Vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải một số dạng bài toán ở môn đại số lớp 8

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUAN HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ
DẠNG BÀI TOÁN Ở MÔN ĐẠI SỐ LỚP 8

Người thực hiện: Lê Văn Khâm
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Hiền Kiệt
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2017


MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài

Trang 4

1.2. Mục đích nghiên cứu

Trang 4

1.3. Đối tượng nghiên cứu

Trang 4

1.4. Phương pháp nghiên cứu

Trang 5

1.5. Những điểm mới của SKKN

Trang 5

2. NỘI DUNG SKKN
2.1. Cơ sở lí luận

Trang 5

2.2. Thực trạng

Trang 6

2.3. Các giải pháp

Trang 7

2.4. Hiệu quả của SKKN

Trang 17

3. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận

Trang 18

3.2. Kiến nghị

Trang 18

Tài liệu tham khảo

Trang 19

2


1. MỞ ĐÂU
1.1. Lí do chọn đề tài
Toán học là môn học hết sức quan trọng ở các trường phổ thông, học tốt
bộ môn toán sẽ giúp học sinh học tốt các môn học khác. Hơn nữa chương
trình toán THCS là những viên gạch đặt nền móng đầu tiên cho cả quá trình
học tập sau này. Nhưng thực trạng hiện nay cho thấy, học sinh học tốt bộ môn
toán ở trường THCS Hiền Kiệt nói riêng và học sinh vùng sâu, vùng xa của
huyện Quan Hóa nói chung chiếm tỉ lệ rất thấp, đa số các em rất ngại, thậm trí
là sợ học toán. Vì vậy, không những chất chất lượng đại trà môn toán thấp
mà còn kéo theo nhiều môn học khác cũng thấp, đặc biệt là các môn học
thuộc ban khoa học tự nhiên.
Xuất phát từ lòng thương yêu học sinh như con em của mình và lương
tâm của một người thầy giáo. Tôi thực sự băn khoăn, trăn trở trước những khó
khăn, chán nản của học sinh khi học môn toán. Bởi vậy trong quá trình giảng
dạy tôi luôn học hỏi đồng nghiệp và tìm tòi những phương pháp thích hợp để
giúp các em học sinh học tốt môn toán và yêu thích môn toán hơn. Với mong
muốn nâng cao chất lượng dạy - học tại đơn vị. Vì vậy năm học 2016–2017
tôi mạnh dạn áp dụng chuyên đề “Vận dụng phương pháp phân tích đa
thức thành nhân tử để giải một số dạng toán ở môn đại số lớp 8” nhằm

nâng cao chất lượng học bộ môn toán lớp 8 nói riêng và cũng như môn toán
nói chung cho học sinh nhà trường.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Với những lí do trên ở đề tài này bản thân mong muốn:
- Không những củng cố kiến thức đã học như: những hằng đẳng thức
đáng nhớ, cộng, trừ, nhân, chia đa thức, phép toán chia hết,… mà còn muốn
rèn luyện kỹ năng phân tich đa thức thành nhân tử cho học sinh, bước đầu
làm quen với phương pháp giải phương trình tích (các em sẽ được học ở học
kỳ II), đồng thời thông qua chuyên đề này giúp học sinh phân loại một số
dạng toán thường gặp ở lớp 8 và phương pháp giải, từ đo hình thành kỹ năng ,
rèn luyện tính chính xác, phát triển tư duy, tính tự lập, chủ động trong học
tập, tự tin vào bản thân, yêu thích môn học, từ đó nâng cao chất lượng giáo
dục tại địa phương.
- Thông qua việc dạy thực nghiệm đề tài này bản thân cũng tìm hiểu
sâu hơn nội dung chương trình, nâng cao trình độ chuyên môn, đúc rút kinh
nghiệm trong quá trình giảng dạy, đồng thời có điều kiện trao đổi với bạn bè
đồng nghiệp, từ đó rút ra phương pháp dạy học đạt hiệu quả cao nhất.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải một số
dạng toán ở môn đại số lớp 8.
Đối tượng áp dụng là học sinh lớp 8B trường THCS Hiền Kiệt.
3


1.4. Phương pháp nhiên cứu
Đề tài này được hoàn thành trên phương pháp thống kê tổng hợp, quan
sát, phân tích nguyên nhân và phương pháp thực nghiệm sư phạm.
1.5. Những điểm mới của SKKN
SKKN “Vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để
giải một số dạng toán ở môn đại số lớp 8” được phát triển từ SKKN từ “một

số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” mà bản thân đã áp dụng
giảng dạy năm học 2012 – 2013. Điểm mới của SKKN này là vận dụng việc
phân tích các đa thức thành nhân tử để giải các bài toán liên quan, qua đó
củng cố kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận
Đặc điểm của lứa tuổi THCS là muốn tự mình khám phá, tìm hiểu trong
quá trình nhận thức. Các em có khả năng điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn
sàng tham gia các hoạt động học tập khác nhau nhưng cần phải có sự hướng
dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của thầy cô giáo. Hình thành
tính tích cực, tự giác, chủ động và đồng thời phát triển năng lực tự học của
học là một quá trình lâu dài, kiên nhẩn và đòi hởi người giáo viên phải có
phương pháp phù hợp, để phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động và năng
lực tự học của học sinh. Trong quá trình giảng dạy, giáo viên phải hướng dẫn
học sinh:
- Tìm ra phương pháp nghiên cứu giải quyết vấn đề, khắc phục các tư
tưởng rập khuôn, máy móc.
- Có khả năng ghi nhớ và kỹ năng vận dụng kiến thức đã học vào việc
giải các bài toán liên quan.
- Có kĩ năng phát hiện những kiến thức liên quan với nhau, phân loại
các dạng bài toán và phương pháp giải.
Là giáo viên có nhiều năm công tác tại trường THCS Hiền Kiệt, nên
bản thân tôi hiểu rất rõ chất lượng học sinh tại nhà trường, phải thẳng thắn
nhìn nhận rằng chất lượng học sinh tại nhà tương đối thấp, đặc biệt là môn
toán. Đối với môn toán học, đa số các em chỉ rừng lại ở mức độ biết, một
số ít học sinh đạt được mức độ hiểu, còn khả năng vận dụng đối với các em
gần như không có. Qua tìm hiểu nguyên nhân cho thấy, địa bàn trường trực
thuộc vùng xâu, vùng xa của huyện Quan Hóa, học sinh đa số là con em
đồng bào dân tộc thái, điều kiện kinh tế còn khó khăn; trình độ dân trí thấp,
nên việc đầu tư về vật chất cũng như thời gian cho con cái học tập chưa

cao; ngoài giờ đến lớp các em còn phải giúp đỡ bố mẹ các công việc gia
đình, không có thời gian để tự học; sự quan tâm kèm cặp con cái của phụ
huynh còn rất nhiều hạn chế; ý thức học tập của một số em chưa cao,
phương pháp học tập chưa phù hợp, dẫn đến chất lượng học tập của học
4


sinh còn thấp, vì thế hầu hết các em sợ học môn toán. Đây cũng là điều mà
bản thân luôn luôn tôi luôn trăn trở, cố gắng tìm tòi phương pháp giảng
dạy, đặc biệt là đưa các chuyên đề, phân loại dạng toán để học sinh có thể
nhận biết và giải những bài tập mang tính vận dụng từ đó giúp học sinh tự
tin hơn trong học tập.
Tuy nhiên việc xác định nội dung kiến thức nào là cần thiết cho học
sinh thì đòi hỏi người giáo viên đánh giá chính xác mực độ nhận thức, đồng
thời qua một chuyên đề có thể củng cố được nhiều kiến thức cho học sinh.
Trong quá trình giảng dạy tôi thấy việc vận dụng kiến thức phân tích đa
thức thành nhân tử có vai trò quan trọng trong nội dung chương trình đại số
lớp 8, vì vậy tôi chọn nội dung này để dạy thử nghiệm. Ở chuyên đề này tôi
không đi vào dạy các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (học
sinh đã được học) mà là vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử để giải các toán liên quan, qua đó vừa được cũng cố kiến thức, rèn
luyện kỹ năng phân tích đa thức mà còn có thể phân loại được một số dạng
bài toán ở chương trình lớp 8 và phương pháp giải.
Rút kinh nghiệm từ năm học 2015–2016, năm học 2016-2017 tôi đã
đưa đề tài: “Vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
để giải một số dạng toán ở môn đại số 8” vào giảng dạy thực nghiệm ở
lớp 8B. Bản thân chọn lớp 8B dạy thử nghiệm bỡi vì tôi nhận thấy rằng học
sinh lớp 8B học yếu hơn học sinh lớp 8A, từ đó mới thấy được hiệu quả
của đề tài và rút kinh nghiệm trong qua trình giảng dạy của bản thân.
Trên cơ sở trên, bản thân mạnh dạn viết đề tài này đề cùng đồng nghiệp

chia sẻ và cho ý kiến, bản thân tôi luôn lăng nghe ý kiến chia sẻ của đồng
nghiệp, từ đó sẽ hoàn thiện hơn đề tài.
2.2. Thực trạng
Khảo sát ở hai lớp 8A, 8B năm học 2016–2017 tại nhà trường về nội
dung kiến thức “Phân phân tích đa thức thành nhân tử” cho thấy chất lượng
học sinh là tương đối thấp.
Giỏi
Sĩ số
Lớp
học sinh SL TL

Khá

T. bình

Yếu

SL

TL

SL

TL

SL

TL

Kém

SL

TL

8A

33

0

0

3

9,1

18

54,
5

9

27,2

3

9,2

8B

34

0

0

2

5,8

10

29,4

15

44,1

7

20,7

Qua việc chấm bài làm cùa học sinh và trực tiếp giảng dạy, tôi nhận thấy:
- Việc ghi nhớ công thức toán học của học sinh là máy móc.

5


- Việc vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ, phương pháp phân

tích đa thức thành nhân tử là rất hạn chế, chỉ mới dừng lại ở những bài toán
đơn giản,... chưa có khả năng vận dụng giải các bài toán liên quan.
- Học sinh ngại học môn toán. Nhất là đối với học sinh vùng xâu, vùng
xa, khi mà nhận thức của đại đa số các em còn nhiều hạn chế.
Học hết chương trình đại số 8, học sinh đã được học rất nhiều định
nghĩa, định lý, công thức toán học…., đặc biệt là những hằng đẳng thức đang
nhớ, các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, …. Tuy nhiên đa số các
em mới chỉ biết vận dụng giải các bài tập đơn giản (triển khai hằng đẳng thức
theo chiều thuận), phân tích đa thức mới dừng lại phương pháp đặt nhân tử
chung, việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải một
số dạng bài toán liên quan gần như các em không có kỹ năng này. Thậm trí đối
với đa sô học sinh việc cộng, trừ, nhân, chia đa thức còn gặp nhiều khó khăn.
Để giải quyết thực trạng trên, tôi đã áp dụng đề tài: “Vận dụng
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải một số dạng toán ở
môn đại số 8” vào đối tượng học sinh lớp 8B để dạy thử nghiệm.
2.3. Các giải pháp
a) Đối với học sinh
- Yêu cầu học sinh nắm vững cách cộng, trừ, nhân, chia đa thức, ghi
nhớ các hằng đẳng thức đáng nhớ, các phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử, ...
- Dành nhiều thời gian cho học môn toán, đọc thêm các tài liệu tham
khảo, vận dụng các công thức toán học vào thực tế đời sống,…
b) Đối với giáo viên
- Sử dụng một bài toán điển hình và nhóm thành từng dạng để học sinh
dể nhận biết.
- Rèn luyện khả năng tư duy cho học sinh, đặc biệt là khả năng phân
tích bài toán, phân tích đa thức thành nhân nhân tử. Vận dụng các hằng đẳng
thức một cách linh hoạt.
- Rèn luyện cho học sinh khả năng tự học, tự nghiên cứu, tính chính
xác, khoa học, động viên khuyến khích học sinh học tập, từ đó khơi dậy tính

sáng tạo và yêu thích môn học.
Trong quá trình giảng dạy tôi đã sử dụng một số bài toán điển hình, nhằm
thông qua bài toán này để dạy các phương pháp phân tích khác nhau, để học
sinh có thể so sánh, khắc sâu và ghi nhớ được các phương pháp phân tích đó.
c) Tổ chức thực hiện
Cơ sở lý thuyết
Những hằng đẳng thức đáng nhớ
6


1. (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
2. (A – B)2 = A2 – 2AB + B2
3. A2 – B2 = (A - B)(A + B)
4. (A + B)3= A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
5. (A – B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
6. A3 + B3 = (A+B)(A2 - AB + B2)
7. A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)
8. (A + B + C) = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC
Các phương pháp phân tích đa thành nhân tử:
- Phương pháp đặt nhân tử chung:
AB + AC - AD = A(B + C - D)
- Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ.
- Phương pháp nhóm nhiều hạng tử.
- Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp.
- Phương pháp đặt ẩn phụ.
- Phương pháp thêm bớt hạng tử.
- Phương pháp hệ số bất định,…
Vận dụng cơ sở lý thuyết trên. Giáo viên hướng dẫn học sinh vận dụng
vào để giải một số bài toán liên quan đến các phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử.

Dạng 1: Tính nhanh
Phương pháp giải:
Phân tích biểu thức cần tính nhanh ra thừa số rồi tính.
Ví dụ 1: Tính nhanh
a) 732 - 272
b) 372 – 132
c) 20022 - 22

[1]

Hướng dẫn: Phân tích vế biểu thức thành nhân tử bằng cách dùng hằng
đẳng thức “hiệu của hai bình phương”; thực hiên phép nhân số nguyên.
Giải
a) 732 - 272 = (73 – 27)(73 + 27) = 46 . 100 = 4600
b) 372 – 132 = (37 – 13)(37 + 13) = 24 . 50 = 1200
c) 20022 - 22 = (2002 – 2)(2002 + 2) = 2000 . 2004 = 4008000
7


Ví dụ 2: Tính nhanh
a) 37,5 . 6,5 – 7,5 . 34 – 6,6 . 7,5 + 3,5 . 37,5
b) 452 + 402 – 15 2 + 80 . 45 [1]

Hướng dẫn: Phân tích biểu thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử
chung, nhóm hạng tử (câu a); nhóm hạng tử rồi dùng hai hằng đẳng thức bình
phương một tổng và hiệu hai bình phương (câu b).
Giải
a) 37,5 . 6,5 – 7,5 . 3,4 – 6,6 . 7,5 + 3,5 . 37,5
= (37,5 . 6,5 + 3,5 . 37,5) – (– 7,5 . 3,4 + 6,6 . 7,5)
= 37,5(6,5 + 3,5) – 7,5( 3,4 + 6,4)

= 37,5 . 10 – 7,5 . 10
= 375 – 75
= 3000
b) 452 + 402 – 152 + 80 . 45
= (452 + 2 . 40 . 45 + 40 2) – 152
= (45 + 40)2 – 152
= 852 - 152
= (85 – 15)(85 + 15)
= 70 . 100
= 7000
Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức
Phương pháp giải
- Trước hết phân tích đa thức thành nhân tử
- Thay giá trị của biến vào biểu thức đã phân tích
Ví dụ 3: Tính nhanh
a) x2 +

1
1
x+
với x = 49,75
2
16

b) x2 – y2 – 2y – 1 với x = 93, y = 6
Hướng dẫn:
- Phân tích biểu thức thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức:
bình phương một tổng (câu a); nhóm hạng tử và dùng hai hằng đẳng thức bình
phương của một tổng và hiệu hai bình phương (câu b).
- Thay giá trị x, y vào để tính.

Lưu ý: không được thay trực tiếp vào biểu thức để tính.
8


Giải
2

2

1
1
1
1
1

a) x + x +
= x2 + 2 . x . +   =  x +  = ( x + 0,25) 2
2
16
4
4
4

2

Với x = 49,75 thì:
(x + 0,25)2 = (49,75 + 0,25) 2 = 502 = 2500
b) x2 – y2 – 2y – 1 = x2 – (y2 + 2y + 1)
= x 2 – (y + 1) 2
= (x – y – 1)(x + y + 1)

Với x = 93, y = 6 thì :
(x – y – 1)(x + y + 1) = (93 – 6 – 1)(93 + 6 + 1) = 86.100 = 8600
Ví dụ 4:
Tính giá trị của biểu thức sau:
a) 15.91,5 + 150.0,85
b) 5x5(x – 2z) + 5x5(2z – x) với x = 1999 ; y = 2000 ; z = - 1 [1]
Hướng dẫn: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử
chung, nhóm nhiều hạng tử.
Giải
a) 15 . 91,5 + 150 . 0,85
= 15 . 91.5 + 15 . 8,5 = 15(91,5 + 8,5) = 15 . 100 = 1500
b) 5x5(x – 2z) + 5x5(2z – x) = 5x 5(x – 2z + 2z – x) = 5x 5 . 0
Với x = 1999; y = 2000; z = - 1 thì: 5x 5 . 0 = 0
Dạng 3: Tìm x thỏa mãn đẳng thức đã cho (phương trình tích)
Phương pháp giải
- Chuyển vế tất cả các số hạng về vế trái của đẳng thức, vế phải bằng 0
- Phân tích vế trái thành nhân tử để được dạng A . B = 0 suy ra: A = 0
hoặc B = 0.
- Lần lượt tìm x từ các đẳng thức A = 0, B = 0 ta tìm được kết quả. [2]
Ví dụ 5:
Tìm x biết:
a) 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0
b) x3 – 13x = 0

[1]

Hướng dẫn: Phân tích vế trái thành nhân tử bằng phương pháp nhóm
nhiều hạng tử; vận dụng tính chất A . B = 0 suy ra: A = 0 hoặc B = 0
9

Giải
a) 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0
⇒ 5x(x – 2000) – (x – 2000) = 0
⇒ (x – 2000)(5x – 1) = 0
⇒ x – 2000 = 0 hoặc 5x – 1 = 0

x - 2000 = 0 x = 2000


1
5x - 1 = 0 x = 5
Vậy x = 2000 hoặc x =

1
5

b) x3 – 13x = 0
⇒ x(x2 – 13) = 0
⇒ x(x -

13 )(x +

13 ) = 0

x = 0 hoặc x - 13 = 0 hoặc x + 13 = 0

x = 0

x - = 0 ⇒ x = 13


x + = 0 ⇒ x = - 13
Vậy x = 0 hoặc x = 13 hoặc x = - 13
Ví dụ 6:
Tìm x biết:
a) 2 – 25x2 = 0
b) x2 – x +

1
=0
4

[1]

Hướng dẫn: Tương tự ví dụ 5
Giải
a) 2 – 25x2 = 0
⇒ ( 2 - 5x)(

2 + 5x) = 0

2 - 5x = 0 hoặc

2 + 5x = 0


 2 - 5x = 0 ⇒ - 5x = - 2 ⇒ x =


 2 + 5x = 0 ⇒ 5x = - 2 ⇒ x = 

2
5
2
5
10


2
2
hoặc x = 5
5

Vậy x =

b) x2 – x +
⇒ (x -

1
=0
4

1 2
) =0
2

⇒ x-

1
=0

2

⇒ x=

1
2

Ví dụ 7: Tìm x biết
a) x(x – 2) + x – 2 = 0
b) 5x(x – 3) - x + 3 = 0
c) (2x – 1) 2 – (x + 3)2 = 0
Hướng dẫn: Phân tích vế trái thành nhân tử bằng các phương pháp
nhóm nhiều hạng tử; hàng đẳng thức đáng nhớ.
Giải
a) x(x – 2) + x – 2 = 0
⇒ x(x – 2) + (x – 2) = 0
⇒ (x – 2)(x + 1) = 0

x – 2 = 0 hoặc x + 1 = 0

x - 2 = 0 ⇒ x = 2

x + 1 = 0 ⇒ x = - 1
Vậy x = 2 hoặc x = - 1
b) 5x(x – 3) - x + 3 = 0
⇒ 5x(x – 3) – (x – 3) = 0
⇒ (x – 3)(5x – 1) = 0

x – 3 = 0 hoặc 5x – 1 = 0

x - 3 = 0 ⇒ x = 3


1
5x
1
=
0
⇒
x
=

5
Vậy x – 3 hoặc x =

1
5
11


c) (2x – 1) 2 – (x + 3)2 = 0
⇒ (2x -1 – x – 3)(2x – 1 + x + 3) = 0
⇒ (x – 4)(3x + 2) = 0

x – 4 = 0 hoặc 3x + 2 = 0

x - 4 = 0 ⇒ x = 4


2

3x + 2 = 0 ⇒ x = - 3
Vậy x = 4 hoặc x = -

2
3

Dạng 4: Áp dụng vào chứng minh tính chia hết trong số học
Phương pháp giải
- Phân tích đa thức chia thành nhân tử sao cho xuất hiện số chia
- Áp dụng tính chất nếu số nguyên a chia hết cho số nguyên b nếu có số
nguyên q sao cho a = q.b.
[2]
Ví dụ 8:
Chứng minh rằng 55 n + 1 – 55n chia hết cho 54 (với n là số tự nhiên) [2]
Hướng dẫn: Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử và sử dụng tính
chất chia hết
Giải
Ta có 55n + 1 – 55n = 55n(55 – 1) = 54.55 n chia hết cho 54 với mọi n
Ví dụ 9:
Chứng minh rằng (5n + 2) 2 – 4 chia hết cho 5 với mọi n ∈ Z.

[1]

Hướng dẫn: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách
hạng tử và nhóm nhiều hạng tử; sử dụng tính chât chia hết.
Giải
Ta có (5n + 2) 2 – 4 = (5n + 2 – 2)(5n + 2 + 2) = 5n(5n + 4) chia hết cho
5 với mọi n ∈ Z
Ví dụ 10: Chứng minh rằng với mọi n ∈ Z
a) n3 – n chia hết cho 6

b) n3 -13n chia hết cho 6
c) n5 – 5n3 + 4n chia hết cho 120
d) n3 – 3n2 – n + 3 chia hết cho 48 với n lẻ [2]
Hướng dẫn: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp, đặt nhân
tử chung, tách hạng tử và nhóm nhiều hạng tử; sử dụng tính chât chia hết
12


Giải
a) n3 – n = n(n2 – 1) = n(n – 1)(n + 1).
Vì n – 1, n, n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp nên có ít nhất một số chia hết
cho 2 và có một số chia hết cho 3 nên tích:
n(n – 1)(n + 1) chia hết cho 2.3 = 6 vì (2,3) = 1.
Vậy n3 – n chia hết cho 6.
b) n3 -13n = (n3 – n) – 12n
Theo câu a thì n 3 – n chia hết cho 6; 12n chia hết cho 6 nên (n 3 – n) –
12n chia hết cho 6 hay n 3 -13n chia hết cho 6.
c) n5 – 5n3 + 4n = n5 – n3 – 4n3 + 4n
= n3(n2 – 1) – 4n(n2 – 1)
= n(n2 – 1)(n2 – 4)
= n(n – 1)(n + 1)(n – 2)(n + 2) là tích của 5 số nguyên
liên tiếp.
Trong 5 số nguyên liên tiếp có ít nhất hai số là bội của 2 (trong đó có
một số là bội của 4, nên có tích hai số là bội của 8), một số là bội của 3, một
số là bội của 5. Do đó tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 8 . 3 . 5 =
120 (vì 3, 5, 8 là ba số đôi một nguyên tố cùng nhau).
Vậy n5 – 5n3 + 4n chia hết cho 120.
d) n3 – 3n2 – n + 3 = n2(n – 3) – (n – 3)
= (n – 3)(n2 – 1)
= (n – 3)(n – 1)(n + 1)

Vì n lẻ nên ta đặt n = 2k + 1 thay vào ta có (k ∈ Z)
(2k – 2)2k(2k + 2) = 8k(k – 1)(k + 1) 8
Mặt khác k(k – 1)(k + 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên k(k – 1)
(k + 1)  6.
Vậy chia hết cho 48
Dạng 5: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn đẳng thức cho trước
Phương pháp giải
- Phân tích một vế của đẳng thức thành tích của hai thừa số, vế còn lại
là một số nguyên n.
- Phân tích số nguyên n thành tích hai thừa số bằng tất cả các cách, từ
đó tìm các cặp số (x, y) tương ứng.
Ví dụ 11: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn một trong các đẳng
thức sau:
13


a) x + y = xy

b) xy – x + 2(y – 1) = 13[2]

Hướng dẫn: Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
bằng cách tách hạng tử, nhóm nhiều hạng tử.
Giải
a) Ta có: x + y = xy ⇒ xy – x - y = 0
⇒ x(y – 1) – (y – 1) = 1
⇒ (y – 1)(x – 1) = 1 mà 1 = 1.1 = ( -1)(- 1) nên ta có:

y −1 = 1
 y − 1 = −1
hoặc 


 x − 1 = −1
x − 1 = 1
y = 2
y = 0
⇒ 
hoặc 
x = 0
x = 2

Vậy các cặp số (x, y) cần tìm là (0, 0) hoặc (2, 2)
b) xy – x + 2(y – 1) = 13
⇒ x(y – 1) + 2(y – 1) = 13
⇒ (y – 1)(x + 2) = 13 mà 13 = 1.13 = 13.1 = (- 1)(- 13) = (- 13)(-

1) nên ta có:
x + 2 = 1 x + 2 = 13 x + 2 = −1 x + 2 = −13
;
;
;

y −1 = 13 y −1 = 1 y −1 = −13 y −1 = −1

Hay
x =−1 x =11 x =−3 x =−15
;
;
;

y

=
14
y
=
2
y
=
−
12



y =0

Vậy các cặp số nguyên (x,y) cần tìm là: (- 1 , 14); (11 , 2); (- 3 , -12);
(-15 , 0)
Dạng 6: Chứng minh đẳng thức
Phương pháp giải
- Phân tích đa thức thành nhân tử của vế trái để đưa đẳng thức về dạng
tích bằng 0.
- Xét từng thừa số bằng 0 rồi chứng minh đẳng thức, nhiều trường hợp
phải dùng đến đặt ẩn phụ.
Ví dụ 11: Chứng minh rằng nếu a 3 + b3 + c3 = 3abc thì a = b = c hoặc
a+b+c=0

[2]

Hướng dẫn: Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ phân tích đa thức thành
nhân tử.
Giải

14


a3 + b3 + c3 = 3abc ⇒ a3 + b3 + c3 - 3abc = 0.
Ta có: b3 + c3 = (b + c)(b 2 + c2 - bc)
= (b + c)[(b + c) 2 – 3bc]
= (b + c)3 – 3bc(b + c)
a3 + b3 + c3 - 3abc = a3 + (b + c)3 – 3bc(b + c) – 3abc
= (a + b + c)[a 2 – a(b + c) + (b + c) 2] – 3bc(a + b + c)
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
Do đó, nếu a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 thì a + b + c = 0, hoặc:
a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca = 0 hay (a – b) 2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0.
Suy a = b = c.
Ví dụ 12: Chứng minh rằng
(b – c)3 + (c – a)3 + (a – b)3 = 3(a – b)(b – c)(c – a)
Hướng dẫn : Sử dụng đặt ẩn phụ, hằng đẳng thức đáng nhớ phân tích đa
thức thành nhân tử
Giải
Đặt x = b – c, y = c – a, z = a = b. Áp dụng ví dụ 11 ta có :
x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x 2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) = 0
(vì x + y + z = 0).
⇒ x3 + y3 + z3 = 3xyz, điều phải chứng minh.

BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Tính nhanh (dạng 1)
a)

43 2 − 112
(36,5) 2 − ( 27,5) 2

97 3 + 833
− 97.83 [2]
b)
180

Bài 2. Tính giá trị của biểu thức (dạng 2)
a) A = x(2x – y) – z(y – 2x) với x = 1,5 ; y = 2 ; z = 1,8
b) B = (x – 1)x2 – 4x(x – 1) + 4(x – 1) với x = 4
Bài 3. Tìm x biết (dạng 3)
a) (2x – 1) 2 – 16 = 0
b) 8x2 – 32x = 0
c) (x – 3)(x2 + 2x + 7) + 2(x 2 – 9) – 5(x – 3) = 0
d) 2(x + 3) – x 2 – 3x = 0
15


e) 4x2 – 25 – (2x – 5)(2x + 7) = 0
Bài 4. Chứng minh rằng (dạng 4)
a) 29 – 1 chia hết cho 73
b) 56 – 104 chia hết cho 9

[2]

Bài 5. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì (dạng 4)
a) (n + 3)2 – (n – 1) 2 chia hết cho 8
b) (n + 6) 2 – (n – 6) 2 chia hết cho 24
c) n2 + 4n + 3 chia hết cho 8 với n lẻ
d) n3 + 3n2 – n – 3 chia hết cho 48 với n lẻ [2]
Bài 6. Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn (dạng 5)
a) y(x – 2) + 3x – 6 = 2

b) xy + 3x – 2y – 7 = 0
c) xy – x + 5y – 7 = 0
Bài 7. Cho a + b + c = 0, chứng minh các đẳng thức sau (dạng 6)
a) a3 + b3 + c3 = 3abc
b) 2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a 2 + b2 + c2)
c) (a2 + b2 + c2)2 = 2(a4 + b4 + c4)

[2]

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Quan quá trình giảng dạy và kiểm tra khảo khát ở hai lớp 8A và 8B để
kiểm nghiệm hiệu quả của đề tài sau khi tôi vận dụng giảng dạy trong năm
học 2016–2017, kết quả như sau:
Giỏi

Khá

T. bình

Yếu

Kém

Lớp

Sĩ số
học sinh

SL

TL

SL

TL

SL

TL

SL

TL

SL

TL

8A

33

0

0

3

9,1

18

54,5

9

27,2

3

9,2

8B

34

2

5,8

10

29,4

15

44,1

5

14,7

2

6

Nhìn vào kết quả cũng như rút ra được từ quá trình giảng dạy tôi nhận
thấy rằng:
- Đa số học sinh ở lớp 8B đã đạt mức độ nhận thức hiểu, một số học sinh
đã biết vận dụng phương pháp phân tích thành nhân tử để giải được các bài tập
liên quan, không máy móc dập khuôn như trước nữa.

16


- Qua đề tài tôi thấy học sinh đã có hứng thú đối với phân môn đại số, các
em đã mạnh dạn hơn khi tiếp cận kiến thức, vì vậy giờ toán không còn nhàm
chán như trước nữa.
- Qua đề tài tôi nhận thấy một số em đã biết vận dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử một cách chính xác, lập luận để giải các bài tập
liên quan.
3. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Việc dạy học là một quá trình lâu dài và thường xuyên, không thể nói
nâng cao chất lượng là ta có thể nâng cao được ngay chất lượng học sinh, nhất là
đối với học sinh miền núi. Vì vậy trong sáng kiến kinh nghiệm này bản thân
cũng không mong muốn có thể làm thay đổi hoàn toàn chất lượng học sinh. Tuy
nhiên ở một góc độ nào đó sáng kiến kinh nghiệm này cũng mạng lại một hiệu
quả nhất định đối với học sinh nhà trường cũng như giúp bản thân tôi rút ra được
rất nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy. Đề tài này chỉ là một mảng kiến thức rất

nhỏ trong phân môn đại số, tuy nhiên cái đạt được lớn nhất mà bản thân tôi nhận
thấy, đó chính là giúp học sinh tự tin hơn khi học phân môn đại số nói riêng và
môn toán nói chung.
Vì vậy tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm này để cùng bàn bè, đồng
nghiệp chia sẻ. Trong quá trình biên soạn nội dung, soạn thảo văn bản, trình bày
sẽ có nhiều thiếu sót, rất mong được sự góp ý xây dựng của bạn bè đồng nghiệp
và các cấp quản lý.
3.2. Đề xuất
Với sáng kiến kinh nghiệm của tôi, tôi có một số kiến nghị như sau:
* Về phía giáo viên:
Giáo viên cần định hướng rõ về phương pháp, nội dung, kiến thức của
từng tiết học liên quan đến đơn vị kiến thức đó. Điều đó phải được thể hiện chi
tiết trong các bước soạn giảng, phương án giảng dạy. Giáo viên chủ động xây
dựng hệ thống bài tập thực hành phù hợp với nội dung của bài dạy. Nắm chắc
nội dung, phương pháp giảng dạy thì giáo viên sẽ chủ động trong việc tổ chức
cho học sinh chủ động tiếp thu kiến thức, tạo tâm thế hứng thú cho học sinh khi
tham gia vào các tiết học của phân môn đại số. Ngoài ra, giáo viên cũng cần phải
tham khảo để nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ.
* Về phía các cấp quản lý:
Nhà trường: Đề nghị Ban Giám hiệu có kế hoạch đầu tư kinh phí cho tủ
sách tham khảo thêm phong phú để giáo viên và học sinh có thể được tham khảo.
Tạo quỹ thời gian để giáo viên có thể áp dụng vào thực tế giảng dạy ở cả khối.
Xin trân trọng cảm ơn!
17


XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Hiền Kiệt, ngày 10 tháng 4 năm 2017

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của minh
viết không sao chép nội dung của người khác

Lê Văn Khâm
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 . Sách giáo khoa toán 8 tập 1
Nhóm tác giả: Phan Đức Chính - Tôn Thân - Vũ Hữu Bình - Trần Đình
Châu – Ngô Hữu Dũng – Phan Gia Đức – Nguyễn Duy Thuận
Nhà xuất bản xuất bản giáo dục, xuất bản năm 2009
2. Các dạng toán và phương pháp giải toán 8 tập 1;
Nhóm tác giả: Tôn Thân - Vũ Hữu Bình - Nguyễn Vũ Thanh – Bùi Văn
Tuyên
Nhà xuất bản giáo dục; xuất bản năm 2011

18


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Lê Văn Khâm.
Chức vụ và đơn vị công tác:Giáo viên – Trường THCS Hiền Kiệt

TT

Tên đề tài SKKN

Kết quả

Cấp đánh
đánh giá Năm
học
giá xếp loại
xếp loại đánh giá xếp
(Phòng, Sở,
(A, B, loại
Tỉnh...)
hoặc C)

1

Một vài phương pháp dạy học
Phòng GD
thông qua một bài toán

C

2010 - 2011

2

Một số phương pháp phân tích
Phòng GD
đa thức thành nhân tử

B

2012 - 2013

B

2014 - 2015

Sử dụng công thức tính diện tích
tam giác để giải một số dạng bài
3 toán hình học lớp 8”
Phòng GD

19