Hướng dẫn học sinh một vài phương pháp giải bài toán về số chính phương trong chương trình khối 8 THCS

HƯỚNG DÂN HỌC SINH MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN
VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH KHỐI 8 THCS
MỤC LỤC
Phần mục

Trang

1. Mở đầu

1

1.1. Lí do chọn đề tài

1

1.2. Mục đích nghiên cứu

2

1.3. Đối tượng nghiên cứu

2

1.4. Phương pháp nghiên cứu

3

2. Nội dung của sáng kiến

3

2.1. Cở sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

3

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng
kiến kinh nghiệm

4
5

2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.4. Hiêu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động

16

giáo dục, với bản thân, động nghiệp và nhà trường

3. Kết luận, kiến nghị

17

3.1. Kết luận

17

3.2. Kiến nghị

18

1

1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong công cuộc công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước đang đặt ra
những yêu cầu to lớn về chất lượng nguồn lực con người. Đó là sự phát triển
toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẫm mỹ. Từ đó, cho thấy giáo dục đạo
đức là một trong những điểm chủ yếu, cốt lõi xuyên suốt và giữ vị trí chủ đạo
trong toàn bộ quá trình phát triển nhân cách, đào tạo con người trong nhà
trường. Song song với việc giáo dục đạo đức thì việc giảng dạy kiến thức cho
học sinh cũng không thể thiếu. Toán học là một trong những môn học chiếm
vị trí quan trọng, bởi một học sinh học giỏi toán thì các môn học khác sẽ tiếp
cận rất nhanh.
Người thầy muốn học sinh của mình học giỏi toán, tự giác trong học tập,
biết cách tổ chức công việc của mình một cách độc lập, không bị thụ động áp
đặt, cần phải rèn cho học sinh kỹ năng, độc lập suy nghĩ một cách sâu sắc, nắm
vững kiến thức, hiểu rõ vấn đề. Muốn vậy, đòi hỏi người thầy lao động sáng tạo,
tâm huyết, biết tìm ra nhiều phương pháp, các dạng toán hay để truyền đạt cho
học sinh hiểu một cách cặn kẽ, thấu đáo, vận dụng linh hoạt kiến thức trong
nhiều tình huống khác nhau, khơi dậy niềm đam mê học toán.
Đối với học sinh lớp 6 đều biết định nghĩa về số chính phương, nhưng
thực tế cho thấy những bài toán về số chính phương các em gặp phải trong các
sách bồi dưỡng, sách nâng cao không đơn giản chút nào. Bởi để giải những bài
toán đó các em không chỉ dựa vào định nghĩa mà còn phải dựa vào nhiều tính
chất của số chính phương, mà các tính chất này khi học lên các lớp 7, 8, 9 các
em sẽ có cách nhìn sâu sắc hơn. Từ những định hướng trên đây, trong giảng
dạy Toán ngoài việc giúp học sinh nắm chắc những kiến thức cơ bản, thì việc
phát huy tính tích cực của học sinh trong việc mở rộng kiến thức, vận dụng các
kiến thức có liên quan là việc rất cần thiết, đặc biệt là cho công tác bồi dưỡng
học sinh giỏi.

Bản thân là một giáo viên dạy Toán ở trường THCS, tôi luôn tự cố gắng, tự
nghiên cứu để tìm ra những phương pháp giảng dạy sao cho có hiệu quả nhất
nhằm giúp học sinh phát huy tư duy, tính sáng tạo của bản thân và rèn luyện kỹ
năng cho học sinh. Tôi cũng đã bắt nhịp được với tinh thần giảng dạy đổi mới đó.
2


Trong quá trình giảng dạy, điều mà tôi trăn trở và tâm đắc nhất là dạy học
về số chính phương. Để giải quyết vấn đề đó tôi đã tìm tòi tài liệu và những kinh
nghiệm của bản thân để giảng dạy được tốt hơn .
Đề tài: "Hướng dẫn học sinh một vài phương pháp giải bài toán về số
chính phương trong chương trình khối 8 THCS". Xin giới thiệu với đồng
nghiệp và hội đồng khoa học nhằm nâng cao chất lượng học tập của học sinh
giúp cải thiện kết quả qua các kì thi.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Là một giáo viên trẻ trong trường THCS, được trực tiếp tham gia giảng
dạy và được nhà trường phân công nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi Toán khối
8, tôi luôn băn khoăn, suy nghĩ lựa chọn những chuyên đề Toán phù hợp với nội
dung chương trình, đồng thời phát triển tối đa năng lực tư duy của học sinh, bồi
dưỡng khả năng tự học của học sinh.
Qua quá trình giảng dạy kết hợp với nghiên cứu tài liệu, tôi xin trình bày
những kinh nghiệm mà tôi tích luỹ được khi dạy học sinh phần kiến thức “các
bài toán liên quan đến số chính phương” với mục đích giúp học sinh nắm được
các bài toán và cách giải cơ bản, qua đó củng cố và sau đó là nâng cao và phát
triển các kiến thức cơ bản học trong chương trình. Giúp học sinh phát triển năng
lực tư duy, tích cực, chủ động, sáng tạo trong học tập, bồi dưỡng năng lực tự học
cho các em.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Trong quá trình dạy học trên lớp tôi phát hiện có một số em học sinh thể
hiện khả năng nhận thức nhanh nhạy, thông minh. Các em giải quyết được hầu

hết các bài toán trong sách giáo khoa, đồng thời nếu được hướng dẫn các em có
thể làm được rất nhiều bài trong Sách bài tập. Một số bài toán các em giải quyết
theo nhiều phương án, có những phương án rất thông minh nằm ngoài dự đoán
của tôi. Trong quá trình dạy học thì một quan điểm mà tôi rất tâm đắc đó là
“Đưa học sinh vào vùng phát triển gần nhất”, tức là đặt ra một yêu cầu cao hơn
mà nếu học sinh cố gắng nỗ lực và được sự hướng dẫn của giáo viên (mức độ có
3


thể nhiều ít khác nhau) thì học sinh sẽ đạt được. Qua đó tri thức của học sinh
phát triển ở một tầm cao hơn, năng lực tư duy phát triển hơn. Ngoài ra tôi muốn
trao đổi với các bạn đồng nghiệp để rút kinh nghiệm và hoàn thiện hơn về nội
dung và phương pháp áp dụng của chủ đề "Hướng dẫn học sinh một vài phương
pháp giải bài toán về số chính phương trong chương trỡnh khối 8 THCS".
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Tham khảo các tài liệu liên quan đến công tác soạn giảng nhằm phát huy
tính tích cực của học sinh như: Một số vấn đề đổi mới phương pháp dạy học ở
THCS môn Toán do Bộ GD & ĐT ban hành. Thiết kế bài soạn, sách giáo viên,
sách giáo khoa, sách bài tập.
Ngoài ra tôi nghiên cứu thêm các tài liệu của bộ môn như “Toán nâng cao
và các chuyên đề”, “Nâng cao và phát triển Toán”...
Đúc rút từ việc tham gia các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi do Phòng
GD&ĐT tổ chức.
Thực tế công tác giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi của bản thân và
học hỏi đồng nghiệp.
2. Nội dung của sáng kiến
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Học sinh THCS nói chung thường ít tự mình tìm tòi tài liệu cho mình để
học, đa số học sinh còn thụ động tiếp thu kiến thức từ giáo viên. Vậy làm thế
nào để học sinh hứng thú với học tập đặc biệt là các chuyên đề như chứng minh

số chính phương, tìm số chính phương, ...
Với học sinh lớp 8 thì việc giải bài toán về "số chính phương" gặp rất
nhiều khó khăn. Chính vì vậy chúng ta cần:
- Giúp học sinh hiểu về số chính phương cũng đơn giản dễ dàng chứ
không phải là cái gì xa vời khó khăn cả.
- Giúp học sinh có các thao tác tư duy, so sánh, khái quát hoá, trừu tượng
hoá, tương tự hoá…để từ đó biết trình bày bài toán tốt nhất.
- Giúp học sinh kĩ năng thực hành, vận dụng kiến thức cơ bản để vận
dụng giải toán một cách thành thạo.
- Ngoài ra còn rèn luyện cho học sinh những đức tính cẩn thận, sáng tạo,
chủ động trong giải toán.
4


Vì vậy mét sè vÊn ®Ò träng t©m cần thiết cho giải bài toán về
số chính phương:
- Một số kiến thức cơ bản về số chính phương.
- Phương pháp giải bài toán về số chính phương.
- Một số dạng toán về bài toán về số chính phương.
- Một số bài toán có liên quan đến số chính phương.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
- Thực trạng
Trên thực tế giảng dạy nhiều năm qua, các bài toán về số chính phương ít
được đề cập đến nhưng là một trong những chuyên đề trong cấu trúc đề thi học
sinh giỏi của phòng GD&ĐT nên một số năm bồi dưỡng học sinh giỏi các lớp 6,
7, 8 của trường, tôi thấy các em thường tỏ ra lúng túng khi gặp về các bài toán
về số chính phương. Các em chỉ làm được một số bài tập ở dạng đơn giản, còn
những bài tập ở dạng phức tạp thì các em trình bày lủng củng, các kết luận
không có căn cứ và trình bày lời giải không khoa học.
Mặt khác qua trao đổi với đồng nghiệp trường bạn và qua việc theo dõi,

trao đổi với học sinh tôi thấy rằng học sinh hay ngại làm bài toán về số chính
phương vì nó lằng nhằng liên quan nhiều kiến thức. Những bài toán về số chính
phương học sinh bình thường hay khá giỏi đều hay nhầm lẫn. Bên cạnh đó tài
liệu để học thường ít, chưa có thành các chuyên đề.
Qua đó học sinh ta hay ngại học về số chính phương, còn những học sinh
siêng năng hơn thì chưa có nhiều tài liệu để học.
- Kết quả của thực trạng:
Để đánh giá khả năng giải toán của học sinh, tôi tiến hành kiểm tra 30 em
học sinh lớp 8 ở trường trong đợt bồi dưỡng học sinh giỏi với thời gian làm bài
30 phút:
Đề bài:
Bài 1( 5đ ): Tìm số chính phương có bốn chữ số và chia hết cho 33
1 2 3 + 444...4
1 2 3 + 1 là số chính phương.
Bài 2: Chứng minh rằng: M = 111...1
2 ncs1
ncs 4

5


Kết quả cụ thể là
Số HS

30

Giỏi

Khá

Trung bình

Yếu, Kém

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

1

3,3

3

10

10

33,3

16

53,4

Qua bài kiểm tra tôi thấy nhiều học sinh không làm được bài 2 hoặc một
số em giải dài dòng, phức tạp song lại không đầy đủ. Vì vậy, việc xây dựng
chuyên đề về số chính phương để áp dụng vào giảng dạy bồi dưỡng cho học sinh
khá giỏi là rất cần thiết và được triển khai ngay.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Các kiến thức cơ bản về số chính phương
* Định nghĩa: Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên.
* Tính chất:
1) Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9;
không thể có chữ tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
2) Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa
số nguyên tố với số mũ chẵn.
3) Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n+1.
Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n ∈ N).
4) Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n +1.
Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 ( n ∈ N ).
5) Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là
chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.
Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
6) Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16

6


Bài tập về số chính phương
Phương pháp: Để chứng minh một số N là một số chính phương ta có
thể biến đổi số đó thành bình phương của một số tự nhiên bằng cách dựa vào
cách biểu diễn số tự nhiên trong hệ thập phân
N = an an−1...a2 a1 = an.10n-1 + an-1.10n-2 + ...+ a2.102 + a1
Cách phân tích như vậy gọi là phương pháp cấu tạo số
n
1 2 3 = a . 999...9 = a. 10 − 1
1 2...
3a = a . 111...1
Đặc biệt aaa
nchs1

9

nsa

9

Bài tập: Chứng minh các số sau đây là số chính phương
1 2 3 + 444...4
123
a) A = 111...1
2 ncs1
ncs 4

1 2 3 + 111...1

1 2 3 + 666...6
1 2 3 +8
b) B = 111...1
2 ncs1
n +1cs 4
ncs 6
1 2 3 + 222...2
1 2 3 + 888...8
123 +7
c) C = 444...4
2 ncs 4
n +1cs 2
ncs 8
1 2 3 1 000...0
123 9
d) D = 224 999...9
n − 2 cs 9
ncs 0
123 1 2 3
e) E = 111...1555...56
ncs1
n −1cs 5
1 2 3 x 1 000...0
123 5 + 1
f) F = 111...1
1995cs1
1994 cs 0

Giải: Với loại bài tập này tuy không khó nhưng tôi phân tích để các em
hiểu bản chất bài toán sử dụng phương pháp cấu tạo số

999...9
1 2 3 10n − 1
111...1
1 2 3 = ncs 9
ta có thể chứng minh một cách dễ dàng
=
nchs1
9
9
999...9
999...9
123
123
1 2 3 + 444...4
1 2 3 = 2 ncs1
ncs 4
a) A = 111...1
+
4.
+1
2 ncs1
ncs 4
9
9
1
4
= (102 n − 1) + (10n − 1) + 1
9
9
2n

10 − 1 + 4.10n − 4 + 9
=
9
2

 10n + 2 
102 n + 4.10n + 4
=
=
÷
9
 3 

Vì số chính phương là bình phương của một số tự nhiên nên ta phải chứng
minh 10n + 2 chia hết cho 3
2

2

 10n − 1 + 3 
 10n − 1 
123
+ 1÷ mà 10n - 1 = 999...9
Do đó A = 
÷= 
ncs 9
3
3






7


2

 999...9

2
123
2


 n + 1÷
333...34
123
333...3
+
1
Suy ra A = 
=
=

÷
1
2
3
÷

n −1cs 3
 3
÷
 ncs 3




Vậy A là số chính phương
Từ tích của n chữ số 4 tôi có thể đưa về tích của n chữ số 1 bằng cách
444...4
1 2 3 = 4. 111...1
123
ncs 4

ncs1

Tương tự các câu sau học sinh tự làm
1 2 3 + 111...1
1 2 3 + 666...6
1 2 3 +8 =
b) B = 111...1
2 ncs1
n +1cs 4
ncs 6

999...9
123
2 ncs 9

9

+

999...9
123
n +1cs 9

9

+ 6.

999...9
123
ncs 9

9

+8

1 2n
1
6
(10 − 1) + (10n +1 − 1) + (10n − 1) +8
9
9
9
2n
n +1
n

10 − 1 + 10 − 1 + 6.10 − 6 + 72
=
9

=

2

 10n + 8 
102 n + 16.10n + 64
=
=
÷.
9
 3 

Vì số chính phương là bình phương của một số tự nhiên nên ta phải chứng
minh 10n + 8 chia hết cho 3
2

2

 10n − 1 + 9 
 10n − 1 
123
+ 3 ÷ mà 10n - 1 = 999...9
Do đó B = 
÷= 
ncs 9
3

3




2

 999...9

2
123
2


 n + 3÷
333...36
1
2
3
333...3
+
3
Suy ra A = 
=
=

÷
123
÷
n −1cs 3

 3
÷
 ncs 3




Vậy B là số chính phương
999...9

999...9

999...9

123
123
123
1 2 3 + 222...2
1 2 3 + 888...8
1 2 3 + 7 = 4. 2 ncs 9
n +1cs 9
ncs 9
c) C = 444...4
+
2.
+
8.
+7
2 ncs 4
n +1cs 2

ncs 8

9
9
9
4
2
8
= (102 n − 1) + (10n +1 − 1) + (10n − 1) + 7 +8
9
9
9
2n
n
4.10 − 4 + 2.10 .10 − 2 + 8.10n − 8 + 63
=
9
2

 2.10n + 7 
102 n + 28.10n + 49
=
=
÷.
3
9



Vì số chính phương là bình phương của một số tự nhiên nên ta phải chứng

minh 2.10n + 7 chia hết cho 3
2

2

 2.10n − 2 + 9 
 2.(10n − 1)

123
+ 3 ÷ mà 10n - 1 = 999...9
Do đó B = 
÷= 
ncs 9
3
3





8


2

 2.999...9

2
2
123




 666...692

÷
n
+ 3 =  2.333...3
Suy ra A = 
1 2 3 + 3 ÷ =  666...6
1 2 3 + 3 ÷ 1n −21cs36
÷
3

÷
ncs 3


 ncs 3




Vậy B là số chính phương
n
111...1.10
+ 555...5.10
+6
123 1 2 3
123

123
e) E = 111...1555...56
=
ncs1
n −1cs 5
ncs1
n −1cs 5

=

999...9
123
ncs 9

9

.10 + 5.
n

999...9
123
n −1cs

9

.10 + 6

1 n
5
(10 − 1).10n + .10(10n−1 − 1) + 6

9
9
2n
n
10 − 10 + 5.10n − 50 + 54
=
9

=

2

 10n + 2 
102 n + 4.10n + 4
=
=
÷ . Tương tự chứng minh giống câu a.
9
 3 

Vì số chính phương là bình phương của một số tự nhiên nên ta phải chứng
minh 10n + 2 chia hết cho 3
2

2

 10n − 1 + 3 
 10n − 1 
123
+ 1÷ mà 10n - 1 = 999...9

Do đó E = 
÷= 
ncs 9
3
3




2

 999...9

2
123
2


 n + 1÷
333...34
1
2
3
333...3
+
1
Suy ra E = 
=
=


÷
123
÷
n −1cs 3
 3
÷
 ncs 3




Vậy E là số chính phương
1 2 3 x 1 000...0
1 2 3 5 + 1 = 111...1.(1000...0
123
1 2 3 + 5) + 1
f) F = 111...1
1995cs1
1994 cs 0
1995 cs1
1995 cs1
101995 − 1 1995
(10 + 5) + 1
9
102.1995 + 5.101995 − 101995 − 5 + 9
=
9

=

2

 101995 + 2 
102.1995 + 4.101995 + 4
=
=
÷.
3
9



Vì số chính phương là bình phương của một số tự nhiên nên ta phải chứng
minh 101995 + 2 chia hết cho 3
2

2

 101995 − 1 + 3 
 101995 − 1 
123
+ 1÷ mà 101995 - 1 = 999...9
Do đó F = 
÷= 
1995 cs 9
3
3






9


2

 999...9

2
123
2


 1995cs 9 + 1÷
333...34
123
333...3
+
1
Suy ra F = 
=
=

÷
1
2
3
÷
1994 cs 3

 3
÷
 1995cs 3




Vậy F là số chính phương
Sau khi đưa ra bài tập trên nhằm giúp HS khắc sâu một số chính
phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên. Bằng cách biến đổi n
chữ số 1, n chữ số 4(câu a) hay số cụ thể hơn 1995 chữ số 1 (câu F). Tôi đã
cho HS thấy được các câu trên có chung một cách biến đổi. Từ bài toán nhìn
thấy phức tạp nhưng khi hiểu được thì trở nên đơn giản. Từ bài toán trên HS
đã có một chút kiến thức làm nền tảng cho các bài tập khác. Từ đó tôi đưa ra
3 giải pháp là 3 dạng toán cơ bản về số chính phương.
2.3.2. Các dạng cơ bản về số chính phương
Dạng 1: Chứng minh một số là số chính phương
Dạng 2: Tìm số chính phương
Dạng 3: Tìm một số biểu thức thõa mãn là một số chính phương
Mỗi dạng toán có cách giải riêng, từ đó giúp các em học sinh dễ học và
hiểu sâu sắc về dạng toán đó. Để làm được điều đó một cách thành thạo, nhuần
nhuyễn, thành đường mòn ta cần hướng dẫn học sinh cách giải tổng quát của
từng dạng rồi đưa ra các bài tập minh họa và bài tập vận dụng.
(Tuy nhiên việc phân chia dạng chỉ có tính chất tương đối)
Dạng 1: Chứng minh số chính phương
Phương pháp 1 : Dựa vào định nghĩa
Ta biết rằng, số chính phương là bình phương của một số tự nhiên.
Dựa vào định nghĩa này, ta có thể định hướng giải quyết các bài toán
1 2 3 , B = 222...2
123

Bài 1: Cho số tự nhiên A = 111...1
100 cs1
50 cs 2

Chứng minh rằng A - B là số chính phương
(Bài 395 -Trang 93 - Nâng cao và phát triển Toán 6 - Vũ Hữu Bình)
Giải: Khi đã hiểu được về số chính phương thì HS dễ dàng theo
phương pháp cấu tạo số để biến đổi A và B
1 2 3 = 111...1000...0
1 2 3 1 2 3 + 111...1
123
Ta có: A = 111...1
100 cs1
50 cs1
50 cs1
50 cs1
1 2 3 .1050 + 111...1
123
= 111...1
50 cs1
50 cs1
1050 (1050 − 1) 1050 − 1
+
=
9
9

10

102.50 − 1050 + 1050 − 1
=
9
2.50
10 − 1
=
9
999...9
50
123
1 2 3 = 2. 50 cs 9 = 2 (1050 − 1) = 2.10 − 2
B = 222...2
50 cs 2
9
9
9
2

102.50 − 2.1050 + 1  1050 − 1 
102.50 − 1 2.1050 − 2
=
−
Do đó A - B =
=
÷
9
9
9
 3 

Chứng minh tương tự như bài tập 1 thì A - B là số chính phương
GV lưu ý cho học sinh tích của có bao nhiêu chữ số (từ 1 đến 9) ta
cũng biến đổi được để đưa được về hằng đẳng thức bình phương của một
tổng
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương.
Với kiến thức của lớp 8 HS nghĩ thực hiện phép nhân đa thức với đa
thức bằng cách nhóm thừa số 1 với thừa số 4, thừa số 1 với thừa số 4
Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
= (x + y)(x + 4y)(x + 2y)(x + 3y) + y4
= (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4
Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t ∈ Z) thì
A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2
Vì x, y, z ∈ Z nên x2 ∈ Z, 5xy ∈ Z, 5y2 ∈ Z ⇒ x2 + 5xy + 5y2 ∈ Z
Vậy A là số chính phương.
Tôi đã chỉ cho HS cách nhóm các thừa số để nhằm xuất hiện các số
hạng chung ở 2 thừa số, còn 2 số hạng không chung bằng trung bình cộng
Bài tập củng cố
Bài 3: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính
phương (Bài 84 – trang 26 – Toán BDHS Lớp 8 – Vũ Hữu Bình, Tôn Thân, Đỗ
Quang Thiều).
Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n ∈ N).
Ta có: n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1
= (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + 1 (*)
Đặt n2 + 3n = t (t ∈ N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t2 + 2t + 1 = ( t + 1 )2
= (n2 + 3n + 1)2
Vì n ∈ N nên n2 + 3n + 1 ∈ N.
11

Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.
Còn đối với dãy số cộng thì ta chứng minh là số chính phương như thế
nào ta chuyển sang bài tập 4
Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; …
Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước
nó. Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương.
Giải: Vì dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số
đứng trước nó. Ta biến đổi từ dãy số tổng quát như sau:
444...4888...8
123 123
1 2 3 1 2 3 +1
Ta có 444...4888...89
=
ncs 4
n −1cs 8
ncs 4
ncs 8

1 2 3 + 8.111...1
1 2 3 +1
= 444...4
ncs 4
ncs1
10 n − 1
10 n − 1
. 10n + 8.
+1
9
9
4.10 2 n − 4.10 n + 8.10 n − 8 + 9

=
9

= 4.

2

 2.10n + 1 
4.10 2 n + 4.10 n + 1
=
= 
÷
3
9


2.000...01
123

Ta thấy: 2.10n +1 =

n −1cs 0
2

 2.10n + 1 
chia hết cho 3. Do đó 
÷
3



có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên nó

∈ Z hay các số có dạng 44…488…89 là số

chính phương.
Lưu ý: Khi làm với một dãy số bao giờ cũng biến đổi từ dãy số tổng
quát để tìm ra quy luật chung cho các dãy số còn lại
Bài tập củng cố:
1 2 3 , n ∈ N*
Bài 5: Cho A = 999...9
ncs 9

So sánh tổng các chữ số của A2 và tổng các chữ số của A
1 2 3 , B = 111...1
1 2 3 , C = 666...6
123
Bài 6: Cho m ∈ N*, A = 111...1
2 mcs1
m +1cs1
mcs 6

Chứng minh rằng A + B +C + 8 là số chính phương
Dạng 2: Tìm số chính phương
Ví dụ 1: Tìm số chính phương có bốn chữ số, được viết bởi các chữ số 3,
6,8,8.
Tôi có thể định hướng cho HS bằng câu hỏi: Số chính phương không
có tận cùng là các chữ số nào ?
Số chính phương không thể tận cùng bằng 2, 3, 7, 8
12

Giải: Gọi n2 là số chính phương phải tìm.
Số chính phương không thể tận cùng bằng 3, 8. Do đó n2 phải tận cùng bằng 6.
Số tận cùng bằng 86 thì chia hết cho 2, không chia hết cho 4 nên không là số
chính phương. Vậy n2 có tận cùng bằng 36.
Số chính phương phải tìm là 8836 = 942
Bài tập củng cố:
Bài 1: Tìm số chính phương có bốn chữ số, được viết bởi các chữ số 0, 2,3,4.
Bài 2: Tìm số chính phương có bốn chữ số, được viết bởi các chữ số 7, 4,2,0.
Bài 3: Tìm số chính phương có bốn chữ số, được viết bởi các chữ số 0, 2,3,5.
(Bài 381, 382, 383 trang 92, 93 - Nâng cao và phát triển
Toán 6 - Vũ Hữu Bình)
Đáp số:
Bài 1: 2304 = 482
Bài 2: 2704 = 522
Bài 3: 3025 = 552
Ví dụ 2: Tìm số chính phương có ba chữ số chia hết cho 56
Giải: Gọi số chính phương là a = n2 (100 ≤ a ≤ 999)
Vì a chia hết cho 56 nên a = 56.k(2 ≤ k ≤ 16 )
Hay n2 = 22 .14.k mà n2 là số chính phương
⇒ n2 M
14 ⇒ n M
14 ⇒ n ∈ B(14) = { 14; 28; 42;...}
Suy ra n2 ∈ { 196;784;1764;...} . Trong hai số 196, 784 có 784 có ba chữ số
chia hết cho 56
Vậy số chính phương phải tìm là 784
Ví dụ 3: Tìm số chính phương có 4 chữ số chia hết cho 147 và có tận
cùng là 9
Giải: Gọi số chính phương là a (1000 ≤ a ≤ 9999)

Vì a chia hết cho 147 nên a = 147.k(k ∈ N)
Hay a = 3.72 .k ( 8 ≤ k ≤ 67 ).
Theo giả thiết a có tận cùng là 9 nên tận cùng của k là 7
Như vậy k chỉ có thể 17, 27,37,47,57,67
Mặt khác 147 = 3.7.7 ⇒ k = 3.n2(n là số tự nhiên)
Trong các số trên chỉ có hai số 27 và 57 chia hết cho 3 nên k chỉ có thể là
27 hoặc 57
13


Nếu k = 27 thì a = 147 .27 = 3969 = 632 (thỏa mãn)
Nếu k = 57 thì a = 147 .57 = 8379 (không là số chính phương, loại)
Vậy số chính phương phải tìm là 3969
Tôi phân tích chỉ cho HS thấy sự khác nhau của ba ví
dụ trong một dạng
- Ví dụ 1 HS phải thuộc số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng
bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không thể có chữ tận cùng bằng 2, 3, 7, 8 và tính chất về
chia hết.
- Ví dụ 2, ví dụ 3 thuộc phép chia hết: Cho hai số tự
nhiên a và b (b ≠ 0), nếu có số tự nhiên x sao cho b.x = a thì ta nói a
chia hết cho b. Ngoài ra kết hợp với phép thử để loại những số không thỏa
mãn
Bài tập củng cố:
Bài 1: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống
nhau, 2 chữ số cuối giống nhau.
(Ví dụ 97 - Trang 92 Nâng cao và phát triển Toán 6 - Vũ Hữu Bình)

Gọi số chính phương phải tìm là aabb = n2 với a, b ∈ N, 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9
Ta có n2 = aabb = 1100a + 11b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1)
Nhận xét thấy 11.(99a+a+b)  11 ⇒ 99a + a + b 11 ⇒ a + b  11

Mà 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 nên 1 ≤ a+b ≤ 18 ⇒ a+b = 11
Thay a + b = 11 vào (1) được n2 = 112(9a + 1) do đó 9a + 1 là số chính phương.
Bằng phép thử với a = 1; 2; …; 9 ta có
+) a = 1 thì n2 = 112(9.1+1) = 112.10 (loại)
+) a = 2 thì n2 = 112(9.2+1) = 112.19 (loại)
+) a = 3 thì n2 = 112(9.3+1) = 112.28 (loại)
Làm tương tự với a = 4, 5..., 9 thấy chỉ có a = 7
thì n2 = 112(9.7+1) = 112.82 (thỏa mãn) ⇒ b = 4
Số cần tìm là 7744
Bài 2: Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương.
Gọi số chính phương đó là abcd . Vì abcd vừa là số chính phương vừa là

một lập phương nên đặt abcd = x2 = y3 ( x, y ∈ N)

Vì y3 = x2 nên y cũng là một số chính phương .
14


Ta có 1000 ≤ abcd ≤ 9999 ⇒ 10 ≤ y ≤ 21 và y chính phương ⇒ y = 16
Số cần tìm là 4096
Dạng 3 : Tìm một số để biểu thức thỏa mãn là một số chính phương
Bài 1: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số, biết rằng 2 số 2n+1 và 3n+1 đồng
thời là 2 số chính phương
(Bài 388 trang 93 - Nâng cao và phát triển Toán 6 - Vũ Hữu Bình)
Giải : Vì n là số tự nhiên có 2 chữ số nên 10 ≤ n < 100
do đó 21 ≤ 2n+1 < 201
Mặt khác 2n+1 là số chính phương lẻ, nên 2n+1 chỉ có thể nhận một trong
các giá trị :25; 49; 81; 121; 169.
Với 2n + 1 = 25 ⇒ 2n = 24 ⇒ n = 12. Khi đố 3n + 1 = 3.12+1 = 37
Với 2n + 1 = 49 ⇒ 2n = 48 ⇒ n = 24. Khi đó 3n + 1 = 3.24 + 1 = 73

Với 2n + 1 = 81 ⇒ 2n = 80 ⇒ n = 40. Khi đó 3n + 1 = 3.40 + 1 = 121
Với 2n + 1 = 121 ⇒ 2n = 120 ⇒ n = 60. Khi đó 3n + 1 = 3.60 + 1 = 181
Với 2n + 1 = 169 ⇒ 2n = 168 ⇒ n = 84. Khi đó 3n + 1 = 3.84 + 1 = 253
Trong các số trên chỉ có số 121=112 là một số chính phương.
Vậy số tự nhiên có 2 chữ số cần tìm là n = 40.
Bài 2: Tìm số tự nhiên n biết rằng n + 20 là một số chính phương và n - 69
cũng là một số chính phương.
Giải: Vì n + 20, n – 69 là số chính phương
đặt n + 20 = a2 ; n – 69 = b2 (a, b ∈N và a > b)
=> a2 – b2 = 89 => (a + b)(a – b) = 89.1
Nhận xét: vì a + b > a - b
 a + b = 89
suy ra a = 45.
a − b = 1

Do đó 

Vậy n = 452 – 20 = 2005
Bài 3: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu nhân nó với 135 thì ta
được một số chính phương
(Ví dụ 96 - Nâng cao và phát triển Toán 6 - Vũ Hữu Bình)
Giải
Gọi số phải tìm là n, ta có 135n = a2 (a ∈ N) hay 32 .3.5.n = a2
Số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn nên
n = 3.5.k 2 (k ∈ N). Ta thực hiện phép thử với k = 1, 2, 3,...
15


+) Với k = 1 thì n = 3.5.1 =15 (thỏa mãn bài toán).
Khi đó a = 135.15 = 2025 = 452

+) Với k = 2 thì n = 3.5.22 = 60(thỏa mãn bài toán).
Khi đó a = 135.60 = 8100 = 902
+) Với k = 3 thì n = 3.5.32 = 135, có nhiều hơn hai chữ số, loại
Vậy số phải tìm là 15 hoặc 60.
Bài 4: Cho biểu thức A = n2 - 3n - 1 (n∈ N)
Tìm n để biểu thức A nhận giá trị là số chính phương
( Câu II(2) - Đề thi học sinh giỏi lớp 8 cấp huyện năm học 2015 - 2016)
Giải:
Vì n2 - 3n - 1 là số chính phương nên đặt n2 - 3n -1 = k2 (k ∈ N)
⇒ 4n2 - 12n - 4 = 4k2
⇔ (2n)2 - 2.2n.3 + 32 - 13 = 4k2
⇔ (2n - 3)2 - (2k)2 = 13
⇔ ( 2n - 3 + 2k)(2n - 3- 2k) = 13
Nhận xét: 2n + 2k -3 > 2n - 2k - 3 và chúng là những số nguyên dương
nên ta có thể viết ( 2n + 2k - 3) (2n - 2k - 3) = 13.1
2n + 2k − 3 = 13 2n + 2k = 16
n + k = 8
n = 5
⇒
⇔
⇔
⇔
 2n − 2k − 3 = 1
2n − 2k = 4
n − k = 2
k = 3

Vậy để A là số chính phương thì n = 5
Bài 5: Tìm số nguyên dương n để biểu thức sau là số chính phương
n3 - n + 2

(Bài 217(c) - Trang 60 - Nâng cao và phát triển Toán 8 - Vũ Hữu Bình)
Giải: Với bài toán này ta không thể làm như bài 4
được. Vì có n3 ta không thể đưa được về hằng đẳng thức
bình phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu
mà hướng cho HS sử dụng tính chất của số chính phương
Nhận thấy n3 - n = n(n2 - 1) = n(n - 1)(n + 1) = (n - 1)n(n + 1) là ba số tự
nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3
Khi đó n3 - n + 2 chia cho 3 dư 2 nên không là số chính phương
Vậy không có số tự nhiên nào thỏa mãn bài toán
Bài tâp củng cố
Bài 6: Tìm số nguyên dương n để biểu thức sau là số chính phương
a) n2 - n + 2
b) n4 - n + 2
d) n5 - n + 2
(Bài 217; câu a,b,d; Trang 60 - Nâng cao và phát triển Toán 8 16


V Hu Bỡnh)
Bi 7: Chng minh rng x5 - x + 2 khụng l s chớnh phng vi mi x
thuc Z
( Cõu 3(2) - thi hc sinh gii lp 8 cp huyn nm hc 2016 - 2017)
* Túm li: Qua 3 dng toỏn v s chớnh phng giỳp cỏc em phn no
gii quyt c nhng khú khn trong vic gii nhng bi toỏn v s chớnh
phng, cỏc em cn phi s dng kin thc gỡ chng minh mt s l s
chớnh phng, hay tỡm mt s chớnh phng thừa món iu kin cho trc,
tỡm mt s t nhiờn khi bit mt biu thc l s chớnh phng,...
Một công việc rất quan trọng là giáo viên sau khi hớng dẫn học sinh giải xong một bài toán phải giúp học
sinh phát hiện ra phơng pháp mà bài toán sử dụng, đâu
là điều cốt lõi, yu tố nào có thể thay đổi trong bài toán
để học sinh có thể tạo bài tơng tự. Nếu học sinh tạo đợc

bài tơng tự và các học sinh khác cùng giải thì học sinh sẽ
hiểu kiến thức rất sâu và nhớ lâu, các em sẽ không còn
lỳng tỳng khi gặp những bài toán tơng tự và nhận thấy
việc ra đề bài không phải là khó khăn nữa.
2.4. Hiu qu ca sỏng kin kinh nghim i vi hot ng giỏo dc,
vi bn thõn, ng nghip v nh trng
Sau cỏc bui t chc hc i vi HS lp 8 v truyn th cho hc sinh mt
s bi tp cú h thng v phng phỏp gii nờu trờn tụi nhn thy t c mt
s kt qu sau:
- Hc sinh nm vng lớ thuyt, hiu v bit vn dng lm cỏc bi toỏn
mt cỏch thun thc
- Cỏc em thy c bn cht ca vn ang hc, gõy c s hng thỳ
tớch cc hc tp cho cỏc em. Lm cho hc sinh ch ng hn trong hc tp v
khụng ngng tỡm tũi thờm nhiu dng bi toỏn khỏc, cú ý thc trỏch nhim v t
hc v chu khú nghiờn cu bi
- Cỏc em ó bit nhn dng vo tng bi toỏn c th cú c phng
phỏp gii thớch hp, khụng cũn lỳng tỳng nh khi cha c hng dn cỏc k
nng trờn

17


- Với hệ thống kiến thức, các dạng toán và phương pháp giải được xây
dựng đơn giản và dễ nhớ nên học sinh nắm nhanh. Vì vậy đã hình thành cho học
sinh niềm thích thú khi gặp các dạng toán này. Hệ thống kiến thức trên phù hợp
với đối tượng học sinh có học lực yếu, trung bình đến khá và giỏi
- Nghiên cứu đề tài bản thân luôn được trau dồi kiến thức, tìm tòi từng
vấn đề trong quá trình dạy học và chỉ đạo của chuyên môn, hiểu được khả năng
tiếp thu của từng em học chưa chắc chưa sâu chỗ nào để kịp thời bổ sung, củng
cố cho các em

- Với hệ thống kiến thức, các dạng toán và phương pháp giải được xây
dựng đơn giản và dễ nhớ nên học sinh nắm nhanh. Vì vậy đã hình thành cho học
sinh niềm thích thú khi gặp các dạng toán này. Hệ thống kiến thức trên phù hợp
với đối tượng học sinh có học lực yếu, trung bình đến khá và giỏi
* Đánh giá kết quả qua kiểm tra đã có nhiều tiến bộ
TT
1
2
3
4

Xếp
loại
Giỏi
Khá
TB
Yếu

Trước KS
SL
%
1
3,3
3
10
10
33,3
16
53,4

Sau KS
SL
%
5
16,7
6
20
11
35,6
8
27,7

Tăng, giảm
SL
%
4
13,3
3
10
1
2,3
7
25,7

Ghi
chú

Như vậy, từ chỗ học sinh còn lúng túng trong kiến thức và phương pháp
giải, thậm chí tỏ thái độ không yêu thích, qua thực tế giảng dạy với hệ thống
kiến thức nêu trên học sinh đã giải thành thạo các dạng toán ở mức cơ bản. Khi

nắm vững kiến thức và phương pháp giải học sinh sẽ có được sự hứng thú góp
phần khơi dậy niềm say mê trong học tập từ đó nâng cao được chất lượng đại trà
trong dạy học bộ môn Toán. Với hệ thống kiến thức cơ bản được xây dựng và
truyền thụ như trên học sinh sẽ chủ động để tiếp thu những kiến mới hơn trong
chương trình ở các lớp
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
Qua việc thực hiện sáng kiến này tôi đã thu được rất nhiều bài học quý báu:
Giáo viên phải chịu khó tìm tòi, đọc tài liệu để tìm ra những chủ đề phù
hợp, phân dạng bài toán một cách khoa học để học sinh dễ tiếp thu. Việc tự học
của học sinh hiển nhiên là rất quan trọng xong sự hướng dẫn, định hướng của
18


thầy giáo làm cho kiến thức được sắp xếp một cách khoa học, lôgic, có hệ thống
giúp học sinh dễ hiểu, nhớ lâu.
Trong quá trình dạy học cần tạo điều kiện để học sinh tích cực, chủ động,
sáng tạo (tự mình tạo các bài toán tương tự, tự đánh giá bài làm của nhau, yêu cầu
các em ra đề bài cho bạn làm...) trong việc lĩnh hội tri thức. Bồi dưỡng khả năng
tự học của học sinh bằng việc đưa trước chuyên đề sẽ học và giới thiệu tài liệu để
các em nghiên cứu trước rồi sau đó mới dạy và giải đáp những chỗ chưa rõ.
3.2. Kiến nghị
Trên đây là những suy nghĩ và những việc mà tôi đã làm nhằm bồi dưỡng
học sinh giỏi, phát huy tính tích cực, chủ động của học sinh.
Rất mong các bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến giúp tôi làm tốt hơn công
việc của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thọ Xuân, ngày 25 tháng 5 năm 2017

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép của người
khác
Người viết

Đỗ Thị Vân

19


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nâng cao và phát triển Toán 6 – Vũ Hữu Bình
2. Nâng cao và phát triển Toán 8 – Vũ Hữu Bình
3. Toán bồi dưỡng học sinh lớp 8 – Vũ Hữu Bình, Tôn Thân, Đỗ Quang Thiều
4. Nguồn tài liệu trên Internet

20


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Đỗ Thị Vân
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên Trương THCS Xuân Giang

TT

Tên đề tài SKKN

1.

Phát triển tư duy học sinh qua

2.

việc vận dụng hệ thức Vi-ét
Một số kỹ năng sử dụng BĐT

3.

Cô-si tìm GTLN, GTNN
Một số dạng bài tập trong
chương trình hình học 9

Kết quả
Cấp đánh
đánh giá
giá xếp loại
xếp loại
(Phòng, Sở,
(A, B,
Tỉnh...)
hoặc C)

Năm học
đánh giá xếp
loại

Phòng

C

2007- 2008

Phòng

C

2010-2011

Phòng

B

2013-2014

21