Thiết kế hệ thống bài tập hình học ở tiểu học áp dụng phép biến hình

MỤC LỤC
---------o0o---------


DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ, ĐỒ THỊ, HÌNH VẼ
Hình 1.1. Hình lồi
Hình 1.2. Hình không lồi
Hình 1.3. Hình đường gấp khúc
Hình 1.4. Phép đối xứng trục
Hình 1.5. Phép dời hình
Hình 1.6. Ảnh Qua phép đối xứng trục
Hình1.7. Phép dời hình
Hình 1.8. Phép đối xứng tâm
Hình 1.9. Ảnh qua phép đối xứng tâm
Hình 1.10. Phép dời hình của đối phép xứng tâm
Hình 1.11. Phép tịnh tiến
Hình 1.12. Phép dời hình của phép tịnh tiến
Hình 1.13. Phép quay
Hình 1.14. Phép dời hình của phép quay
Hình 1.15. Ứng dụng của phép biến hình
Hình 2.1. Bài tập 1
Hình 2.2. Bài tập 1
Hình 2.3. Bài tập 1
Hình 2.4. Bài tập 2
Hình 2.5. Bài tập 3
Hình 2.6. Hình tam giác
Hình 2.7. Xác định vị trí cắt ghép
Hình 2.8. Cắt ghép hình
Hình 2.9. Vẽ trung điểm

Hình 2.10. Cắt ghép hình
Hình 2.11. Dựng hình
Hình 2.12. Hình bình hành
Hình 2.13. Xác định vị trí cắt ghép
Hình 2.14. Cắt ghép hình
Hình 2.15. Cắt ghép hình
Hình 2.16. Cắt ghép hình
Hình 2.17. Hình thoi
Hình 2.18. Xác định điểm cắt ghép
Hình 2.19. Cắt ghép hình
Hình 2.20. Cắt ghép hình
Hình 2.21. Hình thang
Hình 2.22. Xác định vị trí cắt ghép
Hình 2.23. Cắt ghép hình
Hình 2.24. Xác định vị trí cắt ghép
Hình 2.25. Cắt ghép hình
Hình 2.26. Cắt ghép hình
Hình 2.27. Cắt ghép hình
Hình 2.28. Cắt ghép hình
Hình 2.29. Cắt ghép hình
Hình 2.30. Cắt ghép hình
Hình 2.31. Cắt ghép hình
Hình 2.32. Cắt ghép hình
Hình 2.33. Cắt ghép hình
Hình 2.35. Cắt ghép hình


Hình 2.36. Cắt ghép hình
Hình 2.37. Cắt ghép hình
Hình 2.38. Cắt ghép hình

Hình 2.39. Cắt ghép hình
Hình 2.40. Cắt ghép hình
Hình 2.41. Cắt ghép hình
Hình 2.42. Cắt ghép hình
Hình 2.43. Cắt ghép hình
Hình 2.44. Cắt ghép hình
Hình 2.45. Cắt ghép hình
Hình 2.46. Cắt ghép hình
Hình 2.47. Cắt ghép hình
Hình 2.48. Cắt ghép hình
Hình 2.49. Cắt ghép hình
Hình 2.50. Cắt ghép hình
Hình 2.51. Cắt ghép hình
Hình 2.52. Cắt ghép hình
Hình 2.53. Cắt ghép hình
Hình 2.54. Cắt ghép hình
Hình 2.55. Cắt ghép hình
Hình 2.56. Cắt ghép hình
Hình 2.57. Cắt ghép hình
Hình 2.58. Cắt ghép hình
Hình 2.59. Cắt ghép hình
Hình 2.60. Cắt ghép hình


Hình 2.61. Cắt ghép hình
Hình 2.62. Cắt ghép hình
Hình 2.63. Cắt ghép hình
Hình 2.64. Cắt ghép hình
Hình 2.65. Cắt ghép hình
Hình 2.66. Cắt ghép hình

Hình 2.67. Cắt ghép hình
Hình 2.68. Cắt ghép hình
Hình 2.69. Cắt ghép hình
Hình 2.70. Cắt ghép hình
Hình 2.71. Cắt ghép hình
Hình 2.72. Cắt ghép hình
Hình 2.73. Cắt ghép hình
Hình 2.74. Cắt ghép hình
Hình 2.75. Cắt ghép hình
Hình 2.76. Cắt ghép hình
Hình 2.77. Cắt ghép hình
Hình 2.78. Cắt ghép hình
Hình 3.1. Bài 1
Hình 3.2. Bài 1
Hình 3.3. Bài 2
Hình 3.4. Bài 3
Hình 3.5. Bài 4
Hình 3.6. Bài 4
Hình 3.7. Bài 5


Hình 3.8. Bài 6
Hình PL1. Bài 1
Hình PL2. Bài 6
Hình PL3. Bài 1
Hình PL4. Bài 6


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Báo cáo chính trị của Ban chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt
Nam tại Đại hội đại biểu toàn quốc thứ VIII của Đảng đã khẳng định: "Giáo
dục và Đào tạo là quốc sách hàng đầu nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân
lực, bồi dưỡng nhân tài".
Giáo dục Tiểu học luôn giữ một vị trí quan trọng trong hệ thống giáo dục
ở mỗi quốc gia, đặt cơ sở vững chắc cho toàn bộ hệ thống giáo dục. Trong
Quyết định số 2957/QĐ-ĐT của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo đã chỉ rõ:
"Tiểu học là cấp học nền tảng, đặt cơ sở ban đầu cho việc hình thành và phát
triển toàn diện nhân cách con người, đặt nền tảng vững chắc cho giáo dục
phổ thông và cho toàn hệ thống giáo dục quốc dân". Vì vậy ở Tiểu học, các
em luôn được tạo điều kiện để phát triển toàn diện.
Trong các môn ở Tiểu học, cùng với môn Tiếng Việt, môn Toán có vị trí
vô cùng quan trọng. Môn Toán được dạy xuyên suốt từ lớp 1 tới lớp 5 - Toán
học với tư cách là khoa học nghiên cứu một số mặt của thế giới hiện thực, có
hệ thống kiến thức và phương pháp nhận thức cơ bản rất cần thiết cho đời
sống và sinh hoạt. Những tri thức toán học, những kĩ năng giải toán cùng các
phương pháp toán học đã trở thành công cụ để học tốt những môn học khác. Ở
trường tiểu học bên cạnh mục tiêu trang bị kiến thức toán học còn có nhiệm
vụ hình thành cho học sinh các năng lực toán học. Trong đó, hoạt động giải
toán được xem là hình thức chủ yếu để hình thành phẩm chất và năng lực toán
học cho học sinh vì thông qua hoạt động giải toán giúp học sinh nắm vững
được tri thức, hình thành kĩ năng, kĩ xảo và phát triển toán học. Nó có vai trò
quan trọng trong việc rèn luyện phương pháp suy luận, phương pháp giải
quyết vấn đề căn cứ vào khoa học, nó có nhiều tác dụng trong việc hình thành
và rèn luyện trong mọi lĩnh vực hoạt động của con người, góp phần giáo dục ý
chí và những đức tính cần cù, nhẫn nại, ý thức vượt khó khăn.
7

Bản thân dạy học giải toán mang trong mình các chức năng: chức năng
giáo dưỡng, chức năng giáo dục, chức năng phát triển và kiểm tra. Vì vậy hoạt
động giải toán là điều kiện thực hiện tốt các mục tiêu dạy học toán và tổ chức
có hiệu quả việc dạy học giải toán có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy
học toán.
Trong môn Toán ở Tiểu học, nội dung và phương pháp dạy các yếu tố
hình học ngày càng được quan tâm. Hình học là một bộ phận được gắn bó mật
thiết với các kiến thức về số học, yếu tố đại số, đo lường và giải toán có lời
văn. Trong chương trình Toán, các yếu tố hình học được sắp xếp từ dễ đến
khó, từ trực quan cụ thể, tư duy trừu tượng đến khái quát và đặc biệt chú trọng
đến vấn đề bồi dưỡng năng lực tư duy cho học sinh. Trên thực tế, chất lượng
dạy học giải toán có nội dung yếu tố hình học ở các lớp vẫn còn chưa đạt kết
quả cao. Đặc biệt học sinh vẫn còn gặp khó khăn trong việc giải các dạng toán
nội dung hình học áp dụng phép biến hình, nhận biết đặc điểm của hình hình
học chưa nhanh. Hệ thống bài tập trong sách giáo khoa còn hạn chế, khuôn
khổ, chưa phát huy tư duy tích cực tối đa của người học.Phép biến hình đã
được đề cập đến trong các tài liệu như:"Giáo trình cơ sở toán học" của
Nguyễn Gia Định NXB Đại học Huế, 2005; tài liệu "Toán sơ cấp" của
Nguyễn Trọng Chiến, Nguyễn Thị Kim Thoa ... Các tác giả đã hệ thống các lí
thuyết về các phép biến hình đồng thời chỉ rõ các ứng dụng của phép biến
hình để giải các bài toán chứng minh, tìm tập hợp điểm, dựng hình. Tuy nhiên
trong tài liệu vẫn chưa nêu rõ các ứng dụng của phép biến hình trong dạy học
nội dung yếu tố hình học ở tiểu học, chưa đưa ra các bài toán vận dụng cho
học sinh tiểu học.
Xuất phát từ những lí do đó, chúng tôi quyết định chọn và nghiên cứu đề
tài: "Thiết kế hệ thống bài tập hình học ở Tiểu học áp dụng phép biến
hình" nhằm góp phần bổ sung hệ thống bài tập hình học phong phú đa dạng
cho học sinh và nâng cao kĩ năng thiết kế bài toán cho giáo viên, từng bước

8

phát triển năng lực giải toán cho học sinh và nâng cao chất lượng dạy học môn
Toán trong trường tiểu học.
2. Lịch sử vấn đề

Hình học là một môn Khoa học cổ, đặc biệt phép biến hình đã được
nhiều nhà khoa học nghiên cứu. Các trường phái Toán học của Talet, Moohet
và các trường phái triết học của Platon, Aristo và Đêmoclit đã chuẩn bị cơ sở
để môn hình học đạt được nội dung và hình thức như hiện giờ nó đang có.
Những công trình nghiên cứu của các nhà bác học cổ đại, cho đến nay, các
nhà khoa học hiện đại đã xây dựng nên hệ thống hình học hoàn chỉnh và đầy
đủ nhất. Các công trình nghiên cứu đã chỉ ra được đặc điểm của phép biến
hình và vai trò của chúng trong nhiều ngành khoa học, ứng dụng trong các
hiện tượng tự nhiên và kĩ thuật.
Mặc dù đã có nhiều công trình nghiên cứu về các phép biến hình, tuy
nhiên vẫn còn mang tính chung chung, bao quát, chưa đi sâu vào cụ thể. Và
hơn nữa những công trình nghiên cứu chủ yếu phục vụ cho bậc trung học phổ
thông, còn ở bậc tiểu học thì chưa có bài nghiên cứu đi sâu vào ứng dụng
trong việc thiết kế bài tập hình học dựa vào phép biến hình như: cắt ghép hình,
hình thành công thức tính diện tích và tính các đại lượng hình học…
3. Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở nghiên cứu nội dung về phép biến hình từ đó đưa ra quy trình
thiết kế bài toán nhằm góp phần bổ sung hệ thống bài tập hình học phong phú
đa dạng cho học sinh và nâng cao kĩ năng thiết kế bài toán cho GV, từng bước
phát triển năng lực giải toán cho học sinh và nâng cao chất lượng dạy học môn
Toán trong trường tiểu học.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu một số vấn đề lí luận có liên quan đến đặc điểm tư duy hình
học của học sinh tiểu học.

9


- Khảo sát hệ thống bài tập ở SGK liên quan đến phép biến hình và thực
tiễn thiết kế bài toán hình học dựa vào phép biến hình.
-Tìm hiểu và phân tích một số vấn đề lí luận có liên quan đến phép biến
hình và việc áp dụng dạy học phép biến hình vào trong những nội dung dạy
học yếu tố hình học ở tiểu học.
- Tìm hiểu một số vấn đề lí luận có liên quan đến giải toán hình học ở
tiểu học về mục tiêu, nội dung, phương pháp dạy học.
- Xây dựng nguyên tắc và thiết kế hệ thống bài tập và thử nghiệm.
5. Đối tượng nghiên cứu

- Phép biến hình và các bài toán ở tiểu học chứa đựng yếu tố biến hình.
- Những bài toán hình học áp dụng phép biến hình ở tiểu học.
6. Phạm vi nghiên cứu

- Chương trình sách giáo khoa Toán tiểu học hiện hành và một số tài liệu
sách bài tập toán có liên quan khác.
- Tài liệu hình học về phép biến hình.
7. Phương pháp nghiên cứu

7.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu các tài liệu về phương pháp dạy học Toán ở trường tiểu
học, các tài liệu sách báo có liên quan đến đề tài.
- Tìm hiểu nội dung hình học trong chương trình môn Toán ở Tiểu học.
- Tìm hiểu các kiến thức liên quan đến dạy học các yếu tố hình học ở

Tiểu học, các hệ tiên đề và phép biến hình.
7.2. Phương pháp phân tích, tổng hợp
- Tìm hiểu, phân tích tổng hợp học các bài toán hình học áp dụng phép
biến hình trong chương trình Toán Tiểu học và trong các tài liệu có liên quan.

10


7.3. Phương pháp điều tra
- Thử nghiệm các hệ thống bài tập và kiểm tra kết quả trên đối tượng học
sinh lớp 5 trường tiểu học Lý Thường Kiệt và trường tiểu học Ngự Bình.
7.4. Phương pháp phỏng vấn chuyên gia
- Khảo sát và phỏng vấn để lấy ý kiến của các thầy cô trường Tiểu học
Lý Thường Kiệt và trường Tiểu học Ngự Bình về hệ thống bài tập thiết kế.
8. Giả thuyết khoa học

- Nếu đề tài thành công, người nghiên cứu sẽ nắm vững về phép biến
hình, chỉ ra được sự thể hiện và ứng dụng của nó trong chương trình sách giáo
khoa tiểu học hiện hành, nhận thức rõ cơ sở toán học của việc dạy học yếu tố
hình học ở tiểu học. Từ đó, nắm vững các dạng toán hình học đồng thời biết
thiết kế một số bài toán áp dụng phép biến hình làm phong phú thêm hệ thống
bài tập toán, học sinh có cơ hội tiếp xúc nhiều hơn với các dạng toán và rèn
luyện kĩ năng giải toán từ đó nâng cao năng lực giải toán của mình.
9. Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của
đề tài gồm 3 chương:
Chương 1: Một số kiến thức liên quan
Chương 2: Thiết kế hệ thống bài tập hình học ở Tiểu học dựa vào phép
biến hình

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

11


Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN
Trong chương này chúng tôi đề cập đến một số kiến thức về hình hình
học, các đại lượng hình học; phép biến hình; mục tiêu, nội dung dạy học yếu
tố hình học trong chương trình Toán ở tiểu học và ứng dụng của phép biến
hình vào dạy học yếu tố hình học ở tiểu học. Nội dung chương này được tham
khảo trong các tài liệu Toán sơ cấp - Nguyễn Trọng Chiến, Nguyễn Thị Kim
Thoa (2008), NXB Giáo dục và Giáo trình cơ sở toán học, Nguyễn Gia Định
(2005), NXB Đại học Huế.
1.1. Một số vấn đề có liên quan
1.1.1. Hình hình học và các đại lượng hình học
1.1.1.1. Khái niệm hình hình học, đoạn thẳng, đường gấp khúc
Định nghĩa 1: Hình hình học (hay đơn giản là hình) là một tập hợp điểm
bất kì không rỗng.
Định nghĩa 2: Một hình được gọi là hình lồi nếu nó chứa mỗi đoạn thẳng
nối hai điểm bất kì thuộc nó. Ví dụ: Hình 1 là một hình lồi, Hình 2 không
phải là hình lồi.

B

C

D

A

Hình 1.1. Hình lồi

Hình

1.2. Hình không lồi
Định nghĩa 3: Một đoạn thẳng được gọi là định hướng (hay có hướng)
nếu đã xác định rõ các điểm mút của nó, đâu là điểm gốc và đâu là điểm ngọn
của đoạn thẳng đó.
12


Ví dụ: Đoạn thẳng định hướng AB có điểm gốc là A và điểm ngọn là B.
Định nghĩa 4: Ta gọi là đường gấp khúc, tập hợp của một số hữu hạn các
đoạn thẳng có hướng A0A1, A1A2,... , An-1An được cho theo một thứ tự xác
định và sắp xếp trong không gian sao cho điểm ngọn của mỗi đoạn (trừ đoạn
sau cùng) trùng với điểm gốc của đoạn đi liền sau đó.
A2

A2

A3

A1
A1

A0

An
A0 ≡ An

An-1

An-1

Hình 1.3. Hình đường gấp khúc
- Hình 1.3 là các ví dụ về đường gấp khúc.
- Các đoạn thẳng tạo thành tạo thành đường gấp khúc gọi là các đốt (hay
cạnh) của nó, các điểm nút của chúng gọi là các đỉnh của đường gấp khúc,
điểm gốc của đốt đầu tiên và điểm ngọn của đốt sau cùng theo thứ tự là điểm
gốc và điểm ngọn của đường gấp khúc.
- Đường gấp khúc tạo bởi các đoạn thẳng A0A1, A1A2,... , An-1An được kí
hiệu là A0A1 A2... An. Đường gấp khúc được gọi là đóng nếu các điểm gốc và
điểm ngọn của nó trùng nhau: A0 trùng với An
1.1.1.2. Định nghĩa và tính chất độ dài của đoạn thẳng
Định nghĩa: Cho ánh xạ d: σ
không gian vào tập hợp số thực

R

→

R

từ tập hợp σ các đoạn thẳng của

. Với mỗi đoạn thẳng AB, số thực d(AB)

sẽ được gọi là độ dài của nó nếu ánh xạ d nói trên thỏa mãn các tính chất sau
đây:

13


d(AB) > 0 với mọi đoạn thẳng AB

∈

σ

Nếu điểm C ở giữa A và B thì d(AB) = d(AC) + d(CB)
Nếu AB = CD thì d(AB) = d(CD)
Tồn tại OE

∈

σ sao cho d(OE) = 1.

Tính chất độ dài của đoạn thẳng:
1) Tính đơn điệu: Cho hai đoạn thẳng AB và CD, nếu AB < CD thì
d(AB) < d(CD)
2) Tính cộng được: Nếu A1, A2, ... An theo thứ tự ấy n là điểm ở giữa hai
điểm A, B thì d(AB) = d(AA1) + d(A1A2) +... + d(AnB)
1.1.1.3. Định nghĩa của hình đa giác
Định nghĩa 1: Ta gọi hình đa giác hợp của một đường gấp khúc đơn
đóng với miền trong của nó.
- Cạnh của đường gấp khúc được gọi là cạnh của hình đa giác
- Đỉnh của đường gấp khúc được gọi là đỉnh của hình đa giác
- Đoạn thẳng nối hai đỉnh không thuộc cùng một cạnh của hình đa giác
được gọi là đường chéo của hình đa giác đó.

Định nghĩa 2: Hai đa giác được gọi là bằng nhau nếu chúng có các cạnh
tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau.
1.1.1.4. Định nghĩa và tính chất diện tích của hình đa giác
Định nghĩa: Cho một ánh xạ S: P
của không gian vào tập hợp các số thực

→

R

R

từ tập hợp P các hình đa giác

. Với mỗi đa giác F, số thực S(F)

được gọi là diện tích của nó nếu ánh xạ S thỏa mãn các tính chất sau đây:
1) S(F) > 0,

∀

F

∈

P

2) Nếu F1 = F2 thì S(F1) = S(F2)
14

3) Nếu F1 và F2 không có điểm trong chung thì:
S(F1

∪

F2) = S(F1) + S(F2);

4) Tồn tại hình vuông đơn vị F0 sao cho S(F0) = 1.

Tính chất của diện tích hình đa giác
1) Tính đơn điệu: Cho hai hình đa giác F1 và F2, nếu F1

⊂

F2 thì S(F1) <

S(F2)
n

UFi
2) Tính cộng được: Nếu hình đa giác F =

1

trong đó Fi, Fj

∀

i

≠

j

n

∑ S ( Fi)
không có điểm trong chung thì S(F) =

1

1.1.2. Phép biến hình
1.1.2.1. Định nghĩa
Ta đã biết, ánh xạ f: A → B từ tập hợp A đến tập hợp B là một quy tắc
cho ứng với mỗi phần tử x ∈ A, một phần tử duy nhất y ∈ B. Phần tử y được
gọi là ảnh của x qua ánh xạ f và kí hiệu là y = f(x). Ánh xạ f: A → B được gọi
là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh, có nghĩa là với x 1≠ x2
thuộc A thì f(x1) ≠ f(x2) và với mọi

y ∈ B luôn có x ∈ A để f(x) = y.

Phép biến hình của mặt phẳng là một song ánh từ tập hợp các điểm của
mặt phẳng vào chính nó.
Ánh xạ đồng nhất của tập hợp các điểm của mặt phẳng là một phép biến
hình và phép biến hình này gọi là phép biến hình đồng nhất.

15

Cho một phép biến hình f tức là cho một quy tắc, nhờ đó với mỗi điểm
M của mặt phẳng ta xác định được một điểm duy nhất M’, ảnh của điểm M
qua phép biến hình f.
1.1.2.2. Ảnh của một hình qua phép biến hình
Ta biết rằng hình là một tập hợp điểm. Như vậy mỗi hình là một tập con
của tập hợp các điểm của mặt phẳng. Ảnh của hình H qua phép biến hình f là
hình H’ = f(H) được định nghĩa như ảnh của một tập hợp con qua ánh xạ f, có
nghĩa là:
H’ = {f (M) / M ∈ H}.
Như vậy hình H’ gồm các điểm là ảnh của các điểm thuộc hình H qua
phép biến hình f.
Ta cũng nói phép biến hình f biến hình H thành hình H’ và ký hiệu f(H)=
H’.
1.1.2.3. Tích của hai phép biến hình
Cho hai phép biến hình f và g. Tích của hai phép biến hình f và g là một
phép biến hình ký hiệu là gof và được xác định bởi:
(gof) (M) = g(f(M))
Như vậy, ảnh của điểm M qua phép biến hình g of được xác định theo hai
bước sau: Trước tiên ta dựng ảnh M 1 của điểm M qua phép biến hình f sau đó
dựng ảnh của điểm M1 qua phép biến hình g.
f
a
M

g
a
M1 = f(M)

g(M1) = M’ = (gof) (M)

Tích của phép biến hình f với phép biến hình đồng nhất là phép biến hình
f.
f o Id = Id o f = f.

16


1.1.3. Phép dời hình
1.1.3.1. Định nghĩa và tích chất của phép dời hình
Phép dời hình là một phép biến hình f bảo toàn khoảng cách của hai
điểm bất kỳ, có nghĩa là nếu A’ = f(A), B’ = f(B) thì A’B’ = AB.
A a A'

Ký hiệu: f:  B a B ' ⇒ A ' B ' = AB .

Các ví dụ về phép dời hình trong mặt phẳng như: phép tịnh tiến, phép
đối xứng trục, phép đối xứng tâm đã biết trong hình học ở trường phổ thông.
a) Định lý 1: Phép dời hình biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
Chứng minh: Cho đoạn thẳng AB và phép dời hình f. Gọi A' = f(A), B’ =
f(B), ta chứng minh rằng f(AB) = A'B' và A'B' = AB. Thật vậy, cho M bất kỳ
thuộc AB và gọi M' = f(M). Khi đó: AM + MB =AB. Mặt khác, theo định
nghĩa phép dời hình ta có: AM = A'M', MB = M'B' và AB = A'B' nên A'M' +
M'B' = A'B'. Điều này chứng tỏ rằng M' thuộc A'B'. Ngược lại, với mối M'
thuộc A'B' ta cũng chứng minh được có một điểm M thuộc AB sao cho f(M) =
M'. Chứng tỏ rằng f(AB) = A'B' và A'B' = AB.
b) Định lý 2: Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm
thẳng hàng.
Chứng minh: Giả sử f là một phép dời hình và A' = f(A), B’ = f(B), C’
=f(C); A, B, C là ba điểm thẳng hàng và B ở giữa A và C. Khi đó ta có: A’B’ =
AB, A’C’ = AC,

B’C’ = BC. Do ba điểm A, B, C thẳng hàng nên AC =

AB + BC.
Từ đó A’C’ = A’B’ + B’C’. Chứng tỏ rằng A’, B’, C’ thẳng hàng.
Từ hai định lý trên dễ dàng chứng minh các tính chất sau đây của phép
dời hình.
c) Hệ quả
1) Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng.

17


2) Phép dời hình biến tia thành một tia.
3) Phép dời hình biến góc thành một góc bằng nó.
4) Phép dời hình biến hình tam giác thành hình tam giác bằng nó.
5) Phép dời hình biến đường tròn thành đường tròn bằng nó.
d) Ảnh của đường thẳng và đường tròn qua phép dời hình.
1) Ảnh của đường thẳng

d'

Cho đường thẳng (d) và phép dời hình f. Ta chứng minh ảnh của d là
một đường thẳng.
Giả sử A và B là hai điểm phân biệt của d và

chúng qua f. Ta chứng minh

d' =

f

( d)

Lấy M là một điểm tùy ý thuộc
Vì A, B, M thẳng hàng nên
Là

N ∈ A ' B'

Giả sử:
Tức là:

là đường thẳng

d ⇒ M' =

A ' , B' , M '

dựng ảnh

A ' N + NB' = A 'B'
P ∈ d ⇒ N ∈ d'

thì

Đường thẳng

( M ) ∈ d'

.

.

thẳng hàng. Có nghĩa

AP + PB = AB

M ' ∈ A ' B' .

( P) = N

.

.

.

ta chỉ cần dựng ảnh

d'

A ' B'

là ảnh hưởng của

,khi đó tồn tại duy nhất P thuộc mặt phẳng để f

Vậy ta đã chứng minh được ảnh

d'

f

A ' , B'

d'

A ' B'

của d là đường thẳng

Muốn

của hai điểm tùy chọn A,B trên d.

hoàn toàn được xác định khi biết hai điểm
18

A 'B' .

A ' B'

.


2) Ảnh của đường tròn
Cho đường tròn C tâm O bán kính R, ký hiệu C(O,R) và phép dời hình f.
Ta sẽ chứng minh ảnh
Gọi

O'

C'

của C qua f là một đường tròn bằng đường tròn C.

là ảnh của O qua f, M là điểm tùy ý của C và

là phép dời hình nên
Như vậy,

M'

M'

là ảnh của nó. Vì f

O'M ' = OM = R

thuộc đường tròn tâm

O'

bán kính R.

Ngược lại gọi N là một điểm tùy ý của đường tròn tâm

O'

bán kính R.

Vìf là song ánh nên có duy nhất một điểm P của mặt phẳng sao cho f

OP = O' N = R

nên P thuộc đường tròn C, tức là N thuộc

Vậy ta đã chứng minh ảnh

C'

tròn

. Vì

.

của đường tròn C là đường tròn tâm O bán

kính R. Để dựng C ta chỉ việc dựng ảnh

C'

C'

C'

O'

của O qua phép dời hình f. Đường

hoàn toàn được xác định khi biết tâm

O'

và bán kính R.

e. Khái niệm hình bằng nhau
Định nghĩa: Hai hình H và H’ được gọi là bằng nhau nếu có một phép
dời hình biến hình này thành hình kia. Khi đó ta ký hiệu H = H’.
Cũng từ tính chất của phép dời hình ta có các tính chất sau đây của các
hình bằng nhau:
Tính chất: Với mọi hình H, H’, H’’ ta có:
H=H
19


H = H’ thì H’ = H
H = H’ và H’ = H’’ thì H = H’’.
1.1.3.2. Phép đối xứng trục
1.1.3.2.1. Định nghĩa
Cho một đường thẳng d. Phép đối xứng trục d là phép biến hình của mặt
phẳng sao cho với mỗi điểm M và ảnh M’ của nó, ta có d là đường trung trực
của đoạn thẳng MM'.

 MM ' ⊥ d
uuuu
r
M a M ' ⇔  uuur

IM = − IM '
S
:


d
Ký hiệu:

Như vậy nếu M’ là ảnh của M qua
M

I

phép đối xứng trục d thì M cũng là

M'

ảnh của M’ qua phép đối xứng trục

d

d. Đồng thời mọi điểm M thuộc
trục đối xứng đều có ảnh là chính
Hình 1.4. Phép đối xứng trục

nó.

20

1.1.3.2.2. Tính chất
a. Định lý: Phép đối xứng trục là một phép dời hình.
- Chứng minh: Thật vậy, giả sử A’, B’ là ảnh của A, B qua phép đối xứng
trục d. Trên hình vẽ bên, dễ thấy

∆

∆

ABI =

A’B’I (vì có hai cặp cạnh bằng

nhau xen giữa là hai góc bằng nhau). Do đó AB = A’B’, chứng tỏ rằng phép
đối xứng trục là phép dời hình.

d

A

B

J

A'

B'

Hình 1.5. Phép dời

hình

b) Hệ quả: Phép đối xứng trục có mọi tính chất của phép dời hình.
+ Phép đối xứng trục:
Biến đường thẳng a thành đường thẳng
Biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng

a'

.

A ' B'

sao cho:

A 'B' = AB

Biến tia Ox thành tia O’x’
Biến góc thành góc bằng nó
Biến

∆ABC

∆A 'B'C' : ∆ABC = ∆A 'B'C.
thành

Biến đường tròn

( O;R )

thành đường tròn

c. Ảnh của đường thẳng và đường tròn qua phép đối xứng trục
1) Đường thẳng a có ảnh là đường thẳng a’ qua phép đối xứng trục d.


Trong trường hợp a//d thì a’//d và d là đường thẳng song song cách đều a
và a’. Nếu a cắt d tại A thì a’ đi qua A và tạo với d một góc bằng góc giữa a và
d.

M'

I

M

a'

d

a

A

a

d

a'

Hình 1.6. Ảnh Qua phép đối xứng trục
2) Vì phép đối xứng trục d là phép dời hình nên ảnh của đường tròn tâm
O bán kính R là đường tròn tâm O’ bán kính R, trong đó O’ là ảnh của O qua
phép đối xứng trục. Vì mọi điểm nằm trên trục biến thành chính nó nên nếu
tâm O của đường tròn nằm trên d thì đường tròn tâm O bán kính R có ảnh là
chính nó qua phép đối xứng trục d.
d

d

O

I

O'

Hình1.7. Phép dời hình
1.1.3.3 Phép đối xứng tâm
1.1.3.3.1. Định nghĩa:

O


Cho một điểm I. Phép đối xứng tâm I là phép biến hình của mặt phẳng
sao cho với mỗi điểm M và ảnh M’ của nó, ta có I là trung điểm của đoạn
thẳng MM'.
Ký hiệu:

SI

uuuu
r
uuur
M a M ' ⇔ IM ' = − IM

{

:

M

M'

I

B'
A

I

B

A'

Hình 1.8. Phép đối xứng tâm
Như vậy nếu M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I thì M cũng là ảnh
của M’. Đồng thời khi điểm M trùng với tâm I thì ảnh M’ cũng trùng với I.
1.1.3.3.2. Tính chất
a. Định lý: Phép đối xứng tâm là một phép dời hình.
- Chứng minh: Thực vậy, giả sử A’, B’ là ảnh của A, B qua phép đối xứng

tâm I. Trên hình vẽ bên, dễ thấy ∆ ABI = ∆ A’B’I vì có IA = IA’, IB = IB’ và
·AIB = ·A ' IB '
. Do đó AB = A’B’, chứng tỏ rằng phép đối xứng tâm là phép dời

hình.
b. Hệ quả: Phép đối xứng tâm có mọi tính chất của phép dời hình.
+ Biến đường thẳng thành đường thẳng cùng phương, ngược chiều.
+ Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, cùng phương, ngược chiều
với nó.
+ Biến tia thành tia cùng phương, ngược chiều.
+ Phép đối xứng tâm O biến tâm O thành chính nó.


+ Biến đường tròn (O,R) thành đường tròn (

O' , R

).

c. Ảnh của đường thẳng và đường tròn qua phép đối xứng tâm.
1)Đường thẳng a có ảnh là đường thẳng a’ qua phép đối xứng tâm I.
Trong trường hợp a không thuộc I thì a’// a. Nếu a thuộc I thì a’ sẽ trùng với a.
N

a'
M'
I

I

M

N'

a
a'

a

Hình 1.9. Ảnh qua phép đối xứng tâm
2) Vì phép đối xứng tâm I là phép dời hình nên ảnh của đường tròn tâm O bán
kính R là đường tròn tâm O’ bán kính R, trong đó O’ là ảnh của O qua phép
đối xứng tâm I. Vì tâm O là trung điểm của mọi đường kính của đường tròn
nên khi O trùng với I thì đường tròn tâm O bán kính R có ảnh là chính nó qua
phép đối xứng tâm I.
N'

M

O

I

N

O'

M'

Hình 1.10. Phép dời hình của đối phép xứng tâm

1.1.3.4. Phép tịnh tiến
1.1.3.4.1. Định nghĩa:
r

Phép tịnh tiến theo vectơ v là một phép biến hình sao cho với mỗi điểm
uuuuur

r

M và ảnh M’ của nó ta có: MM ' = v .


Ký hiệu:

uuuuur r
Tvr : M a M ' ⇔ MM ' = v

r
v

M

M'
Hình 1.11. Phép tịnh tiến

1.1.3.4.2. Tính chất
a. Định lý: Phép tính tiến là một phép dời hình.
- Chứng minh: Thật vậy, nếu A’ =
uuuu
r r

Tvr

(A), B’ =

Tvr

(B) thì theo định nghĩa

uuuu
r uuuu
r

uuuu
r r

của phép tịnh tiến ta có: AA ' = v và BB ' = v . Do đó AA ' = BB ' nên AA’B’B là
hình bình hành. Do đó AB = A’B’. Chứng tỏ rằng

B

A

Tvr

là phép dời hình.

B'

r

v

Hình 1.12. Phép dời

A'
hình của phép tịnh tiến

Hệ quả: Phép tịnh tiến có mọi tính chất của phép dời hình. Phép tịnh tiến
theo vectơ

r
v

:

+ Biến đường thẳng thành đường thẳng cùng hướng.
+ Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng và cùng hướng với nó.
+ Biến tia thành tia cùng hướng với nó.