Bộ đề HSG Toán lớp 6 có đáp án (free download)

THI CHN HC SINH GII CP HUYN -Mụn: Toỏn 6
Bài 1 (4 điểm): Tính giá trị của các biểu thức sau:
1) A = - 1 - 2 + 3 + 4 - 5 - 6 + 7 + 8 - 9 - 10 + 11 + 12 - ... - 2013 - 2014 + 2015 + 2016

1
1ữ :
2

1 1
1
1
1

1ữ
1 ữ : 1 ữ : ... : 1 ữ : 1ữ :
4 5
98 99 100
Bài 2 ( 4 điểm): 1) Cho C = 4 + 4 2 + 43 + 44 + 45 + 46 + ... + 42014 + 42015 + 42016
2) B =

1
1ữ :
3

Chứng minh rằng C chia ht 21 v C chia ht 105
2) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên khác 0, có số lợng các ớc t nhiờn là một số
lẻ thì số tự nhiên đó là một số chính phơng.
Bài 3 ( 4 điểm):1) Tìm số d trong phép chia khi chia một số tự nhiên cho 91.
Biết rằng nếu lấy số tự nhiên đó chia cho 7 thì đợc d là 5 và chia cho 13 thì đợc d là 4.

x

1
+1=
5
y-1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
Bài 4 (2 điểm): Cho E =
và
1.101 2.102 3.103
10.110
1
1
1
1
E
F=
+
+
+ ... +
Tính tỉ số:
1.11 2.12 3.13
100.110
F
2) Tìm các cặp số nguyên (x, y) biết:

ã
Bài 5 ( 4 điểm): Cho tam giác ABC có BAC
= 1200 . Điểm E nằm giữa B và C sao
ã
ã
cho BAE
= 300 . Trên mặt phẳng có bờ AC chứa điểm B kẻ tia Ax sao cho CAx
= 300
, tia Ax cắt BC ở F.
ã
a) Chứng minh F nằm giữa E và C. Tính số đo của EAF
.
ã
b) Gọi AI là tia phân giác của BAC
. Chứng minh AI cũng là tia phân giác của
ã
.
EAF
Bài 6 (2 điểm): Cho biểu thức: D =

( 2!)
12

2

+

( 2!)

2

32
So sánh D với 6. Biết n! = 1.2.3.....n; n N

+

( 2!)
52

2

+

( 2!)
72

2

+ ... +

( 2!)

2

20152

II
Bi 1: (1,0im) Thc hin phộp tớnh (tớnh hp lý nu cú th)
a/ 1968: 16 + 5136: 16 -704: 16
b/ 23. 53 - 3 {400 -[ 673 - 23. (78: 76 +70)]}

Bi 2: (1,0im) M cú l mt s chớnh phng khụng nu: M = 1 + 3 + 5 ++ (2n-1) (Vi n N , n
0)
Bi 3:(1,5im) Chng t rng: a/ (3100+19990) M2 b / Tng ca 4 s t nhiờn liờn tip khụng chia ht
cho 4
Bi 4: (1,0im) So sỏnh A v B bit:

A=

Bi 5: (2,0im) Tớm tt c cỏc s nguyờn n :
b) Phõn s

12n + 1
l phõn s ti gin
30n + 2

1718 + 1
,
1719 + 1

1717 + 1
1718 + 1
n +1
a) Phõn s
cú giỏ tr l mt s nguyờn
n2

B=

Bi 6: (2,5im) Cho gúc xBy = 550.Trờn cỏc tia Bx, By ln lt ly cỏc im A, C (A B, C B). Trờn
on thng AC ly im D sao cho gúc ABD = 300

a/ Tớnh di AC, bit AD = 4cm, CD = 3cm
b/ Tớnh s o gúc DBC
0
c/ T B v tia Bz sao cho gúc DBz = 90 . Tớnh s o ABz.
Bi 7: (1,0im) Tỡm cỏc cp s t nhiờn x , y sao cho: (2x + 1)(y 5) = 12
1 + 3 + 5 + ... + 19
IIIBi 1: (4,0 im) 1) Tớnh giỏ tr biu thc: A =
21 + 23 + 25 + ... + 39
1


x x +1 x + 2
1000...0
: 218
2) Tìm số tự nhiên x, biết: 5 .5 .5 =
18 chữ1số2
0 3

Bài 2: (4,0 điểm) 1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) = 1
2) Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 2p + 1 cũng là số nguyên tố thì 4p + 1 là hợp
số?
Bài 3: (4,0 điểm) 1) Chứng minh rằng số viết bởi 27 chữ số giống nhau thì chia hết cho 27.
2) Tìm số tự nhiên n có 4 chữ số biết rằng n là số chính phương và n là bội của 147.
Bài 4: (6,0 điểm) 1) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA vẽ các tia OB, OC sao cho
·
·
·
·
. a) Tính AOM
.

AOB
= 1200 , AOC
= 800 . Gọi OM là tia phân giác của BOC
·
b) Vẽ tia ON là tia đối của tia OM. Chứng minh rằng OA là tia phân giác của CON
.
·
·
2) Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia Ox 1, Ox2, Ox3,..., Oxn sao cho: xOx
2 = 2xOx1 ;
· 3 = 3xOx
·
·
·
·
·
xOx
1 ; xOx 4 = 4xOx 1 ; ...; xOx n = nxOx1 . Tìm số n nhỏ nhất để trong các tia đã vẽ có một tia là

tia phân giác chung của 2017 góc.
Bài 5: (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau đều tối giản.
7
8
9
100
;
;
;...;
n + 9 n + 10 n + 11
n + 102

ĐỀ IV
Câu 1. a. So sánh 22013 và 31344

b.

Tính A =

1
1
1
1
+
+
+ ... +
4.9 9.14 14.19
64.69

Câu 2. a. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng số đó khi chia cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 đều dư là 2, còn chia cho
7 thì dư 3.
b. Tìm hai số tự nhiên biết tổng ƯCLL và BCNN của chúng bằng 23
c. Tìm số tự nhiên x; y biết 32 x1 y chia hết cho 45
Câu 3. a. Tìm x ∈ N biết: 2 + 4 + 6 + … + 2x = 156
c. Tìm số tự nhiên n để phân số M =

b. Tìm số nguyên n để P =

−n + 2
là số nguyên
n −1

6n − 3
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
4n − 6

Câu 4. Cho đường thẳng xy. Trên xy lấy 3 điểm A; B; C sao cho AB = a cm; AC = b cm (b > a). Gọi I là trung
điểm của AB. a,Tính IC ?
b. Lấy 4 điểm M; N; P; Q nằm ngoài đường thẳng xy. Chứng tỏ rằng đường thẳng xy hoặc không cắt, hoặc cắt
ba, hoặc cắt bốn đoạn thẳng trong các đoạn thẳng sau: MN, MP, MQ, NP, NQ, PQ.
ĐỀ V
12 12 12
5
5
5 

12 − 7 − 289 − 85 5 + 13 + 169 + 91  158158158
:
.
Câu 1. (4 điểm)a) Thực hiện phép tính: A = 81. 
4
4
4
6
6
6  711711711
 4− −
−
6+ +
+ 
7 289 85
13 169 91 


2
1 1
1 x 1 x+1 1 7 1 8
.2 + .2 = .2 + .2
b) Tìm x biết: 1) - ( x − ) = (2 x − 1)
2)
3
4 3
5
3
5
3

c. T×m hai sè tù nhiªn a vµ b biÕt tæng BCNN vµ ¦CLN cña chóng lµ 15
d. Tìm x nguyên thỏa mãn: x + 1 + x − 2 + x + 7 = 5 x − 10
Câu 2. (4 điểm) a. Thực hiện phép tính:

5.(22.32 )9 .(22 )6 − 2.(2 2.3)14 .34
A=
5.228.318 − 7.229.318

b. Tìm các số nguyên n sao cho: n2 + 5n + 9 là bội của n + 3
c. Chứng minh rằng bình phương của một số nguyên tố khác 2 và 3 khi chia cho 12 đều dư 1
d. Tìm x, y nguyên sao cho: xy + 2x + y + 11 = 0
Câu 3. (4 điểm)
a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1và chia cho 19 dư 11.
6
9
9

2
số thứ nhất bằng số thứ 2 và
số thứ 2 bằng số thứ 3.
7
11
11
3
a 15 b 9 c 9
c. Tìm số tự nhiên a, b, c, d nhỏ nhất sao cho: = ; = ; =
b 21 c 12 d 11
2

b) Tìm 3 số có tổng bằng 210, biết rằng


d. Tỡm hai s bit t s ca chỳng bng 5 : 8 v tớch ca chỳng bng 360.
Cõu 4. (5 im)1. a) Cho on thng AB di 7cm. Trờn tia AB ly im I sao cho AI = 4 cm. Trờn tia
BA ly im K sao cho BK = 2 cm. Hóy chng t rng I nm gia A v K. Tớnh IK.
b) Trờn tia Ox cho 4 im A, B, C, D. bit rng A nm gia B v C; B nm gia C v D ; OA = 5cm;
OD = 2 cm ; BC = 4 cm v di AC gp ụi di BD. Tỡm di cỏc on BD; AC.
2. Trên nữa mặt phẳng cho trớc có bờ Ox vẽ hai tia Oy và Oz sao cho số đo xOy
= 700 và số đo yOz = 300.
a) Xác định số đo của xOz
b) Trên tia Ox lấy 2 điểm A và B (Điểm A không trùng với điểm O và độ dài OB lớn
hơn độ dài OA).
Gọi M là trung điểm của OA. Hãy so sánh độ dài MB với trung bình cộng độ
dài OB và AB.
Cõu 5. ( 3 im) a, Chng minh rng: 32 + 33+ 34 ++ 3101 chia ht cho 120.
b. Cho hai s a v b tha món: a b = 2(a + b) =

a
b

Chng minh a = -3b ; Tớnh

a
; Tỡm a v b
b

c. Tỡm x, y, z bit: ( x y2 + z)2 + ( y 2)2 + ( z +3)2 = 0
VII
ổ 5 ử 11 ổ1 ử
2
2
2
2
+
+
+... +
; B =ỗ
ỗ- ữ
ữì ìỗ
ỗ +1ữ
ữ
11.15 15.19 19.23
51.55
ố 3 ứ 2 ố3 ứ
Tớnh tớch: A.B .
b. Chng t rng cỏc s t nhiờn cú dng: abcabc chia ht cho ớt nht 3 s nguyờn t.

Cõu 1.

a. Cho A =

Cõu 2. Khụng tớnh giỏ tr ca cỏc biu thc. Hóy so sỏnh:
a.

1717
1313
v
;
8585
5151

b. 98 . 516 v 1920
2n - 7
cú giỏ tr l s nguyờn.
n- 5

Cõu 3. a. Tỡm x bit: x - 3 =2 x +4 b. Tỡm s nguyờn n phõn s M =

c. Tỡm s t nhiờn a nh nht sao cho: a chia cho 5 thỡ d 3, a chia cho 7 thỡ d 4.
Cõu 4. Cho gúc bt xOy, trờn tia Ox ly im A sao cho OA = 2 cm; trờn tia Oy ly hai im M v B
sao cho OM = 1 cm; OB = 4 cm.
a. Chng t: im M nm gia hai im O v B; im M l trung im ca on thng AB.
ả =1300 ; zOy
ã
ả .
b. T O k hai tia Ot v Oz sao cho tOy
=300 . Tớnh s o tOz

3


Bµi
Bµi 1
(4
®iÓm
)

ý

§iÓm
A = - 1 - 2 + 3 + 4 - 5 - 6 + 7 + 8 - 9 - 10 + 11 + 12 - ..... - 2013 - 2014 + 2015 + 2016 2,0
®iÓ
m
A = (- 1 - 2 + 3 + 4)+(- 5 - 6 + 7 + 8)+(- 9 - 10 + 11 + 12)+ ..... +(-2013 - 2014 + 2015 + 2016) 0,5
1 Ta cã tæng A cã 2016 sè h¹ng nªn cã 2016 : 4 = 504 nhãm 0,25
A = 4 + 4 + 4 + ….. + 4 (tæng cã 504 sè 4)
0,5
A = 4. 504
0,25
A = 2016
0,5
VËy A = 2016
2,0
1  1  1  1 
 1
  1
  1


B =  − 1÷ :  − 1 ÷ :  − 1 ÷ :  − 1÷ : ..... :  − 1÷ :  − 1 ÷ : 
− 1÷
®iÓ
2  3  4  5 
 98   99   100 
m
0,5
 1  2  3  4
 97   98   99 

2

Néi dung

B = − ÷ :
 2
 1
B = − ÷ .
 2

− ÷ :
 3
 3
− ÷ .
 2

− ÷ :
 4
 4

− ÷ .
 3

 − ÷ : ..... :  − ÷ :  − ÷ :  −
÷
 5
 98   99   100 
 5
 98   99   100 
 − ÷ . ..... .  − ÷ .  − ÷ .  −
÷
 4
 97   98   99 

Ta thÊy tÝch B cã 99 thõa sè ©m nªn tÝch mang dÊu ©m
1.3.4.5.6.....98.99.100
B=2.2.3.4.5.....97.98.99
100
B=2.2

Bµi 2
(4®i
Óm)

B = - 25
VËy B = - 25
1 Cho C = 4 + 42 + 43 + 44 + 45 + 46 + ..... + 42014 + 42015 + 42016
Chøng minh r»ng C M21 và C M105
Chøng minh C M21
Ta cã:

0,5
0,5

0,5
2,0
®iÓ
m
0,75

C = 4 + 42 + 43 + 4 4 + 45 + 46 + ..... + 4 2014 + 4 2015 + 4 2016

C = ( 4 + 4 2 + 43 ) + ( 4 4 + 45 + 46 ) +.....+ ( 4 2014 + 4 2015 + 4 2016 )
C = 4.( 1 + 4 + 4 2 ) + 44 . ( 1 + 4 + 4 2 ) + ..... + 4 2014. ( 1 + 4 + 4 2 )
C = 4.21 + 4 4 .21 + ..... + 4 2014 .21
C = 21.( 4 + 4 4 + ..... + 4 2014 )
Do ®ã: C M21
Chøng minh C M105
Chøng minh C M5

4

0,25
0,25
0,25
1,25
®iÓ
m
0,75

C = 4 + 4 2 + 43 + 4 4 + 45 + 46 + ..... + 4 2014 + 4 2015 + 4 2016

C = ( 4 + 4 2 ) + ( 43 + 44 ) + ( 45 + 46 ) + ..... + ( 4 2013 + 4 2014 ) + ( 4 2015 + 4 2016 )
C = 4.( 1 + 4 ) + 43. ( 1 + 4 ) + 45. ( 1 + 4 ) + ..... + 4 2013. ( 1 + 4 ) + 4 2015. ( 1 + 4 )
C = 5.( 4 + 43 + 45 + ..... + 4 2013 + 4 2015 )

Do đó: C M5
Ta có C M5 và C M21 mà (5 ; 21 ) = 1
Do đó C M5.21 hay C M105
2 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên khác 0, có số lợng các ớc là một số lẻ thì số tự nhiên đó là một số chính phơng.
Gọi số tự nhiên đó là P (P ạ 0)
Nếu P = 1 ta có 1 = 12 ị P là số chính phơng
Nếu P > 1. Phân tích P ra thừa số nguyên tố ta có P =
x

y

a .b .....c

Nên P = a 2.m .b 2.n .....c 2.t = ( a m .b n .....c t )

0,5
2,0
điể
m
0,5
0,25

1 Tìm số d trong phép chia khi chia một số tự nhiên cho 91.

Biết rằng nếu lấy số tự nhiên đó chia cho 7 thì đợc d là 5
và chia cho 13 thì đợc d là 4.
Gọi số tự nhiên đó là a
Theo bài ra ta có: a = 7.p + 5 và a = 13.q + 4 (với p, q ẻ N
)
Suy ra: a + 9 = 7.p + 14 = 7.(p + 2) M7
a + 9 = 13.q + 13 = 13.(q + 1) M13
Ta có a + 9 M7 và a+ 9 M13 mà (7 ; 13) = 1
Do đó a + 9 M7. 13 hay a + 9 M91
Vậy a + 9 = 91.k (với k ẻ N )
ị a = 91.k 9 = 91.k 91 + 82 = 91.(k-1) + 82
Nên a chia cho 91 có số d là 82.
2
x
1
+1=
Tìm các cặp số nguyên (x; y) biết:

5

y -1

x
1
x +5
1
+1=
=

( x + 5) .( y - 1) = 5.1

5
y -1
5
y- 1
( x + 5) .( y - 1) = 5.1 = 1.5 = - 5 . (-1) = - 1 . (-5)

Ta có:

1
5

0,25
0,25
0,25

Vậy chứng tỏ với mọi số tự nhiên khác 0, có số lợng các ớc là
một số lẻ thì số tự nhiên đó là một số chính phơng.

Nên ta có bảng sau
x+5
5
y-1
1

0,25

2

ị P là số chính phơng

5

0,25
0,25

z

(với a, b, ... , c là các số nguyên tố)
Khi đó số lợng các ớc của P là (x + 1).(y + 1).....(z + 1)
Theo bài ra (x + 1).(y + 1).....(z + 1) là số lẻ
ị x + 1 , y + 1 , ... , z + 1 đều là các số lẻ
ị x, y , ... , z đều là các số chẵn
Do đó x = 2.m ; y = 2.n ; ... ; z = 2.t

Bài 3
(4đi
ểm)

0,25

-5
-1

-1
-5

0,25
2,0
điể
m

0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
2,0
điể
m
0,5
0,25
0,75


x
0
-4
-10
-6
y
2
6
0
-4
Vậy các cặp số nguyên (x;y) là: (0;2) ; (- 4; 6) ; (- 10; 0) ;
(- 6;- 4)
Bài 4
2
điểm

1

1
1
1
+
+
+ ..... +
và
1.101 2.102 3.103
10.110
1
1
1
1
F= +
+ + ..... +
1.11 2.12 3.13
100.110
E
Tính tỉ số:
F
Cho E =

1 Ta có

1
1
1
1
+
+

+ ..... +
1.101 2.102 3.103
10.110
ử
1 ổ
100
100
100
100 ữ
E=
.ỗ
+
+
+ ..... +
ữ
ỗ
ố1.101 2.102 3.103
ứ
100 ỗ
10.110 ữ
1 ổ
1
1
1
1 1
1
1 ử
ữ
E=
.ỗ

1+ + + ..... + ữ
ỗ
ữ
ố 101 2 102 3 103
100 ỗ
10 110 ứ
ự
ổ1
1 ộổ
1 1
1ử
1
1
1 ử
ữ
ữ
ỗ
ỳ
E=
. ờỗ
1
+
+
+
.....
+
+
+
+
.....

+
ữ
ữ
ỗ
ữ ỗ
ữỳ
ỗ
ỗ
ố
ứ
ố
ứ
100 ờ
2
3
10
101
102
103
110
ở
ỷ
1
1
1
1
F=
+
+
+ ..... +

1.11 2.12 3.13
100.110
1 ổ10
10
10
10 ử
ữ
F = .ỗ
+
+
+
.....
+
ữ
ỗ
ữ
ố1.11 2.12 3.13
10 ỗ
100.110 ứ
1 ổ 1 1 1 1 1
1
1 ử
ữ
F = .ỗ
1+ + + ..... +
ữ
ỗ
ữ
ỗ
10 ố 11 2 12 3 13

100 110 ứ
ự
ổ1
1 ộổ 1 1
1 ử
1
1
1 ử
ữ
ữ
ỗ
ỳ
F = . ờỗ
1 + + + ..... +
+
+
+
.....
+
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ ố
ữ
ỗ
ỗ11 12 13
ỳ
ố
ứ

ứ
10 ờ
2
3
100
110
ở
ỷ

0,5
2,0
điể
m

0,75

E=

F=

1 ộổ
1 1
1ử
. ờỗ
1 + + + ..... + ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố

ứ
10 ờ
2
3
10
ở

ự
ổ1
1
1
1 ử
ữ
ỗ
ỳ
+
+
+ ..... +
ữ
ỗ
ữ
ỗ101 102 103
ỳ
ố
110 ứ
ỷ

2 Ta có

1

E 100
1 10 1
=
=
. =
1
F
100 1 10
10
E
1
=
Vậy tỉ số
F 10
Bài 5
4
điểm

6

0,75

Cho tam giác ABC có góc BAC = 1200 . Điểm E nằm giữa B
và C sao cho góc BAE = 300 . Trên mặt phẳng có bờ AC
chứa điểm B kẻ tia Ax sao cho góc CAx = 300, tia Ax cắt
BC ở F.
a) Chứng minh F nằm giữa E và C. Tính số đo của
góc EAF.
c) Gọi AI là tia phân giác của góc BAC. Chứng minh
AI cũng là tia phân giác của góc EAF.

0,5


C

x
F
I
E

300
300

B

A

1

2,0
điể
m
Theo bài ra ta có điểm E nằm giữa hai điểm B và C
Nên tia AE nằm giữa hai tia AB và AC
Ta có: góc BAE + góc EAC = góc BAC
ị 300 + góc EAC = 1200
ị góc EAC = 1200 300 = 900
Xét nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B
Ta có: góc CAF = 300

góc CAE = 900
ị góc CAF < góc CAE (vì 300 < 900)
Do đó tia AF nằm giữa hai tia AC và AE
Vậy điểm F nằm giữa hai điểm C và E
ị góc CAF + góc FAE = góc CAE
ị 300 + góc FAE = 900
ị góc FAE = 600

0,75

0,5
0,25
0,5
2,0
điể
m

2
Ta có: AI là tia phân giác của góc BAC

gúcBAC
1200
Nên góc BAI = góc CAI =
=
= 600
2
2

0,5

*) Xét nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B
Có góc CAF < góc CAI (vì 300 < 600)
Suy ra tia AF nằm giữa hai tia AC và AI
ị góc CAF + góc FAI = góc CAI
ị 300 + góc FAI = 600
ị góc FAI = 300
*) Xét nửa mặt phẳng bờ AF có chứa điểm B
Ta có: góc FAE = 600 và góc FAI = 300
ị góc FAI < góc FAE (vì 300 < 600)
ị Tia AI nằm giữa hai tia AF và AE

0,5

0,5

1
600
0
Hơn nữa góc FAI = góc FAE (vì 30 =
)
2
2

0,5

Do đó AI là phân giác của góc FAE.
Bài 6
2
điểm

Cho biểu thức D =

12

2

+

( 2!)
32

2

+

( 2!)
52

2

+

( 2!)
72

2

+ ..... +

So sánh D với 6. Biết n! = 1.2.3..n

Ta có

7

( 2!)

( 2!)

2

20152

2,0
điể
m


D=

( 2!)

2

( 2!)

2

( 2!)

2

( 2!)

2

( 2!)

2

+ 2 + 2 + 2 + ..... +
12
3
5
7
20152
22
22
22
22
22
D = 2 + 2 + 2 + 2 + ..... +
1
3
5
7
20152
æ2
2
2
2 ö

÷
D = 4 + 2.ç
+
+
+
.....
+
÷
ç
÷
ç
è32
52
72
20152 ø
2
2
2
1
<
=1Ta thÊy 2 =
3
3.3 1.3
3
2
2
2
1 1
=
<

= 2
5
5.5 3.5 3 5
2
2
2
1 1
=
<
= 2
7
7.7 5.7 5 7
…………………………………

0,5

0,5

2
2
2
1
1
=
<
=
2
2015
2015.2015 2013.2015 2013 2015
Do ®ã

æ
ö
1 1 1 1 1 1
1
1 ÷
D < 4 + 2.ç
- + - + - + ..... +
÷
ç
ç
è1 3 3 5 5 7
ø
2013 2015 ÷
æ
ö
1 ÷
D < 4 + 2.ç
1÷
ç
ç
è 2015 ÷
ø
2
D <4 +2<6
2015

0,5

0,5

VËy D < 6
ĐỀ II Bài 1: (1,0 điểm)
Ý/Phần
a
= 16(123+ 321 - 44):16
= 400
b
=8.125-3.{400-[673-8.50]}
= 1000-3.{400-273}
=619
Bài 2: (1,0 điểm)
Ý/Phần

Đáp án

0,25
Đáp án

M = 1 + 3 + 5 +…+ (2n-1) (Với n ∈ N , n ≠ 0)
Tính số số hạng = (2n-1-1): 2 + 1 = n
Tính tổng = (2n-1+1) n: 2 = 2n2: 2 = n 2
KL: M là số chính phương
Bài 3: (1,5 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
a
Ta có:
3100 = 3.3.3….3 (có 100 thừa số 3)
= (34)25 = 8125 có chữ số tận cùng bằng 1

19990 = 19.19…19 (có 990 thứa số 19)
= (192)495 = 361495 (có chữ số tận cùng bằng 1
Vậy 3100+19990 có chữ số tận cùng bằng 2 nên tổng này chia hết cho 2
8

Điểm
0,25
0,25
0,25

Điểm
0,5
0,5đ

Điểm
0,25
0,25


0,5
0,25

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là: a; (a +1);(a + 2);(a + 3); (a ∈ N )
b

Ta có: a + (a+1) + (a+2) + (a+3) = 4a + 6
Vì 4a M4; 6 không chia hết 4 nên 4a+ 6 không chia hết 4
Bài 4: (1,0 điểm)
Ý/Phần
Đáp án

Vì A =

(
(

0,25

17 + 1
17 + 1 17 + 1 + 16 17 17 + 1
< 1 ⇒ A= 19
<
=
18
19
17 + 1
17 + 1 1719 + 1 + 16 17 17 + 1
18

18

18

17

)
) =

1717 + 1
=B
1718 + 1

Vậy A < B
Bài 5: (2,0 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
n +1
a
là số nguyên khi (n+1) (n-2)
n−2

Ta có (n+1) = [ (n − 2) + 3]
Vậy (n+1) (n-2) khi 3 (n-2)
(n-2) ∈ Ư(3) = { −3; −1;1;3}

=> n ∈ { −1;1;3;5}

Điểm
0,75
0,25

Điểm
0.5

0,5

Gọi d là ƯC của 12n+1 và 30n+2 (d ∈ N*) ⇒ 12n + 1d ,30n + 2d
0,25
*
b
[ 5(12n + 1) − 2(30n + 2) ] d ⇔ (60n+5-60n-4) d ⇔ 1  d mà d∈ N ⇒ d = 1 0,5đ

Vậy phân số đã cho tối giản
0,25
Bài 6: (2,5 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
Vẽ hình đúng
TH1
TH2
a

0,25

b

c

9

Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm giữa A và C:
AC= AD + CD = 4+3 = 7 cm
Chứng minh được tia BD nằm giữa hai tia BA và BC
Ta có đẳng thức: ABC = ABD + DBC DBC = ABC - ABD
=550 – 300 = 250
Xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: Tia Bz và tia BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là
AB nên tia BA nằm giữa hai tiaBz và BD
Tính được ABz = 900 - ABD = 900- 300 = 600
- Trường hợp 2:Tia Bz và tia BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB
nên tia BD nằm giữa hai tia Bz và BA

0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25


Tính được ABz = 900 + ABD = 900 + 300 = 1200
Bài 7: (1,0 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
(2x+ 1); (y - 5) là các ước của 12
Ư(12) = {1;2;3;4;6;12 }
Vì 2x + 1 là lẻ nên:
2x + 1= 1 ⇒ x=0 , y =17
2x + 1= 3 ⇒ x=1 , y=9
Vậy với x = 0 thì y = 17; Với x = 1 thì y = 9
ĐỀ III

0,25
Điểm
0,25
0,25
0,25
0,25

ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM

Bài 1 (4,0 điểm)
1) Tính giá trị biểu thức: A =

1 + 3 + 5 + ... + 19
.
21 + 23 + 25 + ... + 39

x x +1 x + 2
18
123 :2 .
2) Tìm số tự nhiên x, biết: 5 .5 .5 = 1000...0
18c/sô0

Câu

Nội dung
Ta có :

1 + 3 + 5 + ... + 19 = (1 + 19) + (3 + 17) + (5 + 15) + (7 + 13) + (9 + 11)
= 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 100
21 + 23 + 25 + ... + 39 = (21 + 39) + (23 + 37) + (25 + 35) + (27 + 33) + (29 + 31)
a)
= 60 + 60 + 60 + 60 + 60 = 300
2.0đ
100
Suy ra A =
300
1
Rút gọn A =

3
x x +1 x + 2
18
5 .5 .5 = 1000...0
123 :2

Điểm
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ

18c/sô0

5

x + x +1+ x + 2

= 10 : 218
18

18
b)
1018  10 10 10 
3x + 3
2.0đ 5 = 18 =  . ... ÷ = 518

2
 2 2
Suy ra: 3x + 3 = 18

2

0.5đ
0.5đ

0.5đ
Giải ra x = 5
0.5đ
Bài 2: (4,0 điểm) 1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) = 1
2) Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 2p + 1 cũng là số nguyên tố thì 4p + 1 là hợp
số?
Câu
Nội dung
Điểm
Gọi d là ƯCLN (21n + 4; 14n + 3)
0.5đ
Suy ra: 21n + 4Md và 14n + 3Md
⇒ 2.(21n + 4) Md và 3.(14n + 3) Md
0.5đ
a)
⇒ 3.(14n + 3) − 2.(21n + 4) Md
0.5đ
2.0đ
⇒ 1Md
⇒ d =1

b)
2.0đ

10

Vậy ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) = 1
+ Vì p là số nguyên tố, p > 3
⇒ 4p không chia hết cho 3
Ta có 4p + 2 = 2 (2p + 1)
Theo bài ra p > 3 ⇒ 2p + 1> 7 và là số nguyên tố ⇒ 2p + 1 không chia hết
cho 3. Suy ra 4p + 2 không chia hết cho 3
Mà 4p; 4p + 1; 4p + 2 là ba số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại một số chia

0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ


hết cho 3 do đó 4p + 1 chia hết cho 3.
Vì 4p + 1 > 13 nên 4p + 1 là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước.
Suy ra 4p + 1 là hợp số.
Bài 3 (4,0 điểm)
1) Chứng minh rằng số viết được với 27 chữ số giống nhau thì chia hết cho 27.
2) Tìm số tự nhiên n có 4 chữ số biết rằng n là số chính phương và n là bội của 147.
Câu
Nội dung
Trước hết ta chứng minh số gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27

a)
2.0đ

Điểm

{
14 2 43 = 11...1x1000...01000...01
123 123
Thật vậy: 111...11
9c/sô 1
27c/sô 1
8c/sô 0
8c/sô 0

0.5đ

{ M9 và 1000...01000...01
1 2 3 1 2 3 M3
Mà 11...1
9c/sô 1
8c/sô 0
8c/sô 0

0.5đ

⇒ 111...1
1 2 3 M27

0.5đ

27c/sô1

12 3 nên
Từ đó suy ra nếu một số viết bởi 27 chữ số a thì số đó bằng a. 111...1

27c/sô1

số đó chia hết cho 27.
Vì n là số tự nhiên có 4 chữ số nên 1000 ≤ n ≤ 9999
Theo bài ra n là bội của 147 nên n = 147.k = 72.3k
Do n là số chính phương nên khi phân tích ra thừa số nguyên tố thì lũy thừa các
thừa số nguyên tố phải có số mũ chẵn suy ra
b)
2.0đ

0.5đ

kM
3 ⇒ k = 3m ⇒ n = 7 2.32.m = 441m
⇒ 1000 ≤ 441m ≤ 9999
⇒ 2 < m < 22

0.5đ

0.5đ

0.5đ

Để n là số chính phương thì m là số chính phương ⇒ m = 4;9;16
0.5đ
Suy ra các số tự nhiên cần tìm là: 1764; 3969; 7056.
0.5đ
Bài 4: (6,0 điểm)
1) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA vẽ các tia OB,OC sao cho
·AOB = 1200 , AOC

·
·
.
= 800 . Gọi OM là tia phân giác của BOC
·
a) Tính AOM
.
·
b) Vẽ tia ON là tia đối của tia OM. Chứng minh rằng OA là tia phân giác của CON
.
·
·
2) Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia Ox 1, Ox2, Ox3,..., Oxn sao cho: xOx
2 = 2xOx1 ;
· 3 = 3xOx
·
·
·
·
·
xOx
1 ; xOx 4 = 4xOx 1 ; ...; xOx n = nxOx1 . Tìm số n nhỏ nhất để trong các tia đã vẽ có một tia là

tia phân giác chung của 2017 góc.
Câu

Nội dung

B

Vẽ
hình

M

C

0.5đ

ˆˆ
O

A

N
11

Điểm


·
·
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA có AOC
(800 < 1200)
< AOB
Þ Tia OC nằm giữa hai tia OA và OB

a)
2.0đ

·
·
·
·
·
Þ AOC
+ BOC
= AOB
⇒ 80 + BOC
= 120 ⇒ BOC
= 40
0

0

·

BOC 40
·
·
·
Vì OM là tia phân giác của BOC
⇒ BOM
= COM
=
=
= 200

0.5đ

(200< 1200) nên tia OM nằm giữa hai tia OA và OB

0.5đ

2
2
·
·
Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OB có BOM < BOA

·
·
·
⇒ BOM
+ MOA
= AOB
·
·
200 + MOA
= 1200 ⇒ MOA
= 1000

0.5đ

·
·
Vì OM và ON là hai tia đối nhau nên hai góc AOM
và AON
là hai góc kề
bù.

b)
2.5đ

c)
1.0đ

·
·
⇒ AOM
+ AON
= 1800
·
·
⇒ 1000 + AON
= 1800 ⇒ AON
= 800

·
·
Suy ra AOC
( vì cùng bằng 800) (1)
= AON
Vì hai tia OM và ON nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là tia
OA nên tia OA nằm giữa hai tia OM và ON (2)
·
Từ (1) và (2) suy ra tia OA là tia phân giác của CON
Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia Ox 1, Ox2, Ox3,..., Oxn sao cho:
·
·

·
·
·
·
·
·
xOx
2 = 2xOx 1 ; xOx 3 = 3xOx1 ; xOx 4 = 4xOx1 ; ...; xOx n = nxOx1

Vậy khi n nhỏ nhất là n = 2017.2 = 4034 thì lúc đó Ox 2017 là tia phân giác
·
·
·
·
chung của 2017 góc: xOx
4034 = x1Ox 4033 = x 2 Ox 4032 = ... = x 2016 Ox 2018

Các phân số đã cho đều có dạng:

a
, vì các phân số này đều tối
a + (n + 2)

giản nên n + 2 và a phải là hai số nguyên tố cùng nhau.
Như vậy n + 2 phải nguyên tố cùng nhau với lần lượt các số 7; 8; 9; ...;
100 và n + 2 phải là số nhỏ nhất.
Þ n + 2 là số nguyên tố nhỏ nhất lớn hơn 100.
Þ n + 2 = 101 Þ n = 99

ĐỀ IV

Câu Ý
Nội dung
2013
3 671
671
1344
2 672
a 2 = (2 ) = 8 ; 3 = (3 ) = 9672
Ta có 8 < 9; 671 < 672 nên 8671< 9672 hay 22013 < 31344
1
1
1
1
1 1 1 1 1 1 1
1
1
Câu b A =
+
+
+ ... +
= ( − + − + − + ... + − )
4.9 9.14 14.19
64.69
5 4 9 9 14 14 19
64 69
1
1 1 1
13
= ( − )=
5 4

12

0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ

· 1 = x· Ox = x· Ox = ... = x· Ox
⇒ xOx
1
2
2
3
n −1
n

Bài 5 (2,0 điểm):Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau đều là số tối giản.
7
8
9
100
;
;
;...;
n + 9 n + 10 n + 11
n + 102
Câu

Nội dung

a)
2.0đ

0.5đ

0

69

4.69

0.5đ

Điểm
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ

Điểm
0.5
0.5
0.5
0.5


a

Gọi số tự nhiên đó là a, ta có a = BC(3; 4; 5; 6) + 2. Mà BC( 3; 4; 5; 6) = 60; 120;
180; 240; …
Nên a nhận các giá trị 62; 122; 182; 242 ….
Mặt khác a là số nhỏ nhất chia cho 7 thì dư 3 nên a = 12
b Gọi hai số tự nhiên đó là a ; b ( a ; b ∈ N) Gọi d = ƯCNL(a ; b) ta có : a = a’.d ;
b = b’.d (a’ ; b’) =1
a.b
a '.b '.d
=
= a’.b’.d
UCLN ( a; b)
d

0,25
0,5
0.25

0.25

2

Khi đó BCNN(a ; b) =

c

Theo bài ra ta có : ƯCLN(a ; b) + BCNN (a ; b) = 23 nên d + a’.b’.d = 23 = d (1 +
a’.b’) = 23
Nên d = 1; 1 + a’b’ =23 suy ra a’b’ = 22 mà (a’ ; b’) = 1 nên a’ = 1 ; b’ = 22 hoặc
a’ = 11; b’ = 2 và ngược lại. Từ đó HS tìm được a và b.
vì 32 x1 y chia hết cho 45 = 5 . 9 nên y = 0 hoặc y =5

*) Nếu y = 0 ta có 32 x10 chia hết cho 9 nên 3 + 2 + x + 1 chia hết cho 9 nên x = 3
*) Nếu y = 5 ta có 32 x15 chia hết cho 9 nên 3 + 2 + x + 1 + 5 chia hết cho 9 nên x
=7
Vậy số cần tìm là 32310 hoặc 32715

a

2 + 4 + 6 + …+ 2x = 156 ⇔ 2( 1 + 2 + …+ x) = 156

Câu
2

2.

(1 + x) x
=156 ⇔ x( x + 1) =156 = 12.13 ( vì x và x + 1 là hai số tự nhiên liên
2

0,25
0.25

0.5
0.25
0.25

0.25
0.5

tiếp) nên x = 12
b

Câu
3

Câu
4

−n + 2 −n + 1 + 1
1
= −1 +
=
n −1
n −1
n −1
Để P ∈ Z thì n - 1 là ước của 1 nghĩa là n - 1 = 1 hoặc n - 1 = -1 nên n = 2 hoặc n =

P=
0

c

3(2n − 3) + 6 3
6
6n − 3
= +
=
2(2n − 3)
2 2(2n − 3)
4n − 6
3
*) Nếu n ≤ 1 thì M <

2
3
*) Nếu n > 1 thì M > . Khi đó để M đạt giá trị lớn nhất thì 2(2n – 3) đạt giá trị
2
3
9
dương nhỏ nhất khi đó n = 2 . GTLN của M = + 3 = khi n = 2
2
2

M=

TH1. B ; C nằm cùng phía với nhau so với điểm A
A

HS tính được IC = b -

I

B

0.25

0.75

a
2

C

HS tính được IC = b +

0.5

C

TH2. B; C nằm khác phía so với điểm A.

13

0, 5
0,25

A

a
2

I

B

0.75


*) TH 1: Nếu cả 4 điểm cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy thì
đường thẳng xy không cắt các đoạn thẳng: MN, MP, MQ, NP, NQ, PQ.
*) TH 2: Nếu có 3 điểm (giả sử M ; N ; P) cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là
đường thẳng còn 1 điểm Q nằm khác phía bờ là đường thẳng xy thì đường thẳng
b

xy cắt 3 đoạn thẳng sau: MQ, NQ, PQ.
*) TH 3: Nếu có 2 điểm ( giả sử M ; N ) cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là
đường thẳng còn 2 điểm (P ; Q) nằm khác phía bờ là đường thẳng xy thì đường
thẳng xy cắt 4 đoạn thẳng sau: MP; MQ, NP; NQ.
ĐỀ V

Câu

Phần
a
2đ

Câu 1
(4 điểm)

b
2đ

Câu 2
( 4 điểm )

b
2đ

0.5
0,5

HƯỚNG DẪN CHẤM THI
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6
Nội dung

12 12 12
5
5
5 

12 − 7 − 289 − 85 5 + 13 + 169 + 91  158158158
:
.
Ta có: . A = 81. 
4
4
4
6
6
6  711711711
 4− −
−
6+ +
+ 
7 289 85
13 169 91 

  1
1
1  
1
1
1 
12 1 − 7 − 289 − 85 ÷ 5 1 + 13 + 169 + 91 ÷ 158.1001001
: 

 .
= 81.  
 4  1 − 1 − 1 − 1  6 1 + 1 + 1 + 1   711.1001001

÷
  7 289 85 ÷

 13 169 91  
18 2 324
 12 5  158
= 81.  : ÷.
= 81. . =
5 9
5
 4 6  711

(x + 1) + ( x + 2 ) + . . . . . . . . + (x + 100) = 5750
=> x + 1 + x + 2 + x + 3 + . . . . . . .. . .. . . . + x + 100
= 5750
=> ( 1 + 2 + 3 + . . . + 100) + ( x + x + x . . . . . . . + x ) = 5750
101 . 50
100 x + 5050
100 x = 700

a
2đ

0.5

+

= 5750

100 x
= 5750
100 x = 5750 – 5050
x = 7

5.(22.32 )9 .(22 )6 − 2.(22.3)14 .34
Ta có: A =
5.228.318 − 7.229.318
5.218.318.212 − 2.228.314.34
=
5.228.318 − 7.229.318
5.230.318 − 229.318
=
228.318 (5 − 7.2)
229.318 (5.2 − 1)
2.9
= 28 18
=
= −2
2 .3 (5 − 14)
−9
S =(3)0+(3)1 + (3)2+(3)3+...+ (3)2015.
3S = (3).[(3)0+(3)1+(3)2 + ....+(3)2015]
= (3)1+ (3)2+ ....+(3)2016]
3S – S = [(3)1 + (3)2+...+(3)2016] - (3)0-(3)1-...-(3)2015.

Điểm

1
0,5
0,5
0.5
0.5
0.5
0.5

0.5
0.5
1

0,5
0,5
0,5

14


2S = (3)2016 -1.

a
2đ
Câu 3
(4 điểm)
b
2đ

a
4đ

b
Câu 4
(6 điểm )

Câu 5
( 2 điểm )

15

2đ

S =

(3) 2016 − 1
2

Gọi số cần tìm là a ta có: (a-6) M11 ;(a-1) M4; (a-11) M19.
(a-6 +33) M11 ; (a-1 + 28) M4 ; (a-11 +38 ) M19.
(a +27) M11 ; (a +27) M4 ; (a +27) M19.
Do a là số tự nhiên nhỏ nhất nên a+27 nhỏ nhất
Suy ra: a +27 = BCNN (4 ;11 ; 19 ) .
Từ đó tìm được : a = 809
9
6
21
: =
(số thứ hai)
11 7
22

9
2
27
Số thứ ba bằng:
: =
(số thứ hai)
11 3
22
22
Số thứ hai bằng:
(số thứ hai)
22
22 + 21 + 27
70
Tổng của 3 số bằng:
(số thứ hai) =
(số thứ hai)
22
22
70
21
Số thứ hai là : 210 :
= 66; số thứ nhất là:
. 66 = 63; số thứ 3 là:
22
22
27
.66 = 81
22

Số thứ nhất bằng:

0,5

0.5
0.5
0.5
0.5

0.5
0.5

0.5
0.5

1) Trên tia BA ta có BK = 2 cm. BA = 7cm nên BK< BA do đó điểm K
nằm giữa A và B. Suy ra AK + KB = AB hay AK + 2 = 7 ⇒ AK = 5
cm. Trên tia AB có điểm I và K mà AI < AK (và 4 <5) nên điểm I nằm
giữa A và K

2,5

2) Do I nằm giữa A và K nên AI + IK = AK. Hay 4 + IK = 5 ⇒ IK = 5
– 4 = 1.

1,5

Vì A nằm giữa B và C nên BA +AC = BC ⇒ BA +AC = 4 (1)
Lập luân ⇒ B nằm giữa A và D.
Theo gt OD < OA ⇒ D nằm giữa O và A.

Mà OD + DA = OA ⇒ 2 + DA =5 ⇒ DA =3 cm
Ta có DB + BA = DA ⇒ DB +BA = 3 (2)
Lấy (1) – (2): AC – DB = 1 (3)
Theo đề ra : AC = 2BD thay và (3)
Ta có 2BD – BD = 1 ⇒ BD = 1
⇒ AC = 2BD ⇒AC = 2 cm
Ta có 32 + 33+ 34+…… + 3101
= (32+ 33+ 34 + 35) + (36 + 37 + 38 + 39)+…+ (398 + 399 + 3100 + 3101)
= 31(3+32+33+34) + 35(3+32+33+34) +…+397(3+32+33+34)
= 31.120 + 35.120 +…+397.120
= 120(31 + 35 +…+397)M120 (đpcm)

ĐỀ VI

0,5
0,5
0,5
0,5

0,5
0,5
0,5
0,5


Câu

16

ý

Nội dung cần đạt

Điểm


Câu 1
(2,5 đ)

a

- 32.56 - 32.25 - 32.19 = - 32(56 + 25 + 19)
= - 32(56 + 25 + 19)
= - 32( 100) = - 3200

1,0

b

24.5 − 131 − (13 − 4) 2  = 16.5 − 131 − 92 





1,0

c

Câu 2

(2,0 đ)

= 80 − 131 − 81 = 30

93.253
36 ×56
32 9
=
=
=
182.1252 22 ×34 ×56 22 4

a

4 – 2(x + 1) = 2

b

52 x−3 − 3.52 = 52.2
52 x−3 = 52.2 + 3.52
52 x−3 = 53
2x − 3 = 3
x =3

0,5

4 – 2x – 2 = 2

x=0

1,0

A là phân số khi n − 3 ≠ 0 ⇒ n ≠ 3
Để A là phân số tối giản thì ƯCLN(n +1, n - 3) = 1
Hay ƯCLN((n – 3) + 4, n - 3) = 1
Vì 4M2 (2 là ước nguyên tố)
b
Nên để ƯCLN((n – 3) + 4, n - 3) = 1 thì n - 3 không chia hết cho 2
Suy ra n − 3 = 2k + 1 (k là số nguyên)
Hay n là số chẵn.
a

Câu 3
(2,0 đ)

n+1 n-3+4
4
=
= 1+
n-3
n-3
n −3
4
Với n > 3 thì
>0
n−3
4
Với n < 3 thì
<0
n −3

1,0

0,25
0,25

Ta có: A=
c

0,25

Để A có giá trị lớn nhất thì n – 3 nguyên dương và có giá trị nhỏ
nhất. Hay n – 3 = 1 ⇒ n = 4
A

Câu 4
(2,0 đ)

1,0

a

M

B

C

Do M là trung điểm của AB, và C là điểm thuộc tia đối của tia BA
nên M nằm giữa A và C.

Ta có: CA = MA + MC(1)
Ta có B nằm giữa M và C
Ta có CB = CM – MB(2)
Từ (1) và (2) ta có: CA + CB = MA + MC + CM – MB
⇒ CA + CB = 2CM(Do MA = MB)
⇒ MC =

0,25

CA + CB
2

0,25
0,25
0,25
0,25

b

- Theo câu a điểm M nằm giữa A và C nên ta có:
·
MOC
= ·AOC − ·AOM = 1200 − 600 = 600

17

0,5


O

1·
·
= MOC
Ta thấy điểm B nằm giữa M và C và BOC

0,5

2

·
Nên OB là tia phân giác của MOC
.
Gọi x là số xe 12 chỗ ngồi, y là số xe 7 chỗ ngồi ( x,y ∈ N* )
A bài ra ta có:M12.x + 7.y = 68
B
Theo
Vì 12.x M4; 68 M4 nên 7.y M4 mà (7,4) = 1
Suy ra y M4.
Hơn nữa x ∈ N* nên y ≤ 8 ⇒ y = 4 hoặc y = 8

a

Với y = 4 ta thấy 12x + 7.4 = 68 ⇒ x =
Câu 5
(1,5 đ)

Nội dung cần đạt

a

3

0,25
0,25

0,25
0,25

Điểm

nguyên tố: 7; 11; 13
1717 17 1 13 13 1313
1717 1313
= = = < =
Û
<
8585 85 5 65 51 5151
8585 5151
16

16

16

16

16

20

8

16

1,0
1,0

20

9 . 5 = 3 .5 = 15 <19 < 19 => 9 . 5 < 19
98 . 516 = (32)8 . 516 = 316.516 = (3.5)16 = 1516 (1)
b
Mµ : 1516 < 1520
(V× 16 < 20) (2)
20
20
15 < 19
(v× 15<19)
Tõ (1), (2), (3) => 9.8 516 < 1920

1,0

2,0

(3)
3,0

x - 3 =2 x +4

i, x ³ 3 ta có: x – 3 = 2x + 4 ó x = -7 ( Loại vì -7 < 3)
a ii, x < 3 ta có –x +3 = 2x +4 ó x =- 1 ( Thỏa mãn)
3

-1
3
2n - 7 2n - 10 +3
3
M=
=
=2 +
nguyên Û n – 5 là ước của 3
n- 5
n- 5
n- 5
n - 5 =±3; ±1 hay n = { 2; 4; 6;8}

1,0

Vậy x =

18

2,5

2
55.2
) = -4
.( 55
9

9

abcabc =1000.abc +abc =1001abc =7.11.13abc chia hết cho ít nhất ba số

8

2

0,25

2
2
2
2
1 æ1 1 1 1 1
1 1 1ö
÷
A=
+
+
+... +
= ç
+ + ... + ç ÷
11.15 15.19 19.23
51.55 2 è11 15 15 19 19
51 51 55 ø 0,5
1 æ1 1 ö 1 4
4
2
ç ÷= . =

= ç
=
÷
2 è11 55 ø 2 55 2.55 55
0,5
æ 5 ö 11 æ1 ö æ 5 ö 11 4
55.2
B =ç
ç- ÷
÷. . ç
ç +1÷
÷=ç
ç- ÷
÷. . =9
è 3 ø 2 è3 ø è 3 ø 2 3
0,5

A.B =

b

0,25

HD CHẤM

Câu Ý

1

10

không thỏa mãn.
3

Với y = 8 thì x = 1 Thỏa mãn.
Vậy có 1 xe loại 12 chỗ ngồi, 8 xe loại 1 chỗ ngồi.
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n,
Ta có n 2 + n + 2 = n(n +1) + 2
b Do n(n+1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2.
⇒ n(n+1) có tận cùng là 0, 2, 6
⇒ n(n+1) + 2 có tận cùng là 2,4,8 không chia hết cho 5.

ĐỀ VII

a

C

0,5
0,5


Ta có: a = 5q + 3; a = 7p + 4
Xét a +17 = 5q + 20 = 7p + 21=> a +17 chia hết cho cả 5 và 7, hay a +17
là bội chung của 5 và 7.
Vì a là số tự nhiên nhỏ nhất nên a +17 = BCNN(5,7) = 35 => a = 18

0,5
0,5

a

4

19

Trên tia Oy có OM < OB ( vì 1cm < 4cm) nên M nằm giữa O và B
=> MO + MB = OB => MB = OB – MO = 3cm (1)
b Vì Ox, Oy đối nhau, A thuộc Ox, M thuộc Oy nên O nằm giữa A và M
AM = AO + OM = 3cm
(2)
Từ (1) và (2) => MB = MA = 3cm hay M là trng điểm cả AB
HS vẽ hình được 2 trường hợp: (Ot và Oz cùng nằm trên nửa mp bờ xy; Ot
và Oz không nằm trên nửa mp bờ xy)
HS lập luận tính đúng:
c
¶ =1000
+ Ot và Oz cùng nằm trên nửa mp bờ xy: tOz
¶ =1600
+ Ot và Oz không nằm trên nửa mp bờ xy: tOz

0,5
0,5
0,5
0,5
0,5

2,5