PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Nguyễn Đức Lợi

Đại số 11

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. Phương trình sinx = sinα
 x = α + k2π
(k ∈ Z)
a. sin x = sinα ⇔ 
 x = π − α + k2π
sin x = a. Điề
u kiệ
n: − 1 ≤ a ≤ 1.
b. sin x = a ⇔  x = arcsina + k2π
 x = π − arcsina + k2π (k ∈ Z)
c. sinu = − sinv ⇔ sinu = sin(− v)
π

d. sinu = cosv ⇔ sinu = sin − v÷
2 
 π
sinu = − cosv ⇔ sinu = sin v − ÷

2
Các trường hợp đặc biệt
sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z)
e.

sin x = 1 ⇔ x =

π
+ k2π (k ∈ Z)
2

sin x = − 1 ⇔ x = −

sin x = ± 1 ⇔ sin2 x = 1 ⇔ cos2 x = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x =

π
+ k2π (k ∈ Z)
2

π
+ kπ (k ∈ Z)
2

2. Phương trình cosx = cosα
a. cos x = cosα ⇔ x = ± α + k2π (k ∈ Z)
b.

cos x = a. Điề
u kiệ
n : − 1 ≤ a ≤ 1.
cos x = a ⇔ x = ± arccosa + k2π (k ∈ Z)

c. cosu = − cosv ⇔ cosu = cos(π − v)
π

d. cosu = sinv ⇔ cosu = cos − v÷
2 

π

e. cosu= − sinv ⇔ cosu = cos + v÷
2 
Các trường hợp đặc biệt

π
+ kπ (k ∈ Z)
2
cos x = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ Z)
cos x = 0 ⇔ x =

cos x = − 1 ⇔ x = π + k2π (k ∈ Z)

cos x = ± 1 ⇔ cos2 x = 1 ⇔ sin2 x = 0 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z)
3. Phương trình tanx = tanα
a. tan x = tanα ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z)
b. tan x = a ⇔ x = arctana + kπ (k ∈ Z)
c. tanu = − tanv ⇔ tanu = tan(−v)
π

d. tanu = cot v ⇔ tanu = tan − v÷
2 
Trang 1


Đại số 11

Nguyễn Đức Lợi

π

e. tanu= − cot v ⇔ tanu = tan + v÷
2 
Các trường hợp đặc biệt
tan x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z)

tan x = ± 1 ⇔ x = ±

π
+ kπ (k ∈ Z)
4

4. Phương trình cotx = cotα
cot x = cotα ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z)
cot x = a ⇔ x = arccot a + kπ (k ∈ Z)
Các trường hợp đặc biệt

π
π
+ kπ (k∈ Z)
cot x = ± 1 ⇔ x = ± + kπ (k ∈ Z)
2
4
5. Một số điều cần chú ý
a. Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có
mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt
điều kiện để phương trình xác đònh.
π
* Phương trình chứa tanx thì điều kiện x ≠ + kπ (k ∈ Z).

2
* Phương trình chứa cotx thì điều kiện x ≠ kπ (k ∈ Z)
cot x = 0 ⇔ x =

*

Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện x ≠ k

*

Phương trình có mẫu số
sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ (k ∈ Z)
•

π
(k ∈ Z)
2

π
+ kπ (k ∈ Z)
2
π
•
tan x ≠ 0 ⇔ x ≠ k (k ∈ Z)
2
π
•
cot x ≠ 0 ⇔ x ≠ k
(k ∈ Z)
2

b. Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường
dùng một trong các cách sau để kiểm tra điều kiện
1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trò của x vào
biểu thức điều kiện.
2. Dùng đường tròn lượng giác.
3. Giải các phương trình vô đònh.
•

cos x ≠ 0 ⇔ x ≠

CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
π
1
2
a )sin x = sin
d ) sin x =
b) sin 2 x = − sin 360 c) sin 3 x =
12
2
3
π
11π
+ k 2π ( k ∈ ¢ ) b) x = −180 + k1800 , x = 1080 + k1800 ( k ∈ ¢ )
ĐS a ) x = + k 2π , x =
12
12
π
2π
5π

2π
2
2
c) x = + k
,x =
+k
( k ∈ ¢ ) d ) x = arcsin + k 2π , x = π − arcsin + k 2π
18
3
18
3
3
3
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
Trang 2


Nguyễn Đức Lợi

Đại số 11

a ) cos x = cos

π
4

(

)

b) cos x + 450 =

2
2
;
c)cos4 x = −
2
2

d ) cos x =

3
4

π
b) x = k 3600 , x = −900 + k 3600 ( k ∈ ¢ )
+ k 2π ( k ∈ ¢ )
4
3π
π
3
c) x = ±
+ k ,( k ∈ ¢)
d ) x = ± arccos + k 2π , k ∈ ¢
16
2
4
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:
π
1

0
a ) tan x = tan
b) tan 4 x = −
c) 3 tan 3 x − 1 = 0 d ) tan ( 4 x − 20 ) = 3
3
3
1
π
π
 1
b) x = arctan  − ÷+ k , ( k ∈ ¢ )
ĐS: a ) x = + kπ , ( k ∈ ¢ )
4
4
3
 3
π
π
d ) x = 200 + k 450 , ( k ∈ ¢ )
c) x = + k , ( k ∈ ¢ )
18
3
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:
π 1
3π

b) cot 4 x = −3
c) cot  2 x − ÷ =
a ) cot 3 x = cot
6

7
3

π
π
1
π
π
π
ĐS: a ) x = + k , ( k ∈ ¢ ) b) x = arccot ( −3) + k , ( k ∈ ¢ ) c ) x = + k , ( k ∈ ¢ )
7
3
4
4
4
2
BÀI TẬP TỰ LUẬN
ĐS: a ) x = ±

Giải các phương trình sau

Baøi 1.

π
π


1) sin ( 2 x − 1) = sin ( 3 x + 1) 2) cos  x − ÷ = cos  2 x + ÷
4
2




(

)

4) cot 450 − x =

3
3

7) sin3x = sin x

(

)

tan x + 150 =

5) sin2x =

3) tan ( 2 x + 3) = tan

(

3
2

)

6) cos 2x + 250 =

8) cot( 4x + 2) = − 3

π
3

− 2
2

9)

3
3

(

)

0
10) sin 8 x + 60 + sin 2 x = 0

11) cos

x
= − cos 2 x − 300
2

(

π

13) tan x = cot  − 2 x ÷ 14) sin2x = cos3x
4


2π 
sin x −
÷ = cos2x
3

16) sin4x = − cos x
17) sin5x = − sin2x
2
2
sin 2x = sin 3x
19) tan( 3x + 2) + cot2x = 0
20) sin4x + cos5x = 0
2sin x + 2sin2x = 0
22) sin2 2x + cos2 3x = 1
24) cos x − 2sin2

x
=0
2

tan5x.tan3x = 1

π


2
27) sin cos x÷ =
4
 2

)

12) sin x − cos 2 x = 0
15)

18)
21)

23) sin5x.cos3x = sin6x.cos2x

π
25) tan 3x + ÷cot ( 5x − π ) = 1 26)
2

π

28) tan  ( sin x + 1)  = 1
4

Trang 3

(

)

0
2 0
29) cos x + 30 + 2cos 15 = 1


ẹaùi soỏ 11

Nguyn c Li

Gii cỏc phng trỡnh:

a) 2 cot(5 x ) = 0
b) 2 cos 2 x + 3 cos x = 0 c) 3 sin 3 x cos 3 x = 2
8
d) sin 2 x + sin 2 x + 2 cos 2 x = 2 e) sin 2 x + sin 2 x + 2 cos2 x = 2
S:

5
k
a) x = +
b) x = + k , x = + k 2 , k Â
5
2
6
2 k 2
+
c) x =
d) x = k , x = arctan 2 + k
9

3
Baứi 3.
Gii cỏc phng trỡnh:
3
k
a) 3 tan(3 x + ) = 0 (S: x = +
)
5
5 3


7
+ k 2 , k  )
b) 2sin 2 x sin x 1 = 0 (S: x = + k 2 , x = + k 2 , x =
2
6
6
3 k 2
c) sin 5 x + cos 5 x = 2 (S: x = +
)
20
5
Baứi 2.

d) 3sin 2 x + sin 2 x + cos 2 x = 3

(S x =

+ k 2 , x = + k )
2
4



5
+ k 2 , x = + k 2 , x =
+ k 2 , k  )
2
6
6
1
f) 2 cos 2 x 3cos x + 1 = 0 (S: x = k 2 , x = arccos( ) + k 2 , k  )
4
2
2
2
g) 2sin x + 3sin x cos x 5cos x = 0 2ta n x + 3ta n x 5 = 0

5
S: x = + k , x = arctan( ) + k , k Â
4
2
Baứi 4.
Giaỷi caực phửụng trỡnh

e) cos 2 x + 3sin x 2 = 0 (S: x =

1) cos 2x + ữ = 0
6



4) sin 3x + ữ = 0
3

7) sin( 3x+ 1) =

1
2



2) cos 4x ữ = 1
3

x
5) sin ữ = 1
2 4

(

)

8) cos x 150 =

3) cos xữ = 1
5



6) sin + 2xữ = 1
6

x
3
9) sin ữ =
2
2 3

2
2



1
10) cos 2xữ = 11) tan( 2x 1) = 3
2
6





13) tan 3x + ữ = 1 14) cot 2x ữ = 1

6
3


Baứi 5.
Giaỷi caực phửụng trỡnh

(

)

12) cot 3x+ 100 =

3
3

15) cos(2x + 250) =

1) sin( 3x + 1) = sin( x 2)





2) cos x ữ = cos 2x + ữ
3
6

3) cos3x = sin2x

0
4) sin x 120 + cos2x = 0





5) cos 2x + ữ+ cos x ữ = 0
3
3



x
6) sin3x + sin ữ = 0
4 2

(

Trang 4

)

2
2


Nguyễn Đức Lợi

Đại số 11



π
π
7) tan 3x − ÷ = tan x + ÷
4
6





π
π
8) cot 2x − ÷ = cot  x + ÷
4
3



9) tan( 2x + 1) + cot x = 0

1
10) sinx.cos xc
. os2x.cos4x = sin12x
4
12) cosx-cos3x = sin2x

1
14) sin2 x =
2
π
2
2
16) sin  x − ÷ = cos x
4



11) sin3x + sin5x = sin4x
13) cot2 x = 1
15) cos x =

1
2

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Giá trị đặc biệt nào sau đây là đúng
π
π
A. cos x ≠ 1 ⇔ x ≠ + kπ
B. cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ
2
2
π
π
C. cos x ≠ −1 ⇔ x ≠ − + k 2π
D. cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + k 2π

2
2
0
Câu 2. Phương trình lượng giác: cos 3x = cos12 có nghiệm là:
π
π k 2π
−π k 2π
π k 2π
+
+
A. x = ± + k 2π
B. x = ± +
C. x =
D. x =
15
45
3
45
3
45
3
Câu 3. Tập nghiệm của phương trình sin 2 x = 1 là :
π

π

A.  + kπ , k ∈ Z  . B.  + 2kπ , k ∈ Z  . C. { kπ , k ∈ Z } .
4

4



π

D.  + 2kπ , k ∈ Z  .
2


Câu 4. Tập nghiệm của phương trình cos 2 x = −1 là :
 −π

 −π

0
0
+ 2kπ , k ∈ Z  . C. 
+ kπ , k ∈ Z  .
A. { 90 + k180 , k ∈ Z } . B. 
 2

 4

Câu 5. Phương trình lượng giác: 3cot x − 3 = 0 có nghiệm là:
π
π
π
A. x = + kπ
B. x = + kπ
C. x = + k 2π
6

3
3
Câu 6. Phương trình lượng giác: 3.tan x − 3 = 0 có nghiệm là:
π
π
π
A. x = + kπ
B. x = − + k 2π
C. x = + kπ
3
3
6
Câu 7. Phương trình lượng giác: 2 cot x − 3 = 0 có nghiệm là:
π

 x = 6 + k 2π
π
3
A. 
B. x = arc cot
+ kπ C. x = + kπ
6
2
 x = −π + k 2π

6
Câu 8. Phương trình lượng giác: 2 cos x + 2 = 0 có nghiệm là:
π
3π
5π




x
=
+
k
2
π
x
=
+
k
2
π
x
=
+ k 2π



4
4
4
A. 
B. 
C. 
D.
 x = 3π + k 2π
 x = −3π + k 2π

 x = −5π + k 2π



4
4
4
 2x

− 600 ÷ = 0 có nhghiệm là:
Câu 9. Phương trình: sin 
 3


Trang 5

D. { − kπ , k ∈ Z } .

D. Vô nghiệm

D. x = −

D. x =

π

x
=
+ k 2π


4

 x = −π + k 2π

4

π
+ kπ
3

π
+ kπ
3


Ñaïi soá 11
A. x = ±

Nguyễn Đức Lợi

5π k 3π
+
2
2

B. x = kπ

C. x =

π

+ kπ
3

D. x =

π k 3π
+
2
2

Câu 10. Tìm các nghiệm của phương trình sin( x + 75 0 ) = sin 15 0 ?
 x = −60 0 + k 360 0
'k ∈ Z
A. 
0
0
 x = 90 + k 360

 x = 60 0 + k 360 0
'k ∈ Z
B. 
0
0
 x = −90 + k 360

 x = −60 0 + k180 0
'k ∈ Z
C. 
0
0

 x = 90 + k180

 x = −60 0 + k 360 0
'k ∈ Z
D. 
0
0
 x = −90 + k 360

Câu 11. Nghiệm của phương trình cos 2 x = −
A. x = ±
C. x =

5π
+ kπ , k ∈ Z .
12

3
là:
2

π
+ kπ , k ∈ Z .
12

π x 
Câu 12. Nghiệm của phương trình tan  − ÷ = −1 , là:
 4 2
A. π + k 2π .

B. −π + kπ .

5π
+ kπ , k ∈ Z .
6
π
D. x = − + kπ , k ∈ Z .
12
B. x = ±

C.

π
+ k 2π .
2

D. −

π
+ k 2π ; k ∈ ¢ .
2

Câu 13. Với k ∈ ¢ , công thức nghiệm của phương trình tan x = 4 là
A. x = arctan 4 + kπ .

B. x = arctan 4 + k 2π .

C. x = 4 + kπ

(

D. x =

π
+ kπ .
4

)

o
Câu 14. Với k ∈ ¢ , công thức nghiệm của phương trình sin x + 10 = −1 là

A. x = −100o + k 360o .

B. x = −80o + k180o .

Câu 15. Số nghiệm của phương trình sin 2 x =
A. 1.

B. 2.

C. x = 100o + k 360o . D. x = −100o + k180o .
3
trong khoảng (0;3π ) là
2
C. 6.

D. 4.

Câu 16. Phương trình cos x = m + 1 có nghiệm khi và chỉ khi

A. −1 ≤ m ≤ 1 .
B. m ≤ 0 . C. m ≥ −2 . D. −2 ≤ m ≤ 0 .

π

Câu 17. Với k ∈ ¢ , công thức nghiệm của phương trình cot  x + ÷ = 3 là
4

π
π
π
π
A. x = + kπ .
B. x = + kπ .
C. x = − + kπ .
D. x = + kπ .
12
3
12
6
Câu 18. Với giá trị nào của m thì phương trình sin x − m = 1 có nghiệm là:
A. 0 ≤ m ≤ 1
B. m ≤ 0
C. m ≥ 1
D. −2 ≤ m ≤ 0
Câu 19. Phương trình: cos x − m = 0 vô nghiệm khi m là:
 m < −1
A. 
B. m > 1
C. −1 ≤ m ≤ 1

D. m < −1
m > 1
π

Câu 20. Số nghiệm của phương trình: sin  x + ÷ = 1 với π ≤ x ≤ 5π là:
4

A. 1
B. 0
C. 2
Câu 21. Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
Trang 6

D. 3


Nguyễn Đức Lợi
A. tan 2 3 x = −1 .

Đại số 11
B. cos2 x =

tan(2017 x − π ) = −90 .

1
.
2

C. sin(2 + x) =

−2016
.
2017

D.

Câu 22. Tập nghiệm của phương trình tan 2 x.cot x = 1 là :
π kπ
π

,k ∈Z.
A.  + kπ , +
B. ∅ .
8 2
4

kπ


 π kπ

,k ∈Z .
,k ∈Z .
C. kπ ,
D.  +
3


6 3


2
là:
2
B. x = 300 ; x = −1050
D. x = 300 ; x = 450 ; x = 750 .

Câu 23. Với −1200 < x < 900 thì nghiệm của phương trình sin ( 2 x − 150 ) =
A. x = 300 ; x = 750 ; x = −1050
C. x = 600 ; x = 900 ; x = −1050

 π π
Câu 24. Tìm số nghiệm của phương trình sin 2x = 0, x ∈  − ;  ?
 2 2
A. 1
B. 2
C. 3
−1
Câu 25. Phương trình: sin 2x =
có bao nhiêu nghiệm thỏa: 0 < x < π
2
A. 1
B. 3
C. 2
1
−π
π
≤ x ≤ là:
Câu 26. Phương trình: sin x = có nghiệm thỏa
2
2

2
5π
π
π
+ k 2π
A. x =
B. x =
C. x = + k 2π
6
6
3
2
Câu 27. Giải phương trình: tan x = 3 có nghiệm là:
π
π
A. x = − + kπ
B. x = ± + kπ
C. vô nghiệm
3
3

(

D. 4 .

D. 4

D. x =

π

3

D. x =

π
+ kπ
3

)

Câu 28. Nghiệm của phương trình: sin x. 2 cos x − 3 = 0 là:
 x = kπ
A. 
 x = ± π + k 2π
6


 x = kπ
B. 
 x = ± π + kπ
6


Câu 29. Nghiệm đặc biệt nào sau đây là sai
π
A. sin x = −1 ⇔ x = − + k 2π
2
C. sin x = 0 ⇔ x = k 2π

 x = k 2π

C. 
 x = ± π + k 2π
3


D. x = ±

π
+ k 2π
6

B. sin x = 0 ⇔ x = kπ
D. sin x = 1 ⇔ x =

π
+ k 2π
2

Câu 30. Phương trình lượng giác: 3.tan x + 3 = 0 có nghiệm là:
π
π
π
π
A. x = + kπ
B. x = − + k 2π
C. x = + kπ
D. x = − + kπ
3
3
6

3
Câu 31. Giải phương trình sin2x = 3.sinx .
π
π
5π
+ k2π
A. x = kπ , x = ± + k2π
B. x = kπ , x = + k2π , x =
3
6
6
π
π
2π
+ k2π
C. x = kπ , x = ± + k2π
D. x = k2π , x = + k2π , x =
6
3
3

Trang 7


Ñaïi soá 11

Nguyễn Đức Lợi
2
là:
2

B. x = 300 ; x = −1050

Câu 32.Với −1200 < x < 900 thì nghiệm của phương trình sin ( 2 x − 150 ) =
A. x = 300 ; x = 750 ; x = −1050

C. x = 600 ; x = 900 ; x = −1050
D. x = 300 ; x = 450 ; x = 750
1
π 
Câu 33. Phương trình sin x = có nghiệm trong khoảng  ; π ÷ là:
2
2 
π
5π
2π
3π
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
6
6
3
4
1
Câu 34. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình cos 2 x = − là:
2

π
2π
π
π
A. .
B.
.
C. .
D. .
3
3
6
2
 π π
Câu 35. Số nghiệm của phương trình sin 2 x = cos 2 x trên đoạn  − ;  là:
 2 2
A.1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Câu 36. Nghiệm của phương trình lượng giác: cos 2 x − cos x = 0 thỏa điều kiện 0 < x < π là:
π
−π
A. x =
B. x = 0
C. x = π
D. x =
2
2
π


Câu 37. Số nghiệm của phương trình: 2 cos  x + ÷ = 1 với 0 ≤ x ≤ 2π là:
3

A. 0
B. 2
C. 1
D. 3
Câu 38. Tìm các nghiệm của phương trình sin 2 2 x + cos 2 3 x = 1 ?
2π
;k ∈ Z
A. x = k 2π ; k ∈ Z
B. x = k
5
π
C. x = π + kπ ; k ∈ Z
D. x = kπ ∪ x = k ; k ∈ Z
5
Câu 39. Tập nghiệm của phương trình
 −2π

+ kπ , k ∈ Z  .
A. 
 3


π
3 tan( x + ) + 3 = 0 là :
3

 −7π

+ kπ , k ∈ Z  .
B. 
 6


 2π

D.  + kπ , k ∈ Z  .
 3

x
Câu 40. Giải phương trình lượng giác: 2 cos + 3 = 0 có nghiệm là:
2
5π
5π
+ k 2π
+ k 2π
A. x = ±
B. x = ±
3
6
5π
5π
+ k 4π
+ k 4π
C. x = ±
D. x = ±
6

3
 −2π

+ 2 kπ , k ∈ Z  .
C. 
 3


Trang 8


Nguyn c Li

i s 11

II. PHNG TRèNH BC 2, BC 3 I VI MT HM S LNG GIC

Daùng
asin2x + bsin x + c = 0

ẹaởt
t = sinx

ẹieu kieọn
1 t 1

a cos2 x + bcos x + c = 0

t = cosx

1 t 1

atan2 x + btan x + c = 0

t = tanx

x

acot2 x + bcot x + c = 0

t = cotx


+ k (k Z)
2
x k (k Z)

Neỏu ủaởt t = sin2 x hoaở
c t = sin x thỡ ủie
u kieọ
n : 0 t 1.
CC V D MINH HA
Vớ d 1. Gii cỏc phng trỡnh sau:
1) 2cos2x - 3cosx + 1 = 0
2=0
3) 9cos2x -5sin2x 5cosx + 4 = 0
cos2x = 3
5) tan2 x + ( 3 1) tan x 3 = 0
1=0
7) 2 cos2x - 3cosx +1 =0

S: 1) x = k2 , x =
3) x =
5) x =


+ l 2
3

2) x =

4) x =

6) x = + k2

3

= 3cot x + 3

6) cos2x + sin2x + 2cosx +

8) cos 2 x + 3sin x 2 = 0


7
+ k2 ; x =
+ k2
6
6

1

7) x = k2 ; x = arccos ữ+ k2
4

Vớ d 2. Gii cỏc phng trỡnh sau
1) 4sin4x + 12cos2x = 7
3)

4) 5sinx(sinx 1)


1
1
+ k2 ; x = arcsin( ) + k2 ; x = arcsin( ) + k2
2
3
3

1

+ k2 ; x = arccos ữ+ k2
3
7



+ k ; x = + k
4
3

2) 2sin2x cos2x - 4sinx +

2) 6sin23x + cos12x = 14
4) 1 (2 + 2)sinx +

sin2 x


S: 1) x = + k
2) vụ nghim
4
2

3

5
4) x = + k2 ; x =
+ k2 ; x = + k2 ; x =
4
4
6
6
Vớ d 3. Gii cỏc phng trỡnh sau
1) 4sin3x 8sin2x+sinx + 3 = 0
+ 10 = 0
3) 4(sin3x-cos2x) = 5(sinx 1)

Trang 9

2 2

=0
1+ cot2 x


3) x = + k ; x = + k
2
6

+ k2
2) 2tan3x + tan2x 23tanx
4) cos3x + 3cos2x = 2(1+cosx)


ẹaùi soỏ 11

Nguyn c Li

1
(HNNHN2000)
cosx
6) 4cos3 x + 3 2sin2x = 8cos x
7) 1+ cosx+cos2x+cos3x=0


7
S: 1) x = + k2 ; x =
+ k2 ; x =
+ k2
2
6

6
1
2) x = arctan(2) + k ; x = arctan ữ+ k ; x = arctan( 5) + k
2
5) 2cos2x 8cosx +7 =

3) x =

1
1

+ k2 ; x = arcsin ữ+ k2 ; x = arcsin ữ+ k2 , k Â
2
4
4

5+ 5
ữ+ k2 , k Â
4) x = k2 ; x = arccos
ữ
4



2
5) x = k2 ; x = + k2
6) pt cosx=0 sinx =
3
2
1

7) pt cosx=0 cosx = 1 cosx=
2
BI TP
Baứi 1.
Giaỷi caực phửụng trỡnh sau
1) 2sin2x + 5cosx + 1 = 0
2) 4sin2x 4cosx 1 = 0
5
5
2
3) 4cos x.sinx 4sin x.cosx = sin 4x
4)
tan2 x + ( 1 3) tan x 3 = 0

5) 4sin2 x 2( 3 + 1) sin x + 3 = 0
6) 4cos3 x + 3 2sin2x = 8cos x
7) tan2x + cot2x = 2
8) cot22x 4cot2x + 3 = 0
9) sin2 2x + 5cos2x + 1= 0
10) cos2x-sinx + 2 = 0
11) cos2x-cosx-2 = 0
12) 2tan x 3cot x + 1= 0
x
13) cosx+sin + 1= 0
14) cos2x+cosx+1=0
2
3
1
15) sin2 2x 2cos2 x + = 0
16) cos2x+sin2x + sinx =

4
4
17) 1 5sin x + 2cos2 x = 0
18) cos2x+sin2x + 2cosx+1=0
Baứi 2.
Giaỷi caực phửụng trỡnh sau
2
1) 4sin 3x + 2( 3 + 1) cos3x 3 = 4
2) cos2x + 9cosx + 5 = 0
2
2
3) 4cos (2 6x) + 16cos (1 3x) = 13
4)
1
cos2 x

( 3+ 3) tan x 3+ 3 = 0

3
+ tan2x = 9
cosx
= cotx + 3
1
8)
+ 3cot2x = 5
2
cos x
4
tanx =
5

5)

11)

3
cos2 x

4tan x 2 = 0

6) 9 13cosx +

4
1+ tan2 x

9) cos2x 3cosx = 4cos2

12)

3
sin2 x

Trang 10

=0
x
2

2 3cot x 6 = 0

7)

1
sin2 x

10) 2cos2x +


Nguyễn Đức Lợi

Đại số 11

1
2
5
13) tan2 x −
+ =0
2
cosx 2
Bài 3.
Giải các phương trình sau
2 x
1) cos2x − 3cosx = 4cos
2
6sin 2 3x − cos12x = 4
7 cos x = 4 cos3 x + 4sin 2x

6)

14) 1− (2 + 2)sinx =

2 2
1+ cot2 x

2) 6sin 2 x − 2sin 2 2x = 5

3)

4
4
4) 5 ( 1 + cos x ) = 2 + s in x − cos x

5)

4
+ t anx = 7
cos 2 x

7) cos 2x + sin 2 x − 2 cos x + 1 = 0
2tan3 x − 2tan2 x + 3tan x − 3 = 0
11) cos3x + 5sin2 x + 7cos x − 7 = 0

8) cosx + 3cos

x
+ 2 = 0 9)
2

10) 4sin3 x − 10sin2 x + 6sin x − 1= 0
12) 2sin3 x − cosx − sin x = 0

13) 3sin3 x − 3cos2x + 7sin x − cos2x+1= 0
14) 5cos3x − 3sin2 x + 8cos x − 1= 0

sin3x + cos3x  3+ cos2x
Bài 4.
Cho phương trình
. Tìm các
 sin x +
÷=
1+ 2sin2x 
5

nghiệm của phương trình thuộc ( 0 ; 2π ) .(HD: GPT x = ±

π
+ k 2π )
3

Cho phương trình cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1.
Tìm các nghiệm của phương trình thuộc ( −π ; π ) .

Bài 5.

Bài 6.



π
π 5
Giải phương trình sin4 x + sin4  x + ÷+ sin4  x − ÷ = .


4

4 4

Trang 11


Đại số 11

Nguyễn Đức Lợi

III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX
DẠNG a sinx + b cosx = c (1)
Cách 1
•

Chia hai vế phương trình cho
(1) ⇔

•

Đặt sinα =

a
2

2

a +b

a
a2 + b2

a2 + b2 ta được
b

sin x +

a2 + b2

b

, cosα =

2

2

a +b

cos x =

a2 + b2

( α ∈ 0, 2π )

phương trình trở thành sinα .sin x + cosα .cos x =
⇔ cos(x − α ) =

•

c

c
a2 + b2

c

= cosβ (2)
a2 + b2
Điều kiện để phương trình có nghiệm là
c
2

• (2) ⇔ x = α ± β + k2π
Cách 2

2

a +b
(k ∈ Z)

≤ 1 ⇔ a2 + b2 ≥ c2.

x π
= + kπ có là nghiệm hay không?
2 2
x
b. Xét x ≠ π + k2π ⇔ cos ≠ 0.

2
a. Xét x = π + k2π ⇔

x
2t
1− t2
Đặt t = tan , thay sin x =
, cos x =
, ta được phương trình bậc hai
2
1+ t2
1+ t2
theo t (b + c)t2 − 2at + c − b = 0 (3)
Vì x ≠ π + k2π ⇔ b + c ≠ 0, nên (3) có nghiệm khi

∆ ' = a2 − (c2 − b2) ≥ 0 ⇔ a2 + b2 ≥ c2.
Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình tan

x
=t.
2 0

Ghi chú
1. Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.
2. Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có
nghiệm a2 + b2 ≥ c2.
3. Bất đẳng thức B.C.S
y = a.sin x + b.cos x ≤ a2 + b2 . sin2 x + cos2 x = a2 + b2

Trang 12

Nguyễn Đức Lợi

Đại số 11

⇔ min y = − a2 + b2 vaømax y= a2 + b2 ⇔

sin x cos x
a
=
⇔ tan x =
a
b
b

CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ. Giải các phương trình sau

1) 3 sin x + cos x = 2

2)

3) cos 7 x − 3 sin 7 x = − 2

3 sin x − cos x = 2

4) sin5x + 3cos5x=2sin7x

5) 3sin 3 x − 3 cos 9 x = 1 + 4sin 3 3 x 6)

7) sin4 x − cos4x = 1+ 2 3sinxcos x 8)

cos7x-sin5x= 3(cos5x-sin7x)

x
2cos2 + 3sinx − 2sin3x − 1= 0 9) cos7x.cos5x- 2sin2x = 1− sin7x.sin5x
2

π
5π


5π
2π
π
2π


 x = 12 + k 2π
 x = 12 + k 2π
x=
+k
x= +k




84
7
18

9
ĐS: 1) 
2)  11π
3) 
5) 
7π
x=
+ k 2π
x=
+ k 2π
 x = 11π + k 2π
 x = 7π + k 2π


12
12


84
7
54
9
π

 x = 12 + kπ
6) 
x = π + k π

24
6

π
π


−π

 x = 2 + kπ
 x = 12 + kπ
x=
+ kπ

3
7) 
8) 
9) 
 x = − π + kπ
 x = 5π + k π
 x = kπ


6
24
2

BÀI TẬP
Baøi 1.

Giaûi caùc phöông trình sau

1) cos x + 3sin x = 2
3cos3x + sin3x = 2
4) sin x + cos x = 2sin5x

2) sin x + cos x =

5)

(

6
2

3)

3 − 1) sin x − ( 3 + 1) cos x + 3 − 1= 0

π

2
3sin2x + sin + 2x÷ = 1 7) ( sinx + cosx) + 3cos2x=2
2

π

8) cos2x − 3sin2x = 1+ sin2 x 9) sin − x÷+ 3sin(π − x) = 1
2

6)

10) 2cos13x=sinx + cosx

11)

3sin5x − cos5x = 2sin3x
π

12) sin3x − 3cos3x = 2sin2x 13) cos + 2x÷− 3cos(π -2x)=1
2

Baøi 2.
Giaûi caùc phöông trình sau
2
1) 2sin x + 3sin2x = 3
2) sin8x − cos6x = 3( sin6x + cos8x)
π

3
1
4) cosx – 3sin x = 2cos − x÷
+
3

sin x cos x
5) sin5x + cos5x = 2 cos13x 6) (3cosx – 4sinx – 6) 2 + 2 = – 3(3cosx
– 4sinx – 6)
Baøi 3.
Giaûi caùc phöông trình sau
1) 3sinx – 2cosx = 2
2) 3 cosx + 4sinx – 3 = 0

3) cosx + 4sinx = –1
4) 2sinx – 5cosx = 5
Baøi 4.
Giaûi caùc phöông trình sau
3) 8cos x =

Trang 13


Đại số 11

Nguyễn Đức Lợi



π
π
3 2
1) 2sin  x + ÷ + sin  x − ÷ =
2)

4

4
2

π
3cos2x + sin2x + 2sin 2x − ÷ = 2 2

6

Bài 5.
Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
1) (m + 2)sinx + mcosx = 22)msinx + (m - 1)cosx = 2m + 1
Bài 6.
Tìm m để phương trình (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3
vô nghiệm.
Bài 7.
Tìm max, min của hàm số
2 + cosx
sinx + 2cos x + 1
sinx
a) y =
b) y =
c) y =
sinx + cosx-2
sinx + cosx+2
cosx+2
−5− 19
−5+ 19
ĐS: a) min y =
; maxy =
2
2
IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI
DẠNG a sin2x + b sinx.cosx + c cos2x = d (1)
Cách 1
• Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn hay không?
Lưu ý cosx = 0 ⇔ x =
•

π
+ kπ ⇔ sin2 x = 1 ⇔ sin x = ± 1.
2

Khi cos x ≠ 0 , chia hai vế phương trình (1) cho cos2 x ≠ 0 ta được
a.tan2 x + b.tan x + c = d(1+ tan2 x)

•

Đặt t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t
(a − d)t2 + bt
. + c− d = 0

Cách 2 Dùng công thức hạ bậc
1− cos2x
sin2x
1+ cos2x
+ b.
+ c.
= d
2
2
2
⇔ b.sin2x + (c − a).cos2x = 2d − a − c

(1) ⇔ a.

(đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x)
CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:

1) sin2 x + sin xcosx+3cos2 x − 3 = 0

2) 2sin2 x + 3sin xcosx+3cos2 x − 2 = 0

3) sin2 x − 3sin xcosx+2cos2 x = 0

4) 3sin2 x − 3sin xcosx+2cos2 x − 2 = 0

5) sin2 x − 3sin xcosx+1= 0

6)

3sin2 x + (1− 3)sin xcosx-cos2 x + 1− 3 = 0
 1
ĐS: 1) x = kπ ; x = arctan ÷+ kπ
 2
3) x = arctan2 + kπ ; x =

π
+ kπ
4

 1
π
2) x = arctan ÷+ kπ ; x = + kπ
2
 3
 1
π
5) x = arctan ÷+ kπ ; x = + kπ

4
 2
Trang 14


Nguyễn Đức Lợi
6) x =

Đại số 11

π
π
+ kπ ; x = − + kπ
3
4

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
1)

3sin x + cosx =

1
(ĐHAN98)
cosx

2) 4sin x + 6cosx =

1
π
ĐS: 1) x = kπ ; x = + kπ

cosx
3
π
x = arctan5+ kπ ; x = − + kπ
4

sin x + cosx =

1
cosx

3)

3)

Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:
1) 4sin3 x + 3cos3 x − 3sin x − sin2xcosx = 0

2) cos3x + sin x − 3sin2 xcosx=0

3) sin3 x − 3cos3 x = sinxcos2x- 3sin2 xc
. osx(B2009) 4) cos3x − sin3 x = sin x − cosx
5) cos3x − 4sin3 x − 3cosxsin2x+sinx = 0

6) 2cos3 x = sin3x

7) sinx.sin2x + sin3x = 6cos3 x

8) 1+ 3sin2x = 2tan x

ĐS:1) x =
2) x =

π
π
+ kπ ; x = ± + kπ
4
3

2) x = arctan(1± 2) + kπ ; x =

π
π
+ kπ ; x = − + kπ
4
3

6) x = arctan(−2) + kπ ; x =
8) x = arctan(

4) x =

π
+ kπ
4

π
+ kπ
4

5) x = −

7) x = arctan2 + kπ ; x = ±

3± 17
π
) + kπ ; x = − + kπ
4
4
BÀI TẬP

Baøi 1.

Giaûi caùc phöông trình sau

1) 2sin2 x + ( 1− 3) sin x.cos x + ( 1− 3) cos2 x = 1
2) 3sin2 x + 8sin x.cos x + ( 8 3 − 9) cos2 x = 0
3) 4sin2 x + 3 3sin x.cos x − 2cos2 x = 4
4) sin2 x + sin2x − 2cos2 x =

1
2

5) 2sin2 x + ( 3+ 3) sin x.cos x + ( 3 − 1) cos2 x = −1
6) 5sin2 x + 2 3sin x.cos x + 3cos2 x = 2
7) 3sin2 x + 8sin x.cos x + 4cos2 x = 0

(
9) (
8)

2 − 1) sin2 x + sin2x + ( 2 + 1) cos2 x = 2

3 + 1) sin2 x − 2 3sin x.cos x + ( 3 − 1) cos2 x = 0

10) 3cos4 x − 4sin2 x cos2 x + sin4 x = 0
11) cos2x + 3sin2x + 2 3 sinx.cosx – 1 = 0
12) 2cos2x – 3sinx.cosx + sin2x = 0
Baøi 2.
Giải các phương trình sau:
Trang 15

π
+ kπ
4
π
π
+ kπ ; x = ± + kπ
4
6

π
+ kπ
3


Đại số 11

Nguyễn Đức Lợi

1) 4cos3 x + 2sin3 x − 3sin x = 0

2) cos3 x − 4sin2 x − 3sin2 xc
. osx+sinx = 0

3) cos3 x − sin3 x = sin x + cosx

4) 2cos3 x = sin3x

6) tanx+cotx=2(sin2x+cos2x)

π
3
7) sin  x − ÷ = 2sinx
4


5) 2cos3 x = sin x

Giải các phương trình sau

Bài 3.

2 −1
2
2
2
Tìm m để phương trình (m + 1)sin x – sin2x + 2cos x = 1 có

1) sin3x + 2sin2x.cosx – 3cos3x = 0

Bài 4.

2)

3sin x.cos x − sin2 x =

nghiệm.
Tìm m để phương trình (3m – 2)sin 2x – (5m – 2)sin2x + 3(2m
+ 1)cos x = 0 vô
nghiệm .

Bài 5.

2

V. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
Dạng 1 a.(sinx ± cosx) + b.sinx.cosx + c = 0
•

•


π
Đặt t = cos x ± sin x = 2.cos x m ÷; t ≤ 2.

4
1
⇒ t2 = 1± 2sin x.cos x ⇒ sin x.cos x = ± (t2 − 1).
2
Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t.

Giải phương trình này tìm t thỏa t ≤ 2. Suy ra x.

Lưu ý dấu
•



π
π
cos x + sin x = 2cos x − ÷ = 2sin x + ÷

4

4

•



π
π
cos x − sin x = 2cos x + ÷ = − 2sin x − ÷

4

4

Dạng 2 a.|sinx ± cosx| + b.sinx.cosx + c = 0
•

•


π
Đặt t = cos x ± sin x = 2. cos x m ÷ ; Đk : 0 ≤ t ≤ 2.

4
1
⇒ sin x.cos x = ± (t2 − 1).
2
Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu
giá trò tuyệt đối.

Bài 1.

Giải các phương trình

1) 2sin2x − 3 3( sin x + cos x) + 8 = 0 2) 2( sin x + cos x) + 3sin2x = 2

3) 3( sin x + cos x) + 2sin2x = −3
4) ( 1− 2) ( 1+ sin x + cos x) = sin2x
5) sinx + cosx – 4sinx.cosx – 1 = 0
6)

( 1+

2) ( sin x + cos x) − sin2x = 1+ 2

Trang 16

Nguyễn Đức Lợi
Baøi 2.

Đại số 11

Giaûi caùc phöông trình

1) sin2x − 4( cos x − sin x) = 4

2) 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0

3) ( 1− 2) ( 1+ sin x − cos x) = sin2x

4) cosx – sinx + 3sin2x – 1 = 0

5) sin2x +
Baøi 3.


π
2sin x − ÷ = 1 6) ( sin x − cos x) 2 − ( 2 + 1) (sin x − cos x) + 2 = 0

4

Giaûi caùc phöông trình

1) sin3x + cos3x = 1 +

(

2 − 2) sinx.cosx

2)

2sin2x

–

3 6 sin x + cos x + 8 = 0

Baøi 1.

VI. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC
Giaûi caùc phöông trình sau
3
2

1) sin2x = sin23x

2) sin2x + sin22x + sin23x =

3) cos2x + cos22x + cos23x = 1
3
cos24x =
2

4) cos2x + cos22x + cos23x

4) sin23x - sin22x - sin2x = 0

5) sin2x = cos22x + cos23x

7) sin23x - cos24x = sin25x -cos26x (B2002)
+ cos24x = 2
9) sin2x - sin23x = cos22x -cos24x
sin22x + sin23x
Baøi 2.

8) cos2x + cos22x + cos23x

10) cos2x + cos22x + cos23x =sin2x +

Giaûi caùc phöông trình sau

1) sin6x + cos6x =

1
4

2) sin8x + cos8x =

3) cos4x + 2sin6x = cos2x
1
–1=0
4sin2 2x
Baøi 3.

+

1
8

4) sin4x + cos4x – cos2x +

Giaûi caùc phöông trình sau

1) 1 + 2sinx.cosx = sinx + 2cosx
3) sin3x + cos3x = cos2x

2) sinx(sinx – cosx) – 1 = 0
4) sin2x = 1 +

2 cosx + cos2x

5) sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos2x 6) (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx +
1) = 3 – 4cos2x
7) (sinx – sin2x)(sinx + sin2x) = sin23x
8) sinx + sin2x + sin3x =
Baøi 4.

2 (cosx + cos2x + cos3x)

Giaûi caùc phöông trình sau

1) 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x
sinx = 0

2) 2sinx.cos2x + 1 + 2cos2x +

3) 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinx.sin2x
Trang 17


ẹaùi soỏ 11

Nguyn c Li

4) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1
Baứi 5.

Giaỷi caực phửụng trỡnh sau

1) sinx + sin3x + sin5x = 0

2) cos7x + sin8x = cos3x sin2x

3) cos2x cos8x + cos6x = 1

4) sin7x + cos22x = sin22x + sinx

Baứi 6.

Giaỷi caực phửụng trỡnh sau

1) sin3x + cos3x +



sin2x.sin x + ữ = cosx + sin3x

4
2

1

2) 1 + sin2x + 2cos3x(sinx + cosx) = 2sinx + 2cos3x + cos2x

Trang 18


Nguyễn Đức Lợi

Đại số 11

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002 - 2015
Bài 1 (ĐH A2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình :
cos 3x + sin 3x 
π
5π

5  sin x +
ĐS: x = ; x =
÷ = cos 2 x + 3 .
1 + 2sin 2 x 
3
3

Bài 2 (ĐH B2002) Giải phương trình :
kπ

kπ
;x =
ĐS: x =
(k ∈Z )
sin 2 3 x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x
9
2
Bài 3 (ĐH D2002)Tìm x thuộc đoạn [ 0;14] nghiệm đũng của phương trình :
π
3π
5π
7π
;x =
;x =
cos3x − 4cos2x + 3cosx − 4 = 0
ĐS: x = ; x =
2
2
2
2
Bài 4 (ĐH A2003) Giải bất phương trình :
π
cos 2 x
1
cot x − 1 =
+ sin 2 x − sin 2 x
ĐS: x = + kπ ( k ∈ Z )
1 + tan x
2
4

Bài 5 (ĐH B2003) Giải bất phương trình :
π
2
cot x − tan x + 4 sin 2 x =
ĐS: x = ± + kπ ( k ∈ Z )
sin 2 x
3
Bài 6 (ĐH D2003) Giải phương trình:
x
x π
ĐS: x = π + k 2π ; x = − π + kπ ( k ∈ Z )
sin 2  − ÷tan 2 x − cot 2 = 0.
2
4
2 4
Bài 7 (ĐH A2004) Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện .
cos2 A + 2 2 cos B + 2 2 cos C = 3. Tính ba góc của tam giác ABC.
ĐS: A = 900 ; B = C = 450
Bài 8 (ĐH B2004) Giải phương trình:
π
5π
ĐS: x = + k 2π ; x =
+ k 2π (
5sin x − 2 = 3(1 − s inx) tan 2 x.
6
6
k ∈Z )
Bài 9 (ĐH D2004) Giải phương trình:
ĐS: x = ± π + k 2π ; x = − π + kπ ( k ∈ Z )
(2 cos x − 1)(2sin x + cos x) = sin 2 x − s inx.

3
4
Bài 10 (ĐH A2005) Giải phương trình:
kπ
ĐS: x =
(k ∈Z )
cos 2 3x cos 2 x − cos 2 x = 0 .
2
Bài 11 (ĐH B2005) Giải phương trình:
2π
π
ĐS: x = ±
+ k 2π ; x = − + kπ ( k ∈ Z )
1 + sin x + cos x + sin 2 x + cos2 x = 0
3
4
Bài 12 (ĐH D2005) Giải phương trình:
π 
π 3
π

ĐS: x = + kπ ( k ∈ Z )
cos 4 x + sin 4 x + cos  x − ÷sin  3 x − ÷− = 0.
4 
4 2
4

Bài 13 (ĐH A2006) Giải phương trình:
2(cos 6 x + sin 6 x) − sin x cos x
5π

=0
+ k 2π ( k ∈ Z )
ĐS: x =
4
2 − 2sin x
Bài 14 (ĐH B2006) Giải phương trình:
x

cot x + s inx 1 + tan x tan ÷ = 4
2

π
5π
ĐS:
(
)
x = + kπ ; x =
+ kπ k ∈ Z
12
12
Trang 19


Ñaïi soá 11

Nguyễn Đức Lợi

Bài 15 (ĐH D2006) Giải phương trình:
ĐS: x = kπ ; x = ±

cos3x + cos2 x − cos x − 1 = 0

2π
+ k 2π ( k ∈ Z )
3

Bài 16 (ĐH A2007) Giải hệ phương trình:

( 1 + sin x ) cos x + ( 1 + cos x ) sin x = 1 + sin 2 x
2

2

ĐS: x = k 2π ; x =
Bài 17 (ĐH B2007) Giải hệ phương trình
2 sin 2 2 x + sin 7 x − 1 = sin x .
ĐS: x =

π
π
+ k 2π ; x = − + kπ ( k ∈ Z )
2
4

π kπ
π k 2π
5π k 2π
+
;x = +
;x =

+
(k ∈Z )
8 4
18
3
18
3

Bài 18 (ĐH D2007) Giải hệ phương trình :
2

x
x

 sin 2 + cos 2 ÷ + 3 cos x = 2 .



ĐS: x =

Bài 19 (ĐH A2008) Giải hệ phương trình:
1
1
7π
+
= 4sin( − x)
3
π
.
sin x sim( x − )

4
2
ĐS: x = −

π
π
+ k 2π ; x = − + k 2π ( k ∈ Z )
2
6

π
π
5π
+ kπ ; x = − + kπ ; x =
+ kπ ( k ∈ Z )
4
8
8

Bài 20 (ĐH B2008) Giải hệ phương trình:
sin 3 x − 3cos3 x = sin x cos 2 x − 3 sin 2 x cos x .
ĐS: x =

π kπ
π
+
; x = − + kπ ( k ∈ Z )
4 2
3

ĐS: x = ±

2π
π
+ k 2π ; x = + kπ ( k ∈ Z )
3
4

Bài 21 (ĐH D2008) Giải hệ phương trình:
2sinx ( 1 + cos2x ) + sin2x = 1 + 2cosx .
Bài 22 (ĐH A2009) Giải phương trình:

( 1 − 2 sin x ) cos x
( 1 + 2 sin x ) ( 1 − sin x )

ĐS: x = −

= 3

π k 2π
+
(k ∈Z )
18
3

Bài 23 (ĐH B2009)Giải phương trình:

sin x + cos x sin 2 x + 3 cos 3 x = 2 ( cos 4 x + sin 3 x )

ĐS: x = −

π
π k 2π
+ k 2π ; x =
+
(k ∈Z )
6
42
7

Bài 24 (ĐH D2009) Giải phương trình :
3 cos5x − 2sin 3x cos 2x − sin x = 0

ĐS: x =

π kπ
π kπ
+
;x = − +
(k ∈Z )
18 3
6 2

Bài 25 (ĐH A2010) Giải phương trình :
(1 + sinx + cos 2 x) s in( x +
1 + t anx

π
)
4 = 1 cos x

2

ĐS: x = −

π
7π
+ k 2π ; x =
+ k 2π ( k ∈ Z )
6
6

Bài 26 (ĐH B2010) Giải phương trình:
(sin 2 x + cos2x) cos x + cos2 x − sinx=0

Bài 27 (ĐH D2010) Giải phương trình:
Trang 20

ĐS: x =

π kπ
+
(k ∈Z )
4 2


Nguyễn Đức Lợi

Đại số 11

sin2x − cos 2 x + 3sin x − cos x − 1 = 0

ĐS: x =

π
5π
+ k 2π ; x =
+ k 2π ( k ∈ Z )
6
6

Bài 28 (ĐH A2011) Giải phương trình:
1 + sin 2 x + cos2 x
π
π
= 2 sin x sin 2 x
ĐS: x = + kπ ; x = + k 2π ( k ∈ Z )
2
1 + cot x
2
4
Bài 29 (ĐH B2011) Giải phương trình:
s in2x cos x +sinxcosx=cos2x+sinx + cos x
π
π k 2π
ĐS: x = + k 2π ; x = +
(k ∈Z )
2
3
3
Bài 30 (ĐH D2011) Giải phương trình :

sin2x + 2cos x − s in x − 1
=0
3 + t anx

ĐS: x =

Bài 31 (ĐH A2012) Giải phương trình :
3 s in2x+cos2x=2cosx-1

ĐS: x =

π
+ k 2π ( k ∈ Z )
3

π
2π
+ kπ ; x = k 2π ; x =
+ k 2π ( k ∈ Z )
2
3

Bài 32 (ĐH B2012) Giải phương trình:
2(cos x + 3 sin x) cos x = cos x − 3 sin x + 1.
2π
k 2π
+ k 2π ; x =
ĐS : x =
(k ∈Z )
3

3
Bài 33 (ĐH D2012) Giải phương trình:
sin3x + cos3x – sinx + cosx = 2 cos2x
π kπ
7π
π
;x =
+ k 2π ; x = − + k 2π ( k ∈ Z )
ĐS: x = +
4 2
12
12
Bài 34 (ĐH A2013) Giải phương trình:
π
π
π

1 + tan x = 2 2 sin  x + ÷
ĐS: x = − + kπ ; x = ± + k 2π ( k ∈ Z )
4
4
3

Bài 35 (ĐH B2013) Giải phương trình:
π k 2π
π k 2π
;x = − +
ĐS: x = − +
(k ∈Z )
sin 5x + 2 cos 2 x = 1

6
3
14
7
Bài 36 (ĐH D2013) Giải phương trình
π kπ
π
7π
; x = − + k 2π ; x =
+ k 2π ( k ∈ Z )
sin 3x + cos 2x − s inx = 0
ĐS: x = +
4 2
6
6
Bài 37 (ĐH A2014) Giải phương trình sin x + 4 cos x = 2 + sin 2x
Bài 38 (ĐH B2014) Giải phương trình 2 (sin x – 2cos x) = 2 – sin 2x.
Bài 39 (THPT QG2015)
2
Tính giá trị của biểu thức P = ( 1 − 3 cos 2α )( 2 + 3 cos 2α ) biết sin α =
3
5x
3x
Bài 40 (CĐ2010) Giải phương trình: 4 cos cos + 2(8sin x − 1) cos x = 5 .
2
2
ĐS: x = π.12 + kπ hoặc x = 5π.12 + kπ (k thuộc Z)
Bài 41 (CĐ2011) Giải phương trình cos 4x + 12sin² x – 1 = 0
ĐS: x = kπ (k thuộc Z)
Bài 42 (CĐ2012) Giải phương trình: 2cos2x + sin x = sin 3x.

ĐS: x = π.4 + kπ.2 (k thuộc Z); x = π.2 + n2π
Bài 43 (CĐ2013) Giải phương trình: cos (π.2 – x) + sin 2x = 0.
ĐS: x = k2π.3 hoặc x = π + k2π
Bài 44 (THPTQG2016) Giải phương trình:
Trang 21


Ñaïi soá 11

Nguyễn Đức Lợi
________11-08-2016________

Trang 22