Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán (chuyên) năm 2014 2015 sở GDĐT long an

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

SỞ GD&ĐT LONG AN
---------------ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01trang)

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LONG AN
NĂM HỌC 2014-2015
Môn thi: TOÁN CHUYÊN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1 (1,5 điểm)

Cho biểu thức

x x−y y
  x− y 
P=
+ xy ÷: 

÷  x− y÷
÷
x− y

 


a) Rút gọn biểu thức

P

với điều kiện

x, y ≥ 0, x ≠ y

.

.

x, y
P=3
b) Tìm tất cả các số tự nhiên
để
.
Câu 2 (2,0 điểm)
m
x2 − x + m = 0
Cho phương trình
. Tìm tất cả giá trị của tham số
để phương trình có hai
x1 , x2
x1 < x2 < 2
nghiệm phân biệt
sao cho
.
Câu 3 (1,0 điểm)
x 2 + 4 x + 7 = ( x + 4) x 2 + 7

Giải phương trình

.
Câu 4 (2,5 điểm)
( O)
O
O
AB
H
A
H
Gọi
là đường tròn tâm , đường kính
. Gọi
là điểm nằm giữa và , từ vẽ
CD
BC
N
AB
DA
M
dây
vuông góc với
. Hai đường thẳng
và
cắt nhau tại
. Gọi
là hình
chiếu vuông góc của

M

AB

lên đường thẳng
.
MNAC
a) Chứng minh: tứ giác
nội tiếp.
( O)
NC
b) Chứng minh:
là tiếp tuyến của đường tròn
.
( O)
NC
A
E
c) Tiếp tuyến tại
của đường tròn
cắt đường thẳng
tại . Chứng minh đường
CH
EB
thẳng
đi qua trung điểm của đoạn thẳng
.
Câu 5 (1,0 điểm)
Kì thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Long An năm nay có 529 h ọc sinh đ ến t ừ 16 đ ịa
phương khác nhau tham dự. Giả sử điểm bài thi môn Toán của m ỗi h ọc sinh đ ều là s ố
nguyên lớn hơn 4 và bé hơn hoặc bằng 10. Chứng minh rằng luôn tìm được 6 h ọc sinh có
điểm môn Toán giống nhau và cùng đến từ một địa phương.

Câu 6 (1,0 điểm)
a, b, c, d
1 ≤ a, b, c, d ≤ 2
a+b+c+d =6
Cho các số thực
sao cho
và
.

Trang | 6


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

P = a 2 + b2 + c 2 + d 2

Tìm giá trị lớn nhất của
.
Câu 7 (1,0 điểm)
AD, AB, BC , CD
AB = a , AD = b
ABCD
Cho hình chữ nhật
với
. Trên các cạnh
lần
E , F , G, H
EFGH

P
lượt lấy các điểm
sao cho luôn tạo thành tứ giác
. Gọi là chu vi
của tứ giác

EFGH

. Chứng minh:

P ≥ 2 a 2 + b2

.

--------HẾT--------Giám thị coi thi không giải thích gì thêm

Trang | 6


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN CHUYÊN
CÂU
Câu 1a
(0,75
điểm)

NỘI DUNG

x x−y y
+ xy =
x− y

(

x+ y

)

ĐIỂM

2

0,25

x− y
= x+ y
x− y
P=

Câu 1b
(0,75
điểm)

x+

P=

Vì

0,25

y

x+

y

và

Suy ra

P=3

0 ≤ x ≤ 9;0 ≤ y ≤ 9

x, y

cần tìm là :

Câu 2
(2,0
điểm)

0,25

0≤

x ≤ 3;0 ≤

y ≤3

nên
0,25
0,25

x = 0 x = 9 x = 1 x = 4
,
,
,

y = 9 y = 0 y = 4 y =1

∆ = 1 − 4m

0,25
⇔m<

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

1
4

0,25

x1 =

1 − 1 − 4m
2

0,25

x2 =

1 + 1 − 4m
2

0,25

Vì

x 1 < x2 < 2

Suy ra
Suy ra

nên

0,25

1 + 1 − 4m
<2
2

0,25

1 − 4m < 3
m > −2

Giá trị của
Câu 3
(1,0

0,25

m

0,25
−2 < m <

cần tìm là

1
4

x 2 + 4 x + 7 = ( x + 4) x 2 + 7 ⇔ x 2 + 7 − x x 2 + 7 + 4 x − 4 x 2 + 7 = 0

0,25
0,25

Trang | 6


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

điểm)

⇔

(

x2 + 7 − 4

)(

)

0,25

x2 + 7 − x = 0

 x2 + 7 − 4 = 0
⇔
 x 2 + 7 − x = 0

0,25

x = 3
⇔
 x = −3

0,25

Câu 4a
(0,75
điểm)

M

C
E

I
A

N

H
O
B

D

Ta có :
Ta có

·
MNA
= 900

·
ACB
= 900

Suy ra

Vì

Vì

(giả thiết)
0,25

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

·
ACM
= 900

Vì tứ giác
Câu 4b
(0,75
điểm)

0,25

MNAC
ADBC

MNAC

có

nội tiếp và

Gọi

I

Ta có

MN

nội tiếp nên

Từ (*) và (**) suy ra
Câu 4c
(1,0
điểm)

·
·
ACM
+ MNA
= 1800

song song

·ADC = ABC
·

·ACN = ABC
·

là giao điểm cùa

BE

và

0,25
nên nội tiếp

CD

nên

·ACN = ·ADC

0,25
(*)
0,25

(**)

.Vậy

NC

CH

là tiếp tuyến của

( O)

0,25

0,25

» ⇒ ECA
·
·
AB ⊥ CD ⇒ »AC = AD
= ACD

Trang | 6


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Suy ra
Ta có

CA

là phân giác trong của tam giác

CB ⊥ CA ⇒

⇒

Ta có

IH

BI CI

=
(1)
BE CE

EA

AE = CE

(cùng

(3) (

Từ (1), (2) và (3) suy ra

⊥ AB

AE , CE

CI = IH

⇒

)

Câu 6
(1,0
điểm)

0,25

IH
BI
=
(2)
AE BE

0,25

là tiếp tuyến )
CH

BE

Câu 5
(1,0
điểm)

0,25

CB là phân giác ngoài của tam giác ECI

song song

Mặt khác:

∆ECI

Vậy
đi qua trung điểm của đoạn thẳng
.

Ta có 529 học sinh có điểm bài thi từ 5 điểm đến 10 điểm

0,25

Theo nguyên lý Dirichlet ta có 89 học sinh có đi ểm bài thi như
nhau (từ 5 điểm đến 10 điểm)

0,25

Ta có 89 học sinh có điểm bài thi như nhau và đ ến từ 16 đ ịa
phương
Theo nguyên lý Dirichlet tìm được 6 em có cùng điểm thi môn toán
và đến từ cùng một địa phương

0,25

Ta có

1≤ a ≤ 2

suy ra

0,25

( a − 1) ( a − 2 ) ≤ 0

a ≤ 3a − 2

0,25

a 2 + b2 + c 2 + d 2 ≤ 3 ( a + b + c + d ) − 8 = 10

0,25

2

Suy ra
Suy ra

0,25

Giá trị lớn nhất của
các hoán vị )

P

là 10 (

P = 10

với

a = 2, b = 2, c = 1, d = 1

hoặc

0,25

Trang | 6

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Câu 7
( 1,0
điểm)

F

A

0,25

B

I
E

G

K
M
D

H

C

Gọi I, K, M theo thứ tự là trung điểm của EF, EG và GH.
AEF vuông tại A có AI là trung tuyến nên AI=
Tương tự MC=

1
.GH
2

1
.EF
2

.

IK là đường trung bình của EFG nên IK=

1
.FG
2

0,25
. Tương tự KM=

1
. EH
2

P= EF + FG + GH +HE= 2(AI + IK + KM + MC)

0,25

Ta có: AI + IK + KM + MC ≥ AC

0,25

Suy ra P≥ 2AC=

2 a 2 + b2

-------HẾT-------

Trang | 6


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

-

CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247
Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho h ọc sinh gi ỏi, các em yêu thích toán và mu ốn thi vào

-

lớp 10 các trường chuyên.
Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh l ớp 10 các tr ường chuyên c ủa c ả n ước trong nh ững

-

năm qua.
Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ôn luy ện h ọc sinh
giỏi.

-

Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa h ọc, h ợp lý mang l ại k ết

-

quả tốt nhất.
Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.
Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.
Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.
Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên c ủa H ỌC247.

 />
Trang | 6