Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh chứng minh sự vuông góc ở chương i, hình học 8 tại trường THCS tây hồ, thọ xuân

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỌ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI:
MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH
CHỨNG MINH SỰ VUÔNG GĨC Ở CHƯƠNG I, HÌNH HỌC 8
TẠI TRƯỜNG THCS TÂY HỒ - THỌ XUÂN

Người thực hiện: Phùng Thị Tình
Chức vụ: Phó Hiệu trưởng
Đơn vị cơng tác: Trường THCS Tây Hồ - Thọ Xn
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn.


THỌ XUÂN, NĂM 2017

Mục lục
1.
1.1
1.2
1.3
1.4
2.
2.1
2.2
2.3
2.4
3.

Mở đầu
Lý do chọn đề tài
Mục đích nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu
Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Thực trạng vấn đề chứng minh sự vng góc ở chương I,
Hình học 8 trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Các giải pháp hướng dẫn học sinh chứng minh sự vng góc
ở chương I, Hình học 8
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
KÕt luËn vµ kiÕn nghÞ

Trang
1
1
1
1
1
2
2
2
3
10
11


1. Mở đầu

1.1. Lý do chọn đề tài
Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi
dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức
sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học. Học đi đôi với hành;
lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và
giáo dục xã hội [3].
Vì thế, mỗi giáo viên phải tìm cho mình những phương pháp phù hợp với
đối tượng học sinh để phát huy khả năng sáng tạo và độc lập suy nghĩ của các
em, giúp học sinh nâng cao tính tự học, tự nghiên cứu trau dồi kiến thức, chủ
động trong học tập. Nhất là trong thời điểm hiện nay, chúng ta tiếp tục hưởng
ứng cuộc vận động của ngành giáo dục “Mỗi thầy cô giáo là một tấm gương
sáng tự học, tự sáng tạo” thì mỗi giáo viên cần có một phương pháp phù hợp để
học sinh thích học mơn mình dạy, mỗi giờ học các em được nghiên cứu, khám
phá tri thức thể hiện rõ vai trị trung tâm của mình.
Trong đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Thọ Xuân năm học: 2009 2010, mơn Tốn lớp 8 có câu V: “Cho hình thang vng ABCD (∠A = ∠D = 900)
có CD = 2AB. Gọi H là hình chiếu của D trên AC, M là trung điểm của HC.
Chứng minh rằng ∠BMD = 900” có nhiều học sinh khơng giải được, trong đó có
học sinh tôi trực tiếp giảng dạy. Bản thân rất trăn trở và đã nghiên cứu dạng bài
tập này giúp các em tự tin hơn trong chứng minh sự vng góc.
Qua tìm hiểu của bản thân thì hiện tại chưa có tài liệu nào bàn sâu về
chứng minh sự vng góc ở chương I, Hình học 8. Đồng nghiệp, nhà trường
chưa có kinh nghiệm để giải quyết, khắc phục vấn đề này. Vì vậy, tơi đã nghiên
cứu đề tài: “Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh chứng minh sự vuông góc
ở chương I, Hình học 8 tại trường THCS Tây Hồ - Thọ Xuân”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài: Giúp học sinh lớp 8 nắm vững những
kiến thức cơ bản có liên quan đến chứng minh sự vng góc. Giúp học sinh lớp
8 hệ thống phương pháp chứng minh sự vng góc. Củng cố cho học sinh những
kĩ năng chứng minh hình học. Từ đó, học sinh thêm hứng thú khi học phân mơn
hình học nói chung và khi học chứng minh sự vng góc nói riêng.

Hệ thống một số phương pháp chứng minh sự vng góc liên quan đến
bài tập chương I, hình học 8. Giải và khai thác một số bài toán về chứng minh sự
vng góc.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Các kiến thức cơ bản có liên quan đến chứng minh sự vng góc trong
chương I, hình học lớp 8. Một số phương pháp chứng minh sự vng góc trong
chương I, hình học lớp 8.
1.4. Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp thu thập thông tin, thống kê, xử
lý thông tin, xây dựng cơ sở lý thuyết.

1


2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Nhắc lại một số khái niệm
Trực tâm của tam giác là giao điểm ba đường cao của tam giác đó.
Hai đường thẳng xx’, yy’ cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc
vng được gọi là hai đường thẳng vng góc và được ký hiệu là xx’ ⊥ yy’[5].
2.1.2. Nhắc lại một số tính chất
Có một và chỉ một đường thẳng a’ đi qua điểm O và vng góc với đường
thẳng a cho trước.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với một đường thẳng thứ ba
thì chúng song song với nhau.
Một đường thẳng vng góc với một trong hai đường thẳng song song thì
nó cũng vng góc với đường thẳng kia.
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba
thì chúng song song với nhau.
Trong một tam giác vng, hai góc nhọn phụ nhau.
Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là

đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối
diện với cạnh đó [5].
Trong một tam giác, nếu hai trong bốn loại đường (đường trung tuyến,
đường phân giác, đường cao cùng xuất phát từ một đỉnh và đường trung trực
ứng với cạnh đối diện của đỉnh này) trùng nhau thì tam giác đó là một tam giác
cân.
Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa
cạnh huyền.
Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh
ấy thì tam giác đó là tam giác vng [6].
2.2. Thực trạng vấn đề chứng minh sự vng góc trước khi áp dụng
sáng kiến kinh nghiệm
Về phía học sinh: Hình học sơ cấp cấp THCS là bộ mơn khoa học khó đối
với học sinh. Các em thường ngại học, ngại đầu tư, chưa say mê với bộ môn này.
Học sinh mới làm quen với phân mơn hình học, chưa biết vận dụng tri thức vào
thực hành, suy luận hình học chưa tốt, lập luận đơi khi cịn cảm tính. Chưa có
nhiều kinh nghiệm trong đúc rút kinh nghiệm qua mỗi bài giải. Chưa biết cách
khai thác một bài tốn.
Về phía giáo viên: Chưa chú trọng cung cấp phương pháp cho học sinh
cách giải tốn hình học, bằng lịng, kết thúc cơng việc giải bài tập hình học khi
đã tìm ra một cách giải nào đó. Ít quan tâm tới sự phát triển tư duy, sáng tạo của
học sinh. Chú trọng đến số lượng bài tập, chưa chú trọng tới chất lượng bài tập.
Trước những nguyên nhân cơ bản làm cho học sinh ngại học mơn hình
học đặc biệt là chứng minh hình học, tôi thiết nghĩ người giáo viên cần: Nắm
vững kiến thức, chú trọng phát triển phương pháp tư duy cho học sinh, vận dụng
dạy học theo phương pháp đổi mới. Tìm tịi hệ thống bài tập theo chủ đề, theo
2


cấp độ từ đơn giản đến phức tạp để củng cố khắc sâu kiến thức, nhằm giúp cho

học sinh có phương pháp chứng minh một bài tốn hình học tốt hơn. Từ đó, tạo
cho học sinh sự tự tin, sự hưng phấn trong học hình. Đồng thời, thơng qua hệ
thống bài tập cung cấp cho các em phương pháp chứng minh hình học. Đề tài:
“Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh chứng minh sự vng góc ở chương I,
Hình học 8 tại trường THCS Tây Hồ - Thọ Xuân” khơng nằm ngồi mục đích
đó.
2.3. Các giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 8 chứng minh sự vng
góc
2.3.1. Chứng minh sự vng góc theo định nghĩa
Để chứng minh sự vng góc theo định nghĩa thực chất ta chứng minh
trong các góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau đó có một góc bằng 90 0. Có
nhiều cách chứng minh góc tạo bởi hai đường thẳng bằng 90 0. Ta thường dựa
vào tính chất tổng ba góc trong một tam giác bằng 180 0, ta đi chứng minh cho
tam giác có hai góc phụ nhau suy ra góc thứ ba bằng 900.
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I, K theo thứ tự là
hình chiếu của H trên AB, AC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng
AM vng góc với IK [4].
Bài giải:
⇒ ∠MAK + ∠OKA =
Gọi O là giao điểm của AH với IK.
∠MCK + ∠OAK = 900.
N là giao điểm của AM với IK.
⇒AM ⊥ IK.
Ta có: MA = MC (Tính chất đường trung tuyến ứng
A
với cạnh huyền).
K
⇒ ∠MAK = ∠MCK,
O N
I

Tứ giác AKHI có ba góc vng nên là hình chữ nhật
C
B
⇒ ∠OKA = ∠OAK
H M
Nhận xét: Để chứng minh AM ⊥ IK ta đã đi chứng minh ∆ANK vng tại N bằng
cách chỉ ra tổng hai góc ∠NAK và ∠AKN bằng 900. Bản chất bài tốn trên khơng
đổi, nhưng với cách ra đề khác ta có bài tốn mới sau đây.
Bài 2. Cho tam giác vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HD vng góc với AB, HE
vng góc với AC (D ∈ AB, E ∈ AC).
a) Chứng minh rằng: ∠C = ∠ADE.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vng góc với DE [2].
Bài giải
a) ∠BAH = ∠C (Cùng phụ với ∠B)
A
Tứ giác DHEA là hình chữ nhật nên
E
D
∠ADE = ∠DAH (∠DAH = ∠BAH)
⇒ ∠C = ∠ADE
(1)
B
C
H M
b) MB = MC (gt).
⇒ ∆ABM cân tại M.
⇒ ∠B = ∠MAB.
(2)
3

Từ (1) và (2) suy ra: ∠B + ∠C = ∠MAB + ∠ADE = 900.
⇒AM ⊥ DE.
Bài 3. Cho hình vuông ABCD và điểm E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC.
a) Chứng minh: CE vng góc với DF.
b) Gọi M là giao điểm của CE và DF. Chứng minh rằng: AM = AB [1].
Bài giải
a) ∆BEC = ∆CFD (c.g.c)
⇒AM = AD
⇒ ∠BEC = ∠CFD
⇒AM = AB.
0
Mà ∠CFD + ∠ECF = ∠BEC + ∠ECF = 90
⇒ EC ⊥ DF.
(1)
b) Gọi I là trung điểm của DC
⇒AI // CE
(2)
AI cắt DF tại N.
N
⇒ N là trung điểm của DM.
Do đó, ∆ADM cân tại A (AN là đường cao, đường
I
trung tuyến).
Nhận xét:Trong quá trình chứng minh hai đường thẳng vng góc theo định nghĩa
ta thường chứng minh gián tiếp. Dựa vào tổng ba góc trong một tam giác vng.
Rồi suy ra góc tạo bởi hai đường thẳng cần chứng minh vng góc bằng 900.
2.3.2. Chứng minh sự vng góc dựa vào quan hệ giữa đường thẳng song song
và đường thẳng vng góc
1

Bài 4. Cho hình thang vng ABCD (∠A=∠D= 900), có AB= CD. Gọi H là hình
2
chiếu của D trên AC, M là trung điểm của HC. Chứng minh rằng ∠BMD = 900 [2].
Bài giải
Gọi N là trung điểm của HD.
Ta có MN là đường trung bình của ∆HDC nên
1
MN // DC, MN = DC.
2
1
Ta lại có AB // DC, AB = DC,
2
do đó AB//MN, AB = MN.
Vậy ABMN là hình bình hành, suy ra
AN // BM.
(1)
∆ADM có DH ⊥ AM, MN ⊥ AD,
suy ra, N là trực tâm của ∆ADM nên
AN ⊥ DM
(2)
0
Từ (1) và (2) suy ra ∠BMD = 90 .
Nhận xét: Thay đổi cách ra đề, nhưng bản chất tốn học của bài tốn thì khơng
đổi, cách chứng minh như bài 4. Ta có bài tốn sau:
4


Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của HC. Kẻ
1
đoạn thẳng BK vng góc BA sao cho BK = AC, K và C cùng phía đối với AB.

2
a) Gọi E là trung điểm của AH. Chứng minh rằng BE // IK.
b) Chứng minh rằng: KI ⊥ AI [4].
Hướng dẫn:
B
K
a) Ta chứng minh được BKIE
là hình bình hành do: BK = EI và BK // EI.
b) ∆ABI có AH ⊥ BI, IE ⊥ AB.
⇒ E là trực tâm của tam giác ABI.
H
⇒ IK // BE
E
I
⇒ IK ⊥ AI.
A
C
Bài 5. Cho hình thang vng ABCD (∠A=∠D = 900) có CD = 2AB. Gọi H là hình
chiếu của D trên AC, M là trung điểm của HC. Chứng minh rằng ∠BMD = 900.
(Trích đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Thọ Xuân năm học: 2009 - 2010, mơn
Tốn lớp 8 có câu V)
Bài giải
Gọi N là trung điểm của DH, MN là đường trung bình của ∆HDC ta có:
1
1
A
B
MN // DC và MN = DC; AB // CD và AB = DC (gt).
2
2

H
⇒ MN // AB; MN = AB.
⇒ Tứ giác ABMN là hình bình hành.
N
M
⇒AN // BM
(1)
D

C

∆ADM có DH ⊥ AM (gt) và MN ⊥ AD
⇒ N là trực tâm của ∆ADM.
⇒AN là đường cao hay AN ⊥ DM
(2)
0
Từ (1) và (2) suy ra: BM ⊥ DM hay ∠BMD = 90 .
Nhận xét:
- Cũng cách chứng minh như bài 5 nhưng ra đề theo cách khác. Ta có bài tốn
mới: Cho hình vng ABCD. Gọi E là điểm đối xứng với A qua D. Kẻ AH ⊥ BE,
M, N lần lượt là trung điểm của AH và HE. Chứng minh rằng AN ⊥ NC.
- Phương pháp sử dụng mối quan hệ giữa đường thẳng song và đường thẳng
vng góc là cơng cụ đắc lực trong chứng minh hai đường thẳng vng góc.
- Trong bài 4 và bài 5 có điểm N là trực tâm của ∆ADM, tính chất điểm trực tâm
của tam giác cũng là một trong những cách thường dùng để chứng minh sự vng
góc. Với bài 5, nếu thay đổi một chút giả thiết thì có bài tốn mới. Chứng minh sự
vng góc dựa vào tính chất trực tâm của tam giác. Ta có bài tốn 6 sau đây.
2.3.3. Chứng minh sự vng góc dựa vào trực tâm của tam giác

Bài 6. Cho hình thang vng ABCD (∠A = ∠D = 900). Gọi H là hình chiếu của D
trên AC. N, M lần lượt là trung điểm của DH, HC. Chứng minh rằng AN ⊥ DM.
5
Bài giải:
A
B
MN là đường trung bình của ∆HDC.
H
⇒ MN // DC nên MN ⊥ AD.
N
Ta lại có DH ⊥ AM.
M
C
D
⇒ N là trực tâm của ∆ADM.
⇒ AN ⊥ DM.
Nhận xét: Hình chữ nhật là trường hợp đặc biệt của hình thang vng. Vì thế ta
có thể đặc biệt hố bài tốn 6 với hình thang vng ABCD là hình chữ nhật ta có
bài tốn mới sau đây.
Cho hình chữ nhật ABCD, gọi H là hình chiếu của D trên AC. N, M lần lượt
là trung điểm của DH, HC. Chứng minh rằng AN ⊥ DM.
Để chứng minh bài toán này ta giải tương tự như bài tốn 6.
Bài 7. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh CD và N là một
điểm trên đường chéo AC sao cho ∠BNM = 900. Gọi F là điểm đối xứng của A qua
N. Chứng minh rằng BF ⊥ AC.
Bài giải Gọi I là trung điểm của BF, đường thẳng NI cắt BC tại E.
Ta có F đối xứng với A qua N (gt)
B E
C
⇒ N là trung điểm của AF mà IB = IF

I
⇒ NI là đường trung bình của ∆ABF.
M
F
1
⇒ NI // AB và NI = AB.
N
2
A
D

Mặt khác AB // CD; AB = CD (ABCD là hình chữ nhật),
CM = MD (gt)
⇒ NI ⊥ BC ; NI // CM và NI = CM. ⇒ Tứ giác CINM là hình bình hành.
⇒ CI // MN, mà MN ⊥ BN (∠BNM = 900).
⇒ CI ⊥ BN. Do đó I là trực tâm của ∆BCN
⇒ BF ⊥ AC.
2.3.4. Chứng minh sự vng góc dựa vào tính chất đường cao, đường trung
tuyến ứng với đỉnh tam giác cân
Bài 8. Cho tam giác ABC các đường cao BD và CE. Gọi M, N là chân các đường
vng góc kẻ từ B, C đến DE. Gọi I là trung điểm của DE, K là trung điểm của
BC. Chứng minh rằng: a) KI ⊥ ED.
b) EM = DN [1].
Bài giải
a) BK=KC (gt), CE⊥AB; BD ⊥
(Tính chất đường trung tuyến ứng với
1
cạnh huyền).
AC(gt) ⇒ EK = KD = BC
⇒ ∆EKD cân tại K.

2


A
E

I D

N

M
B

K

C

⇒ KI vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến.
⇒ KI ⊥ ED.
b) Hình thang BCNM có: BK = KC, KI // CN // BM (Cùng vng góc với MN) 6
⇒ IM = IN (mà IE = ID (gt))
⇒ ME = DN.
Nhận xét: Để chứng minh KI ⊥ ED ta đã đi chứng minh ∆EKD cân tại K có KI là
đường trung tuyến ứng với đỉnh của tam giác cân.
Bài 9. Hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 3cm, CD = 7cm, AD = 10cm. Gọi
M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuông góc với DM [4].
Bài giải
Cách 1:
⇒AM ⊥ DM.
A

B
Gọi E là giao điểm của AM và DC.
Xét ∆AMB và ∆EMC có:
∠ABM = ∠MCE (Hai góc so le trong);
BM = ME (gt);
I
M
∠AMB = ∠CME (Hai góc đối đỉnh)
⇒ ∆AMB = ∆EMC (g.c.g)
⇒ MA = ME, AB = CE
D
E
C
⇒ ∆ADE cân tại D.
⇒ DM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao.
Nhận xét: Bài 9 ngoài cách chứng minh AM ⊥ DM dựa vào tính chất đường cao,
đường trung tuyến ứng với đỉnh tam giác cân. Ta có thể chứng minh AM ⊥ DM
dựa vào tính chất đường trung tuyến ứng với một cạnh của tam giác và bằng một
phần hai cạnh ấy.
Cách 2: Gọi I là trung điểm của AD.
⇒ IM là đường trung bình nên IM = 5cm.
∆AMD có: AI = IM = ID = 5cm ⇒ ∆AMD vuông tại M.
⇔ AM ⊥ DM.
2.3.5. Chứng minh sự vng góc dựa vào tính chất đường trung tuyến ứng với
một cạnh của tam giác và bằng một phần hai cạnh ấy.
Bài 10. Gọi H là hình chiếu của đỉnh B trên đường chéo AC của hình chữ nhật
ABCD, M và K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD.
1
a) Gọi I và O thứ tự là trung điểm của AB và IC. Chứng minh: OM = IC [2].
2

b) Chứng minh BM ⊥ MK.


Bài giải
a) IM là đường trung bình của ∆AHB
⇒ IM ⊥ AH. ⇒ ∆IMC là tam giác vuông.

A

B

M

1
⇒ MO = IC.
2

O
H

b) Tứ giác IBCK là hình chữ nhật nên BK = IC.
∆MBK có: MO =

I

D

1
1
IC. ⇒ MO = BK

2
2

C
K

⇒ ∆MBK vng tại M ⇒ BM ⊥ MK.
7
Bài 11. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), E là trung điểm của BC. Qua E kẻ
đường thẳng song song với AD, cắt CD ở F. Chứng minh rằng BF ⊥ CD [4].
Bài giải
EF // AD ⇒ ∠D = ∠EFC mà ∠D = ∠C
B
A
(Tứ giác ABCD là hình thang cân đáy AB, CD).
E
⇒ ∠EFC = ∠C ⇒ ∆EFC cân tại E
⇒ EF = EC ⇒ BE = EC = EF
⇒ ∆BFC vuông tại F.
D
F
C
⇒ BF ⊥ FC.
Nhận xét: Để chứng minh BF ⊥ FC ta đã đi chứng minh ∆BFC có một đường
trung tuyến ứng với một cạnh của tam giác và bằng một phần hai cạnh ấy.
Bài 12. Cho hình vng ABCD, điểm E ∈ BA, F ∈ AD sao cho AE = AF. Gọi H là
chân đường vng góc kẻ từ A đến BF. Chứng minh rằng góc EHC = 900 [4].
Bài giải
Kẻ AH cắt DC tại K. Ta có:
1

1
Xét ∆ADK và ∆BAF có:
⇒
∆BHK
có
HO
=
BK
=
2
2
∠ADK = ∠BAF = 900;
EC.
AD = AB (gt);
∠DAK = ∠ABF (Cùng phụ với góc HAB)
E
A
B
⇒ ∆ADK = ∆BAF (g.c.g)
⇒AF = DK. ⇒ BE = KC
F
O
H
⇒ Tứ giác BEKC là hình chữ nhật,
gọi O là giao điểm hai đường chéo EC và BK.
AH ⊥ BF (gt) ⇒ ∠BHK = 900.
D

K

C

⇒ ∠EHC = 900.
Nhận xét: Để chứng minh ∠EHC = 900 ta đã chứng minh ∆BHK có một đường
trung tuyến ứng với một cạnh của tam giác và bằng một phần hai cạnh ấy.
2.3.6. Chứng minh sự vng góc dựa vào tính chất hai đường chéo của một
hình thoi
Bài 13.Cho tam giác ABC. Lấy điểm D∈AB, E∈AC sao cho BD=CE. Gọi I, K, M,
N theo thứ tự là trung điểm của DE, BC, BE, CD. Chứng minh rằng IK ⊥ MN [1].


Bài giải: Ta có DI = IE; DN = NC nên IN là đường trung bình của ∆DCE.
1
A
⇒ IN // EC và IN = EC.
2
1
D
I
Tương tự ta có IM//BD và IM= BD;
E
2
N
1
M
MK // EC và MK = EC.
2
C
B
K

Suy ra IM // KN và IM = KN
⇒ Tứ giác IMKN là hình bình hành. Ta có: BD = CE (gt) ⇒ IM = IN.
8
⇒ Hình bình hành IMKN có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
⇒ IK ⊥ MN.
Nhận xét: Để chứng minh IK ⊥ MN ta đã đi chứng minh IK, MN là hai đường
chéo của hình thoi IMKN.
Bài 14. Cho tứ giác ABCD có AD = BC và AB < CD. Các điểm M, N, P, Q lần
lượt là trung điểm của AB, CD, BD, AC. Chứng minh rằng: MN ⊥ PQ.
Bài giải
AM = MB (gt), DP = PB (gt)
⇒ MP là đường trung bình của ∆ABD.
1
⇒ MP//AD, MP = AD.
2
1
Tương tự ta có: NQ//AD và NQ = AD.
2
Vậy tứ giác PMQN là hình bình hành.
1
MQ là đường trung bình của ∆ABC nên MQ // BC, MQ = BC mà AD = BC (gt).
2
1
1
⇒ MP = MQ (= BC = AD).
2
2
Hình bình hành PMQN có hai cạnh kề MP = MQ.
⇒ Hình bình hành PMQN là hình thoi.

⇒ MN ⊥ PQ.
Nhận xét: Để chứng minh MN ⊥ PQ ta đã đi chứng minh MN, PQ là hai đường
chéo của hình thoi PMQN.
BÀI TẬP
Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD, gọi H là hình chiếu của D trên AC. N, M lần
lượt là trung điểm của DH, HC. Chứng minh rằng AN ⊥ DM.


Bài 2. Cho tam giác ABC có ∠A > 900. Trong góc A vẽ các đoạn thẳng AD, AE sao
cho AD ⊥ AB, AD = AB, AE vng góc và bằng AC. Gọi M là trung điểm của DE.
Chứng minh rằng AM ⊥ BC [2].
Bài 3. Cho tam giác ABC. Điểm D ∈ AB, E ∈ AC sao cho BD = CE. Gọi I, K, M,
N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD, BC, DE.
a) Tứ giác MINK là hình gì ? Vì sao ?
b) Chứng minh rằng IK vng góc với tia phân giác At của góc A [2].
Bài 4. Cho ABCD là hình bình hành có AC vng góc với AD. M, N theo thứ tự là
trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng: AC ⊥ MN.
Bài 5. Cho hình vng ABCD. Gọi E là điểm đối xứng với A qua D. Kẻ AH ⊥ BE,
M, N lần lượt là trung điểm của AH và HE. Chứng minh rằng AN ⊥ NC.
Bài 6. Cho tam giác ABC (AB < AC). Tia phân giác AD của góc A. Lấy N∈AC
sao cho: AB = CN. F, G, H lần lượt là các trung điểm của BN, BC và CA. Từ G kẻ
đường thẳng song song với AD cắt AC tại E. Chứng minh rằng: EG ⊥ FH.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với các hoạt động giáo dục, với9
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Nghiên cứu đề tài: “Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh chứng minh sự
vng góc ở chương I, Hình học 8 tại trường THCS Tây Hồ - Thọ Xuân” bản thân
đã có điều kiện tìm hiểu sâu về chứng minh sự vng góc ở chương I, Hình học 8.
Đồng thời, đưa ra các phương pháp cụ thể, có bài tập minh họa. Phần nào giúp học
sinh dễ hiểu, mà trên thực tế chưa có tài liệu nào giới thiệu tường minh về chứng
minh sự vng góc ở chương I, Hình học 8. Từ đó, có kế hoạch tốt trong việc dạy

Toán cho học sinh lớp 8 theo chủ đề.
Học sinh đã được cung cấp một số phương pháp chứng minh sự vng góc
trong phạm vi chương I, hình học 8 và hệ thống bài tập ôn luyện. Bên cạnh đó, cịn
rèn kỹ năng chứng minh hình học phẳng cho học sinh. Giúp các em tránh được tâm
lí ngại chứng minh sự vng góc. Từ đó, học sinh tự tin hơn trong học chương I,
hình học 8 nói riêng và hình học phẳng nói chung. Đồng thời, hình thành kỹ năng
nghiên cứu khoa học cho học sinh. Với giải pháp trên thì số học sinh chứng minh
sự vng góc ở chương I, Hình học 8 được nâng lên một cách rõ rệt. Sau khi cung
cấp các phương pháp chứng minh sự vng góc như trên. Tơi đã cho làm bài tập
khảo sát, kết quả đạt được tỉ lệ học sinh làm được bài tập khả quan hơn. Cụ thể:
Số
Từ 0 - 20% Từ 20 - 50% Từ 50 - 80%
Trên 80%
Điều
học
bài tập
bài tập
bài tập
bài tập
Năm học
kiện
sinh
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%

lớp 8
Chưa
2011- 2012 áp
36
7
19
15
42
10
28
4
11
dụng
Đã áp
49
7
14
15
31
15
31
12
24
2012- 2013 dụng
Đã áp
45
5
11
14
31

13
29
13
29


2013- 2014

dụng

3. Kết luận và kiến nghị
10
Đề tài này nhằm mục đích hướng dẫn học sinh biết khai thác và vận dụng
những kiến thức hình học cơ bản đã biết vào việc chứng minh sự vng góc ở
chương I, Hình học 8. Từ đó, các em phát huy tốt tinh thần tự học, tự nghiên cứu
Toán học. Đồng thời, cung cấp một số phương pháp chứng minh sự vng góc ở
chương I, Hình học 8. Nhằm phục vụ tốt cho việc củng cố kiến thức Toán cho học
sinh lớp 8. Do thời gian nghiên cứu chưa nhiều và phạm vi đề tài nên bản thân
chưa có điều kiện giới thiệu một số phương pháp chứng minh sự vng góc như:
chứng minh sự vng góc dựa vào hai đường chéo của hình vng, định lí Pi Ta
Go đảo, đường trịn và các yếu tố trong đường trịn, ...
Vì thời gian nghiên cứu và kinh nghiệm giảng dạy còn hạn hẹp, nên chắc
rằng đề tài của tôi không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được bạn đọc, các
đồng nghiệp góp ý để sáng kiến này của tơi được hồn thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn !
Thanh Hóa, ngày 30 tháng 5 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ mình viết, khơng sao chép nội dung của
HIỆU TRƯỞNG
người khác.

Đỗ Ngọc Đức

Phùng Thị Tình


TÀI LIỆU THAM KHẢO

11

1. Các dạng toán và phương pháp giải Tốn 8 tập 1, Tơn Thân (Chủ biên), Vũ
Hữu Bình, Nguyễn Vũ Thanh, Bùi Văn Tuyên, NXB Giáo Dục, 2008;
2. Nâng cao và phát triển Toán 8, tập 1, Vũ Hữu Bình, NXB Giáo Dục, 2010;
3. Nghị quyết số 29 – NQ/TW, ngày 04/11/2013 Hội nghị Trung ương 8 khóa
XI về đổi mới căn bản, tồn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng u cầu cơng
nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã
hội chủ nghĩa và hội nhập Quốc tế;
4. Ôn kiến thức luyện kỹ năng hình học 8, Tơn Thân (Chủ biên), Vũ Hữu Bình,
Vũ Quốc Lương, Bùi văn Tuyên, NXB Giáo Dục, 2007;
5. Tốn 7, Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tơn Thân (Chủ biên), Vũ Hữu
Bình, Phạm Gia Đức, Trần Luận, NXB Giáo Dục, 2007;
6. Toán 8, tập 1, Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tơn Thân (Chủ biên), Vũ
Hữu Bình, Trần Đình Châu, Nguyễn Hữu Dũng, Phạm Gia Đức, Nguyễn
Duy Thuận, NXB Giáo Dục, 2005.


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH
GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP
CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Phùng Thị Tình
Chức vụ và đơn vị cơng tác: Phó Hiệu trưởng Trường THCS Tây Hồ - Thọ Xuân.
Kết quả
Cấp đánh
đánh giá Năm học
giá xếp loại
TT
Tên đề tài SKKN
xếp loại
đánh giá
(Phòng, Sở,
(A, B,
xếp loại
Tỉnh...)
hoặc C)
Khai thác một số đẳng thức và ứng dụng của
1
Cấp Phòng
C
2006 - 2007
nó khi dạy Đại số 8, 9.
Một số kinh nghiệm dạy học sinh lớp 9 giải
2
Cấp Phòng
B
2007 - 2008
bài toán rút gọn biểu thức.
Một số kinh nghiệm dạy học sinh lớp 9 giải
3
Cấp Sở

C
2007 - 2008
bài toán rút gọn biểu thức.
Khai thác một số đẳng thức và ứng dụng của
4
Cấp Phịng
B
2009 - 2010
nó khi dạy Đại số THCS.
Khai thác một số đẳng thức và ứng dụng của
5
Cấp Sở
C
2009 - 2010
nó khi dạy Đại số THCS.
Một số phương pháp giải phương trình chứa
6
Cấp Phịng
C
2011 - 2012
ẩn ở mẫu số.
Nâng cao hiệu quả tìm cực trị của đa thức
7

bậc hai bằng phương pháp dồn biến khơng
hồn tồn đối với học sinh lớp 8.

Cấp Phòng

B

2014 - 2015


Rèn kỹ năng giao tiếp cho học sinh thông
8

qua việc chỉ đạo tổ chức hoạt động giáo dục
ngoài giờ lên lớp theo chủ điểm ở trường

Cấp Phòng

B

2015 - 2016

Cấp Phòng

A

2016 - 2017

THCS Tây Hồ.
Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh
9

chứng minh sự vng góc ở chương I, hình
học 8 tại Trường THCS Tây Hồ - Thọ Xuân.