Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈
✖✖✖✖✖✖✕♦✵♦✖✖✖✖✖✖✕

◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ▼❾◆

❱➋ P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❍⑨▼ ❈❆❯❈❍❨
❱⑨ Ù◆● ❉Ö◆●

❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆✱ ✺✴✷✵✶✼


✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈
✖✖✖✖✖✖✕♦✵♦✖✖✖✖✖✖✕

◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ▼❾◆

❱➋ P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❍⑨▼ ❈❆❯❈❍❨ ❱⑨
Ù◆● ❉Ö◆●
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❚♦→♥ sì ❝➜♣
▼➣ sè✿ ✻✵ ✹✻ ✵✶ ✶✸

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
●■⑩❖ ❱■➊◆ ❍×❰◆● ❉❼◆

❚❙✳ ❚❘❺◆ ❳❯❹◆ ◗❯Þ

❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆✱ ✺✴✷✵✶✼

✶

▼ö❝ ❧ö❝
▼ð ✤➛✉

✷

❈❤÷ì♥❣ ✶✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤②

✹

✶✳✶✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤② ♠ët ❜✐➳♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✶✳ ❱➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤② ❝ë♥❣ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✷✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❝ë♥❣ t➼♥❤ tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤ù❝
✶✳✶✳✸✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤② ♠ô ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✹✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤② ▲♦❣❛r✐t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✺✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤② ♥❤➙♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❈❛✉❝❤② ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷✳✶✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❈❛✉❝❤② ❝ë♥❣ t➼♥❤ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ ✳ ✳ ✳
✶✳✷✳✷✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤② ♥❤➙♥ t➼♥❤ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ ✳
✶✳✷✳✸✳ ❍❛✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤② ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ ❦❤→❝ ✳
✶✳✸✳ ▼ð rë♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✹✳ ▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ →♣ ❞ö♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻
✻
✶✶
✶✹

✶✼
✶✽
✷✸
✷✸
✷✼
✷✽
✷✾
✸✺

❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ▼ët sè ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤② ✸✼
✷✳✶✳ ❚ê♥❣ ❝→❝ ❧ô② t❤ø❛ ❝õ❛ sè ♥❣✉②➯♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✶✳✶✳ ❚ê♥❣ ❝õ❛ n sè tü ♥❤✐➯♥ ✤➛✉ t✐➯♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✶✳✷✳ ❚ê♥❣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ n sè tü ♥❤✐➯♥ ✤➛✉ t✐➯♥
✷✳✶✳✸✳ ❚ê♥❣ ❧ô② t❤ø❛ k ❝õ❛ n sè tü ♥❤✐➯♥ ✤➛✉ t✐➯♥ ✳
✷✳✷✳ ❚ê♥❣ ❧ô② t❤ø❛ ❝õ❛ ❝→❝ sè tr♦♥❣ ❞➣② ❝➜♣ sè ❝ë♥❣ ✳ ✳ ✳
✷✳✸✳ ❙è ❝➦♣ ❝â t❤➸ rót r❛ tø n ♣❤➛♥ tû ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✹✳ ❚ê♥❣ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❤ú✉ ❤↕♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳

✸✼
✸✽
✸✾
✸✾
✹✷
✹✸
✹✹

❑➳t ❧✉➟♥

✹✼

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✹✽


✷

▼ð ✤➛✉
P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❧➔ ♠ët ♥❤→♥❤ ❝õ❛ t♦→♥ ❤å❝ ❤✐➺♥ ✤↕✐✱ tø ♥➠♠ ✶✼✹✼
✤➳♥ ✶✼✺✵ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ❏✳ ❉✬❆❧❡♠❜❡rt ✤➣ ❝æ♥❣ ❜è ✸ ❜➔✐ ❜→♦ ❧✐➯♥ q✉❛♥
✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠✱ ✤➙② ✤÷ñ❝ ①❡♠ ❧➔ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✤➛✉ t✐➯♥ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ ❤➔♠✳
▼➦❝ ❞ò ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ✤➣ ✤÷ñ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tr➯♥ ✷✻✵ ♥➠♠✱ ♥❤÷♥❣
♥â t❤ü❝ sü ✤÷ñ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠↕♥❤ tr♦♥❣ ❝→❝ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❧þ t❤✉②➳t ✈➔ ù♥❣

❞ö♥❣ ❝õ❛ t♦→♥ ❤å❝ ❝❤➾ ❦❤♦↔♥❣ ✶✵✵ ♥➠♠ trð ❧↕✐ ✤➙②✳
✣➛✉ t❤➳ ❦✛ ✷✵✱ ❦➳ t✐➳♣ ♥❤ú♥❣ ✤â♥❣ ❣â♣ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ❉✳ ❍✐❧❜❡rt
tr♦♥❣ ❧þ t❤✉②➳t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥✱ ✤➣ ❧➔♠ ❝❤♦ ❧þ t❤✉②➳t ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ ❤➔♠ trð ♥➯♥ r➜t q✉❛♥ trå♥❣ ✈➔ t❤✉ ✤÷ñ❝ ♥❤✐➲✉ ❦➳t q✉↔ t❤ó ✈à✱
❝❤➥♥❣ ❤↕♥ ♥❤÷ ❙✳ P✐♥❝❤❡r❧❡ ✭✶✾✵✻✱ ✶✾✶✷✮❀ ❊✳ P✐❝❛r❞ ✭✶✾✷✽✮❀ ●✳ ❍❛r❞②✱
❏✳❊✳ ▲✐tt❧❡✇♦♦❞ ❛♥❞ ●✳ P♦❧②❛ ✭✶✾✸✹✮❀ ▼✳ ●❤❡r♠❛♥❡s❝✉ ✭✶✾✻✵✮❀ ❏✳❆❝✁③❡❧
✭✶✾✻✻✮❀ ❛♥❞ ▼✳ ❑✉❝③♠❛ ✭✶✾✻✽✮✳
●➛♥ ✤➙②✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ✤÷ñ❝ r➜t ♥❤✐➲✉ ♥❤➔ ❚♦→♥ ❤å❝ ♥ê✐ t✐➳♥❣
❝õ❛ t❤➳ ❣✐î✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✱ ✈➔ ❝â ♥❤ú♥❣ ✤â♥❣ ❣â♣ ❧î♥ ❧❛♦ ❝❤♦ ❝↔ t♦→♥ ❧þ
t❤✉②➳t ✈➔ t♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣✱ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥ ♥❤÷ q✉❛ ❝→❝ ❝✉è♥ s→❝❤ ❝õ❛ ❆✳◆✳
❙❛r❦♦✈s❦✐✐ ❛♥❞ ●✳P✳❘❡❧❥✉❝❤ ✭✶✾✼✹✮❀ ❏✳ ❆❝✁③❡❧ ❛♥❞ ❩✳ ❉❛✁r♦❝③② ✭✶✾✼✺✮❀ ❏✳
❉❤♦♠❜r❡s ✭✶✾✼✾✮✳✳✳✳
❈❤➼♥❤ sü ♣❤→t tr✐➸♥ ♠↕♥❤ ♠➩ ❝õ❛ ❧þ t❤✉②➳t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ♠➔
❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ♥â ✤➣ ✤÷ñ❝ ①❡♠ ①➨t ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝❤♦ ✤è✐ t÷ñ♥❣ ❤å❝ s✐♥❤
tr✉♥❣ ❤å❝ ♣❤ê t❤æ♥❣✳ ❚❤➸ ❤✐➺♥ q✉❛ ❝→❝ ❦ý t❤✐ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐ q✉è❝ ❣✐❛✱
❝→❝ ❜➔✐ t♦➔♥ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❧✉æ♥ t❤✉ ❤ót ❇❚❈ q✉❛♥ t➙♠ ✈➔ ❧ü❛
❝❤å♥✳
❱➻ ✈➟②✱ ✤➲ t➔✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥ t❤↕❝ s➽ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t♦→♥ sì ❝➜♣ s➩ t➟♣
tr✉♥❣ ✈➔♦ ❧î♣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❝ì ❜↔♥✱ ✤â ❧➔✿ ❱➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠
❈❛✉❝❤② ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣✳
▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷ñ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣✳



ữỡ Pữỡ tr
ữỡ tr ỵ ự ữỡ
tr ừ õ ừ ữỡ tr
ở t ữỡ tr t ữỡ
tr ụ ữỡ tr rt r
rở ừ ữỡ tr ữ r ởt số t

ử ữỡ tr ở t qt ởt số
t t ồ s ọ ữợ ữủ tr tứ t ừ t
t rs r r
ữỡ ởt số ự ử ừ ữỡ tr
ữỡ tr ự ử ừ ữỡ tr tr
t tờ ụ tứ ừ số tờ ừ n số tỹ t tờ
ữỡ ừ n số tỹ t tờ ụ tứ k ừ n số tỹ
t t tờ ụ tứ ừ số tr số ở
t số õ t rút r tứ n tỷ ỹ ữủ ừ ởt t ủ
tờ ừ ộ ỳ
t trữợ t tổ ỷ ớ ỡ s s tợ
r ỵ tớ ữợ
t t ú ù tr q tr ỹ t t
tổ ụ ỷ ớ ỡ t tợ tt t
ổ rữớ ồ ồ
ồ t ú ù tr sốt q tr
t õ ồ
ổ ữủ sỹ õ ỵ ừ t ổ

t



ồ


✹

❈❤÷ì♥❣ ✶

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠
❈❛✉❝❤②
❱✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ❤➔♠ ❝ë♥❣ t➼♥❤ ❝â tø t❤í✐ ❆✳▼✳ ▲❡❣❡♥❞r❡ ❧➔ ♥❣÷í✐
✤➛✉ t✐➯♥ ❝è ❣➢♥❣ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤②

f (x + y) = f (x) + f (y)
✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ R✳ ❱✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❤➺ t❤è♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤②
❝ë♥❣ t➼♥❤ ✤➣ ✤÷ñ❝ ❦❤ð✐ ①÷î♥❣ ❜ð✐ ❆✳▲✳ ❈❛✉❝❤② tr♦♥❣ ❝✉è♥ s→❝❤ ❝õ❛ æ♥❣
✧❈♦✉rs❞ ❞✬❆♥❛❧②s❡✧ ♥➠♠ ✶✽✷✶✳
▼ët ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜❛♦ ❣ç♠ ♠ët ❤➔♠ ❝❤÷❛ ❜✐➳t ✈➔ ♠ët ❤♦➦❝ ♥❤✐➲✉
✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ♥â ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥✳ ❱➼ ❞ö ♥❤÷

f (x) + mx = 5
✈➔

f (x) + f (x) + sin(x) = 0.
❈→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❣ç♠ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè ❝❤÷❛ ❜✐➳t ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥✳ ▼ët ✈➔✐ ✈➼ ❞ö ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥
x

f (x) = ex −

ex−t f (t) dt,
0

1

[1 − xcos(xt)]f (t)dt,

f (x) = sin(x) +

0


✺
✈➔

x

[tf 2 (t) − 1]dt.

f (x) =
0

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr♦♥❣ ✤â ❝→❝ ➞♥ ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ sè✳
❱➼ ❞ö ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❧➔

f (x + y) = f (x) + f (y),
f (x + y) = f (x)f (y),
f (xy) = f (x)f (y),
f (xy) = f (x) + f (y),
f (x + y) = f (x)g(y) + g(x)f (y),
f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y),
f (x + y) + f (x − y) = 2f (x) + 2f (y),
f (x + y) = f (x) + f (y) + f (x)f (y),
f (x + y) = g(xy) + h(x − y),
f (x) − f (y) = (x − y)h(x + y),
f (pr, qs) + f (ps, qr) = 2f (p, q) + 2f (r, s),
g(f (x)) = g(x) + β,
g(f (x)) = αg(x), α = 1
✈➔

f (t) = f (2t) + f (2t − 1).
P❤↕♠ ✈✐ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❜❛♦ ❣ç♠ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥✱
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥✳✳✳✳ ❈→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
❤➔♠ ❧➔ ♠ët ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❝õ❛ t♦→♥ ❤å❝ tr➯♥ ✷✵✵ ♥➠♠ t✉ê✐✳ ❍ì♥ ✺✵✵✵ ❜➔✐ ❜→♦
✤➣ ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣ ❜è tr♦♥❣ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ♥➔②✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ✤è✐ ✈î✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥ t❤↕❝
s➽ tæ✐ ❝❤➾ t➟♣ tr✉♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤② ✈➔ ♠ët sè
ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ♥â✳
◆➠♠ ✶✼✹✼ ✈➔ ✶✼✺✵✱ ❞✬❆❧❛♠❜❡rt ✤➣ ❝æ♥❣ ❜è ✸ ❜➔✐ ❜→♦ tr♦♥❣ ✤â ❜➔✐
t❤ù ♥❤➜t ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ✭①❡♠ ❆❝③➨❧ ✭✶✾✻✻✮✮✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠
✤÷ñ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜ð✐ ❞✬❆❧❛♠❜❡rt ✭✶✼✹✼✮✱ ❊✉❧❡r ✭✶✼✻✽✮✱ P♦✐ss♦♥ ✭✶✽✵✹✮✱
❈❛✉❝❤② ✭✶✽✷✶✮✱ ❉❛r❜♦✉① ✭✶✽✼✺✮ ✈➔ ♥❤✐➲✉ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ❦❤→❝✳ ❍✐❧❜❡rt



t tr sỹ ố t ợ ừ ổ ỵ
ữỡ ữỡ tr
tr õ tt ổ t t ớ t
ừ rt ự ữỡ tr t ợ
ữỡ tr ổ õ ởt t tt
ỹ ộ ỹ õ t tr ỵ ữỡ tr
ỵ tt q t t ồ ừ ữỡ tr
t tr õ ố t
ữỡ tr t tt số tọ
ữỡ tr t ữủ ởt số ợ
ởt t trữ r ữ t tử ỗ
ữủ ỡ

Pữỡ tr ởt

ữỡ tr ở t

P ợ t ữỡ tr ở t
ừ õ ữủ tr tứ t
f : R R tr õ R t số tỹ f số tọ
ữỡ tr
f (x + y) = f (x) + f (y)

ợ ồ x, y R Pữỡ tr ữủ t ữỡ tr
Pữỡ tr ữủ ự t
r ss ữ
ữớ t t r tr ợ tử Pữỡ tr
õ tr q trồ tr t ồ õ ữủ tợ tr
t ừ t ồ

số f : R R ữủ ồ ở t õ
tọ ữỡ tr

f (x + y) = f (x) + f (y)
ợ ồ x, y R.

số f : R R ữủ ồ t t

õ õ

f (x) = cx (x R),

tr õ ởt số tũ ỵ
ỗ t ừ t t f (x) = cx ởt ữớ ổ t
q ố õ õ ữủ ồ t t số t t tọ
ữỡ tr ọ ữủ ữ r õ
tọ ữỡ tr ổ
t r õ tử ừ ữỡ tr
t t t q ữủ ự


ỵ f : R R tử tọ ữỡ tr

ở t õ f t t f (x) = cx tr
õ c ởt số tũ ỵ

ự rữợ t t ố x rỗ t ừ
ữỡ tr t y t ữủ
1

f (x) =

f (x)dy
0
1

[f (x + y) f (y)]dy

=

0
1+x

1

f (u)du

=
x

f (y)dy, khi u = x + y.
0

số f tử s r

f (x) = f (1 + x) f (x).



ứ t ở t ừ f t õ

f (1 + x) = f (1) + f (x).



t õ f (x) = f (1) = c. r f (x) = cx + d t
s r d = 0
r ỵ t sỷ ử t tử ừ f t r
f t t ừ f t ở f ừ ữỡ tr

ở t t t õ ộ t ừ ữỡ
tr ở t ụ t t

ởt f : R R ữủ ồ t ữỡ

õ t tr ồ ỳ

tr ộ t ữỡ ừ ữỡ tr
ở t ụ t t ữ r ởt ự ữủ ữ
r r sỷ f ởt t ữỡ ừ
ữỡ tr ở t õ f (x + y) = f (x) + f (y) ú ợ
ồ x, y R ứ õ sỷ ử t t ữỡ ừ f t ữủ
y

f (x)dz

yf (x) =
0
y

[f (x + z) f (z)]dz

=

0
x+y

y

f (u)du

=

x
x+y

f (z)dz
0

f (u)du

=
0

y

x

f (u)du
0

f (u)du.
0

ừ tự tr t t t ờ trỏ ừ x y
tứ õ s r
yf (x) = xf (y)
ợ ồ x, y R õ ợ x = 0 t ữủ

f (x)

= c,
x
ợ c ởt t ý s r f (x) = cx ợ ồ x R \ {0}
x = 0 y = 0 t ữủ f (0) = 0 ữ f ởt
t t tr R
ũ ự ừ ỵ ồ ỗ
t t ữ õ ổ q õ
tự ớ t s tr ởt ự s ú t
ỡ ừ ữỡ tr ở t
t s


✾

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹ ▼ët ❤➔♠ sè f : R → R ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❤ú✉ t➾
❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

f (rx) = rf (x)

✭✶✳✹✮

✈î✐ ♠å✐ x ∈ R ✈➔ ♠å✐ sè ❤ú✉ t➾ r✳
✣à♥❤ ❧þ s❛✉ s➩ ❝❤♦ t❤➜② ♠å✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❈❛✉❝❤② ❝ë♥❣ t➼♥❤
❧➔ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❤ú✉ t➾✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷ ❈❤♦ ❤➔♠ sè f : R → R ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❈❛✉❝❤②
❝ë♥❣ t➼♥❤ t❤➻ f t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❤ú✉ t➾✳ ◆❣♦➔✐ r❛ f t✉②➳♥ t➼♥❤ tr➯♥ t➟♣ ❤ú✉ t➾
Q✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❤❛② x = 0, y = 0 ✈➔♦ ✭✶✳✶✮ t❛ t❤➜② f (0) = f (0) + f (0)

✈➔ t❛ ❝â

f (0) = 0.

✭✶✳✺✮

❚❤❛② y = −x tr♦♥❣ ✭✶✳✶✮ ✈➔ ❞ò♥❣ ✭✶✳✺✮✱ t❛ t❤➜② f ❧➔ ❤➔♠ ❧➫ tr➯♥ R ♥❣❤➽❛
❧➔
f (−x) = −f (x) ✈î✐ ♠å✐ x ∈ R✳
✭✶✳✻✮
◆❤÷ ✈➟② t❛ ✤➣ ❝❤➾ r❛ ✤÷ñ❝ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❈❛✉❝❤② ❝ë♥❣
t➼♥❤ ❜➡♥❣ ✵ t↕✐ ✤✐➸♠ ❣è❝ ✈➔ ❧➔ ❤➔♠ sè ❧➫✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦ t❛ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ ♥❣❤✐➺♠
❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❈❛✉❝❤② ❝ë♥❣ t➼♥❤ ❧➔ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❤ú✉ t➾✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ✈î✐
♠å✐ x ∈ R✱ t❛ ❝â

f (2x) = f (x + x) = f (x) + f (x) = 2f (x).
❚ø ✤â

f (3x) = f (2x + x) = f (2x) + f (x) = 2f (x) + f (x) = 3f (x).
❚ê♥❣ q✉→t ❤ì♥✱ t❛ ❝â

f (nx) = nf (x)

✭✶✳✼✮

✈î✐ ♠å✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ n✳ ◆➳✉ n ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ➙♠ ❦❤✐ ✤â −n ❧➔
sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ✈➔ tø ✭✶✳✼✮ ✈➔ ✭✶✳✻✮ t❛ ✤÷ñ❝

f (nx) = f (−(−n)x)
= −f (−nx) ✈➻ f ❧➔ ❤➔♠ sè ❧➫

= −(−n)f (x)
= nf (x).



õ t r r f (nx) = nf (x) ợ ồ số n ồ số
tỹ x R t t t r số ỳ t tũ ỵ t

k
r= ,
l
tr õ k số ổ l số ữỡ õ
kx = l(rx) ỷ ử t t t ừ f t ữủ

kf (x) = f (kx) = f (l(rx)) = lf (rx);


k
f (rx) = f (x) = rf (x).
l
õ f t t ỳ t t ợ x = 1 t tứ ữỡ tr
tr t c = f (1) t ữủ
f (r) = cr
ợ ồ số ỳ t r Q f t t tr t ỳ t t õ
ự
ớ t ữ r ự tự ừ ỵ

ự f tử ừ ữỡ tr

ở t ợ x R t ý tỗ t ởt {rn } số ỳ t ở tử

x f tọ ữỡ tr ở t ứ ỵ t
õ f t t tr t ỳ t

f (rn ) = crn ợ ồ n.
ớ ũ t tử ừ f t ữủ

f (x) = f ( lim rn )
n

= lim f (rn )
n

= lim crn
n

= cx.
õ ự

ỵ r sỷ f ởt ừ ữỡ

tr ở t f tử t ởt t R
t õ tử tr R




ự sỷ f tử t t x ởt t ý õ
t õ lim f (y) = f (t) t t s ự r f tử t x.
yt

t

lim f (y) = lim f (y x + x t + t)

yx

yx

= lim [f (y x + t) + f (x t)]
yx

= lim f (y x + t) + lim f (x t)
yx

yx

= f (t) + f (x t)
= f (t) + f (x) f (t)
= f (x).
õ ự ữủ f tử t x x tũ ỵ f tử
t ồ
ỵ s ữủ s r tứ ỵ ỵ

ỵ f ừ ữỡ tr ở t

f tử t ởt t f t t f (x) = cx
ợ ồ x R.

ỵ ởt ở t tỹ f ởt

ỡ t õ t t

ỵ f ởt ở t tỹ f tr ởt

[a, b] t õ t t tỗ t ởt số c s f (x) = cx
ợ ồ x R



Pữỡ tr ở t tr ổ ự

é t tr ởt số t q õ q
ở t ợ tr ự tr ổ ự ữủ tr tứ t

ởt t ý f : C C õ t t

f (z) = f1 (z) + if2 (z),
f1 : C R



f2 : C R ữủ

f1 (z) = Ref (z) f2 (z) = Imf (z).





f ở t t tứ t õ

f1 (z1 + z2 ) = Ref (z1 + z2 )
= Re[f (z1 ) + f (z2 )]
= Ref (z1 ) + Ref (z2 ) = f1 (z1 ) + f1 (z2 ),


f2 (z1 + z2 ) = Imf (z1 + z2 )
= Im[f (z1 ) + f (z2 )]
= Imf (z1 ) + Imf (z2 ) = f2 (z1 ) + f2 (z2 ).

ỵ f : C C ở t t tỗ t ở t
fkj : R R (k, j = 1, 2) s

f (z) = f11 (Rez) + f12 (Imz) + if21 (Rez) + if22 (Imz).
ỵ t t q tợ ừ ự tử ở t
tr t ự

ỵ f : C C ởt tử ở t t tỗ t
số ự c1 c2 s

f (z) = c1 z + c2 z



ợ z số ự ủ ừ z

ự f ở t t ỵ t õ
f (z) = f11 (Rez) + f12 (Imz) + if21 (Rez) + if22 (Imz),
ợ fkj : R R (k, j = 1, 2) số ở t tr tỹ
tr t số tỹ f tử fkj ụ tử

fkj (x) = ckj x,
ợ ckj (k, j = 1, 2) số tỹ õ t õ




f (z) =c11 Rez + c12 Imz + ic21 Rez + ic22 Imz
= (c11 + ic21 )Rez + (c12 + ic22 )Imz
= a Re z + b Im z a = c11 + ic21 , b = c12 + ic22
= a Re z i(bi)Imz
a + bi
a bi
a + bi
a bi
=
Rez +
Rez
iImz +
iImz
2
2
2
2
a bi
a bi
a + bi
a + bi
=
Rez +

iImz +
Rez
iImz
2
2
2
2
a bi
a + bi
=
(Rez + iImz) +
(Rez iImz)
2
2
a bi
a + bi
=
z+
z
2
2
= c1 z + c2 z
ợ c1 =

a + bi
a bi
c2 =
số ự
2
2

ó r r ổ ố ở t tr tỹ
tr t số tỹ tr ự ở t tử tr t
ự ổ t t s t õ t t

ởt số f : C C ữủ ồ t
f tr C

ỵ f : C C t ở t t tỗ t ởt

số ự c s

f (z) = cz;
f t t

ự f t f
f (z1 + z2 ) = f (z1 ) + f (z2 )



t z1 , t ữủ

f (z1 + z2 ) = f (z1 )
ợ ồ z1 z2 tr C t t ồ z1 = 0 z2 = z t ữủ

f (z) = f (0) = c.
ứ õ t t r f (z) = cz + b. r õ b ởt số ự
tự ừ f (z) t ữủ b = 0

ú ỵ t ỵ ổ ú ự tr t

ự ụ t r õ ởt tỹ ỗ ừ t
ự t ởt tỹ ỗ ởt
t ở t t tr C
r ố rs s ự t
ữỡ tr

f (x + y) = f (x)f (y)



f (xy) = f (x) + f (y)



f (xy) = f (x)f (y)




ữỡ tr ở t

f (x + y) = f (x) + f (y)



ợ ồ x, y R r t t t ữỡ tr

tr tờ qt ừ ữỡ tr ữủ
t ở t ố ũ sỷ ử tờ qt t
t ữủ tử ừ ộ ữỡ tr tr



Pữỡ tr ụ

r ử t s t ữỡ tr ữỡ
tr ữủ ồ ữỡ tr ụ s
tờ qt ừ số ụ ổ sỷ
q ữ t tử t t tr
f

ỵ số f : R R tọ f (x + y) = f (x)f (y),
ợ ồ x, y t tờ qt ừ ữủ

f (x) = eA(x) f (x) = 0 x R
ợ A : R R ở t






ự t f (x) = 0 ợ ồ x R ừ

t f (x) ổ ỗ t 0 s ự r f (x) =
0 x R sỷ ữủ tỗ t số y0 s f (y0 ) = 0 ứ
t õ

f (y) = f ((y y0 ) + y0 )
= f (y y0 )f (y0 ) = 0
ợ ồ y R t ợ tt f (x) ổ ỗ
t 0 õ f (x) = 0 x R
t
x = = y tr t t
2

f (t) = f

t
2

2

ợ ồ t R f (x) > 0 ợ ồ x R ỡ số e ừ
t ữủ

ln f (x + y) = ln f (x) + ln f (y).
t A : R R ợ A(x) = ln f (x) t ữủ

A(x + y) = A(x) + A(y).



f (x) = eA(x) ợ A ở t
õ q s t q ừ ỵ tr

q số f : R R tọ f (x + y) = f (x)f (y), ợ

ồ x, y t tờ qt tử ừ ữủ

f (x) = ecx f (x) = 0 x R,



ợ c ởt số tũ ỵ
ởt số ữỡ sỷ õ ữỡ tr

f (x + y + nxy) = f (x)f (y)



1
1
y > õ n 0 ữỡ tr
n
n
tr ữỡ tr ụ Pữỡ tr ữủ
ự

tọ ợ số tỹ x >


✶✻

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✶ ▼å✐ ♥❣❤✐➺♠ f ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ f (x + y + nxy) =
f (x)f (y), ✈î✐ ♠å✐ x, y > −

1

❝â ❞↕♥❣
n

f (x) = 0 ❤♦➦❝ f (x) = eA(ln(1+nx)) ,

✭✶✳✷✵✮

✈î✐ A : R → R ❧➔ ❤➔♠ ❝ë♥❣ t➼♥❤✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ❝â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ✭✶✳✶✾✮ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐
(1 + nx)(1 + ny) − 1
n

f

= f (x)f (y).

✭✶✳✷✶✮

✣➦t 1 + nx = eu ✈➔ 1 + ny = ev ✳ ❙✉② r❛ u = ln(1 + nx) ✈➔ v = ln(1 + ny)✳
❱✐➳t ❧↕✐ ✭✶✳✷✶✮ t❛ ✤÷ñ❝

eu+v − 1
n

f

=f

✈î✐ ♠å✐ u, v ∈ R ✤➦t

φ(u) = f

eu − 1
f
n

ev − 1
n

ev − 1
n

✭✶✳✷✷✮

✭✶✳✷✸✮

tr♦♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✷✷✮ t❛ ❝â

φ(u + v) = φ(u)φ(v)

✭✶✳✷✹✮

✈î✐ ♠å✐ ✉✱✈ ∈ R✳ ❱➻ ✈➟② t❤❡♦ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✵ t❛ ❝â

φ(x) = eA(x) ❤♦➦❝ φ(x) = 0 ∀x ∈ R,

✭✶✳✷✺✮

✈î✐ A : R → R ❧➔ ❤➔♠ ❝ë♥❣ t➼♥❤✳ ❉♦ ✤â tø ✭✶✳✷✸✮ ✈➔ ✭✶✳✷✺✮ ❝❤ó♥❣ t❛ t❤✉

✤÷ñ❝

f (x) = 0 ❤♦➦❝ f (x) = eA(ln(1+nx))
✈î✐ A : R → R ❧➔ ❤➔♠ ❝ë♥❣ t➼♥❤✳
❚ø ✤â t❛ ❝â ❤➺ q✉↔ s❛✉✳

❍➺ q✉↔ ✶✳✷ ▼å✐ ♥❣❤✐➺♠ ❧✐➯♥ tö❝ f ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ✭✶✳✶✾✮ ✈î✐
♠å✐ sè t❤ü❝ x > −

1
1
✈➔ ♠å✐ y > − ❝â ❞↕♥❣ ❧➔
n
n

f (x) = 0 ❤♦➦❝ f (x) = (1 + nx)k ,
tr♦♥❣ ✤â k ❧➔ ♠ët ❤➡♥❣ sè tò② þ✳

✭✶✳✷✻✮


✶✼

✶✳✶✳✹✳

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤② ▲♦❣❛r✐t

❇➙② ❣✐í t❛ ①❡♠ ①➨t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤② t❤ù ❤❛✐ ✭✶✳✶✸✮✳ ✣➙②
❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ✤÷ñ❝ ❜✐➳t ✤➳♥ ♥❤÷ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❈❛✉❝❤② ❧♦❣❛r✐t✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✷ ◆➳✉ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ✭✶✳✶✸✮✱ tø ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❧➔
f (xy) = f (x) + f (y)
✤ó♥❣ ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ R \ {0} t❤➻ ♥❣❤✐➺♠ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ✭✶✳✶✸✮ ❧➔

f (x) = A(ln|x|) ∀x ∈ R \ {0}

✭✶✳✷✼✮

✈î✐ A ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❝ë♥❣ t➼♥❤✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣➛✉ t✐➯♥ t❛ t❤❛② x = t ✈➔ y = t ✈➔♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✸✮
t❛ ✤÷ñ❝

f (t2 ) = 2f (t).
❚÷ì♥❣ tü t❤❛② x = −t ✈➔ y = −t ✈➔♦ ✭✶✳✶✸✮ t❛ ❝â

f (t2 ) = 2f (−t).
❉♦ ✤â t❛ ✤÷ñ❝

f (t) = f (−t) ∀t ∈ R \ {0}.

✭✶✳✷✽✮

❚✐➳♣ t❤❡♦ ❣✐↔ sû ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ✭✶✳✶✸✮ ✤ó♥❣ ✈î✐ ♠å✐ x > 0 ✈➔ y > 0✳
❳➨t
x = es ✈➔ y = et
✭✶✳✷✾✮
s✉② r❛

s = ln x ✈➔ t = ln y.

✭✶✳✸✵✮

❈❤ó þ s, t ∈ R ❞♦ x, y ∈ R+ tr♦♥❣ ✤â R+ = {x ∈ R|x > 0}✳ ❚ø ✭✶✳✷✾✮
✈➔ ✭✶✳✶✸✮ t❛ ❝â
f (es+t ) = f (es ) + f (et ).
✣➦t

A(s) = f (es ).
❙û ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝✉è✐ ❝ò♥❣ t❛ ❝â

A(s + t) = A(s) + A(t)

✭✶✳✸✶✮


✶✽
✈î✐ ♠å✐ s, t ∈ R✳ ❚ø ✭✶✳✸✶✮ t❛ ❝â

f (x) = A(ln x) ∀x ∈ R+ .

✭✶✳✸✷✮

❉♦ f (t) = f (−t) ♥➯♥ ♥❣❤✐➺♠ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ✭✶✳✶✸✮ ❧➔

f (x) = A(ln |x|) ∀x ∈ R \ {0}.
❚❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ tr➯♥ t❛ ❝â ❝→❝ ❤➺ q✉↔ s❛✉✳

❍➺ q✉↔ ✶✳✸ ◆❣❤✐➺♠ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ f (xy) = f (x) +

f (y) ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ R+ ❧➔

f (x) = A(ln x),

✭✶✳✸✸✮

✈î✐ A : R → R ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❝ë♥❣ t➼♥❤✳

❍➺ q✉↔ ✶✳✹ ◆❣❤✐➺♠ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ f (xy) = f (x) +
f (y) ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ R ❧➔

f (x) = 0 ∀x ∈ R.

✭✶✳✸✹✮

❍➺ q✉↔ ✶✳✺ ◆❣❤✐➺♠ ❧✐➯♥ tö❝ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ f (xy) =
f (x) + f (y) ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ R \ {0} ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐

f (x) = c ln |x| ∀x ∈ R \ {0},

✭✶✳✸✺✮

✈î✐ c ❧➔ ♠ët ❤➡♥❣ sè t❤ü❝ tò② þ✳

✶✳✶✳✺✳

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤② ♥❤➙♥ t➼♥❤

❳➨t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❈❛✉❝❤② ❝✉è✐ ❝ò♥❣ ✭✶✳✶✹✮✳ ✣➙② ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♣❤ù❝
t↕♣ ♥❤➜t tr♦♥❣ ❜❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤÷ñ❝ ①➨t tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✳ ❚r÷î❝ t✐➯♥

t❛ ❝➛♥ sû ❞ö♥❣ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❤➔♠ ❞➜✉✳ ❍➔♠ ❞➜✉ ✤÷ñ❝ ❦þ ❤✐➺✉ ❜ð✐ s❣♥✭①✮✱
✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷ s❛✉

 1 ♥➳✉ x > 0
sgn(x) =
✭✶✳✸✻✮
0 ♥➳✉ x = 0

−1 ♥➳✉ x < 0
P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❝â ❞↕♥❣ ✭✶✳✶✹✮ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤②
♥❤➙♥ t➼♥❤✳ ▼ët ❤➔♠ sè f ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❤➙♥ t➼♥❤ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ f (xy) =
f (x)f (y) ✈î✐ ♠å✐ x ✈➔ y ✳




ỵ ởt ở t f t t f t t
ỵ tờ qt ừ ữỡ tr t f (xy) =
f (x)f (y), ợ ồ x, y R

f (x) = 0,



f (x) = 1,



f (x) = eA(ln|x|) |sgn( x)|,

f (x) = eA(ln|x|) sgn(x),




ợ A : R R ở t

ự x = 0 = y ữỡ tr t t ữủ

f (0)[1 f (0)] = 0 õ õ r
f (0) = 0 f (0) = 1.



ữỡ tỹ t x = 1 = y tr ữỡ tr t õ f (1)[1f (1)] =
0 õ õ r

f (1) = 0 f (1) = 1.



t x > 0 õ tứ ữỡ tr t õ


f (x) = f ( x)2 0.

sỷ tỗ t ởt x0 R, x0 = 0 s f (x0 ) = 0 x R ởt
số tỹ tũ ỵ õ tứ t õ

f (x) = f

x0

x
x0

= f (x0 )f

x
x0

=0

ợ ồ x R t t ữủ
ứ t sỷ r f (x) = 0 ợ ồ x R \ {0}
ứ t õ f (0) = 0 f (0) = 1 f (0) = 1 t
y = 0 tr ữỡ tr t t ữủ

f (0) = f (x)f (0)



õ

f (x) = 1 ợ ồ x R.
t õ

t t t trữớ ủ f (0) = 0 r trữớ ủ t s
r f (x) = 0 ợ ồ x R \ {0} sỷ ữủ tự tỗ t
y0 R \ {0} f (y0 ) = 0 y = y0 t õ

f (xy0 ) = f (x)f (y0 ) = 0
õ

f (x) = 0 x R \ {0}.
t ợ tt f ổ ỗ t 0
f (x) = 0 ợ ồ x R \ {0} ứ t õ

f (x) > 0 ợ x > 0.



x = es y = et



s = ln x t = ln y.



t

ú ỵ r s, t R õ x, y R+ t t ữủ

f (e(s+t) = f (es )f (et ).
õ f (t) > 0 ợ ồ t > 0 ỡ số e ừ ữỡ tr
t ữủ

A(s + t) = A(s) + A(t),
ợ

A(s) = ln f (es ) s R.



A ởt ở t ứ t õ

f (x) = eA(ln|x|) x R+ .



ứ t t r f (1) = 0 f (1) = 1 f (1) = 0 t
y = 1 t ữủ

f (x) = 0 x R \ {0}.


✷✶
❚r→✐ ❧↕✐ ❣✐↔ t❤✐➳t f ❧➔ ❤➔♠ ✤ç♥❣ ♥❤➜t ❦❤æ♥❣ tr➯♥ R \ {0} ❞♦ ✤â f (1) = 1✳
❈❤♦ x = −1 = y tr♦♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✹✮ t❛ ✤÷ñ❝ f (1) = f (−1)2 s✉②
r❛
f (−1) = 1 ❤♦➦❝ f (−1) = −1.
✭✶✳✹✾✮
◆➳✉ f (−1) = 1 t❛ t❤❛② y = −1 ✈➔♦ ✭✶✳✶✹✮ ✤÷ñ❝

f (−x) = f (x)f (−1) = f (x) ✈î✐ ♠å✐ x ∈ R \ {0}.
❱➟② ✭✶✳✹✽✮ t❤✉ ✤÷ñ❝

f (x) = eA(ln|x|) ✈î✐ ♠å✐ x ∈ R \ {0}.
❱➻ f (0) = 0 ♥➯♥ t❛ ❝â

f (x) =

eA(ln|x|) ♥➳✉ x ∈ R \ {0};
0
♥➳✉ x = 0.

❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✭✶✳✹✾✮✳ ◆➳✉ f (−1) = −1 ❦❤✐ ✤â t❤❛②
y = −1 ✈➔♦ ✭✶✳✶✹✮ t❛ ❝â

f (−x) = f (x)f (−1) = −f (x)
✈î✐ ♠å✐ x ∈ R \ {0}✳ ❉♦ ✤â tø ✭✶✳✹✽✮ t❛ ✤÷ñ❝

f (x) =

eA(ln|x|) ♥➳✉ x > 0
−eA(ln|x|) ♥➳✉ x < 0

✈î✐ ♠å✐ x ∈ R \ {0} ❝ò♥❣ ✈î✐ f (0) = 0 t❛ ❝â
 A(ln|x|)
♥➳✉ x > 0
 e
f (x) =
0
♥➳✉ x = 0

−eA(ln|x|) ♥➳✉ x < 0.
❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✭✶✳✹✵✮✳

❚ø ✤à♥❤ ❧þ tr➯♥ t❛ ❝â ❤➺ q✉↔ s❛✉✳

❍➺ q✉↔ ✶✳✻ ◆❣❤✐➺♠ tê♥❣ q✉→t ❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ f (xy) =

f (x)f (y)✱ ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ R ❝❤♦ ❜ð✐

f (x) = 0,

✭✶✳✺✵✮


✷✷

f (x) = 1,

✭✶✳✺✶✮

f (x) = |x|α ,

✭✶✳✺✷✮

f (x) = |x|α sgn(x),

✭✶✳✺✸✮

✈➔
tr♦♥❣ ✤â a ❧➔ ♠ët ❤➡♥❣ sè ❞÷ì♥❣ tò② þ✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚ø ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✹ t❛ ❝â ❤♦➦❝ f = 0✱ ❤♦➦❝ f = 1✱ ❤♦➦❝ f

❝â ❞↕♥❣ ✭✶✳✸✾✮ ❤♦➦❝ ✭✶✳✹✵✮ ✈î✐ A : R → R ❧➔ ❤➔♠ ❝ë♥❣ t➼♥❤✳ ❱➻ f ❧✐➯♥
tö❝
A(t) = lnf (et ),

A ❝ô♥❣ ❧➔ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ R ❞♦ ✤â
A(t) = αt,
tr♦♥❣ ✤â α ∈ R ❧➔ ♠ët ❤➡♥❣ sè tò② þ✳ ❱➻ ✈➟② tø ✭✶✳✸✾✮ ✈➔ ✭✶✳✹✵✮ t❛ ❝â

f (x) = |x|α
✈➔

f (x) = |x|α sgn(x).
❚✐➳♣ t❤❡♦ t❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ α > 0✳
❚❤➟t ✈➟② ♥➳✉ t❛ ❝â α = 0 ❦❤✐ ✤â ✭✶✳✺✷✮ s➩ t❤✉ ✤÷ñ❝ f (x) = 1 ✈î✐ x = 0✱
tø t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ f t❛ ❝â f (0) = 1✳ ❉♦ ✤â t❛ ❝â f = 1✱ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♥➔②
❝❤➼♥❤ ❧➔ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✭✶✳✺✶✮✳ ❚r♦♥❣ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✭✶✳✺✸✮ ✈î✐ α = 0 t❛ ✤÷ñ❝

f (x) = 1 ❜ð✐ x > 0
✈➔

f (x) = −1 ❜ð✐ x < 0
f ❦❤æ♥❣ ❧✐➯♥ tö❝✳ ❚÷ì♥❣ tü ♥➳✉ α < 0 ❦❤✐ ✤â f ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ ❝→❝ ❝æ♥❣
t❤ù❝ ✭✶✳✺✷✮ ✈➔ ✭✶✳✺✸✮ t❤ä❛ ♠➣♥
lim f (x) = ∞

x→0+

♥❣❤➽❛ ❧➔ f ❦❤æ♥❣ ❧✐➯♥ tö❝ t↕✐ 0✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✻ ⑩♥❤ ①↕ f : R → R ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ♥❤➙♥ t➼♥❤ ♥➳✉ ♥â

t❤ä❛ ♠➣♥ f (xy) = f (x)f (y) ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ R✳


✷✸

✶✳✷✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❈❛✉❝❤② ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥
❚r♦♥❣ ♠ö❝ ♥➔② t❛ s➩ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ ♠ët ❤➔♠ ❝ë♥❣ t➼♥❤ ❣✐→ trà t❤ü❝ tr➯♥
R ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ♥❤÷ ❧➔ tê♥❣ ❝õ❛ n ❤➔♠ ❝ë♥❣ t➼♥❤ ♠ët ❜✐➳♥✳
▼ët ❦➳t q✉↔ t÷ì♥❣ tü ✤ó♥❣ ❝❤♦ ❤➔♠ ❧♦❣❛r✐t ❣✐→ trà t❤ü❝ tr➯♥ Rn ✈î✐ ♠ët
sè ❤↕♥ ❝❤➳ tr➯♥ ♠✐➲♥ ①→❝ ✤à♥❤✳ ❍ì♥ ♥ú❛ ♥â s➩ ✤÷ñ❝ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ ♠ët ❤➔♠
sè ♥❤➙♥ t➼♥❤ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà t❤ü❝ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ Rn ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥
♥❤÷ ❧➔ t➼❝❤ ❝õ❛ n ❤➔♠ ♥❤➙♥ t➼♥❤ ♠ët ❜✐➳♥✳ ❚÷ì♥❣ tü ❦➳t q✉↔ ♥➔② ❝ô♥❣
✤ó♥❣ ❝❤♦ ❤➔♠ ♠ô tr➯♥ ①→❝ ✤à♥❤ Rn ✳
n

✶✳✷✳✶✳

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❈❛✉❝❤② ❝ë♥❣ t➼♥❤ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤②

f (x + y) = f (x) + f (y) ✈î✐ x, y ∈ R.

✭❈❊✮

❈â t❤➸ ✤÷ñ❝ tê♥❣ q✉→t t❤➔♥❤

f (x1 + y1 , x2 + y2 , ..., xn + yn ) = f (x1 , x2 , ..., xn ) + f (y1 , y2 , ..., yn )
✈î✐ (x1 , x2 ...xn ) ∈ Rn ✈➔ (y1 , y2 ...yn ) ∈ Rn ✳ Ð ✤➙② f : Rn → R✳ ❚❛ ❝➛♥
t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ♥➔②✳ ❱î✐ ♣❤↕♠ ✈✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥

tæ✐ ❝❤➾ ①➨t tr÷í♥❣ ❤ñ♣ n = 2✳ ❚ù❝ ❧➔ ①➨t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

f (x1 + y1 , x2 + y2 ) = f (x1 , x2 ) + f (y1 , y2 )

✭❋❊✮

✈î✐ ♠å✐ x1 , x2 , y1 , y2 ∈ R✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✺ ◆❣❤✐➺♠ tê♥❣ q✉→t f : R2 → R ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠
✭❋❊✮ ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐

f (x1 , x2 ) = A1 (x1 ) + A2 (x2 ),

✭✶✳✺✹✮

✈î✐ A1 , A2 : R → R ❧➔ ❝ë♥❣ t➼♥❤✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤♦ x2 = y2 = 0 t❤❛② ✈➔♦ ✭❋❊✮ t❛ ❝â
f (x1 + y1 , 0) = f (x1 , 0) + f (y1 , 0).

✭✶✳✺✺✮

❳➨t ❤➔♠ sè A1 : R → R ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

A1 (x) = f (x, 0).

✭✶✳✺✻✮