Đề thi chính thức THPT 2017 môn Toán mã đề gốc 101 của Bộ GDĐT- Bản đẹp, file word, có lời giải chi tiết

ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI
THPT QUỐC GIA 2017
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁNG 6.2017

Banfileword.com
BỘ ĐỀ 2017
MƠN TỐN
MÃ ĐỀ 101

Thời gian làm bài: 90 phút;
(50 câu trắc nghiệm)

Câu 1. Cho phương trình 4 x + 2 x+1 − 3 = 0 . Khi đặt t = 2 x , ta được phương trình nào dưới đây ?
A. 2t 2 − 3 = 0 .
B. t 2 + t − 3 = 0 .
C. 4t − 3 = 0 .
D. t 2 + 2t − 3 = 0 .
Câu 2. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos 3x
sin 3 x
+C .
A. ∫ cos 3 xdx = 3sin 3 x + C .
B. ∫ cos 3 xdx =
3
sin 3 x
+C .
C. ∫ cos 3 xdx = −
D. ∫ cos3 xdx = sin 3x + C .
3
Câu 3. Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?
A. z = −2 + 3i .
B. z = 3i .

C. z = −2 .
D. z = 3 + i .
Câu 4. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

−∞
y′

x

y

−

+∞

−1
0

+

0

0
3

−

1
0

+∞
+
+∞

0

0

Mệnh đề nào dưới đây là sai ?
A. Hàm số có ba điểm cực trị.
B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3.
C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0.
D. Hàm số có hai điểm cực tiểu.
Câu 5. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số ở dưới
đây. Hàm số đó là hàm số nào ?
A. y = − x 3 + x 2 − 1 .
B. y = x 4 − x 2 − 1 .
C. y = x 3 − x 2 − 1 .
D. y = − x 4 + x 2 − 1 .
Câu 6. Cho a là số thực dương khác 1. Tính I = log a a .

y
O

1
B. I = 0
C. I = −2
D. I = 2
2
Câu 7. Cho hai số phức z1 = 5 − 7i và z2 = 2 + 3i . Tìm số phức z = z1 + z2 .

A. z = 7 − 4i
B. z = 2 + 5i
C. z = −2 + 5i
D. z = 3 − 10i
3
Câu 8. Cho hàm số y = x + 3 x + 2 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; +∞) .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; +∞) .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;0) và đồng biến trên khoảng (0; +∞) .
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + z − 5 = 0 . Điểm nào
dưới đây thuộc ( P ) ?
A. Q(2; −1;5)
B. P(0; 0; −5)
C. N ( −5;0; 0)
D. M (1;1;6)
A. I =

Trang 1

x


Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của
mặt phẳng (Oxy ) ?
r
r
r
r
A. i = (1; 0;0)

B. k (0; 0;1)
C. j (−5;0;0)
D. m = (1;1;1)
Câu 11. Tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy r = 4 và chiều cao h = 4 2 .
A. V = 128π
B. V = 64 2π
C. V = 32π
D. V = 32 2π

x 2 − 3x − 4
Câu 12. Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
.
x 2 − 16
A. 2.
B. 3.
C. 1.
2
Câu 13. Hàm số y = 2
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?
x +1
A. (0; +∞)
B. ( −1;1)
C. (−∞; +∞)

D. 0.

D. (−∞;0)

Câu 14. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = 2 + cos x , trục hoành và các đường
π

thẳng x = 0, x = . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hồnh có thể tích V bằng
2
bao nhiêu ?
A. V = π − 1
B. V = (π − 1)π
C. V = (π + 1)π
D. V = π + 1
3
6
Câu 15. Với a, b là các số thực dương tùy ý và a khác 1, đặt P = log a b + log a2 b . Mệnh đề nào
dưới đây đúng ?
A. P = 9 log a b .
B. P = 27 log a b .
C. P = 15log a b
D. P = 6 log a b
x−3
Câu 16. Tìm tập xác định của hàm số y = log 5
.
x+2
A. D = ¡ \ { − 2}
B. D = ( −∞; −2) ∪ [3; +∞)
C. D = (−2;3) .
D. D = ( −∞; −2) ∪ [4; +∞)
2
Câu 17. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log 2 x − 5log 2 x + 4 ≥ 0
A. S = ( −∞; 2] ∪ [16; +∞) .
B. S = [2;16]
C. S = (0; 2] ∪ [16; +∞) .
D. S = (−∞;1] ∪ [4; +∞) .
Câu 18. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đơi một khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối

xứng ?
A. 4 mặt phẳng.
B. 3 mặt phẳng.
C. 6 mặt phẳng.
D. 9 mặt phẳng.
Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt
x −1 y + 2 z − 3
=
=
phẳng đi qua điểm M (3; −1;1) và vng góc với đường thẳng ∆ :
?
3
−2
1
A. 3 x − 2 y + z + 12 = 0
B. 3 x + 2 y + z − 8 = 0
C. 3 x − 2 y + z − 12 = 0
D. x − 2 y + 3 z + 3 = 0

Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của
đường thẳng đi qua điểm A(2;3;0) và vng góc với mặt phẳng ( P ) : x + 3 y − z + 5 = 0 ?
 x = 1 + 3t
x = 1 + t
x = 1 + t
 x = 1 + 3t




A.  y = 3t .

B.  y = 3t .
C.  y = 1 + 3t
D.  y = 3t
z = 1 − t
z = 1− t
z = 1 − t
z = 1 + t




Câu 21. Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính tích
V của khối chóp tứ giác đã cho.
2a 3
2a 3
14a 3
14a 3
A. V =
B. V =
C. V =
D. V =
2
6
2
6
Trang 2


Câu 22. Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 1 + 2i và 1 − 2i là nghiệm ?
A. z 2 + 2 z + 3 = 0

B. z 2 − 2 z − 3 = 0
C. z 2 − 2 z + 3 = 0
D. z 2 + 2 z − 3 = 0
Câu 23. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = x3 − 7 x 2 + 11x − 2 trên đoạn [0; 2]
A. m = 11
B. m = 0
C. m = −2
D. m = 3
1

Câu 24. Tìm tập xác định D của hàm số y = ( x − 1) 3
A. D = ( −∞;1)
B. D = (1; +∞)
C. D = ¡
Câu 25. Cho

6

2

0

0

D. D = ¡ \ {1}

∫ f ( x)dx = 12 . Tính I = ∫ f (3x)dx .

A. I = 6
B. I = 36

C. I = 2
D. I = 4
Câu 26. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp một hình lập phương có cạnh bằng 2a .
3a
A. R =
B. R = a
C. R = 2 3a
D. R = 3a
3
Câu 27. Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f ′( x) = 3 − 5sin x và f (0) = 10 . Mệnh đề nào dưới đây là
đúng ?
A. f ( x) = 3 x + 5cos x + 5
B. f ( x) = 3x + 5cos x + 2
C. f ( x) = 3 x − 5cos x + 2
D. f ( x ) = 3x − 5cos x + 15
Câu 28. Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số y =
là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. y ′ > 0, ∀x ∈ ¡
B. y ′ < 0, ∀x ∈ ¡
C. y ′ > 0, ∀x ≠ 1
D. y ′ < 0, ∀x ≠ 1

ax + b
với a, b, c, d
cx + d

y
O

Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (1; −2;3) . Gọi I là hình

chiếu vng góc của M trên trục Ox. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm I,
bán kính IM ?
A. ( x − 1) 2 + y 2 + z 2 = 13
B. ( x + 1) 2 + y 2 + z 2 = 13
C. ( x − 1) 2 + y 2 + z 2 = 13

D. ( x + 1) 2 + y 2 + z 2 = 17

Câu 30. Cho số phức z = 1 − 2i . Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w = iz trên
mặt phẳng tọa độ ?
A. Q(1; 2)
B. N (2;1)
C. M (1; −2)
D. P (−2;1)
Câu 31. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có các cạnh đều bằng a 2 . Tính thể tích V của
khối nón đỉnh S và đường trịn đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD.
π a3
π a3
2π a 3
2π a 3
A. V =
B. V =
C. V =
D. V =
2
6
6
2
Câu 32. Cho F ( x) = x 2 là một nguyên hàm của hàm số f ′( x )e 2 x . Tìm nguyên hàm của hàm số
f ′( x )e 2 x .

∫ f ′( x)e
C. ∫ f ′( x )e
A.

2x

dx = − x 2 + 2 x + C

2x

dx = 2 x 2 − 2 x + C

∫ f ′( x)e
D. ∫ f ′( x)e
B.

Trang 3

2x

dx = − x 2 + x + C

2x

dx = −2 x 2 + 2 x + C

x

Câu 33. Cho hàm số y =

x+m
y = 3 . Mệnh đề nào sau dưới
(m là tham số thực) thỏa mãn min
[2;4]
x −1

đây đúng ?
A. m < −1
B. 3 < m ≤ 4
C. m > 4
D. 1 ≤ m < 3
Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (−1;1;3) và hai đường thẳng
x −1 y + 3 z −1
x +1 y
z
d:
=
=
= =
, ∆′ :
. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường
3
2
1
1
3 −2
thẳng đi qua M, vng góc với ∆ và ∆ ′ .
 x = −1 − t

 x = −t
 x = −1 − t
 x = −1 − t




A.  y = 1 + t
B.  y = 1 + t
C.  y = 1 − t
D.  y = 1 + t
 z = 1 + 3t
z = 3 + t
z = 3 + t
z = 3 + t




Câu 35. Một người gửi 50 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6% /năm. Biết rằng nếu
không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi
cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm, người đó nhận được số tiền hơn 100 triệu đồng
bao gồm gốc và lãi ? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất khơng đổi và người đó khơng rút
tiền ra
A. 13 năm
B. 14 năm
C. 12 năm
D. 11 năm
Câu 36. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) thỏa mãn z + 1 + 3i − z i = 0 . Tính S = a + 3b
7

7
A. S =
B. S = −5
C. S = 5
D. S = −
3
3

 x = 1 + 3t

Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :  y = −2 + t ,
z = 2

x −1 y + 2 z
=
=
và mặt phẳng ( P ) : 2 x + 2 y − 3z = 0 . Phương trình nào dưới đây là
2
−1
2
phương trình mặt phẳng đi qua giao điểm của d1 và (P), đồng thời vng góc với d 2 .
A. 2 x − y + 2 z + 22 = 0
B. 2 x − y + 2 z + 13 = 0
C. 2 x − y + 2 z − 13 = 0
D. 2 x + y + 2 z − 22 = 0
d2 :

Câu 38. Cho hàm số y = − x 3 − mx 2 + (4m + 9) x + 5 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị
nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞) ?
A. 7

B. 4
C. 6
D. 5
2
Câu 39. Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình log 3 x − m log3 x + 2m − 7 = 0 có hai
nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 = 81 .
A. m = −4
B. m = 4
C. m = 81
D. m = 44

Câu 40. Đồ thị của hàm số y = x 3 − 3x 2 − 9 x + 1 có hai điểm cực trị A và B. Điểm nào dưới đây
thuộc đường thẳng AB ?
A. P (1; 0)
B. M (0; −1)
C. N (1; −10)
D. Q(−1;10)
Câu 41. Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc
vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1
giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol
có đỉnh I (2;9) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian
còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hồnh. Tính quãng
đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm trịn đến hàng
phần trăm).
Trang 4
1

v

9

4

O 23 t


A. s = 23, 25 (km)
C. s = 15, 50 (km)

B. s = 21, 58 (km)
D. s = 13,83 (km)

Câu 42. Cho log a x = 3, log b x = 4 với a, b là các số thực lớn hơn 1. Tính P = log ab x .
7
1
12
A. P =
B. P =
C. P = 12
D. P =
12
12
7
Câu 43. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy và SC tạo
với mặt phẳng (SAB) một góc 30° . Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
2a 3
6a 3
2a 3
A. V =
B. V =

C. V =
D. V = 2a 3
3
3
3
Câu 44. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB, BC và E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai
khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V. Tính V.
7 2a 3
11 2a 3
13 2a 3
2a 3
A. V =
B. V =
C. V =
D. V =
216
216
216
18
Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 = 9 , điểm
M (1;1; 2) và mặt phẳng ( P) : x + y + z − 4 = 0 . Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M, thuộc (P) và cắt
r
(S) tại hai điểm A, B sao cho AB nhỏ nhất. Biết rằng ∆ có một vectơ chỉ phương là u (1; a; b) .
Tính t = a − b
A. T = −2
B. T = 1
C. T = −1
D. T = 0
Câu 46. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z − 3i = 5 và

A. 0

B. Vô số

C. 1

Câu 47. Xét các số thực dương x, y thỏa mãn log 3

z
là số thuần ảo ?
z−4
D. 2

1 − xy
= 3 xy + x + 2 y − 4 . Tìm giá trị nhỏ
x + 2y

nhất Pmin của P = x + y .

9 11 − 19
9
18 11 − 29
=
9

9 11 + 19
9
2 11 − 3
=
3

A. Pmin =

B. Pmin =

C. Pmin

D. Pmin

Câu 48. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = mx − m + 1 cắt đồ thị của
hàm số y = x3 − 3 x 2 + x + 2 tại ba điểm A, B, C phân biệt sao cho AB = BC
A. m ∈ (−∞; 0) ∪ [4; +∞)
B. m ∈ ¡
 5

C. m ∈  − ; +∞ ÷
D. m ∈ (−2; +∞)
 4

Câu 49. Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ′( x)
như hình bên. Đặt h( x) = 2 f ( x) − x 2 . Mệnh đề nào dưới đây
đúng ?
A. h(4) = h(−2) > h (2)
B. h(4) = h(−2) < h(2)
C. h(2) > h(4) > h ( −2)
D. h(2) > h(−2) > h (4)

y

Trang 5

−2

4
2

−2

2 4

x


Câu 50. Cho hình nón đỉnh S có chiều cao h = a và bán kính đáy r = 2a . Mặt phẳng (P) đi qua
S cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho AB = 2 3a . Tính khoảng cách d từ tâm của đường trịn
đáy đến (P).
3a
5a
2a
A. d =
B. d = a
C. d =
D. d =
2
5
2
----- HẾT -----

Trang 6

ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI
THPT QUỐC GIA 2017
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁNG 6.2017

Banfileword.com
BỘ ĐỀ 2017
MƠN TỐN
MÃ ĐỀ 101

BẢNG ĐÁP ÁN

1. D

2. B

3. B

4. C

5. B

6. D

7. A

8. C

9. D

10. B

11. B

12. C

13. A

14. C

15. D

16. D

17. C

18. B

19. C

20. B

21. D

22. C

23. C

24. B

25. D

26. D

27. A

28. D

29. A

30. B

31. C

32. D

33. C

34. D

35. C

36. B

37. C

38. A

39. B

40. C

41. B

42. D

43. B

44. B

45. C

46. C

47. D

48. D

49. C

50. D

ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI
THPT QUỐC GIA 2017
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁNG 6.2017

Banfileword.com
BỘ ĐỀ 2017
MƠN TỐN
MÃ ĐỀ 101

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Đáp án D
x
Đặt t = 2 ( t > 0 ) , phương trình trở thành t 2 + 2t − 3 = 0 .

Câu 2: Đáp án B
Căn cứ hệ quả và bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp ta có: ∫ cos 3 xdx =

sin 3 x
+C .
3

Câu 3: Đáp án B
Số thuần ảo là: z = 3i .
Câu 4: Đáp án C
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy “ Hàm số có giá trị cực đại bằng 0” là sai vì hàm số đạt cực đại
tại xCD = 0 và giá trị cực đại yCD = 3 .
Câu 5: Đáp án B
Đồ thị hàm số đã cho là của hàm trùng phương với hệ số a > 0 nên ta chọn phương án:
y = x4 − x2 − 1 .
Câu 6: Đáp án D
∀a > 0, a ≠ 1 , ta có: I = log

a

a = log 1 a = 2 log a a = 2 .
aa

Câu 7: Đáp án A
Trang 7


z = z1 + z2 = ( 5 + 2 ) + ( −7 + 3) i = 7 − 4i .
Câu 8: Đáp án C
y = x 3 + 3 x + 2 ⇒ y′ = 3x 2 + 3 > 0, ∀x ∈ ¡ . Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; +∞ ) .
Câu 9: Đáp án D
Thế tọa độ các điểm ở các phương án đã cho vào phương trình của mặt phẳng ( P ) ta thấy tọa độ
điểm M ( 1;1;6 ) thỏa nên đây là điểm cần tìm.
Câu 10: Đáp án B

r
Mặt phẳng ( Oxy ) vng góc với trục Oz nên sẽ nhận vectơ chỉ phương của Oz là k = ( 0;0;1) là
một vectơ pháp tuyến.
Câu 11: Đáp án B
Ta có: V = π r 2 h = π .16.4 2 = 64π 2 .
Câu 12: Đáp án C
Tập xác định: D = ¡ \ { ±4} .
Ta có: y =

x 2 − 3 x − 4 ( x − 4 ) ( x + 1)
x +1
=
=
.
2
x − 16
( x − 4) ( x + 4) x + 4
x +1

x +1
= −∞ , lim − y = lim −
= +∞
x →( −4 )
x →( −4 ) x + 4
x+4

lim + y = lim +

x →( −4 )

x → ( −4 )

Vậy hàm số có 1 đường tiệm cận đứng là: x = −4 .
Câu 13: Đáp án A
Tập xác định: D = ¡ .
Ta có: y ′ = −

(x

4x
2

+ 1)

2

; y′ = 0 ⇔ x = 0

Ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0; +∞ ) .
Câu 14: Đáp án C
 π
Ta có 2 + cos x > 0, ∀x ∈ 0; 
 2
Trang 8


π
2

π
2

0

0

V = π ∫ y 2 dx = π ∫ ( 2 + cos x ) dx = π ( 2 x + sin x )

π
2
0

= π ( π + 1) .

Câu 15: Đáp án D
Với a, b là các số thực dương tùy ý và a ≠ 1 , ta có:
P = log a b3 + log a2 b 6 = 3log a b + 3log a b = 6 log a b .

Câu 16: Đáp án D
Hàm số xác định ⇔

 x < −2
x−3
>0⇔
.
x+2
x > 3

Vậy tập xác định D = ( −∞; −2 ) ∪ ( 3; +∞ ) .
Câu 17: Đáp án C
Điều kiện: x > 0 .
Đặt t = log 2 x . Bất phương trình tương đương với
log x ≤ 1
t ≤ 1
x ≤ 2
t 2 − 5t + 4 ≥ 0 ⇔ 
⇔ 2
⇔
t ≥ 4
 x ≥ 16
log 2 x ≥ 4
0 < x ≤ 2
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là 
 x ≥ 16
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = ( 0; 2] ∪ [ 16; +∞ ) .
Câu 18: Đáp án B
Hình hộp chữ nhật có 3 kích thước đơi một khác nhau có 3 mặt phẳng đối xứng như hình mình
họa sau:

Trang 9


Câu 19: Đáp án C

r
Đường thẳng ∆ có vtcp u = ( 3; −2;1) . Vì mặt phẳng cần tìm vng góc với đường thẳng ∆ nên
r r
mặt phẳng sẽ có 1 vtpt là n = u = ( 3; −2;1) . Khi đó phương trình tổng qt của mặt phẳng là:
3 ( x − 3) − 2 ( y + 1) + ( z − 1) = 0 ⇔ 3 x − 2 y + z − 12 = 0 .
Câu 20: Đáp án B
x = 1+ t
r

Mặt phẳng ( P ) có vtpt là n = ( 1;3; −1) , thử từng phương án ta thấy đường thẳng  y = 3t
đi
z = 1− t

r r
qua điểm A ( 2;3;0 ) và có vtcp u = n = ( 1;3; −1) .
Câu 21: Đáp án D

Xét hình chóp tứ giác đều S . ABCD , với ABCD là hình vng cạnh a . Gọi O là tâm hình
vng ABCD , SO ⊥ ( ABCD ) .
Ta có:
OA =

AC a 2
a2

14
, SO = SA2 − OA2 = 4a 2 −
.
=
=a
2
2
2
2

Thể tích khối chóp S . ABCD :
1
1 2
14
14a 3
.
V = S ABCD .SO = a .a
=
3
3
2
6
Câu 22: Đáp án C

(

) (

)

(

)(

)

Ta có: S = 1 + 2i + 1 − 2i = 2 , P = 1 + 2i . 1 − 2i = 1 −

( 2i )

2

= 3.

Vậy theo định lí Viet đảo, 1 + 2i và 1 − 2i là nghiệm của phương trình: z 2 − Sz + P = 0 hay
z2 − 2z + 3 = 0 .
Trang 10


Câu 23: Đáp án C
 x = 1∈ [ 0; 2]
Ta có: y ′ = 3 x − 14 x + 11 , y ′ = 0 ⇔ 3 x − 14 x + 11 = 0 ⇔ 
11
x = ∉ [ 0; 2]

3
2

2

y ( 0 ) = −2 , y ( 1) = 3 , y ( 2 ) = 0 .
y = y ( 0 ) = −2 .
Vậy m = min
[ 0;2]
Câu 24: Đáp án B
Hàm số xác định ⇔ x − 1 > 0 ⇔ x > 1 .
Vậy tập xác định D = ( 1; +∞ ) .
Câu 25: Đáp án D
Đặt t = 3 x ⇒ dt = 3dx .
Với x = 0 ⇒ t = 0 ; x = 2 ⇒ t = 6 .
2

Khi đó I = ∫
0

6

6

1
1
12
f ( 3 x ) dx = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx =
=4.
30
30
3

Câu 26: Đáp án D

Xét hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh bằng 2a . Gọi O là giao điểm của BD′ và B′D .
Ta có O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ và mặt cầu có bán

BD′
kính R =
=
2

BD 2 + DD′2
=
2

(

2a 2

)

2

2

+ 4a 2

=

12a 2
.
=a 3
2

Câu 27: Đáp án A
Ta có f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ ( 3 − 5sin x ) dx = 3x + 5cos x + C .
Mặt khác f ( 0 ) = 10 ⇔ 5 + C = 10 ⇔ C = 5 .
Trang 11


Vậy f ( x ) = 3 x + 5cos x + 5 .
Câu 28: Đáp án D
Ta thấy đồ thị hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng ( −∞;1) ; ( 1; +∞ )
⇒ y′ < 0, ∀x ≠ 1 .
Câu 29: Đáp án A
Ta có I là hình chiếu vng góc của M trên trục Ox nên tọa độ điểm I ( 1;0;0 ) và IM = 13 .
Vậy phương trình mặt cầu tâm I , bán kính IM là: ( x − 1) + y 2 + z 2 = 13 .
2

Câu 30: Đáp án B
Ta có w = iz = i ( 1 − 2i ) = 2 + i , từ đó điểm biểu diễn cho số phức w là điểm N ( 2;1) .
Câu 31: Đáp án C

Vì S . ABCD là hình chóp tứ giác đều nên tứ giác ABCD là hình vng. Gọi O là tâm hình
vng ABCD , suy ra SO ⊥ ( ABCD ) . Gọi r , h lần lượt là bán kính đường trịn đáy và chiều cao
của hình nón.
Ta có r =

a 2
; h = SO = SA2 − OA2 = 2a 2 − a 2 = a .
2

1 2

1 a2
π a3
Vậy V = π r h = π
.
a=
3
3 2
6
Câu 32: Đáp án D
Ta có

∫ f ( x) e

2x

dx = F ( x ) ⇔ f ( x ) e 2 x = F ′ ( x ) ⇔ f ( x ) e 2 x = 2 x

( f ( x ) e ) ′ = ( 2x ) ′
2x

⇔ f ′ ( x ) e 2 x + 2e 2 x . f ( x ) = 2 ⇔ f ′ ( x ) e 2 x = 2 − 2e 2 x . f ( x ) = 2 − 4x
Trang 12


Suy ra

∫ f ′( x) e

2x

dx = ∫ ( 2 − 4 x ) dx = 2 x − 2 x 2 + C .

Câu 33: Đáp án C
Tập xác định: D = ¡ \ { 1} .
y′ = −

m +1

( x − 1)

2

.

TH1: m + 1 > 0 ⇔ m > −1 ⇒ y′ < 0 ⇒ hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2; 4 ) .
Khi đó min y = y ( 4 ) =
[ 2;4]

4+m
= 3 ⇔ m = 5 (nhận)
3

TH2: m + 1 < 0 ⇔ m < −1 ⇒ y ′ > 0 ⇒ hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; 4 ) .
Khi đó min y = y ( 2 ) =
[ 2;4]

2+m
= 3 ⇔ m = 1 (loại).
1

Vậy m = 5 .
Câu 34: Đáp án D

uu
r
uur
Đường thẳng ∆ có vtcp u∆ = ( 3; 2;1) , đường thẳng ∆′ có vtcp u∆′ = ( 1;3; −2 ) . Gọi d là đường
thẳng đi qua điểm M ( −1;1;3) và lần lượt vng góc với ∆ và ∆′ . Khi đó đường thẳng d có
uu
r uu
r uur
uu
r
uu
r uur uu
r uur
vtcp ud sao cho ud ⊥ u∆ ; ud ⊥ u∆′ ⇒ ud = u∆ , u∆′  = ( −1;1;1) .
 x = −1 − t

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d cần tìm là:  y = 1 + t .
z = 3 + t

Câu 35: Đáp án C
Sử dụng cơng thức lãi kép ta có: 50. ( 1 + 6% ) ≥ 100 (triệu đồng)
n

⇒ n ≥ log ( 1+ 6% ) 2 ⇒ n ≥ 12 .
Câu 36: Đáp án B
Theo

giả

thiết

⇔ z = 1 + ( z − 3)
2

ta
2

có:

⇔ z =

z + 1 + 3i − z i = 0

⇔ z = −1 + ( z − 3) i

⇔ z = 1 + ( z − 3)

5
4
4
⇒ z = −1 − i ⇒ a = −1; b = − ⇒ S = a + 3b = −5 .
3
3
3

Câu 37: Đáp án C
Gọi A = d1 ∩ ( P ) , khi đó tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:

Trang 13

2


 x = 1 + 3t
 y = −2 + t

⇒ 2 ( 1 + 3t ) + 2 ( −2 + t ) − 6 = 0 ⇒ t = 1 ⇒ A ( 4; −1; 2 ) .

z
=
2

 2 x + 2 y − 3 z = 0
Gọi ( Q ) là mặt phẳng đi qua điểm A và vng góc với đường thẳng d 2 , suy ra mặt phẳng ( Q )
uur uur
có vtpt nQ = ud2 = ( 2; −1; 2 ) . Vậy phương trình mặt phẳng ( Q ) cần tìm là:
2 ( x − 4 ) − ( y + 1) + 2 ( z − 2 ) = 0 ⇔ 2 x − y + 2 z − 13 = 0 .
Câu 38: Đáp án A
Ta có y ′ = −3 x 2 − 2mx + 4m + 9
Hàm số nghịch biến trên

( −∞; +∞ )

⇔ y′ ≤ 0, ∀x ∈ ¡

⇔ −3 x 2 − 2mx + 4m + 9 ≤ 0, ∀x ∈ ¡

⇔ ∆′ = m 2 + 3 ( 4m + 9 ) ≤ 0 ⇔ m 2 + 12m + 27 ≤ 0 ⇔ −9 ≤ m ≤ −3 .
Vì m ∈ ¢ ⇒ m ∈ { −9; −8; −7; −6; −5; −4; −3} hay có 7 giá trị m nguyên thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 39: Đáp án B
log 32 x − m log 3 x + 2m − 7 = 0 (1)
Điều kiện: x > 0 .
2
Đặt t = log 3 x , khi đó ( 1) ⇔ t − mt + 2m − 7 = 0 (2).

Phương trình (1) có 2 nghiệm thực x1 , x2

( x1 > 0, x2 > 0 )

⇔ phương trình (2) có 2 nghiệm thực

t1 , t2 phân biệt ⇔ ∆ = m 2 − 4 ( 2m − 7 ) > 0 ⇔ m 2 − 8m + 28 > 0 ⇔ ( m − 4 ) + 12 > 0, ∀m ∈ ¡ .
2

Ta có t1 + t 2 = log 3 x1 + log 3 x2 = log 3 x1 x2 = log 3 81 = 4 ⇒ m = 4 ( Định lí Vi-et).
Câu 40: Đáp án C
* Phương pháp: Để tìm đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm đa thức bậc 3 ta lấy y ′
chia cho y được phần dư Ax + B , khi đó đường thẳng qua 2 điểm cực trị chính là y = Ax + B .
* Lời giải: Giả sử hàm số đạt cực trị tại điểm có tọa độ ( x0 ; y0 ) . Ta có y ′ = 3 x 2 − 6 x − 9 . Khi đó
1
1
1
1
y =  x − ÷. y ′ − 8 x − 2 . Ta có y0 =  x0 − ÷. y′ ( x0 ) − 8 x0 − 2 = −8 x0 − 2 ( Vì y ′ ( x0 ) = 0 )
3
3
3

3
Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A và B có phương trình d : y = −8 x − 2 . Lúc này ta
thấy điểm N ( 1; −10 ) ∈ d .
Câu 41: Đáp án B
Giả sử phương trình vận tốc của vật chuyển động theo đường parabol là:

Trang 14




c = 4
c = 4


5
v ( t ) = at 2 + bt + c (km/h). Ta có:  4a + 2b + c = 9 ⇔ b = 5 ⇒ v ( t ) = − t 2 + 5t + 4
4
 b

5
−
a = −
=2

4
 2a
Ta có v ( 1) =

31

31
suy ra phương trình vận tốc của vật chuyển động theo đường thẳng là y = .
4
4

Vậy quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ là:
2

2

3

2
31
 5

 5 t3

259
t2
31
s = ∫  − t 2 + 5t + 4 ÷dt + ∫ dt =  − . + 5. + 4t ÷ + t =
≈ 21,583 .
4
4
12

2
0
2

 4 3
0 4 0

Vậy s = 21,58 (km).
Câu 42: Đáp án D
Điều kiện: 0 < x ≠ 1, a > 1, b > 1 . Ta có: P = log ab x =

1
12
1
1
=
=
=
1 1 7 .
+
log x ab log x a + log x b
3 4

Câu 43: Đáp án B

Ta có: BC ⊥ AB , BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ ( SAB )
·
·
=
⇒ (·SC , ( SAB ) ) = (·SC , SB ) = BSC
= 300 ; tan BSC

BC
SB

⇒ SB =

BC
·
tan BSC

SA = SB 2 − AB 2 = 3a 2 − a 2 = a 2 .
1
1
a3 2
Vậy thể tích của khối chóp S . ABCD : V = S ABCD .SA = a 2 .a 2 =
.
3
3
3
Câu 44: Đáp án B

Trang 15

=

a
=a 3;
t an300


Trong mặt phẳng ( ABD ) , gọi P = AD ∩ EM . Trong mặt phẳng ( BCD ) , gọi Q = CD ∩ EN , khi
đó ta có P, Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác ∆ABE và ∆BCE .
a3 2

Ta có ABCD là tứ diện đều cạnh a , suy ra VABCD =
.
12
Vì BE = 2 BD ⇒ d ( E , ( ABC ) ) = 2d ( D, ( ABC ) ) , ta có:
1
VE . BMN = d ( E , ( ABC ) ) .S ∆BMN
3

11
1
1

= .2d ( D, ( ABC ) ) . .S∆ABC =  d ( D, ( ABC ) ) .S ∆ABC ÷
23
3
4


1
1
1 a3 2 a3 2
= VD. ABC = VABCD = .
.
=
2
2
2 12
24
Mặt khác:

VE .DPQ
VE . BNM

=

ED EP EQ
1 2 2 2
2
2 a3 2
a3 2
.
.
= . . = ⇒ VE . DPQ = VE . BNM = .
.
=
EB EN EM
2 3 3 9
9
9 24
108

Gọi V1 là thể tích của khối đa diện khơng chứa đỉnh A , khi đó
V1 = VE .BMN − VE .DPQ =

a3 2 a 3 2 7a3 2
.
−
=
24
108

216

Vậy V = VABCD − V1 =

a 3 2 7 a 3 2 11a 3 2
.
−
=
12
216
216

Câu 45: Đáp án C
Mặt cầu ( S ) có tâm là gốc tọa độ O và bán kính
R = 3 , d ( O, ( P ) ) =

4
< R ; OM = 6 < R . Suy
3

ra mặt phẳng ( P ) sẽ cắt mặt cầu ( S ) theo một
đường trịn giao tuyến có tâm là điểm H và điểm
Trang 16


M nằm phía trong mặt cầu. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB , ta có OI ⊥ AB và
2
AB = 2 AI = 2 R 2 − OI 2 = 2 9 − d ( O, ∆ ) . Từ đó độ dài đoạn AB nhỏ nhất khi và chỉ khi

d ( O, ∆ ) nhỏ nhất.

Ta có d ( O, ∆ ) ≤ OM . Suy ra d ( O, ∆ ) nhỏ nhất ⇔ I ≡ M ⇔ OM ⊥ AB

uuuu
r uu
r
⇔ OM .u∆ = 0

uu
r uuur
⇔ 1 + a + 2b = 0 (1). Mặt khác ∆ ⊂ ( P ) ⇒ u∆ .n( P ) = 0 ⇔ 1 + a + b = 0 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ a = −1; b = 0 ⇒ T = a − b = −1 .

Câu 46: Đáp án C
Đặt z = x + yi

( x, y ∈ ¡ ) . Điều kiện:

z ≠ 4.

Ta có: z − 3i = 5 ⇔ x + ( y − 3) i = 5 ⇔ x 2 + ( y − 3) = 25 ⇔ x 2 + y 2 − 6 y − 16 = 0 (1)
2

( x + yi ) ( x − 4 ) − yi  x ( x − 4 ) + y 2
z
x + yi
4y
=
=
−
i.

=
2
2
2
z − 4 ( x − 4 ) + yi
( x − 4) + y 2 ( x − 4) + y 2
( x − 4) + y 2
x ( x − 4) + y2
z
= 0 ⇔ x ( x − 4 ) + y 2 = 0 ⇔ x 2 + y 2 − 4 x = 0 (2)
Vì
là số thuần ảo nên
2
2
z−4
( x − 4) + y
Từ (1), (2) ⇒ 4 x − 6 y = 16 ⇒ x = 4 +
3

4+
2


3
y , thay vào (1) ta được
2

y = 0
2


2
.
y ÷ + y − 6 y − 16 = 0 ⇔ 
 y = − 24

13


Với y = 0 ⇒ x = 4 ⇒ z = 4 (loại)
Với y = −

24
16
16 24
⇒ x = ⇒ z = − i (thỏa)
13
13
13 13

Câu 47: Đáp án D
Điều kiện: xy < 1 .
Ta có: log 3

1 − xy
= 3 xy + x + 2 y − 4 ⇔ log 3 ( 1 − xy ) − log 3 ( x + 2 y ) = 3 xy + x + 2 y − 4
x + 2y

⇔ log 3 ( 1 − xy ) + 3 ( 1 − xy ) + 1 = log 3 ( x + 2 y ) + x + 2 y
⇔ log 3 ( 1 − xy ) + log 3 3 + 3 ( 1 − xy ) = log 3 ( x + 2 y ) + x + 2 y
⇔ log 3 3 ( 1 − xy ) + 3 ( 1 − xy ) = log 3 ( x + 2 y ) + ( x + 2 y ) (1)

Xét hàm số f ( t ) = log 3 t + t , ∀t > 0 .
Trang 17


Ta có: f ′ ( t ) =

1
+ 1 > 0, ∀t > 0 . Suy ra hàm số f ( t ) luôn đồng biến ∀t > 0 , khi đó (1) có
t ln 3

dạng f ( 3 ( 1 − xy ) ) = f ( x + 2 y ) ⇔ 3 ( 1 − xy ) = x + 2 y ⇔ 3 − 3 xy = x + 2 y ⇔ x + 3xy = 3 − 2 y
⇔ x (1+ 3y) = 3 − 2 y ⇔ x =
Ta có: P = x + y =

3− 2y
3
. Vì x > 0, y > 0 nên 0 < y < .
1+ 3y
2

3− 2y
3y2 − y + 3
 3
+y =
, ∀y ∈  0; ÷
1+ 3y
1+ 3y
 2



−1 + 11  3 
∈  0; ÷
y =
9 y + 6 y − 10
3
 2
2

P′ =
; P′ = 0 ⇔ 9 y + 6 y − 10 = 0 ⇔
2

( 1+ 3y )
−1 − 11  3 
y =
∉  0; ÷
3
 2

2

Ta có bảng biến thiên:

Vậy: Pmin =

2 11 − 3
.
3

Câu 48: Đáp án D

y = x 3 − 3 x 2 + x + 2 ( C ) ; y = mx − m + 1 ( d ) .
Xét phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị ( C ) và đường thẳng ( d ) :
3
2
x 3 − 3 x 2 + x + 2 = mx − m + 1 ⇔ x − 3 x + ( 1 − m ) x + 1 + m = 0

x =1
⇔ ( x − 1) ( x 2 − 2 x − m − 1) = 0 ⇔ 
.
2
 g ( x ) = x − 2 x − m − 1 = 0 ( 1)
Đồ thị ( C ) cắt đường thẳng ( d ) tại 3 điểm A, B, C phân biệt sao cho AB = BC ⇒ B chính là
điểm uốn của đồ thị ( C ) .
Ta có: y ′′ = 6 x − 6 ; y ′′ = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = 1 ⇒ Điểm uốn B ( 1;1) ∈ ( d ) , ∀m > −2 .
Vậy m ∈ ( −2; +∞ ) thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 49: Đáp án C

Trang 18


Gọi S1 , S 2 lần lượt là diện tích các hình phẳng như
hình vẽ bên.
2

2 S1 = 2 ∫  f ′ ( x ) − x  dx =  2 f ( x ) − x 2 

Ta có

−2

= h ( x)

2
−2

= h ( 2 ) − h ( −2 ) > 0

2
−2

⇔ h ( 2 ) > h ( −2 )

(1)
Tương tự:
4

4

2 S 2 = 2 ∫  x − f ′ ( x )  dx

=  x 2 − 2 f ( x ) 
2

2

4
= −h ( x ) 2 = h ( 2 ) − h ( 4 ) > 0 ⇔ h ( 2 ) > h ( 4 ) (2)

Nhìn đồ thị ta có:
S1 > S 2 ⇔ 2S1 > 2S 2 ⇔ h ( 2 ) − h ( −2 ) > h ( 2 ) − h ( 4 ) ⇔ h ( 4 ) > h ( −2 ) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: h ( 2 ) > h ( 4 ) > h ( −2 ) .
Câu 50: Đáp án D
Gọi O là tâm đường trịn đáy của hình nón, I là trung
điểm của đoạn thẳng AB , H là hình chiếu vng góc
của

O

lên

SI .

Ta

có AB ⊥ OI ,

AB ⊥ SO ⇒ AB ⊥ ( SOI ) ⇒ AB ⊥ OH ( 1) .
Mặt khác: OH ⊥ SI ( 2 ) .
Từ (1), (2) ⇒ OH ⊥ ( SAB ) ⇒ d = d ( O, ( SAB ) ) = OH
.
2

AB 
2
2
Ta có: OI = r − AI = r − 
÷ = 4a − 3a = a .
2



2

2

2

Suy ra SO = OI = a ⇒ ∆SOI vuông cân tại O ⇒ H là trung điểm của cạnh SI ⇒ OH =

=

SO 2 a 2
.
=
2
2

Vậy d =

2a
.
2

Trang 19

SI
2