Rèn kĩ năng giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình cho học sinh lớp 9 trường THCS Long Giang

Rèn kó năng “Giaiû bài toán bằng cách lập hệ phương trình”
TĨM TẮT ĐỀ TÀI
TÊN ĐỀ TÀI: “Rèn kĩ năng giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình cho học sinh
lớp 9 trường THCS Long Giang”.
Họ và tên: Nguyễn Thị Đào Ngun
Đơn vị: Trường THCS Long Giang
I. Lý do chọn đề tài:
- u cầu đối với học sinh trong thời đại mới.
- Vai trò của mơn tốn trong trường phổ thơng.
- Thực trạng q trình học tập của học sinh khi học phần “ Giải bài tốn bằng cách
lập hệ phương trình”.
- Nhằm góp phần giúp học sinh có một định hướng cụ thể qua từng dạng tốn cơ
bản, tạo điều kiện giúp học sinh học tập có hiệu quả hơn, tự tin hơn khi gặp một số bài
tốn giải bằng cách lập hệ phương trình nên tơi quyết định chọn đề tài: “ Rèn kĩ năng
giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình cho học sinh lớp 9 trường THCS Long
Giang”.
II. Đối tượng – Phương pháp nghiên cứu:
- Đối tượng nghiên cứu: học sinh lớp 9
1
, 9
2
trường THCS Long Giang.
- Phương pháp nghiên cứu:
+ Nghiên cứu tài liệu.
+ Phương pháp điều tra.
+ Giả thuyết khoa học.
III. Đề tài đưa ra giải pháp mới:
Rèn kĩ năng giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình thơng qua bước phân tích
bài tốn, nhằm giúp cho học sinh tìm được các phương trình một cách dễ dàng hơn.
IV. Hiệu quả áp dụng:
Nếu học sinh nắm vững bước phân tích bài tốn thì các em khơng còn lúng túng khi

gặp loại bài này nữa, từ đó các em có niềm tin, say mê, hứng thú trong học tốn, tạo
cho các em tính tự tin, độc lập suy nghĩ, phát triển tư duy logic và suy luận tốn học .
V. Phạm vi áp dụng: Những bài tốn giải bằng cách lập hệ phương trình đối với học
sinh lớp 9 trường THCS Long Giang.
Long Giang, ngày….tháng 04 năm 2010
Người thực hiện
Nguyễn Thị Đào Ngun
- 1 -
Rèn kó năng “Giaiû bài toán bằng cách lập hệ phương trình”
A- MỞ ĐẦU
1/ Lý do chọn đề tài:
Để nắm vững và vận dụng được các kiến thức đã học vào thực tiễn đời sống thì
bất cứ mơn học nào cũng đòi hỏi học sinh phải có sự nỗ lực cố gắng trong học tập, chịu
khó suy nghĩ tìm tòi, có tính kiên trì, nhẫn lại khơng nản lòng khi gặp khó khăn trong
học tập cũng như trong cuộc sống sau này. Có như vậy thì các em mới làm chủ được tri
thức khoa học và cơng nghệ hiện đại, có kỹ năng thực hành giỏi và có tác phong cơng
nghiệp, vận dụng được các kiến thức đã học vào thực tế một cách linh hoạt, sáng tạo là
người cơng dân tốt sống có kỷ luật, người lao động có kỹ thuật nhìn nhận được đâu là
đúng, đâu là sai có chân lý rõ ràng.
Trong trường phổ thơng mơn tốn chiếm một vị trí khá quan trọng vì nó giúp các
em tính tốn nhanh, tư duy giỏi, suy luận, lập luận hợp lý lơgic, khơng những thế nó còn
hỗ trợ cho các em học tốt các mơn học khác như: vật lý, hóa học, sinh vật, kỹ thuật, địa
lý … “Dù các bạn có phục vụ ngành nào, trong cơng tác nào thì kiến thức và phương
pháp tốn học cũng cần cho các bạn …” (Phạm Văn Đồng)
Mơn tốn là mơn học giúp cho học sinh phát triển tư duy do tính trừu tượng, đòi
hỏi học sinh phải biết phán đốn, lập luận, suy luận chặt chẽ, là mơn học “thể thao của
trí tuệ”. Để nắm được kiến thức và vận dụng được các kiến thức đã học đòi hỏi các em
phải biết phân tích, tìm tòi, phán đốn … qua đó nó đã rèn luyện cho các em trí thơng
minh sáng tạo.
Trong q trình học tập của học sinh ở trường phổ thơng, nó đòi hỏi tư duy rất

tích cực của học sinh.
Để giúp các em học tập mơn tốn có kết quả tốt, có rất nhiều tài liệu sách báo đề
cập tới. Giáo viên khơng chỉ nắm được kiến thức, mà điều cần thiết là phải biết vận
dụng các phương pháp giảng dạy một cách linh hoạt, truyền thụ kiến thức cho học sinh
dễ hiểu nhất.
Chương trình tốn rất rộng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiến thức
lại có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Do vậy khi học, các em khơng những nắm chắc lý
thuyết cơ bản, mà còn phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu của mình, từ đó biết vận dụng để
giải từng loại tốn. Qua cách giải các bài tốn rút ra phương pháp chung để giải mỗi
dạng bài, trên cơ sở đó tìm ra các lời giải khác hay hơn, ngắn gọn hơn.
Tuy nhiên, trong thực tế một số ít giáo viên chúng ta chỉ chú trọng việc truyền
thụ kiến thức đầy đủ theo từng bước, chưa chú ý nhiều đến tính chủ động sáng tạo của
học sinh.
Thơng qua q trình giảng dạy mơn tốn lớp 9, đồng thời qua q trình kiểm tra
đánh giá sự tiếp thu của học sinh và sự vận dụng kiến thức để giải bài tốn bằng cách
lập hệ phương trình của bộ mơn đại số lớp 9. Tơi nhận thấy học sinh vận dụng các kiến
thức tốn học trong phần giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình còn nhiều hạn chế
và thiếu sót.
Đặc biệt là các em rất lúng túng khơng biết giải bài tốn như thế nào? Bắt đầu từ
đâu? Hoặc khi đã có một số ý tưởng để giải bài tốn thì cách lập luận khơng rõ ràng,
mạch lạc, lời giải khi trình bày chưa thấy được mối tương quan, liên hệ giữa các đối
tượng có trong bài. Mặc dù cũng có vài học sinh tìm được các phương trình, giải hệ
phương trình tìm đúng kết quả của bài tốn nhưng nhìn chung chưa khoa học và chuẩn
xác.
- 2 -
Rèn kó năng “Giaiû bài toán bằng cách lập hệ phương trình”
Do vậy việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng lập các phương trình để giải
tốn, ngồi việc nắm lý thuyết thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát triển
khả năng tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao chất lượng
học tập.

Mặt khác, giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình là nội dung kế thừa của
lớp 8. Chỉ khác chăng đó là q trình giải phương trình bậc nhất hay giải hệ phương
trình mà thơi. Vì thế, nếu học sinh nắm vững các bước cơ bản và có kĩ năng giải tốt
dạng bài tốn bằng cách lập phương trình ở lớp 8 sẽ tạo đà, đặt nền tảng vững chắc,
giúp học sinh dễ dàng giải các dạng tốn này ở lớp 9.
Nhằm góp phần giúp học sinh có một định hướng cụ thể qua từng dạng tốn cơ
bản, tạo điều kiện giúp học sinh học tập có hiệu quả hơn, tự tin hơn khi gặp một số bài
tốn dạng này nên tơi quyết định chọn đề tài: “Rèn kĩ năng giải bài tốn bằng cách lập
hệ phương trình” cho HS lớp 9.
2/ Đối tượng nghiên cứu:
Học sinh lớp 9 trường THCS Long Giang, năm học 2009-2010
3/ Phạm vi nghiên cứu:
Do thời gian nghiên cứu có hạn nên tơi chỉ áp dụng sáng kiến này đối với 2 lớp
9
1
, 9
2
trường THCS Long Giang.
4/ Phương pháp nghiên cứu:
a/ Nghiên cứu tài liệu: thu thập kinh nghiệm từ tạp chí giáo dục, từ các sách tham
khảo, tài liệu chun mơn.
b/ Phương pháp điều tra:
- Tham khảo ý kiến cũng như phương pháp giảng dạy của đồng nghiệp thơng qua các
buổi sinh hoạt chun mơn, dự giờ thăm lớp.
- Trò chuyện với học sinh về việc giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình.
- Điều tra khảo sát kết quả học tập của học sinh Thực nghiệm dạy ở lớp 9
1
, 9
2
trường

THCS Long Giang.
- Đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi dạy thực nghiệm thơng qua kết quả
kiểm tra một tiết và bài thi khảo sát chất lượng giữa HK
II
c/ Giả thuyết khoa học:
Để có thể học tốt dạng tốn này thì học sinh phải nắm vững các kiến thức liên quan.
Từ những bài tốn thực tế giáo viên giúp học sinh thất được tốn học gắn liền với đời
sống thực tế, tốn học khơng phải là những con số khơ khan, khơng biết nói. Nhờ vào
tán học giúp chúng ta giải được các bài tón thực tế, đáp ứng được nhu cầu phát triển
chung của xã hội; giúp ta định hướng được các cơng việc cần làm, tìm được lời giải tối
ưu, mang lại hiệu quả thiết thực cho cuộc sống.
Bản thân giáo viên phải tích cực chuẩn bị các bài tập thật phong phú và đa dạng,
đưa học sinh vào các tình huống có vấn đề, muốn tìm được đáp số của bài tốn đặt ra
cần thấy được các mối liên hệ giữa các đối tượng có trong bài, tích cực suy nghĩ, tích
cực trao đổi với nhóm hoặc với giáo viên nhằm tìm được kết quả sau cùng. Khẳng định
cho học sinh thấy được nếu tiếp thu tốt các kiến thức tốn học ta có thể học tốt các mơn
khoa học tự nhiên và khoa học xã hội từ những bài tốn có liên quan đến hóa học, vật lý
hay các câu đố vui dân gian,…

- 3 -
Rèn kó năng “Giaiû bài toán bằng cách lập hệ phương trình”
B- NỘI DUNG
1/ Cơ sở lí luận:
Mục tiêu giáo dục trong giai đoạn hiện nay là phải đào tạo ra con người có trí tuệ
phát triển, giàu tính sáng tạo và nhân văn cao. Để đào tạo ra lớp người như vậy thì nghị
quyết trung ương IV khóa VII năm 1993 đã xác định: “áp dụng phương pháp giáo dục
hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy, sáng tạo, năng lực giải quyết vấn
đề”. Nghị quyết trung ương II khóa VIII tiếp tục khẳng định “Phải đổi mới giáo dục đào
tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nề nếp tư duy sáng tạo của
người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại vào q

trình dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh ”.
Định hướng này đã được pháp chế hóa trong luật giáo dục điều 24 mục II đã nêu
“Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng
tạo của học sinh, phải phù hợp với đặc điểm của từng mơn học, rèn luyện kĩ năng vận
dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập
cho học sinh”. Trong đó, tốn học có vai trò quan trọng đối với đời sống và đối với các
ngành khoa học khác. Nhà tư tưởng Bê-Cơn đã nói rằng: “Ai khơng hiểu tốn học thì
khơng thể hiểu biết một khoa học nào khác và cũng khơng thể phát hiện ra sự dốt nát
của chính bản thân mình”. Sự phát triển của khoa học cũng đã chứng minh lời tiên đốn
của Các Mác: “Một khoa học chỉ thật sự phát triển nếu nó có thể sử dụng được những
phương pháp nghiên cứu của tốn học”. Do vai trò của tốn học trong đời sống và trong
cơng nghệ hiện đại, các kiến thức và phương pháp tốn học được xem là cơng cụ thiết
yếu giúp học sinh học tốt các mơn học khác, giúp học sinh hoạt động có hiệu quả hơn
trong mọi lĩnh vực.
Với vai trò mạnh mẽ của tốn học nên u cầu đặt ra là phải làm cho học sinh
nắm được các kiến thức tốn học một cách chính xác, vững chắc và có hệ thống, có
năng lực vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài tốn thực tế. Muốn vậy thì học
sinh phải có phương pháp học tập thích hợp. Trong việc đổi mới phương pháp dạy học
thì học sinh đóng vai trò chủ động trong việc tìm hiểu tri thức qua sự dẫn dắt, hướng
dẫn của giáo viên.
2/ Cơ sở thực tiễn:
Qua q trình giảng dạy và đánh giá kết quả thực tế từ các bài kiểm tra qua các
năm đứng lớp cho thấy: chỉ khoảng 20% học sinh giải tốt dạng tốn này, khoảng 30%
học sinh tìm được kết quả nhưng chưa trình bày rõ ràng và mạch lạc, khoảng 50% học
sinh còn lại bỏ trắng cả bài vì khơng biết phải bắt đầu giải như thế nào? Có chăng là
chép lống thống từ các bài giải của bạn mà khơng có mở đầu và kết thúc. Từ thực tế
trên cho thấy cần phải hình thành lại một số kĩ năng cơ bản: về cách lập luận, chọn ẩn
số, thể hiện được mối liên quan giữa các đối tượng để thiết lập hệ phương trình, tìm lời
giải cho bài tốn là một u cầu thiết thực và tất yếu.
3/ Nội dung vấn đề:

Xuất phát từ thực tế là các em học sinh ngại khó khi giải các bài tốn, tơi thấy
cần phải tạo ra cho các em có niềm u thích say mê học tập, ln tự đặt ra những câu
hỏi và tự mình tìm ra câu trả lời. Khi gặp các bài tốn khó, phải có nghị lực, tập trung tư
- 4 -
Rèn kó năng “Giaiû bài toán bằng cách lập hệ phương trình”
tưởng, tin vào khả năng của mình trong q trình học tập. Để giúp học sinh bớt khó
khăn và cảm thấy dễ dàng hơn trong việc “Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình”
ở lớp 9, tơi thấy cần phải phân loại các dạng bài tập khác nhau. Mỗi dạng bài tập đều
hướng dẫn học sinh cách lập các phương trình rồi giải hệ phương trình một cách thành
thạo. Điều quan trọng là các em phải biết phương pháp giải từng dạng bài tập. Việc này
đòi hỏi chúng ta phải tích cực quan tâm thường xun, khơng chỉ giúp các em nắm vững
lý thuyết mà còn phải tạo ra cho các em có một phương pháp học tập, rèn cho các em có
khả năng thực hành. Nếu làm được điều đó chắc chắn kết quả học tập của các em sẽ tiến
bộ.
“Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình” là phiên dịch bài tốn từ ngơn ngữ
thơng thường sang ngơn ngữ đại số rồi dùng các phép biến đổi đại số để tìm ra đại
lượng chưa biết thỏa mãn điều kiện bài cho.
3.1- ĐƯỜNG LỐI CHUNG ĐỂ GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ
PHƯƠNG TRÌNH :
Trước hết phải cho các em nắm được các bước để “Giải bài tốn bằng cách lập
hệ phương trình”
Bước 1 : Lập hệ phương trình gồm các cơng việc :
- Chọn ẩn số, chú ý ghi rõ đơn vị và đặt điều kiện cho ẩn số (Nếu có).
- Biểu thị các đại lượng chưa biết khác theo ẩn.
- Dựa vào các dữ kiện và điều kiện của bài tốn để lập hệ phương trình.
Bước 2 : Giải hệ phương trình. Tùy theo từng dạng hệ phương trình mà chọn
cách giải thích thích hợp và ngắn gọn.
Bước 3 : Nhận định kết quả và trả lời. Chú ý so sánh với điều kiện đặt ra cho ẩn
xem có thích hợp khơng (Vì các em đặt điều kiện cho ẩn đơi khi thiếu chặt chẽ).
Chú ý: Bước 1 có tính chất quyết định nhất. Thường đầu bài hỏi số liệu gì thì ta

đặt cái đó là ẩn số. Xác định đơn vị đo và điều kiện của ẩn phải phù hợp với ý nghĩa
thực tiễn. Tuy nhiên một vài trường hợp ta phải chọn ẩn trung gian.
Ví dụ: Bài tốn u cầu tính chu vi hình chữ nhật thì ta có thể gọi ẩn là chiều dài,
chiều rộng của hình chữ nhật. Hoặc đề bài u cầu tính qng đường AB thì ta có thể
gọi ẩn là vận tốc và thời gian đi từ A đến B….
3.2- PHÂN TÍCH BÀI TỐN :
- Trong q trình giảng dạy và hướng dẫn các em giải bài tập, giáo viên phải
phân ra từng loại tốn, giới thiệu đường lối chung từng loại, các cơng thức, các kiến
thức có liên quan từng loại bài. Ở lớp 9 các em thường gặp các loại bài như :
Loại tốn :
1- Bài tốn về chuyển động.
2- Bài tập năng suất lao động.
3- Bài tốn liên quan đến số học và hình học.
- 5 -
Rèn kó năng “Giaiû bài toán bằng cách lập hệ phương trình”
4- Bài tốn có nội dung vật lý - hóa học.
5- Bài tốn về cơng việc làm chung và làm riêng.
6- Bài tốn về tỷ lệ, chia phần.
Khi bắt tay vào giải bài tập, một u cầu khơng kém phần quan trọng, đó là phải
đọc kỹ đề bài, tự mình biết ghi tóm tắt đề bài, nếu tóm tắt được đề bài là các em đã hiểu
được nội dung, u cầu của bài, từ đó biết được đại lượng nào đã biết, đại lượng nào
chưa biết, mối quan hệ giữa các đại lượng.
Cần hướng dẫn cho các em như tóm tắt đề bài như thế nào để làm tốn, lên dạng
tổng qt của phương trình, ghi được tóm tắt đề bài một cách ngắn gọn, tốt lên được
dạng tổng qt của phương trình thì các em sẽ lập được các phương trình dễ dàng. Đến
đây coi như đã giải quyết được một phần lớn bài tốn rồi.
Khó khăn nhất đối với học sinh là bước lập hệ phương trình, các em khơng biết
chọn đối tượng nào là ẩn, rồi điều kiện của ẩn ra sao? Điều này có thể khắc sâu cho học
sinh là ở những bài tập đơn giản thì thường thường “bài tốn u cầu tìm đại lượng nào
thì chọn đại lượng đó là ẩn”.

Còn điều kiện của ẩn dựa vào nội dung ý nghĩa thực tế của bài song cũng cần
phải biết được nên chọn đối tượng nào là ẩn để khi lập ra phương trình bài tốn, ta giải
dễ dàng hơn.
Muốn lập được phương trình bài tốn khơng bị sai thì một u cầu quan trọng
nữa là phải nắm chắc đối tượng tham gia vào bài, mối quan hệ của các đối tượng này lúc
đầu như thế nào? lúc sau như thế nào?
 Chẳng hạn khi giải bài tốn :
Phân tích:
- 6 -
Rèn kó năng “Giaiû bài toán bằng cách lập hệ phương trình”
Ở đây, ta gặp các đại lượng: Số tấn cá đánh bắt trong tuần ( đã biết), tổng số tấn
cá và số tuần đánh bắt (chưa biết): theo kế hoạch và thực tế đã thực hiện. Chúng ta có
quan hệ:
(Số tấn cá đánh bắt trong tuần) x (số tuần đánh bắt) = Tổng số tấn cá.
Ta chọn ẩn là một trong các đại lượng chưa biết. Ở đây, ta chọn x là số tuần đánh
bắt theo kế hoạch và y là tổng số tấn cá đánh bắt theo kế hoạch (ẩn được đề xuất) để
chuyển bài tốn về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Quy luật trên cho phép ta lập bảng
biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài tốn ( Giáo viên kẻ bảng và hướng
dẫn học sinh điền vào bảng)
Số tấn cá đánh bắt
trong 1 tuần
Số tuần Tổng số tấn cá
Theo kế hoạch 20 x y
Đã thực hiện 26 x - 1 y+10
Khi đó:
- Phương trình (1) được thiết lập dựa trên địnnh mức trong kế hoạch
- Phương trình (2) được thiết lập dựa trên việc thực hiện kế hoạch trong thực tế
Như vậy theo điều kiện đề bài ta có hệ phương trình:
Ở chương trình lớp 9 thường gặp các bài tốn về dạng chuyển động ở dạng đơn
giản như : Chuyển động cùng chiều, ngược chiều trên cùng qng đường… hoặc

chuyển động trên dòng nước.
Do vậy, trước tiên cần cho học sinh nắm chắc các kiến thức, cơng thức liên quan,
đơn vị các đại lượng.
Trong dạng tốn chuyển động cần phải hiểu rõ các đại lượng qng đường, vận
tốc, thời gian, mối quan hệ của chúng qua cơng thức
S = v.t
. Từ đó suy ra:


s
v =
t
;
s
t =
v

Do đó, khi giải nên chọn 1 trong 3 đại lượng làm ẩn
Dạng tốn chuyển động cũng có thể chia ra nhiều dạng và lưu ý:
-Chuyển động cùng chiều trên cùng một qng đường đến khi gặp nhau thì:
(S) ơtơ 1 đi = (S) ơtơ 2 đi
Nếu hai xe cùng xuất phát mà ơ tơ 1 đến trước ơtơ 2 là t giờ thì:
(t) ơtơ 2 đi – (t) ơtơ 1 đi = t
-Chuyển động ngược chiều trên cùng một qng đường thì:
(S) ơtơ 1 đi + (S) ơtơ 2 đi = S
Nếu hai xe gặp nhau ở chính giữa qng đường AB thì:
(S) ơtơ 1 đi = (S) ơtơ 2 đi
-Chuyển động trên dòng sơng:
V
xi dòng

= V
Riêng
+ V
dòng nước
- 7 -
20x = y
26(x-1)=y+10
Rèn kó năng “Giaiû bài toán bằng cách lập hệ phương trình”
V
ngược dòng
= V
Riêng
- V
dòng nước
-Chuyển động trên cùng một đường tròn:
Hai vật xuất phát tại một điểm sau t giờ gặp nhau:
+Chuyển động cùng chiều:
Độ dài đường tròn (S) = (t).(v
1
-v
2
) (Giả sử v
1
, v
2
là vận tốc của hai vật, v
1
>v
2
)

+Chuyển động ngược chiều:
Độ dài đường tròn (S) =(t).(v
1
+v
2
)
Ví dụ: Một người đi từ A đến B gồm qng đường AC và CB hết thời gian là 4
giờ 20 phút. Tính qng đường AC và CB biết rằng vận tốc của người đó trên AC là 30
km/h, trên CB là 20 km/h và qng đường AC ngắn hơn CB là 20km.
* Phân tích:
Đối với dạng tốn này, GV cần hướng dẫn HS tóm tắt bài tốn bằng sơ đồ hình
vẽ:
v
AC
= 30 km/h; v
CB
= 20km/h
t
AB
=4 giờ 20 phút =
3
13
(giờ)
S
BC
– S
AC
= 20 (km)
Sau đó GV hướng dẫn HS lập bảng phân tích thơng qua các câu hỏi:
v (km/h) t (h) S (km)

Qng đường AC 30
30
x
x
Qng đường CB 20
20
y
y
Qng đường AB
3
13
Theo đề bài ta biết được những ơ nào?
HS: v
AC
, v
CB
, t
AB
Đề bài u cầu tìm đại lượng nào?
HS:Qng đường AC và CB
Hãy chọn các đại lượng đó là ẩn (S
AC
: x(km), S
CB
: y (km), đk 0<x<y)
Qng đường AC ngắn hơn CB là 20 km, ta có phương trình thế nào?
HS:y – x = 20 hay –x + y = 20 (1)
Biết qng đường và vận tốc đi trên mỗi qng đường, ta tính được đại lượng nào?
HS:thời gian đi trên mỗi qng đường
- 8 -

A
C
B
y(km)
x(km)
Rèn kó năng “Giaiû bài toán bằng cách lập hệ phương trình”
Vì thời gian đi tổng cộng là 4 giờ 20 phút =
3
13
(giờ) nên ta có phương trình thế
nào?
HS:
3
13
2030
=+
yx
(2)
Từ (1) và (2) ta đã tìm được hệ phương trình của bài tốn
Sau khi phân tích xong, giáo viên cần cho học sinh thấy rằng : Như ta đã phân
tích ở trên thì bài tốn này còn có thời gian đi trên mỗi qng đường chưa biết, nên
ngồi việc chọn qng đường là ẩn, ta cũng có thể chọn thời gian đi trên mỗi qng
đường là ẩn
Nếu gọi thời gian đi trên qng đường AC là x (km), đk x>0
Thời gian đi trên qng đường CB là y (km), đk y>0
Khi đó ta có bảng phân tích như sau:
v (km/h) t (h) S (km)
Qng đường AC 30 x 30x
Qng đường CB 20 y 20y
Qng đường AB

3
13
Vì thời gian đi tổng cộng là 4 giờ 20 phút =
3
13
(giờ) nên ta có phương trình thế
nào?
HS: x + y =
3
13
(1)
Qng đường AC ngắn hơn CB là 20 km, ta có phương trình thế nào?
HS: 20y – 30x = 20 hay -30x + 20y =20 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình này ta sẽ tìm được x và y
Đến đây học sinh dễ mắc sai lầm là dừng lại trả lời kết quả bài tốn
Do đó cần khắc sâu cho các em thấy được bài tốn u cầu tìm qng đường nên
khi có thời gian rồi phải tìm qng đường.
Tóm lại : Khi giải dạng tốn chuyển động, trong bài có nhiều đại lượng chưa
biết, nên ở bước lập hệ phương trình ta tùy ý lựa chọn một trong các đại lượng chưa biết
làm ẩn.
Nhưng ta nên chọn trực tiếp đại lượng bài tốn u cầu cần phải tìm là ẩn nhằm
tránh những thiếu sót khi trả lời kết quả.
- 9 -
x + y =
3
13

-30x + 20y =20

Rèn kó năng “Giaiû bài toán bằng cách lập hệ phương trình”
Song thực tế khơng phải bài nào ta cũng chọn được trực tiếp đại lượng phải tìm
là ẩn mà có thể phải chọn đại lượng trung gian là ẩn.
Đối với bài tốn “làm chung – làm riêng một cơng việc” giáo viên cần cung cấp
cho học sinh một số kiến thức liên quan như :
- Khi cơng việc khơng được đo bằng số lượng cụ thể, ta coi tồn bộ cơng việc là
1 đơn vị cơng việc biểu thị bởi số 1.
- Năng suất làm việc là phần việc làm được trong 1 đơn vị thời gian.
Ta có cơng thức A = nt ; Trong đó:
A : Khối lượng cơng việc
n : Năng suất làm việc
t : Thời gian làm việc
- Tổng năng suất riêng bằng năng suất chung khi cùng làm.
- Biết tìm năng suất làm việc như thế nào? thời gian hồn thành, khối lượng cơng
việc để vận dụng vào từng bài tốn cụ thể.
Khi ta nắm được các vấn đề trên rồi thì các em sẽ dễ dàng giải quyết bài tốn.
Xét bài tốn sau :

Phân tích:
- Trước hết phân tích bài tốn để nắm được những nội dung sau :
+ Khối lượng cơng việc ở đây là lượng nước của một bể.
+ Đối tượng tham gia ? (2 vòi nước)
+ Số liệu đã biết ? (thời gian hai vòi cùng chảy).
+ Đại lượng liên quan: Năng suất chảy của mỗi vòi, thời gian hồn thành của mỗi
vòi.
- 10 -
Rèn kó năng “Giaiû bài toán bằng cách lập hệ phương trình”
+ Số liệu chưa biết ? (Thời gian làm riêng để hồn thành cơng việc của mỗi vòi).
- Bài tốn u cầu tìm thời gian mỗi vòi chảy riêng để đầy bể.
Gíao viên hướng dẫn học sinh lập bảng phân tích:

Năng suất chảy trong 1 giờ Thời gian HTCV
Cả 2 vòi
4
3
(bể) 1 giờ 20 phút =
3
4
giờ
Vòi I
x
1
x
Vòi II
y
1
y
Qua bảng phân tích ta tìm được phương trình:
x
1
+
y
1
=
4
3
(1)
Để tìm được phương thứ hai, ta dựa vào giả thiết còn lại của bài tốn đó là:Nếu mở vòi
thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì đầy
15
2

bể
Như vậy ta phải tính xem trong 10 phút =
6
1
giờ vòi I chảy được bao nhiêu?
Trong 12 phút =
5
1
giờ vòi II chảy được bao nhiêu?
HS:Trong 10 phút =
6
1
giờ vòi I chảy được :
xx 6
11
.
6
1
=
(bể)
Trong 12 phút =
5
1
giờ vòi II chảy được :
yy 5
11
.
5
1
=

(bể)
Như vậy ta có phương trình thế nào?
HS:
15
2
5
1
6
1
=+
yx
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
GV: Ngồi cách chọn ẩn này ra, ta còn cách chọn nào nữa hay khơng?
HS: chọn x, y lần lượt là năng suất của mỗi vòi.
Giáo viên hướng dẫn học sinh lập bảng phân tích tương ứng:
Năng suất chảy trong 1 giờ Thời gian HTCV
Cả 2 vòi
4
3
(bể) 1 giờ 20 phút =
3
4
giờ
- 11 -
x
1
+
y
1

=
4
3
15
2
5
1
6
1
=+
yx
Rèn kó năng “Giaiû bài toán bằng cách lập hệ phương trình”
Vòi I x
x
1
Vòi II y
y
1
GV: Qua bảng phân tích ta có phương trình thế nào?
HS: x +y =
4
3
(1)
GV: Để tìm được phương trình (2) ta thực hiện như cách 1. Như vậy ta có phương trình
thế nào?
HS:
6
1
x +
5

1
y =
2
15
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Đến đây học sinh dễ nhầm lẫn là lấy kết quả tím được để trả lời bài tốn. Vì thế
giáo viên cần nhắc nhở học sinh đây khơng phải là kết quả cuối cùng mà ta phải trả lời ở
cột thời gian tức là lấy nghịch đảo kết quả tìm được để trả lời.
Lưu ý: Dù chọn ẩn ở cột thời gian hay năng suất thì phương trình lập được bao
giờ cũng dựa vào cột năng suất.
* Ở chương trình đại số lớp 9 các em cũng thường gặp loại bài tìm 1 số tự nhiên
có 2 chữ số, đây cũng là loại tốn tương đối khó đối với các em; để giúp học sinh đỡ
lúng túng khi giải loại bài thì trước hết phải cho các em nắm được một số kiến thức liên
quan:
- Cách viết số trong hệ thập phân:
+Số có 2 chữ số được kí hiệu là:
ab
=10a+b
+Số có 3 chữ số được kí hiệu là:
abc
=100a+10b+c
- Mối quan hệ giữa các chữ số, vị trí giữa các chữ số trong số cần tìm…; điều kiện
của các chữ số.
- Quan hệ chia hết và chia có dư:
+ Chữ số hàng chục a chia hết cho chữ số hàng đơn vị b là a = b.q (q là thương)
+ Chữ số hàng chục a chia cho chữ số hàng đơn vị b được thương là q và dư là r
thì: a = b.q + r
Ví dụ : “Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số của nó là 16, nếu đổi chỗ
hai chữ số cho nhau được một số lớn hơn số đã cho là 18 đơn vị. Tìm số đã cho.”

- 12 -
x +y =
x + y =