MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 8

MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC
Bài 1: Cho đoạn thẳng AB, gọi O là trung điểm AB. Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By vuông góc với
AB. Lấy C trên Ax, D trên tia By sao cho
·
COD
= 90
0
.
a/ Chứng minh CD = AC + BD
b/ Kẻ OM
⊥
CD tại M, gọi N là giao điểm AD với BC. Chứng minh MN//AC
(Đề thi HSG quận Tân Bình 1995 – 1996)
Giải:
a/ Chứng minh CD = AC + BD
Nối CO cắt DB tại E. Xét
∆
ACO và
∆
BOE có:
·
·
OAC OBE=
( = 90
0
);
·
·
AOC BOE=
(đđ); OA = OB (gt)
=>

∆
ACO =
∆
BOE (g,c,g) => AC = BE và OC = OE
∆
DCE có DO là đường trung tuyến và là đường cao nên
∆
DCE cân tại D
=> CD = DE. Mà DE = DB + BE = DB + AC
=> CD = AC + BD
b/ Chứng minh MN//AC: Vì
∆
DCE cân tại D => DO là phân giác; OM = OB => OM = OA
=>
∆
ACO =
∆
MCO (ch,cgv) => MC = CA
Tương tự:
∆
ODM =
∆
ODB => MC = CA
Tam giác CAN có AC//BD (cùng vuông góc với AB) nên
AN AC
ND BD
=
(hệ quả đònh lý Talet)
Hay
AN CM

ND MD
=
=> MN//AC
Bài 2: Cho
∆
ABC cân tại A với A là góc nhọn; CD là đường phân giác góc ACB (D thuộc AB) qua D kẽ
đường vuông góc với CD; đường này cắt đường thẳng CB tại E. Chứng minh BD = 1/2EC
(Đề thi HSG quận 1, 95 – 96)
Giải: Gọi K là trung điểm EC. Tam giác vuông EDC vuông tại D có
KD là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên DK =
EC
2
và DK = KC
Vậy tam giác KDC cân tại K =>
¶
¶
1 2
D C=
Mà
¶
¶
1 2
C C=
(gt) =>
¶
¶
¶
1 1 2
D C C= =
Ta có:

·
¶
¶
1 2
DKB D C= + =
¶
¶
1 2
C C+
=
·
ACB
(góc ngoài tại đỉnh K của
∆
DCK)
=>
·
·
DKB DBC=
(do
∆
ABC cân tại A)
=>
∆
DBK cân tại D => BD = DK = EC/2
Bài 3: Cho
∆
ABC có
µ
A

= 30
0
. Dựng bên ngoài tam giác đều BCD.
Chứng minh AD
2
= AB
2
+ AC
2
(Đề thi HSG quận 6, 97 – 98)
Giải: Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chưa điểm B vẽ tia Ax
sao cho
·
xAC
= 60
0
Trên tia Ax lấy E sao cho AE = AC =>
∆
AEC đều
Ta có:
·
·
·
BAE BAC CAE= +
= 30
0
+ 60
0
= 90
0

∆
ABE vuông tại A cho ta: BE
2
= BA
2
+ AE
2
Hay BE
2
= AB
2
+ AC
2
(1)
Mặt khác:
·
·
·
BCE BCA ACE= +
=
·
BCA
+ 60
0
=>
·
·
BCE ACD=
Xét
∆

ACD và
∆
ECB có:
·
·
BCE ACD=
; AC = CE; CD = CB =>
∆
ACD =
∆
ECB (c-g-c)
=> DA = BE (2). Từ (1) và (2) suy ra: AD
2
= AB
2
+ AC
2
A BO
C
D
N
M
E
A
B
C
K
D
1 1
2

E
A
B
D
C
x
E
Bài 4: Cho đoạn thẳng AC = m. Lấy điểm B bất kỳ thuộc đoạn AC (B
≠
A; B
≠
C). Tia Bx vuông góc với
AC. Trên tia Bx lần lượt lấy các điểm D và E sao cho BD = BA và BE = BC.
a/ Chứng minh CD = AE và CD
⊥
AE
b/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE, CD. Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng khoảng cách
từ điểm I đến AC không đổi khi B di chuyển trên đoạn AC.
c/ Tìm vò trí của điểm B trên đoạn AC sao cho tổng diện tích hai tam giác ABE và BCD có giá trò lớn nhất.
Tính giá trò lớn nhất này theo m.
(Đề thi HSG toán 8 quận Tân Bình 2000 – 2001)
Giải: a/ Chứng minh CD = AE và CD
⊥
AE
Ta có
∆
ABE =
∆
DBC (c-g-c)
=> CD = AE

Gọi F là giao điểm của AE và CD, ta có:
·
·
AEB DEF=
(đđ) và
·
·
EAB BDC=
(
∆
ABE =
∆
DBC)
=>
· ·
·
·
AEB EAB DEF BDC+ = +
Mà
· ·
AEB EAB+
= 90
0
=>
·
·
DEF BDC+
= 90
0
=>

·
DFE
= 90
0
hay AE
⊥
CD tại F
b/ Gọi M’, N’, I’ lần lượt là hình chiếu của M, N, I xuống AC
∆
AEB có M là trung điểm của AE, MM’//BE (cùng vuông góc với AC)
=> MM’ là đường trung bình của
∆
AEB => MM’ = 1/2BE hay MM’ = 1/2BC
Chứng minh tương tự, ta có NN’ là đường trung bình của
∆
BCD => NN’ = 1/2BD hay NN’ = 1/2AB
Tứ giác MNM’N’ có MM’//NN’ (cùng vuông góc AC) => MNN’M’ là hình thang
I là trung điểm của MN; I I’//MM’//NN’ => I I’ là đường trung bình của hình thang MNN’M’
=> I I’ =
MM' NN' BC AB AC m
2 4 4 4
+ +
= = =
(không đổi)
c/ Vì
∆
ABE’ =
∆
DBC nên S
ABE

= S
DBC
=> S
ABE
+ S
DBC
= 2S
ABE
2S
ABE
= 2.1/2AB.BE = AB.BE = AB.BC
Vì AB > 0; Bc > 0 mà tổng AB + BC = AC = m (không đổi)
nên tích AB.BC đạt giá trò lớn nhất <=> AB = BC = m/2 <=> B là trung điểm AC.
Vậy max(S
ABE
+ S
DBC
) =
m m
.
2 2
=
2
m
4
(đvdt) <=> B là trung điểm của đoạn AB
Bài 5: Trên cạnh AB của hình vuông ABCD, người ta lấy điểm E tuỳ ý. Tia phân giác của góc CDE cắt BC
tại K. Chứng minh AE + KC = DE
Giải: Trên tia đối của tia AB lấy I sao cho CK = AI
=>

∆
CDK =
∆
ADI (Vì CK = AI; CD = AD và
µ
µ
A C=
= 90
0
)
=>
¶
¶
¶
1 2 3
D D D= =
và
·
·
AID CKD=
Mặt khác ta có:
·
·
KDA CKD=
(so le trong)
Nên:
·
·
KDA CKD=
=

¶
2
D
+
·
EDA
=
¶
3
D
+
·
EDA
=
·
EDI
=>
·
EID
=
·
EDI
=>
∆
EDI cân tại E => ED = EI = EA + AI = EA + CK
Bài 6: Cho
∆
ABC vng tại A. Về phía ngoài của tam giác, ta vẽ các hình vuông ABDE và ACGH.
a/ Chứng tỏ tứ giác BCHE là hình thang cân
b/ Kẻ đường cao AH

1
của tam giác ABC. Chứng tỏ các đường thẳng AH
1
, DE, GH đồng quy.
Giải:
a/ Chứng tỏ tứ giác BCHE là hình thang cân
Ta có:
·
·
EBH BHC=
= 45
0
(tính chất đường chéo hình vuông)
=> EB//HC
CA
B
D
E
M
N
M’ N’ I’
I
x
F
AB
C D
E
K
I
1

2 3
Mặt khác ta có: EA = AB; AC = AH
Nên: EC + AC = AB + AH hay EC = BH
=> Tứ giác BCHE là hình thang cân
b/ Chứng tỏ các đường thẳng AH
1
, DE, GH đồng quy.
Gọi P là giao điểm của DE và HG => AEPH là hình chữ nhật
Gọi O là giao điểm của AH
1
với EH. Vẽ HQ
⊥
AO, EK
⊥
AO
Xét
∆
ABH
1
và
∆
AEK có:
·
1
AH B
=
·
AEK
= 90
0

;
·
ABH
=
·
EAK
(Cùng phụ với góc BAH
1
); AB = AE =>
∆
ABH
1
=
∆
AEK
=> AH
1
= EK (1)
Tương tự:
∆
ACH
1
=
∆
HAQ => AH
1
= HQ (2)
Từ (1) và (2) => EK = HQ
Xét
∆

OEK và
∆
OHQ vuông có: EK = HQ;
·
KEO
=
·
QHO (so le trong) =>
∆
OEK =
∆
OHQ
=> OE = OH => O là trung điểm của EH: Vậy O là trung điểm AP (AEPH là hình chữ nhật)
=> P thuộc AO nên P thuộc AH
1
Vậy 3 đường thẳng AH
1
, DE, GH đồng quy tại một điểm.
Bài 7: Cho hình chữ nhật ABCD, kẽ BH vuông góc với AC tại H. Gọi M và K lần lượt là trung điểm của AH
và CD. Chứng minh BM
⊥
MK
Giải: Gọi N là trung điểm BH; => MN là đường trung bình của
∆
ABH
=> MN//AB và MN = 1/2AB
Mà AB
⊥
BC => MN
⊥

BC
=> N là trự c tâm của
∆
BMC hay CN là đường cao của
∆
BMC => CN
⊥
BM
Ta có CK = 1/2CD; mà CD = AB => CK 1/2AB
Mặt khác CK//AB (CD//AB)
=> CNMK là hình bình hành => CN//MK
Mà CN
⊥
BM => MK
⊥
BM
Bài 8: Cho
∆
ABC có 3 góc nhọn và hai đường cao AA’; BB’ cắt nhau tại H. Gọi D là điểm đối xứng với H
qua trung điểm I của BC. Chứng minh
·
BDC
và
·
BAC
bù nhau.
Giải: Tứ giác BHCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm I của chúng
=> BHCD là hình bình hành
=>
·

BDC
=
Tứ giác HC’AB’ có tổng bốn góc là 360
0
=>
·
C'AB'
bù với
·
C'HB'
;
Mà
·
C'HB'
=
·
BHC
(đđ). Vậy
·
BDC
bù với
·
C'AB'
hay
·
BDC
và
·
BAC
bù nhau.

Bài 9: Cho
∆
ABC (
µ
A
= 90
0
), D là điểm di đông trên cạnh BC. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc
của điểm D lên AB, AC.
a/ Xác đònh vò trí điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông?
b/ Xác đònh vò trí điểm D để tổng 3AD + 4EF đạt giá trò nhỏ nhất?
Giải:
a/ Tứ giác AEDF có
µ
µ
$
A E F= =
= 90
0
nên là hình chữ nhật
Tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là phân giác của góc EAF
Hay AD là phân giác của góc BAC
Vậy khi D là giao điểm của tia phân giác góc BAC với cạnh BC thì tứ
giác AEDF là hình vuông.
b/ Ta có AD = EF (AEDF hình chữ nhật)
=> 3AD + 4EF = 3AD + 4AD = 7AD
Vẽ AH
⊥
BC => AD
≥

AH (T/c hình chiếu và đường xiên)
A
B
C
D
E
P
H G
O
Q
K
H
1
B
A
D
C
K
M
N
H
A
B
C
A’
B’
C’
H
I
D

A
B
C
H
D
E
F
Do đó: 3AD + 4EF
≥
7AH; AH không đổi
Dấu “=” xảy ra <=> D
≡
H
Vậy tổng 3AD + 4EF đạt giá trò nhỏ nhất bằng 7AH <=> D
≡
H (H là chân đường cao hạ từ A xuống BC)
Bài 10: Cho
∆
ABC cân tại C. Kẻ đường phân giác AA
1
của góc A và đường trung tuyến CC
1
của tam giác.
Biết rằng AA
1
= 2CC
1
. Tính số đo góc ACB
Giải:
Từ C

1
kẻ C
1
D//AA
1
=> C
1
D = CC
1
=>
∆
DCC
1
cân tại C
1
=>
·
1
C DC
=
·
1
C CD
Mà
·
1
C CD
=
·
µ

1
DC B B+
=
·
µ
1
A AB B+
=
·
µ
1
CAB B
2
+
=
µ µ
1
B B
2
+
Hay
·
1
C CD
=
µ
3
B
2
. Tam giác ABC cân tại C nên trung tuyến CC

1
cũng là phân gíac của
∆
ABC
=>
·
ACB
= 2
·
1
C CD
= 2.
µ
3
B
2
= 3
µ
B
.
Ta có
·
·
µ
ACB CAB B+ +
= 180
0
=> 3
µ
B

+
µ
B
+
µ
B
= 180
0
=> 5
µ
B
= 180
0
=>
µ
B
= 36
0
=>
·
ACB
= 3.36
0
= 108
0
Bài 11: Cho tứ giác ABCD có AC = 10cm; BD = 12cm. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, biết góc
AOB = 30
0
. Tính diện tích tứ giác ABCD
Giải: Vẽ AH

⊥
OB và AK
⊥
OD
=>
∆
AOH là nửa tam giác đều cạnh OA => AH = 1/2OA
Tương tự: => CK = 1/2OC
Ta có S
BCD
= 1/2CK.BD = 1/4OC.DB
S
ABC
= 1/2AH.BD = 1/4OA.BD
S
ABCD
= S
BCD
+ S
ABC
= 1/4OC.DB + 1/4OA.BD = 1/4AC.BD
=> S
ABCD
= ½.12.10 = 30cm
2
Bài 12: Cho
∆
ABC có trung tuyến AD và BE vuông góc với nhau tại O. Cho AC = b và BC = a. Tính diện
tích hình vuông có cạnh là AB
Giải: Vì AD và BE là trung tuyến nên O là trọng tâm của

∆
ABC
=> OB = 2OE và OA = 2OD
p dụng đònh lý Pitago: OA
2
+ = AE
2
= b
2
/4
OB
2
BD
2
= a
2
/4
=> (OA
2
+ OB
2
) + (OE
2
+ OD
2
) =
2 2
a b
4
+

=> AB
2
+
2 2
OB OA
4
+
=
2 2
a b
4
+
=>
5
4
AB
2
=
2 2
a b
4
+
=> AB
2
=
2 2
a b
5
+
Vậy diện tích của hình vuông cạnh AB là:

2 2
a b
5
+
(đvdt)
Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH. Trên tia HC lấy HD = HA. Đường vuông
góc với BC tại D cắt AC tại E.
a/ Chứng minh AE = AB
b/ Gọi M là trung điểm BE. Tính góc AHM
Giải:
a/ Chứng minh AE = AB
Kẻ EF
⊥
AH, => HDEF là hình chữ nhật
=> EF = HD mà AH = HD (gt) => EF = AH
Xét
∆
HBA và
∆
FAE có:
µ
$
H F=
= 90
0
; AH = EF;
·
·
FEA HAB=
(cùng phụ với góc FAE)

=>
∆
HBA =
∆
FAE => AB = AE
C
A B
C
1
A
1
D
A
B
C
D
O
H
K
A
B
C
E
D
O
A
B
E
F
M

H D C
b/ Tính góc AHM
Do
∆
ABE vuông tại A => AM = BE/2 và
∆
DBE vuông tại D => DM = BE/2 => AM = MD
HM: cạnh chung; AH = HD (gt) =>
∆
AHM =
∆
DHM =>
·
·
·
AHD
MHA MHD
2
= = = 45
0
Bài 14: Cho tứ giác MDHN có:
µ
µ
M D=
= 90
0
và MH = MD =
DN
2
; Lấy điểm E bất kỳ thuộc MH (E

≠
M
và E
≠
H), kẻ tia Ex vuông góc với DE và tia này cắt NH tại F. Chứng minh rằng
∆
DEF vuông cân.
Giải: Kẽ HN
⊥
DN => HK = MD, DK = MH =
DN
2
Mà MH = MD (gt) => HK = DK = KN =>
∆
KHN vuông cân tại K =>
µ
N
= 45
0
=>
·
MHN
= 135
0
Lấy I
∈
MD sao cho ME = MD => EH = ID và
∆
MEI vuông cân tại M =>
·

MIE
= 45
0
=>
·
DIE
= 135
0
Xét
∆
IDE và
∆
HEF: có ID = EH;
·
DIE
=
·
MHN
= 135
0
;
·
IDE
=
·
HEF
(góc có cạnh tương ứng vuông góc)
=>
∆
IDE =

∆
HEF => DE = EF. Vậy
∆
DEF vuông cân t E
Bài 15: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD =
AE. Xác đònh vò trí điểm D, E sao cho:
a/ DE có độ dài nhỏ nhất
b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.
Giải:
a/ DE có độ dài nhỏ nhất
Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a)
p dụng đònh lý Pitago với
∆
ADE vuông tại A có:
DE
2
= AD
2
+ AE
2
= (a – x)
2
+ x
2
= 2x
2
– 2ax + a
2
= 2(x
2

– ax) – a
2
=
= 2(x –
2
a
4
)
2
+
2
a
2

≥

2
a
2
Ta có DE nhỏ nhất <=> DE
2
nhỏ nhất <=> x =
a
2
<=> BD = AE =
a
2
<=> D, E là trung điểm AB, AC
b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.
Ta có: S

ADE
=
1
2
AD.AE =
1
2
AD.BD =
1
2
AD(AB – AD) = –
1
2
(AD
2
– AB.AD) =
= –
1
2
(AD
2
– 2
AB
2
.AD +
2
AB
4
) +
2

AB
8
= –
1
2
(AD –
AB
4
)
2
+
2
AB
2

≤

2
AB
8
Vậy S
BDEC
= S
ABC
– S
ADE

≥

2

AB
2
–
2
AB
8
=
3
8
AB
2
không đổi
Do đó minS
BDEC
=
3
8
AB
2
khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC
Bài 16: Cho
∆
ABC có AB = 4; AC = 7, đường trung tuyến AM = 3,5. Tính BC
Giải:
p dụng đònh lý Pitago lần lượt với các tam giác vuông ta có:
AM
2
= AH
2
+ HM

2
=
2 2 2 2
(AB BH ) (AC HC )
2
− + −
+ HM
2
=
=
2 2 2 2
AB AC BH HC
2 2
+ −
−
+ HM
2
=
2 2 2
AB AC (BH HC) 2.BH.CH
2 2
+ − −
−
+ HM
2
=
M
HE
F
D K

N
xI
A
D
B
C
E
A
B
C
H M