Nâng cao hiệu quả công tác bồi dưỡng công tác bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay phần hình học

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ TẠO BÁ THƯỚC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

NÂNG CAO HIỆU QUẢ CÔNG TÁC BỒI DƯỠNG
HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
PHẦN HÌNH HỌC

Người thực hiện: Phạm Việt Hùng
Chức vụ: Giáo Viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Thị trấn Cành Nàng
SKKN thuộc lĩnh vực môn: Toán - Casio

THANH HÓA NĂM 2017


MỤC LỤC
Mục lục ..............................................................................................................trang 1
1. Mở đầu ...........................................................................................................trang
2
1.1. Lý do chọn đề tài..........................................................................................trang 2
1.2. Mục đích nghiên cứu....................................................................................trang 3
1.3. Đối tượng nghiên cứu...................................................................................trang 3
1.4. Phương pháp nghiên cứu..............................................................................trang 3
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm..................................................................trang 3
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm ....................................................trang 3
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm ...............trang 3
2..3. Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề..................................................trang 5
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân,

đồng nghiệp và nhà trường................................................................................trang 20
3. Kết luận - Kiến nghị....................................................................................trang 20
Phụ lục..............................................................................................................trang 23
Cơ sở lý thuyết................................................................................................trang
23
Bài tập thực hành............................................................................................trang 28
Một số đề thi giải toán trên máy tính cầm tay tỉnh Thanh Hóa......................trang 54

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.
2


Với xu thế phát triển của xã hội nói chung và sự phát triển của khoa học nói
riêng, con người cần phải có một trí thức, một tư duy nhạy bén. Muốn có những tri
thức đó con người cần phải tự học tự nghiên cứu. Hiện nay, với sự phát triển như vũ
bão của khoa học - kỹ thuật nhất là các ngành thuộc lĩnh vực công nghệ thông tin,
trong đó máy tính điện tử bỏ túi là một thành quả của những tiến bộ đó. Máy tính
cầm tay (MTCT) đã được sử dụng rộng rãi trong các nhà trường với tư cách là một
công cụ hỗ trợ việc giảng dạy, học tập hay cả việc đổi mới phương pháp dạy học theo
hướng hiện đại như hiện nay một cách có hiệu quả. Đặc biệt, với nhiều tính năng
mạnh như của các máy casio fx-570ES, casio fx-570VN PLUS... trở lên thì học sinh
còn được rèn luyện và phát triển dần tư duy thuật toán một cách hiệu quả. MTCT là
một công cụ hỗ trợ đắc lực cho giáo viên và học sinh trong việc giải toán. Nó giúp
cho giáo viên và học sinh giải toán một cách nhanh hơn, tiết kiệm được thời gian, nó
giúp cho giáo viên và học sinh hình thành thuật toán, đồng thời góp phần phát triển
tư duy cho học sinh. Có những dạng toán nếu không sử dụng MTCT thì việc giải gặp
rất nhiều khó khăn, có thể không thể giải được, hoặc phải mất rất nhiều thời gian để
giải.
Với niềm đam mê toán học cùng với sự tìm tòi của bản thân. Tôi đã gặp nhiều

dạng toán mà giải chúng gặp rất nhiều khó khăn. Nhưng nhờ sử dụng MTCT việc
giải bài toán dễ dàng hơn, tiết kiệm được thời gian để giải hơn. Đặc biệt với các em
học sinh, tôi thấy các em có sự say mê khi khám phá được nhiều chức năng của máy
tính bỏ túi nên các em ham học, say mê tìm tòi hơn. Nhưng trong khuôn khổ sách
giáo khoa thì chỉ đưa ra một số ít lần hướng dẫn việc sử dụng MTCT để giải toán.
Nên việc giúp các em tiếp cận với các bài toán giải có sự hỗ trở và sử dụng MTCT
để giải là điều khó khăn với nhiều giáo viên dạy toán. Vì vậy qua nhiều lần ôn học
sinh giỏi đội tuyển cấp huyện và cấp tỉnh thi giải toán bằng MTCT tôi thấy sự cần
thiết nên chia thành nhiều chủ đề để dạy. Đặc biệt phần hình học thì cần phân loại ra
các bài toán có liên quan với nhau để dạy một cách hệ thống cho học sinh nắm bắt
được logic và cụ thể hơn. Thực tế, qua những năm phụ trách bồi dưỡng học sinh giỏi
giải toán trên MTCT, tôi nhận thấy các em học sinh thực sự say mê tìm tòi, khám phá
những công dụng của chiếc MTCT đơn giản nhưng vô cùng hữu ích này và vận dụng
tốt trong quá trình học tập của mình. Từ những lý do trên, tôi mạnh dạn triển khai
sáng kiến “Nâng cao hiệu quả công tác bồi dưỡng HSG giải toán trên MTCT
phần Hình Học”.
1.2. Mục đính của nghiên cứu.
Nâng cao chất lượng giáo dục, đặc biệt là chất lượng bồi dưỡng đội tuyển học
sinh giỏi giải toán trên máy tính bỏ túi Casio.
Phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo, năng lực tự học của học sinh, tạo
điều kiện cho các em hứng thú học tập bộ môn.
Nêu nên một số kinh nghiệm của bản thân về: “Nâng cao hiệu quả công tác
bồi dưỡng HSG giải toán trên MTCT phần Hình Học”.
3


1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Học sinh khá, giỏi ở các khối lớp 8 - 9 và những học sinh đội tuyển đi thi học
sinh giỏi “Máy tính cầm tay” cấp Huyện và cấp Tỉnh.
Các dạng toán “ Các dạng bài tập casio theo chủ đề Hình Học ”.

1.4. Phương pháp nghiên cứu.
a/ Đọc sách, nghiên cứu các tài liệu về môn toán có liên quan đến dạy giải
toán bằng máy tính cầm tay.
b/ Điều tra thực trạng.
c/ Phỏng vấn và trò chuyện với giáo viên.
d/ Khảo sát chát lượng học sinh.
e/ Dạy thử nghiệm và khảo sát lớp dạy thử nghiệm.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Cùng với sự phát triển của xã hội. Nền giáo dục của nước ta cũng có những
biến đổi về nội dung SGK và phương pháp giáo dục, dạy cho học sinh kiến thức
SGK là chưa đủ, mà còn dạy các em cách tự học và sáng tạo. Dạy cho em các kĩ
năng vận dụng, với các thủ thuật vận dụng.
Với tốc độ tiến bộ của khoa học kỹ thuật, con người chúng ta đã làm ra rất
nhiều sản phẩm phục vụ cho cuộc sống để nâng cao hiệu quả công việc, bên cạnh đó
máy tính cầm tay ngày càng hữu ích trong việc giải toán, quan trọng là các em phải
có một kiến thức nhất định của SGK, một đầu óc biết tư duy và suy luận mới có thể
dụng được, cho nên nền giáo dục của nước ta đã tổ chức các cuộc thi giải toán bằng
máy tính cầm tay các cấp.
Theo nghị quyết TW4 khóa 7 “phải áp dụng phương pháp dạy học hiện đại để
bồi dưỡng cho học sinh có năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề’’.
Nghị quyết TW2 khóa 8: “phải đổi mới phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối
truyền thụ một chiều….’’.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Trong những năm vừa qua, huyện Bá Thước đều tổ chức và tham gia các kì thi
giải toán trên máy tính cầm tay cấp huyện, cấp tỉnh và đã đạt được những hiệu quả
nhất định. Nhiều năm liền thì đội tuyển tham gia kì thi cấp tỉnh Thanh Hóa đều đạt
giải, song việc đạt giải chính thức, đặc biệt là giải Nhất, Nhì thì lại rất khó khăn. Bản
thân tôi thì trong 3 năm gần đây thực hiện đề án trường trọng điểm chất lượng cao
của Huyện Bá Thước và tham gia vào việc ôn thi HSG đội tuyển tỉnh môn giải toán

trên máy tính cầm tay. Trong 3 năm vừa qua thì đều đạt được những kết quả hết sức
khả quan. Trong năm học 2016 – 2017 vừa qua, đội tuyển huyện Bá Thước đã có
nhiều em đạt giải, đặc biệt đã có em đạt đến giải Nhì trong kì thi giải toán trên máy
tính cầm tay cấp Tỉnh. Qua giảng dạy thì bản thân thấy kinh nghiệm càng nhiều hơn,
các dạng toán về đại số, số học cần được phân chia cụ thể, rõ ràng từng dạng để học
4


sinh dễ nắm bắt. Đặc biệt là phần hình học cần phân chia các bài toán cụ thể và cách
áp dụng máy tính cầm tay trong giải toán hình học cần rõ ràng từng quy trình, công
thức,...Qua đó các em sẽ hiểu sâu hơn vấn đề và làm tốt các bài tập có liên quan.
Bằng kinh nghiệm trong giảng dạy, bản thân thấy việc nâng cao chất lượng HSG nói
chung và HSG trong phần Hình Học nói riêng trong môn giải toán bằng máy tính
casio có những thực trạng sau:
a. Thuận lợi và khó khăn:
* Thuận lợi:
Bản thân tôi là một giáo viên Toán nên đã nắm bắt và hiểu rõ về bộ môn Toán
nói chung và phần Hình học nói riêng. Được sự giúp đỡ nhiệt tình của Ban giám
hiệu, của các đồng chí cùng bộ môn, giúp tôi tổng hợp một số tài liệu để giảng dạy.
Các em khi được tham gia vào đội tuyển cấp huyện và cấp tỉnh rất đam mê,
hứng thú và có tố chất. Học sinh đa số là những em trong đội tuyển học sinh giỏi
toán, một số em là học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi môn hóa, lý. Phụ huynh rất
quan tâm đến phong trào thi học sinh giỏi, hợp tác với giáo viên, cũng như tạo điều
kiện cho giáo viên sắp xếp thời gian bồi dưỡng.
* Khó khăn:
Đây là bộ môn chưa đưa vào giảng dạy chính thức trên lớp, chưa có một tài
liệu chính thức về bộ môn. Đa số giáo viên tự tìm tòi là chính. Một số quan điểm cho
rằng đây là bộ môn phụ, không muốn đầu tư. Một số phụ huynh chưa quan tâm đến
việc học của con em. Họ cho rằng đây không phải là bộ môn chính khóa, không cần
đầu tư, và việc lĩnh hội tốt kiến thức của bộ môn là dễ dàng.

Với học sinh đây là một bộ môn mới lạ. Học sinh chưa được tìm hiểu về bộ
môn, chưa biết học môn này là học cái gì, học như thế nào. Khi tiếp cận với bộ môn,
học sinh lại hoang mang vì các bài toán thuộc lĩnh vực bộ môn được xem là khó.
Học sinh chưa xác định được dạng toán nào là trọng tâm và phương pháp giải nào là
tối ưu.
b. Thành công và hạn chế:
* Thành công:
Qua quá trình dạy học trên lớp, sau khi học xong những phần có thể sử dụng
máy tính, lập công thức giải bài toán liên quan tôi thấy các em rất hứng thú nhất là
khi các em giải bài toán Hình học bằng 2 cách: một cách thì phải dùng suy luận để
tìm ra đáp án; cách khác là các em có thể dùng công thức trong casio để giải thì thấy
cho ra đáp án rất nhanh.
Các buổi học ôn sôi nổi hơn, học sinh mạnh dạn làm bài và nhận xét bài bạn
nhiều hơn. Phát triển được năng lực chủ động sáng tạo của học sinh, tạo cho học sinh
hình thành năng lực chủ động giải quyết vấn đề khi học. Các em càng ngày càng cải
thiện được khả năng học, các em hứng thú hơn trong việc học, hiểu hơn về việc sử
dụng máy tính cầm tay trong phần hình học. Sau khi triển khai và giảng dạy chuyên
đề các em làm khá tốt với các bài toán về Hình học trong các đề HSG Toán máy tính
cầm tay cấp huyện, cấp tỉnh trong những năm trước.
* Hạn chế: Số lượng bài tập trong các bài toán cần nhiều hơn, phong phú và đa
dạng hơn nữa để các em tiếp cận nhiều bài toán, dạng toán.
5


c. Mặt mạnh - mặt yếu:
* Mặt mạnh:
Đề tài giúp đa số các em học bài tốt hơn, tự tin hơn khi giải bài toán về Hình
học. Rèn được khả năng tư duy logic cho học sinh khi giải các bài toán giải.
Giúp giáo viên và học sinh có thể hình thành công thức mà không máy móc
dập khuôn ngay công thức. Tạo cơ hội cho giáo viên dạy, tạo cơ hội cho học sinh

mạnh dạn hơn trong làm bài tập và lên bảng trình bày cách làm của mình với các bài
toán được phức tạp hơn nữa.
* Mặt yếu:
Nhiều học sinh chỉ nhận dạng công thức ở dạng bài nào là áp dụng vào để đưa
ra kết quả mà không biết công thức mình áp dụng đó đã chính xác chưa hay có nhầm
lẫn gì không. Một số học sinh khi phải tư duy logic thường tỏ ra mệt mỏi mà chỉ
thích sử dụng ngay công thức.
d. Các nguyên nhân, các yếu tố tác động:
Học sinh còn lười đầu tư việc học ở nhà khi còn nhỏ, nên kiến thức có phần
hạn chế. Nhiều gia đình các em chưa thực sự quan tâm và sâu sát để giúp đỡ các em
việc học ở nhà. Nhiều em thấy việc học môn toán khó khăn nên đã học không chu
đáo do đó kiến thức cơ bản còn yếu.
e. Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra:
Bản thân bộ môn toán rất khô khan, khi các em muốn học bộ môn toán thì vấn
đề đòi hỏi các em phải có tư duy logic, đặc biệt là hình học phải học một cách có hệ
thống, không phải ngày một ngày hai mà biết được. Các em học sinh lớp 9 là những
học sinh bước vào lứa tuổi “lớn không lớn nhỏ không nhỏ”, nếu chúng ta nói nặng
lời với các em thì các em sẽ có thành kiến với giáo viên dẫn đến việc dạy bộ môn của
chúng ta các em không muốn học thì làm sao các em nắm được kiến thức của bài.
Việc hướng dẫn học sinh hình thành công thức, tư duy, suy luận khi giải bài
không phải thầy cô nào cũng quan tâm, phần đa giáo viên chúng ta phân tích đề rồi
lựa chọn công thức phù hợp thay số. Đề tài này tôi đã đưa ra một số ví dụ đòi hỏi học
sinh phải biết tư duy, suy luận, phân tích để đưa ra công thức, vì trong mọi tài liệu
của giáo viên chúng ta chỉ có hướng dẫn và công thức.
Trong công cuộc đổi mới giáo dục, việc áp dụng công nghệ thông tin vào giải
bài tập là cần thiết, do đó hãy có cái nhìn thiện cảm hơn đối với máy tính. Các em đã
chắc kiến thức phần nào thì hãy hướng dẫn các em áp dụng máy tính vào phần đó, để
bài tập được giải quyết nhanh hơn, không những thế còn giúp các em hiểu công nghệ
của khoa học là một điều cần thiết đối với tất cả mọi người.
Với kinh nghiệm ôn luyện đội tuyển những năm qua, tôi mạnh dạn nêu lên

việc “Nâng cao hiệu quả công tác bồi dưỡng HSG giải toán trên MTCT phần
Hình Học” làm sáng kiến kinh nghiệm của mình.
3. Giải pháp và tổ chức thực hiện để giải quyết vấn đề.
3.1. Mục tiêu của giải pháp, biện pháp.
Học sinh cần được cũng cố chắc hệ thống kiến thức về hình học phẳng như:
6


Hình tam giác, tứ giác, đa giác, đường tròn. Những dạng toán thường được vận dụng
như tính, so sánh độ dài đoạn thẳng, tính, so sánh diện tích các hình, tính diện tích
các hình không gian …
Kiến thức hay dùng đó là chứng minh tam giác bằng nhau, tam giác đồng
dạng, tỉ số đồng dạng, tỉ số lượng giác, hệ thức lượng trong tam giác…Rèn luyện kĩ
năng tính toán chính xác, cẩn thận và tư duy lôgíc.
3.2. Nội dung và cách thực hiện giải pháp biện pháp.
Chủ đề: HÌNH HỌC
BÀI TOÁN 1. GIẢI TAM GIÁC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
* CƠ SỞ LÝ THUYẾT (PHẦN PHỤ LỤC)

I. Các ví dụ điển hình thường gặp
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC với đường cao AH. Biết ∠ ABC = 1200, AB = 6,25 cm,
BC = 12,5 cm. Đường phân giác của góc B cắt AC tại D.
a/ Tính độ dài BD.
b/ Tính tỷ số diện tích của tam giác ABD và ABC.
c/ Tính diện tích của tam giác ABD.
Giải: Giải trên máy tính Fx-570VN PLUS (Các máy khác tương tự)
B
a/ Tính độ dài BD. Lưu độ dài:
BC vào biến nhớ A
( Bấm 12,5

A)
12,5cm
AB vào biến nhớ C
( Bấm 6,25
C)
·ABC vào biến nhớ D
( Bấm 120
D ) 6,25cm
Áp dụng định lý hàm số cos ta có:
D
AC = AB 2 + AC 2 − 2. AB. AC.Cos( ABC ) A
Ghi vào màn hình: C 2 + A2 − 2. A.C.Cos( D) . Bấm
ta được độ dài của AC, bấm
B, lưu kết quả vừa tìm được vào biến nhớ B, không phải ghi kết quả ra giấy.
Áp dụng công thức tính phân giác trong của tam giác khi biết ba cạnh:
2
AB.BC. p ( p − AC ) (với p là nữa chu vi tam giác ABC)
AB + BC
2
A+ B +C A+ B +C
A.C.
(
− B)
Ghi vào màn hình:
A+C
2
2

BD =

Bấm
ta được độ dài của BD là: BD = 4,1667 cm.
b/ Tính tỉ số diện tích tam giác ABD và ABC.
Ta có do hai tam giác có chung đường cao hạ từ B nên:
S ∆ABC
AC
DC
BC
12,5
=
= 1+
= 1+
= 1+
=3
S ∆ABD AD
AD
BA
6, 25
1
Do đó tỉ số diện tích tam giác ABD và ABC là:
3
1
·
c/ Ta có diện tích tam giác ABC = .(AB. BC). sin ABC
2
1 1
·
Nên diện tích tam giác ABD = . .( AB. BC). sin ABC
3 2

7

C


1 1
. .(C. A). Sin (D). Bấm
ta được S∆ABD = 11,2764 cm2
3 2
µ = 900 , AB = 4,6892 cm , BC = 5,8516 cm, AH
Cho tam giác ABC có A

Ghi vào màn hình:

Ví dụ 2.
là đường cao, CI là phân giác của góc C. Tính:
a/ Độ lớn góc B bằng độ và phút.
b/ Tính AH và CI chính xác đến 9 chữ số thập phân.

Giải: a/ Ta có cosB = AB:BC = 4,6892 : 5,8516
C
-1
Ấn phím: SHIFT COS (4,6892÷5,8516) = 0’ ’’
H
0
(Đọc kết quả trên màn hình: 36 44’25,64)
5,8516
0
Vậy góc B ≈ 36 44 ’
b/ ∆ ABH vuông tại H có sinB = AH:AB

4,6892
B
A
I
=> AH = AB.sinB
(Kq: AH ≈ 2,805037763 cm)
Tính tiếp: 4,6892 x sin Ans =
Để tính độ dài CI có 2 cách là:
Cách 1: Dùng định lý Pitago tính được AC ≈ 3,500375111
µ
µ
µC = 900 − B
µ . Từ đó ta có: cos C = AC => CI = AC:cos C
2 CI
2

Ấn phím:

( 5,8516x2 -4,6892 x2 ) SHIFT STO A 90- SHIFT COS-1

(4,6892 ÷ 5,8516 ) = ÷ 2 = ALPHA A ÷ COS Ans = ≈ 3,91575246 cm
Cách 2: Áp dụng công thức tính phân giác hạ từ đỉnh C, ta có:
CI =

2
BC. AC. p.( p − AB )
BC + AC

với p = (AB + BC + CA):2

;

BK =

2
BC. AB. p.( p − AC )
BC + AB

(Kết quả: CI ≈ 3,91575246 cm)

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có BC = 8,751 cm , AC = 6,318 cm , AB = 7,624cm;
đường cao AH, phân giác trong AD của góc A và bán kính đường tròn nội tiếp r.
Hãy tính: AH ; AD ; r chính xác đến 9 chữ số thập phân.
(với a = 8,751; b = 6,318; c = 7,624. Tính AH ; ma = ? ; r = ?)
Giải: + Tính AH: Áp dụng công thức tính đường cao
AH =

2. p(p − a)(p − b)(p − c)
BC

A

(p là nửa chu vi tam giác)

6,318cm

7,624cm

Ấn phím: 8,751SHIFT STO A 6,318 SHIFT STO B
7,624 SHIFT STO C ( ALPHA A + ALPHA

B + ALPHA C ) ÷ 2 SHIFT STO D 2 x
√

C

H D
8,751cm

B

( ALPHA D ( ALPHA D - ALPHA A ) ( ALPHA D -

ALPHA B ) ( ALPHA D - ALPHA C ) ) ÷ ALPHA A =
(KQ: AH ≈ 5,365996284 cm)
8


+ Tính AD: Áp dụng công thức tính phân giác
AD =

2
AC.AB.p(p − BC)
AC + AB

(KQ: AD ≈ 5,402908929 cm)

+ Tính r: Áp dụng công thức S = p.r => r = S:p
(KQ: r ≈ 2,069265125 cm)
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 14,568cm; và AC = 13,425cm. Kẻ
AH vuông góc với BC.

a) Tính BC; AH; HC.
b) Kẻ phân giác BN của góc B. Tính NB (Kết quả lấy 3 chữ số ở phần thập phân).
Giải: a) Áp dụng định lý Pitago vào tam
A
2
2
giác vuông ABC ta có: BC = AB + AC
14,568
14,568 SHIFT STO A
N
13,425
13,425 SHIFT STO B
( ALPHA A x2+ ALPHA B x2 = shift sto
C
C Kết quả: 19,811 cm
B
H
Theo công thức:
BC. AH = AB. AC ⇒ AH =

Quy trình bấm phím:
alpha A x alpha B ÷

AB. AC
BC

alpha C = (9,872 cm)

Theo công thức: HC .BC = AC 2 ⇒ HC =

2

AC
.
BC

alpha B x2 ÷ alpha C = (9,098 cm)

b) Áp dụng tính chất tia phân giác trong tam giác ABC ta có:
NA AB
NA NC NA + NC
NA
AC
AB.AC
=
Þ
=
=
Þ
=
Þ NA =
NC BC
AB BC
AB + BC
AB AB + BC
AB + BC

Quy trình bấm phím:
alpha A alpha B ÷ ( alpha A + alpha C ) = shift sto D(5,689 cm)
Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông ABN ta có: BN 2 = AB 2 + AN 2

Quy trình bấm phím:
( alpha A x2 + alpha D x2 ) = (1,639)
Ví dụ 5. a) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Chứng minh rằng tổng của bình
phương cạnh thứ nhất và bình phương cạnh thứ hai bằng hai lần bình phương trung
tuyến thuộc cạnh thứ ba cộng với nửa bình phương cạnh thứ ba.
b) Bài toán áp dụng: Tam giác ABC có cạnh AC = b = 3,85 cm ; AB = c = 3,25 cm và
đường cao AH = h = 2,75cm. Tính các góc A, B, C và cạnh BC của tam giác.
Tính độ dài của trung tuyến AM (M thuộc BC). Tính diện tích tam giác AHM.
(góc tính đến phút; độ dài và diện tích lấy kết quả với 2 chữ số phần thập phân)
Giải:
a) Giả sử BC = a, AC = b, AB = c, AM = ma.
Ta phải chứng minh: b + c = ma2 +
2

2

a2
2

A

Kẻ thêm đường cao AH (H thuộc BC),
ta có:
C

B
H

M

9


2

a

AC = HC + AH ⇒ b2 =  + HM ÷ + AH2
2

2

2

2

2

a

AB = BH + AH ⇒ c2 =  − HM ÷ + AH2
2

2

2

2

a2

Vậy b + c =
+ 2(HM2 + AH2).
2
2

2

Nhưng HM + AH = AM = ma2 . Do đó: b2 + c2 = 2 ma2 +
2

2

2

a2
(đpcm)
2

2, 75
h
= 3, 25 ⇒ ∠ B = 57o47’44,78”
c
2, 75
h
µ )⇒ A
µ = 180o – ( B
µ +C
µ = 76o37’10,33”
* sin C = = 3,85 ⇒ ∠ C = 45o35’4,89”; A
b

BH = c cos B; CH = b cos C ⇒ BC = BH + CH = c.cos B + b.cos C
⇒ BC = 3,25 cos 57o48’ + 3,85 cos 45o35’ = 4,426351796 ≈ 4,43cm
1
2(b 2 + c 2 ) − BC 2
⇒ AM2 =
2( a 2 + b 2 ) − BC 2 = 2,791836751 ≈ 2,79cm
* AM2 =
2
4
1
1
1

o
* SAHM = AH(BM – BH) = .2,75  4, 43 − 3.25 cos 57 48' ÷= 0,664334141 ≈ 0,66cm2
2
2
2

Ví dụ 6. Cho tam giác đều ∆ABC cạnh 5cm, ∠ ADC = 40o. Biết D ∈ BC. Tính:
a) Cạnh AD và DB;
b) Tính diện tích ∆ADC . (Làm tròn hai chữ số thập phân)

b) * sin B =

Giải:
a) Trong ∆ ABH có:
AH = AB.sinB = 5.sin60o = 4,33 (cm)
Trong ∆ ADH có:
AH

= 6,74 (cm)
Sin 40o
AH
DH =
= 5,16 (cm)
tg 40o
AD =

⇒ DB = DH – BH = 5,16 – 2,5 = 2,66 (cm)

b) SADH =

1
1
DC.AH = .(5 + 2,66).4,33 = 16,58 (cm2)
2
2

0
0
µ
µ
Ví dụ 7. Cho ΔABC có A=58
25'; B=31
35'; AB = 7,5 cm. Từ đỉnh C, vẽ đường
phân giác CD và đường trung tuyến CM của ΔABC (D và M thuộc AB). Tính các độ
dài AC; BC; diện tích S1 của ΔABC; diện tích S2 của ΔCDM.
Giải:
Kiểm tra được tam giác ABC vuông tại C có: AB = a; ¶A =α; Bµ = β
AC = a. cos α ≈ 3,92804 (cm) ; BC = a. sin β ≈ 6,38909 (cm)

10

D


S1 = ( AB.BC):2 ≈ 12,54830 (cm 2 )
Theo t/c đường p/g trong của tam giác, có:
AD DB
AB
=
=
AC CB AC+CB
AC.AB
AB
⇒ AD =
; DM =
− AD.
AC+CB
2
S DM
DM.S1
có 2 =
⇒ S2 =
≈ 1,49664 (cm 2 ).
S1 AB
AB

C

α

β

A

D

B

M

a

Ví dụ 8. Tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB = a = 2,75 cm, góc C = α = 37 o25’.
Từ A vẽ các đường cao AH, đường phân giác AD và đường trung tuyến AM.
a) Tính độ dài của AH, AD, AM.
b) Tính diện tích tam giác ADM. (Kết quả lấy với 2 chữ số ở phần thập phân)
·
·
·
Giải: a) Dễ thấy BAH
= α ; AMB
= 2α ; ADB
= 45o + α
Ta có :
AH = ABcosα = acosα = 2,75cos37o25’
= 2,184154248 ≈ 2,18 (cm)

A

AH
acosα
2, 75cos37 o 25'
AD =
=
=
= 2, 203425437 ≈ 2, 20(cm)
sin(45o + α ) sin(45o + α )
sin 82o 25'
AM =

b)

AH
acosα 2, 75cos37o 25'
=
=
= 2, 26976277 ≈ 2, 26(cm)
sin 2α ) sin 2α
sin 74o50 '

C

H D M

B

1
( HM − HD ) .AH ; HM = AH.cotg2α ; HD = AH.cotg(45o + α)

2
1
Vậy : S ADM = a 2cos 2α ( cotg2α − cotg(45o + α ) )
2
1
S ADM = 2, 752 cos 2 37o 25' cotg74o 50' − cotg82o 25' = 0,32901612 ≈ 0,33cm2
2
S ADM =

(

)

II. Bài tập vận dụng (Phần phụ lục)
BÀI TOÁN 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ TỨ GIÁC
* CƠ SỞ LÝ THUYẾT (PHẦN PHỤ LỤC)

I. Các ví dụ điển hình thường gặp
Ví dụ 1. Cho hình bình hành ABCD có góc ở đỉnh A tù. Kẻ hai đường cao AH và
·
AK (AH ⊥ BC ; AK ⊥ CD). Biết góc HAK
= 32 0 và độ dài hai cạnh của hình bình
hành AB = 10,1; AD = 15,5
a) Tính AH và AK

;

S ABCD

b) Tính tỷ số diện tích S

HAK

11


µ = HAK
·
µ = 320
Giải: a) B
=D
Do đó AH = AB.sinB = 10,1.sin320
AK = AD.sinD = 15,5.sin320
Bấm máy : 10,1 x sin 32 0’’’ =
Shift STO A
Kết quả : AH = 5,352184569
15,5x sin320’’’ = Shift STO B
Kết quả: AK = 8,213748596

15,5cm

A

D

10,1cm
B

H

C

K

1
2

1
2

b) S ABCD = BC. AH ; S HAK = AH . AK . sin HAˆ K = AH . AK . sin 32 0
Bấm tiếp: 15,5 x Alpha A = : ( 1 a

b
2 x Alpha A x Alpha B x sin32 0’’’ =
c

Kết quả : 7,12214121
Ví dụ 2. Cho hình thang ABCD có AB//CD; AB = 3,767; CD = 7,668; Cˆ = 29015′ ;
Dˆ = 600 45′ . Hãy tính:
a) Các cạnh: AD, BC.
b) Đường cao của hình thang và các đường chéo của hình thang.
Giải: a) Ta có: AH = BK; DH = cotg60045’.AH ;
KC = cotg29015’.BK ;
Suy ra: DH + KC = DC – AB = AH(cotg60045’ + cotg29015’)
DC − AB

3,901

<=> AH = cotg600 45’ + cotg29015’ = 2,34566
=> AH = 1,663075...
AH

B

1, 663075

Khi đó: AD = sin 600 45′ = 0,8725 = 1,90612 ;
BK

A

1, 663075

60 045 '
D

29015 '
H

C

K

BC = sin 29015′ = 0, 48862 = 3, 403608
Ta có: KC = BC 2 − BK 2 = 2,96963 => HC = KC + HK = 2,96963 + 3,767 = 6,73663
Suy ra: AC = AH 2 + HC 2 = 6,93888; DH = AHA2 − AH 2 = 0,93138
=> DK = DH + HK = 4,69838 => BD = BK 2 + DK 2 = 4,98403 .
Vậy: AD = 1,90612; BC = 3,403608; AH = BK = 1,663075;
AC = 6,93888; BD = 4,98403
Ví dụ 3. Cho hình thang vuông ABCD, biết AB = 12,35cm ; BC = 10,55cm
·

ADC
= 570 (Hình 1)
a) Tính chu vi của hình thang ABCD ; b) Tính diện tích của hình thang ABCD.
Giải: a) Ta có : AD =

10,55
AE
BC
=
=
SinD SinD
Sin57 0

DE = AE.cotg D = BC.cotgD = 10,55.cotg57 0
Chu vi (ABCD) = AD + DE + 2AB + BC
=

10,55
+10,55 . cotg57 0 +2.12,35 +10,55
Sin57 0

12


Bấm máy: 10,55 : sin 57 _+ 10,55 x 1 a b c tan 57 +_ 2 x 12,35 + 10,55 =
Kết quả: 54,68068285
b/ Diện tích hình thang ABCD là:
( AB + CD ) BC (2 AB + DE ) BC (2.12,35 + 10,55. cot g 57 0 )10,55
=
=

2
2
2
Bấm máy: ( 2 x 12,35 + 10,55 x 1 a b c tag 57 ) x 10,55 : 2 =166,4328443
Ví dụ 4. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 12. Vẽ đoạn AE với E là điểm trên cạnh
CD và DE = 5 cm . Trung trực của AE cắt AE , AD và BC tại M , P và Q . Tỷ số độ dài

đoạn PM và MQ là: (A) 5:12;
(B) 5:13;
(C) 5:19;
Giải:
Vẽ RS qua M song song với cạnh AB,CD.
Ta có:

(D) 1:4;

. Vì RM là đường trung bình của tam giác

E

D

C

R
P

MP MR
=
MQ MS

(E) 5:21.

M

S
Q

A

ADE nên
Mà:

MR =

DE
2

MS = RS − MR .

B

.
Vậy:

Áp dụng bằng số với:
5 ab / c 2 =

DE
MP MR

2
=
=
MQ MS RS − DE
2

DE = 5 cm, RS = 12 cm
Min ÷ [(

12 −

.

ta được:

MR =

5

( 19 )

Đáp số: (C) là đúng.

Chú ý: Nếu không sử dụng phân số (5 a b / c 2) mà dùng (5 ÷ 2) thì máy sẽ cho
đáp số dưới dạng số thập phân.
Hãy tính: 5 ÷ 2 = Min ÷ [( 12 − MR (0.2631579)
So sánh: 5 a b / c 19 SHIFT a b / c a b / c
Kết quả: 0.2631579
Như vậy, hai kết quả như nhau, nhưng một kết quả được thực hiện dưới dạng
phân số (khi khai báo 5 ab / c 2), còn một kết quả được thực hiện dưới dạng số thập

phân (khi khai báo 5 ÷ 2).
Ví dụ 5. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 40 cm, BC = 30 cm. Đường thẳngBvuông
E
A
góc với AC tại C cắt các đường thẳng AB, AD lần lượt tại E và F. Tính chính xác đến
0,0001 giá trị của biểu thức BE. CF + DF . CE biết rằng EF = 99cm.
D
Giải
C
Theo định lý Talet ta có:

BE CE
DF CF
=
=
(1) và
AE EF
AF EF

(2)
13
F


Cộng từng vế các đẳng thức (1) và (2) được:

BE DF
+
= 1 (3)
AE AF

Nhân cả hai vế của đẳng thức (3) AE.AF được:
BE.AF + DF.AE = AE.AF
Do AE. AF = 2dt ∆AEF = AC.EF nên BE.AF + DF.AE = AC.EF
Mặt khác AF2 = CF.EF và AE2 = CE.EF nên:
AF = CF .EF ; AE = CE.EF nên suy ra BE. CF .EF + DF. CE.EF = AC.EF
hay suy ra BE. CF + DF . CE = AC. EF
(4)
Theo pitago, ta có AC = AB 2 + BC 2 = 402 + 302 .
Ấn phím:
( 40 x2 + 30 x2 ) = Kết quả AC = 50
Nên từ (4) cho BE. CF + DF . CE = 50. 99 ≈ 497,4937 (cm)
II. Bài tập thực hành (Phần phụ lục)
BÀI TOÁN 3. ĐƯỜNG TRÒN
* CƠ SỞ LÝ THUYẾT (PHẦN PHỤ LỤC)

I. Các ví dụ điển hình thường gặp
Ví dụ 1. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với
nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng có bờ là
AB). Từ M trên nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ 3 cắt Ax, By lần lượt tại C, D. Cho
biết MC = 20 11.2007; MD = 20 11.2008 . Tính MO và diện tích tam giác ABM.
y
Giải:
x
a) Chứng minh được góc COD = 90o
Từ đó dùng hệ thức lượng ta được :
D
OM= MC.MD = 20 11.2007.20 11.2008
M
Quy trình bấm máy:

C
x
( 2 0 SHIFT
1 1 . 2 0 0 7 × 2 0 SHIFT
x

11. 2 0 0 8 ) =

Kết quả: ≈ 1,648930728. Ấn tiếp: SHFT STO A
b) Chứng minh được :

A

O

B

2
S
4OM 2
4OM 2 1
4OM3
 AB 
AMB
∆AMB : ∆CMO(g− g) ⇒
=
=
⇒S
=
. .CD.OM =

÷
AMB CD2 2
S
CD 
CD
CD2
COD 

Quy trình bấm máy:
( 4 × ALPHA A ∧ 3 ) : (

( 2 0 SHIFT

x

11. 2 0 0 7 +

11. 2 0 0 8 ) =
Kết quả: ≈ 1,359486273
Ví dụ 2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B (O và O’ nằm khác phía
đối với AB). Một đường thẳng đi qua điểm A cắt (O) và (O’) lần lượt tại hai điểm M
và N. Tính độ dài lớn nhất của đoạn thẳng MN nếu cho biết AB = 16 cm, bán kính
của đường tròn tâm O và O’ lần lượt là 15 2 cm và 10 2 cm.
2 0 SHIFT

x

14

Giải:
Gọi I = OO'∩AB. Ta có: IA =

16
= 8 ; AB ⊥ OO'.
2

A

H

M

OI = (15 2) 2 − 82 ≈ 19, 6469

O'

I

O

Lưu vào biến nhớ A ( SHFT STO A )

N

K

B

IO ' = (10 2) 2 − 82 ≈ 11, 6619

Lưu vào biến nhớ B ( SHFT STO B ) ⇒ OO' = OI + IO'
Ghi vào màn hình A+B ( ALPHA A + ALPHA B = ) được kết quả OO'≈ 31,3088
Lưu vào biến nhớ C ( SHFT STO C )
Gọi H, K lần lượt là trung điểm của MA, AN. Ta có: OH ⊥ MA; OK ⊥ AN
⇒ OHKO' là hình thang vuông ⇒ HK ≤ OO'
⇒ HK lớn nhất ⇔ HK = OO' ⇔ MN = 2HK
Tính MN bằng cách ghi vào màn hình 2× C( 2 × ALPHA C = ) được kết quả
MN = 62,6176 cm
Ví dụ 3. Một ngôi sao năm cánh có khoảng cách giữa hai đỉnh không liên tiếp là
9, 651 cm . Tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp (qua 5 đỉnh).
Giải:
Ta có công thức tính khoảng cách giữa hai đỉnh không kề nhau của ngôi sao
năm cánh đều (hình vẽ):
Công thức:

d = 2 R cos18o

Công thức:

cos18o =

AC = d = 2 R cos18o =

R 10 + 2 5
2

.

B

là hiển nhiên.

10 + 2 5
2

có thể chứng minh như sau:

A

C

Ta có:

O

1 + cos 36o 1 + sin 54o 1 + 3sin18o − 4sin 3 18o
1 − sin 18 = cos 18 =
=
=
.
2
2
2
hay 4 sin3 18o − 2sin 2 18o − 3sin18o + 1 = 0. .
2

Suy ra

o

2

sin18o

o

D

là nghiệm của phương trình:

E

4 x3 − 2 x 2 − 3x + 1 = ( x − 1)(4 x 2 + 2 x − 1) = 0 .

Vậy

sin18o =

hay

cos18o =

−1 + 5
4

. Từ đây ta có:

10 + 2 5
10 + 2 5

=
.
16
4

cos 2 18o = 1 − sin 2 18o = 1 − (

Suy ra

d = 2 R cos18o =

5 − 1 2 10 + 2 5
) =
.
4
16

R 10 + 2 5
2

và

R=

d
2d
=
.
2 cos18o
10 + 2 5

Cách giải 1: 9.651 ÷ 2 ÷ 18 o,,, cos = (5.073830963)
)]
= (5.073830963)
Cách giải 2: 2 × 9.651 ÷ [( [( 10 + 2 × 5
Ví dụ 4. Cho đường tròn tâm O , bán kính R = 11, 25 cm . Trên đường tròn đã cho, đặt
các cung AB = 90o , BC = 120o sao cho A và C nằm cùng một phía đối với BO .
A
a) Tính các cạnh và đường cao AH của tam giác ABC .
b) Tính diện tích tam giác ABC (chính xác đến 0,01).
B
Giải: a) Theo hình vẽ:
C
H
0
0
0
»
»
» = 120 –
sđ AC = sđ BC – sđ AB
90 = 30 .
O

15


·
·
Tính các góc nội tiếp ta được: ABC

= 150; ACB
= 450.
·
·
·
Suy ra: BAC
= 1200; CAH
= 450; BAH
= 750.
Ta có: AB = R 2 ; BC = R 3 .
Vì ∆ AHC vuông cân, nên AH = HC (đặt AH = x ).
Theo định lí Pitago ta có: AH 2 = AB 2 − HB 2 . Do đó:
2 x2 − 2R 3 x + R2 = 0 .

Vì

AH < AC < R ,

Suy ra:

x1 =

nên nghiệm

Gọi diện tích

∆ABC

R 3−R
2

x2 =

;

x2 =

R 3+R
2

R 3+R
2

(

x2 + R 3 − x

) = ( R 2)
2

hay

.

bị loại. Suy ra:

AC = AH 2 =

R( 3 − 1)
2

1
1 R 3−R
R 2 (3 − 3)
AH ⋅ BC = ⋅
⋅R 3 =
2
2
2
4
= MODE 7 2 (15.91).
Vậy AB ≈ 15,91 cm .

là S , ta có:

2

S=

.

.

Ấn phím: 11.25 Min × 2
= Kết quả:19.49
Ấn tiếp phím: MR × 3
Vậy: BC ≈ 19, 49 cm .
− 1= ÷ 2
= (5.82)
Ấn phím: MR × [( 3

Vậy AC ≈ 5,82 cm .
− 1 = ÷ 2 = (4.12)
Ấn tiếp phím: MR × [( 3
Vậy: AH ≈ 4,12 cm .
= ÷ 4 = . Kết quả: S ≈ 40,12 cm 2 .
Ấn tiếp phím: MR SHIFT x 2 × [( 3 − 3
Ví dụ 5. Trên đường tròn tâm O, bán kính R = 15, 25 cm , người ta đặt các cung liên
» = 900, CD
» = 1200.
» = 600, BC
tiếp: AB
a) Tứ giác ABCD là hình gì ?
b) Chứng minh AC ⊥ BD.
c) Tính các cạnh và đường chéo của ABCD theo R chính xác đến 0,01.
d) Tính diện tích tứ giác ABCD .
» + sđ CD
» )
» = 3600 – (sđ AB
» + sđ BC
60°
Giải: a) sđ AD
A
B
0
0
0
0
0
= 360 – (60 + 90 + 120 ) = 90 .
Suy ra:

»
AD

=

» , ABD
·
·
BC
= BDC
=

Từ đó ta có:
Mặt khác,
Vậy
b) Vì

AB // CD .

·
·
= BCD
ADB

ABCD

450 (vì cùng bằng

Vậy

ABCD

(cùng bằng

900
2

).
E

là hình thang.

0

60 +90
2

0

).

450 (vì cùng bằng

900
2

C

D

là hình thang cân (đpcm).

·
·
= BAC
=
ABD

90°

).

120°

·
Suy ra AEB
= 900, vậy AC ⊥ BD (đpcm).
c) Theo cách tính cạnh tam giác đều, tứ giác đều, lục giác đều nội tiếp trong đường
tròn bán kính R , ta có: AB = R ; AD = BC = R 2 ; DC = R 3 .

Các tam giác AEB, CED vuông cân, suy ra:
Vậy:
d)

AE =

R
2

,

CE =

R 3
2

. Suy ra:

AE =

AC = AE + EC =

AB

,

2

CE =

R+R 3
2

=

CD
2

.

R(1 + 3)
2

1
1
1 R 2 (1 + 3)2 R 2 (1 + 3) 2
R(1 + 3) 2
AC ⋅ DB = AC 2 = ⋅
=
=[
] .
2
2
2
2
4
2
MR × [( 1 + 3
= ÷ 2 = SHIFT x 2 MODE 7 2 (433.97).

.

S ABCD =

Tính:
Ấn tiếp: 15.25 Min

×

2

=

Kết quả: 21.57. Vậy

Vậy

S ABCD ≈ 433,97 cm2.

AD = BC ≈ 21,57 cm.

16


= (26.41).
n tip phớm: MR ì 3
Vy CD 26, 41 cm .
= ữ 2
= (29.46). Vy AC = BD 29, 46 cm .
n tip phớm: MR ì [( 1 + 3
II. Bi tp thc hnh (Phn ph lc)
BI TON 4. MT S BI TON TNH DIN TCH HèNH
GII HN BI CC HèNH

* C S Lí THUYT (PHN PH LC)

I. Cỏc vớ d in hỡnh thng gp
Vớ d 1. Tớnh din tớch phn hỡnh phng (phn gch xc) gii hn bi cỏc cung trũn
v cỏc cnh ca tam giỏc u ABC (xem hỡnh v), bit: AB = BC = CA = a = 5, 75 cm .

Gii: Ta cú:

R = OA = OI = IA =

2
2 a 3
AH =
3
3 2

. Suy ra:

R=

a 3
3

v

ãAOI = 600 .

Din tớch hỡnh gch xc bng din tớch tam giỏc ABC tr din tớch
hỡnh hoa 3 lỏ (gm 6 hỡnh viờn phõn cú bỏn kớnh R v gúc tõm
bng 600).
SABC =

a2 3
4

A

I

2

;

Din tớch mt viờn phõn:

S O1 AI =

R2 3 a 3
3 a2 3
=

=

3 4
4
12



.

R2 R2 3 R2
3 R 2 (2 3 3)

=

=
6
4
2 3 2
12

Tớnh theo a, din tớch mt viờn phõn bng:

a 2 (2 3 3)
36

B

C

H

.

;

a2 3
a 2 (2 3 3) a 2 (9 3 4 )
5, 752 (9 3 4 )
6
=
=
4
36
12

S gch xc
S gch xc
12
;
.
2
[(
)]
SHIFT
ì
ì

ì
SHIFT

ữ
=
x
5,75
9 3
4
12
=

Bm tip:
N
Kt qu: S gch xc 8,33 cm2.
A
Vớ d 2. Viờn gch cnh a = 30 cm cú hoa vn nh hỡnh v .
a) Tớnh din tớch phn gch xc ca hỡnh

ó cho, chớnh xỏc n 0,01 cm.
M
b) Tớnh t s phn trm gia din tớch phn
gch xc v din tớch viờn gch.
Gii:
D
Q
a) Gi R l bỏn kớnh hỡnh trũn. Din tớch S mt hỡnh viờn phõn
bng:
S=

R2 R2 R2
a2

=
( 2) = ( 2)
4
2
4
16

B

P

C

.

a2

( 2) .
2
a2 ( 2) a2 ( 4 )
2
a

=
phn gch xc bng:
.
2
2
mỏy: 30 SHIFT x 2 Min ì [( 4 SHIFT )] ữ

Vy din tớch hỡnh gm 8 viờn phõn bng:
Din tớch

Tớnh trờn
2 = MODE 7 2 (386.28)
Vy S gch xc 386,28 cm2. n phớm tip: ữ MR SHIFT % (42.92)
b) Tỉ số của diện tích phần gạch xọc và diện tích viên gạch
là 42,92%.
Đáp số: 386,28 cm2; 42,92 %.
17


Ví dụ 3. Nhân dịp kỷ niệm 990 năm Thăng Long, người ta cho lát lại đường ven hồ
Hoàn Kiếm bằng các viên gạch hình lục giác đều. Dưới đây là viên gạch lục giác đều
có 2 mầu (các hình tròn cùng một mầu, phần còn lại là mầu khác). Hãy tính diện tích
phần gạch cùng mầu và tỉ số diện tích giữa hai phần đó, biết rằng AB = a = 15 cm .
Giải: Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều là:

Diện tích mỗi hình tròn là:
Tính trên máy: 15 SHIFT

π a2
. Diện tích 6 hình tròn
12
× π ÷ 2 = Min (353.4291)

π R2 =

x2

Diện tích toàn bộ viên gạch là:

6⋅

a

2

3

4
3a 2 3 π a 2
−
2
2

Diện tích phần gạch xọc là:

=

3a

2

2

3

π a2
2

là:

.

R=
A

1 a 3 a 3
⋅
=
3 2
6
B

.

C

O

F

.

.

E

D

÷ = − MR = (231.13797)
Bấm tiếp phím: 3 × 15 SHIFT x 2 × 3
Ấn tiếp phím: ÷ MR SHIFT % Kết quả: 65.40
Đáp số: 353,42 cm2 (6 hình tròn); 231,14 cm2 (phần gạch xọc); 65,40 %
Ví dụ 4. Viên gạch hình lục giác đều ABCDEF có hoa văn hình sao như hình vẽ,
trong đó các đỉnh hình sao M , N , P, Q, R, S là trung điểm các cạnh của lục giác. Viên
gạch được tô bằng hai mầu (mầu của hình sao và mầu của phần còn lại). Biết rằng
cạnh của lục giác đều là a = 16,5 cm.
M
B
A
+ Tính diện tích mỗi phần (chính xác đến 0,01).
+ Tính tỉ số phần trăm giữa hai diện tích đó.
S
N

Giải: Diện tích lục giác

ABCDEF

Lục giác nhỏ có cạnh là

a
b=
2

cũng có cạnh là

a
b=
2

là S2 bằng: S2 = 3b

2

2

bằng: S1 = 6 ⋅ a

2

3
4

= 3a

2

2

3

.

F

, 6 cánh sao là các tam giác đều

R

. Từ đó suy ra: diện tích lục giác đều cạnh
3

=

3a

2

8

3

, diện tích 6 tam giác đều cạnh

C

O

b

b

P
D

Q

là S3: S3 =

3a

2

8

3

.

÷ 8 × 2 = MODE 7 2 (353.66) Min
Tính trên máy: 3 × 16.5 SHIFT x 2 × 3
÷ 2 = − MR = (353.66)
Ấn tiếp phím: 3 × 16,5 SHIFT x 2 × 3
Ấn tiếp phím: ÷ MR SHIFT % Kết quả: 100. Vậy diện tích hai phần bằng nhau.
Ví dụ 5. Cho lục giác đều cấp một ABCDEF có cạnh AB = a = 36 mm . Từ các trung
điểm của mỗi cạnh dựng một lục giác đều A ' B ' C ' D ' E ' F ' và hình sao 6 cánh cũng có

đỉnh là các trung điểm A ', B ', C ', D ', E ', F ' (xem hình vẽ). Phần trung tâm của hình sao
là lục giác đều cấp 2 MNPQRS . Với lục giác này ta lại làm tương tự như đối với lục
giác ban đầu ABCDEF và được hình sao mới và lục giác đều cấp 3. Đối với lục giác
cấp 3, ta lại làm tương tự như trên và được lục giác
đều cấp 4. Đến đây ta dừng lại. Các cánh hình sao cùng được tô bằng một mầu (gạch
xọc), còn các hình thoi trong hình chia thành 2 tam giác và tô
bằng hai mầu: mầu gạch xọc và mầu "trắng". Riêng lục giác đều cấp 4 cũng được tô
mầu trắng.

18


a) Tính diện tích phần được tô bằng mầu "trắng" theo a.
b) Tính tỉ số phần trăm giữa diện tích phần "trắng" và diện tích hình lục giác ban
đầu.
Giải:
A'
A
B
a) Chia lục giác thành 6 tam giác đều có cạnh là a bằng 3
M
N
B'
F'
đường chéo đi qua 2 đỉnh đối xứng qua tâm, từ đó ta có
3a 2 3
. Chia lục giác ABCDEF thành 24 tam giác F
P
C
S

4
2
a
a
C'
đều có cạnh bằng 2 . Mỗi tam giác đều cạnh 2 có diện tích
E'
R
Q
bằng diện tích tam giác "trắng" A ' NB ' (xem hình vẽ). Suy ra
D
E
D'
6 1
diện tích 6 tam giác trắng vòng ngoài bằng 24 = 4 diện tích lục giác cấp 1 ABCDEF .
2
Vậy diện tích 6 tam giác trắng vòng ngoài là: 1 ⋅ 3a 3 .
(1)
4
2
a
b
b) Tương tự với cách tính trên ta có: MN = b = 2 ; c = 2 .
2
Diện tích 6 tam giác trắng của lục giác cấp 2 MNPQRS là: 1 ⋅ 3b 3 .
(2)
4
2
2
Diện tích 6 tam giác trắng của lục giác cấp 3 là: 1 ⋅ 3c 3 .

(3)
4
2
2
c
Diện tích lục giác trắng trong cùng bằng (với d = 2 ): 3d 3 .
(4)
2
2
2
1
1 3a 2 3
3a 2 3
3a 2 3
Tóm lại ta có: S1 = 1 ⋅ 3a 3 = 3 ; S2 = 4 ⋅ 3b 3 = 4 ⋅ 2 = 5 ;
2
2⋅2
2
4
2
2

S = 6⋅ a

2

3

=

S3 =

1 3c 2 3
⋅
4
2

=

1 3a 2 3
⋅
4 2 ⋅ 42

Strắng = S1 + S2 + S3 + S4 =

=

3a 2 3
27

3a 2 3

÷ 2=
Ấn phím: 3 × 36 SHIFT x 2 × 3
Vậy SABCDEF = 3367,11 mm2.
Ấn tiếp phím: 2 SHIFT x y 4 + 2 SHIFT x
Vậy Strắng ≈ 1157,44 mm2.

Ấn tiếp phím:

÷ MR SHIFT %

3d 2 3
2

; S4 =
1

1

2

( 23 + 25 + 27 ) =

MODE 7 2
+

2=

÷

.

(3367.11) Min

2 SHIFT

(34.38). Vậy

3a 2 3

3a 2 3
=
2 ⋅ 82
27
4
2
3a 2 3 2 + 2 + 2
.
26
2

=

xy

Strang
SABCDEF

6×

MR =

(1157.44)

≈ 34,38%.

II. Bài tập thực hành (Phần phụ lục)
BÀI TOÁN 5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
* CƠ SỞ LÝ THUYẾT (PHẦN PHỤ LỤC)

I. Các ví dụ điển hình thường gặp
Ví dụ 1. Một cái phểu có phần trên dạng hình nón đỉnh S, một bán kính R = 15cm,
chiều cao h = 30cm. Một hình trụ đặc bằng kim loại có bán kính đáy r = 10cm đặt
vừa khít trong hình nón có đầy nước (Hình vẽ). Người ta nhấc nhẹ hình trụ ra khỏi
phểu. Hãy tính thể tích và chiều cao của khối nước còn lại trong phểu.
Giải Hình vẽ thể hiện mặt cắt hình nón và hình trụ bởi mặt phẳng đi qua trục chung
19


của chúng.

DE DB
H ( R − r ) 30.5
=
⇒ DE =
=
= 10(cm) . Do đó:
SH HB
R
15

Ta có DE//SH nên

Chiều cao của hình trụ là: h’= DE = 10 (cm)
+ Nếu gọi V ;V1 ;V2 lần lượt là thể tích khối nước còn lại trong phểu khi nhấc khối trụ
ra khỏi phểu, thể tích hình nón và thể tích khối trụ, ta có:
1
152.30π
V = V1 − V2 = π R 2 h − π r 2 h, =
− 100π = 1250π (cm3 )

3
3

Khối nước còn lại trong phểu khi nhắc khối trụ ra khỏi
phểu là một khối nón có bán kính r1 và chiều cao h1 .
Ta có:

r1 h1
Rh h
= ⇒ r1 = 1 = 1
R h
h
2

1
3

Suy ra: V = π r12 h1 ⇔ h13 = 15000
Vậy chiều cao còn lại của khối nước trong phểu là: h1 = 10 3 15(cm)
Ví dụ 2. 1) Tính thể tích V của hình cầu bán kính R = 3,173 .
2) Tính bán kính của hình cầu có thể tích V = 137, 45 dm3 .
Giải:

1) Ta có công thức tính thể tích hình cầu:
Tính trên máy: 3.173 SHIFT
2) Từ công thức

V=

V=

4
π R3 .
3

xy

3× 4×

π ÷

3 = (133.8131596)

4
π R3
3

suy ra

R=

3V
4π

3

.

Áp dụng: 3 × 137.45 ÷ 4 ÷ π = SHIFT x y 1 a b / c 3 = (3.20148673)
Đáp số: V = 133.8134725 dm3 ; R = 3, 201486733 dm .

·
Ví dụ 3. Tính góc HCH
trong phân tử mêtan ( H : Hydro, C : Carbon).
Giải: Gọi G là tâm tứ diện đều ABCD cạnh là a , I là tâm tam giác
·
đều BCD . Góc HCH
trong phân tử mêtan chính là góc ·AGB

của tứ diện
Suy ra

ABCD .

Khi ấy ta có:

AI = AB 2 − IB 2 = a 2 − (

a
3

)2 =

IB =

a 3
3

A

.

a 2
3

D

G

3
a 3
và BG = AG = 4 AI =
. Gọi E là điểm giữa AB .
I
2 2
B
a
C
AE
2
sin AGE =
= 2 =
Khi ấy:
AG a 3
3.
2 2
suu
SHIFT sin -1 = × 2 = SHIFT o,,, ( 109o 28o16.39 ). Đáp số: 109o 28'16''
Tính ·AGB : 2 a b / c 3
Ví dụ 4. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD , biết trung đoạn d = 3, 415 cm , góc giữa
cạnh bên và đáy bằng 42o17 ' . Tính thể tích.

Giải: Gọi cạnh đáy của chóp tứ giác đều SABCD là a , chiều cao là h , ϕ là góc giữa
20


SH
cạnh bên và đáy. Khi ấy AH = tgϕ hay h = SH = a 2 tgϕ . Mặt khác,
2

Suy

a
a 2
a
h 2 + ( )2 = d 2 hay (
tgϕ ) 2 + ( )2 = d 2 .
2
2
2
2d
a 2
d 2
ra a = 1 + tg 2ϕ và h = 2 tgϕ = 1 + 2tg 2ϕ tgϕ

.

Thể tích tứ diện được tính theo công thức:
V=

1 2 1 d 2tgϕ
4d 2

4 2
ha =
=
2
2
3
3 1 + 2tg ϕ (1 + 2tg ϕ )
3

d 2 tgϕ
(1 + 2tg 2ϕ )3

S

.

C

B

H

M

Tính trên máy:
D
A
y
÷ 3 × 3.415 SHIFT x 3 × 42 o,,, 17 o,,, tan Min ÷
4× 2

[( 1 + 2 × MR SHIFT x 2 )] SHIFT x y 3 a b / c 2 = (15.795231442) Đáp số: V = 15,795 cm3 .
II. Bài tập thực hành (Phần phụ lục)
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Sau một thời gian dài áp dụng giải pháp, qua thực tế giảng dạy, tôi thấy giải
pháp bước đầu đã mang lại hiệu qủa rất khả quan. Học sinh yêu thích môn học này
hơn, đồng thời kích thích trí tò mò tìm hiểu khoa học của học sinh, các em tích cực
chủ động trong việc lĩnh hội kiến thức các môn học nói chung và môn Toán nói
riêng. Trong quá trình thử nghiệm, tôi đã thu được một số thành công bước đầu:
* Đối với hoạt động giáo dục: Qua việc giới thiệu cho học sinh hệ thống các
dạng bài tập về máy tính bỏ túi Casio từ dễ đến khó, tôi thấy đã phát huy được tính
tích cực, tư duy sáng tạo, sự say mê môn học của học sinh, giúp học sinh hình thành
phương pháp và cách làm việc với khoa học Toán học.
Đặc biệt các em xác định được dạng và sử dụng phương pháp hợp lí để giải
bài toán một cách chủ động. Chất lượng bộ môn được nâng cao, thể hiện cụ thể ở kết
quả học tập của các em. Trong kì thi “Giải toán trên máy tính cầm tay” cấp huyện
năm học 2016 - 2017 vừa qua các em đã đạt 9 giải, trong đó có giải Nhất, Nhì, Ba,
KK. Trong kì thi cấp Tỉnh đạt 3 giải, đặc biệt đã đạt đến giải Nhì cấp Tỉnh.
* Đối với bản thân: Tôi thấy trình độ chuyên môn được nâng cao hơn, đặc
biệt phù hợp với quá trình đổi mới phương pháp dạy học của ngành đề ra. Đồng thời
hình thành ở bản thân phương pháp làm việc khoa học. Hơn thế đã phát huy được sự
tích cực chủ động của người học, hình thành ở học sinh những kĩ năng, kĩ xảo trong
giải toán.
* Đối với đồng nghiệp và nhà trường: Vì đây là đề tài đã áp dụng giảng dạy
thành công cho các em học sinh đội tuyển cấp Huyện và cấp Tỉnh trong kì thi “Giải
toán trên máy tính cầm tay” trong những năm gần đây, cho nên có thể áp dụng làm
tài liệu tham khảo ôn luyện HSG cấp Huyện và cấp Tỉnh môn “Giải toán trên máy
tính cầm tay”.
3. KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.

21


Khi hướng dẫn học sinh giải toán trên máy tính bỏ túi theo hệ thống bài tập
như trên tôi thấy học sinh hiểu, vận dụng rất tốt, đặc biệt giúp các em nhớ lâu, phân
biệt được dạng bài tập. Từ đó giúp các em say xưa với bộ môn, tích cực sáng tạo khi
giải Toán, là cơ sở để tôi phát hiện và bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi.
Đối với giáo viên để luyện tốt cho học sinh sử dụng máy tính bỏ túi Casio vào
giải toán cần: Phải nắm thật chắc chương trình và đối tượng học sinh để chuẩn bị bài
giảng tốt. Phải biết chọn lọc nội dung, phương pháp tập chung vào điểm mấu chốt,
chọn kiến thức, kĩ năng cơ bản nào hay ứng dụng nhất để giảng tốt. Phải giảng chắc
đến đâu, luyện chắc đến đấy. Tránh giảng qua loa đại khái để chạy theo số lượng bài
tập. Suốt quá trình luyện giảng phải cho học sinh động não suy nghĩ tại sao, làm thế
nào? Tại sao chọn cách giải đó??? Thì mới đạt kết quả.
Biết cách tạo hứng thú môn học cho học sinh. Học sinh thấy được vai trò cần
thiết của máy tính được áp dụng trong suy luận toán và tính toán với các môn học
khác. Từ đó học sinh chủ động tìm hiểu và học tập có hiệu quả. Giáo viên cần nắm
đựợc nội dung một cách bao quát, đầy đủ, phân loại được các dạng bài toán theo
mức độ khó dễ từ thấp đến cao, tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh nắm bắt kiến
thức và thực hành áp dụng kiến thức. Tăng cường các bài tập thực tế, rèn kĩ năng
thực hành, tạo hứng thú và niềm tin vào môn học. Chú trọng các bài tập kết hợp tư
duy toán học và dự đoán máy tính, các bài toán mang tính chất quy trình, thuật giải.
Giáo viên phải không ngừng học tập, trao đổi chuyên môn qua thực tế giảng
dạy, qua đồng nghiệp, đọc các tài liệu, cập nhật các bài toán mới có nội dung thực tế.
Trên đây là những việc mà tôi đã thực hiện và đúc rút được trong quá trình thể
nghiệm đề tài “Nâng cao hiệu quả công tác bồi dưỡng HSG giải toán trên MTCT
phần Hình Học”. Tuy có nhiều cố gắng, nhưng do trình độ chuyên môn còn nhiều
hạn chế nên đề tài không tránh khỏi những sai sót. Rất mong được sự đóng góp ý
kiến của các đồng nghiệp để bản thân không ngừng tiến bộ, để hoạt động dạy và học
đạt hiệu quả cao nhất. Tôi xin chân thành cám ơn!

3.2. Kiến nghị.
Đề nghị PGD, Sở GD thường xuyên mở lớp tập huấn để giáo viên có điều kiện
giao lưu, học hỏi kinh nghiệm dạy của đồng nghiệp.
XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN ĐƠN VỊ

Hiệu trưởng

Thị trấn, ngày 8 tháng 04 năm 2017
Cam đoan không copy
NGƯỜI THỰC HIỆN

Lương Thị Liên

Phạm Việt Hùng

22


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. SGK, SGV Toán 6, 7, 8, 9.
2. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 6, 7, 8, 9 – Bùi Văn Tuyên.
3. Tuyển tập 250 bài toán bồi dưỡng HS giỏi Toán cấp 2 (phần Đại số) – Võ Đại
Mau.
4. Giải toán trên máy tính Casio fx – 570MS lớp 6, 7, 8, 9 – Lê Hồng Đức.
5. Hướng dẫn sử dụng và giải toán trên máy tính Casio fx 500 MS, Casio fx 570
MS – TS Nguyễn Văn Trang. Hướng dẫn sử dụng và giải toán trên máy tính
Vinacal Vn–500MS,Vn–570MS
6. Các đề thi học sinh giỏi Giải toán trên máy tính Casio 1996 – 2004 –
Tạ Duy Phượng – Nguyễn Thế Thạch.
7. Một số bài tập tham khảo trên mạng Internet.

23


PHỤ LỤC
SKKN: Nâng cao hiệu quả công tác bồi dưỡng HSG giải toán
trên MTCT phần Hình Học
BÀI TOÁN 1. GIẢI TAM GIÁC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Cơ sở lý thuyết
1/ Hệ thức lượng trong tam giác vuông
A
a2 = b2 + c2 (Định lí Pitago)
h2 = a’ . b’
c
b
b2 = a . b’
h
c2 = a . c’
b'
c'
α
B
bc = ah
1
1 1
= 2+ 2
2
h
b c

H

C

a

2/ Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
b = a . sinB = a . cosC ;
b = c . tgB = c . cotgC
c = a . sinC = a . cosB ;
c = b . tgC = b . cotgB
3/ Bất đẳng thức tam giác
AB + AC > AB ; AB + BC > AC ; AC + BC > AB
4/ Các hệ quả của bất đẳng thức tam giác
AB > AC – BC ; AB > BC – AC ; AC > AB – BC
AC > BC – AB ; BC > AB – AC ; BC > AC – AB
AB – AC < BC < AB + AC
5/ Các tỉ số lượng giác của góc nhọn
tgα =

1
sin α
cos α
; cot gα =
; tgα.cotgα = 1 ; sin2 α + cos2α = 1 ; cot gα = tgα
cos α
sin α

6/ Tĩ số lượng giác hai góc phụ nhau α và β = 900 - α ( 0 < α < 900 )
sinα = cosβ ; cosα = sinβ ; tgα = cotgβ ; cotgα = tgβ

7/ Tỉ số lượng giác hai góc bù nhau α và β = 1800 – α (0 < α < 1800 )
sinα = sinβ ; cosα = – cosβ ; tgα = – tgβ ; cotanα = – cotanβ
8/ Hệ thức lượng trong tam giác bất kì
* Định lí hàm số cosin
a2 = b2 + c2 – 2bc cosA ; b2 = a2 + c2 – 2ac cosB ; c2 = a2 + b2 – 2ab cosC
* Định lí hàm số cosin suy rộng
cot gA =

b2 + c2 − a 2
a2 + c2 − b2
a 2 + b2 − c2
; cot gB =
; cot gC =
4S
4S
4S

* Hệ quả của định lí hàm số cosin
A < 900 ó b2 +c2 – a2 > 0 ; A = 900 ó b2 +c2 = a2 ; A >900 ó b2 +c2 – a2 < 0
* Định lí hàm số sin
24


a
b
c
=
=
= 2 R (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp)
sin A sin B sin C

* Định lí hàm số tang
A+ B
a +b
2
=
A
−
B
a − b tg
2
tg

9/ Các công thức tính diện tích tam giác
1
1
1
aha = bhb = chc
2
2
2
1
1
1
S = b c sinA = a c sinB = a b sinC
2
2
2

S=

S1

Cho 2 tam giác đồng dạng có tỉ số đồng dạng là k khi đó: S = k2
2
abc
4R
S = pr
(r, R là bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp)
a+b+c
p=
A
2
S=

S=

p ( p − a) ( p − b) ( p − c)

1
S=
2 ( b 2 c 2 + a 2b 2 + a 2 c 2 ) − ( a 4 + b 4 + c 4 )
2
S = ( p − a ) ra = ( p − b ) rb = ( p − c ) rc

S = 2R2 sinA sinB sinC
Cho 2 tam giác có chung cạnh đáy khi đó:

c

b
hA

mA
lA

B

S
h
, =
S
h,

H

D

M

C

(với h, h’ là đường cao tương ứng của 2 tam giác)
10/ Công thức tính độ dài các đường trung tuyến
4 ma2 = 2 b2 + 2 c2 – a2 = b2 + c2 + 2 b c cosA
4 mb2 = 2 a2 + 2 c2 – b2 = a2 + c2 + 2 a c cos B
4 mc2 = 2 b2 + 2 a2 – c2 = b2 + a2 + 2 a b cosC
* Chú ý: Các tính chất trên nhớ bằng tính chất “ Trong một hình bình hành tổng bình
phương hai đường chéo bằng tổng bình phương các cạnh của hình bình hành”.
AM = ma ; AD = 2ma ; AD2 + BC2 = 2(AB2 + AC2)

Cho 2 tam giác đồng dạng có tỉ số đồng dạng là k khi đó:

d1
=k
d2

(với d1, d2 là đường trung tuyến tương ứng của 2 tam giác đồng dạng)
11/ Công thức tính độ dài các đường phân giác trong:
la =

A
2 = 2
bcp( p − a )
b+c
b+c

2bc cos

25