khoảng cách toán học lớp 11

CHÀO MỪNG QUÝ
THẦY CÔ ĐÃ ĐẾN DỰ
TIẾT HỌC HÔM NAY.


Tiết
CÁCH

43:

KHOẢNG

Giáo viên hướng dẫn:
TRẦN TIẾN SANG
Sinh viên thực tập:
NGUYỄN THỊ KIM HÀ


Tiết 43: KHOẢNG CÁCH
I. Khoảng cách từ một điểm đến một
mặt phẳng, đến một đường thẳng.

M

●

P

K

H

N

Các em hãy cho cô
biết trong các khoảng
cách từ điểm M đến
một điểm bất kì thuộc
mặt phẳng (P),
khoảng cách nào là
nhỏ nhất ?.


M
Cũng câu hỏi như trên nếu thay
mặt phẳng (P) bởi đường thẳng ∆
thì kết quả ra sao các em?

K
∆

H

???

N


Định nghĩa 1:
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P)
( hoặc đến đường thẳng ∆) là khoảng cách

giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu
của điểm M lên mặt phẳng (P)
( hoặc trên đường thẳng ∆ ).

Kí hiệu:

d ( M ; ∆)

Em hãy
đọc cho
cô định
nghĩa 1?


2. Khoảng cách giữa đường
thẳng và mặt phẳng song
song, giữa hai mặt phẳng
song song
Cho đường thẳng a // mp
(P). Lấy 2 điểm A, B bất kì
thuộc đường thẳng a và gọi A’,B’
lần lượt là hình chiếu của A, B
trên (P). CMR AA’=BB’?


Bài
giải:
Qua phép chiếu vuông góc với
mặt phẳng ( P ):
A → A’

B → B’
a → a’ (a’//a)
Suy ra được tứ giác AA’B’B là
hình chữ nhật.
⇒ AA’ = BB’.

Định nghĩa 2
Khoảng cách giữa đường
thẳng a và mặt phẳng (P)
song song với a là
khoảng cách từ điểm bất
kì của a đến mặt phẳng
(P).
Ký hiệu d(a;(P))

A

●

●
A’

a

a’

B●

●
B’

P


Trong trường hợp trên nếu thay đường thẳng a
bằng mặt phẳng (Q) thì ta được

Định nghĩa 3:

A

a

B

P

Khoảng cách giữa hai mặt
phẳng song song là
khoảng cách từ một điểm
bất kì của mặt phẳng này Q
đến mặt phẳng kia.

H

b

K

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo

nhau Bài toán
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. tìm đường
thẳng c cắt cả a và b, đồng thời vuông góc với cả a


Mặt phẳng (P) đi qua a và
vuông góc với (Q) cắt đường
thẳng b tại điểm J. Gọi c là
đường thẳng đi qua J và vuông
góc với (Q), khi đó c cắt a tại
điểm I. c là đường thẳng cần
tìm.
* Đường thẳng c gọi là đường
vuông góc chung của hai
đường thẳng chéo nhau a và
b.
IJ gọi là đoạn vuông góc chung
của a và b.

I

a

c
a’
Q

P

J

I

J

c

b

a

b

Định nghĩa 4
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ
dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.


Khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau
bằng khoảng cách giữa hai
mặt phẳng song song lần
lượt chứa hai đường thẳng
đó.

Khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau bằng
khoảng cách giữa một trong
hai đường thẳng đó và mặt
phẳng song song với nó chứa
đường thẳng còn lại.

I
a
P

J
Q

b


4. Ví dụ
Cho hình chóp

S . ABCD có

đáy là hình vuông cạnh

a) SB và AD

b) BD và SC
S

Giải:

a) Ta có AD ⊥ ( SBA ) , kẻ

AH vuông góc với SB

Thì AH là đường vuông góc chung của

.
SB và AD. Vậy d( AD ; SB ) = AH. Mà AH là
đường cao của tam giác vuông cân SAB.
Nên AH =

H

A

D

a 2
2

Từ đó

d ( AD; SB ) =

a 2
2

O

B

C


b) Ta có BD ⊥ mp(SAC) tại tâm O của
hình vuông ABCD. Trong mp(SAC), kẻ OK

S

vuông góc với SC thì OK là đường
vuông góc chung của BD và SC.
H

Xét hai tam giác vuông đồng dạng

A

SAC và OKC.

SA SC
SA.OC
=
⇒ OK =
OK OC
SC

.

Ta có:
SA = a

+ OC = 1 AC =
+
+

2

SC = a +
2

2
a
2

(

2a

)

= 3a

d ( BD; SC ) = OK =

Từ đó

O

B
2

D

K

a.

C

2
a
2 = 6a
6
3a


Các em về nhà ôn lại
lý thuyết và hoàn
thành các bài tập
trang 117, 118 SGK
và tham khảo sách
bài tập phần khoảng
cách.

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác
vuông ở C, cạnh SA vuông góc với mặt
phẳng đáy, AC = a, BC = b, SA = h. Gọi
M và N lần lượt là trung điểm của các
cạnh AC và SB.
Tính độ dài MN?
S
N
B

A

H
M
C


Xin chân thành cảm ơn q
Thầy Cô đã đến dự tiết học
hôm nay.
Kính mong q Thầy Cô đóng
góp ý kiến để tiết dạy
ngày càng hoàn thiện hơn.
SV: Nguyễn Thị Kim Hà