TÀI LIỆU BỔ TRỢ KIẾN THỨC HHKG 12(kèm phương pháp giải bằng CASIO)_NĂM 2017-2018 (1)

“HTTP://YOUTUBE.COM/TOANCAP3”

TOÁN CẤP 3-KÊNH DẠY HỌC TRỰC TUYẾN.

Liên hệ :

hoặc

facebook.com/toancap3.edu.vn

KIẾN THỨC CẦN NẮM ĐỂ HỌC TỐT
HHKG 12- Chương I
MỤC LỤC
Phần I:

Lời nói đầu

Phần II:

Các kiến thức cần chuẩn bị để học tốt HHKG 12

Tr 2

1. Các cơng thức tính, độ dài,góc, diện tích. Hệ thức lượng

Tr 3

2. Cách dựng góc: đường& mặt ; mặt & mặt

Tr 6

3.Khoảng cách điểm đến mặt; 2 đường chéo nhau

Tr 9

4. Xác định 5 dạng đường cao chính

Tr 18

5. Nhận biết các hình chóp, lăng trụ đặc biệt

Tr 23

6. Các kiến thức về dựng hình song song, vng góc
(Sẽ bổ xung thơng qua các video ôn tập)
Phần III:

Nội dung HHKG lớp 12-Chương 1
1. Công thức tính thể tích khối chóp

Tr 16 (BT3)

2. Cơng thức tỷ số thể tích

Tr 26

3. Phân chia đáy khi áp dụng cơng thức tỷ số thể tích

Tr 28 (BT5)

4. Thêm 1 cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt

Tr 30

5. Lăng trụ và các bài tốn liên quan. (Thể tích, khoảng cách)

Tr 38

6. Phân chia khối đa diện (Thực hiện trong video)
Phần IV:

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

CHƯƠNG II: MẶT CẦU-MẶT TRỤ-MẶT NĨN
CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
(Hai chương còn lại là chương II & III sau khi biên soạn sẽ được gửi qua mail cho các em)

TRANG 1-Tài liệu bổ trợ kiến thức HHKG 12-Chương I


TOÁN CẤP 3-KÊNH DẠY HỌC TRỰC TUYẾN.

Liên hệ :

“HTTP://YOUTUBE.COM/TOANCAP3”
hoặc

facebook.com/toancap3.edu.vn

PHẦN I: Lời nói đầu.
Chào tất cả các em học sinh yêu quý!
Lời nói đầu tiên, thầy chúc các em học thật tốt trong năm học 2017-2018. Cố gắng đạt được
mục tiêu đề ra.
Các em và quý phụ huynh chính là động lực để thầy biên soạn tài liệu HHKG 12 này. Cũng
như đều đặn sản xuất mỗi tuần 2 video hướng dẫn học toán cả GT 12 lẫn HHKG 12 trên kênh
YOUTUBE.COM/TOANCAP3. Bên cạnh nguồn tài chính quý phụ huynh và các em hỗ trợ thì
đáng q hơn chính là tinh thần học tập, sự nhiệt huyết của các em.
Tài liệu này được thầy biên soạn với mục đích cung cấp một số kiến thức nền, kiến thức cơ bản
nhất các em cần phải nắm để học tốt HHKG 12. Bên trong chứa đựng phương pháp thầy đúc
kết được trong q trình giảng dạy, đó khơng phải là phương pháp hay nhất nhưng thầy cảm
thấy nó khá phù hợp để các em có thể vận dụng tốt vào các bài tốn thường gặp.
U CẦU: Khi các em có được tài liệu này trên tay, kết hợp với các video thầy làm. NHẤT
ĐỊNH phải thuộc lòng phương pháp thầy đưa ra. Bước 1 làm gì, bước 2 làm gì là phải xử lý
ngay.
Tài liệu này là phiên bản thứ nhất, được thầy gấp rút biên soạn để đến được tay các em trong
thời gian sớm nhất. Vì vậy khơng tránh khỏi những thiếu sót. Các em học sinh cũng như quý
thầy cơ giáo có nhận xét hay góp ý. Vui lịng gửi thư về địa chỉ
mail: hoặc liên hệ facebook.com/toancap3.edu.vn

TRANG 2-Tài liệu bổ trợ kiến thức HHKG 12-Chương I


“HTTP://YOUTUBE.COM/TOANCAP3”

TOÁN CẤP 3-KÊNH DẠY HỌC TRỰC TUYẾN.

Liên hệ :

hoặc

facebook.com/toancap3.edu.vn

PHẦN II:

1.MỘT SỐ CƠNG THỨC THƯỜNG DÙNG
1.DIỆN TÍCH TAM GIÁC

1
1
abc
SABC  .đáy.cao= . AB. AC.sin BAC  p( p  a)( p  b)( p  c)  p.r 
2
2
4R
abc
Trong đó: p =
(nửa chu vi)
2
R và r lần lượt là bán kính đường trịn ngoại tiếp và nội tiếp ∆ ABC

CT1: Bằng

1
.độ dài đáy. chiều cao
2

CT2: Bằng

1

.Tích 2 cạnh.Sin góc xen giữa
2

CT3: Cơng thức Herơng
CT4: Nửa chu vi. bán kính đtrịn nội tiếp
CT5: Tích 3 cạnh / 4R
2.DIỆN TÍCH HÌNH BÌNH HÀNH
A

SABCD  BA.BC.sin ABC  Cạnh đáy.cao (=BC.AH)

D

(ko có ½ nhen! )

B

C

H

3.DIỆN TÍCH HÌNH THANG

SHìnhthang

(Đáy lớn+đáy nhỏ).Cao

2

Nếu là hình thang vng thì chiều cao có sẵn, ko

phải dựng.

đáy nhỏ

A

D

cao
đáy lớn
B

H

C

4.DIỆN TÍCH TỨ GIÁC: (Xem thử tứ giác có phải tứ giác đặc biệt: vng, chữ nhật,….)
1
2

Tứ giác có 2 đường chéo vng góc: S  .Tích 2 đường chéo
Tứ giác thường: Chia nhỏ thành ∆ hoặc lắp thêm cho dễ tính.
5.DIỆN TÍCH HÌNH VNG, HÌNH THOI VÀ HÌNH CHỮ NHẬT:

1
SHìnhvuông ABCD  AB 2  . AC.BD (Vì hình vuông cũng có 2 đường chéo vuông góc)
2
TRANG 3-Tài liệu bổ trợ kiến thức HHKG 12-Chương I

“HTTP://YOUTUBE.COM/TOANCAP3”

TỐN CẤP 3-KÊNH DẠY HỌC TRỰC TUYẾN.

Liên hệ :

hoặc

facebook.com/toancap3.edu.vn

SHình chữ nhật ABCD  AB.BC
1
SHình thoi ABCD  Các công thức diện tích hình bình hành= .AC.BD (Vì 2 đường chéo  )
2
Cơng thức Hêrơng, CASIO và áp dụng tính (*)
VÍ DỤ: Cho ∆ ABC với độ dài 3 cạnh là AB
a)Tính S

2a; BC

4a, AC

12a .

ABC

b)Bán kính đương trịn ngoại tiếp ∆ ABC
c)Bán kính đường trịn nội tiếp ∆ ABC
d)Tính độ dài đường cao CH.
CÂU a) Ta nhập vào:

D

A

B
2

C

: D( D

A)(D

B)(D C )

CÂU b) Tính bán kính đường

CÂU c)Tính bán kính

trịn ngoại tiếp ta sử dụng
cơng thức

đường trịn nội tiếp

S

a.b.c
4R

A.B.C

4.S

R

Cách bấm:
Ngay ở bước tính diện tích:
Sau đó nhấn CALC nhập A=2 ;

(Hiểu S

ABC

S

p.r

r

S
p

Các em bấm lại cơng thức
Herơng tính ra diện tích

Ans )

B=4 ; C
12
nhấn = Khi đó ta được:

Sau đó tiếp tục bấm
Ta bấm:

Bấm = ta được

(Vì p ở đây là nửa chu vi
chính là giá trị D)
Ta bấm =

Suy ra: R=2.
Sau này một số bài thầy sẽ áp

Suy ra: r

Nhấn tiếp dấu = ta được diện tích

Đây chính là diện tích.
Nếu cạnh là a thì diện tích ta thêm
2

a .

Vậy S

2 3a .
2

ABC

dụng. Nên các e chú ý ghi

nhớ.

TRANG 4-Tài liệu bổ trợ kiến thức HHKG 12-Chương I

1

3


“HTTP://YOUTUBE.COM/TOANCAP3”

TOÁN CẤP 3-KÊNH DẠY HỌC TRỰC TUYẾN.

Liên hệ :

hoặc

facebook.com/toancap3.edu.vn

Định lý COS: Cho ∆ ABC khi đó:
a

2

b

2

c

2

2bc.cosA Hay : BC

Từ đó suy ra: cos BAC

AB 2

2

AB

2

AC

2

A

2AB.AC.cos A

AC 2 BC 2
2 AB. AC

c

b

ĐỊNH LÝ SIN: Cho ∆ ABC khi đó:

a

b

c

sin A

sin B

sin C

2R

Hay :

BC

AC

AB

sin A

sin B

sin C

HỆ THỨC LƯỢNG
TRONG

TAM GIÁC VNG

B

2R

C

a

A

huyền

H

B

C

1.Tìm Sin lấy đối chia huyền, cosin ta lấy kề huyền chia nhau, tìm tan ta hãy tính mau đối
trên kề dưới chia nhau ra liền, cotan thì ngược với tan kề trên đối dưới tính ra dễ dàng.
AB
; tan ACB
AC

VD: sin ACB

AB
BC

2.Định lý Pitago: Bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương 2 cạnh góc vng.
AC 2

AB 2

BC 2 .

3.Ta có: AH . AC

AB 2 và CH .CA

Hay áp dụng trong bài tỷ số thể
4.Ta có:

1
BH 2

1
BA2

BC 2 .

AH
tích, ta cần tính tỷ số
AC

AH .AC
AC 2

AB2
AB2 BC 2

1
. Thường gặp:tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên.
BC 2

Ta tính nhanh BH bằng máy tính : Bước 1:
Bước 2: CALC nhập độ dài 2 cạnh góc vng. VD: BA=2 và BC=1 suy ra: BH
5.Ta có: BH.AC =AB.BC (vì đều bằng ½ diện tích)

TRANG 5-Tài liệu bổ trợ kiến thức HHKG 12-Chương I

2 5
5


“HTTP://YOUTUBE.COM/TOANCAP3”

TỐN CẤP 3-KÊNH DẠY HỌC TRỰC TUYẾN.

Liên hệ :

hoặc

facebook.com/toancap3.edu.vn

2.Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
(Giao điểm là điểm nào thì chính là góc đó)
Đầu tiên ta đi vào định nghĩa: Góc giữa đường thẳng ∆ & mặt phẳng (P) là góc giữa ∆ và hình

chiếu vng góc của nó lên (P). Ở đây ta chỉ xét TH đường cắt mp.
Dạng 1: Góc giữa cạnh bên và mặt đáy.

S

(Đỉnh-giao điểm-chân đường cao)
Đường cao SH. Thì góc giữa cạnh SA và mặt
B

đáy. Ta có thể nói ngay là góc SAH
(AH là hình chiếu của SA lên mp đáy)

H

đáy

A

Dạng 2: Góc giữa cạnh bên SC và mp (SAB)

S

chứa đường cao SH.
cao
SH

B1:Giao điểm S. Suy ra là góc CS ?
B2:Từ điểm cịn lại kẻ đường vng góc cạnh
đáy. Kẻ CK

AB tại K. Suy ra: CK

Suy ra: Góc (SC;(SAB))

(SAB)

H

CSK

(SK là hình chiếu của SC lên (SAB) )

B
đáy

K
C

Dạng 3: Góc giữa đường cao SH và mặt bên
(SAB).Các bước làm giống dạng 2

S

B1: Giao điểm S. Suy ra là góc HS?
B2: Từ điểm cịn lại, kẻ vng góc cạnh đáy.
Kẻ HK AB tại K.
Suy ra: Góc (S H;(SAB))

HSK

Lưu ý: HK khơng vng (SAB). Nhưng nhìn
hình các em có thể thấy SK vẫn là hình chiếu
của SH lên (SAB)

A

cao
SH

A
H
đáy

B

K

Trên đây là 3 dạng thường gặp nhất. Đương nhiên còn một số dạng khác nữa và phương
pháp cũng khác, có phần phức tạp hơn.

TRANG 6-Tài liệu bổ trợ kiến thức HHKG 12-Chương I


“HTTP://YOUTUBE.COM/TOANCAP3”

TOÁN CẤP 3-KÊNH DẠY HỌC TRỰC TUYẾN.

Liên hệ :

hoặc

facebook.com/toancap3.edu.vn

BÀI TẬP 1: (Minh họa các dạng xác định

S

góc) Cho chóp SABCD có đáy ABCD là hình
vng tâm O, cạnh AB=2a. Gọi H là trung điểm
AO và SH  ( ABCD) . Cho (S A,( ABCD))  600 .
Xác định các góc sau: (Các em tự tính góc và xem
đó là 1 BT nhé  )
a. (SC;( ABCD))

A

b. (SB;( ABCD))

D

H
O

c. (SB;(SAC))

d. (SH;(SCD))
B

C

HƯỚNG DẪN GIẢI: (Khơng đi vào chi tiết cách trình bày-mục đích xđ nhanh phục vụ cho
làm trắc nghiệm)

Câu a: Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy (ABCD) là góc (Đỉnh-giao điểm-chân đường cao)
(SC;( ABCD))

SCH

Câu b:Góc giữa SB và đáy là góc

SBH

Câu c: Góc giữa cạnh bên và mp chứa đường cao SH
B1:Xác định giao điểm. SB (SAC )

S . (Suy ra nó phải là góc BS ? )

B2:Từ B kẻ BO vng góc với cạnh đáy AC tại O.
Suy ra góc: (SB;( ABCD))

BSO

Câu d:Góc giữa đường cao SH và mặt bên (SCD).
B1:Giao điểm S. (Suy ra nó phải là góc HS?
B2:Từ H kẻ HK vng góc với cạnh đáy CD tại K.
Suy ra góc: (SH;(SCD))

HSK

TRANG 7-Tài liệu bổ trợ kiến thức HHKG 12-Chương I

“HTTP://YOUTUBE.COM/TOANCAP3”

TỐN CẤP 3-KÊNH DẠY HỌC TRỰC TUYẾN.

Liên hệ :

hoặc

facebook.com/toancap3.edu.vn

2.Góc giữa hai mặt phẳng
Kiểu 1:

Kiểu 2:
P

P
R

a

M

a

Q
b

B1: Xác định giao tuyến ∆ của 2 mp
B2: Tìm (Dựng) mp vng góc với ∆ , lấy mp
đó giao với 2 mặt ban đầu ra 2 đường
Khi đó: Góc 2 mp = góc 2 đường.

M

Q
b

B1: Xác định giao tuyến ∆ của 2 mp
B2: Trong mỗi mp xác định 1 đường cùng
vng góc với ∆ tại M.
Khi đó: Góc 2 mp = góc 2 đường.
VD: Trên hình là a, b cùng vng với ∆ tại M

ĐẶC BIỆT:Trong thực tế làm bài ta rất hay gặp dạng góc giữa (Mặt bên & mặt đáy)
Ta có PP dễ hơn như sau: (Đề nghị hiểu & học thuộc)
B1: Xác định cạnh đáy
B2: Từ chân đường cao kẻ đường vng góc với cạnh đáy tại K.
Suy ra đó là góc ? K ? .Bổ xung vào đỉnh & chân đường cao.
Ví dụ: Các bạn xem các bài tập bên dưới nên xem kỹ và nắm chắc PP cho thầy nhé

TRANG 8-Tài liệu bổ trợ kiến thức HHKG 12-Chương I


TOÁN CẤP 3-KÊNH DẠY HỌC TRỰC TUYẾN.

Liên hệ :

“HTTP://YOUTUBE.COM/TOANCAP3”
hoặc

facebook.com/toancap3.edu.vn

3.Cách dựng khoảng cách theo PP lớp 11
+)Khoảng cách từ điểm đến mặt
Mặt phẳng chứa đường cao

Mặt phẳng không chứa đường cao

+)Tính thơng qua điểm ở mặt đáy

+)Tính thơng qua chân đường cao

+)Công việc: NGANG

+)Công việc: NGANG-XUỐNG-LÊN

Phải nắm chắc công thức dịch chuyển khoảng cách trong HHKG. Chuyển tới điểm cần tính
Ví dụ: Muốn chuyển từ d(A;(P)) sang d(B;(P)) dễ tính hơn. Ta lấy AB giao với mp (P)
+)TH1: AB / /(P) .
+)TH2: AB (P)

Khi đó: d ( A;(P))
I Khi đó:

d ( A;( P ))
d ( B;( P ))

d (B;(P))
AI
BI

d ( A;( P ))

AI
.d ( B;( P ))
BI

Lưu ý: Tùy bài ta có thể dịchh chuyển 2 hay 3 lần để tính được thuận tiện
Ví dụ: Các bạn xem trong các bài tập bên dưới

+)Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
TH1: Hai đường thẳng vng góc

TH2: Hai đường thẳng khơng vng góc
2A:
a

K

M

b

H
H

a

a'
P

K

b

P

Đi dựng đoạn vng góc chung (Định
nghĩa)

Xác định đường này // mp chứa đường kia.
+)Ta có: a / /(P) , (P) chứa b
Khi đó: d (a; b)

d (a;(P))

d (M;(P)) với M

a

(Quay lại bài toán k/c từ điểm đến mặt)
Chú ý: Một số bài ta phải dựng đường phụ mới
xác định được mp (P)

TRANG 9-Tài liệu bổ trợ kiến thức HHKG 12-Chương I

“HTTP://YOUTUBE.COM/TOANCAP3”

TOÁN CẤP 3-KÊNH DẠY HỌC TRỰC TUYẾN.

Liên hệ :

hoặc

TH1: Hai đường thẳng vng góc

facebook.com/toancap3.edu.vn

2B: Ít gặp hơn.

a

Đường này vng góc với mặt chứa đường
kia tại điểm nào. Thì từ đó kẻ đường

M

H
P

với đường kia.
Ta có: Đt a

(P) tại H. Ta kẻ HK

b tại K

b

K

Q

Suy ra: HK là đoạn vuông góc chung
d(a;b)=HK

Đặt 2 đường vào 2 mặt phẳng song song
d (a; b) d ((P);Q)) d ( M;(Q)) với M (P)

BÀI TẬP 2:

S

Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình chữ nhật. AB=a , BC=2a.
Cạnh SA

( ABCD) .Biết góc giữa SC

và (ABCD) bằng 60 0 .
a)Tính diện tích hcn ABCD và độ dài
SA.

A

b) Xác định và tính góc giữa hai mp

(SBD) và (ABCD).
c)Tính d(C;(SAD)) và d(A;(SBC)).
d) Tính d(AD;SB) và d(SB;CD).

D
a

600

B

2a

C

HƯỚNG DẪN GIẢI :
“Mỗi câu các em phải xem thử thầy muốn lồng ghép vào kiến thức nào nhé ”

Câu a:
Phân tích:
+) Diện tích hình chữ nhật ABCD dễ nhất.Hi. SABCD

AB.BC

2a2

+)Để tính SA, thì ta phải khai thác góc giữa SC và mp (ABCD). Đây là góc
giữa cạnh bên và mặt đáy.
Bước 1: Xác định giao điểm (SC giao với (ABCD) tại C ) Giao điểm chính là góc
TRANG 10-Tài liệu bổ trợ kiến thức HHKG 12-Chương I

“HTTP://YOUTUBE.COM/TOANCAP3”

TOÁN CẤP 3-KÊNH DẠY HỌC TRỰC TUYẾN.

Liên hệ :

hoặc

facebook.com/toancap3.edu.vn

Bước 2: Bỏ C đi, thì từ đỉnh S kẻ đường thẳng vng góc với (ABCD)
(Rõ ràng có sẵn đường cao SA vng góc với (ABCD) tại A)
Suy ra góc cần tìm là SCA
Trình bày: (Đây là làm theo kiểu tự luận, đối với trắc nghiệm ta chỉ xác định và tính.)
)Ta có: SABCD
)Ta có:

AB.BC

2a 2

SC ( ABCD ) C
SA ( ABCD ) tại A

Suy ra: AC là hình chiếu vng góc của AC lên (ABCD)
Suy ra:
+)Ta có:
+)Ta có ∆ SAC vuông tại A.

SA
AC

tan SCA

SA

AC.tan 60 0

a 15

Câu b: Xác định góc giữa hai mp. (MP chứa đỉnh & mặt đáy)
Phải nắm chắc các bước thì làm mới đơn giản hen, ko khó đâu. XEM NÈ
Kiểu 1:

Kiểu 2:
P

P
R

a

M

a

Q
b

M

Q
b

B1: Xác định giao tuyến ∆ của 2 mp
B2: Tìm (Dựng) mp vng góc với ∆ , lấy mp
đó giao với 2 mặt ban đầu ra 2 đường

B1: Xác định giao tuyến ∆ của 2 mp
B2: Trong mỗi mp xác định 1 đường cùng
vuông góc với ∆ tại M.

Khi đó: Góc 2 mp = góc 2 đường.

Khi đó: Góc 2 mp = góc 2 đường.
VD: Trên hình là a, b cùng vng với ∆ tại M

TRANG 11-Tài liệu bổ trợ kiến thức HHKG 12-Chương I


“HTTP://YOUTUBE.COM/TOANCAP3”

TOÁN CẤP 3-KÊNH DẠY HỌC TRỰC TUYẾN.

Liên hệ :

hoặc

facebook.com/toancap3.edu.vn

ĐẶC BIỆT:Trong thực tế làm bài ta rất hay gặp dạng góc giữa (Mặt bên & mặt đáy)
Ta có PP dễ hơn như sau: (Đề nghị hiểu & học thuộc)
B1: Xác định cạnh đáy
B2: Từ chân đường cao kẻ đường vuông góc với cạnh đáy tại K.
Suy ra đó là góc ? K ? . Bổ xung đỉnh và chân đường cao vào 2 bên là xong.
Quay lại câu b) chính là PP này:

Phân tích hướng làm:
Bước 1: Xác định cạnh đáy: BD (có sẵn, ko phải vẽ)
Bước 2: Từ A, kẻ AH vng góc với BD tại H.
Suy ra ((SBD);( ABCD))

SHA (ĐỐI VỚI THẦY, VẬY LÀ OK. Vì làm TRẮC NGHIỆM )

Chú ý:
+)Vì đáy ko phải hình vng, hay thoi nên AO ko vng với BD.
+)Trong ∆ thì chân đường cao lệch về cạnh ngắn hơn. (AB=a, AO= 5 a/ 2 nên H lệch
về B)
Ở TRƯỜNG NẾU YÊU CẦU TRÌNH
BÀY. TA CĨ THỂ LÀM NHƯ
SAU.

S

B1:Ta có: (SBD) (ABCD)=BD
B2 (tìm mp BD nhé!)
+)Từ A, kẻ AH BD tại H.

a 15

Khi đó:

A

D
O
a

H
B

2a

C

BD
BD

B3 : Tacoù :

AH (SAH )
SA (SAH )

BD

(SAH )

(SAH ) (SBD ) SH
(SAH ) ( ABCD ) AH

Suy ra: ((SBD);(ABCD))=(SH;AH)=SHA

TRANG 12-Tài liệu bổ trợ kiến thức HHKG 12-Chương I


“HTTP://YOUTUBE.COM/TOANCAP3”

TOÁN CẤP 3-KÊNH DẠY HỌC TRỰC TUYẾN.

Liên hệ :

hoặc

facebook.com/toancap3.edu.vn

Để tính góc SHA, ta xét ∆ SAH vng tại A. Có SA rồi. Ta tính thêm AH nữa
+)Trong

ABD vuông tại A, AH BD
1
1
1
Khi đó:
Suy ra được độ dài AH. Xong nhé!
2
2
AH
AB
AD 2

Chú ý: Tính AH bằng cơng thức 1
)Trong

1
A2

1
B2

SAH vuông taïi A. tan SHA

CALC A=độ dài AB và B=độ dài AD

SA
AH

SHA

?

Câu c: Khoảng cách từ điểm đến mặt.
+)Cách 1: Dựng hình lớp 11
+)Cách 2: Dựa vào thể tích ở lớp 12

*) Ý 1: Tính d(C;(SAD))
Bây giờ thầy sẽ làm theo cách 1: Tính d(C;(SAD))
Các bạn trả lời cho mình câu hỏi: Mặt phẳng này chứa đường cao hay không chứa đường cao.
Mặt phẳng chứa đường cao

Mặt phẳng không chứa đường cao

+)Tính thơng qua điểm ở mặt đáy
+)Cơng việc: NGANG

+)Tính thơng qua chân đường cao
+)Công việc: NGANG-XUỐNG-LÊN

Phải nắm chắc công thức dịch chuyển khoảng cách trong HHKG. Chuyển tới điểm cần tính
Ví dụ: Muốn chuyển từ d(A;(P)) sang d(B;(P)) dễ tính hơn. Ta lấy AB giao với mp (P)
+)TH1: AB / /(P) .
+)TH2: AB (P)

Khi đó: d ( A;(P))
I Khi đó:

d ( A;( P ))
d ( B;( P ))

d (B;(P))
AI
BI

d ( A;( P ))

(Xem VD1 trang 14)
AI
.d ( B;( P ))
BI

Phân tích bước làm:
Bước 1: Xác định cạnh đáy AD
Bước 2: Từ C kẻ CD vng góc với AD ( Có sẵn )
Ta sẽ đi CM: CD vng góc với (SAD).
Như vậy rõ ràng B1 & B2 khơng cần phải trình bày, nhưng ta phải nắm
PP để áp dụng cho những bài khác, phải dựng thêm đường.

TRANG 13-Tài liệu bổ trợ kiến thức HHKG 12-Chương I

(Xem VD2 trang 14)


“HTTP://YOUTUBE.COM/TOANCAP3”

TỐN CẤP 3-KÊNH DẠY HỌC TRỰC TUYẾN.

Liên hệ :

hoặc

facebook.com/toancap3.edu.vn

Trình bày như sau:
)Ta coù:

CD
CD

AD (SAD )
SA (SAD )

CD

(SAD )

Suy ra: d(C;(SAD))=CD=a

Bình luận: Nếu đây là bài tốn trắc nghiệm. Chúng ta chỉ thực hiện vẽ và tính

tốn.Khơng

chứng minh,giải thích gì thêm trong bài. Chỉ tập trung vào tính thơi.

*) Ý 2: Tính d(A;(SBC))
Xem lại phương pháp dựng ở trên. Đây là mặt phẳng khơng chứa đường cao. Ta tính thơng qua
chân đường cao A (đúng yêu cầu, ko phải dịch chuyển) đến (SBC)
Bước 1: Xác định cạnh đáy BC
Bước 2:Từ chân đường cao A có AB vng góc với BC tại B (NGANG)
Bước 3: Nối SB lại (XUỐNG ) và từ A kẻ AK vng góc với SB tại K (LÊN)
AK

và ta sẽ cm: AK vng góc với (SBC)

(SBC)

d ( A;(SBC))

AK

Bình luận: Các bạn đã hiểu phương pháp NGANG-XUỐNG –LÊN là gì chưa ?? Cố gắng. 

Trình bày cụ thể ÁP DỤNG CHO BẠN NÀO TRÌNH BÀY TỰ LUẬN:
Trắc nghiệm thầy khơng khuyến khích trình bày.
) Từ A kẻ AK

SB tại K

AK

(SBC)Vì:

AK
AK

SB (SBC )
BC (SBC )

Suyra : d(A;(SBC))=AK

+)Tính ??
Trong SAB vuông tại A, AK SB
1
1
1
Ta có:
.Tính được AK nhé
AK 2 AS 2 AB 2
Bình luận: Nếu trắc nghiệm khơng ghi dài dịng cơng thức. Lấy Casio bấm
1

1

A2

1
B2

CALC A

?; B

? ghi kết quả cho AK.

DỊCH CHUYỂN KHOẢNG CÁCH NTN?
VD1: Tính d(D;(SBC)). Muốn chuyển qua d(A;(SBC))
+)Ta có: DA // (SBC). Khi đó: d(D;(SBC))=d(A;(SBC))
VD2:Tính d(O;(SBC)). Muốn chuyển qua d(A;(SBC))
+)Ta có: OA (SBC) C . Khi đó:

d (O;(SBC ))
d (A;(SBC))

OC
AC

1
2

d (O;(SBC ))

BT tự luyện: Gọi M là trung điểm SA. Tính d(M;(SBC) và d(M;(SCD))
TRANG 14-Tài liệu bổ trợ kiến thức HHKG 12-Chương I

1
.d ( A;(SBC))
2


“HTTP://YOUTUBE.COM/TOANCAP3”

TOÁN CẤP 3-KÊNH DẠY HỌC TRỰC TUYẾN.

Liên hệ :

hoặc

facebook.com/toancap3.edu.vn

CÂU d: khoảng cách giữa 2 đt chéo nhau: Tính d(AD;SB) và d(SB;CD).
NẮM CHẮC PHƯƠNG PHÁP CHO THẦY.
Hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng khơng vng góc

a
M
K

H

b

a'

a

H

K

P

b

P

Đi dựng đoạn vng góc chung (Định
nghĩa)

Xác định đường này // mp chứa đường kia.
+)Ta có: a / /(P) , (P) chứa b

Đường này vng góc với mặt chứa đường
kia tại điểm nào. Thì từ đó kẻ đường
với đường kia.
Ta có: Đt a

(P) tại H. Ta kẻ HK

b tại K

Khi đó: d (a; b)

d (a;(P))

d (M;(P)) với M

a

(Quay lại bài toán k/c từ điểm đến mặt)
Chú ý: Một số bài ta phải dựng đường phụ mới
xác định được mp (P)

Suy ra: HK là đoạn vuông góc chung
d(a;b)=HK
Câu d1:Tính d(AD;SB)
S

Phân tích: Phát hiện ngay AD
Từ A kẻ AK
SB tại K
Suy ra: d(AD;SB)=AK=
1

1
A2

1
B2

CALC A

?; B

(SAB) tại A.

?

a 15

K
A

D
O
a

B

2a

TRANG 15-Tài liệu bổ trợ kiến thức HHKG 12-Chương I

C


TOÁN CẤP 3-KÊNH DẠY HỌC TRỰC TUYẾN.

Liên hệ :

“HTTP://YOUTUBE.COM/TOANCAP3”
hoặc

facebook.com/toancap3.edu.vn

Câu d2:Tính d(SB;CD)
Phân tích:
+)Đây là khoảng cách 2 đường chéo nhau khơng vng góc.
+)Nếu trong 2 đường có cạnh đáy và cạnh bên. Thông thường ta giữ lại cạnh đáy // mặt
chứa cạnh bên.
+)Đối với bài này: Từ B ta thấy BA // CD
CD // (SAB) (Khôg phải kẻ đường phụ)
Suy ra: d(CD;SB)=d(CD;(SAB))=d(C;(SAB))=CB=2a

BÀI TẬP 3: Cho chóp S.ABCD
có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a,
góc

S

.

Mặt phẳng (SAB) vng góc với
(ABCD) và ∆ SAB cân tại S.
Biết góc giữa SC và (ABCD) là 600.
a)Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b)Tính khoảng cách giữa hai đường

3a

E

thẳng SB và AC

I

A

D

H
600

K B

60

0

2a

C

Câu a:
Phân tích:
+)Bài này có sử dụng một cơng thức ở lớp 12

Thể tích khối chóp= 1 .Diện tích đáy.độ dài đường cao
3

+)Đầu tiên là đường cao. Đây là dạng 1 mặt vng góc với đáy. Đường cao từ S kẻ SH
vng góc với cạnh đáy AB. Vì ∆ SAB cân nên H là trung điểm AB

(Nếu muốn trình bày thì bên dưới nhé : Xem để biết và hiểu thêm )
Trong (SAB), keû SH vuông góc với AB tại H
(SAB)
Ta có: SH
SH
SH

( ABCD ) theo giao tuyến AB

(SAB)
AB

( ABCD )

+)Góc giữa cạnh bên SC và đáy : (SC;( ABCD))

SCH

600

TRANG 16-Tài liệu bổ trợ kiến thức HHKG 12-Chương I


“HTTP://YOUTUBE.COM/TOANCAP3”

TOÁN CẤP 3-KÊNH DẠY HỌC TRỰC TUYẾN.

Liên hệ :
+)∆ ABC cân có góc ABC
Ta có: VSABCD

)SABCD

600

hoặc

facebook.com/toancap3.edu.vn

∆ ABC đều cạnh 2a

1
.S
.SH
3 ABCD
BA.BC.sin ABC

4a2 .sin 600

caïnh.

+)CH là đường cao trong ∆ đều CH
SHC vuông tại H
SH
tan SCH
SH HC.tan 60 0
HC
1
1 2
VSABCD
.SABCD .SH

.2a 3.3a
3
3

2a2 3

3
2

a 3 Hoặc sin ABC

CH
BC

CH

?

) Trog

3a
2a3 3

Câu b: Tính khoảng cách hai đường chéo nhau SB và AC.
Phân tích: Cạnh đáy AC và cạnh bên SB. Ta sẽ làm xuất hiện đáy AC // mặt chứa SB
) Dựng hình bình hành BCAE
AC//BE (SBE)
AC//(SBE)
Suy ra: d(AC;SB)=d(AC;(SBE))=d(A;(SBE))

Nếu tính khoảng cách theo PP dựng hình. Ta phải chuyển từ điểm A sang chân đường cao H.
+)Ta coù: AH (SBE)=B
d ( A;(SBE )) AB
Khi đó:
2
d (H ;(SBE )) HB
Suy ra: d(A;(SBE))=2d(H;(SBE))

Y bài: NGANG-XUỐNG –LÊN
+)Trong (ABE); dựng HK BE tại K
+)Trong (SHK), dựng HI SK tại I(1)
Suy ra: HI (SBE)

Suy ra: d(H;(SBE))=HI

Ta tính HI bằng cơng thức 1

1
A2

1
B2

CALC A

Tính HK ??? Tam giác ∆ KBH vuông tại K. SinKBH

HS; B
HK
HB

HK
sin 600

HK
a

TRANG 17-Tài liệu bổ trợ kiến thức HHKG 12-Chương I

HK

a 3
2


“HTTP://YOUTUBE.COM/TOANCAP3”

TOÁN CẤP 3-KÊNH DẠY HỌC TRỰC TUYẾN.

Liên hệ :

hoặc

facebook.com/toancap3.edu.vn

4.Biết 5 dạng đường cao phổ biến
trong hình khơng gian.
Kiểu 1: Cho sẵn đường cao (Ko có gì bàn cãi)
Kiểu 2: Cho 2 mặt vng góc với đáy => Giao tuyến vng góc với đáy
Đường cao: Là giao tuyến

đáy.

Kiểu 3: Cho 1 mặt

Đường cao: Hạ từ đỉnh vng góc xuống cạnh đáy.
(Lưu ý: nếu ∆ cân, đều

chân đường cao là trung điểm cạnh đáy)

Kiểu 4: Chóp có các cạnh bên bằng nhau (Tất cả hoặc 1 số cạnh )
Thì chân đường cao tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (Tương ứng với số cạnh)
Kiểu 5:Góc của các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau (Giống kiểu 4)
Thì chân đường cao

tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (Tương ứng với số cạnh)

Một số ví dụ : Phải nhớ 5 dạng này cho thầy á !!! 
VÍ DỤ 1: Chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng. Hai mp (SAC) và (SBD) cùng vng
góc với (ABCD). Xác định đường cao của chóp
Phân tích:
S
Hai mp (SAC) và (SBD) cùng vng góc
với (ABCD)

A

giao tuyến SO

( ABCD)

D
O

B

C

VÍ DỤ 2: Chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B.Tam giác ∆ SAC cân và nằm
trong mp vng góc với (ABC). Xác định đường cao xuất phát từ đỉnh S của chóp.

TRANG 18-Tài liệu bổ trợ kiến thức HHKG 12-Chương I


“HTTP://YOUTUBE.COM/TOANCAP3”

TOÁN CẤP 3-KÊNH DẠY HỌC TRỰC TUYẾN.

Liên hệ :

hoặc

facebook.com/toancap3.edu.vn

Phân tích:
+)Dạng mặt bên vng góc với đáy. Đường

S

cao xuất phát từ S kẻ vng góc xuống cạnh
đáy AC

+)Vì ∆ SAC cân tạ S nên H là trung điểm
AC

H
A

C

B

VÍ DỤ 3: Chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 2a.Tam giác ∆ SAD vuông tại S
và nằm trong mp vuông góc với (ABCD),góc (SA;( ABCD))

600 . Xác định và tình độ dài

đường cao của chóp.
Phân tích:
+)Đường cao: Kẻ SH vng góc với cạnh

S

đáy AB tại H.
+)Ta sẽ đi tính SA (trong ∆ SAB vng tại S

A

có góc SAB 600 ). Có SA rồi ta đi tính SH là
xong.
(Nhưng bài này ta cũng nên tính AH để biết
chính xác H nằm ở vị trí nào trên AB)

D

H
2a

B

C

Giải:
+)Trong ∆ SAB vng tại S, có cos SAB
+)Trong ∆ SHA vng tại H, sin SAB

SA
AB

SH
SA

+)Ngồi ta ta tính thêm AH=a/2.Như vậy AH

SA

SH

AB.cos 60 0

SA.sin 60 0

a

a 3
2

1
.AB
4

TRANG 19-Tài liệu bổ trợ kiến thức HHKG 12-Chương I


TỐN CẤP 3-KÊNH DẠY HỌC TRỰC TUYẾN.

Liên hệ :

“HTTP://YOUTUBE.COM/TOANCAP3”
hoặc

facebook.com/toancap3.edu.vn

VÍ DỤ 4: CHóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật,các cạnh bên SA=SB=SC=SD. Xác định
đường cao hình chóp.
Phân tích:

S

+)Chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân
đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại
tiếp đa giác đáy (tương ứng với số cạnh bằng

nhau ở trên).
+) Bài này là ngoại tiếp hình chữ nhật
ABCD. Suy ra tâm đường trịn là giao điểm O
A

D

của AC và BD.

O
B

KL: SO

( ABCD)

C

VÍ DỤ 5: CHóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật,các cạnh bên SA=SB=SC. Xác định đường
cao hình chóp.
Phân tích:
+)Chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân

S

đường cao trùng với tâm đường trịn ngoại
tiếp đa giác đáy (tương ứng với số cạnh bằng
nhau ở trên).
+) Bài này là ngoại tiếp tam giác ∆ ABC
D

A

O
B

C

vng tại B. Suy ra tâm đường trịn là trung
điểm cạnh huyền AC. (Thật ra cũng là giao
điềm AC và BD)
KL: SO

( ABCD)

TRANG 20-Tài liệu bổ trợ kiến thức HHKG 12-Chương I


“HTTP://YOUTUBE.COM/TOANCAP3”

TỐN CẤP 3-KÊNH DẠY HỌC TRỰC TUYẾN.

Liên hệ :

hoặc

facebook.com/toancap3.edu.vn

VÍ DỤ 6: CHóp S.ABCD có đáy là hình thoi, BAD 1200 ,các cạnh bên SA=SB=SC. Xác định
đường cao hình chóp.

Phân tích:
S
+)Chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân
đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại
tiếp đa giác đáy (tương ứng với số cạnh bằng
nhau ở trên SA=SB=SC).
+) Bài này chân đường cao H là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác ∆ ABC. Vì ∆ ABC
D

A
O

đều (cân có góc ABC

600 )Suy ra H là trọng

tâm ∆ ABC. Suy ra: BH

H
B

C

2
BO
3

KL: Đường cao SH.

VÍ DỤ 7: Cho chóp tam giác đều SABC. Xác định đường cao
Phân tích:
S
+)Chóp đều có tính chất: các cạnh bên bằng
nhau SA=SB=SC và đáy là đa giác đều (∆
đều, hình vng,...)
+)Bài này SA=SB=SC suy ra chân đường
cao H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ∆
ABC. Vì ∆ ABC đều .Suy ra tâm đường trịn
A

C
H

M

H là trọng tâm ∆ ABC. Suy ra: AH
KL: Đường cao SH.

B

TRANG 21-Tài liệu bổ trợ kiến thức HHKG 12-Chương I

2
AM
3


TỐN CẤP 3-KÊNH DẠY HỌC TRỰC TUYẾN.

Liên hệ :

“HTTP://YOUTUBE.COM/TOANCAP3”
hoặc

facebook.com/toancap3.edu.vn

VÍ DỤ 8: Chóp S.ABC có đáy là ∆ ABC vng tại B. Các cạnh bên SA, SB,SC cùng tạo với
đáy (ABC) một góc 60 0 .Xác định đường cao của chóp.
Phân tích:
S
+)Chóp có các góc giữa cạnh bên và đáy
bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm
đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy (tương ứng
với số cạnh).
+)Suy ra chân đường cao H là tâm đường
tròn ngoại tiếp ∆ ABC. Vì ∆ ABC vng tại B
suy ra H là trung điểm cạnh huyền AC.

H
A

C

B

TRANG 22-Tài liệu bổ trợ kiến thức HHKG 12-Chương I


“HTTP://YOUTUBE.COM/TOANCAP3”

TOÁN CẤP 3-KÊNH DẠY HỌC TRỰC TUYẾN.

Liên hệ :

hoặc

facebook.com/toancap3.edu.vn

5.MỘT SỐ CHĨP-LĂNG TRỤ ĐẶC BIỆT
1.Tứ diện đều: Chóp tam giác, có 4 mặt là

Chóp đều:Có 2 tính chất chính
+)Các cạnh bên bằng nhau
+)đáy là đa giác đều (∆ đều, hình vng,...)
Từ đó suy ra:
+)các góc giữa cạnh bên và đáy cũng bằng

những tam giác đều. Ta có thể hiểu là chóp ∆
đều có tất cả các cạnh bằng nhau
S

nhau.
+)Chân đường cao H là tâm đường tròn
ngoại tiếp đa giác đáy. Nếu đáy là ∆ đều thì H
là trọng tâm, cịn đáy là hình vng thì H là
giao điểm 2 đường chéo.
Lưu ý: độ dài cạnh bên có thể khác cạnh đáy

A

C
H

M

B

2.Chóp tam giác đều:
+)Cạnh bên SA=SB=SC
+)Đáy là ∆ đều
+)Chân đường cao là trọng tâm ∆ ABC.

3.Chóp tứ giác đều:
+)Cạnh bên bằng nhau SA=SB=SC=SD
+)Đáy ABCD là hình vng
+)Chân đường cao O

AC

BD

S

S

A

A

C
H

M

D
O

B

B

TRANG 23-Tài liệu bổ trợ kiến thức HHKG 12-Chương I

C