Lý thuyết hệ thống tuyến tính thời gian bất biến

Lý thuyết hệ thống tuyến tính thời gian bất
biến


Mục lục
1

Lý thuyết hệ thống tuyến tính thời gian bất biến

1

1.1

Tổng quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Các hệ thống thời gian liên tục

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2.1

Đáp ứng xung và tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2.2

Các hàm mũ là hàm đặc trưng

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2.3

Biến đổi Fourier và Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.4

Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.5

Các thuộc tính quan trọng của hệ thống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Các hệ thống thời gian rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3.1

Các hệ thống thời gian rời rạc từ các hệ thống thời gian liên tục

. . . . . . . . . . . . .

4

1.3.2

Đáp ứng xung và tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3.3

Hàm mũ là hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3.4

Biếu đổi Z và biến đổi Fourier thời gian rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3.5

Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.6

Ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.7

Các thuộc tính quan trọng của hệ thống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

2

1.4

Ghi chú

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.5

Xem thêm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.6

am khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.7

Đọc thêm

6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vẻ đẹp của toán học

7

2.1

Nét đẹp qua các con số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2

Nét đẹp qua các công thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.3

Nét đẹp trong các phương pháp chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.4

Nét đẹp trong các kết quả tìm ra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.5

Nét đẹp trong sự bí ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.6

Bức tranh nghệ thuật của toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.7

Xem thêm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.8

am khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.9

Liên kết ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.10 Nguồn, người đóng góp, và giấy phép cho văn bản và hình ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.10.1 Văn bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

i


ii

MỤC LỤC

2.10.2 Hình ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.10.3 Giấy phép nội dung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9


Chương 1

Lý thuyết hệ thống tuyến tính thời gian
bất biến
Lý thuyết thời gian bất biến tuyến tính, thường được
nếu một hàm đầu vào có thể được đại diện bởi
gọi là lý thuyết hệ thống LTI, xuất phát từ toán ứng
một chuỗi các hàm đầu vào, kết hợp “tuyến
dụng và có các ứng dụng trực tiếp trong quang phổ
tính”, như ta thấy, thì tương ứng với hàm đầu
học cộng hưởng từ hạt nhân, địa chấn học, mạch điện,
ra có thể được đại diện bởi chuỗi các hàm đầu
xử lý tín hiệu, lý thuyết điều khiển, và các lĩnh vực kỹ
ra tương ứng, thang và tổng cũng như vậy.
thuật khác. Nó nghiên cứu đáp ứng của một hệ thống
tuyến tính và thời gian bất biến đối với một tín hiệu
• ời gian bất biến có nghĩa rằng cho dù chúng ta
đầu vào tùy ý. ỹ đạo của các hệ thống này thường
áp dụng một đầu vào cho hệ thống ngay bây giờ
được đo lường và theo dõi khi chúng di chuyển theo
hoặc T giây từ bây giờ, thì đầu ra sẽ giống hệt nhau

thời gian (ví dụ như, một dạng sóng âm), nhưng trong
ngoại trừ một thời gian trễ T giây. DO đó, nếu đầu
các ứng dụng như xử lý hình ảnh và lý thuyết trường,
ra
theo đầu vào x(t) là y(t) , thì đầu ra theo đầu
các hệ thống LTI cũng có quỹ đạo theo chiều không
vào
x(t − T ) là y(t − T ) . Do đó, hệ thống này là
gian. Do đó, các hệ thống này cũng được gọi là tuyến
thời
gian bất biến vì đầu ra không phụ thuộc vào
tính dịch chuyển bất biến để tạo cho lý thuyết này tính
thời
gian
cụ thể đưa vào đầu vào.
tổng quát nhất có thể. Trong trường hợp các hệ thống
thời gian rời rạc nói chung (tức là, lấy mẫu), tuyến tính
dịch chuyển bất biến là một thuật ngữ tương ứng. Một ví Kết quả cơ bản trong lý thuyết hệ thống LTI là bất kỳ
dụ tốt về hệ thống LTI là mạch điện mà được tạo thành hệ thống LTI nào đều cũng có thể được miêu tả hoàn
từ điện trở, tụ điện và cuộn cảm. [1]
toàn bởi một hàm duy nhất được gọi là đáp ứng xung
của hệ thống. Đầu ra của hệ thống chỉ đơn giản là tích
chập của đầu vào của hệ thống với đáp ứng xung của hệ
1.1 Tổng quan
thống. Phương pháp phân tích này thường được gọi là
quan điểm miền thời gian. Kết quả tương tự cũng đúng
Các tính chất xác định của bất kỳ hệ thống LTI nào là với các hệ thống thời gian rời rạc tuyến tính thay đổi
bất biến, trong đó các tín hiệu được lấy mẫu theo thời
tuyến tính và thời gian bất biến.
gian rời rạc, và tích chập được xác định theo trình tự.

• Tuyến tính có nghĩa là mối quan hệ giữa đầu vào Một cách tương đương, bất kỳ hệ thống LTI nào cũng
và đầu ra của hệ thống là một biến đổi tuyến tính: có thể được miêu tả trong miền tần số bởi hàm truyền
Nếu đầu vào x1 (t) tạo ra đáp ứng y1 (t), và đầu của hệ thống đó, đó là biến đổi Laplace của đáp ứng
vào x2 (t) tạo ra đáp ứng y2 (t), sau đó nhân hệ xung của hệ thống (hoặc biến đổi Z trong trường hợp
số và cộng lại đầu vào a1 x1 (t) + a2 x2 (t) tạo ra của các hệ thống thời gian rời rạc). Do tính chất của
đáp ứng tích và tổng a1 y1 (t) + a2 y2 (t) trong đó các phép biến đổi này, đầu ra của hệ thống trong miền
a1 và a2 là các đại lượng vô hướng thực. Điều này tần số là tích của hàm truyền và biến đổi của đầu vào
có thể được mở rộng đến bất kỳ số lượng các đáp hệ thống đó. Nói cách khác, tích chập trong miền thời
ứng đầu vào, và các số thực c1 , c2 , . . . , ck ,
gian là tương đương với phép nhân trong miền tần số.
∑
Đầu
∑ vào k ck xk (t) tạo ra đầu ra
k ck yk (t).

Đối với tất cả các hệ thống LTI, các hàm đặc trưng và
các hàm cơ bản của các bộ biến đổi, là các hàm mũ phức.
Do đó, nếu đầu vào của một hệ thống có dạng sóng
phức Aest với biên độ phức A và tần số phức s , thì
đầu ra sẽ là hằng số phức nào đó nhân với đầu vào,
đó là Best với biên độ phức mới B .TỈ số B/A là hàm
truyền tại tần số s .

đặc biệt,
trong đó cω và xω là các hệ số và đầu vào khác
nhau trong một miền liên tục theo ω .Vì vậy
1


2

CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH THỜI GIAN BẤT BIẾN

Bởi vì sóng sin là một tổng của các hàm mũ phức tạp
với các tần số phức liên hợp, nếu đầu vào của hệ thống
là một hình sin, thì đầu ra của hệ thống cũng sẽ là một
hình sin, có lẽ với một biên độ khác và một pha khác,
nhưng luôn luôn cùng tần số khi đạt đến trạng thái ổn
định. Các hệ thống LTI không thể tạo ra các thành phần
tần số mà không có trong đầu vào.

thành một hàm đầu ra, {y}. Và nói chung, mỗi giá trị
của đầu ra có thể phụ thuộc vào tất cả giá trị của đầu
vào. Khái niệm này được biểu diễn bởi:

trong đó Ot là toán tử biến đổi theo thời gian t. Trong
một hệ thống điển hình, y(t) phụ thuộc nhiều nhất vào
các giá trị của x xảy ra gần thời gian t. Trừ phi tự biến
đổi chính nó theo t, hàm đầ ra là hằng số, và hệ thống
Lý thuyết hệ thống LTI mô tả nhiều hệ thống quan này chả có gì để chú ý.
trọng rất tốt. Hầu hết các hệ thống LTI được coi là “dễ" Đối với một hệ thống tuyến tính, O phải thỏa mãn Eq.1
để phân tích, ít nhất so với các trường hợp thời gian :
biến đổi và/hoặc phi tuyến. Bất kỳ hệ thống nào có
thể được mô hình hóa bằng một phương trình vi phân Và yêu cầu thời gian bất biến là:
tuyến tính thuần nhất với các hệ số không đổi là một hệ Chúng ta có thể viết đáp ứng xung này theo ký hiệu
thống LTI. Ví dụ về các hệ thống như vậy là mạch điện
def
trên như sau h(t) = Ot {δ(u); u}.
gồm các điện trở, cuộn cảm, và tụ điện (mạch RLC). Các
hệ thống giảm xóc bằng lò xo lý tưởng cũng là những Tương tự:

hệ thống LTI, và tương đương toán học với các mạch
RLC.
Hầu hết các khái niệm hệ thống LTI là tương tự nhau
giữa các trường hợp thời gian liên tục và thời gian rời
rạc (dịch chuyển bất biến tuyến tính). Trong xử lý ảnh,
các biến thời gian được thay thế bằng hai biến không
gian, và khái niệm thời gian bất biến được thay thế bởi
dịch chuyển bất biến hai chiều. Khi phân tích các giàn
bộ lọc và các hệ thống MIMO, thường rất hữu ích để
xem xét các vectơ của tín hiệu.

ay kết quả này vào tích chập:
which has the form of the right side of Eq.2 for the case
cτ = x(τ ) and xτ (u) = δ(u − τ ). Eq.2 then allows this
continuation:

Tóm lại, hàm đầu vào, {x}, có thể được mô tả bởi một
continuum của các hàm xung dịch chuyển theo thời
gian, liên kết “tuyến tính”, như phương trình Eq.1 ở
Một hệ thống tuyến tính mà không phải là thời gian
trên. uộc tính tuyến tính của hệ thống cho phép đáp
bất biến có thể được giải bằng cách sử dụng các phương
ứng của hệ thống được thể hiện bởi continuum của các
pháp khác như phương pháphàm Green. Phương pháp
đáp ứng xung tương ứng, liên kết cùng cách thức tương
tương tự cũng phải được sử dụng khi các điều kiện ban
tự. Và thuộc tính thời gian bất biến cho phép liên kết
đầu của bài toán không phải là rỗng.
đó được mô tả bởi tích phân tích chập.

1.2 Các hệ thống thời gian liên tục

Các phép toán trên có một mô phỏng đồ họa đơn
giản.[2]

1.2.1

1.2.2 Các hàm mũ là hàm đặc trưng

Đáp ứng xung và tích chập

Hành vi của một hệ thống tuyến tính, thời gian liên tục, Một hàm đặc trưng là một hàm mà đầu ra của phép
thời gian bất biến với tín hiệu đầu vào x(t) và tín hiệu toán là một bản đồng dạng tỷ lệ của cùng hàm số. Đó
đầu ra y(t) được mô tả bởi tích phân tích chập:[2]
là,

Hf = λf
trong đó h(t) là đáp ứng của hệ thống đối với một xung:
x(τ ) = δ(τ ). y(t) do đó tỷ lệ với một trọng số trung
bình của hàm đầu vào x(τ ). Hàm trọng số là h(−τ ),
dịch chuyển đơn giản một lượng t. Khi t thay đổi, hàm
trọng số làm nổi bật các phần khác nhau trong hàm
đầu vào. Khi h(τ ) bằng không cho tất cả τ, âm, y(t)
chỉ phụ thuộc vào các giá trị củaf x hơn là thời gian t,
và hệ thống được xem là nhân quả.
Để hiểu lý do tại sao tích chập tạo ra ở đầu ra của một
hệ thống LTI, ta ký hiệu {x(u − τ ); u} để biểu diễn
hàm x(u − τ ) với biến u và hằng số τ. Và ký hiệu ngắn
hơn {x} để biểu diễn {x(u); u}. Sau đó một hệ thống
thời gian liên tục chuyển đổi một hàm đầu vào, {x},

trong đó f là hàm đặc trưng và λ là vectơ riêng, một
hằng số.
Các hàm mũ Aest , trong đó A, s ∈ C , là các hàm đặc
trưng của một toán tử thời gian bất biến, tuyến tính.
Một ví dụ minh họa đơn giản khái niệm này. Giả sử
đầu vào là is x(t) = Aest . Đầu ra của hệ thống với đáp
ứng xung h(t) sẽ là
trong đó, với thuộc tính giao hoán của tích chập, tương
đương với
Trong đó đại lượng vô hướng
chỉ phụ thuộc vào tham số s.


1.2. CÁC HỆ THỐNG THỜI GIAN LIÊN TỤC
Vì vậy đáp ứng của hệ thống là tỉ lệ đồng dạng với đầu
vào. Đặc biệt, đối với bất kỳ A, s ∈ C , đầu ra của hệ
thống là tích của đầu vào Aest và hằng số H(s) . Trong
đó, Aest là một hàm đặc trưng của một hệ thống LTI,
và vectơ riêng tương ứng là H(s) .
Direct proof

1.2.3

Biến đổi Fourier và Laplace

3
wrien as a convolution with the boxcar
function Π(t) . at is,
where the boxcar function

1.2.5 Các thuộc tính quan trọng của hệ
thống

Tính chất hàm mũ của hàm đặc trưng rất hữu ích cho Hai tính chất quan trọng nhất của một hệ thống là tính
việc phân tích và tìm hiểu các hệ thống LTI. Các biến nhân quả và tính ổn định. Tính nhân quả là một điều
cần thiết nếu biến độc lập là thời gian, nhưng không
đổi Laplace
phải tất cả các hệ thống đều lấy thời gian là một biến
chính la cách để có được các giá trị riêng từ đáp ứng độc lập. Ví dụ, một hệ thống xử lý hình ảnh tĩnh không
xung. Đăch biệt là các tín hiệu theo hình sin chuẩn cần phải có tính nhân quả. Các hệ thống phi nhân quả
(nghĩa là các hàm mũ có dạng ejωt trong đó ω ∈ R có thể được xây dựng và có thể hữu ích trong nhiều
def √
và j = −1 ). Chúng thường được gọi là các hàm mũ tình huống. Ngay cả các hệ thống không thực có thể
phức ngay cả khi argument chỉ có phần ảo. Biến đổi được xây dựng và rất hữu ích trong nhiều trường hợp.
Fourier H(jω) = F{h(t)} cho ta các giá trị riêng cho
các tín hiệu thuần sin phức. Cả H(s) và H(jω) đều
được gọi là hàm hệ thống, đáp ứng hệ thống, hoặc hàm
Tính nhân quả
truyền.
Biến đổi Laplace thường được sử dụng trong bối cảnh
của các tín hiệu một chiều, tức là tín hiệu là zero cho
tất cả các giá trị của t ít hơn so với một số giá trị khác.
ông thường, “thời gian bắt đầu” này được thiết lập
bằng zero, để thuận tiện và không mất tính tổng quát,
với biến đổi tích phân được lấy từ zero đến vô cùng (các
biến đổi chỉ ra ở trên cùng với giới hạn dưới của tích
phân âm vô cùng được chính thức biết đến là biến đổi
Laplace song phương).

1.2.4

Một hệ thống là nhân quả nếu đầu ra chỉ phụ thuộc
vào hiện tại và quá khứ, mà không phụ thuọc đầu vào
tương lai. Một điều kiện cần và đủ của quan hệ nhân
quả là(đoạn này khó hiểu thế)
trong đó h(t) là đáp ứng xung. Nói chung không thể
xác định tính nhân quả từ biến đổi Laplace, vì biến đổi
nghịch đảo là không duy nhất. Khi một vùng hội tụ
được xác định, thì tính nhân quả có thể được xác định.

Các ví dụ

• Một ví dụ đơn giản của một toán tử LTI là đạo hàm.
•

(c1 x1 (t) + c2 x2 (t)) = c1 x′1 (t) + c2 x′2 (t)
(nghĩa là nó là tuyến tính)

•

− τ ) = x′ (t − τ ) (nghĩa là nó là thời
gian bất biến)

d
dt

d
d t x(t

Tính ôn định
Một hệ thống là ổn định giới hạn đầu vào, giới hạn
đầu ra (ổn định BIBO) nếu, với mỗi đầu vào bị chặn,
đầu ra là hữu hạn. Về mặt toán học, nếu mỗi đầu vào
đáp ứng
sẽ dẫn tới một đầu ra thỏa mãn

Khi biến đổi Laplace của đạo hàm này được
thực hiện, nó sẽ biến đổi thành một phép
nhân đơn giản bởi biến Laplace s.
Đạo hàm này là một biến đổi Laplace đơn
giản giải thích phần nào sự tiện lợi của phép
biến đổi này.
• Một toán tử LTI đơn giản khác là toán tử lấy trị
trung bình
Dùng tính chất tuyến tính của tích phân.
nó là tuyến tính. Ngoài ra, bởi vì
nó là thời gian bất biến. ực tế, A có thể
được viết dưới dạng tích chập với can be

(do đó, một giá trị tuyệt đối cực đại của x(t) bao hàm
giá trị tuyệt đối cực đại của y(t) ), thì hệ thống đó là
ổn định. Một điều kiện cần và đủ là đáp ứng xung h(t)
phải nằm trong L1 (có một chuẩn mực L1 hữu hạn):
Trong miền tần số, vùng hội tụ phải chứa trục ảo s =
jω .
As an example, the ideal low-pass filter with impulse
response equal to a sinc function is not BIBO stable,
because the sinc function does not have a finite L1
norm. us, for some bounded input, the output of the

ideal low-pass filter is unbounded. In particular, if the
input is zero for t < 0 and equal to a sinusoid at the
cut-off frequency for t > 0 , then the output will be
unbounded for all times other than the zero crossings.


4

CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH THỜI GIAN BẤT BIẾN

1.3 Các hệ thống thời gian rời rạc

nhất thức sau:

trong đó biểu thức {x} theo tổng các hàm trọng số
Hầu hết tất cả mọi thứ trong các hệ thống thời gian liên delta.
tục đều có một bản sao trong các hệ thống thời gian rời Do đó:
rạc.
trong đó chúng ta viện dẫn phương trình Eq.4 trong
trường hợp ck = x[k] và xk [m] = δ[m − k].

1.3.1

Các hệ thống thời gian rời rạc từ các VÀ bởi vì phương trình Eq.5, chúng ta có thể viết:
hệ thống thời gian liên tục
Do đó:

Trong nhiều trường hợp, một hệ thống thời gian rời
rạc (DT-discrete time) thực sự là một phần của một hệ
thống thời gian liên tục (CT-continuous time) lớn hơn.

Ví dụ, một hệ thống ghi âm kỹ thuật số có một âm
thanh analog, số hóa nó, có thể xử lý tín hiệu kỹ thuật
số này, và phát lại một âm thanh analog tương tự cho
mọi người nghe.

đó là công thức chập rời rạc quen thuộc. Toán tử O_n\,
có thể được hiểu là tỷ lệ thuận với trung bình trọng số
của hàm x[k]. Hàm trọng số này là h[k], chỉ đơn giản
là thay đổi bởi lượng n. Khi n thay đổi, hàm trọng số
nhấn mạnh các phần khác nhau của hàm đầu vào. Một
Về mặt hình thức, các tín hiệu DT được nghiên cứu hầu cách tương đương, đáp ứng của hệ thống đối với một
như luôn luôn là các phiên bản lấy mẫu đồng đều của xung tại n = 0 là một bản sao đảo ngược “thời gian” của
tín hiệu CT. Nếu x(t) là một tín hiệu CT, thì mộtbộ hàm trọng số không dịch chuyển. Khi h[k] là zero cho
chuyển đổi từ analog sang kỹ thuật số sẽ chuyển đổi tất cả số âm k, hệ thống được gọi là nhân quả.
nó thành tín hiệu DT:
Trong đó T là chu kỳ lấy mẫuperiod. Việc giới hạn dải
tần số trong tín hiệu đầu vào để thể hiện chính xác
trong tín hiệu DT là rất quan trọng, vì định lý lấy mẫu
đảm bảo rằng không có thông tin về tín hiệu CT bị mất.
Một tín hiệu DT có thể chỉ chứa một dải tần số bằng
1/(2T ) ; các tần số khác bịlàm méo (qui) về dải lấy mẫu.

1.3.2

Đáp ứng xung và tích chập

1.3.3 Hàm mũ là hàm đặc trưng
Một hàm đặc trưng là một hàm mà đầu ra của các toán
hạng có hàm tương đương, chỉ thay đổi bởi một lượng
tỉ lệ. Trong các biểu tượng,

Hf = λf

trong đó f là hàm đặc trưng và λ là is véc tơ riêng, một
Cho {x[m − k]; m} thể hiện chuỗi {x[m-k]; đối với tất hằng số.
cả các giá trị nguyên của m}.
Hàm mũ z n = esT n , trong đó n ∈ Z , là hàm đặc
bất biến. T ∈ R
And let the shorter notation {x} represent {x[m]; m}. trưng của toán tử tuyến tính, thời gian
khoảng thời gian lấy mẫu, và z = esT , z, s ∈ C . Một
Một hệ thống rời rạc biến đổi một chuỗi đầu vào, {x} ví dụ đơn giản minh họa khái niệm này.
thành một chuỗi đầu ra, {y}. Tổng quát, mọi thành
n
phần của đầu ra có thể phụ thuộc vào mọi thành phần Cho đầu vào là x[n] = z . Đầu ra của hệ thống với
của đầu vào. Biểu diễn phép toán biến đổi này bởi O , đáp ứng xung h[n] sẽ là
chúng ta có thể viết:
là tương đương với tính chất giao hoán sau của tích
Lưu lý rằng trừ phi biến đổi này tư nó thay đổi theo n, chập
chuổi đầu ra chỉ là hằng số, và hệ thống là đơn điệu. chỉ phụ thuộc vào tham số z.
(Do đó chỉ số dưới, n.) Trong một hệ thống điển hình,
Do đó z n là một hàm đặc trưng của một hệ thống LTI
y[n] hầu như phụ thuộc phần lớn vào thành phần x,
bởi vì đáp ứng của hệ thống đó là tương đương với đầu
thành phần có chỉ số gần như n.
vào nhân với hằng số H(z) .
Trong trường hợp đặc biệt của hàm delta Kronecker,
x[m] = δ[m], chuỗi đầu ra là đáp ứng xung:
Đối với một hệ thống tuyến tính, O phải thỏa mãn:

1.3.4 Biếu đổi Z và biến đổi Fourier thời
gian rời rạc

Và thời gian bất biến yêu cầu là:
Trong một hệ thống như vậy, đáp ứng xung, {h}, mô tả
đặc điểm của hệ thống hoàn toàn. Tức là, đối với bất kỳ
chuỗi đầu vào nào, chuỗi đầu ra có thể được tính toán
trong điều kiện của đầu vào và đáp ứng xung. Để xem
điều này được thực hiện như thế nào hãy xem đồng

uộc tính riêng của hàm mũ là rất hữu ích cho cả việc
phân tích và nghiên cứu sâu vào các hệ thống LTI. Biến
đổi Z
chính là cách để lấy véc tơ riêng từ đáp ứng xung. Đặc
biệt là đối với các tín hiệu thuần sin, nghĩa là hàm mũ có


1.4. GHI CHÚ

5

dạng ejωn , trong đó ω ∈ R . Biểu thức này cũng có thể
viết lại theo z n với z = ejω . Điều này thường được gọi
là hàm mũ phức ngay cả khi argument chỉ toàn là phần
ảo. Biến đổi Fourier thời gian rời rạc (DTFT) H(ejω ) =
F{h[n]} cho các véc tơ rieng của hàm sin chuẩn. Cả
H(z) và H(ejω ) đều được gọi là hàm hệ thống, đáp ứng
hệ thống, hoặc hàm truyền.

nhân quả bằng cách thêm các trễ thì không quan trọng.
Ta thậm chí có thể làm cho các hệ thống IIR phi nhân
quả.[3] Các hệ thống không ổn định có thể được xây

dựng và có thể hữu ích trong nhiều tình huống. Ngay
cả hệ thống không thực cũng có thể được xây dựng và
rất hữu ích trong nhiều trường hợp.

Biến đổi Z thường được sử dụng trong bối cảnh của các
tín hiệu một chiều, tức là tín hiệu mà zero cho tất cả
các giá trị của t nhỏ hơn so với một số giá trị. ông
thường, “thời gian bắt đầu” này được thiết lập bằng
không, để thuận tiện và không mất tính tổng quát. Biến
đổi Fourier được sử dụng để phân tích các tín hiệu trong
phạm vi vô tận.

Tính nhân quả
Một hệ thống LTI thời gian rời rạc là nhân quả nếu giá
trị hiện tại của đầu ra chỉ phụ thuộc vào giá trị hiện tại
và giá trị quá khứ của đầu vào.,[4] Một điều kiện cần và
đủ cho tính nhân quả là

trong đó h[n] là đáp ứng xung. Không thể tổng quát
Do tính chất tích chập của cả hai biến đổi này, tích khi xác định quan hệ nhân quả từ biến đổi Z, vì biến
chập cung cấp đầu ra của hệ thống có thể được biến đổi nghịch đảo là không duy nhất. Khi một vùng hội tụ
đổi thành một phép nhân trong miền biến đổi. Đó là,
được xác định, thì quan hệ nhân quả có thể được xác
Cũng như với biến đổi Laplace của hàm truyền trong định.
phân tích hệ thống thời gian liên tục, biến đổi Z làm
cho việc phân tích các hệ thống dễ dang hơn và hiểu
sâu hơn về hành vi của chúng. Người ta có thể nhìn
vào các mô đun hàm hệ thống |H(z)| để xem liệu đầu
vào z^n được thông qua (cho qua) bởi hệ thống, hoặc
bị từ chối hoặc bị suy giảm bởi hệ thống (không cho

qua).

1.3.5

Các ví dụ

• Một ví dụ đơn giản của một toán tử LTI là toán tử
def
trễ D{x[n]} = x[n − 1] .
• D (c1 .x1 [n] + c2 .x2 [n]) = c1 .x1 [n − 1] +
c2 .x2 [n−1] = c1 .Dx1 [n]+c2 .Dx2 [n] (nghĩa
là nó là tuyến tính)

Tính ổn định
Một hệ thống là giới hạn đầu vào, ổn định giới hạn
đầu ra (ổn định BIBO) nếu, với mỗi đầu vào bị chặn,
đầu ra là hữu hạn. Về mặt toán học, nếu
có nghĩa là
(nghĩa là, nếu đầu vào bị chặn bao gồm cả đầu ra bị
chặn, nghĩa là các giá trị tuyệt đối lớn nhất của x[n]
và y[n] là có giới hạn), thì hệ thống đó là ổn định. Một
điều kiện cần và đủ là đáp ứng xung h[n] , thỏa mãn
• Một ví dụ đơn giản của một bộ điều khiển LTI là
def
hàm trễ D{x[n]} = x[n − 1] .
• D (c1 x1 [n] + c2 x2 [n]) = c1 x1 [n − 1] +
c2 x2 [n − 1] = c1 Dx1 [n] + c2 Dx2 [n] (có
nghĩa là tuyến tính)

• D{x[n − m]} = x[n − m − 1] = x[(n − 1) −

m] = D{x}[n − m] (nghĩa là nó là thời gian
bất biến)

• D{x[n − m]} = x[n − m − 1] = x[(n − 1) −
m] = D{x}[n − m] (có nghĩa là thời gian
bất biến)

Biến đổi Z của toán tử trễ là một phép nhân
đơn giản bởi z −1 . Đó là,
• Một toán tử LTI đơn giản khác là toán tử trung
bình

Độ ổn định
Trong miền tần số,vùng hội tụ phải chứa vòng tròn đơn
vị (nghĩa là, quỹ đạo nghiệm số phải thỏa mãn |z| = 1
với z là số phức).

1.3.6

Ví dụ

1.3.7

Các thuộc tính quan trọng của hệ
thống
1.4

Các đặc tính đầu vào-đầu ra của hệ thống thời gian rời
rạc LTI hoàn toàn được mô tả bởi đáp xung h[n]. Một
số thuộc tính quan trọng nhất của một hệ thống là tính

nhân quả và ổn định. Không giống như các hệ thống
CT, các hệ thống phi nhân quả DT có thể được thực
hiện. Làm cho một hệ thống FIR phi nhân quả thành

Ghi chú

[1] Hespanha 2009, p. 78.
[2] Crutchfield, p. 1.
[3] Vaidyanathan,1995
[4] Phillips 2007, p. 508.


6

CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH THỜI GIAN BẤT BIẾN

1.5 Xem thêm
• Ma trận luân hoàn
• Đáp ứng tần số
• Đáp ứng xung
• Phân tích hệ thống
• Hàm xanh
• Đồ thị dòng tín hiệu

1.6 Tham khảo
• Phillips, C.l., Parr, J.M., & Riskin, E.A (2007).
Signals, systems and Transforms. Prentice Hall.
ISBN 0-13-041207-4.
• Hespanha,J.P. (2009). Linear System eory.
Princeton university press. ISBN 0-691-14021-9.

• Crutchfield, Steve (ngày 12 tháng 10 năm
2010), “e Joy of Convolution”, Johns Hopkins
University, retrieved November 21, 2010
• Vaidyanathan, P. P.; Chen, T. (May 1995).
“Role of anticausal inverses in multirate
filter banks — Part I: system theoretic
fundamentals”. IEEE Trans. Signal Proc.
43 (6): 1090. Bibcode:1995ITSP…43.1090V.
doi:10.1109/78.382395.

1.7 Đọc thêm


Chương 2

Vẻ đẹp của toán học
• Chứng minh bằng cách biến đổi một cách ngạc
nhiên một kết quả từ những định lý tưởng chừng
như không có mối liên hệ gì với bài toán.

2.1 Nét đẹp qua các con số
1. Phép nhân

• Chứng minh bằng một phương pháp hay hướng đi
hoàn toàn mới mẻ.

12345679 x 09 = 111.111.111
12345679 x 18 = 222.222.222

• Chứng minh theo một phương pháp tổng quát, từ

đó có thể giải quyết được nhiều bài toán tương tự
khác.

12345679 x 27 = 333.333.333
12345679 x 36 = 444.444.444
12345679 x 45 = 555.555.555

Trong công việc nghiên cứu một cách chứng minh
thanh nhã, các nhà toán học đi theo nhiều con đường
chứng minh khác nhau để dẫn tới kết quả, cách chứng
minh đầu tiên chưa chắc đã là cách chứng minh hoàn
hảo nhất. Định lý Pytago, a2 = b2 + c2 , là một ví dụ
điển hình vì nó có rất nhiều các cách chứng minh được
đưa ra.

12345679 x 54 = 666.666.666
12345679 x 63 = 777.777.777
12345679 x 72 = 888.888.888
12345679 x 81 = 999.999.999
2. Bình phương
1x1=1

Một ví dụ khác là Định lý tương hỗ bậc II (quadratic
reciprocity), riêng Carl Friedrich Gauss đã đưa ra trên
10 cách chứng minh khác nhau cho định lý này. Định
lý tương hỗ phát biểu:

11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321

Nếu tồn tại một số nguyên x và các số nguyên dương
n, p, q sao cho xn = q (mod p) , q được gọi là phần dư
bậc ''n'' của p khi và chỉ khi xn = q (mod p) có khả
năng tìm được nghiệm x.

11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321

Định lý tương hỗ (hay định lý nghịch đảo) là sự liên hệ
giữa "q là phần dư bậc n của p" và "p là phần dư bậc
n của q". Viết theo ký hiệu của Lâm Đức Chung là: pq
và pq . Với trường hợp n = 2, gọi là Định lý tương hỗ
bậc II, được Gauss đưa ra chứng minh hoàn thiện lần
đầu tiên. Gauss đồng thời cũng giải quyết với trường
hợp n = 3, gọi là Định lý tương hỗ bậc III, sử dụng dạng
nguyên a + bβ , trong đó β là nghiệm của phương trình
x2 + x + 1 = 0 và a', b là các số nguyên hữu tỉ.

11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321

2.2 Nét đẹp qua các công thức
2.3 Nét đẹp trong các phương pháp
chứng minh

Gauss có gợi ý với trường hợp n = 4 (Định lý tương hỗ
bậc IV), sử dụng số nguyên Gaussian (một số nguyên
Gaussian là một số phức có dạng a + bi, trong đó a và

b là các số nguyên).

Các nhà toán học miêu tả các phương pháp chứng minh
của mình một cách thanh nhã. Phụ thuộc vào nội dung
Phần chứng minh tổng quát, với bậc n là số nguyên
của bài toán, họ có thể:
tố, được đưa ra bởi Ferdinand Eisenstein trong những
• Chứng minh bằng việc sử dụng một cách ít nhất năm 1844–1850, và Ernst Eduard Kummer trong những
các giả thiết hay kết quả ban đầu.
năm 1850–1861. Và định lý tương hỗ dạng tổng quát với
7


8

CHƯƠNG 2. VẺ ĐẸP CỦA TOÁN HỌC

mọi n được chứng minh bởi Emil Artin vào những năm
1920, do đó, định lý này còn gọi là Định lý tương hỗ
Artin.

tỷ số của các vòng quỹ đạo của các hành tinh trong hệ
Mặt Trời đã được sắp xếp bởi bàn tay ượng đế, ứng
với năm khối Platonic đồng tâm, mỗi quỹ đạo nằm trên
Nhà toán học người Hung Paul Erdős thì tưởng tượng mặt cầu ngoại tiếp của một đa diện và mặt cầu nội tiếp
rằng ượng đế có một cuốn sách chứa tất cả những các của một đa diện khác. Vì chỉ có đúng 5 khối Platonic
chứng minh đẹp đẽ nhất trong toán học. Mỗi khi Erdos nên giả thuyết của Kepler chỉ cung cấp 5 quỹ đạo hành
muốn miêu tả một cách chứng minh độc đáo, ông đều tinh, và nó đã bị bác bỏ với sự phát hiện ra Sao iên
nói “Cách chứng minh ấy nằm trong cuốn sách này đó". Vương, hành tinh thứ bảy.
Ngược lại, các kết quả từ suy luận lôgic, chứa các bước Paul Erdos thì biểu lộ quan điểm của mình về sự không

tính tỉ mỉ, không được xếp vào hàng các cách chứng thể diễn tả được của toán học khi ông nói rằng "Tại sao
minh thanh nhã, mà gọi là các chứng minh khó coi hay các con số lại mang một vẻ đẹp? Nó giống như việc hỏi
thô kệch. Ví dụ những cách chứng minh phụ thuộc vào tại sao bản Giao hưởng số 9 của Beethoven lại đẹp. Nếu
việc giới hạn các trường hợp riêng biệt, như phương bạn không nhận ra nó thì người khác không thể nói cho
pháp vét cạn được sử dụng trong chứng minh Định lý bạn được. Tôi biết các con số là đẹp. Chúng mà không
đẹp thì chẳng có thứ gì là đẹp nữa."
bốn màu.

2.4 Nét đẹp trong các kết quả tìm
ra
Các nhà toán học nhận ra cái đẹp trong các kết quả của
bài toán, như việc nó liên hệ giữa hai lĩnh vực toán học,
mà với cái nhìn đầu tiên ta sẽ cho rằng chúng hoàn toàn
không có mối liên hệ gì với nhau. Những kết quả như
này được coi là độc đáo và sâu sắc.
Một trong những kết quả sâu sắc đó chính là biểu thức
Euler eix = cosx + isinx , được Richard Feynman cho
là “công thức đặc biệt nhất trong toán học”.

2.6 Bức tranh nghệ thuật của toán
học
2.7 Xem thêm
• Gian nan con đường đi tìm lời giải bài toán Fermat

2.8 Tham khảo
2.9 Liên kết ngoài

Một ví dụ khác chính là định lý Taniyama-Shimura,
định lý này được phát biểu một cách ngắn gọn như sau: Tiếng Anh:
“mọi đường cong ellip trên tập Q đều là modular”. Nó

là cầu nối quan trọng giữa đường cong ellip, một khái
• Is Mathematics Beautiful?
niệm trong hình học đại số, và các dạng modular, là
những hàm holmorphic tuần hoàn được miêu tả trong
• Links Concerning Beauty and Mathematics
lý thuyết số. Tên gọi của định lý này bắt nguồn từ
• Mathematics and Beauty
giả thuyết Taniyama-Shimura, còn phần chứng minh
được hoàn thành bởi Andrew Wiles, Christophe Breuil,
• e Beauty of Mathematics
Brian Conrad, Fred Diamond và Richard Taylor.
• Justin Mullins

2.5 Nét đẹp trong sự bí ẩn

• Edna St. Vincent Millay (poet): Euclid alone has
looked on beauty bare

• e method for transformation of music into
Một số nhà toán học biểu lộ niềm tin về toán học
an image through numbers and geometrical
như với những thuyết thần bí. Tiêu biểu là nhóm
proportions
Pythagoras, họ là những nhà toán học và triết gia sống
ở những năm 582–496 trước công nguyên, là những
• Terence Tao, What is good mathematics?
người “khai sinh ra các con số" và tin tưởng một cách
xác thực về các con số này. Họ tin vào sự tuyệt đối của
Tiếng Việt:
các con số, do đó đã không chấp nhận việc Hippasus

chứng minh sự tồn tại của số vô tỉ.
• Lịch sử toán học-Những phát minh
Còn Galileo Galilei, một nhà vật lý nổi tiếng thì cho
rằng “Toán học là ngôn ngữ mà ượng đế đã viết lên vũ
trụ".
Một nhà vật lý khác là Johannes Kepler tin tưởng rằng


2.10. NGUỒN, NGƯỜI ĐÓNG GÓP, VÀ GIẤY PHÉP CHO VĂN BẢN VÀ HÌNH ẢNH

9

2.10 Nguồn, người đóng góp, và giấy phép cho văn bản và hình ảnh
2.10.1

Văn bản

• Lý thuyết hệ thống tuyến tính thời gian bất biến Nguồn: />87_th%E1%BB%91ng_tuy%E1%BA%BFn_t%C3%ADnh_th%E1%BB%9Di_gian_b%E1%BA%A5t_bi%E1%BA%BFn?oldid=26598552 Người
đóng góp: AlleinStein, Dinhxuanduyet, DangTungDuong, AlphamaBot, TuanminhBot, Én bạc AWB, Tantdvnu và Một người vô danh
• Vẻ đẹp của toán học Nguồn: />E1%BB%8Dc?oldid=26359773 Người đóng góp: Mxn, DHN, Mekong Bluesman, Bunhia, Nguyễn anh ang, Trung, Avia, aisk,
Newone, DHN-bot, ijs!bot, VolkovBot, Amirobot, Volga, D'ohBot, Vutrung lhp, TuHan-Bot, ZéroBot, WikitanvirBot, Cheers!-bot,
AlphamaBot, Hugopako, Addbot, Arc Warden, itxongkhoiAWB, K9re11, Tuanminh01, TuanminhBot, Trantrongnhan100YHbot,
ubt87 và 6 người vô danh

2.10.2

Hình ảnh

• Tập_tin:E-to-the-i-pi.svg Nguồn: Giấy phép: CC BY 2.5
Người đóng góp: No machine-readable source provided. Own work assumed (based on copyright claims). Nghệ sĩ đầu tiên: No machinereadable author provided. Dermeister assumed (based on copyright claims).

2.10.3

Giấy phép nội dung

• Creative Commons Aribution-Share Alike 3.0