Hình thành kĩ năng giải bài tập có chứa giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7 trường THCS hà lĩnh

Hình thành kỹ năng giải bài tập có chứa giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7 Trường THCS Hà Lĩnh

MỤC LỤC
STT
1

2

3
4

Nội dung
Phần I: Mở Đầu
I. Lý do chọn đề tài
II. Mục đích và phương pháp nghiên cứu
III. Đối tượng nghiên cứu
IV. Phương pháp nghiên cứu
Phần II: Nội dung của đề tài
I. Cơ sở lí luận
II. Thực trạng của vấn đề
III. Các giải pháp tổ chức thực hiện
IV. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Phần III: Kết luận và kiến nghị
I. Kết luận
II. Kiến nghị
Tài liệu tham khảo

Trang
02
02
03

03
03
04
04
04
06
19
19
19
20
21

1
Nguyễn Thị Hoa

THCS Hà Lĩnh


Hình thành kỹ năng giải bài tập có chứa giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7 Trường THCS Hà Lĩnh

PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Toán học là một trong những môn học quan trọng để rèn luyện tư duy, rèn luyện
kỹ năng vận dụng để giải quyết một số vấn đề xảy ra trong thực tế. Vì vậy việc
dạy học môn Toán là dạy cho học sinh có năng lực trí tuệ, năng lực từ đó giúp
học sinh học tập và tiếp thu các kiến thức khoa học và biết cách vận dụng nó vào
cuộc sống. Dạy học môn Toán người thầy không chỉ dạy cho học sinh kiến thức
toán học (những công thức, những định lý, định đề, tiên đề …) mà người thầy
còn phải dạy cho học sinh có năng lực, trí tuệ để giải quyết vấn đề được nêu ra
trong học tập và sau này.

Trong quá trình dạy học toán, việc lựa chọn công cụ và phương pháp phù
hợp để giải các bài toán là việc làm cần thiết và quan trọng. Chọn được công cụ
thích hợp sẽ cho ta lời giải hay và ngắn gọn, dễ hiểu. Để có bài giảng thu hút
được được học trò, giúp học trò phát triển được tư duy và dẫn dắt học trò tới
niềm say mê sáng tạo, tôi cũng như bao giáo viên yêu nghề khác luôn trăn trở
với những khó khăn của học trò trong quá trình tiếp cận từng bài toán.
Giá trị tuyệt đối của một số là một phạm trù kiến thức rất hẹp, tương đối trừu
tượng. Đây là một vấn đề mà học sinh đã được học ở chương trình lớp 6 (đối với
số nguyên) và tiếp tục được học ở lớp 7 (đối với số thực) nhưng không phải là
vấn đề đơn giản đối với học sinh. Khi gặp một bài toán có giá trị tuyệt đối không
ít học sinh lúng túng không biết phải bắt đầu từ đâu và đặc biệt không biết xoay
sở ra sao. Điều đó cũng dễ hiểu vì tuy đã được học phần lý thuyết cơ bản song
số bài tập để củng cố để khắc sâu, để bao quát hết các dạng thì lại không nhiều,
không có sức thuyết phục để lôi kéo sự hăng say học tập của học sinh. Như
chúng ta đã biết hệ thống câu hỏi, bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập đã
được biên soạn, chọn lọc, sắp xếp một cách công phu rất phù hợp với kiến thức
và năng lực của học sinh. Tuy nhiên, sách giáo khoa và sách bài tập là tài liệu
dành cho tất cả các đối tượng học sinh trên mọi miền đất nước. Vì vậy để có
những bài tập phù hợp với yêu cầu của từng tiết dạy, phù hợp với từng đối tượng
học sinh, phù hợp với hoàn cảnh thực tế của địa phương. Ngoài việc khai thác
triệt để các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập, thì người giáo viên phải
tự mình biên soạn thêm những câu hỏi và bài tập mới, nhằm phát huy tính tích
cực, tự giác, tư duy sáng tạo, bồi dưõng năng lực tự học, lòng say mê học tập và
ý chí vươn lên cho học sinh.
Biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối là dạng Toán xuyên suốt trong quá
trình học của học sinh ở bậc Trung học cơ sở và ở bậc cao hơn nữa. Ví dụ ở lớp
6 bắt đầu với những bài toán đơn giản chứa dấu giá trị tuyệt đối của số nguyên,
tìm giá trị của biến trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. Lên lớp 7 phát
triển cao hơn với những loại toán chứa dấu giá trị tuyệt đối của những số
nguyên, số hữu tỷ, số thực, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa giá

trị tuyệt đối, ở lớp 8 các em sử dụng loại toán chứa dấu giá trị tuyệt đối trong
tìm nghiệm nguyên của phương trình nghiệm nguyên, lớp 9 loại toán chứa dấu

2
Nguyễn Thị Hoa

THCS Hà Lĩnh


Hình thành kỹ năng giải bài tập có chứa giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7 Trường THCS Hà Lĩnh

giá trị tuyệt đối lại càng đa dạng hơn như giải phương trình chứa giá trị tuyệt
đối, đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Như vậy ta thấy các loại toán chứa dấu giá trị tuyệt đối rất quan trọng đặc
biệt ở lớp 7 nếu các em học chắc về các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối phù
hợp với các em thì việc giải các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối ở các lớp trên
các em làm sẽ thấy đơn giản và làm bài một cách hứng thú hơn.
Để giúp HS lớp 7 tháo gỡ những vướng mắc trên và có định hướng đúng
đắn trước các bài toán về giá trị tuyệt đối của 1 số, có phương pháp giải phù hợp
cho mỗi bài toán ở dạng này đồng thời góp phần giúp HS đạt kết quả cao trong
các kì thi học sinh giỏi tôi đã trăn trở suy nghĩ chọn đề tài: “Hình thành kỹ
năng giải bài toán có chứa giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7 Trường THCS
Hà Lĩnh.”
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Trước những thực tế đặt ra ở trên, ta cần hướng dẫn cho các em học sinh ngay
từ lớp 7 tìm ra hướng giải quyết bài toán có chứa giá trị tuyệt đối cho học sinh
nhằm đạt tới ba mục đích.
1. Thứ nhất: . Hoàn thiện, khắc sâu, nâng cao (ở mức độ của chương trình cho
phép) phần lí thuyết về giá trị tuyệt đối của 1 số qua hệ thống bài tập.
2. Thứ hai: Rèn luyện kỹ năng, thuật toán, nguyên tắc giải toán về giá trị tuyệt

đối của 1 số (tuỳ theo yêu cầu của từng bài cụ thể).
3. Thứ ba: Rèn luyện nề nếp học tập có tính khoa học, rèn luyện các thao tác tư
duy, phương pháp học tập chủ động, tích cực, sáng tạo.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
- Học sinh lớp 7 trường THCS Hà Lĩnh
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Với mục đích và nhiệm vụ đặt ra như trên, tôi đã tiến hành hoàn thành sáng kiến
kinh nghiệm “Hình thành kỹ năng giải bài toán có chứa giá trị tuyệt đối cho
học sinh lớp 7 Trường THCS Hà Lĩnh”bằng việc phối hợp các phương pháp
nghiên cứu sau:
1. Nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Hình thức chủ yếu tôi dùng là nghiên
cứu tài liệu lí luận và phân tích tiên nghiệm. Sử dụng các kiến thức có trong sách
giáo khoa theo chương trình mới của Bộ giáo dục và Đào tạo, các kết quả đã có
trong một số tài liệu có liên quan trên cơ sở kế thừa những cái hay, bổ sung và
hoàn chỉnh những tri thức đã đạt được. Đồng thời dựa những cách tiếp cận khác
nhau về các bài toán có chứa giá trị tuyệt đối để định hướng, phát hiện và giải
quyết bài toán.
2. Điều tra, khảo sát thực tế: Tiến hành theo dõi quá trình phát hiện và giải
quyết các bài toán có chứa giá trị tuyệt đối theo trình tự thời gian trên các đối
tượng là các em học sinh lớp 7 của trường THCS Hà Lĩnh
3. Tổng kết kinh nghiệm: Đánh giá và khái quát kinh nghiệm trong quá trình
thực hiện. Từ đó khám phá ra những mối liên hệ có tính quy luật của vấn đề đặt
ra.

3
Nguyễn Thị Hoa

THCS Hà Lĩnh

Hình thành kỹ năng giải bài tập có chứa giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7 Trường THCS Hà Lĩnh

PHẦN II: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I. CỞ SỞ LÝ LUẬN
1. Các kiến thức cơ sở
a. Định nghĩa:
*Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối của một số a là khoảng cách từ điểm a đến điểm
gốc trên trục số. Kí hiệu |a|
a nêu a ≥ 0
−a nêu a < 0

Ta thường sử dụng định nghĩa trên dưới dạng: a = 
b. Tính chất:
a ≥ 0 với mọi a ∈ R;

a.b = a . b ;

a = b
a =b ⇔
;
 a = −b
Nếu a < b < 0 ⇒ a > b ;

a = a2 ;

Nếu 0 < a < b ⇒ a < b ;

a= a ⇔a≥0

a + b ≥ a + b và a + b = a + b ⇔ a.b ≥ 0

a
a
= (b ≠ 0 );
b
b
2

[1]

− a ≤a≤ a
− a =a⇔a≤0

[2]

II.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.
1.Thực trạng
1.1. Đối với giáo viên :
Trong quá trình dạy toán ở Trường THCS với đối tượng HS lớp tôi phụ trách
một số các em có học lực khá và ham hiểu biết, cho nên làm thế nào để trong
quá trình giảng dạy học sinh từ hiểu biết đi đến yêu thích bộ môn, nắm vững
kiến thức và vận dụng linh hoạt vào việc giải bài tập là điêù tôi luôn trăn trở.
Trong quá trình giảng dạy chính khóa, giáo viên không có đủ thời gian để
đưa ra những bài tập phức tạp nhằm phát triển khả năng tư duy cho học sinh,
hoặc nếu có cũng chỉ là ở những tiết ôn tập chương, tuy nhiên số lượng cũng rất
ít và chỉ lướt nhanh qua một hoặc hai ví dụ.
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, tôi nhận ra rằng nếu chỉ dạy học sinh đơn
thuần kiến thức theo sách giáo khoa thì chỉ đáp ứng được yêu cầu của số HS
trung bình, khá và kết quả thu được của HS chưa cao. Đặc biệt là việc giải bài
toán có dấu giá trị tuyệt đối thì HS còn rất lúng túng. Do vậy trong quá trình

giảng dạy tôi thường xuyên nghiên cứu kĩ chương trình từng khối lớp: phân loại
kiến thức, dạy cho học sinh theo từng chuyên đề và trong mỗi dạng đó, tôi đã cố
gắng tìm tòi và cung cấp thêm cho các em những phương pháp giải ngoài sách
giáo khoa để có thể giúp học sinh vận dụng giải bài toán một cách nhanh nhất
vào những buổi học bồi dưỡng.
2. Đối với học sinh:
Giải bài toán có chứa giá trị tuyệt đối là một phần khó đối với HS lớp 6, xuất
hiện nhiều trong các đề thi HSG nhưng sách giáo khoa lại không đưa ra cụ thể
các phương pháp giải.
Với HS lớp 7 ở trường THCS Hà Lĩnh do điều kiện kinh tế xã hội của xã còn
khó khăn nên điều kiện học tập dành cho các em còn ít. Vì vậy với bộ môn toán
4
Nguyễn Thị Hoa

THCS Hà Lĩnh


Hình thành kỹ năng giải bài tập có chứa giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7 Trường THCS Hà Lĩnh

nói chung và phần toán về trị tuyệt đối nói riêng các em làm được ít hoặc thường
gặp phải những sai lầm sau:
Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức : B = 4x2 - 3x + 1 với | x| = 3
HS đã thay luôn x = 3 vào biểu thức B rồi tính, mà chưa biết có 2 giá trị của x
dẫn tới thiếu một trường hợp x = -3
Ví dụ 2: Tìm x biết : x − 3 = 2
HS chưa nắm chắc được đẳng thức luôn xảy ra vì 2 > 0 mà vẫn xét hai trường
hợp x-3 > 0 và x-3 < 0 và giải hai trường hợp tương ứng. Cách làm này chưa
gọn.
Ví dụ 3: Tìm x biết : x − 1 - 2x = 2 (1)
Học sinh đã làm như sau:

Nếu x-1 ≥ 0 suy ra x-1 -2x =2
Nếu x-1<0 suy ra 1- x- 2x=2
Với cách giải này các em không xét tới điều kiện của x
Có em đã thực hiện (1) suy ra x − 1 = 2x+ 2 ⇒ x-1= 2x+2 hoặc x-1= -2x-2
Trong trường hợp này các em mắc sai lầm ở trường hợp không xét điều kiện
của 2x+2
Như vậy trong các cách làm trên các em làm chưa kết hợp chặt chẽ điều
kiện hoặc làm bài còn chưa ngắn gọn...
2. Kết quả của thực trạng trên.
Sau khi học xong bài giá trị tuyệt đối của 1 số hữu tỉ năm học 2016 - 2017,
tôi cho các em trong lớp 7A làm một bài kiểm tra khảo sát nhằm phân loại học
sinh từ đó tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với mỗi đối tượng.
Đề bài : Tìm x , biết
a, x − 3 = 2
b, 2 x − 5 -5 = 1
c, x − 1 - x = 2
d, x − 2 + x − 1 =
Sau khi chấm bài tôi thu được kết quả như sau:
Kết quả
Tổng số Giỏi
SL

Khá
%

SL

%

Trung

bình
SL
%

Yếu
SL

Kém
%

SL

%
10.
38
0
0
8
21
19
50
7
18.4 4
6
Tôi thấy học sinh còn lúng túng về cách giải, chưa nắm vững phương pháp
giải đối với từng dạng bài, chưa kết hợp được kết quả với điều kiện xảy ra, chưa
lựa chọn được phương pháp giải nhanh gọn và hợp lí .
Kết quả thấp là do học sinh còn vướng mắc những điều tôi đã nói ở trên và phần
lớn các em chưa làm được câu c, d.
Nhìn chung HS còn hạn chế nhiều trong việc giải bài tập về giá trị tuyệt đối

của 1 số, chưa có phương pháp giải. Chính vì vậy cần phải có những biện pháp
tích cực hình thành kĩ năng giải bài tập về giá trị tuyệt đối của 1 số cho HS lớp 7
5
Nguyễn Thị Hoa

THCS Hà Lĩnh


Hình thành kỹ năng giải bài tập có chứa giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7 Trường THCS Hà Lĩnh

III. CÁC GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN :
Để giải bài toán mà biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối tôi đã sử dụng các
kiến thức cơ bản như quy tắc, tính chất, định nghĩa về giá trị tuyệt đối hướng
dẫn học sinh phân chia từng dạng bài, phát triển từ dạng cơ bản sang dạng khác
phức tạp hơn.Từ phương pháp giải dạng cơ bản, dựa vào định nghĩa tính chất về
giá trị tuyệt đối tìm tòi các phương pháp giải các dạng khác đối với mỗi dạng
bài, loại bài . Tôi đã chia thành 6 dạng chính như sau :
1.Dạng 1: Tính giá trị của một biểu thức có liên quan đến giá trị tuyệt đối
a.Ví dụ
Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức. A = 2 | x - 3| - 3 | 2- x| tại x = 4
Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức : B = 4x2 - 3x + 1 với | x| = 3
* Những khó khăn của học sinh khi giải bài toán trên:
Sau khi giao bài tập thì có học sinh thay được x = 4 vào biểu thức A nhưng lại
không tính được giá trị của biểu thức A vì biểu thức này có chứa giá trị tuyệt đối,
còn đối với biểu thức B học sinh lại lúng túng, không thay được giá trị của x
vào biểu thức B để tính giá trị.
b, Cách tìm phương pháp giải
Đối với dạng toán này tôi đã cho học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa
bài toán tính giá trị một biểu thức đơn thuần với bài toán tính giá trị một biểu
thức có dấu giá trị tuyệt đối.

c, Phương pháp giải :Thay giá trị đã cho trước của biến vào biểu thức rồi
tính giá trị của biểu thức.Lưu ý giá trị tuyệt đối của một số bao giờ cũng không
âm và hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau.
d, Hướng dẫn giải :
Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức. A = 2 | x - 3| - 3 | 2- x| tại x = 4
Đây là bài toán đơn giản đối với bài toán này học sinh phải biết thay x = 4 vào
biểu thức A sau đó bỏ giá trị tuyệt đối để tính giá trị của biểu thức A.
Với x = 4 ta có:
A = 2 | 4 - 3| - 3 | 2 - 4| = 2.1 - 3.2 = - 4.
Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức: B = 4x2 - 3x + 1 với | x| = 3
Ở bài toán này xuất phát từ sai lầm của HS như đã trình bày ở trên nên trước hết
các em phải biết | x| = 3 thì x = 3 hoặc x = -3 từ đó sẽ có 2 giá trị của biểu thức
B tương ứng.
* Với x = 3 ta có : B = 4.32 - 3.3+ 1 = 28.
* Với x = -3 ta có : B = 4.(-3)2 - 3.(-3) + 1 = 46.
Vậy với | x| = 3 thì : B = 28; B = 46.
2. Dạng 2: Rút gọn biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
a,Ví dụ
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức C = 3(2x - 1) - | x - 5|
[1]
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: D = | x - 3| - | x - 4|

6
Nguyễn Thị Hoa

THCS Hà Lĩnh


Hình thành kỹ năng giải bài tập có chứa giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7 Trường THCS Hà Lĩnh

* Những khó khăn của học sinh khi giải bài toán trên: HS lúng túng không
biết bắt đầu từ đâu, có em không để ý đến dấu giá trị tuyệt đối tính ngay C =
4(2x-3) - x – 3 , đối với biểu thức D thì hầu như các em không rút gọn được.
b, Cách tìm phương pháp giải
Đối với dạng toán này tôi đã khắc sâu cho học sinh: Giá trị tuyệt đối của một
biểu thức bằng chính nó (nếu biểu thức không âm) hoặc bằng một biểu thức đối
của nó (nếu biểu thức âm). Vì thế khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối của 1 biểu thức cần
xét giá trị của biến làm cho biểu thức dương hay âm. Dấu của các biểu thức
thường được viết trong bảng xét dấu.
c, Phương pháp giải : Xét giá trị của biến làm cho biểu thức dương hay âm,
hoặc lập bảng xét dấu.
d, Hướng dẫn giải
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức C = 3(2x - 1) - | x - 5|
Ở bài toán này khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối cần phải xét 2 trường hợp của biến x
làm cho x - 5 ≥ 0; x - 5 < 0.
x − 5 ⇔ x ≥ 5
x−5 = 
5 − x ⇔ x < 5

* Với x ≥ 5 thì C = 3(2x - 1) - (x - 5) = 5x + 2
* Với x < 5 thì: C = 3(2x - 1) - (5 - x) = 7x - 8
5 x + 2 ⇔ x ≥ 5
7 x − 8 ⇔ x < 5

Vậy C = 

[1]

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: D = | x - 3| - | x - 4|
Ở đây biểu thức D có chứa tới 2 biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối do đó

để đơn giản trong trình bày tôi đã hướng dẫn cho học sinh lập bảng xét dấu.
x
3
4
x-3
0
+
+
x-4
0
+
Xét 3 trường hợp tương ứng với 3 khoảng giá trị của biến x.
* Nếu x < 3 thì: D = (3 - x) - (4 - x) = 3 - x - 4+x = -1.
* Nếu 3 ≤ x ≤ 4 thì: D = (x - 3) - (4 - x) = x - 3 - 4 + x = 2x - 7.
* Nếu x > 4 thì D = (x - 3) - (x - 4) = x - 3 - x + 4 = 1.
Vậy: D =

 −1 ⇔ x < 3

2 x − 7 ⇔ 3 ≤ x ≤ 4
1 ⇔ x > 4


3. Dạng 3: Tìm giá trị của biến trong đẳng thức có chứa dấu giá trị
tuyệt đối.
Ví dụ 1 : Tìm x , biết x − 1,7 = 2,3
[3]
Ví dụ 2 : Tìm x biết

x−

3 1
− =0
4 3

[3]

Ví dụ 3 : Tìm x biết : x − 1 - 2x = 2

7
Nguyễn Thị Hoa

THCS Hà Lĩnh


Hình thành kỹ năng giải bài tập có chứa giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7 Trường THCS Hà Lĩnh

* Những khó khăn của học sinh khi giải dạng toán tìm x trong dấu giá
trị tuyệt đối:
Ở ví dụ 1 HS chưa nắm chắc được đẳng thức luôn xảy ra vì 2,3 > 0 mà
vẫn xét hai trường hợp x- 1,7 > 0 và x-1,7 < 0 và giải hai trường hợp tương ứng.
Cách làm này chưa gọn, có em bỏ luôn dấu giá trị tuyệt đối giải ngay
x- 1,7 =2,3
Ở ví dụ 3 Tìm x biết : x − 1 - 2x = 2 (1)
Học sinh đã làm như sau:
Nếu x - 1 ≥ 0 suy ra x - 1 - 2x = 2 ⇒ x = -3
Nếu x - 1< 0 suy ra 1- x - 2x = 2 ⇒ x = Vậy x = -3; x = -

1
3

1
3

Với cách giải này các em không xét tới điều kiện của x
Có em đã thực hiện (1) suy ra x − 1 = 2x+2 ⇒ x-1=2x + 2 hoặc x-1= -2x-2
Trong trường hợp này các em mắc sai lầm ở trường hợp không xét điều kiện
của 2x + 2.
Ngoài các dạng toán cơ bản trên, còn có những bài toán tìm x có chứa giá
trị tuyệt đối phức tạp hơn các em chưa có phương pháp giải, không biết bắt
đầu từ đâu tôi đã hướng dẫn cho các em từ dạng cơ bản đến dạng mở rộng
như sau :
3.1 Dạng cơ bản A( x ) = B với B ≥ 0
a, Cách tìm phương pháp giải
Đẳng thức có xảy ra không ? Vì sao ? Nếu đẳng thức xảy ra cần áp dụng
kiến thức nào để bỏ dấu giá trị tuyệt đối ( áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối của
hai số đối nhau thì bằng nhau ).
b, Phương pháp giải
Ta lần lượt xét A(x) = B hoặc A(x) = -B.
c, Ví dụ
Ví dụ 1 :
Tìm x biết x − 1,7 = 2,3
[3]
GV: Đặt câu hỏi bao quát chung cho bài toán :
Đẳng thức có xảy ra không ? vì sao? Số nào có giá trị tuyệt đối bằng 2,3
( Đẳng thức có xảy ra vì x − 1,7 ≥ 0 và 2,3 > 0 ). Cần áp dụng kiến thức nào để
giải , để bỏ được dấu giá trị tuyệt đối ( áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối của hai
số đối nhau thì bằng nhau )
Bài giải
x − 1,7 = 2,3 ⇒ x - 1,7= 2,3 hoặc x - 1,7 = -2,3

+ Xét
x - 1,7= 2,3 ⇒ x = 2,3 + 1,7 ⇒ x = 4
+ Xét
x - 1,7 = -2,3 ⇒ x = -2,3 +1,7 ⇒ x = -0,6
Vậy x = 4 ; x = -0,6
Từ ví dụ đơn giản ,phát triển đưa ra ví dụ khó dần :

8
Nguyễn Thị Hoa

THCS Hà Lĩnh


Hình thành kỹ năng giải bài tập có chứa giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7 Trường THCS Hà Lĩnh

Ví dụ 2 :

Tìm x biết

x+

3 1
− =0
4 3

[3]

Với bài này tôi đặt câu hỏi ‘Làm sao để đưa về dạng cơ bản đã học ‘
Từ đó học sinh biến đổi đưa về dạng x +

3 1
= rồi giải như ví dụ 1
4 3

Bài giải
3 1
3 1
− = 0 ⇒ x+ = ⇒x
4 3
4 3
3
1
+ Xét x + = ⇒ x
4
3
3
1
+ Xét x + = - ⇒ x
4
3
5
13
Vậy x = - ; x = ;
12
12
Ví dụ 3 Tìm x, biết : 3 9 − 2 x
x+

3
1

=
4
3
5
=12
13
=12

+

hoặc x +

3
1
=4
3

- 17 =16
Làm thế nào để đưa về dạng cơ bản đã học ?
Từ đó học sinh đã biến đổi đưa về dạng cơ bản đã học 9 − 2 x = 11.
Từ dạng cơ bản A( x ) = B nếu thay B bằng biểu thức B(x) ( B (x) có chưá
biến x ) ta có các dạng bài tập sau khó hơn dành cho HS khá, giỏi .
3.2 Dạng A(x) = B(x) ( trong đó biểu thức B (x) có chưá biến x )
a, Cách tìm phương pháp giải
Cũng đặt câu hỏi gợi mở như trên, học sinh thấy được đẳng thức không xảy ra
khi B(x) < 0. Vậy cần áp dụng kiến thức nào để có thể dựa vào dạng cơ bản đế
suy luận tìm ra cách giải bài toán trên không ? Có thể tìm ra mấy cách ?
b, Phương pháp giải
A(x) = B(x)
Cách 1 : ( Dựa vào tính chất )

Với điều kiện B(x) ≥ 0 ta có A(x) = B(x) hoặc A(x) = - B(x) sau đó giải hai
trường hợp với điều kiện B(x) ≥ 0
Cách 2 : Dưa vào định nghĩa xét biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối .
A(x) = B(x)
+Xét A(x) ≥ 0 ⇒ x ? Ta có A(x) = B(x) ( giải tìm x để thoả mãn A(x) ≥ 0 )
+Xét A(x) < 0 ⇒ x ?Ta có A(x) = - B(x)( giải tìm x để thoả mãn A(x) < 0)
+ Kết luận : x =?
c, Ví dụ
Ví dụ 1 Tìm x biết : 8 − 2 x = x - 2
Cách 1 : Với x - 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2
Ta có 8- 2x = x - 2 hoặc 8 - 2x = -( x - 2 )
10
(Thoả mãn)
3
+ Nếu 8 - 2x = -( x - 2) ⇒ 8 - 2x = -x + 2 ⇒ x= 6 (Thoả mãn)

+ Nếu 8 - 2x = x - 2 ⇒ -3x = -10 ⇒ x =

9
Nguyễn Thị Hoa

THCS Hà Lĩnh


Hình thành kỹ năng giải bài tập có chứa giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7 Trường THCS Hà Lĩnh

Vậy x =

10
;x= 6

3

Cách 2 :
+ Xét 8 - 2x ≥ 0 ⇒ x ≤ 4 ta có 8 - 2x = x - 2 ⇒ x =

10
(Thoả mãn)
3

+ Xét 8 - 2x <0 ⇒ x > 4 ta có -(8 - 2x) = x - 2 ⇒ x = 6(Thoả mãn)
Vậy x =

10
; x= 6
3

Ví dụ 2 Tìm x biết: x − 3 - x = 5
Cách 1 : x − 3 - x = 5 ⇒ x − 3 = x + 5
Với x + 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ -5 ta có x - 3 = x + 5 hoặc x - 3 =-( x + 5)
+ Nếu x - 3 = x + 5 ⇒ 0x = 8 ( loại )
+ Nếu x - 3 =-( x + 5) ⇒ x - 3 = -x - 5 ⇒ 2x = -2 ⇒ x = -1 ( Thoả mãn)
Vậy x = -1
Cách 2 : x − 3 -x = 5
+ Xét x - 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3 ta có x - 3 – x = 5 ⇒ 0x = 8 ( loại )
+ Xét x – 3 < 0 ⇒ x < 3 ta có -(x - 3) - x = 5 ⇒ -x + 3 – x = 5 ⇒ 2x = -2
⇒ x = -1 ( Thoả mãn).
Vậy x = -1
Lưu ý : "Qua hai dạng trên tôi cho học sinh phân biệt rõ sự giống nhau
( đều chứa một dấu giá trị tuyệt đối ) và khác nhau ( A(x) = B ≥ 0 dạng đặc biệt
của dạng A(x) = B(x).

Nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ được phương pháp giải loại đẳng thức
chứa một dấu giá trị tuyệt đối, đó là đưa về dạng A =B (Nếu B ≥ 0 đó là dạng
đặc biệt,còn B<0 thì đẳng thức không xảy ra . Nếu B là biểu thức có chứa biến
là dạng hai và giải bằng cách 1 ) hoặc ta đi xét các trường hợp xảy ra đối với
biểu thức trong giá trị tuyệt đối."
[4]
3.3 Dạng A( x ) + B( x ) = 0
a, Cách tìm phương pháp giải
Với dạng này tôi yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức về đặc điểm của giá trị
tuyệt đối của một số ( giá trị tuyệt đối của một số là một số không âm ) . Vậy
tổng của hai số không âm bằng không khi nào ? ( cả hai số đều bằng không ).
Vậy ở bài này tổng trên bằng không khi nào ? ( A(x) =0 và B(x)=0). Từ đó ta tìm
x thoả mãn hai điều kiện : A(x) = 0 và B(x) = 0
b, Phương pháp giải
Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất
đẳng thức.
Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng
0 khi và chỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0.
Cách giải chung: A + B = 0

10
Nguyễn Thị Hoa

THCS Hà Lĩnh


Hình thành kỹ năng giải bài tập có chứa giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7 Trường THCS Hà Lĩnh

Bước 1: đánh giá:

A ≥ 0
⇒ A + B ≥0
B ≥ 0
A = 0
B = 0

Bước2: Khẳng định: A + B = 0 ⇔ 

Chú ý 1: Bài toán có thể cho dưới dạng A + B ≤ 0 nhưng kết quả không
thay đổi.
A ≥ 0
⇒ A + B ≥0
B ≥ 0

Cách giải: A + B ≤ 0 (1)

(2)

A = 0
B = 0

Từ (1) và (2) ⇒ A + B = 0 ⇔ 

c, Ví dụ
Tìm x , biết :
2
2
1, x + 2 + x + 2 x = 0
2, x + x + ( x + 1)( x − 2) ≤ 0
Bài giải

2
2
1, x + 2 + x + 2 x = 0 ⇒ x + 2 = 0 và x + 2 x = 0
+ Xét x + 2 = 0 ⇒ x + 2 = 0 ⇒ x = -2 (1)
2
+ Xét x + 2 x = 0 ⇒ x2 +2x = 0 ⇒ x(x+2) = 0
⇒ x = 0 hoặc x + 2 = 0 ⇒ x = -2 (2)
Kết hợp (1)và (2) ⇒ x = -2
2, Giải tương tự
* Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính
chất không âm của luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có
các bài tương tự.
Bài tập tương tự :T×m x, y tho¶ m·n :
2012
2011
2012
b) ( x + y ) + 2011 y − 1 = 0
a) x − 3 y + y + 4 = 0
c)

x − y − 5 + 2007 ( y − 3)

d)

2012

=0

x − 2011 + y − 2012 ≤ 0

2000

1
c) x + 3 y − 1 +  2 y − 
2

7
2
5
e) 3 x − y + 10 y + ≤ 0
3

=0

Cần áp dụng kiến thức nào về giá trị tuyệt đối để bỏ được đấu giá trị tuyệt đối
và cần tìm ra phương pháp giải ngắn gọn . Có hai cách giải : Xét các trường
hợp xảy ra của A(x) và B(x) (dựa vào định nghĩa )và cách giải dựa vào tính
chất 2 số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau để suy ra ngay A(x) =B(x) ;
A(x) =-B(x) ( vì ở đây cả hai vế đều không âm do A( x ) ≥ 0 và B( x ) ≥ 0).
b, Phương pháp giải
Cách 1 : Xét các trường hợp xảy ra của A(x) và B(x) để phá giá trị tuyệt đối

11
Nguyễn Thị Hoa

THCS Hà Lĩnh


Hình thành kỹ năng giải bài tập có chứa giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7 Trường THCS Hà Lĩnh

Cách 2 : Dựa vào tính chất 2 số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau ta
tìm x thoả mãn một trong hai điều kiện A(x) =B(x) hoặc A(x) =-B(x) , với
dạng A( x ) + B( x ) = m (m > 0 ) thì lập bảng xét dấu.
c, Ví dụ
Ví dụ 1 : Tìm x biết : x + 4 = 2 x − 1
Hướng dẫn giải :
x + 4 = 2 x − 1 ⇒ x + 4 = 2x - 1 hoặc x + 4 =-(2x - 1)
+ Xét x + 4 = 2x - 1 ⇒ x = 5
+ Xét x + 4 =-(2x - 1) ⇒ x + 4 = -2x + 1 ⇒ x = -1
Vậy x = 5 hoặc x = -1
Ví dụ 2: Tìm x , biết: x − 2 + x + 4 = 8
Hướng dẫn giải
Bước 1 : Lập bảng xét dấu :
Trước hết cần xác định nghiệm của nhị thức :
x - 2 = 0 ⇒ x = 2 và x + 4 = 0 ⇒ x = -4
Trên bảng xét dấu xếp theo thứ tự giá trị của x phải từ nhỏ đến lớn .
Ta có bảng sau:
x
-4
2
x-2
0
+
x+4
0
+
+
Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu các trường hợp xảy ra theo các khoảng giá
trị của biến. Khi xét các trường hợp xảy ra không được bỏ qua điều kiện để
A=0 mà kết hợp với điều kiện để A > 0 ( ví dụ -4 ≤ x < 2)

Cụ thể : Dựa vào bảng xét dấu ta có các trường hợp sau :
+ Nếu x < -4 ta có x - 2 < 0 và x + 4 < 0 nên x − 2 = 2 - x và x + 4 = -x - 4
Đẳng thức trở thành: 2 - x - x - 4 = 8 ⇒ -2x = 10 ⇒ x = -5 ( thoả mãn x < -4)
+ Nếu -4 ≤ x < 2 ta có x − 2 = 2 - x và x + 4 = x + 4
Đẳng thức trở thành: 2 - x + x + 4 = 8 ⇒ 0x = 2 (vôlí )
+ Nếu x ≥ 2 ta có x − 2 = x - 2 và x + 4 = x + 4
Đẳng thức trở thành: x- 2 + x + 4 = 8 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3 (thoả mãn x ≥ 2)
Vậy x = -5 ; x = 3
Lưu ý: Qua hai ví dụ trên tôi cho học sinh so sánh để thấy được lợi thế
trong mỗi cách giải, ở ví dụ 2 thao tác giải sẽ nhanh hơn, dễ dàng xét dấu
trong các khoảng giá trị hơn, nhất là các dạng chứa 3 ; 4 dấu giá trị tuyệt đối
( để HS nên ý thức lựa chọn cách giải).
3.5.Dạng chứa ba dấu giá trị tuyệt đối trở lên: A( x) + B( x) + C ( x) = m
Cách tìm phương pháp giải:
Với dạng này có nên dùng cách xét các giá trị của các biểu thức trong dấu giá
trị tuyệt đối không? ( Không nên dùng vì cách đó rất lâu mà lại rối), vậy nên
phá các giá trị tuyệt đối bằng cách nào nhanh , gọn hơn? ( Lập bảng xét dấu
để bỏ giá trị tuyệt đối).
12
Nguyễn Thị Hoa

THCS Hà Lĩnh


Hình thành kỹ năng giải bài tập có chứa giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7 Trường THCS Hà Lĩnh

Phương pháp giải:
Với dạng này tôi cho học sinh xét các khoảng giá trị, lập bảng xét dấu
rồi khử dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 1 : Tìm x ,biết

x − 1 − 3 x − 3 + 5 x − 6 = 8 (1)
Giải bằng cách 2: Lập bảng xét dấu .
x
1
3
6
x-1
0
+
+
+
x-3
0
+
+
x-6

-

-

-

0

+

14
(loại)
3

+ Nếu 1 ≤ x < 3 thì (1) ⇒ x - 1 + 3x - 9 + 30 -5x = 8 ⇒ x = 12 (loại)
30
+ Nếu 3 ≤ x < 6 thì (1) ⇒ x-1 -3x + 9 + 30 -5x = 8 ⇒ x = (thoả mãn )
7
+ Nếu x ≥ 6 thì (1) ⇒ x-1 -3x + 9 + 5x -30 = 8 ⇒ x = 10 (thoả mãn )
30
Vậy x = ; x =10
7

+ Nếu x < 1 thì (1) ⇒ 1- x + 3x- 9 + 30 - 5x = 8 ⇒ x =

Tuy nhiên với cách hai sẽ dể mắc sai sót về dấu trong khi lập bảng, nên
khi xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối cần phải hết sức lưu ý và
tuân theo đúng quy tắc lập bảng. Một điều cần lưu ý cho học sinh đó là kết
hợp trường hợp ≥ 0 trong khi xét các trường hợp xảy của biến.
Dạng 3.4.Lồng dấu giá trị tuyệt đối:
a,Cách tìm phương pháp giải:
Với bài tập chứa lồng dấu giá trị tuyệt đối trước hết tôi cũng hướng dẫn học
sinh xác định dạng bài, rồi tìm cách giải quyết, xét xem cần bỏ dấu giá trị
tuyệt đối bằng cách nào? Phải qua mấy lần? Và áp dụng cách bỏ dấu giá trị
tuyệt đối nào? (Chẳng hạn bỏ dấu từ ngoài vào trong để đưa bài tập từ phức
tạp đến đơn giản)
b, Phương pháp giải:
Ta phá dấu giá trị tuyệt đối theo thứ tự từ ngoài vào trong. Tuỳ theo đặc điểm
của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối thuộc dạng cơ bản nào thì ta áp dụng
phương pháp của dạng cơ bản đó.
c,Ví dụ:
Tìm x biết:
a) ||x-5| + 9| = 10
b) ||4-x| + |x-9|| = 5

Hướng dẫn giải:
a) ||x-5| + 9| = 10
=>|x-5| + 9 = 10 hoặc |x-5| + 9 = -10 (rồi giải như dạng 1 đã trình bày ở
trên tìm được x = 6 ; x = 4.
b) ||4-x| +| x-9|| = 5 (dạng |A| =B ≥ 0)
13
Nguyễn Thị Hoa

THCS Hà Lĩnh


Hình thành kỹ năng giải bài tập có chứa giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7 Trường THCS Hà Lĩnh

=>|4-x| +|x-9| = 5 hoặc |4-x|+|x-9| = -5
*Xét |4-x| + |x-9| = 5(1) (Dạng chứa 2 dấu giá trị tuyệt đối không rơi vào
dạng đặc biệt).
*Xét |4-x| + |x-9|= -5. Điều này không xảy ra vì |4-x|+ |x – 9|≥ 0
Dạng 3.6: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt:
A(x)+ B(x)+ C(x)= D(x) (1)
( D(x) ≥ 0 kéo theo A( x) ≥ 0; B( x) ≥ 0; C ( x) ≥ 0 )
Phương pháp giải:
Điều kiện: D(x) ≥ 0 kéo theo A( x) ≥ 0; B( x) ≥ 0; C ( x) ≥ 0
Do vậy (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x)
Ví dụ : Tìm x, biết:
x + 1 + x + 2 + x + 3 = 4 x (2)
Điều kiện 4x ≥ 0 ⇒ x ≥ 0 ⇒ x + 1 > 0 ; x + 2 > 0 ; x + 3 > 0
Do vậy (2) trở thành: x + 1 + x + 2 + x + 3 = 4x .Từ đó HS dễ dàng tìm x.
Bài tập tương tự: Tìm x, biết:
x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 = 5x − 1
a)

x + 1,1 + x + 1,2 + x + 1,3 + x + 1,4 = 5 x
b)
c)
d)

1
2
3
100
+ x+
+ x+
+ ... + x +
= 101x
101
101
101
101
1
1
1
1
x+
+ x+
+ x+
+ ... + x +
= 100 x
1.2
2.3
3.4
99.100

Dạng 3.7: A( x) + B( x) = A( x) + B( x)
x+

Phương pháp giải: Sử dụng tính chất: a + b ≥ a + b
Từ đó ta có: a + b = a + b ⇔ a.b ≥ 0
Ví dụ : T×m x, biÕt:
x +5 + 3− x = 8
Ta có x + 5 + 3 − x ≥ x + 5 + 3 − x = 8.
Từ đó : x + 5 + 3 − x = 8 ⇔ ( x + 5).(3 − x) ≥ 0 . Học sinh có thể lập bảng
xét dấu hoặc dựa vào tính chất nhân 2 số cùng dấu để chỉ ra −5 ≤ x ≤ 3
Bài tập tương tự:
a) x − 2 + x − 5 = 3
b) 2 x − 3 + 2 x + 5 = 11

c) x + 1 + 2 x − 3 = 3x − 2

Dạng 3.8: Sử dụng phương pháp đối lập hai vế của đẳng thức:
Phương pháp giải:
Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = B
Đánh giá: A ≥ m
(1) ; B ≤ m (2)
A = m
B = m

Từ (1) và (2) ta có: A = B ⇔ 

14
Nguyễn Thị Hoa

THCS Hà Lĩnh

Hình thành kỹ năng giải bài tập có chứa giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7 Trường THCS Hà Lĩnh

Ví dụ :T×m c¸c cÆp sè nguyªn ( x, y ) tho¶ m·n:
x + 2 + x − 1 = 3 − ( y + 2)

2

Hướng dẫn:
2
Dễ dàng nhận thấy VT ≥ 3 ; VP ≤ 3 ⇒ x + 2 + x − 1 = 3 − ( y + 2) ⇔ VT =
VP = 3 . Từ đó HS dễ dàng tìm (x ,y)
Bài tập tương tự :Tìm các cặp số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn :

15
Nguyễn Thị Hoa

THCS Hà Lĩnh


Hình thành kỹ năng giải bài tập có chứa giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7 Trường THCS Hà Lĩnh

12
y +1 + 3
30
c) x + y + 2 + 5 = 3 y + 5 + 6

a)

x − 5 + 1− x =

b) y + 3 + 5 =

10

( 2 x − 6) 2 + 2
12

d) 3x + 1 + 3x − 5 = ( y + 3) 2 + 2

Phương pháp chung giải dạng toán “tìm x trong đẳng thức chứa dấu
giá trị tuyệt đối”:
Phương pháp 1: Sử dụng tính chất |A| = |-A| và |A| ≥ 0 để giải các dạng |A|=|
A| và |A(x)| =|B(x)|, |A(x)| =B(x).
[4]
Phương pháp 2: Xét khoảng giá trị của biến(dựa vào định nghĩa) để bỏ dấu giá
trị tuyệt đối, thường sử dụng để giải đối với dạng |A(x)| = B(x) hay |A(x)|=|
B(x)|+C
[4]
Phương pháp 3: Lập bảng xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối để
xét các trường hợp xảy ra, áp dụng đối với đẳng thức chứa từ hai dấu giá trị
tuyệt đối trở lên.
[4]
Dạng 4: Tìm giá trị của biến trong bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 1: Tìm x biết: | 3x - 2| < 4
Ví dụ 2: Tìm x biết | x + 5| > 7.
Sai lầm của HS trong dạng toán này là các em giải luôn 3x – 2 < 4 hoặc x
+5 > 7 rồi kết luận giá trị của x.
Phương pháp giải: Ở dạng này tôi đã lưu ý HS quy tắc sau:

| f(x) | = f(x)
nếu f(x) ≥ 0
- f(x) nếu f(x) < 0
Sau đó lần lượt giải tìm giá trị của biến trong bất đẳng thức không còn chứa dấu
giá trị tuyệt đối cuối cùng tổng hợp các kết quả đạt được để có toàn bộ các giá trị
của biến.
a. Ví dụ 1: Tìm x biết:
| 3x - 2| < 4 (1).
Ở dạng này cần vận dụng với a là hằng số dương
Nếu | f(x)| < a thì - a < f(x) < a; (f(x) (Nằm trong khoảng).
Hướng dẫn giải:
Cách 1: | 3x - 2| < 4.
⇔ - 4 < 3x - 2 < 4 ⇔ - 2 < 3x < 6. ⇔ -

Cách 2: | 3x - 2| =

2
< x < 2.
3

2

3 x − 2 ⇔ x ≥ 3

 −3 x + 2 ⇔ x < 2

3

2 (*)
thì (1) trở thành 3x - 2 < 4 ⇒ x < 2 (**)

3
2
Từ (*). (**) ⇒ ≤ x < 2 (2)
3

* Nếu x ≥

16
Nguyễn Thị Hoa

THCS Hà Lĩnh


Hình thành kỹ năng giải bài tập có chứa giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7 Trường THCS Hà Lĩnh

* Nếu x <

2
3

(3)

thì (1) trở thành - 3x + 2 < 4 ⇔ x > -

Từ (3) và (4) ⇒ Từ (2), (5) ⇒ -

2
(4)
3

2
2
< x < (5).
3
3

2
< x < 2.
3

Cách 3: Lập bảng xét dấu :| 3x - 2| < 4 <=> | 3x - 2| - 4 < 0.
b. Ví dụ 2: Tìm x biết: | x + 5| > 7.
Với bài toán trên tôi đã hướng dẫn học sinh làm theo các cách sau:
Hướng dẫn giải:
Cách 1:
x + 5 ⇔ x ≥ 5
− x − 5 ⇔ x < 5

Ta có: | x + 5| = 

* Với x ≥ - 5 thì (1) trở thành x + 5 > 7; x > 2 (Thoả mãn điều kiện đang xét).
* Với x < - 5 thì (1) trở thành - x - 5 > 7 ⇒ x < 12 (Thoả mãn điều kiện đang
xét).Vậy: x < -12 hoặc x > 2.
Qua cách làm trên tôi chỉ ra cho học sinh vấn đề sau:
Với a là hằng số dương:Nếu | f(x) | > a thì f(x) > a.hoặcf(x) < - a
(f(x) nằm ngoài khoảng).
Cách 2: | x + 5| > 7.
x + 5 > 7
x > 2
 x + 5 < −7 ⇔  x < −12




Vậy x < - 12 hoặc x > 2.
Cách 3: Lập bảng biến đổi.
| x + 5| > 7 ⇔ | x +5| - 7 > 0.
5
x
| x + 5| - 7
- x - 12
x-2
Nghiệm thích hợp
x < - 12
x>2
Vậy x < - 12 hoặc x > 2.
Giáo viên chốt lại: Qua 2 ví dụ trên nên vận dụng với a là hằng số dương.
* Nếu | f(x) | < a thì - a < f(x) < a.
* Nếu | f(x) | > a thì f(x) > a hoặc f(x) < - a
Hoặc chuyển hết về 1 vế là 1 biểu thức, vế kia bằng 0 sau đó lập bảng xét dấu.
5. Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức có chứa dấu
giá trị tuyệt đối.
Đối với dạng toán này HS chưa có phương pháp giải.
Phương pháp giải: Cách giải chủ yếu là từ tính chất không âm của giá trị
tuyệt đối vận dụng tính chất của bất đẳng thức để đánh giá giá trị của biểu thức:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biến thức: A = 5| 3x - 2| - 1.
Ở đây học sinh phải biết vận dụng được kiến thức | a| ≥ 0 với ∀ a ∈ R để giải.
Hướng dẫn giải:
17
Nguyễn Thị Hoa

THCS Hà Lĩnh


Hình thành kỹ năng giải bài tập có chứa giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7 Trường THCS Hà Lĩnh

Ta có | 3x - 2| ≥ 0 với ∀ x ∈ R.
⇒ 5| 3x - 2| ≥ 0 với ∀ x ∈ R.
⇒ A = 5 | 3x - 2| - 1 ≥ = - 1 với ∀ x ∈ R.
2
3

Dấu “=” xảy ra ⇔ 3x - 2 = 0 ⇔ hay x = . Min A = - 1 ⇔ x =

2
3

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = | x - 5| + | x - 7|
Dạng bài này tôi đã giới thiệu cho học sinh 3 cách giải sau:
Cách 1: Bài toán phụ:
Chứng minh rằng: | a| +| b| ≥ | a + b| .Dấu “=” xảy ra ⇔ ab ≥ 0
Hướng dẫn cho học sinh chứng minh dựa vào | a | > a ; | a | > - a
Áp dụng bài toán phụ, ta có:
B = | x - 5 | + | x - 7 | = | x - 5 | + | 7 - x | > | x - 5 + 7 - x|
B > | 2 | = 2.
Dấu “=” xảy ra: ⇔ (x - 5) (7 - x) > 0 ⇔ 5 < x < 7.
(Lập bảng xét dấu).
Vậy Min B = 2 ⇔ 5 < x < 7.
Cách 2: Ta có 3 trường hợp sau (dựa vào bảng xét dấu).
* Nếu x < 5 thì
B = - x + 5 - x + 7 = - 2x + 12

Vì: x < 5 ⇔ -2x > -10 ⇔ -2x + 12 > 2
Ta có: | x - 5 | + | x - 7 | > 2
* Nếu 5 < x < 7, ta có:
B=x-5-x+7=2
* Nếu x > 7, ta có:
B = x - 5 + x -7 = 2x - 12.
Vì x > 7 ⇔ 2x >14 nên 2x - 12 > 2
Do đó: | x - 5 | + | x - 7 | > 2
Vậy Min B = 2 ⇔ 5 < x < 7.
Cách 3: | x - 5 | > x - 5.
Dấu “=” xảy ra ⇔ x - 5 > 0 <=> x > 5
| x - 7 | = | 7 - x | > 7 -x
Dấu “=” xảy ra ⇔ 7 - x > 0 <=> x < 7
Do đó: B = | x - 5 | + | x - 7 | > x - 5 + 7 - x = 2
Dấu “=” xảy ra ⇔ x > 5 và x < 7 <=> 5 < x < 7
Vậy Min B = 2 ⇔ 5 < x < 7
c. Ví dụ 3: Hãy tìm x để tổng sau đạt giá trị nhỏ nhất.
C = | x + 5 | + | x + 13 | + | x + 20 | + | x + 77 | + | x + 2005 |
Để giải bài toán này giáo viên cần lưu ý học sinh vận dụng định nghĩa và các
tính chất sau:
A nếu A > 0
|A| = - A nếu A < 0
| B | > B dấu “=” xảy ra ⇔ B > 0; | C | > - C dấu “=” xảy ra ⇔ C < 0
18
Nguyễn Thị Hoa

THCS Hà Lĩnh


Hình thành kỹ năng giải bài tập có chứa giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7 Trường THCS Hà Lĩnh

| D | = 0 dấu “=” xảy ra ⇔ D = 0
Hướng dẫn giải:

| x + 5| > - ( x + 5) = - x - 5
| x + 13 | > - ( x + 13) = - x - 13
| x + 20 | > 0
| x + 77 | > x + 77
| x + 2005 | > x + 2005
Do đó C > - x - 5 - x - 13 + 0 + x + 77 + x + 2005 = 2064.
Dấu “=” xảy ra ⇔ x + 5 < 0; x + 13 < 0; x + 20 = 0; x + 77 > 0; x + 2005 > 0
Từ đó ta có x = - 20.Vậy với x = - 20 thì Min C = 2064.
6. Dạng 6: Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Đối với dạng toán này HS còn nhiều lúng túng chưa có phương pháp giải.
Phương pháp giải: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối để xác định đồ thị cần
vẽ theo từng khoảng giá trị của biến.
Ví dụ 1: Vẽ đồ thì hàm số y = | x |
[1]
Hướng dẫn giải:
y
x nếu x > 0
y = | x | - x nếu x < 0
4
+ Với=x > 0 đồ thị hàm số y = x là tia phân
3
giác của góc phần tư thứ I.
2
+ Với x < 0 thì đồ thị hàm số y = -x là tia
1
x

phân giác của góc phần tư thứ II.
[1]
-4

-3

-1 O

-2

1

3

2

4

-1

1
Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = (x + | x| )
2

-2

[1]

-3

Hướng dẫn giải:
+ Với x > 0 thì y = x
+ Với x < 0 thì y = 0
Đồ thị hàm số gồm tia phân giác của góc
phần tư thứ I và tia Ox’
[1]
Qua 2 ví dụ này giáo viên cho học sinh thấy
được khi vẽ đồ thì hàm số có chứa dấu giá trị
x’
tuyệt đối cũng phải khử dấu giá trị tuyệt
-4
đối để đưa về dạng đồ thị hàm số đã học.
Lưu ý học sinh vẽ đồ thị đúng khoảng giá trị của x .

y

4
3
2
1
x

-3

-2

-1 O

1

2

3

4

-1
-2
-3

Sau khi giới thiệu cho học sinh hết các dạng bài tôi chốt lại cho học sinh

19
Nguyễn Thị Hoa

THCS Hà Lĩnh


Hình thành kỹ năng giải bài tập có chứa giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7 Trường THCS Hà Lĩnh

Cốt lõi của đường lối giải bài tập chứa dấu giá trị tuyệt đối, đó là tìm
cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Khi đã xác định được dạng cụ thể nghĩ cách nào
làm nhanh gọn hơn để lựa chọn.
IV. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Kiểm nghiệm
Sau khi đã hướng dẫn đề tài này cho HS lớp 7A trường THCS Hà Lĩnh tôi
kiểm tra HS lớp 7A với đề bài :
1
2
3 x − 12 - 2 = 1

2x − 7 + x − 3 = 3

1) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc B = 2 x − 3 y víi x = , y = - 3.
2) Tìm x biết: a, x − 3 = 5
b,
c, 2 x − 3 - x = 5
d,
3)Tìm x ,y ,z biết : x + 1 + y − 2 + x + y − z ≤ 0
Sau khi chấm bài tôi thu được kết quả như sau:
Tổng
Giỏi
số
SL

Kết quả

Khá
Trung bình Yếu
Kém
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
34.
38

10
26.3 13
10
26.3 5
13.2 0
0
2
Qua kết quả áp dụng đề tài này đối với học sinh lớp 7, trong ôn tập bồi dưỡng
học sinh khá giỏi, dạy học đại trà tôi nhận thấy:
- Học sinh có tâm lý vững vàng, tự tin, có kỹ năng vận dụng tốt hơn, đặc biệt
học sinh dễ dàng giải được những lớp bài tập đã được nêu trong sáng kiến trên.
- Tôi thấy học sinh lĩnh hội kiến thức một cách thoải mái, rõ ràng, có hệ thống.
Học sinh biết phát hiện xâu chuỗi các kiến thức đã học, xoá đi cảm giác khó và
phức tạp ban đầu là không có quy tắc giải tổng quát, cảm thấy lý thú với chủ đề
này và qua đó cũng thấy được dạng toán này thật phong phú chứ không đơn
điệu. Qua kiểm tra việc làm bài tập của HS tôi thấy đa số HS làm được bài, hầu
hết các bài tập giao đều được các em ở mọi đối tượng tham gia tích cực.Với HS
khá giỏi các em đã được phát triển và nâng cao ngay từ các bài tập ở sau mỗi
buổi học, bề sâu kiến thức được tăng dần. Tuy nhiên với một số học sinh học lực
trung bình và yếu thì việc áp dụng các phương pháp trên vẫn chưa mang lại hiệu
quả cao như mong muốn.
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
I. KẾT LUẬN
Trong khuôn khổ của đề tài này tôi không tham vọng có thể đưa ra hết tất cả
các dạng toán về giá trị tuyệt đối của một số mà chỉ đưa ra một số dạng toán mà
chương trình cho phép đối với HS lớp 7 mà đặc biệt đối với HS khá giỏi.
Là giáo viên toán, bản thân tôi đã cố gắng tìm tòi và cung cấp thêm cho các
em những phương pháp giải mà sách giáo khoa không có thời gian đề cập đến
để có thể giúp học sinh vận dụng giải bài toán một cách nhanh nhất. Thực tế cho
thấy rằng muốn có kết quả cao trong giảng dạy thì phải có sự phấn đấu, sự bền

20
Nguyễn Thị Hoa

THCS Hà Lĩnh


Hình thành kỹ năng giải bài tập có chứa giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7 Trường THCS Hà Lĩnh

bỉ, kiên trì của thầy và trò. Kết quả đó cũng khích lệ giáo viên trong miệt mài
say sưa nghiên cứu cách giải các dạng toán để phát triển, nâng cao cho học sinh.
Để nâng cao chất lượng dạy học với từng đối tượng học sinh, bản thân tự rút ra
một số kinh nghiệm nhỏ như sau:
- Khi dạy, phải cho học sinh hiểu sâu sắc lý thuyết, nắm được các dạng để rồi
nhận được dạng trước 1 bài toán. Cần rèn luyện về cách lập luận và trình bày
của học sinh.
- Với mỗi bài, giáo viên phải để lại cho học sinh một ấn tượng, bước đi nào đó
để gặp bài toán tương tự học sinh có thể liên hệ được.
- Nắm vững nội dung, yêu cầu của chương trình, phạm vi, mức độ kiến thức.
Phải có quá trình tự học, tự nghiên cứu nghiêm túc và sáng tạo. Bám sát việc đổi
mới phương pháp dạy học sao cho phù hợp với đặc trưng bộ môn.
- Việc bồi dưỡng phát triển tư duy học sinh phải thực hiện ngay từ lớp 6, để
giúp học sinh rèn luyện tư duy lôgic và kỹ năng tính toán, đồng thời phát huy
tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh khi gặp bài tập ở dạng phức tạp.
II. KIẾN NGHỊ
Đây là đề tài mà Tôi muốn nêu một số vấn đề về kiến thức và phương pháp mà
tôi đã rút ra được khi dạy phần toán về gía trị tuyệt đối. Bằng những hiểu biết
của bản thân còn hạn chế, kinh nghiệm chưa nhiều. Trong quá trình thực hiện đề
tài chắc chắn chưa được hoàn hảo, không thể tránh khỏi những thiếu sót về cấu
trúc, về ngôn ngữ và cả về hình thức khoa học. Tôi rất mong được sự góp ý chân
tình của các bạn đồng nghiệp, của hội đồng khoa học để đề tài những năm học

tới được tốt hơn, đáp ứng với yêu cầu đổi mới giáo dục.
Vì vậy để đề tài thu được kết quả tốt và triển khai sâu rộng cho các em HS thì
Tôi có một vài kiến nghị đề xuất như sau:
1.
Đối với cán bộ quản lý nhà trường cần đầu tư thêm nhiều tài liệu tham
khảo cho giáo viên, có thư viện phong phú để HS tham gia nghiên cứu tài liệu,
có kinh phí hỗ trợ khuyến khích động viên giáo viên
2.
Mở rộng hội nghị khoa học để trao đổi kinh nghiệm dạy và học, tìm cách
áp dụng đề tài nghiên cứu một cách có hiệu quả.
3.
Tạo điều kiện về thời gian để rèn luyện HS yếu kém, bồi dưỡng HS khá
giỏi để đề tài được áp dụng rộng rãi và có kết quả cao hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Trung, ngày 15 tháng 03 năm 2017
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

CAM KẾT KHÔNG COPY

Tôi xin cam đoan SKKN này là của bản
thân tích lũy được trong quá trình công
tác, không sao chép copy của người khác
Tác giả

21
Nguyễn Thị Hoa

THCS Hà Lĩnh

Hình thành kỹ năng giải bài tập có chứa giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7 Trường THCS Hà Lĩnh

Nguyễn Thị Hoa
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nâng cao và phát triển toán 7 tập 1, tác giả Hữu Bình - Nhà xuất bản
Giáo dục
[2] Chuyên đề : Gía trị tuyệt đối- Đại số 7- Ngô Văn Chiến - Thư viện
[3] Sách giáo khoa Toán 7 tập 1, tác giả Phan Đức Chính (tổng chủ biên) Nhà xuất bản giáo dục
[4] SKKN: Một số dạng toán tìm x của giáo viên Nguyễn Thị Kim Thoa,
Trường THCS Thắng Lợi.

22
Nguyễn Thị Hoa

THCS Hà Lĩnh


Hình thành kỹ năng giải bài tập có chứa giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7 Trường THCS Hà Lĩnh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TRUNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HÌNH THÀNH KỸ NĂNG GIẢI BÀI TẬP CÓ CHỨA
GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CHO HỌC SINH LỚP 7
TRƯỜNG THCS HÀ LĨNH

Người thực hiện: Nguyễn Thị Hoa

Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Hà Lĩnh
SKKN thuộc lĩnh vực: Toán

THANH HÓA, NĂM 2017
Nguyễn Thị Hoa

THCS Hà Lĩnh

23


Hình thành kỹ năng giải bài tập có chứa giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7 Trường THCS Hà Lĩnh

24
Nguyễn Thị Hoa

THCS Hà Lĩnh