Cong thuc sac xuat thong ke

MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ
 Tổ hợp :

Cnk =

n!
(n − k )!k !

 Xác suất của biến có A được định nghĩa :P(A)= số phần tử của A / số phân tử của
Ω

 0 ≤ P(A) ≤ 1 ;

P ( Ω ) =1 ;

 Xác suất có điều kiện : P( A B) =

P(0) = 0 ;
P ( AB )
(xác suất của ciến cố A khi biết biến cố
P( B)

B đã xảy ra)
P ( AB )
P( A ) =
→ P ( AB ) = P( B ).P( A ) = P( A).P( B )
B
B
A
P( B)

 Xác suất đầy đủ :
Cho Ω = ( A1 , A2 , A3 ...., An , ) là họ đầy đủ không gian mẫu và F la 1 biến cố bất kì
 P(F) = P(F/A1).P(A1) + P(F/A2).P(A2)…..+ P(F/An).P(An)
 Công thúc Bayes:

P 


A1

 = P ( A1 ) P( F )
F÷
A1
 P( F )

; ( P(F)  xác suất đầy đủ )

X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất:

X

X1

P
P1
 Kỳ vọng của X :

X3

X4

X3

P2
P3
E(X) = x1P1 + x2P2 + x3P3 + …xkPk

P4

 Kỳ vọng của X2 : E(X2) = x12 .P1 + x22 .P2 + x32 .P3 ...... + xk2 .Pk
 Phương sai của X : Var (X) = E(X2) – (E(X))2

X là đại lượng ngãu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x) :
 Hàm phân phối của X được định nghĩa: F ( X ) =

+∞

∫

−∞

 Xác suất của X trong khoảng:

f ( x).d ( x )


b

P (a < x < b) = ∫ f ( x).d ( x )
a

a≤ x≤b
a< x≤b
a≤ x≤b

 Kỳ vọng của X: E ( X ) =

+∞

∫ x. f ( x).d ( x)

−∞

 Kỳ vọng của X : E ( X 2 ) =
2

+∞

∫ x . f ( x).d ( x)
2

−∞

 Phương sai của X: Var (X) = E(X2) – (E(X))2
 Độ lệch chuẩn của X: σ ( X ) = Var( X )
Các định lí tính kì vọng và phương sai
 Định lý 1:
E (C ) = C
E ( X ± Y ) = E ( X ) ± E (Y )
E (C. X ) = C.E ( X )

 Định lý 2:
Var(C ) = 0
Var(C. X ) = C 2 .Var( X )
Var( X + C ) = Var( X )

Cặp biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời f(x.y)
 Hàm mật độ lề của x: f X ( x) =

+∞

∫

f ( x. y ).d ( y )

−∞

 Hàm mật độ lề của y: fY ( x) =

+∞

∫

f ( x. y ).d ( x)

−∞

Các quy luật phân phối xác suất
 Phân phối nhị thức:
X : B (n, p ) ( p: xác suất của biến cố quan tâm)

 P( X = k ) = Cnk p k (1 − p)n − k
 Phân phối chuẩn : X : N ( µ , σ ) ( µ: kì vọng E(X) ; σ: phương sai Var(X) )
X ∈ N ( µ1 , σ 12 ), Y ∈ N ( µ 2 , σ 22 )
→ a.X+b.Y ∈ N(aµ1 + bµ2 , a 2σ 12 + b 2σ 22 )

β −µ
α −µ
) −φ(
)
σ
σ



P (α < X < β ) = φ (



P( X < α ) =

1
α −µ
+φ(
)
2
σ



P( X > α ) =

1
α −µ
−φ(
)
2
σ



α
P ( X − µ < α ) = 2.φ ( )
σ

Một vài tính chất của xác suất:
 Hai biến cố A và B độc lập nếu : P(A/B) = P(A) ; P(B/A) = P(B)  tức sự xảy ra
hay không của biến cố này không ảnh hưởng tới biến cố kia.
A và B độc lập

P(A.B) = P(A).P(B)

A,B và C không độc lập P(AB) = P(B).P(A/B)
P(ABC) = P(A).P(B/A).P(C/AB)
 Biến cố A và B xung khắc :
A∩ B =φ
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B )

 A,B, và C xung khắc từng đôi : P( A ∪ B ∪ C ) = P ( A) + P ( B ) + P(C )

 A và B bất kỳ:
• P ( A ∪ B ) = P ( A) + P( B ) − P ( AB )
• P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A) + P ( B ) + P (C ) − P ( AB ) − P ( AC ) − P ( BC ) + P ( ABC )
• P ( A) = 1 − P ( A)