skkn rèn LUYỆN tư DUY SUY LUẬN QUA bài TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN TRONG CHƯƠNG TRÌNH HÌNH học lớp 11

BM 01-Bia SKKN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
THPT CHU VĂN AN
Mã số: ................................
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN TƯ DUY SUY LUẬN THÔNG QUA BÀI TỐN
KHOẢNG CÁCH TRONG KHƠNG GIAN TRONG
CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC LỚP 11

Người thực hiện: Nguyễn Đăng Thịnh
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục



- Phương pháp dạy học bộ mơn: Tốn 
(Ghi rõ tên bộ môn)

- Lĩnh vực khác: ....................................................... 
(Ghi rõ tên lĩnh vực)

Có đính kèm: Các sản phẩm khơng thể hiện trong bản in SKKN
 Mơ hình
 Đĩa CD (DVD)
 Phim ảnh  Hiện vật khác
(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)

Năm học: 2016 - 2017

BM02-LLKHSKKN

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
––––––––––––––––––
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: Nguyễn Đăng Thịnh
2. Ngày tháng năm sinh: 13/05/1986
3. Nam, nữ: Nam
4. Địa chỉ:
5. Điện thoại:

(CQ)/

6. Fax:

(NR); ĐTDĐ:0902312328
E-mail:

7. Chức vụ: Bí thư đồn trường
8. Nhiệm vụ được giao : Giảng dạy bộ mơn tốn lớp 11A1 và 12A2
9. Đơn vị công tác: THPT Chu Văn An
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Thạc sĩ
- Năm nhận bằng: 2014
- Chun ngành đào tạo: Tốn giải tích
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chun mơn có kinh nghiệm: Giảng dạy bộ mơn tốn
Số năm có kinh nghiệm: 7

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 1 sáng kiến kinh
nghiệm

2


MỤC LỤC

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI........................................................................ trang 4
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN...................................................trang 5
III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP.......................................
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng
......................................................................................................trang 6
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt
phẳng song song...........................................................................trang 13
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau....................... trang 15
IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI................................................................ trang 23
V. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG.....................trang 23
VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO..................................................................trang 23

3


BM03-TMSKKN
ĐỀ TÀI :
RÈN LUYỆN TƯ DUY SUY LUẬN QUA BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH
TRONG KHƠNG GIAN TRONG CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC LỚP 11

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Hình học khơng gian ln là một phần học khó đối với nhiều học sinh ở bậc

học phổ thơng, và trong phần hình học khơng gian này thì phần học sinh cảm thấy
khó khăn khi làm bài đó lại là phần khoảng cách trong khơng gian. Rất nhiều học
sinh thấy khó khăn và trở nên chán nản khi học môn học này. Khi được hỏi hầu
như các em đều trả lời “Lý thuyết em hiểu bài nhưng lại không thể áp dụng vào
làm bài tập”, có rất nhiều học sinh thậm chí khi gặp bài tốn khoảng cách là các em
bỏ qua ln vì nghĩ mình khơng thể làm được có làm cũng sai và mất thời gian. Vì
vậy, khi giảng dạy phần hình học không gian lớp 11 đặc biệt là phần khoảng cách
trong không gian giáo viên phải kiên nhẫn hướng dẫn các em từng bước để xác
định cũng như tính được khoảng cách trong từng loại bài toán. Qua nhiều năm dạy
lớp 11 tôi nhận thấy rằng để giúp các em làm được phần khoảng cách thì việc dạy
phương pháp với từng loại bài khoảng cách, hướng dẫn các em từng bước trong
việc xác định khoảng cách sẽ giúp các em có được sự định hướng và đặc biệt là tự
giải quyết được các bài toán về khoảng cách.
Hiện nay, khi việc thi trung học phổ thông quốc gia đã được chuyển sang
hình thức thi trắc nghiệm, điều đó có nghĩa là thời gian để giải quyết các bài tốn
ít hơn địi hỏi học sinh phải xử lí các bài tốn nhanh hơn. Vì vậy, khi dạy giáo viên
phải chú trọng hơn đến việc rèn luyện tư duy cho học sinh.
Kì thi trung học phổ thông quốc gia từ năm 2018 trở đi sẽ mở rộng giới hạn
chương trình, do đó bài tốn khoảng cách là bài tốn khơng thể thiếu trong đề thi.
Chính vì vậy, việc dạy cho học sinh cách giải, cách tư duy bài toán khoảng cách là
điều hết sức cần thiết.

4


II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Một trong những trọng tâm của đổi mới chương trình và sách giáo khoa giáo
dục phổ thông là tập chung vào việc đổi mới phương pháp dạy học, thực hiên việc
dạy học dựa trên sự tích cực, chủ động của học sinh với sự tổ chức và hướng dẫn
của giáo viên nhằm phát triển tư duy độc lập, sáng tạo, tạo niềm tin và niềm vui

trong quá trình học của học sinh.
Việc thay đổi cách thi từ tự luận sang trắc nghiệm cũng đòi hỏi người học và
người dạy phải thay đổi để phù hợp với cách thi mới. Nếu như trước đây một bài
toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau học sinh cứ theo phương pháp
tìm đường vng góc chung để tính khoảng cách vẫn có thể khả thi vì thời gian
làm tự luận sẽ nhiều hơn, còn đối với trắc nghiệm thì việc lựa chọn đúng phương
pháp sẽ phù hợp với thời gian của trắc nghiệm.
Sách giáo khoa Hình học lớp 11 cơ bản và nâng cao đều viết bài “KHOẢNG
CÁCH” rất đơn giản về lí thuyết tuy nhiên phần bài tập đối với học sinh thì lại
khơng đơn giản đối với học sinh. Nếu người dạy chỉ đưa ra các định nghĩa như
sách giáo khoa và cho học sinh làm bài tập thì chắc chắn nhiều học sinh khơng thể
làm được. Học sinh thường lúng túng khi tìm hình chiếu vng góc của điểm lên
mặt phẳng thì điểm đó nằm ở đâu? Tại sao lại nằm ở đó? Tìm ra điểm đó như thế
nào ?. Trong sách giáo khoa nâng cao lớp 11, phần lý thuyết có bài tốn tìm đường
vng góc chung của hai đường thẳng chéo nhau, nhưng rõ ràng trong thực tế khi
giải bài toàn khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau không phải lúc nào ta
cũng phải bắt buộc tìm đường vng góc chung.
Tốn là mơn khoa học rèn luyện tư duy cho học sinh và hình học khơng gian
là một chương rất tốt để thực hiện nhiệm vụ này.
Xuất phát từ những lí do trên, nên tơi đã chọn đề tài: Rèn luyện tư duy suy
luận qua bài toán khoảng cách trong khơng gian trong chương trình hình học
lớp 11.

5


III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
Phần khoảng cách trong khơng gian ở hình học lớp 11 thường là một bài
tốn khó cho học sinh. Chính vì vậy nếu người giáo viên chỉ đưa ra các khái niệm
về khoảng cách ở các mục trong sách giáo khoa rồi đưa ví dụ áp dụng sẽ rất khó để

một số học sinh có thể tự làm được các bài tốn về khoảng cách. Nhiều học sinh
không biết bắt đầu từ đâu, dùng phương pháp nào, tại sao lại nghĩ đến kẻ đường
thẳng này, vẽ đường thẳng kia...Một số học sinh khá hơn thì mày mị tìm được
cách giải theo kiểu thử sai, có khi được có khi khơng, một số học sinh khác gần
như khơng có hướng giải quyết cho loại bài toán này. Đề tài này mong muốn giúp
các em từng bước tự giải quyết vấn đề trên.
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng và đến một mặt
phẳng:
1.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

M

H

d

Phần này chỉ lưu ý học sinh cách tính độ dài đoạn MH, người ta thường xem đoạn
MH là đường cao của tam giác MAB với A,B nằm trên đường thẳng d.
1.2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

M

P

H

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là khoảng cách giữa hai điểm M và H,
trong đó H là hình chiếu vng góc của M trên mặt phẳng (P)
Chú ý : Khi tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( α )
1. Nếu đã có sẵn đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng ( α ) chỉ cần dựng

đường thẳng qua A và song song với ∆ .

6


2. Nếu AB / /mp ( α ) thì d ( A, ( α ) ) = d ( B, ( α ) ) .
3. Nếu AB cắt mp ( α ) tại I thì

d ( A, ( α ) )
d ( B, ( α ) )

=

IA
.
IB

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vng tại B. Cạnh SA
vng góc với đáy, biết SA = 2a, AB = a . Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC).

Bài giải
Gọi H là hình chiếu vng góc của A trên SB.
 BC ⊥ SA
⇒ BC ⊥ AH

BC
⊥
AB


 AH ⊥ SB
⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A, ( SBC ) ) = AH

 AH ⊥ BC
1
1
1
SA2 . AB 2
2
=
+
Þ
AH
=
=
a.
AH 2 SA2 AB 2
SA2 + AB 2
5
Qua ví dụ trên, học sinh sẽ trả lời cho các câu hỏi AH chứa trong mặt phẳng
nào? và mặt phẳng đó có quan hệ như thế nào với mặt phẳng (SBC).
Nhắc lại định lí 2, hai mặt phẳng vng góc với nhau theo giao tuyến d,
trong mặt này kẻ đường thẳng a vng góc với d thì a sẽ vng góc với mặt phẳng
kia.

7


Từ đó giáo viên cho học sinh ghi nhớ “Các bước xác định khoảng cách từ
một điểm M đến một mặt phẳng (P)” như sau:

+ Tìm mặt phẳng (Q) qua M và vng góc với (P).
+ Tìm giao tuyến d của (P) và (Q).
+ Trong (Q), Kẻ MH vng góc với d (H thuộc giao tuyến d). Khi đó
d ( M , ( P ) ) = MH

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Cạnh SA
vng góc với mặt đáy, SA = 2a . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) .
Bài giải: Cho học sinh tìm kiếm lời giải thông qua
các bước của phương pháp đã nêu ở trên
+ Mp(SAM) đi qua A và vng góc với mp(SBC)
(M là trung điểm của BC);
+ SM = ( SAM ) Ç ( SBC ) ;
+ Trong mp(SAM), kẻ AH vng góc với SM cắt
SM tại H.
do tam giác ABC đều suy ra AM ⊥ BC
 BC ⊥ SA
⇒ BC ⊥ AH

BC
⊥
AM

 AH ⊥ BC
⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A, ( SBC ) ) = AH

 AH ⊥ SM
AM =

a 3 1
1

1
3
,
=
+
⇒ AH = 2
a
2
2
2
2 AH
AS
AM
19

Vậy d ( A, ( SBC ) ) = 2

3
a.
19
8


Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật
AD = 4a, AB = 2a . Cạnh SA = 2a và vng góc với mặt đáy, lấy M là trung điểm
BC. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SMD )

Trước khi giải quyết bài toán, giáo viên yêu cầu học sinh tìm mặt phẳng
qua A và vng góc với mặt phẳng ( SMD ) . Ở u cầu này các em có thể tìm được
ngay mặt phẳng ( SAM ) . Tiếp tục yêu cầu học sinh tìm mặt phẳng đi qua B và

vng góc với mặt phẳng ( SMD ) . Đối với yêu cầu thứ 2 gần như các em khơng
thể tìm ra ngay hoặc tìm sai mặt phẳng.
Như vậy, học sinh sẽ thấy rằng việc tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
( SMD ) sẽ dễ hơn việc tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SMD ) , công việc
cịn lại là tìm mối quan hệ giữa hai khoảng cách này.
Trong mặt phẳng ( ABCD ) :{ E} = AB ∩ DM , theo chú ý 3, ta có:
d ( B, ( SMD ) )
d ( A, ( SMD ) )

=

EB 1
1
= ⇒ d ( B, ( SMD ) ) = d ( A, ( SMD ) )
EA 2
2

GV yêu cầu học sinh sử dụng các bước đã hướng dẫn để tìm khoảng cách
+ Mặt phẳng qua A và vng góc với mp ( SMD ) là mp ( SAM ) ;

(

2
2
2
( AM + DM = AD AM = DM = 2a 2

)

+ Giao tuyến SM = ( SAM ) Ç ( SDM ) ;

+ Trong mặt phẳng ( SAM ) : kẻ AH ⊥ SM ( H ∈ SM ) . Ta có AH ⊥ ( SMD )
suy ra d ( A, ( SMD ) ) = AH
AH là đường cao tam giác nào ?
Xét tam giác vuông SAM có:
9


1
1
1
SA2 . AM 2
2a
a
= 2+
⇒ AH =
=
⇒ d ( B, ( SMD ) ) =
2
2
2
2
AH
SA
AM
SA + AM
3
3
Thơng qua ví dụ 2 giải pháp mà giáo viên đưa ra cho học sinh đó là việc
linh động chuyển đổi khoảng cách từ điểm tính khoảng cách khơng thuận về điểm
khác mà tại điểm đó thuận lợi hơn cho việc tính khoảng cách. Giáo viên cũng cần

nhấn mạnh lí do chuyển về điểm A vì điểm A là chân đường cao hình chóp nên đã
có sẵn yếu tố vng góc SA ⊥ ( ABCD ) nên việc tìm mặt phẳng thỏa phương pháp
là dễ dàng tìm.
Ví dụ 4: Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đội một vng góc, OA = a,
OB = b, OC = c . Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( ABC ) theo a,b,c.

GV yêu cầu mỗi học sinh làm 1 bước (theo các bước đã hướng dẫn)
+ Tìm mặt phẳng qua O vng góc với ( ABC ) : đó là mặt phẳng ( AOH ) trong đó
H là hình chiếu vng góc của O lên BC;
+ Giao tuyến của mp ( AOH ) và mp ( ABC ) là AH;
+ Trong mp ( AOH ) , kẻ OK vng góc với AH
BC ⊥ OH 
 ⇒ BC ⊥ OK
BC ⊥ OA 
OK ⊥ AH 
 ⇒ OK ⊥ ( ABC ) ⇒ d ( O, ( ABC ) ) = OK
OK ⊥ BC 
Tam giác OBC vuông tại O:

1
1
1
=
+
OH 2 OB 2 OC 2

Tam giác AOH vuông tại O:
1
1
1

1
1
1
1
1 1
=
+
=
+
+
=
+
+ .
OK 2 OH 2 OA2 OA2 OB 2 OC 2 a 2 b 2 c 2
Hiện nay, hình thức thi quốc gia là thi trắc nghiệm việc đưa ra kết quả của bài tập
này giúp học sinh có thể làm nhanh kết quả một số bài tập khoảng cách.
10


Chú ý: Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đội một vng góc, OA = a,
OB = b, OC = c . Khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( ABC ) là:
1
1
1
1
1
1 1
a 2 .b 2 .c 2
=
+

+
=
+
+
⇒
d
O
,
ABC
=
))
( (
OK 2 OA2 OB 2 OC 2 a 2 b 2 c 2
a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vng tại
B, AB = a, ·ACB = 300 , AA ' = 2a 2 .
a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng
( A ' BC ) ;
b) Gọi M là trung điểm BB’. Tính khoảng cách từ M đến ( A ' BC ') .

a) AC =

AB
= 2a, BC = AC 2 − AB 2 = a 3
0
sin 30

+ Từ những ví dụ đã cho ở trên học sinh có thể dễ dàng nhận thấy là việc
tìm mặt phẳng qua A và vng góc với mặt phẳng ( A ' BC ) là dễ dàng vì
AA ' ⊥ ( ABC ) . Nên thay vì tìm mặt phẳng qua G vng góc với mặt phẳng

( A ' BC ) ta sẽ tìm mặt phẳng qua A và vng góc với ( A ' BC ) : đó là mặt phẳng
( AA ' B ) ;
Ta có

d ( G, ( A ' BC ) )
d ( A, ( A ' BC ) )

=

EG 1
1
= ⇒ d ( G, ( A ' BC ) ) = d ( A, ( A ' BC ) )
EA 3
3

+ Giao tuyến của mặt phẳng ( AA ' B ) và ( ABC ) là: A’B;
+ Trong mặt phẳng

( AA ' B )

AH ⊥ ( A ' BC ) ⇒ d ( A, ( A ' BC ) ) = AH

kẻ

AH ⊥ A ' B (H thuộc A’B) thì

11


+ Mà AH là chiều cao của tam giác nào? Dựa vào tam giác A’AB học sinh

1
1
1
sẽ đưa ra hướng tính AH:
=
+
⇒ AH =
2
2
AH
AA '
AB 2
1
2 2
Vậy, d ( G, ( A ' BC ) ) = d ( A, ( A ' BC ) ) =
a
3
9

AA '2 . AB 2
2 2
=
a.
2
2
AA ' + AB
3

b) AC = 2a, BC = a 3
Từ chú ý của ví dụ 3, ta thấy tứ diện B’A’BC’ có B’A’, B’B, B’C’ đội một

vng góc nên khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng là:
d ( B ', ( A ' BC ') ) =
Mặt khác,

2a 6
35

d ( B ', ( A ' BC ') )

d ( M , ( A ' BC ' ) )

= 2 ⇒ d ( M , ( A ' BC ' ) ) =

a 6
35

Nhận xét: Trong câu b) việc tính khoảng cách vẫn có thể tn theo các bước như
các ví dụ 1,2,3. Tuy nhiên việc học khơng phải là rập khuôn, việc quan sát để ý đến
các đặc trưng của bài toán sẽ cho ta cách làm ngắn gọn hơn, phù hợp hơn với yêu
cầu thi trắc nghiệm hiện nay.
Bài tốn thực tế
Một nhóm học sinh khi du lịch tại Ai Cập có đến thăm kim tự tháp Kê-ốp,
nhóm học sinh này thắc mắc kim tự tháp này cao bao nhiêu. Họ tiến hành đo đạc
và có được một vài kết quả, Đáy kim tự tháp là hình vng có cạnh 230 m, tam
giác ở các mặt bên có 2 góc ở đáy bằng nhau và bằng 600 . Vậy kim tự tháp này
cao bao nhiêu

Đây là một bài tốn tuy đơn giản nhưng nó phù hợp với hình thức thi trắc
nghiệm hiện nay, nó là một bài tốn ứng dụng thực tế.
Hình chóp S.ABCD là hình chóp đều. Gọi O là tâm đường trịn ngoại tiếp

hình vng ABCD, khoảng cách từ đỉnh S đến mặt đáy (ABCD) khi đó là SO.
∆SCD là tam giác đều có cạnh huyền nên
AC 230
230
2
2
OC =
=
≈ 163m .
, SO = SC − OC =
2
2
2

SC = SD = 230m ,

12


2. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song,
giữa hai mặt phẳng song song.
2.1 Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

Định nghĩa: Đường thẳng a song song với mp(P) là khoảng cách từ một điểm M
bất kì trên đường thẳng a đến mặt phẳng (P). Kí hiệu d ( a, ( P ) ) = MH
Ví dụ 6: Cho hình chóp đều S.ABCD, có AB = 2a, SA = a 5 . N là trung
điểm của CD.
a) Chứng minh ( SON ) ⊥ ( SCD )
b) Tính khoảng cách giữa AB và mặt phẳng (SCD).

a) Học sinh tự chứng minh.
Do AB / / ( SCD ) , nên đây là khoảng cách giữa đường thẳng song song với
mặt phẳng, rất nhiều học sinh rất lúng túng trong việc lựa chọn điểm M bất kì trên
AB để tính khoảng cách đến mp ( SCD ) . Vậy làm thế nào để xác định được điểm
M sao cho từ vị trí điểm M đó khoảng cách tính được dễ dàng?
+ Mặt phẳng nào vng góc được với mặt phẳng ( SCD ) : mặt phẳng ( SNO ) ;
+ Mặt phẳng ( SNO ) cắt đường thẳng AB tại điểm nào: tại điểm M (M là
giao điểm của ON và AB).

13


+ Như vậy, nếu tính khoảng cách từ điểm M đến mp ( SCD ) có thuận lợi gì
so với các điểm khác trên AB : đã có sẵn mặt phẳng qua M và vng góc với mp
( SCD ) .
+ Mặt phẳng ( SCD ) và ( SNO ) có giao tuyến là đường nào: đường SN.
+ Trong mp ( SNO ) , kẻ MH vng góc với SN (H nằm trên SN). Suy ra
d ( AB, ( SCD ) ) = d ( M , ( SCD ) ) = MH , ta có SM = SA2 − AM 2 = 2a suy ra
∆SMN là tam giác đều nên MH = a 3 .
Qua ví dụ 5 học sinh có thể dần hình thành “Các bước để tính khoảng cách
giữa đường thẳng và mặt phẳng song song”
Ngoài việc tính khoảng cách như trên ta có thể lựa chọn điểm trên đường
thẳng AB phụ thuộc vào kĩ năng tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cách giải khác: Gọi O là tâm đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD (O
là giao điểm AC và BD), do hình chóp S.ABCD đều suy ra SO ⊥ ( SCD )
Vì AB / / ( SCD ) suy ra d ( AB, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) = 2d ( O, ( SCD ) )
Gọi N, K lần lượt là hình chiếu vng góc của O trên CD và SN. Khi đó
OK ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( O, ( SCD ) ) = OK
Ta có OA = a 2, SO = SA2 − OA2 = a 3, ON = a . Xét tam giác SON vuông tại O
1

1
1
SO 2 .ON 2
a 3
=
+
⇒ OK =
=
⇒ d ( AB, ( SCD ) ) = a 3
2
2
2
2
2
OK
SO ON
SO + ON
2
2.2 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một
điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Kí hiệu d ( ( P ) , ( Q ) ) = AH .
Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, có đáy là tam giác vng tại
B và BC = a, AA ' = 2a . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AA’, BB’, CC’.
Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( A ' B ' P ) và ( MNC ) .
14


Các bước tiến hành được làm tương tự như tính khoảng cách giữa đường
thẳng và mặt phẳng song song.

+ Tìm mặt phẳng vng góc với mp ( A ' B ' P ) : đó là mp ( BCC ' B ') học sinh
tự chứng minh;
+ Giao tuyến của ( BCC ' B ') và ( A ' B ' P ) là: đường thẳng B'P ;
+ Giao tuyến của ( BCC ' B ') và ( MNC ) là: đường thẳng NC ;
+ Trong mặt phẳng ( BCC ' B ') kẻ HP ⊥ NC (H thuộc NC). Khi đó, khoảng
cách phải tìm là HP
Ta có ∆CBN đồng dạng ∆PHC suy ra

PH PC
BC.PC
a
=
⇒ PH =
=
BC NC
NC
2

(hoặc ∆CBN vuông cân, nên ∆PHC cũng vuông cân, suy ra PH =

PC
a
=
)
2
2

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Thuật ngữ:
+ Đường thẳng c được gọi là đường vng góc chung của hai đường thẳng chéo

nhau a và b
+ Nếu đường vng góc chung cắt hai đường thẳng chéo nhau tại I và J thì đoạn IJ
được gọi là đoạn vng góc chung của hai đường thẳng đó.
Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là độ dài
đoạn vng góc chung của hai đường thẳng đó.
Kí hiệu d ( a, b )
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vng cạnh a .
Cạnh SA vng góc với mặt đáy và SA = a 2 . Tính khoảng cách giữa các cặp
đường thẳng :
a) SA và BD;
b) AB và SD;
c) AD và SC.
15


Lời giải:
a) Dựa vào định nghĩa khoảng cách học sinh dễ dàng chỉ ra đường đoạn
vng góc chung của SA và BD.
ìï AO ^ BD
Þ d ( SA, BD) = AO
Gi O = AC ầ BD . Khi ú, ùớ
ùùợ AO ^ SA

a 2
.
2
Qua lời giải của câu a) GV đưa ra câu hỏi cho học sinh “mối quan hệ của
hai đường thẳng SA và BD”, đường vng góc chung AO nằm trong mp(SAO) và
mp(SAO) có quan hệ như thế nào với hai đường thẳng SA và BD? Từ đó giúp học
sinh đưa ra phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ( trong

trường hợp vng góc). Từ việc trả lời các câu hỏi của GV học sinh phần nào hình
thành được phương pháp tính khoảng cách trong trường hợp hai đường thẳng chéo
nhau và vng góc với nhau.
Mà AC = a 2 , suy ra AO =

Phương pháp để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a
và b.

Trường hợp 1: Giả sử hai đường thẳng a và b chéo nhau và a ⊥ b

+ Tìm mặt phẳng (P) thỏa b Ì ( P ) và a ^ ( P ) ;
+ M = a Ç ( P) ;
+ Trong mp (P), kẻ MH vuông góc với đường thẳng b (H thuộc đường
thẳng b). Khi đó, d ( a, b) = MH
16


b) Học sinh dễ dàng nhận xét được AB ^ SD , sử dụng phương pháp đã nêu
để tìm đoạn vng góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD.
- Mặt phẳng ( SAD) thỏa : SD Ì ( SAD) , AB ^ ( SAD ) ;
- A = AB Ç ( SAD) ;
- Trong mp ( SAD) : kẻ AH ^ SD ( H Ỵ SD ) . Suy ra d ( AB, SD ) = AH .
1
1
1
SA2 . AD 2
6
D SAD vuông tại A:
= 2+
Þ AH =

=
a.
2
2
2
2
AH
SA
AD
SA + AD
3
c)
Câu hỏi đặt ra ở đây là liệu có thể làm câu c) tương tự như hai câu a và b
hay không? HS sẽ nhận thấy do AD và SC khơng vng góc với nhau nên khơng
tồn tại mặt phẳng chứa một đường và vng góc với đường cịn lại.
Phương pháp dựng đường vng góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
a và b nhưng không vng góc với nhau.

- Ta dựng mặt phẳng ( a ) thỏa: b Ì ( a ) và a / / ( a ) .
- a ' là hình chiếu vng góc của a lên mp ( a ) và a ' cắt b tại N.
- Qua N dựng đường thẳng vng góc với đường thẳng a cắt a tại M. Khi
đó, MN là đoạn vng góc chung của a và b.

- Mặt phẳng (SBC) chứa SC và song song với AD;
17


- Gọi K là hình chiếu vng góc của A lên SB, qua K kẻ KE / / AD (E
thuộc SC). Suy ra, KE là hình chiếu vng góc của AD lên mp(SBC).
- Qua E dựng EF vng góc AD cắt AD tại F.

Vậy, EF là đoạn vng góc chung của AD và SC hay d ( AD, SC ) = EF
6
6
a , nên d ( AD, SC ) =
a.
3
3
Qua cách dựng đường vng góc chung của AD và SC, các em có nhận xét
như thế nào về d ( AD, SC ) và d ( AD,( SBC ) ) . HS sẽ đưa ra được nhận xét
Mà EF = AK = AH =

d ( AD, SC ) = d ( AD,( SBC ) ) . GV khẳng định lại qua nhận xét:
Nhận xét:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong
hai đường đó và mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng cịn lại.
ïì b Ì ( a )
Nếu ïí
thì d ( a, b) = d ( a,( a ) )
ïïỵ a / / b
Qua bài tập ở trên chúng ta thấy rằng việc tìm khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau nhưng khơng vng góc với nhau khơng nhất thiết phải dựng
đường vng góc chung.
Trường hợp 2: a, b chéo nhau nhưng khơng vng góc với nhau.

b ⊂ ( P ) 
 ⇒ d ( a, b ) = d ( a, ( P ) )
a / / ( P ) 
Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O,
AB = a, ·ABC = 600 . Cạnh SA vng góc với đáy và SA = a . Tính khoảng cách
giữa BD và SC.

18


Ở đây học sinh dễ dàng nhận thấy SC ⊥ BD , điều này có nghĩa ta sẽ dùng
phương pháp ở trường hợp 1 để giải quyết bài toán khoảng cách này
+ Mặt phẳng chứa SC và vng góc với BD là: mặt phẳng ( SAC ) ;
+ Giao điểm của BD và mp ( SAC ) là: điểm O

( { O} = AC ∩ BD ) ;

+ Trong mặt phẳng ( SAC ) kẻ OH vng góc với SC (H thuộc SC). Khi đó,
OH là khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD.
AC = a ( ∆ABC đều), gọi K là hình chiếu vng góc của A lên SC. Do ∆SAC
vuông cân ⇒ AK =

SC a 2
AK a 2
, mà ⇒ OH =
.
=
=
2
2
2
4

Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Tam giác SAB
đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt đáy. Tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng AD và SC.

Trước tiên học sinh phải kiểm tra xem hai đường thẳng AD và SC có vng
góc với nhau hay khơng?
+ Yêu cầu học sinh tìm mặt phẳng chứa một đường thẳng và song song với
đường thẳng cịn lại: đó là mặt phẳng (SBC) chứa đường thẳng SC và song song
với AD. Từ đó chuyển khoảng cách cần tính về khoảng cách giữa đường thẳng và
mặt phẳng song song;
19


+ u cầu học sinh tìm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (SBC):
mp(SAB).
+ Mp (SAB) cắt AD tại A, trong mp(SAB) kẻ AH vng góc SB (H thuộc
SB)
Khi đó, d ( AD, SC ) = d ( AD, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) = AH =

a 3
2

Ví dụ 11: Cho hình chóp đều S.ABC, có AB = a và góc giữa cạnh bên hợp
với đáy một góc 600 . Gọi H là hình chiếu vng góc của S trên mặt phẳng ( ABC ) .
Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AH và SB.

Trước tiên học sinh phải kiểm tra xem hai đường thẳng AH và SB có vng
góc với nhau hay khơng? Ở đây AH khơng vng góc SB vì ngược lại nếu AH
vng SB suy ra AH vng góc mp(SBC) (vơ lí).
+ u cầu học sinh tìm mặt phẳng chứa 1 đường và song song với đường
còn lại. Trong mặt phẳng (ABC) qua B kẻ Bx / / AH . Khi đó, mp ( Bx, SB ) là mặt
phẳng thỏa yêu cầu.
Khi đó: d ( AH , SB ) = d ( AH , ( SB, Bx ) ) . Như vậy, ta đã chuyển khoảng

cách giữa hai đường thẳng chéo nhau về khoảng cách giữa đường thẳng và mặt
phẳng song song. Đến đây ta tiếp tục sử dụng các bước tính khoảng cách giữa
đường thẳng và mặt phẳng song song để tính khoảng cách.
+ Tìm mặt phẳng vng góc với mp ( Bx, SB ) , ta có thể nhận thấy H là chân
đường cao hình chóp có nghĩa là SH ⊥ Bx như vậy ta chỉ cần một yếu tố vng
góc với Bx là đã xác định được mặt phẳng vng góc với mp ( Bx, SB ) . Gọi E là
hình chiếu vng góc vủa H lên Bx, ta được mặt phẳng vng góc với mp ( Bx, SB )
là mp ( SHE ) .
+ mp ( SHE ) cắt AH tại H
+ Trong mp ( SHE ) kẻ HK vng góc SE (K thuộc SE) suy ra HK là
khoảng cách giữa AH và SB.

20


Góc giữa SA và mp(ABC) là

SH = AH .tan 60. = a , EH = MB =
vuông tại H:

·
SAH
= 600 ,

AH =

2
a 3
,
AM =

3
3

a
(HMBE là hình chữ nhật). Tam giác SHE
2

1
1
1
=
+
⇒ HK =
2
2
HK
HE
SH 2

HE 2 .SH 2
a
.
=
2
2
HE + SH
5

Ví dụ 12: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh
a. Gọi M là trung điểm của AB, Tam giác MA’C đều và nằm trong một mặt phẳng

vng góc với mặt đáy hình lăng trụ. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC,
BB’.

Gọi H là trung điểm của CM, vì ( A ' CM ) ^ ( ABC ) nên A ' H ^ ( ABC )
+ Mặt phẳng chứa AC và song song với BB’ là: mp(AA’C’C);
d ( BB ', AC ) = d ( BB ', ( AA 'C ' C ) ) . Như các ví dụ ở trên ta thấy về cơ bản chúng ta
chuyển khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau thành khoảng cách giữa
đường thẳng và mặt phẳng song song sau đó tiếp tục chuyển về khoảng cách giữa
điểm và mặt phẳng.
+ M là trung điểm AB nên d ( B, ( AA ' C ' C ) ) = 2d ( M , ( AA ' C ' C ) ) ;
+ H là trung điểm MC nên d ( M , ( AA ' C ' C ) ) = 2d ( H , ( AA ' C ' C ) ) ;
Suy ra d ( B, ( AA 'C 'C ) ) = 4d ( H , ( AA 'C 'C ) ) . Gọi E, K lần lượt là hình chiếu
vng góc của H trên AC và A’E . Khi đó HK ⊥ A ' E , HK ⊥ AC ( AC ⊥ ( A ' HE ) )
suy ra
HK ⊥ ( AA ' C ' C ) ⇒ d ( H , ( AA ' C ' C ) ) = HK .
21


CM =

1
a 3
1
a 3 ·
, CH = CM =
, ACM = ·ABC = 300
2
2
2
4

tan ·ACM =

HE
a
3
3
⇒ HE = CE.tan 300 =
, A' H =
CM = a .
CE
2 3
2
4

Trong ∆A ' HE vng tại H có: HK =

A ' H 2 .HE 2
3a
.
=
2
2
A ' H + HE
2 31

22


IV.HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

Qua nghiên cứu, sử dụng đề tài này vào thực tế giảng dạy, tơi thấy có hiệu
quả rất đáng kể. Trước đây, khi chưa áp dụng đề tài này tôi nhận thấy số lượng học
học sinh có thể tìm ra hướng giải là tương đối thấp, một số em thậm chí khi nghe
đến bài tốn khoảng cách là các em bỏ qua vì cho rằng nó khó q so với khả năng
của mình, một số thì hiểu bài giải nhưng khi tự giải thì khơng có khả năng. Từ năm
học 2014-2015 khi đưa đề tài này vào để giảng dạy bài toán khoảng cách cho học
sinh lớp 11 ở trường, số lượng học sinh có thể làm được các bài tập khoảng cách
thông dụng tăng lên khá cao, ở các lớp thường có hơn 50% các em đã tự định
hướng và giải được các bài thông dụng, ở lớp nguồn thì ngồi các bài thơng dụng
thì trong các bài khó hơn số lượng học sinh làm được bài tăng lên rõ rệt. Điều mà
tôi tâm đắc khi đưa đề tài này vào giảng dạy là việc học sinh đã khơng cịn cảm
giác sợ các bài tốn khoảng cách, việc cung cấp hướng đi giúp các em bắt đầu tư
duy để giải bài tập thay vì như trước đây học thụ động khơng có hướng đi, khơng
muốn tư duy.
Việc xây dựng các bước xác định khoảng cách đối với học sinh, giúp học
sinh có hướng giải quyết loại tốn khoảng cách này, đặc biệt khơng dạy theo kiểu
“đáp án từ trên trời rơi xuống” hay “ta kẻ đường này, ta dựng đường kia” mà học
sinh không biết tại sao phải làm vậy. Việc người dạy cần làm là hướng dẫn chỉ
đường để học sinh tư duy phát hiện ra kết quả.
V. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
Qua hiệu quả mà đề tài nay mang lại khi tôi áp dụng vào thực tế giảng dạy
tại lớp. Tôi mong rằng tài liệu nhỏ này là nguồn tham khảo cho các đồng nghiệp,
học sinh giúp các em giải quyết tốt hơn loại bài toán khoảng cách này.
VI. DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Trần Minh Quang (2000). 27 chủ đề tốn hình học khơng gian. Nhà xuất
bản Đại học quốc gia Hà Nội
2. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2016). Bài tập hình học 11. Nhà xuất bản Giáo
dục Việt Nam.
3. SGK lớp 11 cơ bản và nâng cao (2016). Nhà xuất bản Giáo dục Việt
Nam.

NGƯỜI THỰC HIỆN
(Ký tên và ghi rõ họ tên)

23


BM01b-CĐCN
SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI
Đơn vị .....................................
–––––––––––

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
––––––––––––––––––––––––
................................, ngày
tháng
năm
PHIẾU ĐÁNH GIÁ, CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học: .....................................
Phiếu đánh giá của giám khảo thứ nhất
–––––––––––––––––

Tên sáng kiến kinh nghiệm: ..............................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Họ và tên tác giả: ................................................................ Chức vụ: .............................................
Đơn vị: ..............................................................................................................................................
Họ và tên giám khảo 1: ............................................................ Chức vụ: ........................................
Đơn vị: ..............................................................................................................................................
Số điện thoại của giám khảo: ............................................................................................................
* Nhận xét, đánh giá, cho điểm và xếp loại sáng kiến kinh nghiệm:

1. Tính mới
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Điểm: …………./6,0.
2. Hiệu quả
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Điểm: …………./8,0.
3. Khả năng áp dụng
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Điểm: …………./6,0.
Nhận xét khác (nếu có): ......................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Tổng số điểm: ....................../20. Xếp loại: ........................................................................
Phiếu này được giám khảo 1 của đơn vị đánh giá, chấm điểm, xếp loại theo quy định của Sở Giáo dục và
Đào tạo; ghi đầy đủ, rõ ràng các thơng tin, có ký tên xác nhận của giám khảo 1 và đóng kèm vào mỗi cuốn sáng
kiến kinh nghiệm liền trước Phiếu đánh giá, chấm điểm, xếp loại sáng kiến kinh nghiệm của giám khảo 2.

24


GIÁM KHẢO 1
(Ký tên, ghi rõ họ và tên)
BM01b-CĐCN
SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI

Đơn vị .....................................
–––––––––––

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
––––––––––––––––––––––––
................................, ngày
tháng
năm
PHIẾU ĐÁNH GIÁ, CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học: .....................................
Phiếu đánh giá của giám khảo thứ hai
–––––––––––––––––

Tên sáng kiến kinh nghiệm: ..............................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Họ và tên tác giả: ................................................................ Chức vụ: .............................................
Đơn vị: ..............................................................................................................................................
Họ và tên giám khảo 2: ............................................................ Chức vụ: ........................................
Đơn vị: ..............................................................................................................................................
Số điện thoại của giám khảo: ............................................................................................................
* Nhận xét, đánh giá, cho điểm và xếp loại sáng kiến kinh nghiệm:
1. Tính mới
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Điểm: …………./6,0.
2. Hiệu quả
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................
Điểm: …………./8,0.
3. Khả năng áp dụng
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Điểm: …………./6,0.
Nhận xét khác (nếu có): ......................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Tổng số điểm: ....................../20. Xếp loại: ........................................................................
Phiếu này được giám khảo 2 của đơn vị đánh giá, chấm điểm, xếp loại theo quy định của Sở Giáo dục và Đào tạo;
ghi đầy đủ, rõ ràng các thơng tin, có ký tên xác nhận của giám khảo 2 và đóng kèm vào mỗi cuốn sáng kiến kinh nghiệm liền
trước Phiếu nhận xét, đánh giá sáng kiến kinh nghiệm của đơn vị.

25