, chúng ta nghiên cứu một số linh kiện quang
đơn giản được sử dụng để lái các tia ánh sáng.
1.2.1. Gương phẳng (Planar mirror)
Gương phẳng là một mặt phẳng có hệ số phản xạ cao đối với ánh
sáng (hình 1.2).
P1
1

2

P2

Hình 1.2 Phản xạ tia sáng từ gương phẳng.
Tia ánh chiếu vào mặt gương phẳng sẽ bị phản xạ lại. Tia phản
xạ nằm trong mặt phẳng tia tới, tạo bởi tia tới và véc tơ pháp tuyến
của gương tại điểm tới; góc phản xạ bằng góc tới, tức là 1 2 .
1.2.2. Mặt biên phẳng (Planar Boundaries)

Nếu gương phản xạ có hệ số phản xạ thấp (lúc này mặt gương
phẳng gọi là mặt ngăn cách giữa hai môi trường, tương ứng có chiết
suất n1 và n2 ) thì một phần ánh sáng sẽ truyền vào môi trường sau
gương nếu n1 n2 . Đây gọi là hiện tượng khúc xạ ánh sáng. Tia đi
vào môi trường sau gương gọi là tia khúc xạ. Hướng truyền của tia
khúc xạ tuân theo định luật Snell:

n1 sin 1 n2 sin 2 .

(1.3)

Từ hệ thức này có thể phân ra hai trường hợp đặc biệt:
* Phản xạ ngoài ( n1 n2 ). Khi tia sáng tới từ môi trường có
chiết suất thấp hơn thì 2 1 và tia khúc xạ sẽ gẫy khúc ra xa biên.
* Phản xạ trong ( n1 n2 ). Khi tia sáng tới từ môi trường có
chiết suất cao hơn thì 2 1 và tia khúc xạ sẽ gẫy khúc vào gần biên.


Chương 1. Quang học của tia sáng
4
_______________________________________________________________________

n1
c

n1

n2 > n1

n2

Hình 1.3 Phản xạ trong, ngoài và toàn phần.
* Phản xạ toàn phần ( n1 n2 ). Khi tia sáng tới từ môi trường
có chiết suất cao hơn thì 2 1 và nếu 1 tăng sao cho 2 90o tia
sẽ phản xạ hoàn toàn trên biên (hình 1.3). Góc tới hạn sẽ là

n
c sin 1 2
n1





(1.4)

1.2.3 Gương cầu (Spherical Mirror)
Các tia tạo một góc nhỏ (sin) với trục của gương cầu gọi là tia
gần trục (paraxial ray). Tiêu cự (focal length) của gương cầu bán
kính R là f -R/2 (hình 1.4).

Hình 1.4 Hội tụ ánh sáng bằng gương Parabol.
Phương trình ảnh của tia gần trục
1
1
1


z1 z 2
f

(1.5)

trong đó, z1 , z2 tương ứng là vị trí của nguồn sáng và ảnh so với tâm
gương cầu (P). Vị trí cụ thể của ảnh hay dấu của z2 phụ thuộc vào cấu


Cơ sở quang tử học

5

_________________________________________________________________

trúc mặt gương (dấu của tiêu cự f ), âm khi mặt gương lồi và dương
khi mặt gương lõm.
Gương cầu như trong hình 1.4, thường được sử dụng để tạo chùm
tia tựa song song từ một nguồn sáng đẳng hướng (ví dụ đèn pin).
1.2.4 Gương ellip (Elliptical Mirror)
Một gương hình ellip (hình 1.5) phản xạ tất cả các tia sáng từ tiêu
điểm thứ nhất P1 đến tiêu điểm thứ hai P2. Quang trình của tất cả các
tia đi từ P1 đến P2 bằng nhau, tuân theo nguyên lý của Hero.

P1

P2

Hình 1.5 Phản xạ từ mặt gương Ellip.
1.2.5 Lăng kính (Prism)
Một lăng kính có góc ở đỉnh và chiết suất n sẽ lái tia ra tạo với
tia tới một góc

1/ 2
d sin 1 n 2 sin 2 sin sin cos
(1.4)








d



n

Hình 1.6 Các tia khúc xạ qua lăng kính.
Hệ thức trên có thể dẫn ra bằng định luật Snell, áp dụng cho hai
mặt phản xạ của lăng kính.


Chương 1. Quang học của tia sáng
6
_______________________________________________________________________

Khi góc đỉnh quá nhỏ (ta gọi là lăng kính mỏng) và góc tới
cũng rất nhỏ (gần đúng cận trục), hệ thức (1.6) có thể rút gọn gần
đúng như sau:
d (n 1)

(1.7)

1.2.6 Biên cầu (Spherical Boundaries)
Giả sử có một biên cầu bán kính R giữa môi trường chiết suất n1
và n2 (hình 1.7). R dương khi biên lồi và R âm khi biên lõm. Sau khi
sử dụng định luật Snell và gần đúng cận trục, tức là, giả thiết
tg , chúng ta rút ra một số tính chất sau đây:
* Một tia sáng tạo với trục z một góc 1 gặp biên cầu tại một
điểm cách trục z một khoảng y. Tia này sẽ bị khúc xạ và đổi hướng
sao cho tia khúc xạ tạo với trục z một góc
n
n n
2 1 1 2 1 y
(1.8)
n2
n2 R

Hình 1.7 Khúc xạ qua biên cầu lồi (R>0).
* Tất cả các tia xuất phát từ điểm gốc P1=(y1, z1) trên mặt
phẳng z=z1 sẽ gặp nhau ở điểm P2=(y2, z2) trên mặt phẳng z2 và thoả
mãn các hệ thức sau:
n1 n2 n2 n1


z1 z 2
R

và

(1.9)


Cơ sở quang tử học

7

_________________________________________________________________

y2

z2
y1
z1

(1.10)

Hai mặt phẳng tại z z1 và z z2 gọi là hai mặt phẳng liên hợp.
Mỗi một điểm trên mặt phẳng thứ nhất sẽ liên kết với một điểm trên
mặt phẳng thứ hai (ảnh) với hệ số phóng đại z2 / z1 . Dấu trừ trong hệ
số phóng đại có nghĩa là ảnh bị lật ngược. Để cho thuận tiện, điểm P1
được xác định trong hệ tọa độ theo chiều phải sang trái, còn điểm P2
xác định trong hệ tọa độ theo chiều trái sang phải (tức là, nếu P2 nằm
bên trái cuả biên thì z2 mang dấu âm).
Những tính chất này cũng tương tự đối với gương cầu. Điều quan
trọng là, các tính chất của ảnh mô tả ở trên chỉ đúng trong trường hợp
cận trục. Chúng chỉ xẩy ra với các tia cận trục. Các tia tạo với trục z
một góc lớn không tuân thủ gần đúng cận trục; những sai khác của
ảnh gọi là sai quang.
1.2.7 Thấu kính (Lens)

Thấu kính cầu được giới hạn bởi hai mặt cầu có bán kính cong R1
và R2 có độ dày và chiết suất n (hình 1.8).

Hình 1.8 Thấu kính tạo bởi hai biên cầu lồi.
Thấu kính thủy tinh trong không khí được xem như kết hợp
giữa hai mặt biên cầu, không khí-thủy tinh và thủy tinh-không khí.
Thấu kính mỏng được định nghĩa khi độ dày tại trục chính rất nhỏ,
sao cho, y1 của tia tới bằng y2 của tia ló và bằng y. Khi đó
* Hệ thức giữa góc tới và góc ló
2 1

y
f

(1.11)


Chương 1. Quang học của tia sáng
8
_______________________________________________________________________

trong đó, f gọi là tiêu cự thấu kính.
* Tiêu cự của thấu kính
1
f


n 1 1 1
R1 R2

(1.12)

* Tất cả các tia xuất phát từ điểm P1(y1,z1) (cách trục của thấu
kính một khoảng y1 và cách mặt phẳng chính của thấu kính một
khoảng z1) gặp nhau tại P2(y2, z2) và thoả mãn các hệ thức sau
z2
1
1
1
y


y1


2
và
z1
z1 z 2
f
Cần chú ý rằng các hệ thức trên chỉ đúng với các tia cận trục, khi
mà giả thiết y1 y2=y. Với các tia xa trục, hệ thức gần đúng không
còn áp dụng được nữa. Đối với các tia xa trục các hệ thức trên có sai
số. Hình 1.9 là ví dụ về sai số toạ độ z2.

Hình 1.9 Các tia xa trục không gặp nhau tại tiêu điểm.

1.3. Môi trường chiết suất thay đổi liên tục
Đây là môi trường có chiết suất thay đổi liên tục theo không gian,

tức là n(r ) . Theo tiếng Anh, thuật ngữ Graded-Index Medium được
viết tắt là GRIN medium, mô tả môi trường có chiết suất thay đổi. Do
đó, từ đây chúng ta gọi môi trường này là môi trường GRIN. Đây là
loại vật liệu được chế tạo bằng cách cấy thêm các phụ gia với nồng


Cơ sở quang tử học

9

_________________________________________________________________

độ được khống chế theo không gian. Trong vật liệu GRIN ánh sáng
không truyền theo đường thẳng mà truyền theo quỹ đạo cong (curve
trajector).
1.3.1 Phương trình tia (the ray equation)
Quỹ đạo của tia sáng trong môi trường không đồng nhất có chiết
suất n(r) tuân thủ nguyên lý Fermat
B


n(r )ds 0 .


A

Nếu quỹ đạo được xác định bởi ba hàm x(s), y(s), z(s), trong đó, s
là độ dài của quỹ đạo (hình 1.10), thì sau khi sử dụng phép tách biến
ta có hệ phương trình đạo hàm riêng sau
d dy n

d dx n
d dz n
n
n
, ds n ds y ,
(1.13)
ds ds x
ds ds z


Hay


d dr
n n
ds ds

(1.14)

y
x

ds

B

s
A

z

Hình 1.10 Quỹ đạo tia trong môi trường GRIN
mô tả bởi x(s), y(s) và z(s).
1.3.2 Phương trình cho tia gần trục
Đối với các tia gần trục thì dsdz (hình 1.11), do đó, hệ phương
trình (1.13) được rút gọn như sau:


Chương 1. Quang học của tia sáng
10
_______________________________________________________________________

d dx n
n
,
dz dz x

d dy n
n
dz dz y

(1.15)

Hình 1.11 Quỹ đạo của tia gần trục trong GRIN.
Khi chiết suất n( x, y, z ) cho trước, hai phương trình đạo hàm riêng
có thể giải được cho hai quỹ đạo x( z ) và y ( z ) .
Trương trường hợp giới hạn, khi môi trường đồng nhất, tức là,
chiết suất n không phụ thuộc vào x và z, từ (1.15), chúng ta sẽ có
d 2 x / dz 2 0 và d 2 y / dz 2 0 , tức là x và y là hàm tuyến tính của z,
suy ra, quỹ đạo là đường thẳng.

1.3.3 Tấm GRIN
Một tấm GRIN có chiết suất n=n(y) và đồng nhất trên trục x và z,
nhưng thay đổi liên tục trên trục y như trên hình 1.12.

Hình 1.12 Khúc xạ trong tấm GRIN.
Ví dụ, một tấm GRIN có chiết suất thay đổi theo công tua parabol
như sau:

n2 y n02 1 2 y2
trong đó, là hệ số mô tả tốc độ thay đổi của chiết suất và độ dày
d

Cơ sở quang tử học

11

_________________________________________________________________

f

1
.
n0 sin d

1.3.4 Sợi quang GRIN
Sợi quang GRIN là một ống thuỷ tinh hình trụ có chiết suất thay
đổi theo hàm Parabol của bán kính hướng tâm

n2 n02 1 2 2

(1.16)

trong đó, n0 là chiết suất tại trục, là hằng số mô tả tốc độ giảm của
chiết suất, là bán kính hướng tâm.

Hình 1.13. Tia kinh tuyến (a) và tia xoắn ốc (b)
trong sợi quang GRIN.
Phương trình tia của sợi quang GRIN như sau:
d2y
d 2x
2



x
2 y
,
(1.17)
2
2
dz
dz
2 2
2 2
2
với giả thiết x y 1 , tức là chiết suất giảm chậm từ
trục.
Từ (1.17), thấy rằng x và y là hàm điều hòa theo z với chu kỳ
2 / . Vị trí ban đầu x0 , y0 và góc tại z là x 0 dx / dz và

y 0 dy / dz sẽ xác định biên độ và pha của các hàm điều hòa. Do có








Chương 1. Quang học của tia sáng
12
_______________________________________________________________________

sự đối xứng theo chu kỳ, nên nói chung không có mất mát khi chọn
x0 0 . Như vậy, lời giải của (1.17) sẽ là

x z x ,0 sin z

(1.18)
y ,0
y z
sin z y0cos z

Nếu x ,0 0 , tức là tia ban đầu nằm trong mặt phẳng kinh tuyến
(mặt phẳng đi qua trục, mặt y-z), thì tia tiếp tục nằm trong mặt phẳng
đó, tạo nên quỹ đạo hình sin giống như quỹ đạo truyền trong tấm
GRIN (hình 1.13a).
Trong trường hợp khác, x,0 y0 , y ,0 0 , hệ phương trình (1.18)
trở thành
x z y0 sin z

(1.19)
y z y0 cos z
và tia truyền theo quỹ đạo xoắn ốc nằm trên mặt của ống trụ có bán
kính y0 (hình 1.13b). Cả hai trường hợp này, quỹ đạo vẫn nằm trong
sợi quang, do đó, sợi quang được ứng dụng như linh kiện dẫn ánh
sáng. Sợi quang này sẽ được ứng dụng trong thông tin quang.

1.4. Quang học ma trận
1.4.1 Ma trận truyền (transfer matrix)
Một hệ quang là một tập hợp các linh kiện quang học (môi trường
truyền, gương, thấu kính, bản chia, ) xếp kế tiếp nhau giữa hai mặt
phẳng ngang tại toạ độ z=z1 và z=z2. Hai mặt phẳng này được gọi là
mặt phẳng vào và mặt phẳng ra. Hệ này sẽ tác động lên tia sáng đi
qua nó. Một tia sáng được đặc trưng bởi hai tham số: góc lệch so với
trục của hệ và khoảng cách tới trục của hệ y (xem hình 1.14).
Với phép gần đúng cận trục, khi góc lệch của tia sáng so với trục
đủ nhỏ sao cho sin, hệ thức giữa tham số đầu vào và tham số đầu
ra được viết như sau:
y 2 Ay1 B1
(1.20)


Cơ sở quang tử học

13

_________________________________________________________________

2 Cy1 D1

(1.21)

trong đó, A, B, C, D là các số thực, xác định bởi cấu trúc của hệ
quang.

Hình 1.14 Một tia sáng đi vào hệ quang tại vị trí y1 và hướng
theo góc 1 và ra khỏi hệ tại vị trí y2 và hướng theo góc 2.
Phương trình (1.20) và (1.21) có thể viết dưới dạng ma trận sau
y2
y1 A B y1
M

(1.22)
2
1 C D 1
Ma trận M với các thành phần A, B, C, D đặc trưng cho hệ quang,
nhờ đó, có thể xác định được (y2, 2) với bất kỳ (y1, 1) nào, gọi là ma
trận truyền tia sáng.
1.4.2 Ma trận truyền của một số hệ cơ bản
* Truyền lan trong chân không (Free-space propagation)
Tia sáng truyền thẳng trong chân không, do đó, một tia truyền
trong một khoảng d sẽ tuân theo phương trình:
y2 y1 1d
và góc lệch không đổi:
1 2 .
Từ hai phương trình trên, chúng ta có thể dưới dạng ma trận sau:


Chương 1. Quang học của tia sáng
14

_______________________________________________________________________

y2 1 d y1
0 1
1
2

hay ma trận truyền có dạng
A B 1 d
M


C D 0 1

(1.23)

* Khúc xạ trên biên phẳng
Tại một biên phẳng ngăn cách hai môi trường có chiết suất n1 và
n2, góc của tia sáng sẽ thay đổi theo định luật Snell. Trong gần đúng
cận trục, n sin n , còn vị trí của tia không đổi, y1 y2 , do đó, ma
trận truyền có dạng sau:
1
M 0



0
n1
n2

(1.24)

* Khúc xạ trên biên cầu
Sử dụng phương trình (1.8) với gần đúng y1 y2 , chúng ta có ma
trận truyền sau:
1
0

M n2 n1 n1
(1.25)
n R

n
2
2

trong đó, n1 và n2 là chiết suất hai môi trường, R là bán kính cong của
mặt biên, R>0 khi mặt biên lồi, và R<0 khi mặt biên lõm.
* Truyền qua thấu kính mỏng
Sử dụng hệ thức giữa góc ló và góc tới thấu kính (1.11) với gần
đúng y1 y2 , chúng ta có ma trận truyền sau:
1
M 1
f


0

1

(1.26)


Cơ sở quang tử học

15

_________________________________________________________________

trong đó, f là tiêu cự thấu kính, f > 0 khi thấu kính lồi và f < 0 khi
thấu kính lõm.
* Phản xạ trên mặt gương phẳng
Khi phản xạ trên gương phẳng, vị trí của tia không đổi, góc tia
cũng không đổi, do đó, ma trận truyền đơn giản như sau:
1 0
M

0 1

(1.27)

* Phản xạ trên gương cầu
Xem gương cầu như một thấu kính mỏng có tiêu cự f 2 / R ,
trong đó, R là bán kính cong, do đó, ma trận truyền có dạng sau:
1 0

M 2
(1.28)
R 1

trong đó, R <0 khi gương lõm và R > 0 khi gương lồi.
1.4.3 Ma trận của các hệ quang xếp tuần tự (Cascaded Component)
Một hệ quang bao gồm nhiều hệ quang thành phần (ví dụ gồm
khoảng môi trường đồng nhất với một gương, gồm hai thấu kính và
môi trường xen giữa, ) có ma trận truyền riêng M1, M2, , MN.
Tia sáng truyền qua hệ này giống như truyền qua một hệ độc lập có
ma trận sau:
M= MN M2M1

(1.29)

Tia sáng vào từ hệ M1 và ra từ hệ MN. Như vậy, hệ M1 sẽ có tác
động vào tia đầu tiên, sau đó theo thứ tự đến M2 , ... và MN có tác
động cuối cùng.
1.5. Hệ quang tuần hoàn
Hệ quang tuần hoàn là hệ gồm nhiều hệ giống nhau xếp tuần tự
(hình 1.15). Tia sáng truyền qua hệ tuần hoàn tuân thủ ma trận sau:


Chương 1. Quang học của tia sáng
16
_______________________________________________________________________
m

y m A B y0


m C D 0

(1.30)

Đây là ma trận có thể dùng phương pháp lặp để xác định (ym, m)
từ (ym-1, m-1) bằng máy tính.
Từ (1.30) ta dẫn ra hệ thức truy toán cho vị trí của tia

ym2 2bym1 F 2 y m1

(1.31)

Hình 1.15 Hệ quang tuần hoàn.
trong đó
b

A B
2

(1.32)

F 2 AD CB detM

(1.33)

Det[M] là định thức của ma trận M.
Hệ thức truy toán trên chỉ dùng để giải bằng máy tính, sau đây là
phương trình tính chính xác vị trí của tia sau khi đi qua hệ tuần hoàn

ym ymax sin(m 0 )

(1.34)
Để ym là hàm điều hòa, thì cos 1b phải là số thực. Điều này yêu

cầu điều kiện
b 1 hoặc

A B
2

1

(1.35)

trong đó,

0 cos1

b
và y max y 0 / sin 0
F

ymax và 0 là hằng số xác định từ điều kiện ban đầu của y0 và y1.

(1.36)


Cơ sở quang tử học

17

_________________________________________________________________

Các điều kiện trên chính là điều kiện ổn định của quỹ đạo tia.

Một tia sáng truyền qua hệ liên tục, gồm nhiều hệ quang giống
nhau có ma trận truyền (A,B,C,D) với AD-BC=1, theo một quỹ đạo
tuần hoàn khi điều kiện ổn định A D / 2 1 thỏa mãn. Vị trí của
tia sau chu kỳ thứ m sẽ là y m y max sin(m 0 ) , m=0,1, 2,,
trong đó, cos 1 A D / 2 . Giá trị ymax và 0 được xác định từ
giá ban đầu y0 và y1=Ay0+0d, trong đó, 0 góc lệch ban đầu của tia.
Góc của tia liên hệ với vị trí của nó qua hệ thức m ym1 Aym / B
và tuân theo hàm điều hòa m max sin(m 1 ) . Trong gần đúng cận
trục thì max 1 . Quỹ đạo của tia có chu kỳ s khi / 2 là phân số
q/s, trong đó, q là số tự nhiên.

Hình 1.16 Chuỗi chu kỳ của các thấu kính.
Ví dụ: một hệ gồm nhiều thấu kính tiêu cự f, đặt cách nhau một
khoảng d (hình 1.16). Như vậy, hệ quang đơn vị gồm một khoảng
không gian d và thấu kính. Hệ này có A=1, B=d, C=-1/f và D=1-d/f.
Tham số b= (A+D)/2=1-d/2f và giá trị định thức bằng 1. Điều
kiện ổn định tia b 1 hay 1 b 1 sẽ cho ta

0d 4f

(1.37)
tức là, khoảng cách giữa hai thấu kính phải nhỏ hơn bốn lần tiêu cự.
Với điều kiện này thì vị trí của tia tuân thủ hàm điều hòa sau:
d
ym ymax ( m 0 ), cos 1 (1
)
(1.38)
2f
Nếu d=2f, / 2 , khi đó chu kỳ lặp của quỹ đạo là / 2 1/ 4
(hình 1.17a). Do đó, quỹ đạo của một tia bất kỳ sẽ là một đường lặp

Chương 1. Quang học của tia sáng
18
_______________________________________________________________________

lại sau một chu kỳ 4 bước. Nếu d=f, thì / 2 1/ 6 và do đó, quỹ
đạo sẽ lặp lại sau 6 bước (hình 1.17b).

Hình 1.17 Ví dụ về ổn định của quỹ đạo của tia sáng trong hệ
nhiều thấu kính xếp đều nhau. a: d=2f, b:d=f .

Bằng cách tương tự, điều kiện ổn định của tia khi truyền qua hệ
gồm nhiều đôi thấu kính có tiêu cự f1 và f2, đặt cách nhau một
khoảng d, sẽ là

d
d
0 1
1
1
2 f1 2 f 2

(1.39)

Khi thay hệ hai thấu trên bằng hệ hai gương cầu có bán kính cong
R1 và R2, cách nhau một khoảng L, (1.39) sẽ có dạng

L
L

0 1 1 1
R1 R2

(1.40)

là điều kiện ổn định của buồng cộng hưởng quang học cầu, trong đó,
L là độ dài buồng cộng hưởng. Thay các giá trị của L và R1, R2, chúng
ta tìm được chu kỳ ổn định của buồng cộng hưởng quang học. Vấn
đề này, được đề cập trong các giáo trình laser.


Cơ sở quang tử học

19

_________________________________________________________________

Chng 2

quang học sóng của ánh sáng
Quang học tia, nghiên cứu trong chương 1, cho chúng ta biết
đường đi của một tia sáng trong không gian nói chung và trong từng
không gian nói riêng. Mỗi không gian thành phần, có những đặc
trưng riêng biệt về cấu trúc vật lý như: kích thước, hình dáng và đặc
biệt là chiết suất so với không gian thành phần bên cạnh và được gọi
là một hệ quang học. Nhờ các hệ quang học này, chúng ta có thể lái
chùm tia ánh sáng đi theo một quỹ đạo đã xác định sẵn, đồng thời
biết được quỹ đạo của tia sáng khi đi qua các hệ quang đã cho. Tuy
nhiên, với quang học tia, chúng ta chưa thể hiểu được bản chất của
quá trình truyền ánh sáng trong môi trường, hơn nữa, chúng ta cũng

không thể xác định được độ lớn của các đại lượng đặc trưng của ánh
sáng theo không gian và theo thời gian.
ánh sáng truyền dưới dạng sóng. Trong chân không, sóng ánh
sáng truyền lan với vận tốc không đổi c0 3, 0 108 m / s . Vùng bước
sóng quang học gồm ba dải: cực tím (từ 10nm đến 390 nm), nhìn
thấy (từ 390nm đến 760 nm) và hồng ngoại (từ 760nm đến 1mm).
ứng với vùng bước sóng quang này là vùng tần số từ 3 1011 Hz đến
3 1016 Hz .
Lý thuyết sóng của ánh sáng sẽ bao trùm lên lý thuyết tia của ánh
sáng. Hay nói một cách chính xác hơn, quang học tia là giới hạn của
quang học sóng khi bước sóng ngắn đến vô cùng ( 1 / ).
Tuy nhiên, bước sóng không thể ngắn đến không ( 0 ) để có thể
áp dụng lý thuyết tia. Cho đến khi nào sóng ánh sáng truyền qua
hoặc truyền xung quanh vật thể có kích thước lớn hơn nhiều so với
bước sóng (kích thước vật thể a ), khi đó, lý thuyết tia còn có thể
sử dụng một cách hiệu quả để mô tả các hiện tượng. Bởi vì, bước
sóng ánh sáng vùng nhìn thấy ngắn hơn nhiều so với kích thước vật


Chương 2. Quang học sóng của ánh sáng
20
_______________________________________________________________________

thể mà chúng ta nhìn thấy trong đời sống, do đó, cần nghiên cứu bản
chất của ánh sáng bằng những quan sát chi tiết hơn.
Trong chương này, ánh sáng được mô tả bởi một hàm vô hướng,
gọi là hàm sóng, thỏa mãn phương trình sóng. ý nghĩa của hàm sóng
không có gì đặc biệt, nó chỉ có tác dụng mô tả thành phần điện
trường và từ trường của ánh sáng tại một vị trí trong không gian và tại
một thời điểm của thời gian. Hay nói cách khác, hàm sóng cho ta biết

phấn bố của cường độ điện từ trường trong không gian và trong thời
gian. Mật độ công suất quang cũng được thể hiện thông qua hàm
sóng. Nhưng trước tiên, chúng ta phải có những tiên đề về mẫu sóng
vô hướng, hay còn gọi là quang học sóng. Quang học sóng sẽ xây
dựng nền tảng cơ bản để mô tả các hiện tượng quang học mà quang
học tia không thể giải thích được, bao gồm hiện tượng giao thoa, tán
xạ và truyền lan của ánh sáng trong môi trường.
2.1. Các tiên đề của quang học sóng
2.1.1 Phương trình sóng
Ngoài dạng tia, ánh sáng cũng truyền lan ở dạng sóng. Trong
chân không, ánh sáng truyền lan với vận tốc c0. Một môi trường đồng
nhất, ví dụ như thủy tinh, được đặc trưng bởi một hằng số duy nhất,
đó là chiết suất n ( n 1 ). Vận tốc ánh sáng sẽ giảm khi đi qua môi
trường chiết suất n

c

c0
n

(2.1)

Đây còn gọi là vận tốc ánh sáng trong môi trường.
Bằng công cụ toán học, sóng ánh sáng được đặc trưng bởi hàm

thực của vị trí trong không gian r ( x, y, z ) và thời gian t , ký hiệu là

u (r , t ) và được gọi là hàm sóng. Từ đây, chúng ta không dùng dấu
véc tơ cho r, song phải hiểu r= (x,y,z) là véc tơ.
Hàm sóng thoả mãn phương trình sóng sau (chú ý rằng phương

trình sóng có thể dẫn được trực tiếp từ hệ phương trình Maxwell cổ
điển)
2

u

trong đó,

1 2u
c 2 t 2

0

(2.2)


Cơ sở quang tử học

21

_________________________________________________________________

2

2
2
2


x 2 y 2 z 2

là toán tử Laplace.
Bất kỳ một hàm nào thỏa mãn phương trình (2.2) đều biễu diễn
cho một sóng quang học nào đó.
Phương trình sóng (2.2) là tuyến tính cho nên nguyên lý chồng
chất có thể áp dụng, tức là nếu
u1 (r , t ) và u2 (r , t )
mô tả cho hai sóng quang thì
u (r , t ) u1 (r , t ) u 2 (r , t )
cũng có thể mô tả một sóng quang nào đó.
Phương trình sóng có thể áp dụng gần đúng trong môi trường mà
chiết suất phụ thuộc vị trí, nếu chiết suất chỉ thay đổi trong khoảng
cách không gian cỡ bước sóng rất nhỏ. Môi trường như vậy gọi là
môi trường đồng nhất địa phương. Với những môi trường này, chiết
suất trong (2.1) và vận tốc trong (2.2) có thể biễu diễn dưới dạng
sau: n r , c(r ) .
2.1.2 Cường độ, công suất và năng lượng
Cường độ quang được định nghĩa như công suất quang của sóng
trên một đơn vị diện tích (đơn vị là W/cm2) và tỉ lệ thuận với trung
bình bình phương hàm sóng

I (r , t ) 2 u 2 (r , t )

(2.3)

Ký hiệu . là lấy trung bình trong khoảng thời gian lớn hơn nhiều
so với chu kỳ quang học, nhưng nhỏ hơn so với khoảng thời gian
quan tâm, ví dụ như độ rộng của một xung ánh sáng. Độ rộng của
một chu kỳ quang rất ngắn. Ví dụ, ánh sáng bước sóng 600 nm có
chu kỳ quang học 2 1015 s 2 fs (femto giây).

Mặc dù, ý nghĩa của hàm sóng là không cụ thể, song biểu thức
(2.3) mô tả sự liên hệ của nó với một đại lượng có thể đo được, đó là
cường độ quang. Trong phương trình (2.3) có thể bỏ qua hệ số 2 và
hàm sóng nhân thêm với hệ số 2 thì kết quả vấn không thay đổi.


Chương 2. Quang học sóng của ánh sáng
22
_______________________________________________________________________

Công suất quang P(t) (đơn vị là W) truyền qua tiết diện A vuông
góc với phương truyền của ánh sáng là tích phân của cường độ
P(t )

I (r, t )dA
A

(2.4)

Năng lượng quang E (đơn vị là J) là công suất quang đo được
trong một khoảng thời gian T, là tích phân theo thời gian của công
suất quang P(t ) :
E

P(t )dt
T

(2.5)

2.2 Sóng đơn sắc

2.2.1 Hàm sóng đơn sắc
Trong hình 2.1 là mô tả sóng đơn sắc và các đại lượng của nó.

Hình 2.1 Mô tả sóng đơn sắc tại vị trí xác định r.
(a) Hàm sóng theo thời gian; (b) Biên độ phức U a exp( j)
gọi là biên pha cố định; (c) Hàm sóng phức U (t ) U exp( j 2t )
là biên pha quay với vận tốc góc 2 .
Một sóng đơn sắc (sóng có một bước sóng lý tưởng) đặc trưng bởi
hàm sóng thay đổi điều hòa theo thời gian (xem hình 2.1)

u (r , t ) a (r ) cos2t r

(2.6)


Cơ sở quang tử học

23

_________________________________________________________________

trong đó, a(r) là biên độ, (r) là pha, là tần số (số chu kỳ/s hay Hz),
=2 là tần số góc (radian/s).
Cả biên độ và pha đều phụ thuộc vào vị trí, nhưng hàm sóng là
hàm điều hoà theo thời gian với tần số tại tất cả các vị trí. Tần số
của sóng quang học nằm trong vùng từ 3.1011 đến 3.1016 Hz.
2.2.2 Hàm sóng phức (biễu diễn phức)
Để cho thuận tiện, chúng ta có thể biểu diễn hàm sóng thực
u (r , t ) của sóng đơn sắc qua hàm phức:

U (r , t ) a (r ) exp j(r )exp j 2t ,

(2.7)

sao cho
u (r , t ) ReU ( r , t )

1
U (r , t ) U * (r , t ) .
2

(2.8)

Hàm U (r , t ) gọi là hàm sóng phức, mô tả một cách trọn vẹn về
sóng, hàm u (r , t ) chỉ là phần thực của nó. Cũng như hàm sóng thực,
hàm sóng phức cũng thoả mãn phương trình sóng sau
1 2U
2U 2
0
(2.9)
c t 2
Cả hai hàm sóng trên đều thỏa mãn điều kiện biên của phương
trình sóng.
2.2.3 Biên độ phức
Phương trình (2.7) có thể viết dưới dạng sau

U (r , t ) U (r ) exp j 2t
trong đó,

U (r ) a (r ) exp j(r )

gọi là biên độ phức (chỉ phụ thuộc vào vị trí).
Khi sử dụng biên độ phức thì biên độ thực có thể biểu diễn qua
biên độ phức như sau


Chương 2. Quang học sóng của ánh sáng
24
_______________________________________________________________________

u(r, t ) Re U (r ) exp( j 2 t )


1
U (r)exp( j 2 t ) U *(r)exp( j 2 t ) (2.10)
2

Tại mỗi vị trí xác định r , biên độ phức U (r ) là biến phức, độ lớn
U (r ) a(r ) là biên độ của sóng và biến arg U (r ) (r ) là pha của
sóng. Hàm sóng phức U (r ) được mô tả bằng hình học bởi pha quay
với vận tốc góc 2 rad/s (hình 2.1c). Giá trị ban đầu tại t=0 là
biên độ phức U (r ) .
2.2.4 Phương trình Helmholtz
Thay U (r , t ) U (r ) exp j 2t vào phương trình (2.9), ta nhận
được phương trình vi phân
2 k 2 U (r ) 0
(2.11)
gọi là phương trình Helmholtz, trong đó,

k

2

c
c

(2.12)

là số sóng.
2.2.5 Cường độ quang của sóng qua biễu diễn phức
Cường độ quang được xác định qua hàm thực như sau:
2u 2 (r , t ) 2a 2 (r )cos 2 2 t (r ) .

Sau khi thay U (r ) a(r ) và sử dụng hệ thức lượng giác cho hàm
cos ta có:
2
2u 2 (r , t ) U (r ) 1 cos 2 2 t (r ) .
Bây giờ ta lấy trung bình theo thời gian lớn hơn chu kỳ quang
(1/), ta nhận được
I (r ) 2 u 2 (r , t ) U (r )

2

1 cos 2 2 t (r )

.