Phân dạng và các phương pháp giải bài toán về diện tích hình phẳng

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Nguyễn Thị Thu Hà
MỤC LỤC
Trang

I. MỞ ĐẦU

2

1.1. Lý do chọn đề tài

2

1.2. Mục đích nghiên cứu

2

1.3. Đối tượng nghiên cứu

3

1.4. Phương pháp nghiên cứu

3

II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

3

2.1. Cơ sở lí luận

3

2.2 .Thực trạng của đề tài

3 → 17

2.3. Hiệu quả của đề tài

18

III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

18

3.1 .Kết luận

18

3.2. Kiến nghị

18

TÀI LIỆU THAM KHẢO

19

I. MỞ ĐẦU

1

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Nguyễn Thị Thu Hà

1.1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong Chương trình giáo dục THPT hiện nay, tích phân cùng với các khái niệm
khác góp phần quan trọng trong mơn Giải tích tốn học, là một trong những cơ
sở để nghiên cứu Giải tích hiện đại. Muốn học sinh học tốt được tích phân thì
mỗi người Giáo viên không phải chỉ truyền đạt, giảng giải theo các tài liệu đã có
sẵn trong Sách giáo khoa, trong các sách hướng dẫn và thiết kế bài giảng một
cách gập khuôn, máy móc, làm cho học sinh học tập một cách thụ động. Nếu chỉ
dạy học như vậy thì việc học tập của học sinh sẽ diễn ra thật đơn điệu, tẻ nhạt và
kết quả học tập sẽ khơng cao. Nó là một trong những nguyên nhân gây ra cản trở
việc đào tạo các em thành những con người năng động, tự tin, sáng tạo sẵn sàng
thích ứng với những đổi mới diễn ra hàng ngày.
Do đó khi học về vấn đề mới : vấn đề diện tích của các hình phẳng , vấn
đề thể tích của các vật thể trịn xoay ở chương trình giải tích 12 học sinh gặp rất
nhiều khó khăn .Hầu hết các em học sinh thường có cảm giác “sợ” bài tốn tính
diện tích hình phẳng cũng như bài tốn tính thể tích của vật thể trịn xoay . Khi
học vấn đề này nhìn chung các em thường vận dụng cơng thức một cách máy
móc chưa có sự phân tích , thiếu tư duy thực tế và trực quan nên các em hay bị
nhầm lẫn , học không giải được , đặc biệt là những bài tốn cần phải có hình vẽ
để “chia nhỏ” diện tích mới tính được. Thêm vào đó trong sách giáo khoa cũng
như các sách tham khảo có rất ít ví dụ minh hoạ một cách chi tiết để giúp học
sinh học tập và khắc phục “những sai lầm đó”.Càng khó khăn hơn cho những
học sinh có kỹ năng tính tích phân còn yếu và kỹ năng “đọc đồ thị” còn hạn chế.
Tài liệu “ PHÂN DẠNG VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN VỀ

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG” sẽ giúp các em giải quyết được phần nào các vấn
đề trên.
1.2, MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Góp phần đổi mới phương pháp dạy học mơn tốn nói chung và mơn Giải
tích 12 nói riêng theo phương hướng tinh giản kiến thức, phát huy tính tích cực,
chủ động và sáng tạo của học sinh, tăng cường ứng dụng thực tế, giúp học sinh
có phương pháp học tốt thích ứng với xu hướng hiện nay.
- Nhằm giúp cho học sinh 12 rèn kỹ năng tính tích phân , đặc biệt là tích phân
có chứa dấu giá trị tuyệt đối , rèn kỹ năng đọc đồ thị của hàm số , từ đó khắc
phục những khó khăn , sai lầm khi gặp bài tốn tính diện tích hình phẳng cũng
như tính thể tích của vật thể trịn xoay. Từ đó giúp học sinh phát huy tốt kiến
thức về diện tích và thể tích mà học sinh đã học ở lớp dưới , thấy được tính thực
tế và sự liên hệ nội tại của vấn đề này trong chương các lớp học , học sinh sẽ
cảm thấy hứng thú , thiết thực và học tốt vấn đề ứng dụng của tích phân. Đây
làm một tài liệu tham khảo rất tốt cho học sinh cũng như giáo viên để ôn tập và
luyện thi THPT quốc gia hàng năm.
1.3, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
2


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Nguyễn Thị Thu Hà

Chương : Nguyên hàm,Tích phân và chủ yếu là một số dạng toán liên quan
đến diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số.
1.4, PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau :
a. Nghiên cứu tài liệu :
- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục .... có liên quan đến nội dung đề tài.

- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo.
- Nghiên cứu đề thi thử THPT quốc gia của bộ giáo dục và các trường phổ
thông,trường đại học trong cả nước.
b. Nghiên cứu thực tế :
- Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp về nội dung ứng dụng của tích phân
- Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học.
- Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thơng qua
các tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi của đề tài.
II. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận
Phần các bài tốn tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số là
một trong những phần quan trọng trong chương trình THPT; là một phần khơng
thể thiếu trong các kỳ thi vào đại học, cao đẳng trong những năm gần đây.
Để tính diện tích hình phẳng giới hạn các em thường dùng hai phương pháp
chính là: Dùng cơng thức và vẽ đồ thị sau đó dựa vào đồ thị để tính .Trong đó
có những dạng tốn mà việc dùng cơng thức để tính là rất khó khăn và dễ bị sai ,
khi đó nhất thiết ta phải vẽ đồ thị để tính .
Việc vẽ đồ thị và chia diện tích thành các phần sẽ làm cho bài tốn trở nên
đơn giản làm cho việc tính diện tích trở nên nhanh gọn và chính xác hơn.
Mặt khác từ chuyên đề nhỏ này cùng với một số kinh nghiệm mà tơi tích lũy
được các em có thể mở rộng tư duy tiếp cận một số toán khác. Đặc biệt là giúp
các em có thể giải được một số bài tập liên quan đến phần này và các dạng toán
thi THPT Quốc gia .
2.2 .Thực trạng của đề tài
Qua một thời gian giảng dạy tại trường THPT Tĩnh gia 2 tiếp cận với học sinh,
nắm được khả năng của học sinh qua việc đọc các tài liệu, sách báo, tìm hiểu đề
trong các kì thi và kinh nghiệm của bản thân. Tôi đã nghiên cứu sâu vào vấn đề
này để biên soạn và hệ thống là khối 12 . Nhằm mục đích tạo điều kiện phù hợp
với từng học sinh từ yếu đến trung bình, khá và giỏi.
A.Đặt vấn đề

Bài tốn tính diện tích hình phẳng giới hạn nhìn chung khi học vấn đề này , đại
đa số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi ) thường gặp những khó khăn , sai lầm
sau :

3


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Nguyễn Thị Thu Hà

- Nếu khơng có hình vẽ thi học sinh thường khơng hình dung được hình phẳng
Do dó học sinh có cảm giác “xa lạ” hơn so với khi học về diện tích của hình
phẳng đã học trước đây ( diện tích đa giác , thể tích các khối đa diện …).Học
sinh khơng tận dụng được kiểu “tư duy liên hệ cũ với mới” vốn có của mình khi
nghiên cứu vấn đề này .
-Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập cịn ít “ chưa đủ”
để giúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng . Từ đó học sinh
chưa thấy sự gần gũi và thấy tính thực tế của các hình phẳng , vật tròn xoay
đang học .
-Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác nhẹ nhàng khi học vấn đề này ,
trái lại học sinh có cảm giác nặng nề ,khó hiểu .
- Học sinh thường chỉ nhớ cơng thức tính diện tích hình phẳng một cách máy
móc , khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo ,đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị để xét
dấu các biểu thức , kỹ năng “ chia nhỏ” hình phẳng để tính ; kỹ năng cộng , trừ
diện tích. Đây là một khó khăn rất lớn mà học sinh thường gặp phải .
-Học sinh thường bị sai lầm trong việc tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt
đối .
b

Chẳng hạn , thường áp dụng sai công thức : I =

∫

b

f ( x) dx =

a

∫ f ( x)dx
a

Học sinh không biết rằng : công thức trên chỉ đúng trong trường hợp biểu thức
f(x) khơng đổi dấu trong khoảng (a ; b).
3

Ví dụ :

S = ∫ x 2 − 3x + 2 dx
0

3

Học sinh viết sai là :

S = ∫ ( x 2 − 3 x + 2)dx
0

2/ Hướng khắc phục .

- Giúp học thành thạo kỹ năng phá dấu giá trị tuyệt đối một cách linh hoạt tùy
thuộc vào từng tình huống cụ thể bằng một trong các cách sau :
+ Hoặc bằng cách xét của biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối .
+ Hoặc dựa vào hình vẽ (đồ thị ) để xét dấu của biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt
đối .
+ Hoặc dùng công thức sau :
b

I = ∫ f ( x) dx =
a

b

∫ f ( x)dx
a

Với điều kiện f(x) không đổi dấu trên khoảng (a ;b) .
- Đưa ra nhiều bài tập minh họa có lời giải chi tiết để giảng dạy trong các giờ
dạy phụ đạo và để học sinh tham khảo . Qua đây rèn luyện cho học sinh kỹ năng
đọc đồ thị và vận dụng vào giải tốn . Giúp học có hình ảnh trực quan về các

4


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Nguyễn Thị Thu Hà

hình phẳng .Từ đó học sinh có cảm giác nhẹ nhàng , gần gũi thực tế hơn , hứng
thú hơn .

- Đưa ra hệ thống bài tập tương tự có hình vẽ kèm theo hoặc khơng có hình vẽ
để học sinh luyện tập từ dễ tới khó . Giáo viên chọn bài tập tiêu biểu để giảng
giải , số còn lại để học sinh tự thảo luận làm nhóm ở nhà và nộp bài làm cho
giáo viên.
B. Cách giải quyết vấn đề và một số bài tốn vận dụng :
I/ HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC
HỒNH
1/ Cơng thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b
Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [ a ; b] .
Khi đó hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) ,trục hoành và
hai đường thẳng x = a , x = b có diện tích là S được tính theo cơng thức :
b

S = ∫ f ( x) dx

(1)

a

( Sách giáo khoa giải tích 12CB)
 Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1) , muốn vậy ta phải khử dấu
giá trị tuyệt đối của biểu thức f (x) .
b

b

• Nếu f ( x) ≥ 0 , ∀x ∈ [ a ; b] thì S = ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x)dx
a

a

b

b

a

a

• Nếu f ( x) ≤ 0 , ∀x ∈ [ a ; b] thì S = ∫ f ( x) dx = ∫ ( − f ( x) ) dx
 Muốn khử dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức f (x) ta phải xét dấu của biểu
thức f(x) . Thường có hai cách làm như sau :
-Cách 1: Dựa vào các định lí về dấu của biểu thức để xét dấu của biểu thức
f(x)
-Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn [ a ; b] để suy ra dấu
của f(x) trên đoạn đó .
• Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” trục hồnh thì
f ( x) ≥ 0 , ∀x ∈ [ a ; b]

• Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” trục hồnh
thì f ( x) ≤ 0 , ∀x ∈ [ a ; b]
b

Chú ý :1.Nếu f(x) không đổi dấu trên [a ; b] thì ta có: S = ∫ f ( x) dx =
a

b

∫ f ( x)dx

a

2. Nếu phương trình f ( x) = 0 có nghiệm c ∈ (a; b) thì
b

∫
a

c

b

f ( x ) d x = ∫ f ( x) d x + ∫ f ( x) d x =
a

c

c

∫
a

b

f ( x)d x +

∫ f ( x)d

x

c

5


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Nguyễn Thị Thu Hà

2. Một số bài tập vận dụng
Bài 1.
Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng y = -x – 2 , trục
hoành , hai đường thẳng x = 0 và x = 3.
Giải.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = -x – 2 , trục hoành ,
3

hai đường thẳng x = 0 và x = 3 được tính bởi cơng thức S = ∫ − x − 2 dx .
0

Cách 1: Dựa vào định lí về dấu của nhị thức bậc nhất ta có bảng xét dấu của
f ( x) = − x − 2 như sau :
−∞
+∞
x
-2
f ( x) = − x − 2
+
0
Dựa vào bảng xét dấu trên ta thấy với x ∈ [ 0;3] thì − x − 2 < 0

⇒ − x − 2 = x + 2 ∀x ∈ [ 0;3]

Diện tích S của hình phẳng trên là :
3

3

0

0

S = ∫ − x − 2 dx = ∫ ( x + 2)dx = (

3 32
 02
 9
x2
21
+ 2 x) =
+ 2.3 −  + 2.0 = + 6 =
0 2
2
2
2
 2

Cách 2: Dựa vào đồ thị như sau:
y

-2 -1

A
O

1

2

3
B

x

f( x ) = -x-2

-4

Từ đồ thị trên ta thấy − x − 2 ≤ 0 , ∀x ∈ [ 0;3]
3

3

0

0

S = ∫ − x − 2 dx = ∫ ( x + 2)dx = (

3 32

 02
 9
x2
21
+ 2 x) =
+ 2.3 −  + 2.0 = + 6 =
0 2
2
2
2
 2

(đvdt)

Cách 3: Dựa vào chú ý
Ta có − x − 2 = 0 ⇔ x = −2 ∉ [ 0;3]
3

3

3

x2
21
S = ∫ − x − 2 dx = ∫ (− x − 2)d x = (−
− 2 x) =
2
2
0
0

0

Bài 2
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) y = x3 - 3x2 + 2 , trục
hoành , trục tung và đường thẳng x = 2 .
6


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Nguyễn Thị Thu Hà

Giải
Trục tung có phương trình x = 0
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , trục hoành và hai đường
thẳng x = 0 , x = 2 được tính bởi cơng thức :
2

S = ∫ x 3 − 3 x 2 + 2 dx
0

Cách 1:Ta có bảng xét dấu của biểu thức f ( x) = x 3 − 3x 2 + 2 như sau :
−∞
+∞
x
1− 3
1+ 3
1
3
2

f ( x) = x − 3 x + 2
- 0
+
0
0 +
2

1

2

0

1

3
2
3
2
3
2
Nên S = ∫ x − 3x + 2 dx = ∫ ( x − 3x + 2)dx − ∫ ( x − 3x + 2)dx
0

1
2 1
 24

x
x

1
3
3
= ( − x + 2 x) − ( − x + 2 x) = − 1 + 2 − 0 −  − 2 3 + 2.2 − ( − 1 + 2)
0
1 4
4
4
4
4

4

=

4

1
1
5
+1− 4 + 8 − 4 + −1+ 2 =
4
4
2

Cách 2 : Dựa vào đồ thị của hàm số .
Ta có đồ thị hàm số y = f ( x) = x 3 − 3x 2 + 2 như sau:
y
4
f( x) = ( x 3-3 ⋅ x2) +2

-2

-1

A

2
B

O1

x
3

(C)

Dựa vào đồ thị , suy ra trên đoạn [ 0 ; 2 ] đồ thị (C ) cắt trục hoành tại một
điểm có hồnh độ x = 1 .
Hơn nữa x3 -3x2 + 2 ≥ 0 ∀ x ∈ [ 0 ; 1 ] và x3 -3x2 + 2 ≤ 0 ∀x∈ [ 1 ; 2 ]
2

1

2

0

1

3
2
3
2
3
2
Do đó S = ∫ x − 3x + 2 dx = ∫ ( x − 3x + 2)dx − ∫ ( x − 3x + 2)dx
0

=(
=

1
2 1
 24

x
x
1
− x 3 + 2 x ) − ( − x 3 + 2 x ) = − 1 + 2 − 0 −  − 2 3 + 2. 2 − ( − 1 + 2) 
0
1 4
4
4
4
4

4

4

1
1
5
+1− 4 + 8 − 4 + −1+ 2 =
4
4
2

(đvdt)

7


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Nguyễn Thị Thu Hà

Cách 3:

 x = 1 − 3 ∉ [ 0;2]

Phương trình x 3 − 3x 2 + 2 = 0 ⇔  x = 1 ∈ [ 0;2]
 x = 1 + 3 ∉ [ 0;2]


Nên
2

1

2

1

2

S = ∫ x − 3 x + 2 dx = ∫ x − 3 x + 2 d x + ∫ x − 3 x + 2 d x = ∫ ( x − 3 x + 2)dx + ∫ ( x 3 − 3 x 2 + 2) dx
3

2

3

0

2

3

0

=(

1

2

3

2

0

1
2
x
x
5 −5 5 5 5
− x 3 + 2 x) + ( − x 3 + 2 x)
= +
= + =
0
1
4
4
4
4
4 4 2
4

1

4

(đvdt)

Bài 3:
Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = ( x + 3) 2 ,trục
hồnh,trục tung.Gọi A(0;9),B(b;0) (-3

phẳng (H) thành 2 phần có diện tích bằng nhau.(Theo đề thi thử THPT quốc gia
2017 của trường chuyên ngoại ngữ )
Giải
Để giải bài này ta phải dùng phương pháp đồ thị để xác định được hình phẳng
của 2 phần được giới hạn bởi những đường nào ,từ đó ta mới tính được diện tích
của chúng.
Gọi S là diện tích của hình phẳng (H) . Đoạn thẳng AB chia hình phẳng (H)
thành 2 phần gồm: -Phần 1 là tam giác OAB có diện tích S1
- Phần 2 là phần cịn lại của hình phẳng (H)
(Như hình vẽ sau)

Theo bài ra ta có

S = 2S 2

(1)

0

Mặt khác :

S = ∫ ( x + 3) 2 d x = 9

(2)

−3

1
− 9b
OA.OB =

(3)
2
2
Từ (1),(2),(3) ta có phương trình 9 = −9b ⇔ b = −1
Vậy b = −1 là giá trị cần tìm
S 2 = S OAB =

8


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Nguyễn Thị Thu Hà

Nhận xét: Qua bài tập này ta thấy nếu khơng vẽ đồ thị thì chỉ xác định được
diện tích của hình phẳng (H),cịn 2 phần mà hình phẳng (H) được đoạn thẳng
AB chia ra ta khơng hình dung được hình dạng cũng như cơng thức tính diện
tích của nó là gì và việc giải quyết bài tốn là gặp khó khăn. Do vậy sử dụng đồ
thị trong trường hợp này là phương án giải quyết bài tốn khả thi nhất.
Bài 4
1
x

Cho hình thang cong (H) được giới hạn bởi các đường y = , y = 0, x = 1, x = 5
.Đường thẳng x = k (1 < k < 5) chia hình (H) thành hai phần có diện tích S1 , S 2 . Tìm
k để S 2 = 2S1 .
Giải
Tương tự bài tập 3 ở trên, để xác định được S1 , S 2 ta phải dựa vào đồ thị như sau:

Nhìn vào đồ thị trên ta thấy :

1
, y = 0, x = 1, x = k .
x
1
S 2 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = , y = 0, x = k , x = 5 .
x
k
k
1
Khi đó : S1 = ∫ d x = ln x 1 = ln k
x
1
S1 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y =

5

1
S 2 = ∫ d x = ln x
x
k

5
k

= ln 5 − ln k

Theo bài ra ta có phương trình: ln 5 − ln k = 2. ln k
⇔ ln 5 = 3. ln k
⇔k =3 5

Vậy k = 3 5 là giá trị cần tìm
Nhận xét : Qua 2 bài tập 3,4 ta thấy phương pháp sử dụng đồ thị là phương
pháp vẽ đồ thị và chia diện tích thành các phần sẽ làm cho bài toán trở nên đơn
giản làm cho việc tính diện tích trở nên nhanh gọn và chính xác hơn.

9


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Nguyễn Thị Thu Hà

II/ HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1/ Cách tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
Cho hai hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) , y = g(x) có đồ thị là (C’ ).
Nếu hai đồ thị (C ) và (C’) có điểm chung là điểm M(x0 ; y0) thì cặp số (x0 ;
 y = f ( x)
 y = g ( x)

y0) là nghiệm của hệ phương trình 

(1)

Hồnh độ x0 của điểm M là nghiệm của phương trình f ( x) = g ( x) (*)
Giải phương tình (*) ta sẽ được x0 là hoành độ giao điểm của hai đồ thị.
Phương trình (*)được gọi là phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị.
Thay x = x0 vào một trong hai phương trình của hệ (1) ta tìm được tung độ
của giao điểm .
2/ Cơng thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số :
Cho hai đồ thị của hai hàm số y = f(x) , y = g(x) và hai đường thẳng x = a ,

x =b (aHình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = f(x) , y = g(x) và hai đường
thẳng x = a, x = b có diện tích S được tính theo cơng thức :
b

S = ∫ f ( x) − g ( x) dx .
a

(Theo sách giáo khoa giải tích 12 –CB)
Muốn tính được diện tích S cần khử được dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức cần
tính tích phân . Cách khử được áp dụng bởi 1 trong 3 cách như ở mục I ở trên.
3. Một số bài tập vận dụng
Bài 5. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2 -3x + 2 và
đường thẳng y = x – 1 .
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x2 -3x + 2 và đường
x = 1
x = 3

2
2
thẳng y = x – 1 là : x − 3x + 2 = x − 1 ⇔ x − 4 x + 3 = 0 ⇔ 
3

3

Suy ra diện tích của hình phẳng trên là : S = ∫ x − 3x + 2 − ( x − 1) dx = ∫ x 2 − 4 x + 3 dx
2

1

1

2

Cách 1 : Xét dấu tam thức x - 4x + 3 ta có :
x
-∞
1
2
x – 4x + 3
+
0
2
Do đó x – 4x + 3 ≤ 0 ∀ x ∈ [1 ; 3]
3

S = − ∫ ( x 2 − 4 x + 3)dx = −(
1

-

3
0

+∞
+

3
x3

−4 4
− 2 x 2 + 3 x) = −
= (đvdt)
1
3
3
3

10


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Nguyễn Thị Thu Hà

Cách 2 : Dựa vào đồ thị
Đồ thị hai hàm số y = x2 -3x + 2 và y = x – 1 như sau :
y
(C)

4
3
2
1
x

-3

-2

-1

O
-1

1

2

3

4

-2
d
-3

Dựa vào đồ thị ta có x2 – 3x + 2 ≤ x – 1 ∀ x ∈ [1 ; 3 ] .
Do đó x2 – 4x + 3 ≤ 0 ∀ x ∈ [1 ; 3]
3

3
x3
−4 4
− 2 x 2 + 3 x) = −
=
(đvdt)
1
3
3

3
1
Cách 3 : Phương trình x 2 − 4 x + 3 = 0 có 2 nghiệm x = 1 ∈ [1;3] và x = 3 ∈ [1;3] nên :
3
3
3
x3
−4 4
2
S = ∫ x − 4 x + 3 dx = ∫ ( x 2 − 4 x + 3)dx = ( − 2 x 2 + 3x )
=
= (đvdt)
1
3
3
3
1
1
S = − ∫ ( x 2 − 4 x + 3)dx = −(

Bài 6
Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 – 3x + 2
và đường thẳng d : y = x + 2
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng d là :
x = 0
x 3 − 3 x + 2 = x + 2 ⇔ x 3 − 4 x = 0 ⇔ x ( x 2 − 4) = 0 ⇔ 
 x = ±2

Cách 1

Diện tích của hình phẳng trên là :
0

S=

∫x

2

3

−2

0

0

S=

∫x

−2

− 3x + 2 − ( x + 2) dx + ∫ x 3 − 3 x + 2 − ( x + 2)dx
2

3

− 4 x dx + ∫ x 3 − 4 x dx
0

Ta có bảng xét dấu như sau:
−∞
x
-2
3
x − 4x
0
0

2

0
0

+
4

x
3
3
Khi đó :S= ∫ ( x − 4 x)d x − ∫ ( x − 4 x)d x = ( − 2 x 2 )
−2

0

4

2
0

0

−(
−2

4

+∞

+

2

x
− 2 x 2 ) =8(đvdt)
4
0

11


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Nguyễn Thị Thu Hà

Cách 2 Dựa vào đồ thị hàm số
y
4
(C)

3
2
1
x

-3

-2

-1

d

O
-1

1

2

3

4

-2
-3

0

2

0

2

3
S= ∫ [( x − 3x + 2) − ( x + 2)]d x + ∫ [( x + 2) − ( x − 3x + 2)]d x = ∫ ( x − 4 x)d x + ∫ (− x + 4 x)d x
3

3

−2

−2

0

0

=(

3

0

2

x4
x4

− 2 x 2 ) + (−
+ 2 x 2 ) =8(đvdt)
4
4
−2
0

Cách 3
Áp dụng cách đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài ta có :
0

S=

∫

−2

2

x 3 − 3x + 2 − ( x + 2) dx + ∫ x 3 − 3 x + 2 − ( x + 2) d x
0

0

⇔S=

∫x

2

3

−2

− 4 x dx + ∫ x 3 − 4 x dx
0

0

⇔S=

∫ (x

−2

2

3

− 4 x) dx + ∫ ( x 3 − 4 x)dx = 4 + − 4 = 8

(đvdt)

0

III/ HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI BA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Để tính được diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 3 hàm số trở lên bắt buộc
ta phải vẽ hình để xác định được hình phẳng và chia nhỏ hình phẳng đó thành
các hình phẳng có dạng như ở mục I hoặc II
Bài 7

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x 2 , y = 2 x + 3, y = 0
trên đoạn [ − 2;3]
Giải:
Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = x 2 , y = 2 x + 3 là nghiệm của
 x = −1
x = 3

2
2
phương trình : x = 2 x + 3 ⇔ x − 2 x − 3 = 0 ⇔ 

Ta có hình vẽ minh họa như sau:

12


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Nguyễn Thị Thu Hà

Nhìn
vào đồ
trên ta
thấy
hình
phẳng
cần
tính
diện
tích được chia làm hai phần :

Phần 1: Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 2 ,đường thẳng
y = 2 x + 3 và 2 đường thẳng x=-2,x=-1.
Phần 2: Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 2 ,đường thẳng
y = 2 x + 3 và 2 đường thẳng x=-1,x=3.
Dựa vào đồ thị trên ta thấy :
Trên đoạn [-2;-1] thì x 2 ≥ 2 x + 3 , trên đoạn [-1;3] thì 2 x + 3 ≥ x 2
Vậy nên diện tích cần tính là :
−1

−1

3

3

x3
x3
2
2
S = ∫ [ x − (2 x + 3)]d x + ∫ [2 x + 3 − x ]d x = ( − x − 3 x) + ( x + 3 x − ) = 5 (đvdt)
3
3 −1
−2
−1
−2
2

2

Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số

y = x 2 , y = 2 x + 2, y = − x + 2

Giải
Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = x 2 , y = 2 x + 2 là nghiệm của
x = 1 − 3

2
2
phương trình : x = 2 x + 2 ⇔ x − 2 x − 2 = 0 ⇔ 

 x = 1 + 3
Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = x 2 , y = − x + 2 là nghiệm của
x = 1
2
2
phương trình : x = − x + 2 ⇔ x + x − 2 = 0 ⇔ 
 x = −2
Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = 2 x + 2, y = − x + 2 là nghiệm của
phương trình : 2 x + 2 = − x + 2 ⇔ x = 0

Đồ thị minh họa như sau:

13


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Nguyễn Thị Thu Hà

Dựa vào đồ thị ta thấy hình phẳng cần tính diện tích được chia làm hai phần:

Phần 1: Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 2 ,đường thẳng
y = 2 x + 2 và 2 đường thẳng x= 1 − 3 ,x=0.
Phần 2: Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 2 ,đường thẳng
y = − x + 2 và 2 đường thẳng x=0,x=1.
Từ đồ thị ta thấy :
Trên đoạn [1 − 3 ;0] thì 2 x + 2 ≥ x 2 , trên đoạn [0;1] thì − x + 2 ≥ x 2
Vậy diện tích hình phẳng cần tính là :
0

0

1

x3
S = ∫ (2 x + 2 − x )d x + ∫ (− x + 2 − x )d x = ( x + 2 x − )
3 1−
0
1− 3
2

2

1

2

3

− x2
x3

4 3 −3
+(
+ 2x − ) =
2
3 0
2

Nhận xét Trên đây là một số bài tốn về tính diện tích của hình phẳng ở các
dạng khác nhau và mỗi dạng cũng có những cách giải khác nhau . Tuy nhiên
phương pháp sử dụng đồ thị thì bài tốn rõ ràng ,dễ hiểu và trực quan hơn ,nhiều
bài tốn khó vẫn giải được dễ dàng.
IV.MỘT SỐ BÀI TỐN TRONG THỰC TẾ
Bài 9
Có một người cần làm một cái cổng cổ xưa có hình dạng là một parabol bạc
hai(như hình vẽ 1) ,biết chiều rộng của chân cánh cử là 4m, chiều cao là 4m. Hỏi
diện tích của cánh cửa là bao nhiêu?(Theo đề thi thử trường THPT Tĩnh gia I)

Hình 1

Hình 2

Giải
Gắn cánh cửa vào hệ tọa độ Oxy sao cho gốc tọa độ O trùng với điểm giữa của
chân cánh cửa( như hình vẽ2 )
Khi đó cánh cửa là 1 parabol có đỉnh I(0;4) và cắt trục Ox tại hai điểm có hồnh
độ lần lượt là x=-2 và x=2.
Ta có phương trình của parabol là: y = − x 2 + 4 .
Diện tích của cánh cửa là :
2

2

− x3
32 2
S = ∫ (− x + 4) d x = (
+ 4 x) =
(m )
3
3
−2
−2
2

Bài 10:
14


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Nguyễn Thị Thu Hà

Một công ty quảng cáo X muốn làm 1 bức tranh trang trí hình MNEIF(Như
hình vẽ ) ở chính giữa của 1 bức tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao
BC=6m,chiều dài CD=12m. Cho biết MNEF là hình chữ nhật có MN=4m,cung
EIF có dạng là một phần của cung parabolcó đỉnh I là trung điểm của cạnh AB
và đi qua 2 điểm C,D.Kinh phí làm bức tranh là 900.000đồng/m 2 .Hỏi công ty X
cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó ?(Theo đề khảo sát chất lượng lớp 12
của SGD&ĐT Thanh hóa năm 2017)

Giải

Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho : O trùng với trung điểm của MN
ON trùng với trục Ox
OI trùng với trục Oy
Theo bài ra ta có : I(0;6) , N(2;0) ,C(6;0)
Khi đó ta có phương trình của parabol là : y =

−1 2
x +6
6

Ta có hình vẽ sau:

Dựa vào hình vẽ trên ta có diện tích của bức tranh là:
2

2

−1
−1
208 2
S = 2∫ ( x 2 + 6)d x = 2( x 3 + 6 x) =
(m )
6
18
9
0
0

Vậy số tiền cần làm nên bức tranh đó là: T=900.000.S=20.800.000(đồng)

15


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Nguyễn Thị Thu Hà

Bài 11
Ơng An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài
trục bé bằng 10m ,Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé
của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ).Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000
đồng /1m 2 .Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó?(Số tiền
được làm trịn đến hàng nghìn)( Theo đề thi thử của BGD &ĐT)

Giải
Chọn hệ trục tọa độ O xy để gắn mảnh vườn sao cho gốc tọa O trùng với tâm
của elip, trục Ox trùng với trục lớn của elip,trục Oy trùng với trục bé của elip.
Khi đó ta có phương trình của elip là:

x2 y2
+
=1
64 25

⇒ y=±

5
64 − x 2
8

Ta có đồ thị như sau:

Dựa vào đồ thị trên ta có phần đất ơng An trồng hoa có diện tích là:
4

4

5
5
S = 4∫
64 − x 2 d x = ∫ 64 − x 2 d x
8
20
0

Đặt x = 8.S int
π
6

π
6

π

Sin 2t 6 40π
⇒ S = 160 ∫ Cos td t = 80 ∫ (1 + Cos 2t )d t = 80(t +
) =
+ 20 3 (m 2 )
2 0
3

0
0
Vậy chi phí để ơng An trồng hoa là: T=S × 100.000=
40π
(
+ 20 3 ) × 100.000 ≈ 7.653.000 (đồng)
3
2

16


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Nguyễn Thị Thu Hà

V. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1.Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) của hàm số
y = x3 –x2 + 2 , trục hoành Ox và các đường thẳng x = - 1 ; x = 2 .
Bài 2. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y= - 2x - 4 , trục
hoành Ox, trục tung Oy và đường thẳng x = - 2
Bài 3. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y=

−x−2
x −1

, trục

hoành và các đường thẳng x = -1 ; x = 0 .
Bài 4 . Tính diện tích của hình phẳng sau được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
x −1
, và các đường thẳng y = 2 , y = -2x – 4 .
x+2

Bài 5. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: y= x3 -3x2 + 3x - 1
;y=0 và tiếp tuyến của đường cong đó tại điểm có hồnh độ x = 3 .
Bài 6. Tính diện tích của hình phẳng sau được giới hạn bởi các đường

−x+2
, y = 0 và đường thẳng (d) đi qua hai điểm (-2 ;0) , ( 0 ;2).
2x + 1
Bài 7. Ơng B có một khu vườn được giới hạn bởi parabol y = x 2 và đường thẳng

y=

y=25. Ông B dự định dùng một mảnh vườn nhỏ được chia từ khu vườn trên bởi
một đường thẳng đi qua O và một điểm M trên pa rabol để trồng một lồi hoa.
Hãy giúp ơng B xác định vị trí của điểm M để diện tích mảnh vườn trơng hoa
bằng

9
(đvdt)
2

(Theo đề thi thử THPT quốc gia 2017 trường chuyên đại học Vinh)

17

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Nguyễn Thị Thu Hà

Qua quá trình giảng dạy trong thời gian vừa qua tôi nhận thấy rằng , tài liệu đã
giúp tôi thu được nhiều kết quả khả quan.Học sinh khắc phục được những “sai
lầm” và khó khăn khi gặp bài tốn tính diện tích của hình phẳng cũng như tính
thể tích của vật thể trịn xoay ở chương trình giải tích 12 .Thuận lợi cho việc
tăng cường tính trực quan ,cũng đẩy mạnh ứng dụng cơng nghệ thơng tin vào
dạy học . Từ đó, các em học sinh có hứng thú và học tốt vấn đề này.
2.3. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI :

Qua qúa trình giảng dạy tự chọn và ơn luyện cho các lớp có trình độ tương
đương vào buổi chiều để so sánh tơi thấy kết quả thực nghiệm tốt hơn nhiều so
với lớp đối chứng cụ thể tỉ lệ học sinh khá, giỏi nâng lên , học sinh yếu, kém và
trung bình giảm xuống.
Kếtquả Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Lớp
Đối chứng
2
15
20
5
Thực nghiệm
6
23

13
0
III. KẾT LUẬN , KIẾN NGHỊ
3.1. KẾT LUẬN

Việc giảng dạy cho học sinh theo hướng phát hiện các yếu tố của bài toán để
làm cho bài toán đơn giản bằng cách cho học sinh hiểu rõ, hiểu sâu sắc phương
pháp giải một dạng bài toán là tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh chủ động tư
duy, tìm tịi ứng dụng và sáng tạo trong q trình giải tốn. Đồng thời giúp học
sinh có mối liên hệ qua lại giữa các dạng bài tốn có liên quan.
Qua kinh nghiệm nhỏ này tôi muốn vận dụng phương pháp mới vào q
trình giảng dạy đặc biệt là ơn luyện cho học sinh lớp 12 có kiến thức giải phần
ứng dụng của tích phân vào việc tính diện tích hình phẳng ,Giúp học sinh tự tin
và vững vàng hơn khi ôn thi THPT quốc gia về chuyên đề này.
3.2.KIẾN NGHỊ
Với đề tài này tôi đã triển khai trong quá trình dạy học sinh lớp 12 ban KHTN
và các lớp ban Cơ bản học theo khối mang lại hiệu quả là rất tốt. Vì vậy tơi hy
vọng đề tài này sẽ đóng góp vào việc giải bài tốn đã nêu trên, và được đồng
nghiệp khai thác mở rộng hơn nữa, là tài liệu tham khảo cho các em học sinh lớp
12 trong q trình học tập cũng như ơn thi kỳ thi THPT Quốc gia hàng năm.
Mặc dù đã cố gắng biên soạn chuyên đề nhưng không thể tránh khỏi thiếu sót và
hạn chế rất mong được sự góp ý của quý bạn đọc và thầy, cô giáo để chuyên đề
hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!

18


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Nguyễn Thị Thu Hà

TÀI LIỆU THAM KHẢO
+ Sách giáo khoa Giải tích 12 - Nhà xuất bản giáo dục
+ Sách bồi dưỡng phương pháp tính tích phân – Hà Văn Chương
+ Đề thi thử THPT quốc gia năm 2017 của Bộ giáo dục và đào tạo
+ Đề thi thử THPT quốc gia năm 2017 của Sở giáo dục và đào tạo Thanh hóa.
+ Đề thi thử THPT quốc gia năm 2017 của các trường đại học và các trường
THPT .

XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG

.
.

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung
của người khác.

Nguyễn Thị Thu Hà

19