MỘT số GIẢI PHÁP GIÚP học SINH PHÁT TRIỂN NĂNG lực GIẢI các bài TOÁN về đa THỨC với sự hỗ TRỢ của máy TÍNH cầm TAY

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GD&ĐT NGỌC LẶC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH PHÁT TRIỂN NĂNG
LỰC GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC VỚI SỰ HỖ TRỢ
CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY

Người thực hiện: Lê Thị Ny
Chức vụ : Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Thị Trấn
SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học

THANH HÓA, NĂM 2017

1


Tài liệu tham khảo

1. Hướng dẫn giải toán trên máy tính casio fx - 570VN Plus – TS.
Nguyễn Thái Sơn.
2. Sách giáo khoa Toán 8. Tập 1 - NXB Giáo Dục.
3. Sách giáo khoa Toán 8. Tập 1 - NXB Giáo Dục
4. Kinh nghiệm giải toán trên máy tính Casio II – Hoàng Hồ Nam.
5. Một số đề thi giải toán trên máy tính cầm tay các Tỉnh
6. Một số đề thi giải toán trên máy tính cầm tay cấp Quốc gia
7. Chuyên đề bồi dưỡng thường xuyên về Đa Thức – Phân Thức đại
số - Phương trình_ Nhà xuất bản Giáo dục.

8. Một số tài liệu cần thiết có liên quan trên mạng Internet
- Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8.
- Bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính cầm tay
chuyên đề đa thức.

2


MỤC LỤC
Trang
1. Mở đầu.
1.1.Lý do chọn đề tài

1

1.2. Mục đích nghiên cứu

1

1.3. Đối tượng nghiên cứu

2

1.4. Phương pháp nghiên cứu

2

2. Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận

2

2.2. Thực trạng về năng lực giải quyết các bài toán trong chuyên đề
đa thức với sự hỗ trợ của máy tính cầm tay ở học sinh khối 8 - Trường
Trung học sơ sở Thị Trấn Ngọc Lặc trước khi áp dụng đề tài.

3

2.3. Các giải pháp đã sử dụng giúp học sinh nâng cao năng lực giải
các bài toán về đa thức với sự hỗ trợ của máy tính cầm tay

3

2.3.1. Kiến thức cần nắm vững.

3

2.3.2. Phát triển năng lực giải các bài toán về đa thức với sự
hỗ trợ của máy tính cầm tay qua các dạng bài cụ thể.

5

2.3.3. Kiểm tra năng lực của học sinh trước và sau khi thực
hiện đề tài.

16

2.4. Kết quả đạt được
3. Kết luận

17
18

3


DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC XẾP
LOẠI

Tên đề tài
Sáng kiến

Đổi mới phương pháp dạy học định lí
hình học 7 theo hướng tích cực hóa
hoạt động học tập của học sinh.

Sử dụng phiếu học tập cho học sinh
yếu kém trong dạy học phân hóa đối
tượng học sinh theo năng lực.

Năm
cấp

2012

2013

Sử dụng bài tập tích hợp trong dạy học
đại số nhằm nâng cao năng lực giải
2015

toán cho học sinh ở trường THCS

Số, ngày, tháng, năm
Xếp của quyết định công
loại nhận, cơ quan ban
hành QĐ
Số 57/QĐ- GD&ĐT,
ngày 22 tháng 05 năm
B
2012, Trưởng phòng
GD&ĐT Ngọc Lặc.

B

A

Số 66/QĐ- GD&ĐT,
ngày 16 tháng 05 năm
2013, Trưởng phòng
GD&ĐT Ngọc Lặc.
Số 201/QĐ- GD&ĐT,
ngày 20 tháng 05 năm
2015, Trưởng phòng
GD&ĐT Ngọc Lặc.

4


1. Mở đầu
1.1 Lý do chọn đề tài

Đa thức và các phép toán về đa thức là một trong những mảng kiến thức
rất quan trọng trong chương trình đại số cấp THCS. Thực hiện thành thục các
phép toán về đa thức như: Tính giá trị của đa thức, phân tích đa thức thành nhân
tử, xác định nghiệm của đa thức, tìm thương và dư trong phép chia đa thức một
biến… là những chuẩn kiến thức - kĩ năng cơ bản của chương trình đại số lớp 8,
các bài toán về đa thức còn là chủ đề phong phú được khai thác và sử dụng
nhiều trong kì thi thi học sinh giỏi giải toán bằng máy tính cầm tay cấp trung
học cơ sở.
Máy tính cầm tay đã trở thành một công cụ hỗ trợ học tập cần thiết đối với
các em học sinh từ cấp Trung học cơ sở cho đến Đại học. Đối với các nước có
nền giáo dục tiên tiến, trong các tài liệu sách giáo khoa chuyên mục sử dụng
máy tính để giải toán được chú trọng từ rất sớm. Ở Việt Nam chỉ từ sau những
năm 2000 máy tính cầm tay mới bắt đầu được sử dụng rộng rãi và dần thay thế
các bảng tính, bảng lượng giác cồng kềnh. Tuy nhiên đối với các trường thuộc
các huyện miền núi nói chung và huyện Ngọc Lặc nói riêng do điều kiện kinh tế
khó khăn, khả năng tiếp cận và ứng dụng các thiết bị hỗ trọ học tập còn chậm thì
máy tính cầm tay chỉ được sử dụng phổ biến trong dạy và học kể từ sau năm
2010.
Khoa học kĩ thuật phát triển nhanh, các loại máy tính được Bộ Giáo dục
cho phép sử dụng trong các kì thi Quốc gia và kì thi học sinh giỏi giải toán bằng
máy tính cầm tay cũng được nâng cấp và cập nhật các chức năng mới liên tục,
trong khi đó tài liệu hướng dẫn cũng như các chuyên đề giải toán bằng máy tính
cầm tay ít được biên soạn và xuất bản chính thống. Chính vì vậy nhiều giáo viên
còn lúng túng và gặp không ít khó khăn khi hướng dẫn học sinh thực hành giải
toán trên máy tính cầm tay. Đối với học sinh, tuy số lượng sử dụng máy tính
ngày càng tăng, song do không được hướng dẫn và bổ trợ các kĩ năng cần thiết
nên hầu hết máy tính chỉ được dùng để thực hiện các phép toán thông thường,
các chức năng của máy tính chưa được khai thác và sử dụng hiệu quả trong dạy
và học. Xuất phát từ thực tiễn giảng dạy bộ môn toán 8 và bồi dưỡng đội tuyển
giải toán bằng máy tính cầm tay, với mong muốn giúp học sinh có cái nhìn tổng

quát, cách giải cụ thể và kĩ năng thực hành máy thành thạo để gi ải quy ết các
dạng toán về đa thức, tôi mạnh dạn sưu tầm, tìm tòi và đưa ra sáng kiến “Một số
giải pháp giúp học sinh phát triển năng lực giải các bài toán về đa thức với
sự hỗ trợ của máy tính cầm tay ” cho học sinh lớp 8 và đội tuyển học sinh giỏi
giải toán bằng máy tính cầm tay lớp 8, lớp 9 ở trường THCS Thị trấn Ngọc Lặc.
1.2 Mục đích nghiên cứu:
- Củng cố, mở rộng, khắc sâu các kiến thức về đa thức
- Trang bị cho học sinh một số phương pháp giải các dạng toán về đa thức.
- Nâng cao năng lực giải toán bằng máy tính cầm tay cho học sinh lớp 8 và đội
tuyển học sinh giỏi giải toán bằng máy tính cầm tay lớp 8, lớp 9 ở trường THCS
Thị trấn Ngọc Lặc.

5


- Xây dựng chuyên đề dạy học, làm tài liệu tham khảo cho bản thân và đồng
nghiệp trong công tác giảng dạy và bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ.
- Nâng cao chất lượng giáo dục đại trà, đặc biệt là chất lượng bồi dưỡng đội
tuyển học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay ở trường THCS Thị trấn
Ngọc Lặc.
- Phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo, năng lực tự học, năng lực tự giải
quyết vấn đề của học sinh, tạo điều kiện cho các em có tài liệu tự học và tham
khảo.
1.3 Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Các giải pháp giúp học sinh lớp 8 và đội tuyển học sinh
giỏi giải toán bằng máy tính cầm tay lớp 8, lớp 9- Trường THCS Thị trấn Ngọc
Lặc, phát triển năng lực giải các bài toán về đa thức với sự hỗ trợ của máy tính
cầm tay.
Phạm vi nghiên cứu: Các dạng toán về đa thức trong đề tài được giải với sự hỗ
trợ của máy tính casio fx - 570VN PLUS, áp dụng cho học sinh khối 8, và đội

tuyển học sinh giỏi giải toán bằng máy tính cầm tay lớp 8, lớp 9 ở trường THCS
Thị trấn Ngọc Lặc.
1. 4 Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu chương trình, xây dựng cơ sở lí thuyết.
- Nghiên cứu thực tiễn.
- Phân tích điều tra, khảo sát thực tế.
- Kiểm nghiệm kết quả trước và sau tác động.
2. Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm
2.1 Cơ sở lí luận
Đa thức là một chuyên đề cơ bản trong chương trình đại số 8. Các dạng
toán về tính giá trị của đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử …có nhiều ứng
dụng quan trọng trong chương trình toán phổ thông. Tuy nhiên ngoài các kiến
thức nền trong chương trình, nếu thiếu kĩ năng sử dụng máy tính cầm tay các em
sẽ gặp rất nhiều khó khăn trong việc giải quyết các bài toán về đa thức. Thực tế
cho thấy, máy tính cầm tay không chỉ phát huy tác dụng trong các kì thi học sinh
giỏi giải toán bằng máy tính cầm tay mà nó đã trở thành một công cụ hữu ích
nhờ khả năng xử lí dữ liệu phức tạp với tốc độ nhanh, chính xác giúp tiết kiệm
nhiều thời gian và công sức cho người học.
Trong những năm gần đây, hình thức kiểm tra, đánh giá bằng trắc nghiệm
ngày càng được sử dụng nhiều trong các nhà trường ở hầu hết mọi cấp học. Đặc
biệt theo quyết định của Bộ Giáo dục thì tất cả các môn học sẽ được thi theo
hình thức trắc nghiệm trong kì thi Tốt nghiệp Quốc gia từ năm học 2016 – 2017.
Đối với bộ môn toán học việc tổ chức thi, kiểm tra theo hình thức trắc nghiệm
đòi hỏi học sinh ngoài việc rèn luyện khả năng tư nhạy bén, các em còn rất cần
kĩ năng tính toán nhanh và chính xác, chính vì vậy trong hành trang đến trường
của các em không thể thiếu “người bạn đồng hành” là chiếc máy tính cầm tay.
Việc khai thác và sử dụng tốt các chức năng của chiếc máy tính cầm tay sẽ hỗ

6

trợ đắc lực cho học sinh trong học tập cũng như thi cử ở các bộ môn khoa học tự
nhiên, đặc biệt là môn toán với hình thức thi trắc nghiệm.
2.2 Thực trạng về năng lực giải quyết các bài toán trong chuyên đề đa thức
với sự hỗ trợ của máy tính cầm tay ở học sinh khối 8 - Trường Trung học sơ
sở Thị Trấn Ngọc Lặc trước khi áp dụng sáng kiến.
Thị trấn Ngọc lặc có điều kiện kinh tế tương đối phát triển, vì vậy số học
sinh sử dụng máy tính cầm tay trong học tập chiếm khoảng 70% tổng số học
sinh toàn trường. Tuy nhiên do áp lực về mặt kiến thức và hạn chế về mặt thời
gian trong các tiết học, nên giáo viên ít có thời gian hướng dẫn học sinh khai
thác hết các chức năng của máy. Bên cạnh đó tài liệu hướng dẫn cũng như các
chuyên đề giải toán bằng máy tính cầm tay ít được biên soạn và xuất bản chính
thống nên giáo viên và học sinh gặp khó khăn trong việc tìm tài liệu tham khảo.
Đó là những nguyên nhân dẫn tới thực trạng học sinh thiếu kĩ năng thực hành
tính toán trên máy tính cầm tay, số lượng học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi
giải toán trên máy tính cầm tay ít và chất lượng giải thấp.
Kết quả của thực trạng trước khi áp dụng sáng kiến vào dạy học.
Năm học 2015 - 2016
Lớp

Tổng số

8A1
26
8A2
30
Năm học 2016 - 2017

Giỏi
SL

%
0
0
0
0

42

Giỏi
SL
2

44

0

Lớp

Tổng số

8A1
8A2

Khá
SL %
4
15,4
3
10

%
4,8

Khá
SL
7

0

4

Trung bình
SL
%
10
38,5
12
40

Yếu, kém
SL %
12
46,1
15
50

%
17,7

Trung bình

SL
%
18
42,8

Yếu, kém
SL
%
15
37,5

9

21

19

48

43

2.3 Các giải pháp đã sử dụng giúp học sinh nâng cao năng lực giải các bài
toán về đa thức với sự hỗ trợ của máy tính cầm tay
2.3.1 Kiến thức cần nắm vững
Để học sinh giải được các bài toán về đa thức, trước tiên giáo viên phải
giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản và một số các kiến thức nâng cao
trong chuyên đề đa thức, bao gồm:
1. Nghiệm của đa thức một biến
Nếu tại x = a, đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a ( hoặc x = a) là
một nghiệm của đa thức đó. (1)

2. Phép chia đa thức .
Với 2 đa thức tùy ý A và B của cùng một biến (B ≠ 0), tồn tại duy nhất
một cặp đa thức Q và R sao cho A = B.Q + R, trong đó R = 0 hoặc bậc của R
(1) Định nghĩa nghiệm của đa thức một biến – Sách giáo khoa Toán 7. Tập 1.

7


nhỏ hơn bậc của B ( R được gọi là dư trong phép chia A cho B).
Khi R = 0 phép chia A cho B là phép chia hết.(1)
3. Định lý Bezout (2)
Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a chính là f(a)
Hệ quả:
- Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho x - a
b
a

- Dư trong phép chia đa thức f(x) cho (ax + b) là f(- )
- Nếu đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 + ….+ a1x + a0 có n nghiệm x1 , x2 …,xn thì đa
thức P(x) phân tích được thành nhân tử :
P(x) = a(x – x1)(x – x2) ….(x – xn-1)(x – xn)
4. Sơ đồ Hoocne (3)
Dùng sơ đồ Hoocne để tìm thương và số dư của phép chia đa thức
P(x) = a0xn + a1xn−1 + ... + an cho x – a.
x
a0
a1
…
an-1
an

a
b0 = a0
b1 = b0.a+ a1
bn-1 = bn-2.a+ an-1
r =bn = bn-1.a+ an
Khi đó:
P(x) = a0xn + a1xn−1 + ... + an = (x - a)( b0xn-1 + b1xn-2 ….+ bn-2x + bn-1) + r
Chú ý:
- Bậc của đa thức thương luôn nhỏ hơn bậc của đa thức P(x) 1 đơn vị vì đa thức
chia x - a có bậc là 1.
- Nếu r = 0 thì đa thức P(x) chia hết cho (x – a) và x= a sẽ là một nghiệm của đa
thức P(x).
5. Các hằng đẳng thức (4)
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
a2 - b2 = (a+b)(a – b)
(a+ b)3 = a3 + 3a2b+3ab2+b3 = a3 + b3 + 3ab(a+ b)
(a - b)3 = a3 - 3a2b+3ab2 - b3 = = a3 - b3 - 3ab(a- b)
a3 + b3 = (a+b)(a 2- ab + b2)
a3 - b3 = (a - b)(a 2+ ab + b2)
(a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b +...+ abn-2 + bn-1)
*Ghi chú: Tổng các hệ số khai triển của một đa thức bằng giá trị của đa thức đó
tại x = 1.(5)
(1) Phần chú ý – Trang 31_ Sách giáo khoa Toán 8. Tập 1.
(2), (3) Thao khảo từ: Chuyên đề bồi dưỡng thường xuyên về Đa Thức – Phân Thức đại số Phương trình_ Nhà xuất bản Giáo dục.
(4) Từ hằng đẳng thức thứ 1 đến thứ 7 – Sách giáo khoa Toán 8. Tập 1
Hằng đẳng thức 8 và 9 - Chyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 _ Nguồn Internet.
(5) Chyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 – Nguồn Internet.

8


2.3.2 Phát triển năng lực giải các bài toán về đa thức với sự hỗ trợ của máy
tính cầm tay qua các dạng bài cụ thể.
Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức
Dạng 1.1: Các bài toán rèn luyện kĩ năng tính toán.
Bài toán 1: Cho đa thức P(x) = 17x5 − 5x4 + 8x3 + 13x2 − 11x − 357
Tính P(1,25); P(2,18567); P(-5,1289)
Phương pháp:
- Nhập đa thức P(x) vào máy tính:
17 ALPHA X x n 5-5 ALPHA X x n 4+8 ALPHA X SHIFT x 2 +13 ALPHA X
x 2 - 11 ALPHA X - 357 =
- Sử sụng phím CALC để tính giá trị của đa thức P(x) tại các giá trị của biến,
và ghi kết quả.
CALC X? 1,25 =
CALC X? 2,18567 =
CALC X? (−) -5,1289 =
- Kết quả P(1,25) = -295,139648
P(2,18567) = 498,438088
P(-5,1289) = - 64832,99289
Bài tập phát triển kĩ năng
Bài 1.1: Cho biểu thức:

7 x 2 y 3 − 3 xy 2 z + 5 x 2 z 3 − 2314
C= 3 2
x y + 3x 2 yz 2 − 5 yz 3 + 4718

Tính giá trị của biểu thức C tại: x = 0,53 ; y = 1,34; z = 2,18
Hướng dẫn Giải:

- Nhập biểu thức C vào máy tính:
- Sử sụng phím CALC để tính giá trị của biểu thức C tại các giá trị của biến, và
ghi kết quả.
Bài 1.2: ( Đề thi Quốc gia giải toán trên máy tính cầm tay lớp 9 – Năm 2013)
Cho biểu thức:
4
3
2
5 x 5 + 4 x 4 + 3 x3 + 2 4 y + 3 y + 2 y + y 5 z 5 + 4 z 4 + 3 z 3 + 2
M= 4
+ 5
+
4
3
4 x + 3 x3 + 2 x 2 + x 5 y + 4 y + 3 y + 2 4 z 4 + 3z 3 + 2 z 2 + z
Tính M khi x = 2 ; y = 26; z = 2013

Hướng dẫn Giải:
- Nhập biểu thức: 5x5 + 4x4 + 3x3 +2. Sử sụng phím
biểu thức tại các giá trị của biến x = 2 ; y = 26; z =
giá trị tìm được vào ô nhớ A, D, E.
- Nhập biểu thức: 4x4 + 3x3 + 2x2 +x. Sử sụng phím
biểu thức tại các giá trị của biến x = 2 ; y = 26; z =
giá trị tìm được vào ô nhớ B, C, F.

CALC để tính giá trị của

2013 và lần lượt đưa các
CALC để tính giá trị của

2013 và lần lượt đưa các

9


A
B

- Nhập vào máy +

C E
+
=
D F

Kết quả: M = 2518, 1750
Bài 1.3: Tính tổng các hệ số của đa thức:
f(x) = ( 3x2 - 4x +1)2016 + ( 3x2 - 4x +2)2017
Hướng dẫn Giải:
Tổng các hệ số của một đa thức bằng giá trị của đa thức đó tại x = 1. Gọi
tổng các hệ số của đa thức f(x) là A, ta có:
A = f(1) = ( 3- 4 +1)2016 + ( 3 - 4 +2)2017 = 0 + 12017= 1
Bài tập tự luyện
Bài tập 1.1.1
a) Cho đa thức P(x) = x15 -2x12 + 4x7 - 7x4 + 2x3 - 5x2 + x - 1
3
4

Tính P(1,25); P(4,327); P(-5,1289); P( 1 )
b) Cho đa thức Q(x) = x7 -7x6 + 35x5 - x4 - 5x3 - 9x2 +39 x – 1.

Tính Q(2) + 2Q(5) – Q(3)
Bài tập 1.1.2
Tính giá trị của biểu thức
A=

3x5 − 2x4 + 3x2 − x
tại x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321
4x3 − x2 + 3x + 5

Bài tập 1.1.3
Tính giá trị của các biểu thức sau:

3x5 y 3 − 4 x3 y 2 + 3x 2 y − 7 x
tại: x = 1,23456 ; y = 3,121235
x3 y 3 + x 2 y 2 + x 2 y + 7
7x 5 y-x 4 y3 +3x 3 y+10xy 4 -9
F=
tại x=2,1835 ; y= -7,0216.
5x 3 -8x 2 y 2 +y3

E=

Bài tập 1.1.4
a) Tính tổng các hệ số của đa thức : (5x3 - 4x2 + 8x -7)20
b) (Đề thi Quốc gia giải toán trên máy tính cầm tay lớp 9 – Năm 2016)
Cho đa thức Q(x) = ( 3x 2 + 2x -7)64. Tính tổng các hệ số của đa thức chính
xác đến đơn vị.
Bài tập 1.1.5
a) Cho f ( x ) = ( x 2 + x + 1) 20 = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a40 x 40 .
Tính tổng: S1 = a1 + a3 + a5 +.....+ a39 và S2 = a0 + a2 + a4 +.....+ a40

b) Cho P(x) = ( 2 + x + 3x2 )10 = a0 + a1x + a2x2 + ... + a29x29 + a30x30
Tính tổng: S = a1 + a2 +.....+ a30
Dạng 1.2: Kết hợp kĩ năng tính toán với vận dụng các hằng đẳng thức.
Bài toán 2: Tính giá trị của biểu thức sau:
P(x) = 1 + x + x2 + x3 +...+ x8 + x9
tại x = 0,53241
Phương pháp
Áp dụng hằng đẳng thức: an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b +...+ abn-2 + bn-1)

10


Ta có:
( x − 1)(1 + x + x 2 + ... + x 9 ) x10 − 1
=
P(x) = 1 + x + x + x +...+ x + x =
x −1
x −1
2

3

8

9

Từ đó tính P(0,53241) =
Bài toán 3:
Cho x1006 + y1006 = 1,006 và x2012 + y2012 = 2,012. Tãy tính gần đúng giá trị
biểu thức: A = x3018 + y3018.(Kết quả làm tròn đến 5 chữ số thập phân)

Phương pháp
Bước 1
Đặt a = x1006 ; b= y1006
Ta có : a + b = 1,006 (gán vào A: 1,006 SHIFT STO A )
a2 + b2 = 2,012 (gán vào B: 1,006 SHIFT STO B )
⇒ (a+b)2 = 1,006 2
⇒ a2 + b2 + 2ab = 1,0062
⇒ ab = (1,0062 - 2,012) : 2
(Để tính ab trên máy thực hiện dòng lệnh: (A2 – B):2 ấn = SHIFT STO C )
Bước 2 ( Có thể thực hiện theo một trong 2 cách sau)
Cách 1: Từ hằng đẳng thức (a+ b)3 = a3 + b3 + 3ab(a+ b)
Ta suy ra hằng đẳng thức a3 + b3 = (a+ b)3 - 3ab(a+ b)
Khi đó : A = x3018 + y3018 = a3 + b3 = (a+b)3 - 3ab(a+b)
(Để tính A trên máy thực hiện dòng lệnh: A3 – 3.C.A và ấn = )
Cách 2:
Áp dụng hằng đẳng thức: a3 + b3 = (a+b)(a 2- ab + b2)
Khi đó : A = x3018 + y3018 = a3 + b3 = (a+b)[(a 2 + b2) - ab]
(Để tính A trên máy thực hiện dòng lệnh: A.(B-C) và ấn = )
Kết quả : A = 2,52705
Bài tập phát triển kĩ năng
Bài 1.4( Đề thi Tỉnh Bình Thuận giải toán trên MTCT lớp 8 – Năm 2014)
1

1

1

Cho C = x 2 + y 2 + z 2
1

1

1

Tính C biết x, y, z khác 0 thỏa mãn x+y+z = xyz và x + y + z = 1,63205
Hướng dẫn Giải:
- Áp dụng hằng đẳng thức: (a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
1

1

1

Đặt a = x + y + z
2

1
1 1
 1
1 1
1 1 1
⇒  + + ÷ = 2 + 2 + 2 + 2 + + ÷
x
y
z
 xy yz zx 
x y z
x+ y+z
⇒ a2 = C + 2.
=C+2

xyz
⇒ C = a2 - 2 = 0,663587202

11


Bài 1.5( Đề thi Tỉnh Gia Lai giải toán trên máy tính cầm tay lớp 9 – Năm 2015)
Tính giá trị của biểu thức
x 32 + x 31 + x 30 + ... + 1
A=
khi x = 2
x10 + x9 + x8 ... + 1

Hướng dẫn Giải:
- Áp dụng hằng đẳng thức: an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b +...+ abn-2 + bn-1)
Ta có:
( x − 1) x32 + x31 + x30 + ... + 1 x33 − 1 x11 − 1 x 22 + x11 + 1 22 11
A=
=
=
= x + x +1
x11 − 1
( x − 1) x10 + x9 + x8 + ... + 1 x11 − 1

(

(

)

)

(

)(

)

A = 222 + 211 + 1 = 4196353

- Thay x = 2,
Bài 1.6

2k + 1

Cho các số a1 , a2, a3 ,..., a2013 . Biết ak = (k 2 + k ) 2 với k = 1; 2;3;....; 2013.
Tính S = a1 + a2 + a3 + .... + a2013 . (viết kết quả dưới dạng phân số tối giản)
Hướng dẫn Giải:
k2 +2k +1) - k2 ( k +1) 2 - k2
(
2k + 1
1
1
=
= 2Ta có : ak = (k 2 + k )2 =
2
2
2
2
2

( k +1) .k
( k +1) .k k ( k +1)

Do đó:
= 1−

1 1  1

1



1

1



a1 + a2 + a3 + . . . + a2013 =  2 - 2 ÷+  2 - 2 ÷+ ....... + 
2
2 ÷
1 2   2 3 
 2013 2014 

1
4056195
=
2
2014
4056196

Bài tập tự luyện
Bài tập 1.2.1: Tính giá trị của biểu thức sau:
f(x) = x2 + x3 + x4 + …+ x16 + x17 tại x = -2,1345
Bài tập 1.2.2: Tính giá trị của các biểu thức sau:
x 40 + x 36 + ... + x 4 + 1
tại x = 1,20122013
x 42 + x 40 + ... + x 2 + 1
( x + 1)( x 2 + 1)...(1 + x 20 )
b) A = 38 36
Tại x = 0,2017
x + x + ... + x 2 + 1
x 40 + x 35 + x30 + ... + x 5 + 1
C
=
c)
tại x = 2,315; y = 3,428
y 24 + y 21 + y18 + ... + x3 + 1

a) A =

Bài tập 1.2.3:
a) Cho các số a1 , a2, a3 ,..., a2013 . Biết ak =

3k 2 + 3k + 1
với k = 1; 2;3;....; 2013.
(k 2 + k )3

Tính S = a1 + a2 + a3 + .... + a2013 . (viết kết quả dưới dạng phân số tối giản)
3

5

7

9

2n + 1

b) Cho Sk= (1.2)2 + (2.3)2 + (3.4) 2 + (4.5) 2 + .... + n(n + 1) 2 ( k = 1,2,3….).
[
]
Tính S2017

12


Bài tập 1.2.4: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) P = (10+1). (102+1). (104+1)….. (1016+1)
1
2

1
4

b) Q = (1 + ).(1 + ).(1 +

1
1
)....(1 +

)
16
65536

Bài tập 1.2.5:
a) Cho x1000 + y1000 = 6,12 và x2000 + y2000 = 33,76244. Tính x3000 + y3000.
b) Cho x100 + y100 = 12,18 và x200 + y200 = 74,945. Tính x400 + y400.
Dạng 1.3: Tính giá trị của đa thức mà các hệ số của đa thức chưa xác định.
Bài toán 4: Cho đa thức
P ( x ) = x11 + a0 x10 + ... + a1x + m . Biết P ( i ) = i, ∀i = 1, 2,3, 4,...,11; ai ∈ Ζ .

Nêu tóm tắt cách tính và tính chính xác P(12).
Phương pháp
Xét đa thức: f ( x ) = P ( x ) − x . Vì P(i) = i, ∀ i = 1, 2...,11 nên f(i ) = 0, ∀ i = 1, 2...,11
chứng tỏ 1, 2, …, 11 là nghiệm của f(x).
Mặt khác P(x) là đa thức bậc 11 có hệ số bậc cao nhất là 1 nên:
f ( x ) = ( x − 1) ( x − 2 ) ... ( x − 11) . Suy ra: ( x − 1) ( x − 2 ) ... ( x − 11) = P ( x ) − x
Hay P ( x ) = ( x − 1) ( x − 2 ) ... ( x − 11) + x

Vậy P ( 12 ) = 11× 10 × ... × 1 + 12 = 11!+ 12 = 39916812
Bài tập phát triển kĩ năng
Bài 1.6( Đề thi Tỉnh Sóc Trăng giải toán trên MTCT lớp 9 – 2015)
11
10
9
8
Cho đa thức: P ( x ) = x + ax + bx + cx + ... + mx + n và P(1) = 3; P(2) = 7;
P(3) = 13; P(4) =21 ; P(5) = 31; P(6) = 43; P(7) = 57; P(8) = 73; P(9) =91;
P(10) = 111; P(11) = 133 . Tính P(12)
Hướng dẫn Giải:

Xét f(x) = x2 +x + 1
Đặt Q(x) = P(x) – f(x)
Q(1) = P(1) – f(1) = 0
Q(2) = P(2) – f(2) = 0
Q(3) = P(3) – f(3) = 0
………………….
Q(11) = P(11) – f(11) = 0
Vậy ta có 1, 2, 3, 4, …, 11 là nghiệm của Q(x)
Mặt khác P(x) là đa thức bậc 11 có hệ số bậc cao nhất là 1 nên:
Q(x) = (x-1)(x-2)(x-3)……(x-11)
Do đó P(x) = Q(x) +f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)……(x-11) + x2 +x + 1
⇒ P ( 12 ) = 11× 10 × ... ×1 + 12 2 + 12 + 1 = 11!+ 157 = 39916957
Bài 1.7
Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 1; P(2) = 4;
P(3) = 9; P(4) = 16. Tính P(17)

13


Hướng dẫn Giải:
Cách 1: Đồng nhất thức
Đặt P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)+ m(x -1)(x - 2)(x - 3)+ n(x -1)(x - 2)+ p(x-1) + q
Với x = 1 thì P(1) = q = 1
Với x =2 thì P(2) = p+ q = 4 ⇒ p= 3
Với x = 3 thì P(3) = 2n +2p+q = 9 ⇒ n = 1
Với x = 4 thì P(4) =6m+6n+3p+ q = 16 ⇒ m = 0
Vậy P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)+ (x -1)(x - 2) +3(x-1) +1
⇒ P(17) = 43969
Cách 2: Xác định các hệ số a, b, c, d của đa thức, sau đó tính giá trị của đa thức
theo bài toán 1.

Do P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d và P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16.
Nên các hệ số a, b, c, d của đa thức là nghiệm của hệ phương trình:
 P(1) = 1
 P(2) = 4


 P(3) = 9
 P(4) = 16

1 + a + b + c + d = 1
16 + 8a + 4b + 2c + d = 4

⇔ 
81 + 27a + 9b + 3c + d = 9
 256 + 64a + 16b + 4c + d = 16

⇔

 a + b + c + d = 0(1)
8a + 4b + 2c + d = −12(2)


 27a + 9b + 3c + d = −72(3)
64a + 16b + 4c + d = −240(4)

Giải hệ phương trình: Ta lần lượt lấy (2) trừ (1); lấy (3) trừ (2); lấy (4) trừ (3)
Thực hiện giải phương trình trên máy tính
MODE 5 2

8 − 1 = 4 − 1 = 2 − 1 = 1 − 1 = -12 − 0 =

27 − 8 = 9 − 4 = 3 − 2 = 1 − 1 = -72 − -12 =
64 − 27 = 16 − 9 = 4 − 3 = 1 − 1 = -240 − -72 =
= a = -10
= b= 36
= c = -50
Tính d = -(a+b+c) = 24
Hay P(x) = x4 -10x3 + 36x2 - 50x + 24
Vậy: P(17) = 43969
Cách 3: Tìm quy luật của đa thức dư
Dễ thấy P(1) = 1 = 12
P(2) = 4 = 22
P(3) = 9 = 32
P(4) = 16 = 42
Xét f(x) = x2
Đặt Q(x) = P(x) – f(x)
Q(1) = P(1) – f(1) = 0
Q(2) = P(2) – f(2) = 0
Q(3) = P(3) – f(3) = 0
Q(4) = P(4) – f(4) = 0
Vậy ta có 1, 2, 3, 4 là nghiệm của Q(x)

14


Mặt khác P(x) là đa thức bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 nên:
Q(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
Do đó P(x) = Q(x) +f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + x2
⇒ P ( 17 ) = 16 × 15 × 14 × 13 + 17 2 = 43969
Cách 4: Xác định đa thức dư
Bước 1: Đặt Q(x) = P(x) + H(x) sao cho Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = 0

Do bậc của H(x) phải nhỏ hơn bậc của P(x), nên bậc H(x) nhỏ hơn 4, nghĩa là:
Q(x) = P(x) + a1x3 + b1x2 + c1x + d1
Bước 2: Tìm các hệ số a1, b1, c1, d1.
Do Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = 0 nên a 1, b1, c1, d1 là nghiệm của hệ phương
 a1 + b1 + c1 + d1 + 1 = 0
8a + 4b + 2c + d + 4 = 0
 1
1
1
1
trình: 
 27a1 + 9b1 + 3c1 + d1 + 9 = 0
64a1 + 16b1 + 4c1 + d1 + 16 = 0

Giải hệ phương trình ta được: a1 = c1 = d1 = 0; b1 = -1
Vậy ta có: Q(x) = P(x) - x2
Vì x = 1, x = 2, x = 3, x = 4 là nghiệm của Q(x), mà bậc của P(x) bằng 4 có hệ
số bậc cao nhất bằng 1 nên:
Q(x) = P(x) - x2 = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)
⇒ P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)+ x2.
⇒ P ( 17 ) = 16 × 15 × 14 × 13 + 17 2 = 43969
Nhận xét:
Thực chất cách 3 và cách 4 được trình bày ở trên là cùng một phương
pháp, tuy nhiên không phải ở bài nào chúng ta cũng dễ dàng phân tích để tìm ra
quy luật của đa thức dư như cách 3 trình bày. Do đó để giải quyết những bài
không thể nhận dạng được đa thức dư thì ta phải thực hiện như cách 4.
Bài tập tự luyện
Bài tập 1.3.1: Cho P(x) =ax17 + bx16 + cx15 + . . . mx+ n
biết: P(1) = 1; P(2) = 2; . . . . . . ; P(17) = 17. Tính P(18)
Bài tập 1.3.2: ( Đề thi Tỉnh Thừa Thiên Huế giải toán trên MTCT lớp 8 – 2015)

Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, biết P(1) = 8; P(2) = 18; P(3) =
32; P(4) =50 ; P(5) = 72.
Tính giá trị đúng của P(6), P(11), P(2014), P(2015).
Bài tập 1.3.3: ( Đề thi Huyện Ngọc lặc giải toán trên máy tính cầm tay lớp 9).
Năm học 2016 - 2017)
Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, biết P(1) = 3; P(2) = 9;
P(3) = 1; P(4) =33 ; P(5) = 51.
a) Xác định các hệ số a, b, c, d, e.
b) Tính chính xác P(2010)
Bài tập 1.3.4: ( Đề thi Tỉnh Bình Thuận giải toán trên MTCT lớp 8 – 2014)
Cho đa thức f(x) có bậc 6 và hệ số cao nhất là 1. Biết f(5) = 2029;

15


f(6) = 2044; f(7) = 2063; f(8) = 2086; f(9) = 2113; f(10) = 2144.
Tính f(19) và f(123).
Bài tập 1.3.5:
Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 1; P(2) = 3;
P(3) = 6; P(4) = 10. Tính A =

P (5) − 2 P(6)
=?
P (7)

Bài tập 1.3.6: ( Đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT lớp 9 – Năm 2005)
Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005. Biết rằng khi x lần
lượt nhận các giá trị 1,2,3,4 thì giá trị tương ứng của đa thức P(x) lần lượt là
8,11,14,17. Tính giá trị của đa thức P(x) với x = 11,12,13,14,15
Dạng 2: Tìm thương và số dư trong phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax+b

Cơ sở lí thuyết
Định lý Bezout
Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a chính là f(a)
Hệ quả của định lý Bezout:
- Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho x – a
b
a

- Dư trong phép chia đa thức f(x) cho (ax + b) là f(- )
Để tìm hệ số của đa thức thương khi chia đa thức f(x) cho (ax + b): dùng lược
b
a

đồ Hoocner để tìm thương trong phép chia đa thức P(x) cho (x + ) sau đó nhân
vào thương đó với

1
ta được đa thức thương cần tìm.
a

Bài toán 5
a) Tìm số dư trong phép chia đa thức: P(x) = 205x 6 + 8x5- 302x4 + 2x2–9x +234
cho nhị thức x + 5
b) Tìm dư trong phép chia P(x) = 3x3 - 5x2 + 4x - 6 cho 2x – 5
Phương pháp
a) Dư trong phép chia đa thức: P(x) = 205x6 + 8x5- 302x4 + 2x2–9x +234 cho nhị
thức x + 5 là giá trị của đa thức tại x = -5
Hay r = P(-5) =
5
2

b) Dư trong phép chia P(x) = 3x3 - 5x2 + 4x - 6 cho 2x – 5 là: r = P( ) =
Bài toán 6
Tìm thương và dư trong phép chia P(x) = x7 - 2x5 - 3x4 + x - 1 cho x + 5.
Phương pháp
- Sử dụng lược đồ Hoocner để tìm thương và số dư:
1 0
-2
-3
0
0
1
-1
-5

1

-5.1+0

= -5

-5.(-5)+(-2)

= 23

-5.23+(-3)

-5.(-118) +0

= -118

=590

-5.590+0

=
-2950

-5.(-2950)+1

= 14751

-5.14751+(-1)

= -73756

x7 - 2x5 - 3x4 + x - 1
= (x + 5)(x6 - 5x5 + 23x4 - 118x3 + 590x2 - 2950x + 14751) - 73756

16


Vậy: Thương của phép chia là: x6 - 5x5 + 23x4 - 118x3 + 590x2 - 2950x + 14751
Số dư là: - 73756
Bài tập phát triển kĩ năng
Bài 1.8
Tìm giá trị của m để đa thức P(x) =2x3 + 3x2 - 4x +5 + m chia hết cho
3x +2
Hướng dẫn Giải:
- Đa thức P(x) chia hết cho 3x +2 khi dư trong phép chia P(x) cho 3x +2 bằng 0

2
2
) = 0 ( Dùng máy tính giá trị của 2x3 + 3x2 - 4x +5 tại x = − )
3
3
227
227
⇔
+m=0 ⇒ m= 27
27
⇔ P( −

Bài 1.9
Cho hai đa thức P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + m; Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n.
Tìm m, n để P(x), Q(x) có nghiệm chung x = 2.
Hướng dẫn Giải:
x = 2 là nghiệm của đa thức P(x) ⇔ P(2) = 0 ⇒ m = - 46
x = 2 là nghiệm của đa thức Q(x) ⇔ Q(2) = 0 ⇒ n = - 40
Vậy với m = - 46 , n = - 40 thì P(x), Q(x) có nghiệm chung x = 2
Bài tập tự luyện
Bài tập 2.1:
a) Tím số dư của phép chia đa thức f(x) = x14-x9-x5+x4+x2+x-723 cho 125x-203
x 5 -6,723x 4 +1,658x 2 -9,134
b) Tìm số dư trong phép chia:
x-3,281

c) Tìm m để đa thức 4x5 + 9x4 − 11x2 + 29x − 4 + 3m chia hết cho 6x + 9
Bài tập 2.2:
Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m.
a) Tìm số dư trong phép chia P(x) cho 2x – 5 khi m = 2003

b) Tìm giá trị m để P(x) chia hết cho 2x - 5
c) P(x) có nghiệm x = 2. Tìm m?
Bài tập 2.3:
a) Cho biết f(x) = x5 + 4x4+ 3x3 + 2x2 – mx + 7 khi chia cho x +5 có dư là 2009.
Tìm m?
b) Biết đa thức P(x) = x 4 + mx3 – 55x2 + nx – 156 chia hết cho x - 2 và chia hết
cho x-3. Hãy tìm giá trị của m, n rồi tìm tất cả các nghiệm của đa thức.
Bài tập 2.4:
Cho đa thức f(x) = ax 3 + bx2 + cx + d. Biết f(0) = - 7; f(1) = - 4; f(2) = 7;
f(-1) = - 17.
a) Tìm các hệ số của đa thức và tính f(1,2345).
b) Tìm số dư khi chia f (x) cho 3x – 5 và tìm hệ số bậc hai của thương trong
phép chia trên.

17


Bài tập 2.5:
4
4
2
Cho P( x) = x + 5x − 4x + 3x − 50. Tìm số dư r1, r2 khi chia P(x) cho x - 2
và x - 3. Tìm BCNN(r1,r2)?
Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
Phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những bài toán cơ bản trong
chương trình đại số lớp 8, kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử đóng vai trò
quan trọng và nhiều ứng dụng trong cộng, trừ, nhân, chia, rút gọn phân thức,
cũng như giải các dạng phương trình đưa được về phương trình tích. Ngoài các
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử được học trong chương trình chính
khóa, ta có thể sử dụng chức năng giải phương trình của máy tính bỏ túi và và sơ

đồ Hoocne để tìm nghiệm, sau đó sử dụng hệ quả của định lý Bezout để viết đa
thức thành nhân tử.
- Nếu tam thức bậc hai ax2 + bx + c có 2 nghiệm là x 1, x2 thì nó viết được dưới
dạng ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2).
- Nếu đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 + ….+ a1x + a0 có n nghiệm x1, x2 …,xn
P(x) được phân tích được thành P(x) = a(x – x1)(x – x2) ….(x – xn-1)(x – xn).
Bài toán 7: Phân tích các đa thức thành nhân tử
a) x2 + x - 6
b) x3+3x2 -13x -15
Phương pháp
a) x2 + x - 6
- Dùng chức năng giải phương trình bậc hai trên máy tính cầm tay để tìm
nghiệm của đa thức
MODE

5 3

1 = 1 = ( −) 6 =
ta được x1 = 2; x2 = -3.
- Vậy x2 + x - 6 = 1.(x-2)(x+3) = (x-2)(x+3)
b) x3+3x2 -13x -15
- Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 trên máy tính cầm tay để tìm nghiệm
của đa thức
MODE

5 4

1 = 3 = (−) 13 = (−) 15 =
ta được x1 = 3; x2 = -5; x3 = -1.
- Vậy x3+3x2 -13 x -15 = (x-3)(x+5)(x+1)

Bài tập phát triển kĩ năng
Bài 1.10 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 105x2 + 514x – 304
b) 156x3 – 413x2 – 504x+ 1265
c) x5 - 8x4 + 21x3 –34x2 + 80x – 96 (1)
(1) Sử dụng bài tập từ nguồn “Kinh nghiệm giải toán trên máy tính CasioII–Hoàng Hồ Nam”

18


Hướng dẫn Giải:
a) Dùng chức năng giải phương trình bậc hai trên máy tính cầm tay để tìm
8
38
; x2 = − .
15
7
8
38
Vậy: 105x2 + 514x – 304 = 105(x - )( x + ) = (15x- 8)(7x+38)
15
7

nghiệm của đa thức, ta được x1 =

b) Dùng chức năng giải phương trình bậc hai trên máy tính cầm tay để tìm
23
11
5
; x2 = ; x3 = .

13
4
3
23
11
5
Vậy: 156x3 – 413x2 – 504x+ 1265 = 156(x + )( x - )( x - )
13
4
3
23
11
5
= 13.4.3.(x + )( x - )( x - )
13
4
3

nghiệm của đa thức, ta được x1 = -

= (13x +23)( 4x - 11)( 3x - 5).
c) Trong máy tính không có chức năng giải phương trình bậc 5. Để tìm nghiệm
của đa thức ta sử dụng chức năng dò tìm nghiệm SHIFT SOLVE , kết hợp với sơ
đồ Hoocne để hạ dần bậc đa thức.
- Nhập đa thức x5 -8x4 +21x3 –34x2 +80x - 96 vào máy, nhấn SHIFT SOLVE = ,
ta được x = 2
Do x = 2 là một nghiệm của đa thức, nên đa thức chia hết cho x – 2. Sử dụng sơ
đồ Hoocne hạ bậc của đa thức ta được:
1
-8

21
-34
80
-96
x=2

1

2.1+(-8)

= -6

2.(-6)+21

=9

2.9+(-34)

= -16

2.(-16)+80

= 48

r = 2.48+(-96)

=0

⇒ x5 -8x4 +21x3 –34x2 +80x – 96 = (x – 2)( x4 -6x3 +9x2 -16x +48)
- Nhập đa thức x4 -6x3 +9x2 -16x +48 vào máy, nhấn SHIFT SOLVE = , ta

được x = 4. Tiếp tục dùng sơ đồ Hoocne hạ bậc của đa thức ta được:
x4 -6x3 +9x2 -16x +48 = (x-4)( x3 - 2x2 +x -12)
- Dùng chức năng giải phương trình bậc 3, ta được phương trình x3 - 2x2 +x -12
có một nghiệm x = 3. Tiếp tục dùng sơ đồ Hoocne hạ bậc của đa thức ta được:
x3 - 2x2 +x -12 = (x – 3)( x2 +x +4)
Sử dụng chức năng giải phương trình bậc 2, ta thấy đa thức x 2 +x+4 vô nghiệm
nên không thể phân tích tiếp được.
Vậy x5 -8x4 +21x3 –34x2 +80x – 96 = (x – 2)(x – 3)( (x – 4)( x2 +x +4)
Bài tập tự luyện
Bài tập 3.1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 299 x2 – 2004x + 3337
b) x3+3x2 -13 x -15
c) 4x3-16x2 + 9 x +9
d) 2x4 – 3x3 –14 x2 - x + 10
e) x5 + 5x4 – 3x3 – x2 + 58x - 60

19


Bài tập 3.2:
Biết đa thức f(x) = 2x3 - 4x2 + nx +12 có một nghiệm là x1 = -2. Hãy tìm các
nghiệm còn lại của đa thức.
Bài tập 3.3:
Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m.
a) Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3
b) Với m tìm được ở câu a ), hãy phân tích đa thức P(x) thành tích của các thừa
số bậc nhất.
Bài tập 3.4:
Cho đa thức P( x) = 6 x 5 + ax 4 + bx 3 − 619 x 2 + cx + 294 , biết đa thức P( x) chia

hết cho các nhị thức ( x − 2); ( x − 3); ( x − 7) . Hãy tìm giá trị của a, b, c và các
nghiệm của đa thức
Bài tập 3.5:
Chứng minh rằng: P(a) = a5 – 8a4 + 21a3 –34a2 + 80a - 96 chia hết cho 6
với mọi a ∈ Z.
2.3.3 Kiểm tra năng lực của học sinh trước và sau khi thực hiện đề tài.
Kiểm tra năng lực của học sinh trước và sau khi thực hiện đề tài là cơ sở
điều chỉnh quá trình dạy học, giúp giáo viên và học sinh xác định rõ hơn
phương pháp và cách thức tổ chức dạy và học để đạt được mục tiêu mong muốn,
cũng như có số liệu kiểm nghiệm kết quả sau khi áp dụng đề tài. Để thời gian
kiểm tra ngắn không gây áp lực cho học sinh, nhưng vẫn đảm bảo khách quan,
công bằng và kiểm tra được tương đối hệ thống, toàn diện kiến thức và kĩ năng
của học sinh trước và sau khi thực nghiệm đề tài, tôi lựa chọn hình thức kiểm tra
trắc nghiệm khách quan. Dưới đây là một mã đề minh họa đã được sử dụng
trong Kiểm tra năng lực của học sinh trước và sau khi thực hiện đề tài.
Đề kiểm tra 15 phút
Đối tượng: Học sinh khối 8 – Trường THCS thị trấn Ngọc lặc.
Đề bài
Khoanh tròn vào chữ cái trước câu trả lời đúng
Câu 1: Giá trị của đa thức f(x) =6x7-5x5+3x2+1 tại x = -3 là:
A. 11879
B. 18179
C. -11879
D. 1879
x 2 + y 2 − z 2 + 2 xy
3
Câu 2: Giá trị của biểu thức A= 2 2 2
tại: x = − ; y =1,5; z= 13,4 là:
x − y + z + 2 xz
4

A.

253
223

B. −

253
223

Câu 3: Giá trị của biểu thức B=

C.

223
253

D. -

223
253

x 20 + x16 + ... + x 4 + 1
tại x =1,20162017 (kết quả
x 22 + x 20 + ... + x 2 + 1

làm tròn đến 4 chữ số thập phân) là:
A. 0,4091
B. 0,4092

C. 0,4093

D. 0,4094

20


Câu 4: Số dư của phép chia đa thức x5 - 7x3 + 3x2 +5x - 4 cho đa thức x+3 là:
A. -46
B. 46
C. -92
D. 92
Câu 5: Nếu cho x3 + y3 = 6,912; x6 + y6 = 33,76244, thì giá trị của biểu thức
x9 + y9 (làm tròn đến 2 chữ số thập phân) là:
A. 184,93
B. 330,22
C. 330,23
D.
184,94
Câu 6: Kết quả phân tích đa thức f(x) = x2 -7x +12 thành nhân tử là:
A. (x-3)(x+4)
B. (x-3)(x-4)
C. (x+3)(x+4)
D. (x+3)(x-4)
Câu 7: Kết quả phân tích đa thức g ( x) = 8 x3 − 18 x 2 + x + 6 thành nhân tử là:
A. (x-2)(2x+1)(4x-3)
B. (x+2)(2x-1)(4x+3)
C. (x-2)(x+2)(3x-4)
D. (x+2)(2x-1)(3x+4)

3
Câu 8: Giá trị của a để đa thức 2x - 3x2 - 4x +5+a chia hết cho đa thức 2x+3
là:
A. 5,7
B. -5,7
C. 2,5
D. -2,5
Câu 9: Hệ số bậc hai của thương trong phép chia đa thức x7- 2x5 - 3x4 + x - 1
cho x + 5 là:
A. -118
B. 23
C. 0
D. 590
Câu 10: Giá trị nào trong các giá trị sau là một nghiệm của đa thức
3x4 - 5x3 + 7x2 -8x – 465:
A. -3

B. -2

C. 2

D. 3

Đáp án
- Mỗi câu đúng 1 điểm
Câu

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Đáp án C
B
B
A
D
C
A
C
D
A
2.4 Hiệu quả đạt được
Sau khi thực hiện triển khai áp dụng sáng kiến “Một số giải pháp giúp
học sinh phát triển năng lực giải các bài toán về đa thức với sự hỗ trợ của

máy tính cầm tay ” vào các tiết dạy tự chọn, và các buổi dạy nâng cao chất
lượng đại trà, cũng như bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi giải toán trên máy
tính cầm tay cho học sinh khối 8 ở trường THCS Thị trấn Ngọc Lặc – Ngọc
Lặc – Thanh hóa, tôi nhận thấy học sinh không những nâng cao được kĩ năng sử
dụng máy, mà các kĩ năng về vận dụng các thuật toán, các hằng đẳng thức …để
giải quyết các bài tập cũng được các em vận dụng một cách linh hoạt, tích cực,
chủ động và sáng tạo hơn, đặc biệt là các em tự tin hơn trong học tập. Các năng
lực phân tích, tổng hợp, phân loại bài tập cũng được phát huy. Kết quả sau khi
triển khai SKKN cụ thể như sau:

21


Năm học 2015 – 2016
Lớp

Tổng số

8A1
8A2

Giỏi

Khá

Trung bình

Yếu, kém

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

26

4

15,4

12

46,1

8

30,8

2

7,7

30

3

10

18

60

8

26,7

1

3,3

Năm học 2016 – 2017
Lớp

Tổng số

8A1

42

Giỏi

Khá

Trung bình

Yếu, kém

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

10

23,8

26

61,9

6

14,3

0

0

8A2
44
4
9,1
31
70,5
7
15,9
2
4,5
3. Kết luận.
Đa thức là một chuyên đề có nhiều ứng dụng trong các cuộc thi giải toán
trên máy tính cầm tay cấp trung học cơ sở, do đó cũng đã có nhiều sáng kiến
kinh nghiệm, và các chuyên đề nghiên cứu về đa thức được đưa lên mạng
Internet, tuy nhiên: Các dạng bài chưa được sắp xếp một cách hệ thống, hoặc
chưa được phân dạng cụ thể; Phương pháp và cách trình bày lời giải các dạng
bài không chi tiết; Trình bày quy trình bấm máy không nhất quán do thực hiện
trên nhiều loại máy tính khác nhau… Chính vì vậy giáo viên và học sinh gặp
khó khăn trong việc tìm kiếm và khai thác tài liệu học tập và tham khảo. Đây là
một trong những lí do dẫn tới thực trạng học sinh trường trung học cơ sở Thị

Trấn thiếu năng lực sử dụng máy tính cầm tay trong giải các bài toán về đa thức.
Với kết quả đạt được từ quá trình áp dụng thử nghiệm đề tài trong năm
học 2015 -2016 và 2016 – 2017 đã cho thấy, sáng kiến kinh nghiệm mang lại
hiệu quả thiết thực trong việc thực hiện mục tiêu nâng cao chất lượng và hiệu
quả dạy và học ở Trường Trung học cơ sở Thị Trấn Ngọc Lặc. Các nội dung
trong đề tài “Một số giải pháp giúp học phát triển năng lực giải các bài toán
về đa thức với sự hỗ trợ của máy tính cầm tay” được đưa vào giảng dạy đã
trang bị cho học sinh lớp 8 ở trường trung học cơ sở Thị trấn Ngọc Lặc một số
phương pháp giải các dạng toán về đa thức, nâng cao năng lực giải các bài toán
về đa thức với sự hỗ trợ của máy tính cầm tay. Từ đó giúp các em tự tin, tích
cực, chủ động và sáng tạo hơn trong học tập, biết phối hợp nhịp nhàng giữa tư
duy với kĩ năng tính toán trên máy tính cầm tay để thực hiện chính xác các phép
tính tiết kiệm thời gian giải toán. Vì vậy chất lượng giáo dục đại trà, đặc biệt là
chất lượng bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay
được nâng lên rõ rệt.
Tuy nhiên do yêu cầu về mặt phạm vi, nên đề tài chỉ trình bày quy trình
giải các bài toán với sự hỗ trợ của máy tính CASIO FX- 570VN PLUS, trong
quá trình áp dụng giáo viên cần hướng dẫn để các học sinh có thể thực hiện
được trên các loại máy tính khác nhau.

22


Vì điều kiện thời gian nghiên cứu đề tài có hạn và đề tài mới chỉ được
thực nghiệm trong phạm vi Trường Trung học cơ sở Thị Trấn Ngọc lặc, chắc
chắn không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót. Rất mong được sự quan tâm,
góp ý, bổ xung của tất cả các đồng nghiệp để đề tài ngày càng hoàn thiện và
hiệu quả hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 02 tháng 3 năm 2017
Tôi xin cam kết đây là SKKN do mình tự
viết, không sao chép của người khác.
Người viết

Lê Thị Ny

23