KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG

KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG

KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG
I. Sơ đồ khảo sát hàm số: y = ax4 +bx2+ c
B1. Tập xác định:
Chú ý

D=R

* Nếu a > 0
* Nếu a < 0

( a≠0 ))

lim y

, Tính các giới hạn:

lim y

x→−∞

x →+∞

và

lim y = lim ( ax 4 + bx 2 + c) = +∞

⇒

x→± ∞

x →± ∞

lim y = lim ( ax 4 + bx 2 + c) = −∞

⇒

x→± ∞

x →± ∞

B2. Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: Tính
Giải phương trình:

y'
y' = 0

xét dấu

y'

đưa ra chiều biến thiên của hàm số.
y'
-Đưa ra các giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số ( dựa vào bảng dấu của
)
-Lập bảng biến thiên:
B3. Đồ thị:
- Xác định các yếu tố đã biết trên trục tọa độ Oxy
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0 tìm y

- Tìm giao điểm của đồ thị vơi trục hoành: Cho y = 0 Giải phương trình

ax 4 + bx 2 + c = 0

Tìm x ( Nếu giải phương trình khó quá ta không cần thực

hiện bước này).
∞
Chú ý : Khi xét dấu của đạo hàm y’ là dấu biểu thức bậc 3 phía + cùng dấu
với a mỗi lần qua 1 nghiệm đơn đổi dấu.
0

* Nếu phương trình y’ = 0 có một nghiệm là x ta có bảng xét dấu của y’
như sau:
∞
x -∞
0
+
x
y’
Trái dấu a 0 Cùng dấu a
1

2

*Nếu phương trình y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt là x ; x ; x
1

2

3

(giả sử: x < x < x ) ta có bảng xét dấu của y’ như sau:
GV.Nguyễn văn Phép (sưu tầm và soạn )

1

3


KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG

x

-

∞

y’ Trái dấu a

x
0

1

x
0

Cùng dấu a

2

Trái dấu a

x
0

+

3

∞

Cùng dấu a

II. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x4 - 2x2 + 2
GIẢI B1. Tập xác định:

lim y = lim ( x 4 − 2 x 2 + 2) = +∞

D=R

,

x→−∞

x→−∞

lim y = lim ( x 4 − 2 x 2 + 2) = +∞

x→+∞

x→+∞

B2. Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
giải phương trình:

y ' = 4x3 − 4x

y ' = 0 ⇔ 4x3 − 4x = 0 ⇔

4x(x2 - 1) = 0

 x = ±1

⇔ x = 0

- Bảng biến thiên: ( a =4 >0 )
x
y’
y

-∞
-

-1
0

+∞

+

0
0
2

1

-

1
0

-

+
+∞

1

Đồ thị hàm số đồng biến trên khoảng:
và nghịch biến trên khoảng:

+∞

(-1; 0) ∪ (1;+∞)

(-∞; - 1) ∪ (0;1)

y

⇒ y CĐ = 2

Hàm số đạt cực đại tại: x = 0
x = ±1 ⇒ y CT = 1
Hàm số đạt cực tiểu tại:

4

3

2

* Đồ thị:
Giao với trục tung:
Cho x = 0

⇒

1

y=2

GV.Nguyễn văn Phép (sưu tầm và soạn )

x
-2

2

-1

1

-1

O

2


KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG

Giao với trục hoành:
Cho y = 0 giải phương trình

x4 − 2x2 + 2 = 0
phương trình vô nghiệm. (không
có giao điểm với trục hoành)
± ⇒

Cho x = 2

y = 10

x4
2

3

2

2

Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y= - -x +
x4
3
lim y = lim (−
− x 2 + ) = −∞
2
D = R x → ± ∞ x →± ∞ 2
B1. Tập xác định:
,
B2.Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:

y ' = -2x 3 − 2x = -2x(x 2 + 1)

y ' = 0 ⇔ -2x(x 2 + 1) = 0 ⇔ x = 0
- Bảng biến thiên:
x -∞
y’

+

0
0

(một nghiệm duy nhất)
+∞

-

3
2

y
-∞

-∞

∞

∞

-Hàm số đồng biến trên (- ;0) và nghịch biến trên (0; + )
3
⇒ y CĐ =
2
- Hàm số đạt cực đại tại x = 0
; hàm số không có cực tiểu
B3. Đồ thị:
GV.Nguyễn văn Phép (sưu tầm và soạn )

3


KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG

- Giao với trục tung: cho x = 0

⇒

y=

3
2

- Giao với trục hoành: cho y = 0 giải phương trình: ⇔ x 4 + 2x − 3 = 0
t = x2 ≥
đặt
(t 0)
Ta có phương trình:
t = 1

t 2 + 2t − 3 = 0 ⇔ t = −3(loai ) ⇒

- Bảng giá trị:
x
-1
0
y
0
3/2

2

x

x4

2

2

-x +

= 1 ⇒ x = ±1

3
2

=0

y

3

1
2

0

3/2

1

x

- Vẽ đồ thị

-3

-2

-1

O

1

2

-1

-2

Ví dụ3 . Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
B1. Tập xác định:
B2.Sự biến thiên:

D=R

- Chiều biến thiên:

lim y = +∞

,

x →±∞

y ' = 4x 3 +4x = 4x(x 2 + 1)

y ' = 0 ⇔ 4x(x 2 + 1) = 0 ⇔ x = 0

- Bảng biến thiên:

y = x4 + 2x2 +1

x

(một nghiệm duy nhất)

−∞

−

f ′( x)

f ( x)

+∞

0
0

+

+∞

+∞

1
∞

∞

-Hàm số nghịch biến trên (- ;0) và đồng biến trên (0; + )
- Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0
GV.Nguyễn văn Phép (sưu tầm và soạn )

⇒ yCT = 1

; hàm số không có cực tiểu
4

3


KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG

B3. Đồ thị:
- Giao với trục tung: cho x = 0

⇒

y=1
x4 + 2x2 + 1 = 0

- Giao với trục hoành: cho y = 0 giải phương trình:
Vô nghiệm
- Bảng giá trị:

x
-1
0
y
4
1

1
4

- Vẽ đồ thị

Ví dụ 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
B1. Tập xác định:
B2.Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:

D=R

y = − x4 + 2 x2 + 1

lim y = lim (− x 4 + 2 x 2 + 1) = −∞
x →±∞

,

x →±∞

y ' = -4x 3 +4x = -4x(x 2 − 1)

 x=0
y ' = 0 ⇔ -4x(x 2 − 1) = 0 ⇔ 
 x = ±1

- Bảng biến thiên
x

−∞

f ′( x)
f ( x)

−1

+
−∞

0

0

−

0

+

0

2

2
1

Đồ thị hàm số đồng biến trên khoảng:
và nghịch biến trên khoảng:
GV.Nguyễn văn Phép (sưu tầm và soạn )

+∞

1

(-∞; -1)&(0;1)

(-1; 0)&(1; + ∞)

5

−
−∞


KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG

-

Hàm số đạt cực tiểu tại: x = 0

-

Hàm số đạt cực đại tại:

B3. Đồ thị:

⇒ yCT = 1

x = ±1 ⇒ yCD = 2

⇒

- Giao với trục tung: cho x = 0 y=1
- Giao với trục hoành: cho y = 0 giải phương trình:
 x2 = 1 + 2
−x + 2x +1 = 0 ⇒ 
 x 2 = 1 − 2(loai )
4

2

- Bảng giá trị:
x
2
-1
y
1
2

0
1

1
2

2

1

- Vẽ đồ thị
Bài tập tương tự
x4
5
− 3x 2 +
2
2
4
2
b. y = x + x − 2
a. y =

− x4
+ 2x2 +1
4
d.y = − x4 − 2x 2 + 3

c. y =

III. Các dạng của đồ thị hàm số bậc bốn: y = ax4 +bx2+ c (a≠0)

a>0

GV.Nguyễn văn Phép (sưu tầm và soạn )

a<0

6


KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG

y

Phươn
g trình
y’ = 0
có ba
nghiệ
m phân
biệt

y

x

x

O

O

Phươn

g trình
y’ = 0
có một
nghiệ
m

GV.Nguyễn văn Phép (sưu tầm và soạn )

7