TIỂU LUẬN LÝ THUYẾT NỬA VÀNH VÀ NỬA MÔĐUN (bao gồm file latex)

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN HỌC

——————o0o——————

TIỂU LUẬN
LÝ THUYẾT NỬA VÀNH VÀ NỬA MÔĐUN

Đề tài:

TÍCH TENXƠ CỦA NỬA MÔĐUN
Chuyên Ngành: Đại số và Lý thuyết số

Cán bộ hướng dẫn:

Học viên:

PGS.TSKH.Nguyễn Xuân Tuyến

Hoàng Thị Kiều My

Thành phố Huế, tháng 11 năm 2014


LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến PGS.TSKH.
Nguyễn Xuân Tuyến, người đã định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm,
tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu,
học tập môn Lý thuyết nửa vành và nửa môđun và nhất là trong quá trình

hoàn thành tiểu luận này.
Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cám ơn về những giúp đỡ, chỉ bảo quý báu
của các anh chị học viên trong lớp Cao học 22, chuyên ngành Đại số-Lý thuyết
số trường Đại học Sư Phạm Huế đã động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình
học tập, cũng như trong quá trình viết và chỉnh sửa tiểu luận này. Mặc dù đã
có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất
mong nhận được những ý kiến đóng góp của các quý thầy cô và các bạn để luận
văn được hoàn thiện hơn.

1


Mục lục
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1. Nửa vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Nửa môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3. Đồng cấu nửa môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4. Tính chất giản ước được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Chương 2. TÍCH TENXƠ CỦA NỬA MÔĐUN . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.1. Xây dựng tích Tenxơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Chương 3. MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Bài 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Bài 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2

LỜI MỞ ĐẦU

Trên thế giới hiện nay, lý thuyết môđun đã đạt được nhiều thành tựu rực
rỡ. Cấu trúc của nhiều lớp môđun đã được thiết lập và được áp dụng vào các
lĩnh vực khác của toán học hiện đại . Do nhu cầu phát triển của toán học hiện
đại, vào những năm giữa thế kỷ hai mươi lý thuyết nửa vành và lý thuyết nửa
môđun trên nửa vành ra đời và đã thu hút nhiều nhà toán học trên thế giới
quan tâm nghiên cứu. Dựa trên những thành tựu đạt được về lý thuyết môđun,
nhiều kết quả về môđun đã được chuyển sang nửa môđun với những sự thay
đổi thích hợp và khá tinh tế. Tiểu luận của tôi dựa trên cuốn sách A theory of
semirings and semimodules của PGS.TSKH Nguyễn Xuân Tuyến để trình bày
những kiến thức cơ sở về lý thuyết xây dựng tích Tenxơ của nửa môđun và các
tính chất của nó.
Nội dung tiểu luận gồm 3 chương :
Chương 1 : Một số kiến thức liên quan.
Trong chương này tôi trình bày khái niệm : nửa vành, nửa môđun, đồng cấu
nửa môđun, tính chất nửa môđun giản ước được.
Chương 2 : Tích Tenxơ của nửa môđun.
Trong chương này tôi trình bày cách xây dựng Tích Tenxơ và một số tính chất
của Tích Tenxơ.
Chương 3: Một số bài tập liên quan.
Trong chương này tôi chủ yếu giải các bài tập ở trong giáo trình của thầy
Nguyễn Xuân Tuyến.

3


Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN

1.1. Nửa vành
Định nghĩa 1.1.1. Một nửa vành là một tập Λ trên đó được trang bị hai phép
toán cộng và nhân thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) (Λ, +) là một vị nhóm với phần tử không là 0 − Λ;
(2) (Λ, .) là vị nhóm với phần tử đơn vị là 1 − Λ;
(3) Phép nhân phân phối với phép cộng theo hai phía;
(4) 0 − Λr = 0 − Λ = r0 − Λ với mọi r ∈ Λ;
(5) 1 − Λ = 0 − Λ.
Một tập khác rỗng H cùng với hai phép toán cộng và nhân thỏa mãn các
điều kiện (1), (3), (4) và thay (2) bởi điều kiện (H, . ) là nửa nhóm thì H được
gọi là nửa vành không có đơn vị. Một nửa vành là giao hoán nếu phép nhân là
giao hoán.
Mệnh đề 1.1.1. Một tập Λ chứa hai phần tử 0 = 1 cùng với hai phép toán (+)
và (.) là một nửa vành giao hoán nếu và chỉ nếu các điều kiện sau đây được
thỏa mãn với mọi a, b, c, d, e ∈ Λ:
(1) a + 0 = 0 + a;
4


(2) a1 = a;
(3) 0a = 0;
(4) [(ae + b) + c]d = db + [a(ed) + cd].

1.2. Nửa môđun
Định nghĩa 1.2.1. Cho Λ là nửa vành, một Λ− nửa môđun trái M là vị nhóm
cộng giao hoán (M,+) với phần tử không là 0M , cùng với ánh xạ : Λ × M → M,
kí hiệu : (r, m) → rm, gọi là phép nhân ngoài thỏa mãn các điều kiện sau :

∀r, r ∈ Λ, ∀m, m ∈ M:
(1) (rr )m = r(r m)

(2) r(m + m ) = rm + rm
(3) (r + r )m = rm + r m
(4) 1Λ m = m
(5) r0M = 0M = 0Λ m

1.3. Đồng cấu nửa môđun
Định nghĩa 1.3.1. Cho A, B là Λ− nửa môđun trái. Ánh xạ f : A → B gọi là
đồng cấu nếu thỏa các điều kiện :

f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ Λ
f (rx) = rf (x), ∀x ∈ A, r ∈ Λ
Định nghĩa 1.3.2. Cho f : A → B gọi là Λ− đồng cấu nửa môđun.
a) Nếu f thỏa mãn tính chất : ∀a1 , a2 ∈ A : f (a1 ) = f (a2 ) ⇒ a1 = a2 thì f
được gọi là đơn cấu.
5


b)f được gọi là toàn cấu nếu : ∀b ∈ B , ∃a ∈ A : f(a)=b.
c)f gọi là đẳng cấu nếu f vừa đơn cấu vừa toàn cấu.
Định nghĩa 1.3.3. Cho A, B là hai Λ− nửa môđun. Đặt HomΛ (A, B) =

f |f : A → B đồng cấu . Lúc đó HomΛ (A, B) là một vị nhóm giao hoán cùng
với phép cộng :

(f + g)(x) = f (x) + g(x)
(HomΛ (A, B), +) là vị nhóm các đồng cấu từ A vào B.
Định nghĩa 1.3.4. Cho f : A → B là Λ− đồng cấu nửa môđun trái.
a) f gọi là i-chính quy nếu f(A)=Im(f) b) f gọi là k-chính quy nếu : ∀a1 , a2 ∈ A
sao cho f (a1 ) = f (a2 ) thì ∃k1 , k2 ∈ Ker (f ) : a1 + k1 = a2 + k2 .
c) f gọi là chính quy nếu f vừa là i-chính quy vừa là k-chính quy.

d) f gọi là nửa đẳng cấu nếu f là toàn cấu và Ker(f)=0.

Mệnh đề 1.3.1. Cho f : A → B là Λ− đồng cấu nửa môđun. Khi đó f là đơn
cấu khi và chỉ khi f là k-chính quy và Ker(f)=0.

1.4. Tính chất giản ước được
Định nghĩa 1.4.1. Một phần tử u của nửa vành có đơn vị Λ được gọi là giản
ước được nếu u+b=u+c suy ra b=c trong Λ.

6


Chương 2

TÍCH TENXƠ CỦA NỬA MÔĐUN
2.1. Xây dựng tích Tenxơ
Cho Λ là nửa vành có đơn vị, A là Λ− nửa môđun phải và B là Λ− nửa
môđun trái . Cho N [A × B] là vị nhóm cộng giao hoán tự do được sinh bởi
tập A × B được gọi là Tích Đề-các của A và B. Khi đó mỗi phần tử α của
N [A × B] được biểu diễn duy nhất dưới dạng một tổng hữu hạn :

α=

ni (ai , bi ) với ni ∈ N, (ai , bi ) ∈ A × B

Ta biểu thị U = N [A × B] × N [A × B] là tích của vị nhóm cộng theo từng
thành phần. Giả sử W là tập con của U bao gồm tất cả các phần tử được biểu
diễn dưới dạng :

((a + a , b), (a, b) + (a , b)), ((a, b) + (a , b), (a + a , b))

((a, b + b ), (a, b) + (a, b )), ((a, b) + (a, b ), (a, b + b ))
((ar, b), (a, rb)), ((a, rb), (ar, b))
với a, a ∈ A; b, b ∈ B, r ∈ Λ
Cho U’ là vị nhóm con của U được sinh bởi W. Khi đó mỗi phần tử của U’
được viết ( không nhất thiết là duy nhất) dưới dạng tổng hữu hạn :

ni (αi , βi ) = (

ni αi ,

ni βi )

với ni ∈ N; (αi , βi ) ∈ W
7


Để ý rằng (γ, γ) ∈ U với mọi α ∈ N(A × B)
Ta định nghĩa quan hệ N−đồng dư ≡ trên N(A × B) bằng thiết lập :

α ≡ β ⇔ ∃(γ, δ) ∈ U : α + γ = β + δ
Vành thương N− nửa môđun N(A × B)/≡ được kí hiệu A⊗Λ B và được gọi là
tích tenxơ của A và B trên Λ.
Nếu a ∈ A và b ∈ B thì phần tử (a, b)/≡ được kí hiệu là a ⊗ b

2.2. Tính chất
(a) Vì N(A × B) được sinh bởi phần tử có dạng (a,b) nên A⊗Λ B cũng được
sinh ra bởi phần tử có dạng a ⊗ b và do đó mỗi phần tử của A⊗Λ B được
viết (không nhất thiết là duy nhất) dưới dạng tổng hữu hạn

(ai ⊗ bi )

với ai ∈ A, bi ∈ B.
(b) Hơn nữa, bằng cách xây dựng trên ta thấy rằng ∀a, a ∈ A, ∀b, b ∈ B ,

∀r ∈ Λ, ∀n ∈ N ta có :
(1) (a + a ) ⊗ b = a ⊗ b + a ⊗ b
(2) a ⊗ (b + b ) = a ⊗ b + a ⊗ b
(3) (ar) ⊗ b = a ⊗ (rb)
(4) 0A ⊗ b = a ⊗ 0B = 0A⊗Λ B
(c) Ngoài ra, nếu Γ là nửa vành có đơn vị, ta dễ dàng kiểm tra được rằng :
Nếu A là (Γ, Λ)− song nửa môđun thì A⊗Λ B là Γ− nửa môđun trái với
tích vô hướng được định nghĩa :

s(a ⊗ b) = (sa) ⊗ b
Tương tự, nếu B là (Λ, Γ)− song nửa môđun thì A⊗Λ B là Γ− nửa môđun
8


phải với tích vô hướng được định nghĩa :

(a ⊗ b)s = a ⊗ (bs)
Mệnh đề 2.19: Cho Λ là nửa vành có đơn vị. Nếu A là Λ− nửa môđun phải
và B là Λ− nửa môđun trái thì N− nửa môđun A⊗Λ B là giản ước được.
Chứng minh:
Giả sử α, α , α ∈ N(A × B) thỏa :

α/≡ + α /≡ = α /≡ + α /≡
Khi đó tồn tại một cặp (γ, δ) ∈ U sao cho α + α + γ = α + α + δ .
Theo cách xây dựng ta có : (α , α ) ∈ U

⇒ (α + γ, α + δ) ∈ U
Điều đó có nghĩa là α/≡ = α /≡
Vậy A⊗Λ B là giản ước được.
Định nghĩa 2.2.1. Cho Λ là nửa vành có đơn vị. Nếu A là Λ− nửa môđun phải
và B là Λ− nửa môđun trái và Γ là N− nửa môđun thì ánh xạ θ : A × B → Γ
được gọi là Λ− cân bằng nếu và chỉ nếu :

∀a, a ∈ A, ∀b, b ∈ B, ∀r ∈ Λ ta có :
(1) θ(a + a , b) = θ(a, b) + θ(a , b)
(2) θ(a, b + b ) = θ(a, b) + θ(a, b )
(3) θ(ar, b) = θ(a.rb)
Ví dụ:
Nếu N là Λ− nửa môđun trái và Γ là N− nửa môđun thì tập HomN (N, Γ) =
{ α : N → Γ} có cấu trúc của một Λ− nửa môđun phải, khi đó ta định nghĩa

(α + β)(n) = α(n) + β(n)
9


(αr)(n) = α(rn)
Nếu M là Λ− nửa môđun phải và ϕ : M → HomN (N, Γ) là Λ− đồng cầu, khi
đó ta có ánh xạ cân bằng :

θ :M×N→Γ
(m, n) → (ϕ(m))(n)
Ngược lại, nếu θ : M × N → Γ là toàn ánh cân bằng thì ta định nghĩa Λ− đồng
cấu :

ϕ : M → HomN (N, Γ)
m → (ϕ(m))(n) = θ(m, n)

Chứng minh:

(⇒) : Chứng minh θ là ánh xạ cân bằng : ∀m, m ∈ M, ∀n, n ∈ N, ∀r ∈ Λ :
1. θ(m + m , n) = (ϕ(m + m ))(n) = (ϕ(m) + ϕ(m ))(n)

= (ϕ(m))(n) + (ϕ(m ))(n)
= θ(m, n) + θ(m , n)
2. θ(m, n + n ) = ((ϕ(m))(n + n )

= (ϕ(m))(n) + (ϕ(m))(n )
= θ(m, n) + θ(m, n )
3. θ(mr, n) = ((ϕ(mr))(n)

= (rϕ(m))(n) = (ϕ(m))(rn)
= θ(m, rn)
(⇐) : Chứng minh ϕ là đồng cấu :
∀m, m ∈ M, ∀n, n ∈ N, ∀r ∈ Λ ta có :

10


1. ϕ(m + m ) = (ϕ(m + m ))(n) = θ(m + m )(n)

= θ(m, n) + θ(m , n) = (ϕ(m))(n) + (ϕ(m ))(n)
= ϕ(m) + ϕ(m )
2. ϕ(mr) = (ϕ(mr))(n) = θ(mr)(n)

= θ(m, rn) = (ϕ(m))(rn) = (rϕ(m))(n)
= rϕ(m)

Chú ý 2.6:
(1) Nếu Λ là nửa vành có đơn vị và M là Λ− nửa môđun trái thì ta có quan
hệ [≡](0) trên M được định nghĩa bởi :

m[≡](0) m ⇔ ∃m ∈ M : m + m = m + m
Lớp tương đương của phần tử m đối với quan hệ này được kí hiệu : m[/](0)
(2) Nếu Λ là nửa môđun trái và ∼ là Λ− quan hệ tương đẳng trên M được
định nghĩa :

m ∼ m ⇔ ∃m ∈ M : m + m = m + m
Khi đó M/ ∼ được gọi là Λ− nửa môđun trái giản ước được.
Mệnh đề 2.20: Cho Λ là nửa vành có đơn vị, A là Λ− nửa môđun phải, B
là Λ− nửa môđun trái và Γ là N− nửa môđun. Nếu θ : A × B → Γ là ánh xạ

Λ− cân bằng thì tồn tại duy nhất một N− đồng cấu ϕ : A⊗Λ B → Γ [/] { 0}
thỏa điều kiện : ϕ(a ⊗ b) = θ(a, b) [/] { 0} ∀a ∈ A, ∀b ∈ B.
Chứng minh: θ được mở rộng một cách suy nhất bởi N− đồng cấu θ∗ :

θ∗ : N(A × B) → Γ

11


thỏa : θ∗ (α(a, b)) = θ(a, b), ∀a ∈ A, ∀b ∈ B.
Thật vậy, với mỗi γ ∈ N(A × B) ta có :

θ∗ (γ) =

γ(a, b)θ(a, b)
(a,b)∈sup p(γ)

với sup p(γ) là giá của γ nghĩa là γ(a, b) = 0 với (a, b) ∈ A × B.
Cho ≡ là quan hệ tương đương được dùng trong định nghĩa A⊗Λ B, nghĩa là :

A⊗Λ B = N(A × B)/ ≡
Tương tự, cho U’ và W như trên và dùng ánh xạ :

ϕ : A⊗Λ B → Γ = Γ [/] {0}
α/ ≡→ θ∗ (α) [/] {0}
Ánh xạ này được định nghĩa tốt vì :
Nếu α ≡ β trong N (A × B) thì ∃ (γ, δ) ∈ U sao cho α + γ = β + δ

⇒ θ∗ (α) + θ∗ (γ) = θ∗ (β) + θ∗ (δ).
Theo định nghĩa của U’, (γ, δ) được viết lại :

(γ, δ) =

ni γi ,

ni δi

với ni ∈ N, (γi , δi ) ∈ W với mỗi i.
Khi đó : θ∗ (γ) =

ni θ∗ (γi ) =

ni θ∗ (δi ) = θ∗ (δ).

Theo chú ý 2.6(2) thì Γ [/] {0} là giản ước được nên :

θ∗ (α) [/] {0} = θ∗ (β) [/] {0}
⇒ ϕ(α/ ≡) = ϕ(β/ ≡)
Ta chứng minh ϕ là N− đồng cấu :
Thật vậy, nếu α, β ∈ N (A × B) thì :

12


ϕ (α/ ≡ +β/ ≡) = ϕ [(α + β) / ≡]
= θ∗ (α + β) [/] {0}
= θ∗ (α) [/] {0} + θ∗ (β) [/] {0}
= ϕ(α/ ≡) + ϕ(β/ ≡)
Giả sử α ∈ N (A × B) thỏa điều kiện : α = 0.
Khi đó ∃ (γ, δ) ∈ U sao cho α + γ = β + δ

⇒ θ∗ (α) + θ∗ (γ) = θ∗ (β) + θ∗ (δ).
Vì θ∗ (λ) = θ∗ (δ) và Γ [/] {0} là giản ước được nên θ∗ (α) = 0 [/] {0}.

⇒ ϕ (0/ ≡) = 0 [/] {0}
Vậy ϕ là N− đồng cấu .
Ta dễ dàng kiểm tra được tính duy nhất của ϕ.
Vậy mệnh đề đã được chứng minh.
Chú ý: Nếu A là Λ− nửa môđun phải, B là Λ− nửa môđun trái và Γ là N−
nửa môđun giản ước được, với mỗi ánh xạ Λ− cân bằng : θ : A × B → Γ thì
tồn tại duy nhất N− đồng cấu ϕ :

ϕ : A⊗Λ B → Γ [/] {0}
a ⊗ b → θ (a, b)
với ∀a ∈ A, ∀b ∈ B.

Mệnh đề 2.21: Cho Λ là nửa vành có đơn vị, A là Λ− nửa môđun phải, B
là Λ− nửa môđun trái và Γ là N− nửa môđun giản ước được. Khi đó tồn tại
đẳng cấu chính tắc của Γ là N− môđun :

ρ : Hom (A⊗Λ B, Γ) → HomΛ (A, Hom(B, Γ))
Chứng minh:
Nếu ϕ là N− đồng cấu đi từ A⊗Λ B, Γ vào Λ, cho ϕ∗ là ánh xạ :
13


ϕ∗ : A → Hom(B, Γ)
a → ϕ∗ (a) : b → ϕ (a ⊗ b)
Khi đó ϕ∗ là Λ− đồng cấu của Λ− nửa môđun phải

⇒ ϕ∗ ∈ HomΛ (A, Hom(B, Γ))
Cho ρ : Hom (A⊗Λ B, Γ) → HomΛ (A, Hom(B, Γ))
ϕ → ϕ∗
* Chứng minh ρ là đồng cấu :
∀ϕ1 , ϕ2 ∈ Hom (A⊗Λ B, Γ), ∀a ∈ A, ∀b ∈ B, ∀r ∈ Λ:
1. ρ [(ϕ1 + ϕ2 ) (a, b)] = ϕ∗ (ϕ1 + ϕ2 ) (a, b)

= ϕ1 (a ⊗ b) + ϕ2 (a ⊗ b)
= ϕ1 ∗ (a) + ϕ2 ∗ (a)
= ρ [(ϕ1 ) (a, b)] + ρ [(ϕ2 ) (a, b)]
2. ρ [(ϕ1 r) (a, b)] = ϕ∗ (ϕ1 r) (a, b)

= (ϕ1 r) (a ⊗ b) = (rϕ1 ) (a ⊗ b)
= r(ϕ1 (a ⊗ b))
= rϕ1 ∗ (a)
= rρ [(ϕ1 ) (a, b)]

⇒



 ρ (ϕ1 + ϕ2 ) = ρ (ϕ1 ) + ρ (ϕ2 )

 ρ(ϕ1 r) = rρ (ϕ1 )

* Chứng minh ρ là đơn ánh :
Giả sử ρ (ϕ) = ρ (ϕ )

⇒ ϕ∗ = ϕ ∗
⇒ ϕ (a ⊗ b) = ϕ (a ⊗ b) ∀a ∈ A, ∀b ∈ B.
⇒ϕ=ϕ.
14


* Chứng minh ρ là toàn ánh :
Cho ψ là Λ− đồng cấu : A → Hom(B, Γ) và θ : A × B → Γ sao cho θ (a, b) =

ψ (a) (b).
Khi đó θ là Λ− cân bằng vì : ∀a, a ∈ A, ∀b, b ∈ B, ∀r ∈ Λ :
1. θ (a + a , b) = ψ (a + a ) (b)

= (ψ (a) + ψ (a )) (b) = ψ (a) (b) + ψ (a ) (b)
= θ (a, b) + θ(a , b)
2. θ (a, b + b ) = ψ (a) (b + b )

= ψ (a) (b) + ψ (a) (b )

= θ (a, b) + θ(a, b )
3. θ (ar, b) = ψ (ar) (b)

= (rψ (a)) (b)
= rθ (a, b)
Theo Mệnh đề 2.20, tồn tại duy nhất đồng cấu :

ϕ : A⊗Λ B → Γ
a ⊗ b → θ (a, b)
Theo định nghĩa ta có :

ψ (a) (b) = θ (a, b) = ϕ (a ⊗ b) = ϕ∗ (a) (b)
⇒ ψ = ϕ∗ .
Vậy nếu ψ ∈ Hom (A, Hom (B, Γ)) thì tồn tại ϕ ∈ Hom (A⊗Λ B, Γ) sao cho

ρ (ϕ) = ϕ∗ = ψ nên ρ là toàn ánh. Vậy ρ là N− đẳng cấu.

Mệnh đề 2.22: Nếu M là Λ− nửa môđun trái thì Λ⊗Λ M là đẳng cấu vào

M [/] {0}.

15


Chứng minh:
Cho ánh xạ:

θ : Λ × M → M [/] {0}
(r, m) → θ(r, m)
Khi đó θ là Λ− cân bằng nên theo Mệnh đề 2.20 tồn tại duy nhất N− đồng

cấu :

ϕ : Λ⊗Λ M → M [/] {0}
r ⊗ m → θ(r, m)
Thật vậy, ϕ là Λ− đồng cấu của Λ− nửa môđun trái. Mặt khác ta có ánh
xạ:

ψ : M [/] {0} → Λ⊗Λ M
m [/] {0} → 1 ⊗ m
Ta dễ dàng kiểm tra được rằng ánh xạ đó được định nghĩa tốt và hơn nữa
nó là Λ− đồng cấu.
Vì ψϕ (r ⊗ m) = ψ (rm) [/] {0} = 1 ⊗ (rm) = (1r) ⊗ m = r ⊗ m
và ϕψ (m [/] {0}) = ϕ (1 ⊗ m) = θ (1, m) = (1m) [/] {0} = m [/] {0}
với ∀r ∈ Λ và ∀m ∈ M.

⇒ ϕ vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.
Vậy ϕ là Λ− đẳng cấu.

16


Chương 3

MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG
Với mỗi Λ− nửa môđun trái A, ta thiết lập : ∆(A) = { x, x , x ∈ A} và định
nghĩa quan hệ tương đẳng ρ (∆ (A)) của A liên kết với ∆ (A) : aρ (∆ (A)) a ⇔

a + x = a + x ∀x ∈ A. Khi đó Λ− nửa môđun trái c(A) =: A/ρ (∆ (A)) là giản
ước được. Cho Λ− đồng cấu f : A → B, ta có Λ− đồng cấu c(f): c(A) → c(B),
được định nghĩa : c(f ) ([a]) = [f (a)].

Bài 1.
Nếu A là Λ− nửa môđun trái giản ước được và f : A → B là Λ− đồng cấu,
chứng minh rằng :
(i) f là i-chính quy ⇔ c(f) là i-chính quy.
(ii) Nếu f là k-chính quy thì suy ra c(f) là k-chính quy.
(iii) Nếu f là chính quy thì suy ra c(f) là chính quy.
Giải:
(i) (⇒) : Giả sử f là i-chính quy, ta chứng minh c(f) là i-chính quy tức là chứng
minh : Im c (f ) = c (f ) (c (A)).

(⊆) : ∀y/ρ (∆ (B)) ∈ Im c (f ), ∃x1 /ρ (∆ (A)) , x2 /ρ (∆ (A)) ∈ c (A) sao
cho : ⇒ y/ρ (∆ (B))+f (x1 ) /ρ (∆ (A)) = f (x1 ) /ρ (∆ (A))+f (x2 ) /ρ (∆ (A)).
17


Vì B giản ước được nên c(B) cũng giản ước được, do đó y/ρ (∆ (B)) =

f (x2 ) /ρ (∆ (A)).
⇒ y/ρ (∆ (B)) ∈ c (f ) (c (A)).
Vậy Im c (f ) ⊆ c (f ) (c (A)). (1)

(⊇): ∀y/ρ (∆ (B)) ∈ c (f ) (c (A)), ∃x/ρ (∆ (A)) ∈ c (A) sao cho y/ρ (∆ (B)) =
f (x) /ρ (∆ (A)).
⇒ y = f (x). Mà f là i-chính quy nên Im (f ) = f (A).
⇒ y ∈ Im (f ).
Suy ra ∃x1 , x2 ∈ A sao cho : y + f (x1 ) = f (x2 ).

⇒ y/ρ (∆ (B)) + f (x1 ) /ρ (∆ (A)) = f (x2 ) /ρ (∆ (A)).
⇒ y/ρ (∆ (B)) ∈ Im c (f ).
⇒ c (f ) (c (A)) ⊆ Im c (f ). (2)

Vậy từ (1) và (2) suy ra được : Im c (f ) = c (f ) (c (A)) hay c(f) là i-chính
quy.

(⇐): Giả sử c(f) là i-chính quy ta chứng minh f là i-chính quy tức là chứng
minh : Im (f ) = f (A).

(⊆): ∀y ∈ Im (f ), ∃x1 , x2 ∈ A sao cho :
y + f (x1 ) = f (x1 ) + f (x2 ).
Vì B giản ước được nên y = f (x2 ) ∈ B, do đó y ∈ f (A).
Từ đó ta có Im (f ) ⊆ f (A). (3)

(⊇) : ∀y ∈ f (A), ∃a ∈ A sao cho : y = f (a).
⇒ y/ρ (∆ (B)) = f (a) /ρ (∆ (B))
⇒ y/ρ (∆ (B)) ∈ c (f ) (c (A))
Mà c(f) là i-chính quy nên Im c (f ) = c (f ) (c (A)).

⇒ y/ρ (∆ (B)) ∈ Im c (f )
⇒ ∃x1 /ρ (∆ (A)) , x2 /ρ (∆ (A)) ∈ c (A) sao cho :
18


y/ρ (∆ (B)) + f (x1 ) /ρ (∆ (A)) = f (x2 ) /ρ (∆ (A)).
⇒ y + f (x1 ) = f (x2 ) với x1 , x2 ∈ A.
⇒ f (A) ⊆ Im (f ). (4)
Từ (3) và (4) suy ra Im (f ) = f (A) hay f là i-chính quy .
(ii) Giả sử f là k-chính quy ta chứng minh : c(f) là k-chính quy.
Thật vậy, vì f là k-chính quy nên ∃a1 , a2 ∈ A : f (a1 ) = f (a2 ), lúc đó

∃k1 , k2 ∈ K er (f ) sao cho : a1 + k1 = a2 + k2 .
Từ đó ta suy ra được :

a1 , a2 ∈ A nên a1 /ρ (∆ (A)) , a2 /ρ (∆ (A)) ∈ c (A).
f (a1 ) = f (a2 ) suy ra f (a1 ) /ρ (∆ (B)) = f (a2 ) /ρ (∆ (B)).

k1 , k2 ∈ K er (f ) nên



 f (k1 ) = 0

⇒



 f (k1 ) /ρ (∆ (B)) = 0

 f (k2 ) /ρ (∆ (B)) = 0


 f (k2 ) = 0

⇒ k1 /ρ (∆ (A)) , k2 /ρ (∆ (A)) ∈ K er (c (f )).
Và khi đó : a1 + k1 = a2 + k2 suy ra :

a1 /ρ (∆ (A)) + k1 /ρ (∆ (A)) = a2 /ρ (∆ (A)) + k2 /ρ (∆ (A)).
Vậy ∃a1 /ρ (∆ (A)) , a2 /ρ (∆ (A)) ∈ c (A) : f (a1 ) /ρ (∆ (B)) = f (a2 ) /ρ (∆ (B))
thì ∃k1 /ρ (∆ (A)) , k2 /ρ (∆ (A)) ∈ K er (c (f )) sao cho : a1 /ρ (∆ (A)) +

k1 /ρ (∆ (A)) = a2 /ρ (∆ (A)) + k2 /ρ (∆ (A)).
Vì thế c(f) là k-chính quy.

(iii) Giả sử f là chính quy ta chứng minh c(f) là chính quy.
Vì f là chính quy nên f vừa là i-chính quy vừa là k-chính quy.
Theo 2 câu (i) và (ii) ta vừa chứng minh ở trên thì ta suy ra được c(f) cũng
vừa là i-chính quy vừa là k-chính quy.
Vậy c(f) là chính quy.
19


Bài 2.
f

g

Cho dãy khớp các Λ− nửa môđun trái : A → B → C (*) trong đó C là giản ước
được. Chứng minh dãy sau là khớp :
c(f )

c(g)

c(A) → c(B) → c(C) (**).
Giải:
Muốn chứng minh dãy (**) là khớp thì ta chứng minh Im c(f) = Ker c(g).

(⊆):
∀b/ρ (∆ (B)) ∈ Im c(f )
⇒ a/ρ (∆ (A)) ∈ c (A) : b/ρ (∆ (B)) = c (f ) (a/ρ (∆ (A))) = f (a) /ρ (∆ (B)).
Ta có : c (g) (b/ρ (∆ (B))) = c (g) (f (a) /ρ (∆ (B))) = gf (a) /ρ (∆ (C))
Do (*) là khớp nên gf = 0. Suy ra gf (a) = 0.

⇒ gf (a) /ρ (∆ (C)) = 0/ρ (∆ (C))

⇒ b/ρ (∆ (B)) ∈ K er c (g).
⇒ Im c(f ) ⊆ K er c(g). (1)
(⊇):
∀b/ρ (∆ (B)) ∈ K er c(g)
⇒ c (g) (b/ρ (∆ (B))) = 0/ρ (∆ (C))
⇒ g (b) /ρ (∆ (C)) = 0/ρ (∆ (C))
⇒ ∃c ∈ C : g(b) + c = c
Do C là giản ước được nên suy ra g(b) = 0. Hay b ∈ K er g .
Do (*) là khớp nên Im f = K er g .
Suy ra b ∈ Im f .

⇒ ∃a ∈ A : b = f (a).
⇒ b/ρ (∆ (B)) = f (a) /ρ (∆ (B)) ∈ Im c(f )
⇒ K er c(g) ⊆ Im c(f ) (2)

20


Từ (1) và (2) ta suy ra Im c(f ) = K er c(g).
Vậy dãy (**) là dãy khớp.

21


KẾT LUẬN

Qua một thời gian học tập, tìm hiểu và nghiên cứu Lý thuyết nửa vành và
nửa môđun, tiểu luận đã hoàn thành và đã đạt được các kết quả sau :
- Tìm hiểu một cách đầy đủ và chi tiết các đặc trưng, tính chất cơ bản của nửa
vành có đơn vị, nửa môđun, đồng cấu nửa môđun, tính chất nửa môđun giản

ước được.
- Trình bày tương đối chi tiết về cách xây dựng Tích tenxơ của nửa mô đun và
các tính chất của nó.
Trong khuôn khổ của một bài tiểu luận và hạn chế về mặt thời gian cũng như
trình độ nên chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Mặc dù bản thân
đã thật cố gắng song vẫn còn nhiều sai sót, rất mong nhận được những lời góp
ý quý báu của quý thầy cô và các bạn để bài tiểu luận được hoàn thiện hơn.
Một lần nữa, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn và các bạn
học viên.
Huế, ngày 02 tháng 11 năm 2014
Học viên
Hoàng Thị Kiều My

22


Tài liệu tham khảo
[1] GS.TSKH Nguyễn Xuân Tuyến, Giáo trình A theory of semirings and semimodules, NXB Đại học Huế, 2010.
[2] GS.TSKH Nguyễn Xuân Tuyến, GS.TS Lê văn Thuyết, Foundations of
Modern Algebra, NXB Giáo Dục, Hà Nội, 2001.

23