LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC: KIẾN THỨC ĐỂ DẠY HỌC HÀM SỐ CỦA GIÁO VIÊN TOÁN TƯƠNG LAI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
---------    ---------

LÊ THỊ THANH HẰNG

KIẾN THỨC ĐỂ DẠY HỌC HÀM SỐ CỦA
GIÁO VIÊN TOÁN TƯƠNG LAI
Chuyên ngành : Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán
Mã số : 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. TRẦN KIÊM MINH

HUẾ, NĂM 2016

i


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các
số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được
các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong
bất kỳ một công trình nào khác.

Tác giả

Lê Thị Thanh Hằng

ii


LỜI CÁM ƠN

Đầu tiên, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành đến thầy Trần
Kiêm Minh, người đã nhiệt tình hướng dẫn tận tình chu đáo và giúp đỡ tôi hoàn thành
luận văn này.
Tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Huế,
Phòng đào tạo sau đại học, các thầy cô trong khoa Toán, và đặc biệt là các thầy cô
thuộc chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán đã tận tình giảng dạy
và truyền thụ cho tôi rất nhiều kiến thức, kinh nghiệm quí báu trong hai năm học vừa
qua.
Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn sinh viên khoa Toán khóa 2013-2017; các
anh/chị và các bạn học viên cao học lớp Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán
và Toán giải tích khóa XXIII trường Đại học sư phạm Huế đã giúp đỡ tôi trong quá
trình thực nghiệm.
Sau cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và tất cả bạn bè của tôi đã luôn
ủng hộ, quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi mọi mặt để tôi hoàn thành luận văn này.
Do điều kiện thời gian và khả năng hạn chế, luận văn không tránh khỏi những
thiếu sót, kính mong nhận được sự hướng dẫn và góp ý để luận văn được hoàn thiện
hơn.
Xin chân thành cám ơn!

Huế, tháng 10 năm 2016

iii

MỤC LỤC
TRANG PHỤ BÌA ............................................................................................... i
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................ ii
LỜI CÁM ƠN..................................................................................................... iii
MỤC LỤC ............................................................................................................1
DANH MỤC BẢNG ............................................................................................3
LỜI GIỚI THIỆU .................................................................................................4
Chương 1. ĐẶT VẤN ĐỀ ....................................................................................8
1.1. Các kiểu kiến thức cần thiết cho việc giảng dạy toán ....................................... 8
1.2. Tổng quan các nghiên cứu về kiến thức để dạy học của giáo viên toán ......... 10
1.3. Chương trình đào tạo và phát triển nghiệp vụ cho giáo viên toán hiện nay ... 14
1.4 Kết luận chương 1 ............................................................................................ 15

Chương 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT .......................................................................17
2.1. Kiến thức toán để dạy học .............................................................................. 17
2.1.1. Mô hình về các lĩnh vực của Kiến thức toán để dạy học ....................... 17
2.1.2. Các năng lực nghiệp vụ của giáo viên toán theo chương trình Phát triển
và đào tạo giáo viên toán TEDS-M .................................................................. 19
2.2. Kiến thức toán để dạy học chủ đề hàm số ...................................................... 22
2.2.1. Đặc trưng tri thức luận và nhận thức khái niệm hàm số ....................... 22
2.2.2. Tính linh hoạt trong quá trình học về hàm số ........................................ 23
2.2.3. Kiến thức của giáo viên về tính linh hoạt trong lựa chọn và chuyển đổi
giữa các dạng biểu diễn và các quan niệm khác nhau..................................... 25
2.2.4. Các kiểu kiến thức nội dung và kiến thức nội dung-sư phạm về chủ đề hàm
số....................................................................................................................... 26
2.3. Câu hỏi nghiên cứu ......................................................................................... 33
2.4. Kết luận chương 2 ........................................................................................... 34

Chương 3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ....................................................35

3.1. Ngữ cảnh ......................................................................................................... 35
3.2. Công cụ nghiên cứu (phiếu thực nghiệm)....................................................... 35
3.2.1. Nội dung phiếu thực nghiệm .................................................................. 35
3.2.2. Phân tích tiên nghiệm ............................................................................. 37
3.3. Phát triển một khung nội dung để đánh giá các kiểu kiến thức toán để dạy học
chủ đề hàm số......................................................................................................... 57
1


3.4. Kết luận chương 3 ........................................................................................... 66

Chương 4. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ..............................................................67
4.1. Định hướng phân tích kết quả nghiên cứu ...................................................... 67
4.2. Phân tích định lượng ....................................................................................... 67
4.3. Phân tích kiến thức nội dung chuyên ngành (SCK) của giáo viên toán tương lai
về chủ đề hàm số .................................................................................................... 71
4.4. Phân tích kiến thức về nội dung và học sinh (KCS) của giáo viên toán tương lai
về chủ đề hàm số .................................................................................................... 88
4.5. Phân tích kiến thức về nội dung và giảng dạy (KCT) của giáo viên toán tương
lai về chủ đề hàm số ............................................................................................... 95
4.6. Một số nhận xét về kiến thức của giáo viên toán tương lai .......................... 101
4.7. Kết luận chương 4. ........................................................................................ 102

Chương 5. KẾT LUẬN ....................................................................................104
5.1. Trả lời và kết luận cho các câu hỏi nghiên cứu ............................................ 104
5.2. Vận dụng vào việc phát triển các năng lực nghiệp vụ cho giáo viên toán ... 107
5.3. Đóng góp nghiên cứu và hướng phát triển của đề tài ................................... 109

TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................111
PHỤ LỤC .......................................................................................................... P1

2


DANH MỤC BẢNG
Bảng

Tên bảng

Trang

2.1

Khung Kiến thức về nội dung-sư phạm Toán.

21

3.1

Tóm tắt nội dung các câu hỏi trong phiếu thực nghiệm.

35

4.1

Bảng thống kê kết quả các câu trả lời của 32 giáo viên tương lai

68

(câu hỏi 1 và câu hỏi 2).

4.2

Bảng thống kê kết quả định lượng, dựa vào khung nội dung đánh

69

giá, các câu trả lời của 32 giáo viên tương lai (câu hỏi 3 đến câu hỏi
12).
4.3

Quan niệm của giáo viên về khái niệm hàm số

71

4.4

Chiến lược mà các giáo viên dự đoán học sinh sẽ trả lời ở bài tập 2.a)

73

4.5

Chiến lược mà giáo viên dự đoán học sinh sẽ trả lời ở bài tập 2.b)

75

4.6

Các chiến lược được sử dụng trong câu hỏi 7.i)

78

4.7

Các chiến lược được sử dụng để xác định hàm số bậc hai

81

4.8

Các chiến lược được sử dụng để tìm giá trị lớn nhất của hàm số bậc

81

hai

4.9

Các quan niệm sai lầm của học sinh khi học khái niệm hàm số.

88

4.10

Các ví dụ về hàm số

95

3

LỜI GIỚI THIỆU
Chuẩn bị cho các giáo viên toán tương lai với các kiến thức toán học thích hợp cần
thiết cho việc dạy học là một vấn đề quan trọng trong đào tạo giáo viên toán. Ball, Bass và
các đồng nghiệp của họ (Ball, Thames, & Phelps, 2008, [6]) cho rằng những gì giáo viên
cần biết không chỉ là những nội dung toán học được giảng dạy một cách đặc thù trong các
môn học toán cao cấp ở đại học, mà còn là một kiểu kiến thức đặc biệt cần có để thực hiện
công việc dạy học, họ gọi là Kiến thức toán để dạy học (Mathematical Knowledge for
Teaching, MKT).
Nhiều nhà nghiên cứu đã quan tâm tìm hiểu những kiểu kiến thức gì mà một giáo
viên cần biết để dạy học sinh một cách hiệu quả. Nghiên cứu về kiến thức của giáo viên là
một hướng nghiên cứu quan trọng trong giáo dục toán và đã đạt được nhiều kết quả.
Shulman (Shulman, 1986, [44]) phân chia kiến thức nội dung của giáo viên thành ba lĩnh
vực: kiến thức nội dung môn học (subject matter knowledge) gọi tắt là kiến thức nội

dung, kiến thức nội dung-sư phạm (pedagogical content knowledge, PCK) và kiến thức
chương trình (curricular knowledge). Kiến thức nội dung bao gồm kiến thức về các chủ đề
dạy học và việc tổ chức sắp xếp chúng. Kiến thức chương trình được thể hiện qua các
hướng dẫn thực hiện chương trình được thiết kế cho việc dạy học các môn học hay chủ đề
đặc biệt đối với một mức độ cho trước. Kiến thức nội dung-sư phạm là một kiểu kiến thức
về các cách thức biểu đạt được đòi hỏi để hiểu được nội dung môn học; các ví dụ tốt nhất,
những minh họa và giải thích cho các khái niệm theo những cách tốt nhất. Theo Shulman,
có hai thành tố chính của kiến thức nội dung-sư phạm: kiến thức về học sinh và kiến thức
về các chiến lược dạy học. Kiến thức về học sinh liên quan đến việc hiểu các kiến thức đã
có trước đó của học sinh đối với một chủ đề cho trước, những lỗi sai thường gặp, những
khó khăn học tập của học sinh về chủ đề đó, cũng như những lý do cơ bản của những vấn
đề đó. Kiến thức về các chiến lược dạy học liên quan đến các phương pháp và kỹ thuật dạy
học một vấn đề môn học. Kiến thức về các chiến lược dạy học được xác định như là các
cách thức trình bày và mô tả cho việc hiểu các khái niệm và ý tưởng. Theo nghĩa này, kỹ
năng nhận biết các lỗi sai của học sinh và dẫn dắt học sinh đi đến những lời giải đúng là

một trong những phần tử có thể được sử dụng để xác định kiến thức nội dung-sư phạm của
giáo viên. Điều này cũng nói lên rằng, kiến thức nội dung-sư phạm của giáo viên có ảnh
hưởng quan trọng đến việc học của học sinh.
4


Kể từ công trình có tính chất khởi đầu của Shulman về PCK, nhiều nhà nghiên cứu
đã cố gắng minh họa và làm sáng tỏ bản chất của PCK cũng như những liên hệ của kiểu
kiến thức này đến công tác đào tạo giáo viên tương lai (Ma, 1999; Niess, 2005; Watson,
2001; [30], [35], [51]). Trong lĩnh vực dạy học toán, nhóm các nhà nghiên cứu từ Đại học
Michigan (Ball, Thames, & Phelps, 2008 ; Hill, Schilling & Ball, 2008; Hill, Rowan &
Ball, 2005; Hill, Sleep, Lewis et al., 2008; [6], [22], [23], [24]) đã có những đóng góp quan
trọng trong việc nghiên cứu kiến thức toán của giáo viên để dạy học. Các nhà nghiên cứu
đã cố gắng tìm hiểu các kiểu kiến thức toán nào được đòi hỏi khi dạy học, làm thế nào để
đánh giá được những kiểu kiến thức đó và làm thế nào phát triển những cách thức để thúc
đẩy một cách hiệu quả những kiến thức toán để dạy học trong chương trình phát triển
nghiệp vụ cho giáo viên toán.
Dựa trên công trình của Shulman (Shulman, 1986, [44]), Ball và cộng sự (Ball &
Hill, 2008, [5]) đã phát triển một khuôn khổ nội dung lý thuyết về Kiến thức toán để dạy
học (Mathematical Knowledge for Teaching, MKT) để nghiên cứu và đánh giá các kiểu
kiến thức khác nhau mà giáo viên toán cần có để thực hiện việc dạy học hiệu quả. Mô hình
của Ball và cộng sự về các lĩnh vực khác nhau của kiến thức toán để dạy học đã và đang
được rất nhiều nhà nghiên cứu về giáo dục toán quan tâm, đặc biệt là đối với các nhà
nghiên cứu tìm hiểu về việc phát triển nghiệp vụ cho giáo viên toán (Callingham,
Carmichael & Watson, 2015; Dohrmann, Kaiser & Blomeke, 2012; Fauskanger, 2015;
Huang, 2014; Wilkie, 2014; [9], [11], [17], [25], [52]). Các nghiên cứu này đã vận dụng
và phát triển mô hình của Ball và cộng sự để nghiên cứu và đánh giá kiến thức toán của
giáo viên cần thiết cho việc giảng dạy hiệu quả một lĩnh vực nội dung toán học phổ thông
nào đó, chẳng hạn như tư duy hàm (Wilkie, 2014, [52]), đại số (Huang, 2014, [25]), thống
kê (Callingham, Carmichael & Watson, 2015, [9]), năng lực nghiệp vụ của giáo viên toán

(Dohrmann, Kaiser & Blomeke, 2012, [11]).
Hàm số vừa là một chủ đề vừa là một mạch kiến thức rất quan trọng trong chương
trình toán cấp trung học phổ thông. Tuy nhiên, hiện tại có khá ít nghiên cứu tập trung vào
phân tích và đánh giá kiến thức toán để dạy học chủ đề hàm số của các giáo viên toán
tương lai. Ở Việt Nam, hầu như chưa có nghiên cứu nào đề cập đến việc phân tích, đánh
giá kiến thức toán để dạy học chủ đề hàm số của giáo viên toán tương lai, đặc biệt là các
nghiên cứu dựa trên mô hình của Ball và cộng sự (Ball, Thames, & Phelps, 2008; Hill et
5


al., 2008; [6], [24]). Vì vậy, nghiên cứu tìm hiểu về kiến thức toán để dạy học hàm số của
các giáo viên toán tương lai là vấn đề quan trọng, cần thiết và có ý nghĩa.
Luận văn này bao gồm 5 chương:
Trong chương 1, chúng tôi bắt đầu bằng việc phân tích các kiểu kiến thức cần thiết
cho việc giảng dạy toán và tổng quan các nghiên cứu về kiến thức của giáo viên. Sau đó,
chúng tôi giới thiệu chương trình đào tạo và phát triển nghiệp vụ cho giáo viên toán hiện
hành tại trường Đại học Sư phạm Huế. Các phân tích này cho phép chúng tôi đặt ra một
số vấn đề cần nghiên cứu về kiến thức để dạy học hàm số trong luận văn.
Trong chương 2, chúng tôi sẽ trình bày “Kiến thức toán để dạy học” bao gồm: “Mô
hình của Ball và các cộng sự về các lĩnh vực kiến thức toán để dạy học” và “Các năng lực
nghiệp vụ của giáo viên toán theo chương trình Phát triển và đào tạo giáo viên toán TEDSM”. Sau đó, chúng tôi sẽ phân tích “Kiến thức toán để dạy học chủ đề hàm số” bao gồm:
đặc trưng tri thức luận và nhận thức khái niệm hàm số, tính linh hoạt trong quá trình học
về hàm số, và các kiểu kiến thức nội dung và kiến thức nội dung-sư phạm về chủ đề hàm
số. Trong đó, các kiểu kiến thức nội dung và kiến thức nội dung-sư phạm về chủ đề hàm
số được phân tích dựa trên mô hình về kiến thức toán để dạy học của Ball và cộng sự, năng
lực nghiệp vụ của giáo viên toán theo chương trình Phát triển và đào tạo giáo viên toán
TEDS-M và các kiến thức về chủ đề hàm số đã phân tích ở trên. Chương này cung cấp
khung lý thuyết cho phép chúng tôi thiết kế thực nghiệm và phân tích dữ liệu thực nghiệm
trong các chương sau. Cuối cùng, chúng tôi đặt ra một số câu hỏi nghiên cứu cho đề tài.
Trong chương 3, chúng tôi trình bày ngữ cảnh và mục tiêu của thực nghiệm. Tiếp

theo, chúng tôi trình bày nội dung của phiếu thực nghiệm. Sau đó, chúng tôi tiến hành phân
tích tiên nghiệm các câu hỏi trong phiếu thực nghiệm. Cuối cùng, chúng tôi phát triển
khung nội dung để đánh giá các kiểu kiến thức toán để dạy học chủ đề hàm số. Các phân
tích này cung cấp cái nhìn tổng quan về các câu hỏi được đặt ra trong phiếu thực nghiệm,
cũng như làm cơ sở để đối chiếu và phân tích sau thực nghiệm ở chương 4.
Trong chương 4, chúng tôi tiến hành phân tích các kết quả chủ yếu từ dữ liệu thu
thập được. Dựa trên các lý thuyết đã trình bày ở Chương 2 và khung nội dung để đánh giá
các kiểu kiến thức toán để dạy học chủ đề hàm số đã được xây dựng ở Chương 3, chúng
tôi sẽ phân tích theo các hướng: phân tích định lượng các câu hỏi kết thúc mở, phân tích
6


định tính chọn lọc các câu hỏi kết thúc mở liên quan đến kiến thức nội dung và kiến thức
nôi dung - sư phạm của giáo viên toán tương lai về chủ đề hàm số. Cuối cùng, dựa trên các
kết quả phân tích được, chúng tôi sẽ làm rõ mức độ kiến thức nội dung và kiến thức nôi
dung - sư phạm để dạy học chủ đề hàm số của giáo viên toán tương lai cũng như những
thế mạnh và hạn chế riêng của họ.
Cuối cùng, trong chương 5, chúng tôi đưa ra kết luận cho nghiên cứu này bằng cách
phân tích các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi nghiên cứu đặt ra, đồng thời làm rõ các
nguyên nhân dẫn đến những thế mạnh và hạn chế riêng của giáo viên toán tương lai về
kiến thức nội dung và kiến thức nội dung-sư phạm để dạy học chủ đề hàm số. Từ đó, chúng
tôi đưa ra các ý tưởng vận dụng vào việc đào tạo và phát triển các năng lực chuyên môn,
nghiệp vụ cho giáo viên toán. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng bàn luận các đóng góp của
nghiên cứu này đối với các vấn đề lớn và có tính khái quát hơn như kiến thức toán để dạy
học của giáo viên toán tương lai.

7


Chương 1. ĐẶT VẤN ĐỀ

1.1. Các kiểu kiến thức cần thiết cho việc giảng dạy toán
Trong khi kiến thức của giáo viên là hết sức quan trọng để cải thiện việc dạy và
việc học, thì việc nghiên cứu và phát triển nó đã không được chú trọng. Vào giữa những
năm 1980, các nhà nghiên cứu giáo dục toán, khởi xướng là Shulman (Shulman, 1986,
[44]) đã bắt đầu quan tâm đến những loại kiến thức nào mà giáo viên cần phải biết để dạy
học sinh một cách hiệu quả. Shulman đề cập đến một lĩnh vực đặc biệt của kiến thức của
giáo viên, mà ông gọi là kiến thức nội dung-sư phạm, đó là sự “kết hợp đặc biệt của nội
dung và sư phạm” cần thiết cho việc giảng dạy môn học. Một đóng góp chính của Shulman
và các đồng nghiệp của ông là điều chỉnh lại việc nghiên cứu kiến thức của giáo viên, bao
gồm sự quan tâm trực tiếp đến vai trò của kiến thức nội dung trong giảng dạy. Đây là một
sự khởi đầu căn bản làm thay đổi xu hướng nghiên cứu hiện nay. Ngay lập tức các nhà
nghiên cứu tập trung sự chú ý vào tầm quan trọng của kiến thức nội dung và kiến thức nội
dung-sư phạm nói riêng trong giảng dạy.
Trong tác phẩm chuyên đề của mình, Shulman (Shulman, 1987, [45]) quy định bảy
kiểu kiến thức chuyên môn cần thiết cho việc giảng dạy. Cụ thể là:
(1) kiến thức sư phạm nói chung, với những nguyên tắc và chiến lược tổ chức và
quản lí lớp học để hoàn thành các chủ đề nội dung môn học;
(2) Kiến thức về học sinh và các đặc điểm của họ (tính cách, nhận thức, động lực
thúc đẩy và sự phát triển của họ);
(3) kiến thức về bối cảnh giáo dục;
(4) kiến thức về mục đích, yêu cầu và kết quả giáo dục;
(5) kiến thức nội dung;
(6) kiến thức về chương trình giảng dạy, trong đó đặc biệt chú trọng đến việc nắm
bắt các tài liệu và phương tiện hỗ trợ như là “công cụ của nghề” cho giáo viên;
(7) Kiến thức nội dung-sư phạm.
Trong chuyên đề của Shulman về kiến thức của giáo viên, ông đã xác định ba loại
kiến thức của giáo viên, cụ thể là, kiến thức nội dung, kiến thức về chương trình giảng dạy

8

và kiến thức nội dung-sư phạm. Đầu tiên, kiến thức nội dung bao gồm kiến thức về các
chủ đề dạy học và sự tổ chức sắp xếp chúng (Grossman, Wilson, & Shulman, 1989;
Shulman, 1986, 1987; Wilson, Shulman & Richert, 1987; [20], [44], [45], [53]). Giáo viên
không chỉ cần hiểu một điều gì đó là như thế nào mà cần phải hiểu rõ thêm về lý do tại sao
nó là như vậy. Thứ hai, kiến thức chương trình giảng dạy, bao gồm kiến thức về các chương
trình khác nhau và các tài liệu tương ứng cho việc giảng dạy một nội dung nhất định. Nó
bao gồm nhận thức về các chương trình và các tài liệu khác nhau cũng như kiến thức về
hiệu quả và tác động của các chương trình và tài liệu đó trong những bối cảnh nhất định.
Nó đòi hỏi kiến thức về nội dung và các tài liệu tương ứng trong các lĩnh vực chủ đề khác
nhau và bao gồm các kiến thức về cách các chủ đề được phát triển qua một chương trình
nhất định (Shulman, 1986, [44]). Thứ ba, kiến thức nội dung-sư phạm (PCK), là một loại
kiến thức được xây dựng ở trên, nhưng không giống như kiến thức chủ đề môn học hoặc
kiến thức về các nguyên tắc chung của phương pháp sư phạm, các ý tưởng nhận thức luận
của PCK có thể được mô tả như một liên kết giữa kiến thức nội dung nền tảng và kiến thức
sư phạm với một lĩnh vực cần thiết thứ ba là bối cảnh. Người ta có thể mô tả PCK như một
kiến thức thực hành giảng dạy và hướng dẫn học tập thông qua bối cảnh trong phạm vi lớp
học cụ thể. PCK được mô tả như sau:
PCK bao gồm các cách thức biểu đạt những ý tưởng, sự tương tự, minh họa, ví dụ,
giải thích, và các biểu diễn tốt nhất, những cách biểu đạt và trình bày các chủ đề
sao cho dễ hiểu đối với người khác. PCK cũng bao gồm sự hiểu biết về những gì
làm cho việc học các chủ đề cụ thể trở nên dễ hay khó: những quan niệm và nhận
thức mà học sinh ở các lứa tuổi và trình độ khác nhau đã có trước đó sẽ tác động
đến việc học các bài học và chủ đề được dạy như thế nào. (Shulman, 1986, [44]).
Kể từ khi Shulman (Shulman, 1986, [44]) đưa ra thuật ngữ PCK, nhiều nhà nghiên
cứu đã cố gắng để minh họa và làm rõ bản chất của PCK và những tác động của nó đối với
đào tạo giáo viên. Tuy nhiên, kiến thức nội dung-sư phạm thường không được phân biệt
rõ ràng với các loại khác của kiến thức giáo viên. Ví dụ, kiến thức nội dung-sư phạm đã
được định nghĩa là “sự giao nhau của kiến thức môn học với kiến thức về giảng dạy và học
tập” (Niess, 2005, p. 510, [35]) hoặc “là lĩnh vực kiến thức của giáo viên mà có sự kết hợp

giữa kiến thức môn học và kiến thức sư phạm” (Lowery, 2002, p.69, [29]). Thậm chí có
một mô tả chính xác hơn về PCK, tuy nhiên vẫn chưa được rõ ràng:
9


Kiến thức nội dung-sư phạm là sự hiểu biết của giáo viên về cách để giúp học sinh
hiểu một chủ đề môn học cụ thể. Nó bao gồm kiến thức về các vấn đề, chủ đề môn
học, và cách thức tổ chức, biểu đạt và sửa đổi các vấn đề sao cho phù hợp với sự
hứng thú và năng lực của những học sinh khác nhau, và sau đó trình bày hướng dẫn
cho học sinh. Đặc trưng của kiến thức nội dung-sư phạm: nó là kết quả của sự
chuyển đổi kiến thức từ các lĩnh vực khác (Magnusson, Krajcik, & Borko, 1999, p.
96, [31]).
Có nhiều tài liệu cho thấy rằng nhiều giáo viên bộc lộ điểm yếu và sự thiếu hiểu
biết toán học một cách sâu sắc (Ball, Hill & Bass, 2005; Hill et al, 2008; Ma, 1999; [4],
[24], [30]). Hiện nay cũng đã có nhiều nghiên cứu khẳng định rằng “nhiều giáo viên thiếu
tự tin và thiếu kiến thức nội dung-sư phạm khi giảng dạy toán học” (Hill et al, 2008, [24]).
Đây là một phát hiện đáng lo ngại. Người ta đã chứng minh được rằng thái độ tích cực của
giáo viên đối với việc giảng dạy toán học có ảnh hưởng trực tiếp đến mức độ thành công
mà học sinh của họ đạt được (Kulm, 1980; Sullivan, 1987; [28], [47]).
Khái niệm về PCK của Shulman đã bị thử thách bất kể tính ưu việt của nó (Graeber
& Tirosh, 2008, [19]). Khái niệm đã được mở rộng và sửa đổi bởi một số tác giả. Ball,
Thames và Phelps (2008, [6]) lập luận rằng mặc dù thuật ngữ PCK được sử dụng rất rộng
rãi, nhưng thực sự thiếu định nghĩa rõ ràng, và tiềm năng của nó đã không được nhận thức
một cách đầy đủ. Cải tiến của họ về khái niệm PCK và nỗ lực của họ để điều chỉnh lại việc
nghiên cứu các kiến thức giảng dạy được khẳng định theo chiều hướng nhấn mạnh vào
việc sử dụng “kiến thức trong và cho giảng dạy hơn là trên bản thân giáo viên” (tr. 394).
Dựa trên cấu trúc PCK của Shulman, các nhóm nghiên cứu (Ball, Thames & Phelps, 2008;
Hill, Ball & Schilling, 2008; [6], [22]) tập trung nhấn mạnh các lĩnh vực kiến thức nội
dung để giảng dạy vào hai loại PCK của Shulman, kiến thức nội dung và kiến thức nội
dung-sư phạm. Hill et al (2008, [24]) đã đưa ra mô hình Kiến thức toán để dạy học (MKT),

phát triển từ công trình của Shulman về PCK, mà chúng tôi sẽ trình bày chi tiết trong
chương 2 của luận văn.

1.2. Tổng quan các nghiên cứu về kiến thức để dạy học của giáo viên toán
Kể từ khi Shulman (Shulman, 1986, [44]) đưa ra những nỗ lực nhằm xác định
những kiến thức cần thiết cho giảng dạy, thuật ngữ “kiến thức nội dung-sư phạm” (PCK)

10


đã được chấp nhận rộng rãi và được sử dụng bởi các nhà nghiên cứu. Có một sự đồng
thuận phổ biến rằng giáo viên toán học cần phải có một sự hiểu biết sâu sắc về toán học
(Grossman, Wilson, & Shulman, 1989; Ma, 1999; [20], [30]). Tuy nhiên, nếu giáo viên chỉ
có kiến thức toán học thì không đủ để cho những nỗ lực dạy toán của họ đạt hiệu quả. Có
rất nhiều cách để xác định PCK trong toán học. Trong khi Ball (2005, [4]) phân biệt hai
khía cạnh kiến thức nội dung của giáo viên: khả năng của giáo viên để thực hiện một phép
toán (ví dụ phép chia phân số) và khả năng của họ để biểu đạt phép toán đó một cách chính
xác cho học sinh, Ma (1999, [30]) mô tả “sự hiểu biết sâu sắc về những quy tắc toán học
cơ bản” trong điều kiện của sự liên kết nhiều quan niệm, ý tưởng cơ bản, và sự gắn kết
theo chiều dọc. Ngoài ra, Hội đồng nghiên cứu quốc gia ở Hoa Kỳ [NRC] cũng cho rằng
giáo viên toán cần có những kiến thức chuyên môn “tích hợp kiến thức toán, kiến thức về
sự phát triển hiểu biết toán học của học sinh, và một tiết thực hành sư phạm có tính toán
học đang được giảng dạy và các học sinh học tập nó” (Kilpatrick, Swafford, & Findell,
2001, p. 428, [27]).
Grossman, một thành viên trong nhóm nghiên cứu của Shulman đã cố gắng để khái
quát về kiến thức của giáo viên cần thiết cho việc giảng dạy. Dựa trên nghiên cứu của
mình, Grossman phân chia 7 loại kiến thức đã được xác định bởi Shulman thành bốn loại
chính: kiến thức nội dung, kiến thức sư phạm nói chung, kiến thức nội dung-sư phạm và
kiến thức về bối cảnh. Trong các công trình về sau của Shulman và các đồng nghiệp của
ông, niềm tin (beliefs) đã trở thành một phần của cơ sở kiến thức cho giảng dạy. Thành

phần liên quan đến niềm tin trong mô hình của Grossman đã được liệt kê như là một phần
của kiến thức nội dung-sư phạm và bao gồm “kiến thức và niềm tin về mục đích giảng dạy
một môn học ở các cấp lớp khác nhau” (Grossman, 1990, tr. 8, [20]).
Trong Sổ tay nghiên cứu về học tập và giảng dạy Toán học, Fennema và Franke
(Fennema & Franke, 1992, [18]) đề xuất mô hình riêng của họ về kiến thức toán để giảng
dạy của giáo viên. Mô hình của họ bao gồm 4 loại kiến thức: kiến thức toán học, kiến thức
về bối cảnh cụ thể, kiến thức sư phạm, kiến thức về sự nhận thức toán học của học sinh.
Niềm tin của giáo viên cũng là một thành phần trong mô hình của họ, tương tác với các
kiến thức của giáo viên. Ngoài ra, mỗi loại trong 4 thành phần của kiến thức của giáo viên
cũng ảnh hưởng lẫn nhau. Một đặc điểm quan trọng của mô hình này là mỗi thành phần
của kiến thức của giáo viên đã được đặt trong bối cảnh lớp học. “Trong một bối cảnh cụ
11


thể, kiến thức của giáo viên về nội dung tương tác với kiến thức sư phạm và kiến thức về
nhận thức của học sinh và kết hợp với niềm tin để tạo thành kiến thức” (p. 162). Tuy nhiên,
trong mô hình này, vai trò của yếu tố niềm tin còn chưa được xác định rõ.
Một trong những chương trình nghiên cứu về kiến thức toán để dạy học đã đạt được
nhiều kết quả là chương trình nghiên cứu của nhóm các nhà giáo dục toán tại Đại học
Michigan, tập trung vào sự hiểu biết và đo lường kiến thức toán học mà được coi là thích
hợp và cần thiết cho việc giảng dạy (Ball & Bass, 2000; Ball et al, 2005;. Hill, Ball, &
Schilling, 2008, [3], [4], [22]). Ngoài ra, Hill và các đồng nghiệp của bà tiếp tục khám phá
mối quan hệ giữa kiến thức toán học cần thiết cho việc giảng dạy (MKT) và thành tích của
học sinh và sự giảng dạy trong lớp học (Hill, Ball, & Schilling, 2008, [22]). Sự quan tâm
ngày càng tăng đã dẫn đến sự nghiên cứu đặc trưng kiến thức của giáo viên cần thiết cho
việc giảng dạy các lĩnh vực nội dung cụ thể (Ball et al, 2005;. Even, 1990, 1993; Ma, 1999,
[4], [13], [14], [30]). Ball và cộng sự đã tiến hành nghiên cứu dựa trên thực hành (practicebased research) trên quy mô lớn về kiến thức toán để dạy học của giáo viên. Dựa trên công
trình có tính chất khởi điểm của Shulman về các kiểu kiến thức cần thiết để dạy học, các
nhà nghiên cứu này đã phát triển một mô hình về Kiến thức toán để dạy học (MKT) và áp
dụng vào việc thiết kế công cụ đo lường và đánh giá kiến thức toán để dạy học của giáo

viên.
Mô hình của Ball và cộng sự phân biệt hai loại chính của kiến thức nội dung môn
học: kiến thức chung (CCK), có thể được phát triển trong bất cứ ai đã được học toán trong
trường học phổ thông và kiến thức nội dung chuyên ngành (SCK), được sử dụng chủ yếu
bởi các giáo viên. Trong khi đó, mô hình phân biệt hai loại chính trong kiến thức nội dungsư phạm: kiến thức về nội dung và học sinh (KCS) và kiến thức về nội dung và giảng dạy
(KCT). Mô hình này nhấn mạnh các loại kiến thức nội dung toán học là chuyên môn của
giáo viên, và công nhận rằng kiến thức toán học để giảng dạy là một phần kết quả của kiến
thức nội dung tương tác với học sinh trong quá trình học tập của học sinh và với giáo viên
trong quá trình thực hành giảng dạy của giáo viên.
Mô hình của Ball và cộng sự về các lĩnh vực khác nhau của kiến thức toán để dạy
học đã và đang được rất nhiều nhà nghiên cứu về giáo dục toán quan tâm, đặc biệt là đối
với các nhà nghiên cứu tìm hiểu về việc phát triển nghiệp vụ cho giáo viên toán

12


(Callingham, Carmichael & Watson, 2015; Dohrmann, Kaiser & Blomeke, 2012;
Fauskanger, 2015 ; Huang, 2014 ; Kaiser et al. 2016; Ng, 2011; Pino-Fan, Godino & Font,
2016; Wilkie, 2014; [9], [11], [17], [25], [26], [34], [39], [52]). Các nghiên cứu này đã vận
dụng và phát triển mô hình của Ball và cộng sự để nghiên cứu và đánh giá các kiểu kiến
thức toán của giáo viên cần thiết cho việc giảng dạy hiệu quả một lĩnh vực nội dung toán
học phổ thông nào đó, chẳng hạn như tư duy hàm (Wilkie, 2014, [52]), đại số (Huang,
2014, [25]), thống kê (Callingham, Carmichael & Watson, 2015, [9]), hình học (Ng, 2011,
[34]), năng lực nghiệp vụ của giáo viên toán (Dohrmann, Kaiser & Blomeke, 2012; Kaiser
et al., 2016; Nyikahadzoyi, 2015 ; [11], [26], [38]).
Trong bài báo Kiến thức toán để dạy học hàm số của giáo viên dạy những năm cuối
tiểu học, Wilkie (Wilkie, 2014, [52]) đã phân tích và đánh giá kiến thức của giáo viên toán
để giảng dạy hàm số, các mối quan hệ và sự biến thiên - một lĩnh vực quan trọng của đại
số. Nghiên cứu này cũng đã đưa ra những gợi ý cho việc học tập chuyên môn nhằm nâng
cao kiến thức toán học của giáo viên để giúp học sinh phát triển tư duy hàm.

Trong ngiên cứu Kiến thức đại số của giáo viên toán tương lai, Huang (Huang,
2014, [25]) đã so sánh và đánh giá sự giống nhau và khác nhau về kiến thức toán để giảng
dạy đại số của giáo viên toán tương lai của Trung Quốc và Mỹ. Ngoài ra, Huang cũng so
sánh và đánh giá sự giống nhau và khác nhau về kiến thức toán để giảng dạy hàm số của
giáo viên toán tương lai của hai quốc gia này. Huang chú trọng đến việc so sánh và đánh
giá sự linh hoạt của giáo viên trong việc lựa chọn sử dụng dạng biểu diễn hàm số thích hợp
và chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn khác nhau và sự linh hoạt trong việc chuyển đổi
giữa hai quan niệm khác nhau về hàm số: quan niệm quy trình và quan niệm đối tượng. Từ
đó, nghiên cứu này đã cung cấp các chiến lược có ý nghĩa nhằm cải thiện chất lượng đào
tạo giáo viên toán học tại Trung Quốc và Mỹ.
Trong bài báo Kiến thức của giáo viên về khái niệm hàm số: một khuôn khổ lý
thuyết, Nyikahadzoyi (Nyikahadzoyi, 2015, [38]) đã đề xuất một khuôn khổ lý thuyết mô
tả các kiểu kiến thức nội dung và kiến thức nội dung-sư phạm của giáo viên để giảng dạy
các khái niệm hàm số trong một môi trường học tập không sử dụng công nghệ. Ngoài ra,
Nyikahadzoyi cho rằng sự chuyển hướng tích hợp công nghệ trong lớp học có nghĩa là

13


giáo viên cần phải có cơ hội để có kiến thức nội dung-sư phạm công nghệ cần thiết để dạy
các khái niệm hàm số trong môi trường học tập giàu công nghệ.

1.3. Chương trình đào tạo và phát triển nghiệp vụ cho giáo viên toán hiện nay
Qua phân tích khung Chương trình giáo dục đại học sư phạm Toán học hiện hành
theo hệ thống tín chỉ của trường Đại học Sư phạm Huế (Trường Đại học Sư phạm Huế,
2015, [2]), chúng tôi nhận thấy rằng các giáo viên toán học tương lai đã được yêu cầu hoàn
thành tổng số 135 tín chỉ, bao gồm:
 21 tín chỉ về kiến thức chung (chiếm 15,56%);
 34 tín chỉ về kiến thức đào tạo và rèn luyên năng lực sư phạm (chiếm 25,18%), bao
gồm 14 tín chỉ về kiến thức sư phạm nói chung, 8 tín chỉ về kiến thức, kỹ năng và năng

lực dạy học môn Toán, 12 tín chỉ về thực hành sư phạm bao gồm rèn luyện nghiệp vụ sư
phạm thường xuyên, thực hành dạy học tại trường sư phạm, kiến tập sư phạm và thực tập
sư phạm;
 75 tín chỉ về kiến thức cơ sở ngành và chuyên ngành (chiếm 55,56%), bao gồm 9
tín chỉ về kiến thức cơ sở ngành và 66 tín chỉ về kiến thức chuyên sâu của ngành bao gồm
các môn toán cao cấp;
 5 tín chỉ về khóa luận tốt nghiệp hoặc các học phần thay thế (chiếm 3,70%).
Chúng tôi đã nhận thấy rằng chương trình đào tạo giáo viên toán trung học có các
đặc điểm sau:
1. Đào tạo cho giáo viên tương lai với một nền tảng vững chắc về kiến thức toán
học cao cấp, chương trình đã bước đầu thay đổi theo hướng chú trọng đến việc đào tạo
kiến thức sư phạm nói chung và kiến thức sư phạm toán nói riêng.
2. Chương trình đào tạo ưu tiên về kiến thức lý thuyết, chưa chú trọng đúng mức
đến yếu tố thực hành, ngay cả đối với những học phần liên quan đến năng lực nghiệp vụ
cho giáo viên tương lai.
3. Các học phần phát triển năng lực nghiệp vụ cho giáo viên vẫn chưa có nhiều đổi
mới và cập nhật. Nội dung các học phần này chưa chú trọng đề cập đến các kiểu kiến thức
cần thiết của một giáo viên toán tương lai để giảng dạy toán hiệu quả, một yếu tố quan
trọng cấu thành năng lực dạy học của giáo viên.

14


Nhìn chung, chương trình đào tạo giáo viên toán hiện hành ở Trường Đại học Sư
phạm Huế đã có những thay đổi theo hướng tăng cường đào tạo nghiệp vụ sư phạm cho
giáo viên. Tuy nhiên, nội dung những học phần phát triển nghiệp vụ sư phạm vẫn còn hạn
chế, chưa cập nhật những xu hướng và kết quả nghiên cứu về phát triển nghiệp vụ cho giáo
viên toán.

1.4 Kết luận chương 1

Trong chương 1, chúng tôi đã phân tích sơ khởi chương trình đào tạo và phát triển
nghiệp vụ cho giáo viên toán hiện nay tại Trường Đại học Sư pham Huế. Phân tích ban
đầu cho thấy tuy đã có những đổi mới trong phát triển chương trình đào tạo theo hướng
tăng cường phát triển năng lực nghề nghiệp cho giáo viên, chương trình vẫn còn nhiều hạn
chế. Đặc biệt, lĩnh vực phân tích các kiểu kiến thức cần thiết cho việc giảng dạy toán hiệu
quả của giáo viên toán chưa được đề cập một cách rõ ràng trong các học phần phát triển
năng lực nghiệp vụ.
Ở cấp độ nghiên cứu, chúng tôi đã điểm bình tổng quan các nghiên cứu về lĩnh vực
các kiểu kiến thức của giáo viên toán cần thiết cho việc dạy học. Phân tích cho thấy đây là
một lĩnh vực nghiên cứu tương đối mới và được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm. Trong
các nghiên cứu này, có nhiều nghiên cứu đặc biệt chú trọng đến việc điều chỉnh, vận dụng
mô hình Kiến thức toán để dạy học (MKT) phát triển bởi Ball và các đồng nghiệp. Các
nghiên cứu này đã vận dụng và phát triển mô hình của Ball và cộng sự để nghiên cứu và
đánh giá các kiểu kiến thức toán của giáo viên cần thiết cho việc giảng dạy hiệu quả một
lĩnh vực nội dung toán học phổ thông nào đó, chẳng hạn như tư duy hàm (Wilkie, 2014,
[52]), đại số (Huang, 2014, [25]), thống kê (Callingham, Carmichael & Watson, 2015, [9]),
hình học (Ng, 2011, [34]), năng lực nghiệp vụ của giáo viên toán (Dohrmann, Kaiser &
Blomeke, 2012; Kaiser et al., 2016; Nyikahadzoyi, 2015 ; [11], [26], [38]). Tuy nhiên, có
khá ít các nghiên cứu về kiến thức toán để dạy học hàm số của giáo viên toán tương lai.
Đặc biệt, ở Việt Nam, hầu như chưa có nghiên cứu nào về chủ đề này.
Hiện tại có rất ít những nghiên cứu về kiến thức toán để dạy học các chủ đề của đại
số và giải tích (hàm số, giới hạn, đạo hàm) của giáo viên toán tương lai cũng như vấn đề
phát triển năng lực nghiệp vụ cho giáo viên toán tương lai để dạy học các chủ đề này.

15


Những phân tích trên cho phép chúng tôi đặt ra một số vấn đề cần quan tâm tìm
hiểu trong khuôn khổ nghiên cứu này là: làm thế nào để phân tích và đánh giá kiểu kiến
thức nội dung, cụ thể là kiến thức nội dung chuyên ngành, của các giáo viên toán trung học

tương lai về chủ đề hàm số? Phân tích và đánh giá kiểu kiến thức nội-dung sư phạm, cụ
thể là kiến thức về nội dung và học sinh và kiến thức về nội dung và giảng dạy, của các
giáo viên toán trung học tương lai về chủ đề hàm số như thế nào? Trong chương 2, chúng
tôi sẽ giới thiệu và phân tích rõ hơn mô hình về các lĩnh vực kiến thức toán để dạy học của
Ball và công sự (2008, [5]) như một khuôn khổ lý luận làm nền tảng cho việc thiết kế công
cụ đo và phân tích dữ liệu. Chúng tôi cũng sẽ phân tích các đặc trưng tri thức luận và đặc
điểm nội dung chủ đề hàm số để làm rõ các lĩnh vực kiến thức nội dung và kiến thức nội
dung-sư phạm của giáo viên cần thiết cho việc giảng dạy hàm số ở lớp 10 phổ thông.

16


Chương 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2.1. Kiến thức toán để dạy học
2.1.1. Mô hình về các lĩnh vực của Kiến thức toán để dạy học
Dựa trên công trình của Shulman (Shulman, 1986, [44]), Ball và cộng sự (Ball et
al., 2008, p. 403, [5]) đã phát triển một khuôn khổ nội dung lý thuyết về Kiến thức toán để
dạy học (MKT) để nghiên cứu và đánh giá các kiểu kiến thức khác nhau mà giáo viên toán
cần có để thực hiện việc dạy học hiệu quả. Mô hình này bao gồm hai lĩnh vực kiến thức:
kiến thức nội dung môn học và kiến thức nội dung-sư phạm (PCK). Trong mỗi lĩnh vực
này, các tác giả chia thành ba kiểu kiến thức khác nhau.

Kiến thức nội dung môn học

Kiến thức
chung
(CCK)
Kiến thức
theo chiều
ngang

Kiến
thức nội
dung
chuyên
ngành
(SCK)

Kiến thức nội dung-sư phạm

Kiến thức về
nội dung và
học sinh
(KCS)

Kiến thức
về nội
dung và
giảng dạy
(KCT)

Kiến thức
chương
trình (KC)

Hình 2.1. Mô hình về các lĩnh vực của Kiến thức toán để dạy học (Ball, Thames, &
Phelps, 2008, [5])
 Kiến thức nội dung môn học (Subject Matter Knowledge): bao gồm ba kiểu kiến
thức sau:
o Kiến thức chung (Common Content Knowledge, CCK): liên quan đến các

kiến thức toán tổng quát được sử dụng trong cuộc sống hằng ngày, hay được sử
dụng trong công việc giảng dạy theo những cách thức giống như trong các ngành
17


nghề khác có sử dụng toán học. Kiến thức này không phải là kiến thức duy nhất để
giảng dạy. Ví dụ, giáo viên có khả năng để: đưa ra một câu trả lời hay giải quyết
các vấn đề toán học một cách chính xác, hiểu được nội dung toán học mà mình
giảng dạy, nhận ra khi học sinh đưa ra một câu trả lời sai, nhận ra khi sách giáo
khoa không chính xác, sử dụng thuật ngữ và ký hiệu một cách chính xác.
o Kiến thức nội dung chuyên ngành (Specialized Content Knowledge, SCK):
là một kiểu kiến thức toán đặc thù cho phép giáo viên tham gia vào các nhiệm vụ
dạy học cụ thể, chẳng hạn như làm thế nào để biểu đạt một cách chính xác các ý
tưởng toán học, đưa ra các giải thích cho các các quy tắc và quy trình toán học, xem
xét và hiểu các phương pháp giải quyết các vấn đề toán học, đáp ứng được các câu
hỏi tại sao của học sinh, tìm một ví dụ để minh họa cho một quan niệm toán học cụ
thể, nhận biết những gì liên quan đến việc sử dụng một biểu diễn cụ thể, kết nối chủ
đề đang được giảng dạy với các chủ đề đã học hoặc sẽ học, thẩm định và thích ứng
với các nội dung toán học trong sách giáo khoa, sửa đổi nhiệm vụ trở nên dễ hơn
hay khó hơn, đánh giá tính hợp lý các yêu cầu của học sinh, cung cấp hoặc đánh
giá các lời giải toán học, lựa chọn và phát triển các định nghĩa có thể sử dụng, sử
dụng ngôn ngữ và ký hiệu toán học và phê bình cách sử dụng nó, đặt câu hỏi toán
học hiệu quả, lựa chọn các biểu diễn cho các mục đích cụ thể. Cả hai kiểu kiến thức
CCK và SCK vẫn đều là những kiến thức toán học, chứ không phải là những kiến
thức về học sinh hay về việc giảng dạy.
o Kiến thức theo chiều ngang (Knowledge at the mathematical horizon): là
việc hiểu biết về các chủ đề toán và mạch kiến thức toán trong chương trình có mối
liên hệ với nhau như thế nào. Đó cũng là sự hiểu biết về các ngữ cảnh toán học rộng
hơn trong đó chứa đựng các chủ đề toán học được giảng dạy.
 Kiến thức nội dung-sư phạm (Pedagogical Content Knowledge) : bao gồm ba

kiểu kiến thức sau :
o Kiến thức về nội dung và học sinh (Knowledge of Content and Students,
KCS): được Hill và cộng sự (Hill et al, 2008, [24]) định nghĩa như là kiến thức về
một nội dung toán cụ thể kết hợp với kiến thức về cách thức học sinh tư duy, nhận
thức hay học chủ đề nội dung đó. Những giáo viên có kiểu kiến thức này thì thường
có khả năng xem xét được cách thức học sinh học một khái niệm toán học như thế

18


nào, hoặc quan tâm đến những lỗi sai hay quan niệm sai lầm thường có của học
sinh. Điều này dẫn đến một sự hiểu biết về tư duy của học sinh và những gì khiến
việc học các khái niệm cụ thể dễ hay khó.
o Kiến thức về nội dung và giảng dạy (Knowledge of Content and Teaching,
KCT): là kiểu kiến thức kết hợp giữa hiểu biết về việc giảng dạy và hiểu biết về nội
dung toán học. Nhiều nhiệm vụ toán trong dạy học đòi hỏi một sự tương tác kết
hợp giữa kiến thức toán và việc thiết kế, tổ chức dạy học. Giáo viên cần phải biết
chọn ví dụ nào để bắt đầu bài học, ví dụ nào để giúp học sinh hiểu sâu hơn nội dung
toán học đang đề cập. Trong quá trình dạy học trên lớp, giáo viên cũng cần phải
biết khi nào thì cần đặt câu hỏi để làm sáng tỏ vấn đề hơn, khi nào thì đặt ra một
câu hỏi hay nhiệm vụ mới để thúc đẩy học sinh đào sâu suy nghĩ hơn. Mỗi một vấn
đề trên đều đòi hỏi một sự tương tác giữa hiểu biết về kiến thức toán của một nội
dung cụ thể và hiểu biết về các vấn đề sư phạm.
o Kiến thức chương trình (Knowledge of Curriculum, KC): là hiểu biết về nội
dung chương trình liên quan đến vấn đề dạy học. Ball và cộng sự (Ball et al, 2005,
[4]) nhấn mạnh rằng giáo viên không chỉ biết về nội dung chương trình, mà còn
phải biết sử dụng nội dung chương trình như thế nào để trình bày, nhấn mạnh, phối
hợp khi giảng dạy.
Mô hình về các lĩnh vực của kiến thức toán để dạy học của Ball và cộng sự đã và
đang được rất nhiều nhà nghiên cứu về giáo dục toán quan tâm, đặc biệt là đối với các nhà

nghiên cứu tìm hiểu về việc phát triển nghiệp vụ cho giáo viên toán. Các nghiên cứu này
đã vận dụng và phát triển mô hình của Ball và cộng sự để nghiên cứu và đánh giá các kiểu
kiến thức toán của giáo viên cần thiết cho việc giảng dạy hiệu quả một số lĩnh vực nội
dung toán học phổ thông.

2.1.2. Các năng lực nghiệp vụ của giáo viên toán theo chương trình Phát triển và
đào tạo giáo viên toán TEDS-M
TEDS-M (The IEA Teacher Education and Development Study in Mathematics) là
một chương trình nghiên cứu so sánh quốc tế về đào tạo giáo viên toán tiểu học và trung
học. Để đo lường hiệu quả đào tạo giáo viên toán học, TEDS-M đã phát triển một mô hình
về năng lực nghiệp vụ của giáo viên toán. Dựa trên phương pháp tiếp cận của Shulman

19


(Shulman, 1986, [44]) và Bromme (1992, [7]), TEDS-M mô tả ba lĩnh vực kiến thức như
là các thành phần nhận thức chủ yếu của năng lực nghiệp vụ của giáo viên toán : kiến thức
nội dung môn toán (Mathematics Content Knowledge, MCK), kiến thức nội dung-sư phạm
toán học (Mathematics Pedagogical Content Knowledge, MPCK) và kiến thức sư phạm
tổng quát (General Pedagogical Knowledge, GPK). Ngoài ra, niềm tin và các yếu tố như
tình cảm-động lực, ý thức tự điều chỉnh… cũng là một phần không thể thiếu của các năng
lực nghiệp vụ của giáo viên.

Năng lực nghiệp vụ của giáo viên

Đặc điểm tình cảm-động lực:
niềm tin nghề nghiệp, động lực
và khả năng tự điều chỉnh

Khả năng nhận thức:

Kiến thức nghiệp vụ

Kiến
thức nội
dung

Kiến thức
sư phạm
tổng quát

(Shulman, 1986, [44])

Kiến thức
nội dungsư phạm

Niềm tin về
toán học và
việc dạy học
toán

Động lực
nghề nghiệp
và khả năng tự
điều chỉnh

(Richardson 1996; Thompson 1992, [40], [50])

Sơ đồ 2.1 Mô hình khái niệm năng lực nghiệp vụ của giáo viên (Dohrmann, Kaiser &
Blomeke, 2012, [11])
Đạt được sự đồng thuận về những loại kiến thức và năng lực cần thiết mà giáo viên

toán nên có trong lĩnh vực MPCK là một thách thức lớn trong TEDS-M. Khái niệm MPCK
được định hướng theo nhiệm vụ cốt lõi của giáo viên là giảng dạy. Trong TEDS-M, hai
lĩnh vực con của MPCK được phân biệt theo Shulman (Shulman, 1986, [44]) và Fan và
Cheong (2002, [26]): kiến thức về chương trình và kiến thức về việc lập kế hoạch cho việc
giảng dạy và học tập toán học; và kiến thức về việc thực hành toán học để giảng dạy và
học tập (Tatto et al. 2008 p.38, [49]).

20


Sự phát triển của khung kiến thức nội dung-sư phạm toán MPCK đã được cung cấp
bởi các nghiên cứu khả thi cho TEDS-M và công trình của các nhà nghiên cứu khác trong
lĩnh vực này (Ball & Bass, 2000; Hill, Rowan, & Ball, 2005; Hill, Schilling, & Ball, 2008,
[3], [22], [23]), cũng như phản hồi từ nhóm chuyên gia TEDS-M. Bảng sau cho thấy khung
kiến thức nội dung-sư phạm toán được sử dụng cho cả tiểu học và trung học.
Bảng 2.1. Khung Kiến thức về nội dung-sư phạm toán (Tatto et al. 2008 p.38, [49]).
Thiết lập mục tiêu học tập thích hợp
Hiểu biết về các hình thức đánh giá khác nhau
Kiến thức về
chương trình
giảng dạy
toán học

Lựa chọn những phương pháp có thể và nhìn thấy sự kết nối trong
chương trình giảng dạy
Xác định các ý tưởng quan trọng trong chương trình học tập
Kiến thức về chương trình giảng dạy toán học
Lập kế hoạch hoặc lựa chọn các hoạt động phù hợp

Kiến thức về

việc lập kế
hoạch học tập
và giảng dạy
toán học
(trước hoạt
động giảng
dạy)

Lựa chọn hình thức đánh giá
Dự đoán các phản ứng tiêu biểu của học sinh, bao gồm các quan niệm
sai lầm của học sinh
Lập kế hoạch về các phương pháp thích hợp để diễn đạt các ý tưởng
toán học
Liên kết các phương pháp sư phạm với các kế hoạch giảng dạy
Xác định các cách tiếp cận khác nhau để giải quyết các vấn đề toán học
Lập kế hoạch bài học môn toán

Thực hành
Toán học cho
giảng dạy và
học tập
(tương tác
trong hoạt
động giảng
dạy)

Phân tích hoặc đánh giá các lý lẽ hoặc lời giải toán học của học sinh.
Phân tích nội dung các câu hỏi của học sinh
Chẩn đoán các phản ứng tiêu biểu của học sinh, bao gồm cả quan niệm
sai lầm của chúng.

Giải thích hoặc diễn đạt các khái niệm hoặc quy trình toán học.
Đặt ra các câu hỏi hiệu quả
Phản ứng với các vấn đề toán học bất ngờ
Cung cấp thông tin phản hồi thích hợp

21


Khung lý thuyết này cung cấp cơ sở để thiết kế các câu hỏi liên quan đến kiến thức
nội dung-sư phạm toán. Trong lĩnh vực kiến thức chương trình và lập kế hoạch, nhiệm vụ
đặc biệt liên quan đến việc xác định ý tưởng toán học chính; những quan niệm trong các
vấn đề và nhiệm vụ toán học; phân tích các nội dung toán học và độ khó của nhiệm vụ về
những hiểu biết đã có trước đó. Ngoài ra, hệ quả do sự thay đổi chủ đề trong chương trình
giảng dạy đối với việc lập kế hoạch giảng dạy cần được xác định trong quá trình này. Và
đòi hỏi năng lực để đưa ra các phương pháp thích hợp cho những ý tưởng toán học và lựa
chọn phương pháp thích hợp để diễn đạt các tình huống toán học.

2.2. Kiến thức toán để dạy học chủ đề hàm số
2.2.1. Đặc trưng tri thức luận và nhận thức khái niệm hàm số
Các nghiên cứu về lịch sử hình thành khái niệm hàm số đã cho thấy có hai khía
cạnh chủ đạo trong quá trình hình thành khái niệm quan trọng này là khía cạnh tương ứng
và khía cạnh đồng biến thiên phụ thuộc (Ngô Thị Nhật Anh, 2013, [1]). Khía cạnh “tương
ứng” được thể hiện ở chỗ hai đại lượng biến thiên được liên kết với nhau bởi một tương
ứng duy nhất: mỗi giá trị của đại lượng thứ nhất được liên kết với một giá trị duy nhất của
đại lượng thứ hai, nhưng sự liên kết không đòi hỏi phải có một sự biểu diễn mối liên hệ
đó. Thậm chí trong trường hợp tồn tại một biểu diễn mối liên hệ đó, khía cạnh “tương ứng”
chỉ đề cập đến một quan hệ có tính riêng biệt (rời rạc) giữa một giá trị của đại lượng thứ
nhất với một giá trị của đại lượng thứ hai. Một bảng giá trị tương ứng giữa hai đại lượng
là một thể hiện rõ nhất của khía cạnh tương ứng này.
Khía cạnh “biến thiên phụ thuộc” đòi hỏi rằng hai đại lượng biến thiên liên kết với

nhau trong một hệ thống quan sát được, chẳng hạn các đại lượng như độ dài, diện tích
trong một hình hình học động. Khía cạnh biến thiên phụ thuộc nhấn mạnh sự đồng thời
thay đổi, phụ thuộc của 2 đại lượng và cả cách thức thay đổi đồng thời như thế nào của 2
đại lượng đó.
Về việc nhận thức khái niệm hàm số của học sinh, nhiều nghiên cứu đã cho thấy
học sinh thường nhận thức khái niệm hàm số theo hai cách nhìn (quan niệm) sau: quan
niệm quy trình và quan niệm đối tượng. Khi học về hàm số, học sinh thường có xu hướng
nhận thức hàm số từ cách nhìn có tính hành động hay quy trình trước, sau đó dần dần mới
đạt đến quan niệm đối tượng về hàm số (Briedenbach et al. 1992; Sfard, 1992; [8], [41]).
22