Tổng hợp kiến thức môn toán 9 bằng sơ đồ tư duy

v

Điều kiện
1.
2.

Hằng đẳng thức đáng nhớ
1. a 2  b 2  (a  b)( a  b)

A Có nghĩa  A  0
B  0
A B
;
2
A
=
B


2
2
2. a  b   a  2ab  b
2

B  0

2
A  B   A  B
 A  -B


x  n
3. x  n  
(n  0) ;
 x   n

2
2
3. a  b   a  2ab  b
2

4. a 3  b 3  (a  b)( a 2  ab  b 2 )
5. a 3  b 3  (a  b)( a 2  ab  b 2 )

x  n   n  x  n (n  0)
2

2

3
2
2
3
6. a  b   a  3a b  3ab  b
3

3
2
2
3
7. a  b   a  3a b  3ab  b

3

KIẾN THỨC
CĂN BẢN
Biến đổi căn thức
1. A2  A

2. A.B 

A. B

( A  0; B  0)

CĂN BẬC
HAI
CĂN BẬC BA

A

3.
B

A

4. A2 .B  A B . ( B  0)

( A  0; B  0)

B

5. A B  A .B
2

( A  0; B  0) ; A B   A .B
2

1.

2.

3.

A
B



A B
;
B

C
AB



C
A B



)

Căn bậc ba:
1. Ký hiệu: x  3 a  x 3  a . Do đó:

A
A

2
B
B

C ( A  B)
; và
A  B2

ab
 ab (dấu “=” xảy ra  a  b )
2
a 2  b 2  2ab (dấu “=” xảy ra  a  b

( A  0; B  0)

Trục căn ở mẫu: các biểu thức A, B, C thoả điều kiện

Bất đẳng thức Cô si với a  0; b  0 :

2. a  b  3 a  3 b ;

C
AB

C( A  B )
; và
A B



C ( A  B)
A  B2

C
A B

LỚP TOÁN THẦY NGUYÊN - Đ/c: 122 Kiệt 131 Trần Phú, Tp Huế ĐT: 0935555826 – Fb: />


C( A  B )
A B

3.

3

ab  3 a .3 b

4. Với b  0 , ta có

3

a 3a

b 3b

 a
3

3

a


Tìm điều kiện xác định của biểu
thức: tìm tập xác định của từng
phân thức rồi kết luận lại

Phân tích tử và mẫu thành nhân
tử (rồi rút gọn nếu được)

Chọn mẫu chung : tích các nhân tử chung và
riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất

Tìm nhân tử phụ : lấy mẫu chung chia cho
từng mẫu để được nhân tử phụ tương ứng

Quy đồng mẫu
BÀI TOÁN
RÚT GỌN

Nhân : tử số của mỗi phân thức với nhân tử
phụ tương ứng vừa tìm được ở trên
Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa
thức hoặc dùng các hằng đẳng
thức
Thu gọn: cộng trừ các hạng tử
đồng dạng

Phân tích tử thành nhân tử (mẫu
giữ nguyên)

Rút gọn

LỚP TOÁN THẦY NGUYÊN - Đ/c: 122 Kiệt 131 Trần Phú, Tp Huế ĐT: 0935555826 – Fb: />
Giữ nguyên mẫu chung


Đồ thị hàm số

Là hàm số bậc nhất khi

. Có đồ thị là đường thẳng đia qua (0;b) và (1;a+b)
Đồng biến khi

Sự biến thiên

Nghịch biến
Hàm hằng
khi
, có đồ thị là đường

thẳng song song Ox và đi qua điểm (0;b)

Góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng y = ax + b là
Hệ số góc là a

với

là góc nhọn
là góc tù
BÀI TOÁN LIÊN
QUAN
ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Thay
Điểm
thuộc đồ thị
?

vào ta được

.

Nếu

M thuộc đồ thị

Nếu

M không thuộc đồ thị

Mối quan hệ giữa
2 đường thẳng

Toạ độ giao điểm là
nghiệm của hệ phương
cắt
trình

LỚP TOÁN THẦY NGUYÊN - Đ/c: 122 Kiệt 131 Trần Phú, Tp Huế ĐT: 0935555826 – Fb: />

Đã có

Đi qua điểm

PTĐT

và

có hệ số góc là
Gọi ptđt cần tìm là (d)

(1)
Đi qua 2 điểm

(2)

và
Giải hệ phương trình

Đi qua điểm

và

và song

song đường thẳng d’:

VIẾT PHƯƠNG TRÌNH
ĐƯỜNG THẲNG

Đi qua điểm

và vuông

PTĐT

Đã có b

qua điểm

Đến trục Ox :

Khoảng cách từ điểm

Đến trục Oy :

*Cho hai điểm :

và

1. Khoảng cách (độ dài AB) là:

LỚP TOÁN THẦY NGUYÊN –
Đ/c: 122 Kiệt 131 Trần Phú, Tp Huế - ĐT: 0935555826 –
Fb: />
PTĐT

góc đường thẳng
Biết hệ số b và đi

BÀI TOÁN LIÊN QUAN

PTĐT

2. M là trung điểm của AB

với

PTĐT


Phương trình (1) có đồ thị là đường thẳng d1 :
Phương trình (2) có đồ thị là đường thẳng d2 :

với (

với (

Số nghiệm của
hệ là số giao

điểm của hai
đường thẳng d1
và d2

)

)

Nghiệm của hệ là nghiệm chung của cả hai phương trình (1) và (2)

Nhìn nhanh số nghiệm của hệ:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN

Nếu

là nghiệm của hệ

*Vô nghiệm
*Một nghiệm duy nhất

Giải hệ bằng
Phương pháp
thế

Bước 1: Chọn PT dễ nhất của hệ (thường là pt có hệ
số đơn giản)
Biểu diễn ẩn này theo ẩn kia. Rồi thế
vào phương trình còn lại.

*Vô số nghiệm

Bước 2: Hệ phương trình mới tương đương gồm phương trình đã thay ẩn, và 1 phương trình đơn giản
của hệ ban đầu). Giải hệ phương trình.

Bước 1: Xác định ẩn (x hoặc y,…) bạn muốn khử (loại bỏ). Xem xét hệ số đứng trước ẩn đó ở cả hai
phương trình của hệ. Rồi nhân thêm hệ số sao cho hệ số của chúng bằng nhau (không quan tâm dấu).
Giải hệ bằng
Phương pháp
cộng đại số

Bước 2: Cộng vế theo vế nếu hệ số của ẩn muốn khử ở hai phương trình trái dấu, và trừ vế theo vế
nếu hệ số của ẩn muốn khử ở hai phương trình cùng dấu.

Bước 3: Hệ gồm phương trình mới và một phương trình đơn giản của hệ ban đầu. Giải hệ phương
trình.


SỰ TƯƠNG GIAO CỦA
PARABOL

Đồ thị là parabol (P).

Vẽ đồ thị hàm số

Có đỉnh là O(0;0), có trục đối xứng là Oy.
Đi qua các điểm : kẻ bảng giá trị

(P)
VÀ

2
yĐƯỜNG
 x 3  3 xTHẲNG
 2 (C )
(d)

x

-x2

-x1

0

x1

x2

y

-y2

-y1

0

y1

y2

Đồ thị là đường thẳng (d).
Vẽ đồ thị hàm số

Đi qua 2 điểm (có thể cho 2 điểm tuỳ ý khác nhau là được chứ không
nhất thiết phải cắt Ox, Oy): A(0 ;b) và B

Nếu
PT (1) có
hai nghiệm
phân biệt

Nghiệm

Thay

Giao điểm

vào (d)
Nghiệm

Thay

Giao điểm

vào (d)

Phương trình
hoành độ giao điểm:

Tính

của phương
trình (1)

Nếu
PT (1) vô
nghiệm

Nếu
PT (1) có
nghiệm kép

Nghiệm

(P) và (d)
không có
điểm chung

Thay

Tiếp điểm

vào (d)
LỚP TOÁN THẦY NGUYÊN - Đ/c: 122 Kiệt 131 Trần Phú, Tp Huế ĐT: 0935555826 – Fb: />

Công thức nghiệm

hoặc
1.Cho 2 số u, v biết
Hệ thức Viét
(áp dụng khi phương

trình có 2 nghiệm
)

Ứng dụng
(điều kiện

Viét

2.Nếu PT (*) có:

thì nó có nghiệm

3. Nếu PT (*) có:

thì nó có nghiệm

PT (*) có nghiệm
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

thì u, v là nghiệm của PT:

và nghiệm còn lại là
và nghiệm còn lại là

PT (*) có 2 nghiệm âm phân biệt

PT (*) có nghiệm kép
PT (*) có 2 nghiệm phân biệt

PT (*) có 2 nghiệm đối nhau

PT (*) có 2 nghiệm trái dấu
Những hệ thức liên quan:

PT (*) có 2 nghiệm cùng dấu
Mối quan hệ
giữa các nghiệm của
phương trình bậc 2

1. x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p
2. (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p

PT (*) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu

3. x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp
4. x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22
5.

=

PT (*) có 2 nghiệm dương phân biệt
6.

=

LỚP TOÁN THẦY NGUYÊN - Đ/c: 122 Kiệt 131 Trần Phú, Tp Huế ĐT: 0935555826 – Fb: />

Phương trình trùng phương
(1)

Đặt:

với điều kiện

Khi đó PT (1) trở thành:

(2)
Nếu

Giải
phương trình (2)

(loại do không thoả điều kiện

Nếu

)

Tìm điều kiện xác định (cho mẫu khác 0)
Phương trình
chứa ẩn ở mấu

PHƯƠNG TRÌNH
QUY VỀ PHƯƠNG
TRÌNH BẬC HAI

Quy đồng mẫu 2 vế - Khử mẫu
Giải phương trình vừa nhận được.

Loại các giá trị không thoả mãn

Kết luận

Dạng:
Phương trình tích
Dạng:

với
Phương pháp:

Đặt
Thay t vào phương trình ta được phương trình bậc 2 theo t.

LỚP TOÁN THẦY NGUYÊN - Đ/c: 122 Kiệt 131 Trần Phú, Tp Huế ĐT: 0935555826 – Fb: />

Phương trình trùng phương
(1)

Đặt:
với điều kiện
.
Khi đó PT (1) trở thành PT (2):

với

.

Số nghiệm của phương trình (1)
PT (2)
vô nghiệm

PT (2)
có nghiệm kép dương
(
)

hoặc
PT (2)
có nghiệm kép âm

PT (1)
vô nghiệm

PT (1)
có 2 nghiệm
phân biệt

hoặc
PT (2)
2 nghiệm trái dấu
(
)

hoặc
PT (2)
có 2 nghiệm
phân biệt âm

PT (2)
có nghiệm kép

âm (
)
hoặc

PT (2)
có 2 nghiệm phân
biệt gồm 1 nghiệm
âm, 1 nghiệm bằng 0
(
)

PT (1)
có 3 nghiệm
phân biệt

PT (2)
có 2 nghiệm
phân biệt gồm
(
)

PT (1)
có 4 nghiệm
phân biệt

PT (2)
có 2 nghiệm
phân biệt
dương

PT (1)
có 1 nghiệm
duy nhất

(

)

LỚP TOÁN THẦY NGUYÊN - Đ/c: 122 Kiệt 131 Trần Phú, Tp Huế ĐT: 0935555826 – Fb: />

Nếu a > 0 thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là
Cho hàm số:
(
.
Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số, ta biến đổi về dạng:

khi

Nếu a < 0 thì hàm số đạt giá trị lớn nhất là
khi
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
– GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA BIỂU THỨ
Dùng bất đẳng thức Cauchy (Côsi): với hai số không âm x, y bất kỳ ta
luôn có:

. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

.

LỚP TOÁN THẦY NGUYÊN - Đ/c: 122 Kiệt 131 Trần Phú, Tp Huế ĐT: 0935555826 – Fb: />

PHƯƠNG
PHÁP CHUNG

Bước 1 : Lập phương trình, hệ
phương trình

Đặt ẩn (đơn vị và điều kiện cho ẩn)

Bước 2 : Giải phương trình, hệ
phương trình

Biểu diễn các đại lương chưa biết qua
ẩn
Dựa vào mối liên hệ giữa các đại lượng
để lập ra phương trình, hệ phương trình

Bước 3 : Đối chiếu điều kiện và
Kết luận

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG
CÁCH LẬP PHƯƠNG
TRÌNH, HỆ PHƯƠNG
TRÌNH

Dạng toán chuyển động
Dạng toán về năng suất lao động
Dạng toán làm chung làm riêng – vòi nước chảy chung chảy riêng

CÁC DẠNG TOÁN

Dạng toán sắp xếp, chia đều sản phẩm (hàng hoá,…)
Dạng toán tìm số
Dạng toán liên quan tỉ số phần trăm %
Dạng toán có nội dung hình học

LỚP TOÁN THẦY NGUYÊN - Đ/c: 122 Kiệt 131 Trần Phú, Tp Huế ĐT: 0935555826 – Fb: />

Dựa vào các đại lượng: quãng đường (s), vận tốc (v), và thời gian (t) của

vật trong công thức:
Dạng toán chuyển động
Dựa vào nguyên lý cộng vận tốc: Ví dụ khi giải bài toán chuyển động
của thuyền trên sông ta có:
và

Dạng toán về năng suất
lao động
GIẢI BÀI
TOÁN BẰNG
CÁCH LẬP
PHƯƠNG
TRÌNH, HỆ
PHƯƠNG
TRÌNH

Dựa vào quan hệ của các đại lượng: năng suất lao động N, thời gian để
hoàn thành công việc t, lượng công việc đã làm s. Thì ta có

Nếu x giờ (ngày) làm xong công việc thì mỗi giờ (ngày) làm được
công việc đó.

Nếu trong 1 giờ đối tượng A làm được
Dạng toán làm chung
làm riêng – vòi nước
chảy chung chảy riêng

, đối tượng B làm được

công việc thì lượng công việc mà cả hai làm được trong 1 giờ là

công việc.

Nếu mỗi giờ làm được

công việc, thì n giờ sẽ làm được

công việc.

LỚP TOÁN THẦY NGUYÊN - Đ/c: 122 Kiệt 131 Trần Phú, Tp Huế ĐT: 0935555826 – Fb: />

Dạng toán sắp xếp,
chia đều sản phẩm
(hàng hoá,…)

Dạng toán tìm số

n là số lượng hàng hóa phân phối cho mỗi xe, x là số xe chở hàng, N là tổng số
hàng hóa trong kho (hoặc tổng lượng hàng hóa cần chở).

Ta có:
Dựa vào mối liên hệ giữa các hàng (đơn vị) trong một số. Ví dụ:

Chú ý các kết quả sau: n% của A nghĩa là (

).

Ví dụ 15% của 900 là:

GIẢI BÀI
TOÁN BẰNG
CÁCH LẬP
PHƯƠNG
TRÌNH, HỆ
PHƯƠNG
TRÌNH

Số A bằng n% số B nghĩa là:
Dạng toán liên quan tỉ
số phần trăm %

hay

.

Ví dụ: tổng sản phẩm của công ty thứ hai bằng 80% tổng sản phẩm của công
ty thứ nhất. Biết tổng sản phẩm của công ty thứ nhất là 4500sp. Ta suy ra,
công ty thứ hai làm được số sản phẩm là: Tổng sản phẩm cty 2 =

Giá trị đại lượng A tăng lên n% thì được giá trị mới là:

. Ví dụ:

Tháng giêng công ty may được 5000 sản phẩm. Tháng hai tổng sản phẩm
tăng 20% so với tháng trước. Vậy số sản phẩm công ty sản xuất được trong
tháng hai là:

Dạng toán có nội dung
hình học

.

Đối với loại này các em cần nắm vững các công thức tính chu vi, diện tích của
các hình đa giác đặc biệt, định lý phytago và các hệ thức lượng trong tam
giác,…
LỚP TOÁN THẦY NGUYÊN - Đ/c: 122 Kiệt 131 Trần Phú, Tp Huế ĐT: 0935555826 – Fb: />

TAM
GIÁC

Điểm
đặc biệt

Trực Tâm: Giao 3 đường cao
Trọng Tâm: Giao 3 đường trung tuyến
Tâm đường tròn ngoại tiếp: Giao 3 đường trung trực
Tâm đường tròn nội tiếp: Giao 3 đường phân giác trong

Góc
bằng

nhau

Góc so le trong
Góc đồng vị
Góc có cạnh tương ứng vuông góc
Góc tương ứng của hai tam giác đồng dạng /bằng nhau.

Hai tam
giác bằng
nhau –
Đồng dạng
HỆ THỨC
LƯỢNG
TRONG
TAM GIÁC
VUÔNG

Cạnh – góc – cạnh
Góc – cạnh – góc
Cạnh – cạnh – cạnh
Tam giác vuông có cạnh huyền – góc nhọn

Hệ thức
lượng
trong tam
giác vuông
Tỉ số lượng
giác của
góc nhọn
trong tam

giác vuông

;

;

;

;
;

;

;
“Sin đi học, Cos không hư, Tan đoàn kết, Cot kết đoàn”
Với góc nhọn

, ta luôn có:

Một số góc đặc biệt
0

Công thức về cạnh:
Một số hệ
thức cần
nhớ





4


6
30

sin 0

1
2

2
2

3
2

1

cos 1

3
2

2
2

1
2

0

tan 0

3
3

1

3

3

1

3
3

Một số công thức cần nhớ:

cot

45

0

2

0

0

0




3
60

0

900

0


A

Trung tuyến

Đường thẳng nối đỉnh đến trung điểm cạnh đối diện
Trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền
Chia 1 góc thành 2 góc bằng nhau

Phân giác

có AD là phân giác trong góc A

B

C

M
A

;

và AE là phân giác ngoài góc A
Đường cao
BỔ TRỢ
KIẾN
THỨC
HÌNH HỌC
THCS

LỚP TOÁN
THẦY
NGUYÊN
Đ/c: 122 Kiệt
131 Trần
Phú, Tp Huế
ĐT:
0935555826

Đường
trung bình

Đường thẳng đi qua đỉnh và vuông góc cạnh đối diện
Độ dài đường cao cũng là khoảng cách từ đỉnh đến cạnh đối diện

Điểm giao của đường cao và cạnh gọi là hình chiếu của đỉnh trên cạnh đó

Trọng tâm

Đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh trong tam giác
Song song và bằng nữa cạnh còn lại
Giao của 3 đường trung tuyến
G là trọng tâm của
, AM là trung tuyến

Trực tâm

Giao của 3 đường cao

Tâm đường tròn
ngoại tiếp

Giao 3 đường trung trực của tam giác
O là tâm đường tròn ngoại tiếp

Tâm đường tròn
nội tiếp

Giao 3 đường phân giác trong của tam giác

Tam giác ABC vuông tại
A
1
S ABC  AB. AC
2

Hình chữ nhật ABCD
S ABCD  AB. AD  a.b

Tam giác ABC đều cạnh a

1
a2 3
 AH .BC 
2
4

với đường cao h 

B

C
H

M

B

N

C

I là tâm đường tròn nội tiếp

Tam giác ABC
1

SABC  AH .BC  p.r
2
abc 1

 AB. AC.sin A
4R 2
 p( p  a )( p  b)( p  c)

S ABC

A

a 3
2

Hình bình hành
S = cạnh đáy x chiều cao
S ABCD  AB. AC

Hình thoi
1
S ABCD  AC.BD
2


1
AC.BD  a 2
2

Hình thang ABCD

Hình vuông ABCD cạnh a
S ABCD  AB. AC



1
AC.BD  a 2
2

AB//CD, đường cao DH
1
S ABCD   AB  CD  .DH
2

Hình tròn bán kính R
SO; R    .R 2
Mặt cầu bán kính R
S  4 R 2   d 2


Chứng minh: Quan hệ hình học

Vuông góc

Tứ giác nội tiếp
Các dạng toán
CHỨNG MINH
HÌNH HỌC

CÁC DẠNG

TOÁN CƠ
BẢN

Song song

Tiếp tuyến đường tròn

Thẳng hàng

Các hình đặc biệt

THCS

Các dạng toán
tính toán

Các dạng toán
bất đẳng thức
và cực trị
trong hình học

Hai đoạn thẳng bằng nhau
Hai đường thẳng vuông góc

Đối xứng trục
Đối xứng
tâm

Đồng quy
Tam giác cân

Hình thang cân

Đoạn thẳng – góc có độ lớn không đổi

Tam giác đều

Hình bình hành

Tam giác đồng dạng

Tam giác vuông
cân

Hình chữ nhật

Đường thẳng luôn đi qua 1 điểm cố
định

Hình thang

Hình thoi

Tính độ dài đoạn thẳng, độ dài cung, độ dài đường tròn
Tính diện tích

Các dạng toán
quỹ tích

Hai góc bằng nhau

Tam giác vuông

Hệ thức

Tình chất đối xứng

HÌNH HỌC
PHẲNG

Bằng nhau

Tính góc
Quỹ tích là đường thẳng
Quỹ tích là đường tròn

Hình vuông


Tứ giác có các cạnh đối song song
Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau
Tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và =

Tam giác có 2 cạnh bằng nhau
Hình bình
hành

Tam giác
cân

Tứ giác có các góc đối bằng nhau

Tam giác có đường cao vừa là trung
tuyến, vừa là phân giác,…

2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Tam giác có 3 cạnh bằng nhau

Tứ giác có 3 góc vuông
Hình thang cân có 1 góc vuông
Hình bình hành có 1 góc vuông

Hình chữ
nhật

Hình bình hành có 2 đường chéo =

Hình bình hành có 2 cạnh kề =

Tam giác có 3 góc bằng nhau
Tam giác có 2 góc bằng 600
Tam giác cân có 1 góc bằng 600
Tam giác vuông có 2 cạnh bằng nhau

Tam giác
vuông cân

Tam giác vuông có 1 góc bằng 450
Tam giác có 2 góc bằng 450

Hình thang có 2 góc kề 1 đáy bằng nhau

Hình
thang cân

Hình thang có 2 đường chéo bằng nhau
Hình thang có trục đối xứng

Hình chữ nhật có 2 cạnh kề =

Hình chữ nhật có 1 đường chéo là phân giác

Tam giác
đều

Hình thoi

Hình bình hành có 1 đường chéo là
tia phân giác của một góc

Hình chữ nhật có 2 đường chéo

DẤU
HIỆU
NHẬN
BIẾT
CÁC
HÌNH
ĐẶC
BIỆT

Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau

Hình bình hành có 2 đường chéo

Tam giác có 2 góc bằng nhau

Hình
vuông

Hình thoi có 1 góc vuông
Hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau

PHẠM NGUYÊN - ĐT: 0935555826
FB: />

Hai góc ở vị trí đối đỉnh
Hai góc ở đáy của tam giác cân ( hoặc tam giác đều)
Hai góc tương ứng của hai tam giác
bằng nhau hoặc đồng dạng
Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung
hoặc hai cung bằng nhau

Hai cạnh bên của tam giác cân (hoặc hình thang cân)
Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau
Hai cạnh đối của hình bình hành (hình chữ nhật,
hình thoi, hình vuông)

2 ĐOẠN
THẲNG

BẰNG
NHAU

Góc tạo bởi tiếp tuyến + dây cung và
góc nội tiếp chắn dây cung đó
Chứng minh hai góc cùng bằng góc thứ ba
Chứng minh hai góc cùng phụ, hoặc cùng bù một góc

Hai đoạn thằng cùng bằng đoạn thẳng thứ ba

Hai góc so le
trong, so le
ngoài, đồng
vị của hai
đường thẳng
song song thì
bằng nhau

2 GÓC
BẰNG
NHAU

Là hai góc ở đáy của hình thang cân

Hai dây căng hai cung bằng nhau trong một đường
tròn (hoặc hai đường tròn bằng nhau)
Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
Sử dụng tính chất đường chéo của hình bình hành

Sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam

giác vuông
Sử dụng quan hệ
vuông góc giữa đường

Là hai góc đối của hình bình hành

Sử dụng tính chất đường trung trực
Chứng minh góc A=A’ và B=B’
mà A’=B’ thì góc A=B
Hai góc bằng tổng hoặc hiệu hai góc theo
thứ tự đôi một bằng nhau
A=B
C=D
⟹E=F
E= A±C
F= B±D

Sử dụng tính chất đường thẳng đi qua trung điểm
của một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi
Sử dụng tính
chất hai tiếp
tuyến cắt
nhau

Sử dụng quan hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm
Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng một biểu
thức

PHẠM NGUYÊN - ĐT: 0935555826

Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc

FB: />

Có 3 cặp cạnh đôi một bằng nhau
(c-c-c)
2 TAM GIÁC
THƯỜNG

Một cặp góc bằng nhau xen giữa hai
cặp cạnh bằng nhau (c-g-c)
Một cặp cạnh bằng nhau kề giữa hai
cặp góc bằng nhau (g-c-g)

HAI TAM
GIÁC BẰNG
NHAU
2 TAM GIÁC
VUÔNG

Cạnh huyền góc nhọn tương ứng bằng
nhau
Cạnh huyền cạnh góc vuông tương
ứng bằng nhau

Có hai cặp góc tương ứng bằng nhau

2 TAM GIÁC
THƯỜNG

Có một cặp góc bằng nhau, xem giữa
hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ
Có ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ

HAI TAM
GIÁC ĐỒNG
DẠNG
Có một cặp góc nhọn bằng nhau
2 TAM GIÁC
VUÔNG
Có hai cạnh góc vuông tưng ứng tỉ lệ


1.Hai góc ở vị trí so le trong (hoặc đồng vị) bằng
nhau.
2. Hai góc trong cùng phía bù
nhau
3. Đường trung bình của tam giác
(của hình tháng) thì song song với đáy
2 ĐƯỜNG
THẲNG SONG
SONG

4. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng
thứ ba thì song song với nhau

Hình 2

Hình 1a

5. Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ
ba thì song song với nhau
6. Tính chất cạnh đối của hình bình hành, hình thoi,
hình chữ nhật, hình vuông
7. Sử dụng định lý Talet đảo
Hình 3a
Hình 1b

Hình 5
Hình 4

d cắt AB, AC lần lượt tại hai
điểm D, E và:
AD AE
AD AE


hoặc
AB AC
DB EC
DB EC

hoặc
AB AC

 DE / / BC
Hình 6

Hình 7

Hình 3b


Dùng định nghĩa

M

Định lý Phytago đảo : nếu

tại A

Sử dụng định nghĩa đường trung trực :
MN là trung trực của AB

A

B
I

2 ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG GÓC

Chứng minh đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song
song sẽ vuông góc với đường thẳng còn lại :

(6)
(3) N

Tam giác có tổng hai góc bằng 900 thì góc còn lại bằng 900

Hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau
Đường trung tuyến (phân giác) trong tam giác cân, tam giác đều, tam giác
vuông cân.
Tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó là tam
giác vuông

(10)

Tính chất trực tâm của tam giác
Hai đường chéo của hình vuông hoặc hình thoi thì vuông góc với nhau

(7)

Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có số đo bằng 900
Sử dụng quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung
Sử dụng tính chất tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm

(9)
LỚP TOÁN THẦY NGUYÊN
(8)

Đ/c: 122 Kiệt 131 Trần Phú, Tp Huế
ĐT: 0935555826

(12)

(13)


Chứng minh AB, AC cùng song song với một đường thẳng

Trọng tâm
G

Chứng minh BA, BC cùng vuông góc với một đường thẳng
Chứng minh 3 điểm đó tạo thành một góc bẹt (

3 ĐIỂM THẲNG
HÀNG

=1800)

Chứng minh A,B,C thuộc cùng một đường nào đó (trung
trực, đường cao, trung tuyến, phân giác,…)
Chứng minh AB, AC là hai tia trùng nhau

Tâm đường
tròn ngoại
tiếp O

Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, chỉ có một tia
OA sao cho góc xOA=m0. Vậy nếu có góc xOB=m0 thì suy
ra O, A, B thẳng hàng.

3 ĐƯỜNG THẲNG
ĐỒNG QUY

Chứng minh đó là 3 đường trung tuyến, 3 đường cao, 3
đường trung trực, 3 đường phân giác trong (hoặc một phân
giác trong và hai phân giác ngoài của hai góc còn lại trong

một tam giác).

Trực tâm H

Gọi giao điểm của hai đường là M, chứng minh đường còn
lại cũng đi qua M.
Tâm đường
tròn nội tiếp
I
PHẠM NGUYÊN - ĐT: 0935555826
FACEBOOK: />

Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800
(hình thang cân, hình chữ nhật, hình
vuông là các tứ giác nội tiếp). Hình 1
Tứ giác có hai đỉnh kề nhau, cùng nhìn
xuống một cạnh (chứa 2 đỉnh còn lại)
dưới góc bằng nhau. Hình 2

CHỨNG
MINH

TỨ GIÁC
NỘI TIẾP

Hình 1

Hình 2

Hình 3

Hình 4

Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng
góc trong của đỉnh đối diện. Hình 3

Tứ giác có 4 đỉnh cùng cách đều một
điểm (mà điểm đó có thể xác định
được). Điểm đó là tâm đường tròn ngoại
tiếp tứ giác. Hình 4

Trường hợp đặc biệt:
(Khi áp dụng cần phải
chứng minh)

1.Nếu hai cạnh đối của tứ giác AB và
DC cắt nhau tại M thoả mãn:
ta có thể chứng
minh :

Tứ giác ABCD nội tiếp

Hình 5

2.Nếu hai đường chéo của tứ giác AC và
BD cắt nhau tại P thoả mãn :
ta có thể chứng minh:
Hình 6

Tứ giác ABCD nội tiếp

Chứng minh đường thẳng vuông góc với
bán kính tại tiếp điểm. Hình 1

Chứng minh khoảng cách từ tâm đến
đường thẳng bằng bán kính. Hình 1

CHỨNG MINH

Chứng minh góc tạo bởi tia
với một
dây cung của đường tròn có số đo bằng
nửa số đo của cung bị chắn.. Hình 2

TIẾP TUYẾN
ĐƯỜNG TRÒN
Hình 1

Đặc biệt: Nếu
chứng minh
𝑀𝐷𝐴 = 𝐴𝐷𝐵 .

. Ta

tiếp tuyến của (O). Hình 3

PHẠM NGUYÊN - ĐT: 0935555826
Facebook:
/>

Hình 3

Hình 2


Vị trí tương đối của 2 đường tròn
Vị trí tương đối của hai đường tròn
(O;R) và (O’; r) với (R > r)

Số điểm
chung

Hai đường tròn cắt nhau

R – r < OO’

2

Hai đường tròn tiếp xúc nhau:
+ Tiếp xúc ngoài
+ Tiếp xúc trong

1

Hai đường tròn không giao nhau:
+ (O) và (O’) ở ngoài nhau
+ (O) đựng (O’)
+ (O) và (O’) đồng tâm

0

Hệ thức giữa
OO’ với R và
r

2 Đường tròn cắt nhau

OO’= R + r
OO’ = R – r
>0
OO’ > R + r
OO’ < R – r
OO’ = 0

2 Đường tròn ngoài nhau

Góc ở tâm: góc 𝐵𝑂𝐶 có Sđ 𝐵𝑂𝐶 = Sđ

CHƯƠNG
2:
ĐƯỜNG
TRÒN (tt)

2 Đường tròn tiếp xúc

Góc nội tiếp: góc 𝐵𝐴𝐶 có Sđ 𝐵𝐴𝐶 =

2 Đường tròn tiếp xúc trong

Góc ở tâm
Góc nội tiếp
Sđ

Góc tạo bởi
tiếp tuyến và
dây cung

Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung: Góc 𝑥𝐵𝐶 .

GÓC

Có Sđ 𝑥𝐵𝐶 =

Sđ

Sđ 𝑥𝐵𝐶 = Sđ 𝐵𝐴𝐶

Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn: Góc 𝐴𝐼𝐶 .
Có Sđ 𝐴𝐼𝐶

Sđ

Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn: Góc 𝐴𝑀𝐶 .
Có Sđ 𝐴𝑀𝐶

Sđ
Góc ở bên trong và góc ở bên ngoài đường tròn