tóm tắt PP Hình học tọa độ trong mp và trong kg

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG GIAN
1. Hệ tọa độ
Trong hệ tọa độ Oxy ta đặt hai vectơ
đơn vị
ji,
.
Với mọi vectơ
v
trong mp:
jyixvyxv ..);(
+=⇔=
.
Khi đó
22
yxv
+=
.
Với mọi điểm M trong mp:
);();( yxOMyxM
=⇔
.
Nếu
);(),;(
NNMM
yxNyxM
thì
).;(
MNMN
yyxxMN
−−=

Khi đó

22
)()(
MNMN
yyxxMN
−+−=
.
1. Hệ tọa độ
Trong hệ tọa độ Oxyz ta đặt ba vectơ đơn vị
kji ,,
.
Với mọi vectơ
v
trong mp:
kzjyixvzyxv
++=⇔=
..);;(
.
Khi đó
222
zyxv
++=
.
Với mọi điểm M trong mp:
);;();;( zyxOMzyxM
=⇔
.
Nếu
);;(),;;(

NNNMMM
zyxNzyxM
thì
).;;(
MNMNMN
zzyyxxMN
−−−=
Khi đó
222
)()()(
MNMNMN
zzyyxxMN
−+−+−=
2. Các phép toán vectơ
Cho
);();;(
2211
yxbyxa
==
. Khi đó
);(
2121
yyxxba
±±=±
;
2211
. yxyxba
+=
.
2. Các phép toán vectơ

Cho
);;();;;(
222111
zyxbzyxa
==
. Khi đó
);;(
212121
zzyyxxba
±±±=±
;
212121
. zzyyxxba
++=
;
);;(],[
22
11
22
11
22
11
yx
yx
xz
xz
zy
zy
ba
=

;
baba ,],[
⊥
.
Nhắc:
),cos(... bababa
=
Nhắc:
),cos(... bababa
=
Hệ quả:
.
.
.
),cos(
2
2
2
2
2
1
2
1
2121
yxyx
yyxx
ba
ba
ba
++

+
==
0.
=⇔⊥
baba
.
Hệ quả:
.
.
.
),cos(
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
zyxzyx
zzyyxx
ba
ba
ba
++++

++
==
0.
=⇔⊥
baba
.
3. Phương trình đường thẳng:
Viết ptdt (d) qua điểm
);(
00
yxM
và
có
3. Phương trình đường thẳng:
Viết ptdt (d) qua điểm
);;(
000
zyxM
và có
+ VTCP
);( bau
=
. Ta viết PTTS + VTCP
),;( cbau
=
. Ta viết PTTS
1




+=
+=
btyy
atxx
d
0
0
:)(
+ Nếu a, b khác 0. Ta viết được PTCT
b
yy
a
xx
d
00
:)(
−
=
−
.





+=
+=
+=
ctzz
btyy

atxx
d
0
0
0
:)(
+ Nếu a, b khác 0. Ta viết được PTCT
c
zz
b
yy
a
xx
d
000
:)(
−
=
−
=
−
.
+ VTPT
);( BAn
=
. Ta viết PTTQ
0)()(:)(
00
=−+−
yyBxxAd

.
+ Nếu biết (d) là giao tuyến của hai mp (P), (Q)
nào đó thì ta viết được PTTQ của (d) chính là hệ
hai phương trình của (P) và (Q)
Phương trình mặt phẳng
Viết ptdt (P) qua điểm
);;(
000
zyxM
và có
VTPT
),;( CBAn
=
. Ta viết PTTQ
0)()()(:)(
000
=−+−+−
zzCyyBxxAP
4. Khoảng cách
Khoảng cách từ điểm
);(
00
yxM
đến
đường thẳng
0:)(
=++∆
CByAx
là:
22

00
),(
BA
CByAx
Md
+
++
=∆
.
4. Khoảng cách
Khoảng cách từ điểm
);;(
000
zyxM
đến mặt
phẳng
0:)(
=+++
DCzByAx
α
là:
222
000
),(
CBA
DCzByAx
Md
++
+++
=

α
.
5. Góc
Góc giữa các yếu tố cùng loại dùng
cos, khác loại dùng sin.
5. Góc
Góc giữa các yếu tố cùng loại dùng cos, khác loại
dùng sin.
6. Đường tròn
+ Dạng chính tắc:
α
=−+−
2
0
2
0
)()( yyxx
Tâm
);(
00
yxI
Bán kính
α
=
R
.
+ Dạng tổng quát:
022
22
=+−−+

cbyaxyx
Tâm
);( baI
Bán kính
cbaR
−+=
22
.
6. Mặt cầu
+ Dạng chính tắc:
α
=−+−+−
2
0
2
0
2
0
)()()( zzyyxx
Tâm
);;(
000
zyxI
Bán kính
α
=
R
.
+ Dạng tổng quát:
0222

222
=+−−−++
dczbyaxzyx
Tâm
);;( cbaI
Bán kính
dcbaR
−++=
222
.
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
+ Để tính đạo hàm thông thường (không yêu cầu dùng định nghĩa), ta nhớ (bảng 1):
2
0)'(
=
C
'.)'( ukku
=
1
.)'(
−
=
αα
α
xx
x
x
1
)'(ln
=

'')'( vuvu
+=+
xx
ee
=
)'(
xx cos)'(sin
=
uvvuvu '')'.(
+=
xx sin)'(cos
−=
x
x
x
2
2
tan1
cos
1
)'(tan
+==
2
'
''
v
uvvu
v
u
−

=






x
x
x
2
2
cot1
sin
1
)'(cot
−−=
−
=
+ Từ định nghĩa nguyên hàm và bảng 1, ta suy ra ngay các nguyên hàm cơ bản sau:
∫
=
dxC .0
∫ ∫
=
dxxukdxxuk ).(.).(.
∫
+
+
=

+
C
a
x
dxx
a
a
1
1
Cxdx
x
+=
∫
ln
1
∫∫∫
+=+
dxxvdxxudxxvxu ).().()).()((
xx
edxe
=
∫
Cxxdx
+−=
∫
cossin
∫
+=
Cxxdx sincos
Ctgxdxxtgdx

x
+=+=
∫∫
)1(
cos
1
2
2
Cgxdxxgdx
x
+=−−=
−
∫∫
cot)cot1(
sin
1
2
2
* Nói thêm gặp một bài toán tìm nguyên hàm ta định hướng như sau:
- Nếu là tổng (hiệu) của
nhiều biểu thức thì tách
3
ra làm nhiều bài nhỏ
- Nếu là tích (thương)
của các biểu thức thì có
các cách sau:
+ Tích phân từng phần với các biểu
thức dạng
∫∫ ∫
dxxdxedxx

x
.ln(...).;.(...).;.sin(...).

hoặc
;..sin;.sin.ln
∫ ∫
dxexdxxx
x
+ Đổi biến loại 2 với các biểu thức
dạng a
2
+ x
2
; a
2
– x
2
;
+ Đổi biến loại 1 với các tích dạng
khác.
4