Dạy học sinh khai thác, phát triển một số bài toán trong chương i đại số 8

Môc lôc
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.

Trang 2

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Trang 4

2.1. Cơ sở lí luận.
2.2. Thực trạng.
2.3. Giải pháp thực hiện.
2.4. Biện pháp tiến hành.

Trang 4

Trang 2
Trang 3
Trang 3
Trang 3

Trang 4
Trang 6
Trang 6

2.4.1. Khai thác bài toán phân tích đa thức thành nhân tử để giá
Trang 6

trị của một biểu thức là số nguyên tố.
2.4.2. Khai thác và phát triển bài toán phân tích đa thức thành
Trang 7
nhân tử để chứng minh chia hết, số chính phương.
2.4.3. Khai thác và phát triển bài toán phân tích đa thức thành
Trang 9
nhân tử để giải phương trình nghiệm nguyên:
2.4.4. Khai thác và phát triển bài toán phân tích đa thức thành
nhân tử để chứng minh bất đẳng thức từ đó vận dụng giải bài Trang 11
toán tìm giá trị nhỏ nhất
2.4.5. Khai thác phát triển chia hai đa thức một biến
Một số bài tập phát triển:
2.5 Hiệu quả của sáng khiến kinh nhiệm.
3 - KẾT LUẬN.
3.1. Kết quả nghiên cứu.
3.2. Kiến nghị, đề xuất.
* Tài liệu tham khảo

Trang 12
Trang 13
Trang 17
Trang 18
Trang 18
Trang 19
Trang 20

1


1. MỞ ĐẦU:

1.1. Lí do chọn đề tài:
Nâng cao chất lượng dạy học nói chung và môn Toán nói riêng, nhất là
chất lượng mũi nhọn là một việc không hề dễ dàng hiện nay đối với một số
trường khu vực nông thôn, “vùng trũng”, xa trung tâm huyện, điều kiện kinh tế
khó khăn, trình độ dân trí thấp. Điều này, được minh chứng rất rõ qua các kì thi
khảo sát chất lượng, thi vào lớp 10 và đặc biệt là thi chọn học sinh giỏi văn hóa
cấp huyện hàng năm.
Nâng cao chất lượng đại trà, bồi dưỡng mũi nhọn là một vấn đề có tính
chiến lược và vô cùng cần thiết ở nhà trường THCS. Bởi đây là cấp học “trung
gian”, các em được trang bị một hệ thống kiến thức và kĩ năng cơ bản để học
xong cấp học này các em có thể vận dụng vào lao động sản xuất, học nghề và
tiếp tục học ở bậc THPT.
Đối với môn Toán, nó có vai trò không nhỏ, góp phần tạo điều kiện cho các
em học tốt các môn học khác. Nhưng dạy học như thế nào để học sinh không
những nắm kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà còn giải quyết được các bài
toán khó trong chương trình. Để giúp người học nắm kiến thức môn học có tính hệ
thống và hiểu được bản chất của vấn đề. Đây là việc đặt ra cho mỗi giáo viên dạy
Toán. Nhất là việc giải các bài toán mang tính vận dụng đòi hỏi người học phải
nắm vững những hệ thống kiến thức cơ bản và khả năng vận dụng linh hoạt , đặc
biệt là các công cụ toán học, các kĩ năng khi thực hiện việc giải toán. Trong giải
toán học sinh phải biết nhận dạng và từ đó nhanh chóng đưa ra cách giải phù hợp.
Để làm được điều này, một trong những cái mà trong dạy học người dạy hướng cho
học sinh cách khai thác và phát triển một bài toán.
Việc khai thác và phát triển một bài toán được thể hiện rất đa dạng và phong
phú, nhất là ở tiết luyện tập, ôn tập, và nó cũng là một hoạt động trong dạy học
Toán. Nhưng nhiều giáo viên chưa chú trọng tới(!). Vì vậy mà khi giải một số bài
toán khó học sinh hay lúng túng, không tìm ra cách giải hoặc giải được nhưng mất
quá nhiều thời gian.
Chính vì lẽ đó trong quá trình giảng dạy đặc biệt là bồi dưỡng học sinh khá,
giỏi toán , tôi nhận thấy đây là điểm quan trọng mà mỗi học sinh cấp THCS nên

biết để vận vào việc giải toán. Tôi mạnh dạn nêu lên vấn đề: “ Dạy học sinh khai
2


thác, phát triển một số bài toán trong chương I - Đại số 8". Đây chỉ là một phần
nhỏ trong toàn bộ chương trình dạy học Toán 8 của tôi.
Với đề tài này, tôi hi vọng sẽ giúp các em nắm vững kiến thức cơ bản của môn
học và có thêm một kĩ năng giải toán để làm nền tảng cho các em chuẩn bị cho các
lớp học cao hơn cũng như tự tin hơn trong các kì thi. Tuy vậy do khuôn khổ đề tài
cũng như kinh nghiệm còn nhiều hạn chế, chắc rằng còn gặp những thiếu xót không
mong muốn, rất mong nhận được sự góp ý xây dựng của quí đồng nghiệp.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Đề tài này tôi nghiên cứu để phục vụ cho công tác giảng dạy của bản thân và
sau đó là của các đồng nghiệp trong đơn vị, nhằm giúp các em học sinh nắm vững
kiến thức, có kĩ năng giải toán, phát triển tư duy, rèn luyện cho các em tính cẩn
thận, cần cù, sáng tạo, có niềm tin và hứng thú trong học tập, nghiên cứu. Qua đó
góp phần nâng cao hiệu quả dạy học, cải thiện chất lượng giáo dục của bản thân và
đơn vị.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
- Đề tài này tôi nghiên cứu “ Dạy học sinh khai thác, phát triển một số bài toán
trong chương I - Đại số 8", tính hiệu quả trong việc thực hiện đề tài.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu sơ sở lý thuyết về phương pháp giải toán phân tích đa thức thành
nhân tử, tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức, tìm dư của phép chia đa
thức cho đa thức, v.v…. Học sinh biết khai thác, phát triển một bài toán, nhận dạng,
quy lạ về quen, tương tự hoá,…khi làm toán.
- Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế: Trường tôi dạy thuộc một xã thuần nông,
trình độ dân trí thấp, điều kiện kinh tế khó khăn, chất lượng học tập còn thấp, nhất
là môn Toán được phản ánh rõ nhất qua điểm các bài kiểm tra định kì, kiểm tra học
kì, thi chọn học sinh giỏi huyện, thi vào lớp 10. Trong những năm huyện tổ chức thi

chọn học sinh giỏi lớp 8, kết quả đội tuyển của trường đạt được khá khiêm tốn (!).
Qua đó chúng tôi đã nghiêm túc phân tích số liệu, tìm ra nguyên nhân và giải pháp
cho thực trạng vấn đề.

3


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận:
Trên quan điểm của các Nghị quyết Đại hội của Đảng được cụ thể hoá trong
Luật Giáo dục: “Giáo dục trung học cơ sở nhằm giúp học sinh củng cố và phát triển
những kết quả của giáo dục tiểu học; có học vấn phổ thông ở trình độ cơ sở và
những hiểu biết ban đầu về kỹ thuật và hướng nghiệp để tiếp tục học trung học phổ
thông, trung cấp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động.” (Khoản 3, điều 27,
chương II, Luật Giáo dục – Nhà xuất bản Chính trị Quốc gia, năm 2006). Hay trong
Nghị quyết số 29 – NQ/TW ngày 04.11.2013 của Ban chấp hành Trưng ương khóa
XI về “ Đổi mới căn bản và toàn diện về giáo dục” có nêu “Đối với giáo dục phổ
thông, tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công
dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh.
Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống,
đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng
kiến thức vào thực tiễn. Phát triển khả năng sáng tạo, tự học,…” (mục 2. Mục tiêu
cụ thể”.
Đối với học sinh lớp 8, đặc điểm về tâm, sinh lí lứa tuổi các em muốn tìm
hiểu, khám phá, vươn lên để thể hiện mình. Trong những năm qua thực hiện đổi
mới phương pháp dạy học ở trường THCS đã có những chuyển biến tích cực góp
phần nâng cao hiệu quả và chất lượng dạy - học.
Từ những cơ sở trên đòi hỏi người thày luôn cần mẫn, nhiệt tình, sáng tạo
trong các hoạt động dạy học, không ngừng tích luỹ vốn kiến thức và kinh nghiệm
cho bản thân. Dạy dỗ thế nào để đem lại niềm vui, sự hứng thú học tập cho học

sinh, kích thích tính tò mò khoa học của các em, phát huy tính chủ động, tích cực,
sáng tạo của người học; phát triển tư duy, hình thành nhân cách cho học sinh…Xây
dựng “Trường học thân thiện, học sinh tích cực” để các em cảm nhận được “mỗi
ngày đến trường là một niềm vui”.
2.2. Thực trạng:
Trong quá trình giảng dạy, tham khảo ý kiến đồng nghiệp và qua phụ huynh
học sinh cũng như qua tìm hiểu các học sinh với nhau tôi nhận ra rằng: Đa số học
sinh học yếu toán là do hổng kiến thức, lười học, lười suy nghĩ, lười tư duy, học tập
dập khuôn, máy móc, tiếp thu kiến thức thụ động; các em không có phương pháp
học đúng đắn; một số giáo viên chưa thật sự tâm huyết, chưa chịu tìm tòi nghiên
cứu; các bài tập các em còn trình bày sơ sài, suy nghĩ giản đơn. Nhất là khi gặp
những bài khó các em rất lúng túng, bối rối, không biết nên bắt đầu từ đâu và làm
như thế nào, mặc dù đây là những bài tập mang tính vận dụng kiến thức cơ bản. Đó
là một thực trạng chung mà trong quá trình giảng dạy người giáo viên dễ nhận thấy
nơi học sinh. Trước vấn đề đặt ra đó đòi hỏi người giáo viên phải làm như thế nào?
4


Đây là một câu hỏi cần được trả lời đối với mỗi người đang trực tiếp giảng dạy trên
lớp.
Trong chưng trình Đại số 8, nhiều bài toán phải vận dụng nhiều kiến thức, kĩ
năng, trình bày chặt chẽ, logic. Từ chương I: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA
THỨC, phần bài tập sau mỗi tiết lí thuyết hay trong các tiết luyện tập và ôn tập
chương có thể khai thác và phát triển thành những bài tập khó, thường có trong các
đề thi chọn học sinh giỏi. Ví dụ: 1. Chứng minh rằng : x5 – x + 2 không là số
chính phương với mọi x ∈ Z+ (Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 8 năm học 2008 –
2009 của huyện Thọ Xuân, Thanh Hóa) . Bài này được phát triển từ bài 58 (trang
25 – SGK Toán 8 tập 1 – Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, năm 2010): Chứng
minh rằng: n3 – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n; 2. Tìm các số cặp số
nguyên(x, y) thỏa mãn: x + y = xy. Bài này được phát triển từ bài 47 và bài 48

(trang 22 – SGK Toán 8 – Tập một). 3. Tìm số nguyên a sao cho a 4 + 4 là số
nguyên tố (Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 8 năm học 2013 – 2014 của huyện Thủy
Nguyên, Hải Phòng và của huyện Việt Yên, Bắc Giang). Bài này được khai thác từ
bài 57d (trang 25 – SGK Toán 8 – Tập một): Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x4 + 4... Đó là một vài ví dụ cho thấy các bài tập trong đề thi không dễ dàng đối với
nhiều học sinh khi gặp phải. Nhưng nó lại được xuất phát từ những bài tập rất cơ
bản ở sách giáo khoa mà đa số học sinh làm được. Tôi luôn nghĩ một bài tập dù khó
đến đâu cũng không ngoài chương trình, kiến thức và phương pháp đã học. Chỉ có
điều chúng ta dạy các em như thế nào mà thôi.
Trong quá trình giảng dạy Toán 8 tôi nhận thấy năng lực học tập nơi các em
nhìn chung còn hạn chế, đặc biệt là kĩ năng khai thác, phát triển một bài toán. Bên
cạnh đó, phụ huynh chưa đầu tư nhiều và chưa có sự quan tâm đúng mực đối với
việc học tập của con em. Vì vậy việc học tập và nâng cao khả năng học tập môn
toán gặp không ít khó khăn. Chính vì lẽ đó hàng năm, thực tế cho thấy khả năng
tiếp thu, lĩnh hội môn toán nhất là các chuyên đề toán học nói chung cũng như vận
dụng giải toán với tỉ lệ khá giỏi chưa cao.
Đề tài này tôi tích luỹ, rút ra từ kinh nghiệm giảng dạy trong đó có sự định
hướng của các thày cô dạy tôi ở Đại học. Tôi đã triển khai ở nhiều năm học trước
đây (kết quả đạt được rất đáng khích lệ) và đang tiếp tục ở năm học 2016 - 2017
trong chương trình dạy học chính khóa cũng như ôn tập bồi dưỡng học sinh khá
giỏi ở trường. Kết quả kiểm tra khả năng tiếp thu khi chưa vận dụng cách khai thác,
phát triển một bài toán được kết quả như sau:
Điểm 9
Điểm 7 - 8 Điểm 5 - 6 Điểm 3 - 4 Điểm 0 - 2
Sỉ
-10
Lớp
Tổng
Tổng
Tổng

Tổng
số Tổng
%
%
%
%
%
số
số
số
số
số
8A

38

1

2,6

4

10,1

8

21,1

19

51,2

6

15,8
5


Từ thực trạng đó khiến tôi luôn băn khoăn suy nghĩ làm thế nào để học sinh
biết cách sử dụng một bài toán cơ bản, bài toán gốc để giải bài toán nâng cao một
cách linh hoạt, sáng tạo. Với trách nhiệm của người thày tôi thấy mình cần giúp các
em làm tốt hơn phần này.
2.3. Giải pháp thực hiện:
Trong chương I (Phép nhân và phép chia đa thức) kiến thức vô cùng quan
trọng. Nắm vững kiến thức của chương này mới học tốt chương trình tiếp theo
được. Và kiến thức của chương này còn là công cụ, ứng dụng để giải nhiều dạng bài
tập. Các bài tập SGK cơ bản các em làm được như: Nhân đơn thức với đa thức,
nhân đa thức với đa thức, vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để tính nhanh,
tính nhẩm, biết cách phân tích đa thức thành nhân tử, chia đa thức cho đơn thức,
chia hai đa thức một biến… Nhưng khi gặp một số bài toán khi bồi dưỡng học sinh
giỏi hay trong các đề thi các em gặp rất nhiều khó khăn, vướng mắc.
Mà thực ra những bài toán lại bắt đầu từ những bài toán rất cơ bản. Nếu ta vận
dụng được kiến thức cơ bản và hiểu bản chất của nó thì bài toán trở nên quen thuộc
dễ giải. Tất nhiên, điều đầu tiên để nâng cao được chất lượng dạy học thì người học
phải có hứng thú, có lòng say mê, ham học hỏi. Muốn vậy, hơn ai hết giáo viên
phải là người gây được hứng thú, tạo sự chú ý, tính tò mò khoa học nơi các em,
phải tác động làm thay đổi mạnh mẽ trong nhận thức của học sinh.
Người thày ngoài việc có kiến thức chuyên môn giỏi còn phải có phương pháp
truyền thu tốt, kĩ năng sự phạm, nhà tâm tâm lí học… thực sự yêu nghề, mến trẻ.
2.4. Biện pháp tiến hành

2.4.1. Khai thác bài toán phân tích đa thức thành nhân tử để giải bài toán tìm
điều kiện để giá trị của một biểu thức là số nguyên tố.
Ví dụ 1: (Bài 57d trang 25 - SGK Toán 8 tập một). Phân tích đa thức sau thành
nhân tử: x4 + 4.
Lời giải
4
4
2
Ta có: x + 4 = x + 4x + 4 - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2
= (x2 - 2x +2)(x2 + 2x +2).
Vậy, x4 + 4 = (x2 - 2x +2)(x2 + 2x +2).
Khai thác bài toán:
Vì (x2 - 2x +2) = (x - 1)2 + 1 ≥ 1 với mọi x
và (x2 + 2x +2) = (x +1)2 + 1 ≥ 1 với mọi x
6


nên x4 + 4 = (x2 - 2x +2)(x2 + 2x +2) chỉ có thể là số nguyên tố khi x nguyên và x 2 2x +2 =1 hoặc x2 + 2x +2 =1. Ta có thể khai thác bài toán trên rồi phát triển thành
các bài sau:
Bài 1. Cho A = x4 + 4. Tìm số nguyên x để A là số nguyên tố.
Bài 2. Cho M = a4 + 4. Tìm số tự nhiên a để M là số nguyên tố.
Bài 3. Cho M = a4 + 4. Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên a ≥ 2 thì M là
hợp số.
Lời giải:
1. (Sử dụng kết quả của bài toán gốc): A = x4 + 4 = (x2 - 2x +2)(x2 + 2x +2)
Có x ∈ Z => x2 - 2x +2 ∈ Z; x2 + 2x +2 ∈ Z .
Vì (x2 - 2x +2) = (x - 1)2 + 1 ≥ 1 với mọi x
và (x2 + 2x +2) = (x +1)2 + 1 ≥ 1 với mọi x
Do đó, A = x4 + 4 = (x2 - 2x +2)(x2 + 2x +2) là số nguyên tố thị x2 - 2x +2 =1 hoặc
x2 + 2x +2 =1.

Nếu x2 - 2x +2 =1 => x = 1 => A = 5 (thỏa mãn).
Nếu x2 + 2x +2 =1 => x = - 1 => A = 5 (thỏa mãn).
Vậy với x = 1 hoặc x = -1 thì A = x4 + 4 là số nguyên tố.
2.(Sử dụng kết quả của bài toán gốc): M = (a2 + 2a + 2)(a2 – 2a + 2).
Vì a là số tự nhiên nên (a2 + 2a +2) = (a+1)2 + 1 ≥ 2. Do đó, muốn M là số nguyên
tố thì phải có a2 – 2a + 2 = 1 => a =1. Khi đó M = 5 là số nguyên tố.
Vậy, với a = 1 thì M = a4 + 4 là số nguyên tố.
3. (Sử dụng kết quả của bài toán gốc): M = (a2 + 2a + 2)(a2 – 2a + 2)
Vì (a-1)2 + 1 ≥ 2 với mọi a ≥ 2 và (a+1)2 + 1 ≥ 10 với mọi a ≥ 2 nên M là hợp số.
(Lưu ý: Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó. Hợp
số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.)
2.4.2. Khai thác và phát triển bài toán phân tích đa thức thành nhân tử để
giải bài toán chứng minh chia hết, số chính phương:
Ví dụ 2. (Bài 58 trang 25 - SGK Toán 8 Tập một). Chứng minh rằng: n3 – n chia
hết cho 6 với mọi n ∈ Z.
Lời giải: Ta có : n3 – n = n(n -1)(n + 1) đây là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên tồn
tại ít nhất một số chia hết cho 2 và có một số chia hết cho 3 nên tích chia hết cho 6.
Khai thác và phát triển bài toán:
1. Vì n(n -1)(n + 1) M6 => n(n -1)(n + 1) ± (6k)n M6 (n, k ∈ Z).
Ta phát triển thành các bài toán:
7


Bài 1. Chứng minh rằng: n3 -13n chia hết cho 6 (với n ∈ Z).
Bài 2 Cho các số tự nhiên a1, a2, ....., a2016 có tổng bằng 20162017
3
3
3
Chứng minh rằng: a1 + a 2 +.....+ a 2016 chia hết cho 3.
Lời giải bài 2: Ta có: 2016M3 ⇒ 20162017 M3 ⇒ a1 + a2 + ..... + a2016 ( = 20162017)M3

3
3
3
Xét hiệu: A = ( a1 + a2 + ..... + a2016 ) – (a1 + a2 + ..... + a2016)
3
− a2016 )
= (a13 − a1 ) + ( a23 − a2 ) + ..... + ( a2016
Dễ thấy a3 – a = a(a – 1)(a + 1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia
hết cho 3. Suy ra: AM3
3
3
3
Mà a1 + a2 + ..... + a2016 M3 nên a1 + a2 + ..... + a2016 M3
Từ bài 2, ta có thể phát triển thành bài sau: Cho các số tự nhiên a1, a2, ....., a2016 có
3
3
3
tổng bằng 20162017. Chứng minh rằng: a1 + a 2 +.....+ a 2016 chia hết cho 6.
2. Vì n(n -1)(n + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6 => tích của
5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6 và 5 nên chia hết cho 30.
Phát triển thành các bài toán sau:
Bài 3. Chứng minh rằng: n5 - n chia hết cho 30 (với n ∈ Z).
Bài 4. Tìm số tự nhiên n để n5 - n + 2 là số chính phương.
Bài 5. Cho ba số a, b, c ∈ Z thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng: a 5 + b5 + c5
chia hết cho 30.
Đối với bài 1 và bài 3: Nhiều học sinh có thể làm được. Nhưng đối với bài 2 ,
bài 4 và bài 5, nó ở cấp độ cao hơn, khó hơn vì phải vận dụng nhiều kiến thức
và kĩ năng hơn.
Bài 4: Vì n5 - n + = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n+1)(n2- 4 + 5) = …
= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) + 5n(n-1)(n + 1) M5 nên có chữ số tận

cùng bằng 0 hoặc 5 . Do đó n5 - n + 2 có chữ số tận cùng bằng 2 hoặc 7. Không có
số chính phương nào có chữ số tận cùng bằng 2 hoặc 7=> n 5 - n + 2 không phải là
số chính phương.
Vậy không có số tự nhiên n nào để n5 - n + 2 là số chính phương.
Bài 5. Ta có: a5 + b5 + c5 = a5 + b5 + c5 – (a+b+c)
(vì a+b+c =0)
5
5
5
= (a – a)+(b – b)+(c – c) M30 ( theo kết quả bài 2)
mà a + b + c = 0 M30 nên a5 + b5 + c5 M30.
Và từ bài 2, bài 4 và bài 5 này chúng ta có thể khai thác phát triển thành nhiều bài
toán khác. Đó là điều thú vị. Nó gây hứng thú cho học sinh, kích thích tính sáng
tạo, sự tò mò khoa học, say mê cho người học.

8


2.4.3. Khai thác và phát triển bài toán phân tích đa thức thành nhân tử để
giải bài toán phương trình nghiệm nguyên:
Khi gặp các bài toán về phương trình nghiệm nguyên, học sinh thường “rất sợ”
(!). Bởi lẽ, phương trình nghiệm nguyên rất đa dạng và phong phú nó có thể là
phương trình một ẩn, nhiều ẩn hoặc có thể là phương trình bậc nhất hoặc bậc cao.
Không có cách giải chung cho mọi phương trình. Tuy nhiên với việc vận dụng kiến
thức của chương I này, chúng ta khai thác phát triển một số bài tập cơ bản trong
SGK để đưa các phương trình về “dạng tích” giải một số bài tập từ đơn giản đến
phức tạp, bước đầu cho các em làm quen, và từ đó hình thành một cách giải. Nó
góp một phần không nhỏ để các em học sinh vững tin hơn khi gặp dạng toán này.
Ví dụ 3. (Bài 53b. trang 25 - SGK Toán 8 Tập một). Phân tích đa thức sau
thành nhân tử: x2 + x – 6.

Lời giải: Ta có x2 + x – 6 = x2 - 2x + 3x – 6 = (x2 - 2x) + (3x – 6) =x(x -2) + 3(x-2)
= (x-2)(x+3).
Đối với bài toán này, trong SGK (tiết học lí thuyết) không nêu phương pháp phân
tích đa thức thành nhân tử. Vì vậy hơi khó cho học sinh diện đại trà. Nhưng SGK
đã gợi ý và giải mẫu (ở ý a bài 53 - SGK) nên học sinh dựa vào đó sẽ làm được. Và
bài toán không còn khó nữa. Vậy ta dạy học sinh khai thác gì ở bài toán này?
Như đã biết, (x-2)(x+3) nguyên nếu x nguyên. Do đó ta có thể phát triển thành bài
sau:
Bài 1. Tìm số nguyên x, thỏa mãn: x2 + x – 5 = 0.
Bài 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + x - 6 = y2.
Với bài 1, nhiều học sinh sẽ làm được, nhưng bài 2 không dễ dàng với đa số học
sinh.
Lời giải:
Bài 2. Ta có: x2 + x - 6 = y2 ⇔ 4x2 + 4x - 24 = 4y2 ⇔ (2x + 1)2 – 4y2 = 25
⇔ ( 2x – 2y + 1)(2x + 2y + 1) = 25
2x − 2 y + 1 = 1
2x − 2 y + 1 = 25
Suy ra: 
hoặc 
2x+2 y + 1 = 25
2x+2 y + 1 = 1
2x − 2 y + 1 = 5
2x − 2 y + 1 = −5
hoặc 
hoặc 
2x+2 y + 1 = 5
2x+2 y + 1 = −5
9

Giải các trường hợp trên và kết hợp với điều kiện x, y nguyên ta được các nghiệm
nguyên (x, y) là (6; 6); (6; -6) ; (2; 0); (- 3; 0).
Sau khi HS đã hiểu được cánh làm của bài tập 1, 2 ở trên ta có thể nâng cao hơn
cho HS luyện tập các bài sau:
Bài 3. Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình:
a) 2(x + y) + 5 = 3xy;

b) 2x2 + 3xy – 2y2 = 7;

c) x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2.

Lời giải:
a) Ta có: Ta có: 2( x + y ) + 5 = 3xy ⇔ 3 xy − 2 x − 2 y = 5
2
4
⇔ y (3 x − 2) − (3x − 2) = 5 + ⇔ (3 x − 2)(3 y − 2) = 19
3
3
Do x, y nguyên dương nên 3 x − 2 ≥ 1; 3 y − 2 ≥ 1 mà 19 = 1.19 = 19.1 nên ta có các
3 x − 2 = 1
3 x − 2 = 19
(II)
(I) hoặc 
khả năng sau: 
3 y − 2 = 1
3 y − 2 = 19
Giải các hệ phương trình trên, ta đươc 2 nghiêm nguyên của phương trình là
(x; y) ∈ { (1; 7); (7; 1)} .
b) Ta có 2x2 + 3xy – 2y2 = 7  2x2 + 4xy – xy -2y2 = 7
⇔ 2 x( x + 2 y) − y( x + 2 y) = 7 ⇔ (2 x − y)( x + 2 y) = 7

Vì x, y nguyên nên 2x-y, x+2y nguyên và là ước của 7
Mà 7 = 1.7 = (-1).(-7) = 7.1 = (-7).(-1)
Ta có bảng sau:
2x-y
x+2y
X
Y

1
7
1,8 (loại)
2,6 (loại)

-1
-7
-1,8 (loại)
-2,6 (loại)

7
1
3
-1

-7
-1
-3
1

Vậy nghiệm của phương trình là: ( x, y ) ∈ { (3; −1);(−3;1)} .
c) Ta có: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2⇔ x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1⇔ (x+1)4 – y2 = 1

⇔ [(x+1)2 –y][(x+1)2+y] =1.
Vì x, y nguyên dương nên (x+1)2 –y nguyên, (x+1)2+y nguyên và (x+1)2+y ≥ 5
Suy ra [(x+1)2 –y][(x+1)2+y] =1 vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên dương: ( x, y ) ∈ ∅ .
Qua các bài tập trên yêu cầu học sinh nêu nhận xét về cách làm, kiến thức vận
dụng. Đó là: Biến đổi phương trình về dạng: Vế trái là tích của của các đa thức
chứa ẩn, vế phải là tích của các số nguyên. Kiến thức vận dụng là phân tích đa
thức thành nhân tử kết hợp một số kĩ năng biến đổi.
10


4.4.4. Khai thác và phát triển bài toán phân tích đa thức thành nhân tử để
chứng minh bất đẳng thức từ đó vận dụng giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất
(GTNN), giá trị lớn nhất (GTLN) của một đa thức.
Ví dụ 4. (Bài 82. trang 33 - SGK Toán 8 Tập một). Chứng minh:
a) x2 – 2xy + y2 + 1 > 0 với mọi số thực x và y.
b) x – x2 – 1 < 0
với mọi số thực x.
Lời giải:
a) Ta có x2 – 2xy + y2 + 1 = (x – y)2 + 1. Vì (x-y)2 ≥ 0 nên (x – y)2 + 1 > 0 với
mọi x, y.
2
1 1 3
 2
1 3

x
−
2.
x

.
+
−
b) x – x – 1 = - (x - x) - 1 = 
= −  x − ÷ − < 0 với mọi x.
÷
2 4 4

2 4


2

2

Khai thác và phát triển bài toán trên:
Bài 1. a) Tìm GTNN của biểu thức: A = x2 – 2xy + y2 + 1.
b) Tìm GTLN của biểu thức: B = x – x2 – 1.
Vận dụng bài tập trên các em học sinh sẽ giải được bài này (nó ở mức độ vận dụng
thấp đối với học trung bình khá và khá; thông hiểu đối vớí học sinh giỏi)
Đáp số: a) Min A = 1  x = y;

b) Max B = -

3
1
x= .
4
2

Bài 2. Tìm GTNN của biểu thức:
a) M = x2 + 2y2 – 2xy - 4y + 2017;
b) N = a4 + 2a3 + 3a2 – 4a + 5.
Giải:
a) Ta có M = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y + 4 + 2013 = (x-y)2 + (y - 2)2 + 2013
Do (x-y)2 ≥ 0 ; (y - 2)2 ≥ 0
Nên:(x-y)2 + (y - 2)2 + 2013 ≥ 2013
Dấu ''='' xảy ra ⇔ x – y = 0 và y – 2 = 0 ⇔ x = y = 2.
Vậy GTNN của M là 2013 khi x = y =2.
b) Ta có Ta có N = a4 + 2a3 + 3a2 – 4a + 5 = a 2 (a 2 + 2) - 2a(a 2 + 2) + (a 2 + 2) + 3
= (a 2 + 2)(a 2 - 2 a+1) + 3 = (a 2 + 2)(a-1) 2 + 3
11


Vì a 2 + 2 > 0 ∀a và (a-1) 2 ≥ 0, ∀ a nên (a 2 + 2)(a-1) 2 ≥ 0, ∀a .
Do đó: (a 2 + 2)(a-1)2 + 3 ≥ 3∀a
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a − 1 = 0 ⇔ a = 1 .
Vây MinN = 3 khi a = 1.
2.4.5. Khai thác phát triển bài toán chia hai đa thức một biến:
Ví dụ 5. (Bài 74. trang 32 - SGK Toán 8 Tập một).
Tìm số a để đa thức f(x) = 2x3 – 3x2 + x +a chia hết cho đa thức x + 2.
Giải:
Cách 1. Xét giá trị riêng:
Ta có f(x) = 2x3 – 3x2 + x +a chia hết cho đa thức x +2 nếu có đa thức q(x) sao cho
q(x).(x +2) = f(x).
Vì g(x).(x +2) = f(x) đúng với mọi x nên khi x = -2, ta có:
f(-2) = 2.(-2)3 – 3.(-2)2 + (-2) + a = 0 => a = 30.
Vậy với x = 30 thì đa thức f(x) = 2x3 – 3x2 + x +a chia hết cho đa thức x + 2.
Cách 2. Đặt thành cột dọc:
Ta có:

3
2
2x
–
3x
+x +a
x +2
3
2
2x + 4x
2
2x2 – 7x + 15
- -7x + x + a
-7x2 – 14x
- 15x + a
15x +30
a-30
3
2
Để f(x) = 2x – 3x + x +a chia hết cho đa thức x + 2 thì a – 30 =0 => a = 30.

Khai thác và phát triển bài toán:
Bài 1.
Tìm a, b sao cho f(x) = ax3 + bx2 + 10x – 4 chia hết cho đa thức g(x) = x2 + x – 2.
Bài 2. Tìm dư khi chia f(x) = x + x3 + x9 + x27 cho g(x) = x2 – 1.
Bài 3. Tìm dư khi chia (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2014 cho đa thức x2 + 8x + 12
(Đề thi chon học sinh giỏi Toán lớp 8 – Phòng GD&ĐT Thọ Xuân – Năm học 2013 – 2014)
2
3
2

Lời giải: Bài 1. Ta có : g ( x ) = x + x − 2= ( x −1) ( x + 2 ) Vì f ( x ) = ax + bx + 10x − 4
2
chia hết cho đa thức g ( x ) = x + x − 2 .

12


Nên tồn tại một đa thức q(x) sao cho f(x)=g(x).q(x)
=> ax 3 + bx 2 + 10x − 4= ( x+2 ) . ( x-1) .q ( x ) đúng với mọi x. Do đó:
Với x=1 → a+b+6=0 → b=-a-6 ( 1)
Với x= -2 → 2a -b +6= 0
(2)
Thay (1) vào (2) . Ta tính được : a = 2 và b = 4.
3
2
Vậy với a = 2 và b = 4 thì đa thức f ( x ) = ax + bx + 10x − 4 chia hết cho đa thức
g ( x ) = x2 + x − 2 .
Bài 2.
Vì đa thức g(x) = x2 – 1 có bậc là 2, nên đa thức dư có dạng: r(x) = ax + b.
Gọi thương của phép chia trên là q(x), ta có:
f(x) = x + x3 + x9 + x27 = (x – 1)(x + 1).q(x) + ax + b
(*)
Đẳng thức (*) đúng với mọi x. Do đó : - Với x = 1 ta có :
a+b=4
(1)
- Với x = - 1 ta có : - a + b = -4 (2)
⇒
Từ (1) và (2)
b = 0 và a = 4
Vậy dư của phép chia x + x3 + x9 + x27 cho x2 – 1 là: 4x

Bài 3. Cách giải tương tự bài 2. ĐS: Dư 2009.
Qua các bài tập trên yêu cầu học sinh nêu khái quát về cách giải: Xét giá trị
riêng hoặc chia theo cột dọc.
- Khi gặp bài toán về chứng minh đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x) hoặc tìm
dư của phép chia f(x) cho g(x) học sinh thường làm theo cách “chia theo cột dọc”.
Cách này sẽ không khả thi khi f(x) có bậc cao. Vậy ta chú trọng cho học sinh giải
theo cách xét “giá trị riêng”. Tuy nhiên, khi giải một bài toán có nhiều cách, tùy
từng bài mà vận dụng linh hoạt.

Một số bài toán phát triển, nâng cao.
Bài 1. Cho biểu thức: A = n2 - 3n - 1

(n ∈ N )

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.
2. Tìm n để biểu thức A nhận giá trị là số chính phương.
(Đề thi học sinh giỏi lớp 8 năm học 2015 – 2016, Phòng GD&ĐT Thọ Xuân)
Bài 2. Cho a là một số tự nhiên và a > 1. Chứng minh rằng:
A = (a2 + a + 1)(a2 + a + 2) – 12 là hợp số
(Đề thi học sinh giỏi lớp 8 năm học 2013 – 2014, Phòng GD&ĐT Thủy Nguyên, HP)








3 2
2

7 với ∀n∈Z .
Bài 3. Chứng minh rằng A =  n (n − 7) − 36n M

13


(Đề thi học sinh giỏi lớp 8 năm học 2014 – 205, Phòng GD&ĐT Việt Yên, Bắc Giang).

Bài 4. a) Giải phương trình x2-y2+2x-4y-10=0 với x,ynguyên dương.
b) Tìm số tự nhiên n để: A=n3-n2+n-1 là số nguyên tố.
(Đề thi học sinh giỏi lớp 8 năm học 2008 – 2009, Phòng GD&ĐT Thọ Xuân)
Bài 5. a) Cho biểu thức A = 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 - a4 – b4 – c4. Chứng minh rằng
nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì A >0.
b) Chứng minh rằng : a5 và a có cùng chữ số tận cùng ( a ∈ Z ) .
(Đề thi học sinh giỏi lớp 8 năm học 2007 – 2008, Phòng GD&ĐT Tam Dương – Vĩnh
Phúc)

Bài 6. Cho đa thức P(x) = x2 + bx + c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết rằng
các đa thức

x4 + 6x2 + 25 và 3x4 + 4x2 + 28x + 5 đều chia hết cho P(x).

Tính P(-2).
Bài 7. a) Tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = x3 + ax 2 + bx + 2 chia cho đa
thức B(x) = x+1 còn dư 5 và chia cho C(x) = x + 2 còn dư 8.
b) Tìm đa thức dư cuối cùng của phép chia đa thức:
f(x) = 1+ x2014+ x2015+ x2016+ x2017 cho đa thức g(x) = 1- x2
Bài 8 .a) Tìm số dư trong phép chia (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 2017 cho đa thức
x2 + 10x+ 21;
b) Tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = x4 – 3x2 +ax + b chia hết cho

đa thức B(x) = x2 – 3x – 4.
Bài 9. Chứng minh rằng: ( xm + xn + 1 ) chia hết cho x2 + x + 1.
khi và chỉ khi ( mn – 2)  3.
Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: x7 + x2 + 1.
Bài 10. Tìm số tự nhiên n sao cho x2n + xn +1 chia hết cho x2 + x + 1.

Một số gọi ý và lời giải vắn tắt:
Bài 1. Ta có : A = n 2 − 3n − 1 = (n − 2) 2 + n − 5
- Vì n là số tự nhiên và (n - 2)2 luôn không âm nên khi n > 5 thì A > 0.
- Các trường hợp còn lại n ∈ { 0;1;2;3;4;5} thì tính được giá trị tương ứng của A là

A∈ { −1; −3; −3; −1;3;9}
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -3. Đạt được tại n = 1 và n = 2.
Giả sử tồn tại số tự nhiên n để biểu thức A là số chính phương. Đặt :
A = n 2 − 3n − 1 = y 2 (y ≥ 0) ⇔ 4n 2 − 12n − 4 = 4 y 2

14


⇔ (2n − 3) 2 − 13 = (2 y ) 2 ⇔ (2n − 3) 2 − (2 y) 2 = 13
⇔ (2n − 3 − 2 y )(2n − 3 + 2 y ) = 13
(*)
Vì ( 2n - 3 - 2y ) + ( 2n - 3 + 2y ) = 4n - 6 > 0 ( do n = 0, n = 1 đều không thỏa
mãn) và 2n - 3 - 2y < 2n - 3 + 2y ( do y ≥ 0 ) nên 2n - 3 + 2y > 0. Từ đó ta
 2n − 3 − 2 y = 1
n = 5
⇔
được : (*) ⇔ 
2n − 3 + 2 y = 13  y = 3
Vậy để A là số chính phương thì n ∈ { 5} .

Bài 2. Đặt x = a2 +a +1 ⇒ a2 +a +2 = x +1
A = x(x + 1) – 12 = x2 + x – 12 = (x +4)(x – 3)
Thay x = a2 +a +1 vào A ta có: A = (a2 +a +5) (a2 +a – 2)
Vì a ∈ N và a > 1 nên a là số tự nhiên. Ngoài ước là ± 1 và chính A, nó còn có thêm
2 ước là (a2 +a +5) và (a2 +a – 2)
Do đó A là hợp số.








3 2
2
Bài 3. Ta có: A =  n (n − 7) − 36n 

2
2
3
3



A = n  n( n − 7) − 6   n( n − 7) + 6  = n(n − 7n − 6)(n − 7n + 6)



= n(n3 − n − 6n − 6)(n3 − n − 6n + 6) = n  n(n2 −1) − 6(n + 1)   n(n 2 − 1) − 6(n − 1) 



(

)

(





)

= n(n + 1) n2 − n − 6 ( n −1) n2 + n − 6 = n ( n + 1) ( n + 2 ) ( n − 3) ( n − 1) ( n − 2 ) ( n + 3)
Do đó A là tích của 7 số nguyên liên tiếp => A M7 với ∀ n∈ Z .
Bài 4. a) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1)
Để A là số nguyên tố thì n-1=1 ⇔ n=2 khi đó A=5.
b) x2-y2+2x-4y-10 = 0 ⇔ (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0
⇔ (x+1)2-(y+2)2=7 ⇔ (x-y-1)(x+y+3) =7 Vì x, y nguyên dương
Nên x + y + 3 > x – y - 1 > 0 ⇒ x + y + 3 = 7 và x – y - 1=1 ⇒ x = 3 ; y=1
Phương trình có nghiệm dương duy nhất (x,y)=(3;1)
Bài 5. a) ) A = 2a 2 b 2 + 2b 2c 2 + 2a 2c 2 − a 4 − b 4 − c 4
= 4 a 2 b2 - ( 2a 2 b 2 − 2b 2c2 − 2a 2c2 + a 4 + b4 + c4 )
= (2ab)2 - ( a 2 + b 2 − c2 )2 = (2ab + a 2 + b2 − c2 )( 2ab - a 2 − b2 + c2 )
2
2
2
2
=  (a + b) − c   c − (a − b) 

15


= (a + b + c)(a + b − c)(c + a − b)(c − a + b)
Do a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác nên
a + b + c > 0;a + b − c > 0;c + a − b > 0;c − a + b > 0 ⇒ A > 0
b) Làm tương tự bài 3 mục b ở trên.
Bài 6. P(x) = x2 + bx + c, trong đó b và c là các số nguyên. Tìm hiệu: 3(x4 + 6x2 +
25) và 3x4 + 4x2 + 28x + 5 => đồng nhất hệ số => a = -2; b = 5. Rồi tính P(-2) = 5.
Bài 7. a) Tương tự bài 1, mục c;
b) Tương tự bài 2, mục c.
Bài 8. Tương tự bài 3, mục c
Bài 9. Đặt m = 3k + r với 0 ≤ r ≤ 2 ; n = 3t + s với 0 ≤ s ≤ 2
=> xm + xn + 1 = x3k+r + x3t+s + 1 = x3k xr – xr + x3t xs – xs + xr + xs + 1.
= xr( x3k –1) + xs ( x3t –1) + xr + xs +1
ta thấy: ( x 3k – 1)  ( x2 + x + 1) và ( x3t –1 )  ( x2 + x + 1)
vậy: ( xm + xn + 1)  ( x2 + x + 1)
<=> ( xr + xs + 1)  ( x2 + x + 1) với 0 ≤ r ; s ≤ 2
<=> r = 2 và s = 1 =>
m = 3k + 2 và n = 3t + 1
r = 1 và s = 2 =>
m = 3k + 1 và n = 3t + 2
<=> mn – 2 = ( 3k + 2) ( 3t + 1) – 2 = 9kt + 3k + 6t = 3( 3kt + k + 2t)
mn – 2 = ( 3k + 1) ( 3t + 2) – 2 = 9kt + 6k + 3t = 3( 3kt + 2k + t)
=> (mn – 2)  3 Điều phải chứng minh.
áp dụng: m = 7; n = 2 => mn – 2 = 12  3.
=> ( x7 + x2 + 1)  ( x2 + x + 1)
=> ( x7 + x2 + 1) : ( x2 + x + 1) = x5 + x4 + x2 + x + 1
Bài 10. Gợi ý: Vận dụng bài 9.

Nhận xét:
Sau khi giải quyết các bài toán ở dạng trên ta không thấy có vướng mắc gì lớn.
Bởi vì đó là toàn bộ những bài toán cơ bản mà đối với học sinh khá cũng không gặp
mấy khó khăn khi tiếp thu. Tuy nhiên đó là các cơ sở đầu tiên để từ đó chúng ta tiếp
tục nghiên cứu các dạng toán ở mức độ cao hơn, phức tạp hơn một chút trong
chương trình học. Đặc biệt, gieo được sự hứng thú, say mê học môn Toán cho học

16


sinh. Các em sẽ thấy môn Toán không còn khô khan, luôn tự tin và hình thành thói
quen nghiên cứu khoa học nơi các em học sinh.
2.5 . Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Với việc nghiên cứu đề tài về chuyên đề: Dạy học sinh khai thác và phát
triển các bài tập cơ bản trong sách giáo khoa ở các khối lớp bản thân trực tiếp giảng
dạy trong những năm qua tôi nhận thấy:
- Đối với bản thân: Được trau dồi, củng cố, kiến thức chuyên môn thêm vững
vàng, hệ thống kiến thức giữa chương này với chương khác, giữa lớp này với lớp
khác được gắn kết. Tạo được sự chuyển biến trong việc nâng cao chất lượng dạy
học, được học sinh mến phục và đồng nghiệp hưởng ứng.
- Đối với đồng nghiệp: Đây là một đề tài mà trong sinh hoạt chuyên môn
chúng tôi thường đưa ra để thảo luận. Khai thác và phát triển một bài toán được
ứng dụng rộng rãi trong các tiết và hơn nữa nó cũng dễ thực hiện, giáo viên nào
cũng có thể làm được, mang lại hiệu quả cao trong dạy học. Góp phần thúc đẩy
phong trào tự hay, say mê nghiên cứu của đồng nghiệp trong trường.
- Đối với học sinh: Việc đầu tiên là chất lượng được cải thiện, các em có vốn
kiến thức sâu rộng, có hệ thống. Các em thêm tự tin và có hứng thú học tập môn
Toán hơn, phát huy được tính chủ động, tích cực trong học tập, các em luôn say sưa
tìm tòi; rèn luyện tính cần cù, sáng tạo, tư duy khoa học. Bước đầu hình thành cho

học sinh thói quen nghiên cứu khoa học. Góp phần thúc đẩy phong trào học tập của
học sinh trong trường.

17


3 – KẾT LUẬN
3.1. Kết quả nghiên cứu:
Qua quá trình giảng dạy môn toán ở lớp 8 bậc THCS, để giúp các em có kĩ
năng vận dụng kiến thức của bộ môn cũng như việc tiếp cận đề tài trên tôi nhận
thấy:
- Khai thác và phát triển một bài toán của chương I Đại số lớp 8 là một nội dung
rất quan trọng, bởi kiến thức này có liên quan chặt chẽ, nó là tiền đề cho học sinh
học tốt các kiến thức về sau và đặc biệt là ứng dụng nó rất hiệu quả trong các bài
toán chứng minh một biểu thức là số nguyên tó, là số chính phương, giải phương
trình, phương trình nghiệm nguyên, bài toán cực trị, bài toán chia hết… Từ đó để
học sinh làm tốt các dạng toán này khi học các chương tiếp theo.
- Để học sinh nắm chắc kiến thức và có hứng thú học tập, giáo viên phải chọn lọc hệ
thống kiến thức, hệ thống bài tập theo mức độ tăng dần, từ dễ đến khó, giúp học sinh
phát huy khả năng suy luận và tính độc lập sáng tạo.
- Với mỗi dạng toán tuy không có quy tắc tổng quát song khi giải giáo viên chỉ ra
những đặc điểm cơ bản mà có hướng giải quyết để khi gặp những bài toán tương tự
học sinh có thể liên hệ được.
- Đối với học sinh các em có khả năng vận dụng kiến thức cơ bản vào việc giải
toán tốt hơn. Từ chỗ đơn thuần các bài phân tích đa thức thành nhân tử hay chia hai
đa thức một biến các em có thể làm được những bài tập khó hơn, ở mức độ cao hơn
như thường có trong các đề thi học sinh giỏi. Qua đó các em các em có hứng thú, tự
tin và cũng mở ra cho các em hướng tìm tòi, chủ động trong nghiên cứu khoa học.
giúp các em phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo.
- Rèn luyện cho khả năng tư duy toán học, tự tìm tòi sáng tạo để biến những tri

thức đó thành tri thức của mình. Từ đó hình thành những kĩ năng, kĩ sảo khi thực
hành giải toán. Hình thành cho các em có tư duy khoa học, tinh thần học hỏi phấn
đấu vươn lên trước những tình huống khó khăn trong học tập cũng như trong cuộc
sống.
18


- Kết quả triển khai đề tài sau khi kiểm tra đánh giá với cùng mức độ kiến, hoàn
cảnh như nhau các em học sinh ở lớp 8A thực hiện nhanh hơn về mặt thời gian
cũng như có sự chính xác cao hơn. Cụ thể kết quả sau khi triển khai đề tài trên vào
dạy toán ở lớp 8A như sau:
Lớp

Sĩ
số

8A

38

Điểm 9 – 10 Điểm 7 – 8

Điểm 5 - 6

Điểm 3 - 4

Điểm 0 - 2

Tổng
số

%

Tổng
số

%

Tổng
số

%

Tổng
số

%

Tổng
số

%

6

15,
8

9

23,7

21

55,3

2

5,3

0

0

- Đối với giáo viên qua việc giảng dạy trao đổi đã thêm kĩ năng vận dụng để tìm
ra một phương pháp giải toán mới, hiệu quả hơn. Qua đó thấy được ý nghĩa khai
thác và phát triển một bài toán trong quá trình giảng dạy.
Trên đây là kinh nghiệm được tôi xây dựng, rút ra từ kinh nghiệm thực tế giảng
dạy phần toán 8 trong nhiều năm học. Tuy nhiên, không tránh khỏi những thiếu sót,
tính khách quan. Rất mong nhận được các thông tin phản hồi đánh giá để tiếp tục
nghiên cứu, bổ sung cùng đồng nghiệp đạt được mục đích nâng cao chất lượng,
hiệu quả trong công tác giáo dục.
3.2. Kiến nghị, đề xuất:
Chương trình SGK đổi mới đã mang lại chuyển biến mạnh mẽ trong quá trình
dạy và học, trong đó người học đóng vai trò chủ thể của nhận thức còn người dạy
chỉ là người tổ chức, hướng dẫn học sinh thực hiện nhiệm vụ của mình. Nên tôi
mạnh dạn đề xuất cần bổ sung những tài liệu thiết thực có hiệu quả vào thư viện
nhà trường giúp học sinh tự tìm tòi nghiên cứu trong quá trình học tập. Và cần có
Hội đồng giáo viên thường xuyên trao đổi các kinh nghiệm dạy học và các SKKN
đã đạt giải cấp huyện hay cấp tỉnh để học hỏi kinh nghiệm, nâng cao nghiệp vụ sư

phạm.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐON VỊ
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………

Thọ Xuân, ngày 02 tháng 03 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.
( Ký và ghi rõ họ tên)

19


………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………

Lê Văn Hậu
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. SGK và SGV Toán 8 (Tập một và tập hai) - Nhà xuất bản GD 2003
2. Phương pháp dạy học Toán ở trường THCS – NXB Giáo dục 1996.
3. Bồi dưỡng Toán 8 - Nhà xuất bản GD 2006
4. Vũ Hữu Bình - Toán cơ bản và nâng cao Đại số 8- Nhà xuất bản Đà Nẵng

5. Vũ Hữu Bình - Nâng cao và phát triển Toán 8 (Tập một và tập hai - Nhà xuất bản
Giáo dục Việt Nam 2016).
6. 23 chuyên đề bài toán sơ cấp - Nhà xuất bản trẻ 2000.
7. Một số tài liệu khác trên trang Violet.
8. 500 bài toán cơ bản và năng cao 8 ( Nguyễn Đức Chí – Nhà xuất bản Đại học Sư
phạm (2004).
9. Thực hành giải Toán (Đặng Đình Lăng – Nguyễn Hữu Túc).
10. Đề thi học sinh giỏi huyện các năm học(từ 2007 đến nay của các huyện trong
tỉnh Thanh Hóa và một số tỉnh bạn).

20


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH
GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP
CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Lê Văn Hậu
Chức vụ và đơn vị công tác: Trường THCS Xuân Hưng – Thọ Xuân

TT

Tên đề tài SKKN

Kết quả
Cấp đánh
đánh giá
giá xếp loại
xếp loại
(Phòng, Sở,

(A, B, hoặc
Tỉnh...)
C)

Năm học
đánh giá
xếp loại

Hưỡng dẫn học sinh lớp 8 tìm lời
1.

2.

3.

giải của một số bài toán cực trị Đại
số.
Hướng dẫn học sinh kẻ thêm đường
phụ trong giải toán Hình học 8.
Dạy học sinh lớp 7 khai thác, phát
triển bài toán tính giá trị của một

Phòng

C

2010 - 2011

Phòng

C

2013 - 2014

Phòng

B

2015 - 2016

Phòng

B

2016 - 2017

biểu thức.
Dạy học sinh khai thác, phát triển
4.

một số bài toán trong chương I –
Đại số 8.

* Liệt kê tên đề tài theo thứ tự năm học, kể từ khi tác giả được tuyển dụng vào
Ngành cho đến thời điểm hiện tại.

21


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỌ XUÂN

==============

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI:

DẠY HỌC SINH KHAI THÁC, PHÁT TRIỂN MỘT SỐ
BÀI TOÁN TRONG CHƯƠNG I – ĐẠI SỐ 8

Người thực hiện: Lê Văn Hậu
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Xuân Hưng - Thọ Xuân
Sáng kiến thuộc lĩnh vực (môn): Toán

22


THANH HÓA - 2017

23