Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán chuyên năm 2015 2016 sở GDĐT hà nam

UBND TỈNH HÀ NAM
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán (Chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1(2,0 điểm).

 x y
x  y   x  y  2xy 

Cho biểu thức: P  
 :  1 
 (với x  0, y  0, xy  1 ).
 1  xy
1

xy
1

xy




a) Rút gọn biểu thức P .
b) So sánh P và P .
Câu 2 (2,0 điểm).

a) Giải phương trình: 10x  1  3x  5  9x  4  2x  2 .
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm I  2;1 . Tìm tọa độ các điểm A, B tương ứng
thuộc các tia Ox , Oy sao cho tổng IA  IB  AB có độ dài nhỏ nhất.
Câu 3 (1,0 điểm).
Tìm số nguyên n  2008 sao cho: 22008  22012  22013  22014  22016  2n là số chính phương.
Câu 4 (4,0 điểm).
Cho nửa đường tròn (O ;R), đường kính AD cố định. Vẽ tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường
tròn (O ;R). Gọi I là giao điểm của AC và BD; K là hình chiếu của I trên AD.
a) Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCK.
b) Gọi F là giao điểm của CK và BD. Chứng minh: BI.DF = BD.IF.
c) Gọi E là trung điểm của ID. Chứng minh: ED 2  EB.EF .
d) Xác định vị trí điểm B để bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABD lớn nhất. Tính giá
trị lớn nhất đó theo R.
Câu 5 (1,0 điểm).
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 2a  3b  4c  2015 . Chứng minh:
3b  4c  2020 2a  4c  2020 2a  3b  2020


 15 .
1  2a
1  3b
1  4c

---HẾT---

Họ và tên thí sinh:........................................................Số báo danh:........................
Giám thị 1:...............................................Giám thị 2:...............................................


UBND TỈNH HÀ NAM

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN
CHẤM TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán (Chuyên Toán)

ĐỀ CHÍNH THỨC

( Hướng dẫn chấm này gồm 3 trang )
Nội dung
Câu 1

Câu

a)
1,25
điểm


P







 
xy 1 

x  y 1  xy  1  xy

1 

xy



Điểm



x  y  1  xy  x  y  2xy
:

1  xy




0,5



2 x  2y x
1  xy
.
1  xy
1  x  y  xy

0,5



2 x 1  y 
2 x

1  x 1  y  1  x

0,25

Ta có: P  0 x  0

0,25

b)
2 x 2 x
0,75 Lại có x  1  2 x với x  0 nên P 

1
x 1 2 x
điểm
Vậy 0  P  1  P  P
Câu 2
5
3
10x  1  9x  4 

0,25

0,25

ĐK: x  phương trình ban đầu trở thành:


a)
1,0
điểm

 

0,25



3x  5  2x  2  0

x 3
x 3

0
10x  1  9x  4
9x  4  2x  2
1
1


  x  3 

0

9x  4  2x  2 
 10x  1  9x  4
1
1
5

 0 x 
 x  3 (thỏa mãn) vì
3
10x  1  9x  4
9x  4  2x  2
Vậy phương trình có tập nghiệm S  3 .


0,25
0,25

0,25

Gọi K đối xứng với I qua tia Oy, suy ra K( -2;1)
Gọi H đối xứng với I qua tia Ox, suy ra H(2; -1)
Ta có: AI  AH , BI  BK suy ra IA  IB  AB  AH  AB  BK  HK
b)
1,0 Dấu "="  H , A, B, K thẳng hàng hay A, B là giao điểm của đường thẳng HK
điểm với tia Ox, Oy tương ứng.
phương trình HK : y 

1
x , suy ra A  B  O  0;0  .
2

0,25
0,25
0,25
0,25

Câu 3
Ta có:







22008 +22012 +22013 +22014 +2 2016 +2n =2 2008 1+24 +25 +26 +28 +2n-2008 =22008 369+2n-2008

1,0
n 2008
 b 2 với b  * .
điểm là số chính phương khi và chỉ khi 369  2
Đặt a  n  2008 là số nguyên dương , ta có phương trình: 369  2a  b 2
Xét trong hệ đồng dư mod 3 ta có:
369  0  mod 3 ; 2a  1; 2 mod 3 ; b 2  0;1 mod 3



0,25

0,5

Suy ra 2a  1 mod 3 suy ra a là số chẵn hay a  2c c  * .
Phương trình trở thành: 369  b 2  22 c  41.3.3   b  2c  b 2  2c 
Do b  2c  b  2c suy ra:

 b  2 ; b  2   41;9  ;  369;1 ;  41.3;3
  b; 2    25;16  ; 185;184  ;  63; 60 
c

c

0,25

c

  b; c    25; 4 

Vậy n  a  2008  2c  2008  2016 là số cần tìm.
Câu 4

C
B
I

F
E

a)
K O

A
1,0
0

điểm Ta có ABD  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

AKI  900 (gt)
  CAD

Suy ra tứ giác ABIK nội tiếp  IBK

D
0,25

  CAD
  1 sđCD
 . Suy ra IBK
  IBC
  BI là phân giác góc CBK

Lại có IBC

0,25


Chứng minh tương tự có CI là phân giác BCK
Vậy I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCK.

0,25
0,25

2

Ta có CI là đường phân giác trong của BCF 

BI CB

(1) (t/c đường phân
IF CF

giác của tam giác)
Lại có 
ACD  900  CD  CI  CD là phân giác ngoài của tam giác BCF

b)
1,0
BD CB
điểm suy ra:

(2) ( t/c đường phân giác của tam giác)
DF

CF

Từ (1) và (2), có:

BI BD

 BI .DF  BD.IF
IF DF

0,25
0,25
0,25
0,25

Ta có KE là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác tam giác IKD
 KE  ED 

ID
  2 BDA
 ( t/c góc ngoài
 tam giác KED cân tại E  BEK
2

0,25

của tam giác)
 )Suy ra BEK
  2 BCA
 (3)
  BCA
 (2 góc nội tiếp cùng chắn AB
Mà BDA

c)
1,0
  2 BCA
  4
 ( chứng minh trên)  BCK

điểm Mặt khác CI là phân giác BCK
  BCK
 , suy ra tứ giác BCEK nội tiếp.
Từ (3) và (4) suy ra BEK
  EBC
  EBK
  EKF EBK  EK 2  EB.EF .
Suy ra EKC
Mà EK  ED ( chứng minh trên)Suy ra: ED 2  EB.EF
Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABD vuông tại B, suy
ra: r  AB  BD  AD  AB  BD  2 R
d)
1,0 Suy ra r lớn nhất 2 AB  BD lớn nhất.
2
2
2
2
điểm Ta có:  AB  BD   2  AB  BD   2 AD  8 R

 AB  BD  2 2 R ( dấu " =" xảy ra khi

AB  BD  R 2 )

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25





Suy ra r  AB  BD  2 R  2 2  2 R
Vậy max r  2 R



  B là điểm chính
2  1 khi và chỉ khi AB  BD  
AB  BD



giữa 
AD .
Câu 5
Đặt x  2a  1; y  3b  1; z  4c  1 thì bất đẳng thức trở thành: cho x, y, z là các số
thực dương thỏa mãn x  y  z  2018 chứng minh:
y  z  2018 x  z  2018 x  y  2018


 15 (*)
x
y
z

1,0 Ta có:
điểm

 x y  y z   z x

1 1 1
9
VT(*)              2018      2  2  2  2018.
 15
x yz
 y x  z y  x z 
x y z
2018
2015
2015
2015
a
;b
;c
Dấu “=”  x  y  z 
3
6
9
12

Chú ý: Mọi cách làm khác mà đúng đều cho điểm tương đương.
---HẾT---

0,25
0,25

0,25

0,5
0,25


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247
- Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em yêu thích toán và muốn thi vào
lớp 10 các trường chuyên.
- Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên của cả nước trong những
năm qua.
- Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ôn luyện học sinh
giỏi.

- Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết
quả tốt nhất.
- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.
- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.
- Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.
- Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên của HỌC247.

 />
Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

Trang | 1