PHƯƠNG PHÁP tọa độ TRONG KHÔNG GIAN 2013

Luyện thi đại học môn Toán 2013
GV: Ngô Khánh
-------------------------------------------------PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A)Lý Thuyết :
* Vectơ và các phép toán về vectơ trong không gian Oxyz:
1)Vectơ, tọa độ của vectơ, tọa độ của một điểm, tích vô hướng của hai vectơ và các
tính chất :
Được xây dựng tương tự như trong mặt phẳng Oxy, chỉ khác là ở mặt phẳng Oxy
các công thức chỉ có mặt 2 thành phần là hoành độ và tung độ , còn trong không gian
Oxyz thì các công thức có mặt 3 thành phần là hoành độ tung độ và cao độ .
Ví dụ:

r

r

rr

Trong mpOxy có a = ( a1 ; a2 ) ; b = ( b1 ; b2 ) thì a.b = a1b1 + a2b2 .

r

r

rr

Trong kgOxyz có a = ( a1 ; a2 ; a3 ) ; b = ( b1 ; b2 ; b3 ) thì a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3 .
…………
2)Tích có hướng của hai vectơ trong không gian và ứng dụng :

r

r

-Định nghĩa : Trong không gian Oxyz cho 2 vectơ a = ( a1 ; a2 ; a3 ) ; b = ( b1 ; b2 ; b3 ) thì

r r

r

r

tích có hướng của 2 vectơ trên là một vectơ kí hiệu là  a; b  (hay a ∧ b ) và có tọa độ
là :

r r a a a a a a 
 a; b  =  2 3 ; 3 1 ; 1 2 ÷
 
 b2 b3 b3 b1 b1 b2 
- Tính chất

r

r

r r

r

- a cùng phương với b ⇔  a; b  = 0

r r

r

r

-  a; b  vuông góc với các vectơ a & b .

r r

r r

-  a; b  = a b .sin ϕ
- Ứng dụng :
+ Ứng dụng 1: Kiểm tra hai vectơ cùng phương ( không cùng phương ) ; 3 vectơ
đồng phẳng ( không đồng phẳng ) :

r

r

- a cùng phương với b

r r r

- a; b; c đồng phẳng

r r
r
⇔  a; b  = 0

r r r r
⇔  a; b  .c = 0

+ Ứng dụng 2: Tính diện tích hình bình hành ; tam giác:

1
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian


Luyện thi đại học môn Toán 2013
GV: Ngô Khánh
-------------------------------------------------uuur uuur
1 uuur uuur
ShbhABCD =  AB; AD  ; S ∆ABC =  AB; AC  .
2
+ Ứng dụng 3: Tính thể tích hình hộp ; hình tứ diện:

r
uuu
r uuur uuuuu
VABCD. A'B'C ' D' =  AB; AD  .A A ' .
r uuur uuur
1 uuu
VABCD =  AB; AC  AD .
6

* Phương trình mặt phẳng trong không gianOxyz
1)Trong không gian Oxyz mặt phẳng( α ) qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 );

r

có vet tơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) có phương trình là:

A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0(1); ( A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0).
- Khai triển, (1) có dạng : Ax + By +Cz + D = 0 (*) ; phương trình (*) được gọi là
phương trình tổng quát của mp.
2) Chú ý:
r
- Để viết pt một mặt phẳng ta thường tìm điểm M0 và vec tơ pháp tuyến n rồi áp
dụng công thức (1).
r r
- Hai vectơ u; v không cùng phương mà các đường thẳng chứa 2 vectơ đó song song

r

r r

hoặc nằm trong mp (α ) thì n = u; v  là một vec tơ pháp tuyến của mp (α ) .
- Đặc biệt mp cắt 3 trục tọa độ tại 3 điểm A(a;0;0); B(0;b;0);C(0;0;c) thì pt mặt
phẳng(ABC) được viết nhanh hơn:

x y z
+ + = 1 ( Pt mp theo đoạn chắn)
a b c
- mp (Oxy) có pt z = 0 ; mp (Oyz) có pt x = 0 mp (Oxz) có pt y = 0
•

Phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz.

r

1)Đường thẳng (d) qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ chỉ phương u = (a; b; c ) có:

 x = x0 + at

2
2
2
- PTTS là:  y = y0 + bt (a + b + c > 0) ( Từ PTTS khử t có PTCT).
 z = z + ct
0

2
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian


Luyện thi đại học môn Toán 2013
GV: Ngô Khánh
-------------------------------------------------x − x0 y − y0 z − z0
=
=
(abc ≠ 0) .
-PTCT là:
a
b
c
(α1 ) : A1x+B1 y+C1z+D1 =0 (1)
2)Nếu hai mp:
(α 2 ) : A 2 x+B2 y+C 2 z+D 2 =0 (2)
cắt nhau theo giao tuyến (d) thì điều kiện cần và đủ để M(x;y;z) thuộc đường thẳng

(d) là tọa độ của M thỏa hệ hệ gồm hai phương trình (1)&(2) (Trong một số sách
tham khảo, hệ đó được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng (d), chúng ta
không được dùng khái niệm này).
3)Chú ý : Để viết phương trình của một đường thẳng cần biết một điểm và một vectơ chỉ phương(Cách 1) hoặc tìm hai điểm (Cách 2), hoặc tìm 2 mp cắt nhau theo giao
tuyến là đường thẳng đó (Cách 3).
• Vị trí tương đối
1)Các khái niệm:
- Hai bộ số ( A1; B1; C1 ) và (A2;B2;C2 ) được gọi là tỉ lệ với nhau nếu tồn tại một số thực
t ≠ 0 sao cho các số hạng tương ứng của bộ này gấp t lần các số hạng tương ứng của
bộ kia. Khái niệm trên có thể sử dụng cho bộ n số bất kì (n ≥ 2)
. Nếu hai bộ số ( A1; B1; C1 ) và (A2;B2;C2 ) trên tỉ lệ nhau ta kí hiệu:A1 :B1 : C1 = A2 :
B2 : C2 ; hoặc

A1 B1 C1
=
= .
A2 B2 C2

Ví dụ: 5 :10 :15 = 1: 2 : 3(t = 5);0 :1: 2 = 0 : −

1
1
: −1(t = − ).
2
2

-Tính chất : Hai vectơ cùng phương ⇔ hai bộ tọa độ của chúng tỉ lệ .
- Để xét vị trí tương đối của hai đối tượng hình học ( hai mp; 2 đt ; 1đt và 1mp) ta
thường dựa vào quan hệ giữa các vectơ đặc trưng của chúng ( Đường thẳng đặc trưng
bởi VTCP ; mặt phẳng đặc trưng bởi VTPT ) hoặc dựa vào số nghiệm của hệ phương

trình của chúng để xét. Ta có kết quả như sau:
2) Vị trí tương đối giữa 2 mp:
- Trong kg(O xyz) cho hai mp:
Ta có :

(α ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0.(1)

( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.(2).

A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 ⇔ (α ) cắt ( β )
3
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian


Luyện thi đại học môn Toán 2013
GV: Ngô Khánh
-------------------------------------------------A1 B1 C1 D1
=
=
≠
⇔ (α ) // ( β ).
A2 B2 C2 D2
A1 B1 C1 D1
=
=
=
⇔ (α ) ≡ ( β ).
A2 B2 C2 D2
3) Vị trí tương đối của 1 đường thẳng và một mặt phẳng:

 x = x0 + at.

- Cho đường thẳng (d) có phương trình tham số :  y = y0 + bt. (1) và mp (α ) có
 z = z + ct
0

Ax
+
By
+
Cz
+
D
=
0(2)
PTTQ.
. Để xét vị trí tương đối của(d) và (α ) ta giải hệ (1) và(2) bằng cách thế x;y;z theo t
ở (1) vào(2) ta có phương trình ẩn t; nếu phương trình có 1 nghiệm t duy nhất thì (d)
cắt (α ) ; nếu phương trình vô nghiệm thì (d)// (α ) , nếu phương trình có nghiệm t thì
tùy ý thì (d) nằm trong (α ) .

r

r

- Ta có thể dựa vào VTCP u = (a; b; c ) của đường thẳng(d) và VTPT n = (A;B;C)
của mp (α ) để xét vị trí tương đối của chúng như sau:
r
r
- Nếu u không vuông góc với n thì cắt (d) cắt (α )

r

r

- Nếu u vuông góc với n thì (d) song song hoặc nằm trong (α ) (Lấy M0 nằm
trên (d). Nếu M0 ∉ (α ) thì (d)//(α ); nếu M 0 ∈ (α ) thì (d) nằm trong (α )).
3 Vị trí tương đối của hai đường thẳng: - Trong kg(O xyz) cho:
ur
-Đường thẳng(d1) qua điểm M1 và có VTCP u1

uu
r

-Đường thẳng (d2) qua điểm M2 và có VTCP u2 .
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trên ta sử dụng kết quả sau:

ur uu
r uuuuuur
d1 ≡ d 2 ⇔ u1 ; u2 & M 1M 2 dôi môt cùng phuong
ur uu
r
ur uuuuuur
r
⇔ u1 ; u2  = u1 ; M 1M 2  = 0

4
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian

Luyện thi đại học môn Toán 2013
GV: Ngô Khánh
-------------------------------------------------ur
uu
r
u1 cùng phuong u2
d1 // d 2 ⇔  ur uuuuuuu
r
u1 & M 1M 2 không cùng phuong
ur uu
r
r
 u1 ; u2  = 0


⇔  ur uuuuuuu
r
r
 u1 ; M 1M 2  ≠ 0
ur
uu
r
u1 không cùng phuong u2
d1 & d 2 cat nhau ⇔  ur uu
r uuuuuuu
r
u1 ; u2 & M 1M 2 dông phang
ur uu
r
r

 u1 ; u2  ≠ 0


⇔  ur uu
r uuuuuuu
r
 u1 ; u2  .M 1M 2 = 0
ur uu
r uuuuuuu
r
d1 & d 2 chéo nhau ⇔ u1 ; u2 ; M 1M 2 không dông phang
ur uu
r uuuuuuu
r
⇔ u1 ; u2  .M 1M 2 = 0
*Góc:

1)Góc giữa hai đường thẳng:
2)Góc giữa hai mặt phẳng:
3)Góc giữa đt và mặt phẳng:

ur uu
r
cos ϕ = cos(u1 ; u2 )
ur uu
r
cos ϕ = cos(n1 ; n2
r r
sin ϕ = cos(u; n)

*Khoảng cách:
1) Khoảng cách giữa hai điểm A( x A ; y A ; z A ) và B ( xB ; y B ; z B ) :

AB = ( xB − x A )2 + ( y B − y A ) 2 + ( z B − z A )2
2) K/cách từ điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mp (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 :

d ( M 0 ;(α )) =

Ax0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B 2 + C 2

5
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian


Luyện thi đại học môn Toán 2013
GV: Ngô Khánh
-------------------------------------------------r
3) Cho đường thẳng(d) đi qua điểm A, có VTCP u và điểm M0 . Khoảng cách từ
điểm M0 đến đường thẳng (d) được tính theo công thức:

r uuuuu
r
u; AM 0
d (M 0 ; d ) =
r
u

ur

4) Cho đường thẳng chéo nhau : Đường thẳng (d1) qua điểm M1; có VTCP u1 và

uu
r

đường thẳng(d2) qua điểm M2; có VTCP u2 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng trên
được tính theo công thức:

uu
r uu
r uuuuuuu
r
u2 ; u2  .M 1M 2


d (d1 ; d 2 ) =
ur uu
r
u1 ; u2 



Chú ý:
Ngoài công thức trên ta có thể tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
bằng cách:
-Tính độ dài đoạn vuông góc chung
- Tính khoảng cách từ 1 điểm bất kì trên đường thẳng thứ nhất đến mặt phẳng chứa
đường thẳng thứ hai và song song với đường thẳng thứ nhất.
- Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó
.

5) Khoảng cách giữa 2 hình song song (2đt // ; 2mp // ; đt // mp) bằng khoảng cách từ
1 điểm bất kì trên hình thứ nhất đến hình kia.
*Mặt cầu:
1) Mặt cầu có tâm I (a; b; c) ; bán kỉnh R có phương trình là:

( x − a ) 2 + ( y − b) 2 + ( z − c ) 2 = R 2 . .
2) Mọi phương trình dạng: x 2 + y 2 + z 2 + 2 Ax + 2 By + 2Cz + D = 0
với điều kiện : A2 + B 2 + C 2 − D > 0 đều là phương trình của mặt cầu có
tâm I (− A; − B; −C ) ; bán kính R = A2 + B 2 + A2 − D .

3) Giao của mặt cầu và mặt phẳng:
- Cho mặt cầu (S) : ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 + ( z − c ) 2 = R 2 có tâm I (a; b; c) ; bán kính
R và mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = 0.

6
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian


Luyện thi đại học môn Toán 2013
GV: Ngô Khánh
-------------------------------------------------Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên mp (α ) và d là khoảng cách từ tâm I của
m/c đến mp (α ) ; tức là d =IH ; xảy ra 3 trường hợp :
−THI : d > R ⇔ (α ) và ( S ) không có điểm chung
−TH 2 : d = R ⇔ (α ) ∩ ( S ) = { H } ( Ta nói (α ) tiếp xúc với (S) tại H ( Lúc
này H được gọi là tiếp điểm; (α ) được gọi là tiếp diện của mặt cầu (S) )
−TH 3 : d < R ⇔ giao của (α ) và (S) là đường tròn(C) có tâm H, bán kính
r = R 2 − IH 2 nằm trong mp (α ) .
Lúc này ta có

 Ax + By + Cz + D = 0 (α )

 M ∈ (α )
M ( x; y ) ∈ (C ) ⇔ 
⇔
2
2
2
2
M ∈ (S )
( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R ( S )
( Hệ trên chính là phương trình của đường tròn (C) trong không gian Oxyz. Để đơn
giản, SGK không đưa vào khái niệm này)
B.CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:
* Dạng 1: Vec tơ, tích có hướng, tích vô hướng, ứng dụng:
Bài 1: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1;0;3); B( −2;3; 4); C(2; −1;0)
a) Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của 1 tam giác . Tính diện tích của tam giác
ABC ; suy ra độ dài đường cao CH của tam giác.
b) Cho D(4; 2;-1). Chứng minh A, B, C , D là 4 đỉnh của 1 tứ diện . Tính thể tích
của tứ diện đó ; suy ra độ dài đường cao DK của tứ diện

uuur uuur uuuu
r uuuu
r

c) Tìm điểm M nằm trên trục Ox sao cho MA + MB + MC + MD

min

Bài 2 : Tứ diện ABCD có: A(0;1; −1); B (2;0;1); C (2; −1;3); D ∈ Oy
Biết tứ diện có thể tích bằng 5. Tìm tọa độ D.
Bài 3 : Tam giác ABC có A(1; 2; −1); B(2; −1;3); C ( −4;7;5)

Tìm độ dài đường phân giác trong kẻ từ đỉnh B.
Bài 4: Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC với
A(1;0;1); B (−2;1;3); C (1; 4;0) .
a)Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y, z để điểm M(x;y;z) thuộc mp(ABC).
b)Tìm trực tâm H của tam giác ABC.
c) Tìm tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
* Dạng 2: Cách lập phương trình 1 mặt phẳng

7
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian


Luyện thi đại học môn Toán 2013
GV: Ngô Khánh
-------------------------------------------------PP: Thông thường ta tìm điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ mp & VTPT
r
n = ( A; B; C ); ( A2 + B 2 + C 2 > 0) , phương trình mp là:
A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 ; khai triển có PTTQ.
-Nếu mp cắt 3 trục tọa độ tại A(a;0;0);B(0;b;0);C(0;0;c) thì dùng pt:
x y z
+ + = 1 (P/t mp theo đoạn chắn)
a b c
Bài 5 :Nêu cách lập phương trình của mp (α ) trong mỗi trường hợp sau. Ở mỗi
trường hợp hãy cho ví dụ cụ thể và giải.
a) Qua 3 điểm
b) Qua 1 điểm và chứa 1 đường thẳng
c) Qua 1 điểm và vuông góc với 1 đường thẳng
d) Qua 1 điểm và vuông góc với 2 mp
e) Qua 1 điểm và song song với 2đt
f) Qua 2 điểm và vuông góc với 1 mp.

g) Chứa 1 đường thẳng và vuông góc với 1mp.
h) Chứa 1 đt và song song với 1 đt.( Hai đt này chéo nhau)
i) Qua giao tuyến của 2 mp và thỏa 1 trong các điều kiện sau:
I) Qua 1 điểm . 2) Vuông góc với 1 mp..
* Dạng 3: Cách lập phương trình 1 đường thẳng.
PP:Thông thường dùng một trong 3 cách:
Cách 1: Tìm 1 điểm và VTCP, suy ra PTTS hoặc PTCT(nếu có).
Cách 2: Tìm 2 điểm thuộc đường thẳng, đưa về Cách 1.
Cách 3:Tìm phương trình của 2 mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến là đường
thẳng cần lập phương trình, từ 2 phương trình đó cho 1 biến bằng t, tính 2 biến
còn lại theo t, ta có PTTS của đường thẳng.
Bài 6: Nêu cách lập phương trình của đường thảng (d) trong mỗi trường hợp sau. Ở
mỗi trường hợp hãy cho ví dụ cụ thể và giải:
a) Qua 1 điểm và biết vec tơ chỉ phương ( hoặc song song với 1đt).
b) Qua 2 điểm
c) Qua 1 điểm và vuông góc với 1 mặt phẳng. ( Từ đó tìm được hình chiếu vuông góc
của điểm đó lên mặt phẳng và điểm đối xứng của điểm đó qua mặt phẳng đã cho)
d) Qua 1 điểm; cắt và vuông góc với 1 đường thẳng ( Từ đó tìm được hình chiếu
vuông góc của điểm đó lên đường thẳng và điểm đối xứng của điểm đó qua đường
thẳng đã cho)

8
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian


Luyện thi đại học môn Toán 2013
GV: Ngô Khánh
-------------------------------------------------e) Qua 1 điểm; cắt 1 đường thẳng và vuông góc với 1đt.
f) Là hình chiếu vuông góc của 1đt lên 1 mp.
g) Qua giao điểm của đt và mp ; nằm trong mặt phẳng đã cho và vuông góc với đt đã

cho
h) Cắt 2đt chéo nhau và song song với 1 đường thẳng thứ3
i) Nằm trong 1mp và cắt 2 đt ( Hai đt này cắt mp tai 2 điểm khác nhau).
k) Là đường vuông góc chung của 2 đt chéo nhau ( 2 cách)
*Dạng 4: Cách lập phương trình một nặt cầu và các bài toán liên quan.
PP:
-Thường tìm tâm I(a;b;c)& bán kính R, phương trình mặt cầu là:
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 + ( z − c ) 2 = R 2 .
- Đối với mặt cầu qua 4 điểm ta thường thay tọa độ 4 điểm vào phương trình dạng
x 2 + y 2 + z 2 + 2 Ax + 2 By + 2Cz + D = 0 , có hệ 4 ẩn A,B,C,D. Giải hệ tìm được
A,B,C,D.
Bài 7: Viết phương trình của mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau:
a)Biết tâm I(1;-2;3) và bán kính R = 5 ;
b)Biết tâm I(-1;-2;5) và qua điểm M(2;4;-6);
c)Có đường kính AB với A(4;-2;3); B(3;-6;0);
d)Tâm ở gốc tọa độ và tiếp xúc với mặt phẳng : 2x + y - 2z = 0 ;(hoặc đt (d):x = 2t ;y
= t + 2 ; z = 3 – t).
e)Qua 4 điểm A(1;1;0); B(3;1;-1); C(1;1;2); D(1;-1;2).
f)Qua 3 điểm A(-2;4;1); B(3;1;-3); C(-5;0;0) và có tâm nằm trên mặt phẳng : 2x + y –
z+3=0;
g)Qua điểm A(1;2;0) và tiếp xúc với mặt phẳng :x – 2y – 2z + 1 = 0 tại điểm
M(1;0;0);
h)Có tâm nằm trên đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng:

 x − y − 2 + z = 0( P )
và tiếp xúc với 2 mặt phẳng :

 2 x + y − 3 z + 1 = 0(Q)
( α ) : 2 x + y − 2 z + 1 = 0;& ( β ) : 3 y − 2 = 0
Bài 8: Lập p/trình tiếp diện của mặt cầu (S): ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 4 ) = 4

2

2

a)Biết tiếp điểm M(-1;2;6)
b)Biết tiết diện song song với mặt phẳng: 3x +2y -1 = 0
c) Biết tiết diện chứa trục Ox

9
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian

2


Luyện thi đại học môn Toán 2013
GV: Ngô Khánh
-------------------------------------------------Bài 9: Xét vị trí tương đối của mặt phẳng (α ) và mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp
sau , nếu chúng cắt nhau thì tìm tâm, bán kính của đường tròn giao tuyến :
a) (S) : ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 4 ) = 4; ( α ) là mặt phẳng Oxy.
2

2

2

b) (S) : x + y + z − 6 x + 4 y − 2 z = 86; ( α ) : 2 x − 2 y − z + 9 = 0
Bài 10: Cho A(6;-2;3) ; B(0 ;1;6); C (2 ;0;-1); D(4 ;1 ;0)
a)Chứng minh A ; B ; C ;D là 4 đỉnh tứ diện . Tính thể tích tứ diện .
b) Viết pt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ; tìm tâm và bán kính của nó.
c) Tìm tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 11:Cho mặt cầu(S): (x-1)2 + (y+3)2 +x2 = 25 và mp ( α ): 3x – 4y -20 =0
a) Viết pt mặt cầu (S’), đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng (α )
b) Viết pt mặt phẳng ( β ) song song với mặt phẳng ( (α ) và cắt mặt cầu(S) theo giao
tuyến là1 đường tròn có diện tích là 16π .
C)TOÁN TỔNG HỢP, TOÁN THI:
Bài 1: Viết phương trình mp(P) chứa trục Oz và tạo với mp(Q): 3 x + y − 5 z = 0
một góc bằng 600.
Bài 25: Trong không gian Oxyz.
2

2

2

π
.
3
b)Cho A(a;0;0); B (0;0; b); C (0;0; c) , với a; b; c dương thỏa a 2 + b 2 + c 2 = 3 .
a)Lập pt của mp (P) qua M (0;0;1); N (3;0;0) và tạo với mp(Oxy) một góc
Xác định a, b, c sao cho khoảng cách từ O đến mp(ABC) lớn nhất

x = 2 + t

Bài 2 : (d ) :  y = 1 − t
 z = 2t


 x = 2 − 2t

; (d ') :  y = 3

.
z = t


a) C/m (d) & (d’) chéo nhau.
b) Viết pt mặt phẳng cách đều (d)& (d’).
Bài 3:Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng :

x +1 x − 3 z − 3
=
=
1
−2
−3
1 .Chứng minh rằng (d),(d’) cắt nhau .Viết ptrình mp (α ) chứa (d), (d’).
(d ') :

x + 2 y −1 z
=
= ;
1
2
3

(d , ) :

10
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian

Luyện thi đại học môn Toán 2013
GV: Ngô Khánh
-------------------------------------------------2. Viết phương trình 2 phân giác của góc tạo bởi (d), (d’) .
Bài 4 :Trong Oxyz cho hình chóp S. ABCD có đáy BCD là hình thoi, AC cắt BD taị
gốc tọa độ O. Biết A(2; 0; 0), B(0;1; 0), S(0; 0;2 2 ). Gọi M là trung điểm của canh
SC.
a) Tính góc và khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA, BM.
b) Giả sử mp ( ABM) cắt đường thẳng SD tại N. Tính thể tích hình chóp S.ABM.
Bài 5 : Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với A(0;0;0); B(1;0;0), D(0;1;0),
A'(0;0;1). Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính d(A'C; MN).
b) Viết p/trình mp chứa A'C và tạo với mp(Oxy) một góc α với cosα =

1
6

Bài 6 : Trong k/gian Oxyz cho A(0;-1;2) và 2 đường thẳng có phương trình:

x y −1 z +1
(∆1 ) : =
=
;
2
1
−1

x = 1+ t

(∆ 2 ) :  y = −1 − 2t
z = 2 + t



a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và song song với (∆1 ), (∆ 2 ).
b) Tìm M ∈ ∆1 , N ∈ ∆ 2 sao cho 3 điểm A; M; N thẳng hàng.
Bài 7 : Lập phương trình mặt cầu có tâm I (2; 3; -1)cắt đường thẳng:

5 x − 4 y + 3z + 20 = 0
(d ) : 
tại hai điểm A và B sao cho AB = 16
3 x − 4 y + z − 8 = 0
Bài 8 : Cho

(S ) : x2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 2 z − 3 = 0 ;
( P ) : 2 x − y + 2 z − 14 = 0

a) Viết pt mp(Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có b/kính bằng 3.
b) Tìm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất.
Bài 9 :Cho tứ diện với đỉnh A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6)
a) Tìm độ dài đường cao hạ từ D của tứ diện ABCD.
b) Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho

uuur uuur uuuu
r uuuu
r
MA + MB + MC + MD = 4

11
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian

Luyện thi đại học môn Toán 2013
GV: Ngô Khánh
-------------------------------------------------Viết phương trình tập hợp đó.
Bài 10 :Trong không gian O xyz cho I(2; 3; 1) và đường thẳng:

5 x − 4 y + 3 z + 20 = 0
(d ) : 
3 x − 4 y + z − 8 = 0
r
a) Tìm VTCP v của đường thẳng (d). Suy ra phương trình mp (P) qua I và vuông góc
(d) .
b) Tính khoảng cách từ I đến (d) . Suy ra phương trình mặt cầu (S) có tâm I sao cho
(S) cắt (d) tại A, B thỏa AB = 10.
Bài 11 : Cho ( S)0; 0; 1), A(1; 1; 0). Hai điểm M(m; 0; 0 ), N(0; n; 0) với m, n thay
đổi sao cho m + n và m > 0 , n > 0
a) Chứng minh thể tích hình chóp S.OMAN không phụ thuộc vào m, n.
b) Tính khoảng cách từ A đến mp (SMN). Từ đó suy ra mặt phẳng(SMN) tiếp xúc
với mặt cầu cố định.
Bài 12 : Trong không gian O xyz cho mặt cầu có phương trình :
x2 + y2 + z2 = 2(x + 2y +3z)
a) Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm của mặt cầu với Ox, Oy, Oz ( khác gốc O). Xác
định tọa độ A, B, C và lập phương trình mặt phẳng(ABC).
b) Xác định tọa độ của tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC .
Bài 13 : Cho 2 mặt phẳng

( P1 ) : 2 x − y + 2 z − 1 = 0

( P2 ) : 2 x − y + 2 z + 5 = 0

và điểm A (-1; 1; 1) nằm khoảng giữa 2 mặt phẳng đó.

a) Chứng tỏ bán kính mặt cầu ( S) là 1 hằng số và bán kính đó .
b) Gọi I là tâm mặt cầu (S) . Chứng minh I thuộc đường tròn cố định . Xác định tọa
độ của tâm và bán kính của đường tròn đó
Bài 14 : Cho 4 điểm A(3; 6;-2), B(6; 0; 1), C(-1; 2; 0), D(0; 4; 1).
a) Chứng minh A, B, C, D là 4 đỉnh tứ diện . Tính thể tích tứ diện đó
b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác địh tọa độ tâm, bán kính
mặt cầu này.
c) Viết phương trình đường tròn qua 3 điểm A, B, C. Xác định tọa độ tâm và bán kính
của đường tròn đó .
Bài 15 :Trong không gian O xyz. Cho 2 điểm A(2; 3; m), B(0; -1; 2).
a) Viết phương trình mặt cầu (Sm) có đường kinh AB. Tìm một điểm cố định khác B
của (Sm).
b) Định m để (Sm) tiếp xúc với x’Ox.

12
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian


Luyện thi đại học môn Toán 2013
GV: Ngô Khánh
-------------------------------------------------Bài 16 : Cho 2 mặt cầu

( S1 ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 4 z = 0
( S 2 ) : x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 2 y + 2 z − 10 = 0
a) Chứng minh ( S1 ), ( S 2 ) cắt nhau.
b) Tìm phương trình mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến và phương trình đường
tròn giao tuyến?
c) Tìm tâm , bán kính đường tròn giao tuyến.
Bài 17 : 1)Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’. Tính góc giữa 2mp(A'CB) và
(A'CD)

2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Đề các vuông góc O xyz. Cho hình hộp chữ
nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc tọa độ;B(a; 0; 0) D( 0; a; 0), A (0; 0; b) (a >
0, b > 0 ) . Gọi M là trung điểm của C C’.
a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b.
b) Xác định tỉ số

a
để 2 mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau.
b

Bài 18 :1) Trong O xyz cho hình lăng trụ đứngABC, A1B1C1. Biết A( a; 0; 0), B(-a; 0;
0), C( 0; 1; 0), B1(-a; 0; b) a > 0, b > 0.
a) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng B1C và AC1 theo a,b.
b) Cho a, b thay đổi nhưng luôn thỏa mãn a + b = 4. Tìm a,b để khoảng cách giữa 2
đường thẳng B1 C và A C1 lớn nhất .
2) Trong O xyz cho 3 điểm A(2; 0; 1), B(1; 1; 0), C(1; 1; 1) và mp (P) : x + y + z – 2
= 0. Viết p/trình mtj cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mp(P)
Bài 19 :.Trong không gianO xyz. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ
nhật , AC cắt BD tại gốc tọa độ O.
Biết A(− 2; −1;0), B( 2; −1;0), S (0;0;3)
a) Viết phương trình mp qua trung điểm M của canh AB, song song với 2 đường
thẳng AD và SC.
b) Gọi (P) là mặt phẳng qua điểm B và vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện
của hình chóp S. ABCD với mp (P).

 x = −1 − 2t
x y z

Bài 20: d1 : = = ; d 2 :  y = t
; (α ) : x − y + z = 0 .

1 1 2
z = t +1

13
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian


Luyện thi đại học môn Toán 2013
GV: Ngô Khánh
-------------------------------------------------a) Chuwngsw minh d1 ; d 2 chéo nhau.
b) Tìm M ∈ d1 ; N ∈ d 2 sao cho MN //(α ) & MN = 2
Bài 21: A(0;1; 2); B ( −1,1, 0);( P) : x − y + 2 = 0.
Tìm M thuộc (P) sao cho tam giác MAB vuông cân tại B.
Bài 22 : A((−1;3;0); B(0;1; −2);( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 2 y − 7 = 0 .
Lập phương trình mp(P) qua A, B và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng

77
.
3
 x = −t
x = t


Bài 23: d1 :  y = 3t ; d 2 :  y = 3t . Lập p/t mp(P) // với 2 đường thẳng trên đồng thời
z = 4
z = 0


khoảng cách từ (P) đến d1 gấp 3 lần khoảng cách từ (P) đến d 2
Bài 24 : ( P ) : 2 x − y − 2 z − 2 = 0; d :

x y +1 z − 2
=
=
−1
2
1

Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d, I cách (P) một khoảng bằng 2 đồng
thời (S) cắt (P) theo một đường tròn có bán kính bằng 3.
Bài 25 : A(1;1;0), B(0; 2;0), C (0;0;3).
a) Lập pt đường phân giác trong AD của tam giác ABC.
b) Tìm tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

x = 1
 x = 1 + 2t


Bài 26 : d1 :  y = 1 ; d 2 :  y = 2t
z = 3 + t
z = 0


a) Lập pt mặt phẳng (P) chứa d1 và vuông góc với d 2
b) Lập pt đường thẳng d 3 cắt cả hai đường thẳng trên đồng thời tạo với (P) một góc

600 .
Bài 27: A(2;0;1) , B(0;-2;3) , (P): 2x – y – z + 4 = 0. Tìm M thuộc (P) sao cho MA =
MB = 3.
Bài28: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 4x - 4 y – 4z = 0 ,

A(4;4;0) . Viết pt mặt phẳng OAB biết B thuộc mặt cầu (S) và tam giác OAB đều.

14
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian


Luyện thi đại học môn Toán 2013
GV: Ngô Khánh
-------------------------------------------------x −1 y +1 z −1
=
=
Bài29 : Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d ) :
. Viết pt
2
1
2
mặt cầu (S) có tâm I và cắt (d) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác IAB vuông
tại I.
Bài 30: (d1 ) :

x y −1 z
x−2 y −3 z +5
=
= ;(d 2 ) :
=
=
. Viết phương trình mặt
1
2
1

2
1
−1

phảng (P) chứa đường thẳng (d1) và tạo với (d2) một góc 300

x − 3 y − 2 z −1
=
=
và mặt
2
1
−2
cầu (S) có phương trình: x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 2 y − 4 z − 19 = 0 . Tìm M thuộc (d) sao
Bài31: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d ) :

cho mặt phẳng qua M và vuông góc với (D0 cắt (S) theo một đường tròn có chu vi
bằng 8π
Bài 32Trong không gian 0 xyz; cho mặt cầu (S) có phương trình:
x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 4 y + 6 z − 3 = 0 và mặt phẳng (P) : 2 x + 2 y + z + 7 = 0. Viết
phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua A(8;0 − 23), nằm trong mặt phẳng
(P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
Bài 33:Trong không gian ) 0xyz; cho 2 đường thẳng

(d1 ) :

x y −1 z −1
x −1 y −1 z − 2
=
=

, (d 2 ) :
=
=
và điểm A(1; -1; 2). Tìm tọa độ
2
1
1
1
−1
1

các điểm B,C lần lượt thuộc (d1), (d2) sao cho đường thẳng BC nằm trong mặt phẳng
đi qua A và đường thẳng (d1) đồng thời đường thẳng BC vuông góc với (d2).
Bài 34: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d ) :

x − 2 y +1 z
=
=
và mp(P):
1
−2
−1

x + y + z - 3 = 0. Gọi I là giao điểm của d và (P). Tìm M thuộc (P) sao cho IM vuông
góc với d và IM = 4 14 .
Bài 35: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d ) :

x + 2 y −1 z + 5
=
=

.và hai
1
3
−2

điểm A(-2;1;1), B(-3;-1;2). Tìm tọa độ M thuộc d sao cho tam giác MAB có diện tích
bằng 3 5 .
Bài 36: Trong không gian Oxyz cho hai đ/thẳng

15
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian


Luyện thi đại học môn Toán 2013
GV: Ngô Khánh
-------------------------------------------------x = 3 + t
x −1 y +1 z −1

(d1 ) :
=
=
; (d 2 ) :  y = 2t
và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 4x - 4
2
1
2
 z = −1 + 2t

y + 2z – 16 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng song song với d1 ; d2 và cắt mặt cầu
(S) theo một đường tròn có chu vi bằng 8π .

Bài 37: Trong không gian Oxyz cho đ/thẳng (d ) :

x − 2 y −1 z −1
=
=
; mp (P): x
1
−1
−3

+ y - z +1 = 0 . Gọi I là giao điểm của d và (P). Viết phương trình tham số của đường
thẳng a nằm trong (P). Vuông góc với d và cách I một khoảng bằng 3 2
Bài38 :Trong không gian Oxyz cho A(0;2;0); B(0;0;-1) và C thuộc trục Ox. Viết
phương trình mp(ABC) biết rằng khoảng cách từ C đến mp(P):2x + 2y – z = 0 bằng

x y z −1
= =
1 1
1
x −1 y +1 z −1
=
=
Bài39 : Trong không gian Oxyz cho hai đ/thẳng (d1 ) :
;
2
1
2
x = t

(d 2 ) :  y = 2 + t , A(-1;0;1). Tìm tọa độ các điểm M ∈ d1 ; N ∈ d 2 sao cho

 z = −2t

uuuu
r uuur
MN = 6 và AM . AN = 3 .
x −1 y − 3 z
=
= ;
Bài40 : Trong không gian Oxyz cho hai đ/thẳng (d1 ) :
2
−3
2
x−5 y z +5
(d 2 ) :
= =
, mp (P): x -2y + 2z - 1 = 0 . Tìm các điểm M ∈ d1 ; N ∈ d 2
6
4
−5
khoảng cách từ C đến đường thẳng đ/thẳng (d ) :

sao cho MN song song với (P) và cách (P) một khoảng bằng 2.
Bài41 : A(-1;1;0); B(0;0;-2) và C(1;1;1). Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua
2 điểm A,B đồng thời khoảng cách từ C đến mp(P) bằng 3 .
Bài 42:Tam giác ABC có A(3;1;0), B thuộc mpOxy, C nằm trên Oz. Tìm B, C sao
cho H(2;1;1) là trực tâm của tam giác.

16
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian

Luyện thi đại học môn Toán 2013
GV: Ngô Khánh
-------------------------------------------------x −3 y − 2 z −6
=
=
Bài43 :A(-1;0;2), (P): 2x – y –z + 3 = 0 ; d :
. Viết phương
2
4
1
trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua A, cắt d tại B, cắt (P) tại C sao cho
uuur uuu
r r
AC + 2 AB = 0 .

Bài44 : Trong không gian Oxyz; cho hai mặt phẳng (P) : x + z -3 = 0,
(Q) : y + z + 5 =0 và điểm A(1; -1; -1). Tìm toạ độ các điểm M trên (P), N trên (Q)
sao cho MN vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đồng thời A là trung điểm MN.
Bài45 : Trong không gian Oxyz; cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 6 y − 15 = 0

 x = 1 + 2t
3 − x y +1 z − 5

t và (d 2 ) :
=
=
. Viết phương
và hai đường thẳng: (d1 ) :  y =
4

−
1
1
z=3

trình mặt phẳng(P) song song với hai đường thẳng (d1 ) và (d 2 ) đồng thời cắt mặt
cầu (S) theo một đường tròn có chu vi bằng 8π .
Bài46 :Trong không gian Oxyz; cho mặt cầu (S): x + y + z − 2 x + 6 y − 15 = 0 và
đường thẳng :

 x = 2t

(d ) :  y=4 - t . Viết phương trình mặt phẳng (P)đi qua đường thẳng (d) đồng thời
 z=3 - 2t

cắt khối cầu (S) theo một hình tròn có diện tích bằng 16π .

Bài47 : Trong không gian 0xyz; cho mặt phẳng (P) : 3x + 2y –z+ 4= 0 và hai điểm
A(4; 0; 0), B(0; 4; 0). Gọi I là trung điểm đoạn AB. Tìm toạ độ giao điểm của AB với
mặt phẳng(P) và xác định toạ độ điểm K sao cho KI ⊥ mp (P) đồng thời K cách đều
gốc toạ độ O và mp(P).
Bài48 : : Trong không gian toạ độ Oxyz, cho ∆ABC có A(6; -2; 3), B(0; 1; 6, C(2; 0;
-1). Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC và viết phương trình mặt cầu (S) có
tâm A và tiếp xúc với đường thẳng BC.
Bài49 : : Trong không gian toạ độ Oxyz ; cho các điểm A(2; 0; 1),B(1; 2; 2), C(1; 1;
0) và mặt phẳng P : x + y + z – 20 = 0. Xác định toạ độ điểm D thuộc đường
thawmngr AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P).

17
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian

Luyện thi đại học môn Toán 2013
GV: Ngô Khánh
-------------------------------------------------Bài50 : Trong không gian toạ độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y – z + 1 = 0 và
hai điểm A(0; -1; -4) B(3; 2; -1). Lập phương trình đường thẳng ∆ nằm trên mặt
phẳng (P), đi qua giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (P) và vuông góc với
đường thẳng AB.
Bài51 : Trong không gian Oxyz; chop mặt phẳng (P) : x + y + z + 7 =0 và hai điểm
A(3; 3; 1), B(0; 2; 1). Viết phương trình đường thẳng ∆ là hình chiếu của đường
thẳng AB lên mặt phẳng (P) . Tìm toạ độ điểm M trên đường thẳng AB ( M ≠ B ) sao
cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng khoảng cách từ B đến mặt phẳng (P).
Bài52 : Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các đường thẳng

x −1 y −1 z −1
x y +1 z − 3
=
=
và (d 2 ) : =
=
1
2
2
1
2
−2
Chứng minh rằng (d1 ) cắt (d 2 ) . Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A(2; 3; 1)
và tạo với hai đường thẳng (d1 ) , (d 2 ) một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của
(d1 ) và (d 2 )
(d1 ) :

Bài53 : Trong không gian toạ độ 0xyz; cho mặt phẳng (P) : x –y + 2z – 2 = 0 và

x = 4 + t

đường thẳng (d):  y = 2 − t
z = 1− t


Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua d và hợp với mặt phẳng (P) một góc bằng 600 .
Bài54 : Trong không gian 0xyz; lập phương trình tham số của đường thẳng ∆ nằm
trong mặt phẳng(P): y + 2z = 0 và cắt cả hai đường thẳng

x = 2 − t
x −1 y z

(d1 ) :
= = , (d 2 ) :  y = 4 + 2
−1 1 4
z = 1

Bài55 : Trong không gian 0xyz; cho tứ diện ABCD có A(1; 2; 1), B(2; 1; 3), D(0; 3;
1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến mp
(P) bằng khoảng cách từ D đến mp (P) .

18
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian


Luyện thi đại học môn Toán 2013

GV: Ngô Khánh
-------------------------------------------------Bài56 : Trong không gian toạ độ 0xyz; cho hai đường thẳng

x = 1+ m
x = 3


(d1 ) :  y = −m ; (d 2 ) :  y = −4 + n Và mặt phẳng (P) :x – y + z – 7 = 0. Lập
z = 2
 z = −n


phương trình tham số của đường thẳng (d) cắt cả hai đường thẳng (d1 ) và (d 2 ) đồng
thời (d) vuông góc với mặt phẳng (P).
Bài57 : Trong không gian toạ độ 0xyz; cho hai đường thẳng

x = 1+ m
x = 3


(d1 ) :  y = −m ; (d 2 ) :  y = −4 + n Và mặt phẳng (P) :x – y + z – 7 = 0. Tìm
z = 2
 z = −n


toạ độ điểm M ∈ (d1 ), N ∈ (d 2 ) sao cho MN // mp (P) và MN = 6.
Bài58 : Trong không gian toạ độ 0xyz; cho hai điểm A(2; -3; 1), B(0; 1; -1) và

x = 1− t


đường thẳng (d):  y = 2t
 z = −1

Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I là trung điểm đoạn AB và cắt đường thẳng (d)
theo một dây cung có độ dài 1 =

4 5
5

Bài59 : A(2;-1;0); B(0;1;2); (P): x – 2y +2z + 6 = 0. Tìm C thuộc (P) sao cho
mp(ABC) vuông góc với (P) và CA = CB.
Bài60 : A(2;-1;0); B(0;1;2); (P): x – 2y +2z + 6 = 0. Lập phương trình mặt phẳng (Q)
qua 2 điểm A,B hợp với (P) góc µ có sin µ =

1
3

Bài61 : A(5;-1;2); B(2;2;2); C(2;-1;5). Chứng tỏ tam giác ABC đều. Tìm D sao cho
ABCD là tứ diện đều.
Bài62 : (P): 2x – y – 5z +1 = 0, d1 :

x +1 y −1 z −1
x−2 y+2 z
=
=
=
=
, d2 :
.
2

3
2
1
5
−2

Viết phuopwng trình tham số của đường thẳng d vuông góc với (P) và cắt cả hai
đường thẳng d1 ; d 2 .

19
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian


Luyện thi đại học môn Toán 2013
GV: Ngô Khánh
-------------------------------------------------Bài63 : Tam giác ABC có A(-1;-3;2), đường cao BH và trung tuyến CM nằm trên các
đường thẳng lần lượt có phương trình: d1 :

d2 :

x +1 y −1 z −1
=
=
;
2
3
2

x −2 y + 2 z −5
=

=
. Lập phương trình tham số của các đường thẳng chứa các
1
−3
1

cạnh AB & AC của tam giác.
Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi, góc BAD bằng 600
.Gọi M là trung điểm của AA', N là trung điểm cạnh CC'. Chứng minh 4 điểm B', M,
D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Tính độ dài cạnh AA' theo a để tứ giác B'MDN là
hình vuông.
Bài 64:Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi H là hình chiếu
của O lên mp(ABC).1) Chứng minh tam giác ABC có 3 góc nhọn.
2) Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC.
3) Chứng minh

1
1
1
1
=
+
+
.
2
2
2
OH
OA OB OC 2

4) Gọi α , β , γ lần lượt là các góc tạo bởi mp(ABC) với các mp(OAB); (OBC);
(OCA). Chứng minh: cos 2α + cos 2 β + cos 2γ = 1
Bài 65:Hình chóp SABCD đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD= b. SA = 2a
và SA vuông góc với đáy, M ∈ SA với AM = m (0 ≤ m ≤ 2a ) .
a) Mp(MBC) cắt h/chóp theo thiết diện là hình gì?Tính diện tích thiết diện đó.
b) Tìm vị trí của M để diện tích thiết diện lớn nhất.
c) Tìm vị trí M để mp(MBC) chia h/chóp thành 2 phần có t/tích bằng nhau.

D) GIẢI TOÁN HHKG BÀNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ
Bài 22: Bằng phương pháp tọa độ , hãy giải bài toán sau:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
a) Chứng minh đường chéo AC’ vuông góc với mp(AB’D’).

20
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian


Luyện thi đại học môn Toán 2013
GV: Ngô Khánh
-------------------------------------------------b) Chứng minh giao điểm của đường chéo A C’ với mp (AB’D’)là trọng tâm của tam
giác AB’D’.
c) Tính khoảng cách giữa 2 mp (AB’D’)và mặt phẳng(C’BD)
d) Tính góc giữa mp (DA’C) và mặt phẳng(ABB’A’)
Bài 55: Hình lập phương ABCD.A'B'C'D'.
1) C/minh A'C vuông góc với (AB'D'). Tính góc ϕ mp (DA'C) và (ABB'A').
2) Trên cạnh AD', DB lấy M;N thỏa AM=DN=k( (0 < k < a 2) .
a) Chứng minh MN ssong với (A'D'BC).
b) Tìm k để MN min, chứng tỏ khi đó MN là đoạn vuông góc chung của AD'
và DB.
Bài 23:Cho hình hộp chữ nhật ABCD có AB = AD = a; AA ' = b . Gọi M là trung

điểm của CC’.
a) Tính thể tích tứ diện BAA’M theo a & b.
b) Xác định tỉ số

a
để 2 mặt phẳng (A’BD) và ( MBD) vuông góc nhau
b

E) CÁC BÀI TOÁN TRONG K/GIAN OXYZ CÓ YẾU TỐ CỰC TRỊ
Bài 26 : A(1; 4;5), B (0;3;1), C (2; −1;0) & ( P) : 3 x − 3 y − 2 z − 15 = 0. Tìm M thuộc
(P) sao cho MA2 + MB 2 + MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 27 : (d) là giao tuyến của 2 mp 2 x + 3 y − 4 = 0 & y + z − 4 = 0 . (d’):

 x = 1 + 3t

y = 2+t .
 z = −1 + 2t

a) C/m (d) & (d’) chéo nhau.
b) Tính d(d;d’).
c) A;B là 2 điểm cố định trên d có AB= 117 ; C di động trên d’.
Tìm giă trị nhỏ nhất của diện tích tam giác ABC.
Bài 30 : Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A(1;2;-1), B(7;-2;3) và đường thẳng
(d) :

x +1 y − 2 z − 2
=
=
3
−2

2

a)Chứng minh đường thẳng (d) và đường thẳng AB đồng phẳng

21
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian


Luyện thi đại học môn Toán 2013
GV: Ngô Khánh
-------------------------------------------------b)Tìm điểm I thuộc (d) sao cho IA+IB nhỏ nhất
Bài 31 :Cho mặt phẳng ( α ) : 2 x − y + z + 1 = 0 và P(3;1;0), Q(-9;4;9).
Tìm M thuộc mp ( α ) sao cho MP − MQ đạt giá trị lớn nhất .

Bài 32 : Trong không gian Oxyz cho A(2;3;0) , B( 0; − 2;0 )và đường thẳng

x = t

∆ :y = 0
Tìm tọa độ điểm M thuộc ( ∆ ) sao cho MA + MB lớn nhất .
z = 2 − t

Bài 33 :Cho 2 điểm A(-1;3;-2), B(-9;4;9) và mặt phẳng (P): 2x – y + z + 1 =0
Tìm điểm K thuộc mp (P)sao cho KA + KB lớn nhất
Bài 34 :Cho A(1;3;-2), B(13;7;-4)và phương trình mặt phẳng :

( α ) : x − 2 y + 2z + 9 = 0

a) Tìm hình chiếu H của A lên mp ( α ).
b) Tìm I thuộc mp ( α ) sao cho IA + IB lớn nhất..

Bài 51: A(2;5;3) (d ) :

x −1 y z − 2
= =
2
1
2

a)Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên d.
b)Lập pt mp(P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất.
Bài 62:Trong không gian 0 xyz; cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có độ dài
bằng canhj1 và A (0;0;0).B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A1(0; 0; 1). Viết phương trình mặt
phẳng (α ) chứa CD1 và tạo với mặt phẳng (BB1DD1) một góc có số đo nhỏ nhất.

 x = 1 + 2t

Bài :A(10;2;-1), d :  y = t
. Viết phương trình mp(P) chứa d đồng thời khoảng
 z = 1 + 3t

cách từ A đến (P) lớn nhất.
Bài : Trong không gian toạ độ 0xyz; cho hai điểmA(2; -3; 1), B(0; 1; -1) và đường

x = 1− t

thẳng (d ) :  y = 2t
 z = −1

22
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian

Luyện thi đại học môn Toán 2013
GV: Ngô Khánh
-------------------------------------------------Tìm toạ độ M ∈ ( d ) sao cho ∆MAB có diện tích nhỏ nhất.
Bài : Trong không gian 0xyz; cho mặt phẳng (P) x + y +z + 7 = 0 và hai điểm A(3; 3;
1), B(0; 2; 1). Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) mà mọi
điểm trên d cách đều hai điểm A và B. Khi đó, tìm toạ độ đỉnh C trên đường thẳng d
sao cho diện tích tam giác ABC là nhỏ nhất.
Bài : (P): x + y +z +3 = 0 ; A(3;1;1), B(7;3;9), C(2;2;2;) Tìm M thuộc mp(P) sao cho

uuur uuur uuuu
r
MA + 2 MB + 3MC là nhỏ nhất.

Bài: Viết pt mp(Q) đi qua đường thẳng d :
– 2y + 2z +1 = 0 một góc nhỏ nhất.
Bài:
Bài:
Bài:
Bài:
Bài:
Bài:
Bài:
Bài:
Bài:
Bài:
Bài:

x −1 y − 2 z −1

=
=
và tạo với mp(P): x
3
−2
1

23
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian