Rèn luyện kỹ năng sử dụng lượng liên hợp để giải phương trình, bất phương trình vô tỷ 2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT NHƯ THANH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG SỬ DỤNG
LƯỢNG LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2017


MỤC LỤC


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong những năm qua trường THPT Như Thanh rất coi trọng việc bồi
dưỡng, nâng cao năng lực nghiên cứu khoa học cho giáo viên thông qua nhiều
hình thức như: đổi mới sinh hoạt tổ nhóm chuyên môn theo hướng nghiên cứu
bài học, ứng dụng công nghệ thông tin trong các tiết dạy, phát động phong trào
viết chuyên đề, sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy, nghiên cứu các đề tài khoa học
sư phạm ứng dụng, tổ chức hoạt động ngoại khoá.
Đối với môn Toán có nhiều đơn vị kiến thức giáo viên phải tích cực trau
dồi, bồi dưỡng đổi mới phương pháp thì mới đạt hiệu quả khi truyền tải kiến
thức cho học sinh. Hiện nay cấu trúc đề thi THPT Quốc Gia có những câu hỏi

phân loại rất khó, vì vậy mỗi giáo viên phải tìm tòi, tìm ra phương pháp mới để
học sinh có thể giải quyết các bài toán khó một cách hiệu quả nhất trong các đề
thi học sinh giỏi, thi THPT Quốc Gia.
Trong các nội dung thi Đại học – Cao đẳng phần phương trình, bất phương
trình vô tỷ đóng vai trò quan trọng. Phần phương trình, bất phương trình vô tỷ
có rất nhiều bài tập phong phú, điển hình mà thông qua việc tìm tòi cách giải các
bài tập phương trình, bất phương trình vô tỷ giúp hình thành và rèn luyện rất tốt
tư duy Toán học cho học sinh.
Mặt khác, trong các phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô
tỷ thì phương pháp sử dụng lượng liên hợp để giải là phương pháp tương đối
hữu hiệu, vì phương pháp này giải quyết được hầu hết các bài bập của dạng
Toán này từ mức độ dễ đến khó.
Từ những lý do trên và từ thực tiễn giảng dạy, bồi dưỡng học sinh ôn thi
đại học cùng với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy. Tôi đã tổng hợp, đúc
rút thành chuyên đề: ‘‘Rèn luyện cho học sinh kỹ năng sử dụng lượng liên
hợp để giải phương trình, bất phương trình vô tỷ’’
1.2. Mục đích nghiên cứu
Giúp cho học sinh rèn luyện, nâng cao kỹ năng giải phương trình, bất
phương trình vô tỷ.
Cung cấp cho giáo viên thêm tư liệu một cách hệ thống về phần giải
phương trình, bất phương trình vô tỷ.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu về các dạng bài tập phương trình, bất phương
trình vô tỷ bằng phương pháp nhân liên hợp để giải phương trình, bất phương
trình vô tỷ.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Tự đọc tài liệu nghiên cứu.
Tổng hợp, thống kê, phân loại.

3

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận
Có nhiều cách định nghĩa khác nhau về kỹ năng. Tuy nhiên hầu hết chúng
ta đều thừa nhận rằng kỹ năng được hình thành khi chúng ta áp dụng kiến thức
vào thực tiễn, kỹ năng học được do quá trình lặp đi lặp lại một hoặc một nhóm
hành động nhất định nào đó.
Trong hoạt động dạy học môn toán nói riêng thì kỹ năng được thể hiện
qua phương pháp dạy - học, kỹ năng trình bày, kỹ năng thuyết trình... Trong môn
toán ngoài những kỹ năng chung về dạy học nó còn được thể hiện qua những
yếu tố đặc thù của bộ môn chẳng hạn: kỹ năng giải toán, kỹ năng tính toán, kỹ
năng giải phương trình, bất phương trình …..
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
Giải phương trình, bất phương trình vô tỷ bằng cách nhân liên hợp tương
đối mới lạ đối với đa số học sinh lớp 10. Khi gặp các bài toán về vấn đề trên,
hầu như học sinh mất rất nhiều thời gian để biến đổi bài toán. Một số học sinh
do năng lực tư duy hạn chế chưa biết cách tìm, tách, thêm bớt và nhân lượng
liên hợp phù hợp. Chính vì vậy người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm ra cách
giải đơn giản, để thuận lợi kết thúc bài toán.
2.3. Các giải pháp thực hiện để giải quyết vấn đề
Khi tiếp cận các bài toán, giáo viên phải giúp học sinh phải sử dụng lượng
liên hợp nào phù hợp. Sau đó giúp học sinh xây dựng phương pháp giải phù
hợp.
Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với các bài toán phương trình, bất
phương trình vô tỷ, trước hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập các kiến thức
về hằng đẳng thức từ đó có thể tự suy ra các biểu thức liên hợp tương ứng
thường gặp. Sau đó giáo viên chọn một số bài toán điển hình để học sinh vận
dụng.
Trong đề tài này, tôi xin đưa ra một số bài tập tương đối đầy đủ về các bài

phương trình, bất phương trình vô tỷ giải bằng phương pháp nhân liên hợp.
2.3.1. Kiến thức toán và các kỹ năng có liên quan
- Các biểu thức liên hợp thường sử dụng.
- Các phép biến đổi tương đương của phương trình.
- Kỹ năng nhẩm nghiệm của phương trình.
- Kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của phương trình.
- Kỹ năng đánh giá để chứng minh phương trình vô nghiệm.
2.3.2. Một số bài toán thường gặp và phương pháp giải.
2.3.2.1. Sử dụng liên hợp để giải phương trình vô tỷ.
Dạng 1: Biểu thức liên hợp xuất hiện ngay trong phương trình.
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 x − 5 − x − 1 = 2 x − 8 .

4


Phân tích
Sử dụng máy tính ta tìm được nghiệm của phương trình x = 4
Và ngay trong phương trình ta thấy:
( 2 x − 5 ) 2 − ( x − 1) 2 = x − 4 .
2 x − 8 = 2( x − 4)

Giải
5
2
Phương trình: 2 x − 5 − x − 1 = 2 x − 8
x−4
⇔
= 2( x − 4)
2x − 5 + x − 1
1

⇔ ( x − 4)(
− 2) = 0
2x − 5 + x − 1
x = 4
⇔
(1)
1

=2
 2 x − 5 + x − 1
5
1
<1
Ta có ∀x ≥ 2 ⇒ 2 x − 5 + x − 1 > 1 ⇒
2x − 5 + x − 1

Điều kiện: x ≥

Nên phương trình (1) vô nghiệm
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 4} .
Ví dụ 2: Giải phương trình: 10 x + 1 + 3x − 5 = 9 x + 4 + 2 x − 2 .
Phân tích
Sử dụng máy tính ta có phương trình có nghiệm x = 3
Từ các biểu thức có trong phương trình ta thấy:
(10 x + 1) − (9 x + 4) = x − 3 .
(3x − 5) − (2 x − 2) = x − 3

Như vậy ở đây ta phải chuyển vế sau đó mới nhân lượng liên hợp tương ứng.
Giải
Điều kiện x ≥

5
3

10 x +1 + 3 x − 5 = 9 x + 4 + 2 x − 2
⇔ 10 x +1 − 9 x + 4 + 3 x − 5 − 2 x − 2 = 0
x −3
x −3
+
=0
10 x +1 + 9 x + 4
3x − 5 + 2 x − 2
1
1
⇔ ( x − 3)(
+
)=0
10 x +1 + 9 x + 4
3x − 5 + 2 x − 2
x = 3
⇔
1
1

+
= 0 (1)
3x − 5 + 2 x − 2
 10 x +1 + 9 x + 4
⇔

5


Dễ có phương trình (1 ) vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 3} .
Nhận xét
Nếu chỉ quan sát phương trình ta cũng có
(10 x + 1) − (3 x − 5) = 7 x + 6
(9 x + 4) − (2 x − 2) = 7 x + 6

Nên nếu ta không chuyển vế mà nhân liên hợp luôn thì cũng xuất hiện nhân tử
chung là 7 x + 6 , đưa được phương trình về phương trình tích. Nhưng ta chưa giải
quyết xong bài toán vì nghiệm của phương trình nằm trong phương trình còn lại.
Như vậy việc sử dụng máy tính tìm nghiệm góp phần xác định hướng giải đúng
và ngắn gọn hơn.
Ví dụ 3: Giải phương trình: 4 x 2 = (2 x + 8)(1 − 1 + 2 x ) 2 .
Phân tích
Ta có (1 − 1 + 2 x ) 2 (1 + 1 + 2 x ) 2 = 4 x 2 .
Giải

−1
Điều kiện ∀x ≥ .
2

Ta có phương trình đã cho: 4 x 2 = (2 x + 8)(1 − 1 + 2 x ) 2
⇔ 4 x 2 (1 + 1 + 2 x ) 2 = (2 x + 8)4 x 2
x = 0
⇔
(1)
2

(1 + 1 + 2 x ) = 2 x + 8

Giải (1):
(1 + 1 + 2 x ) 2 = 2 x + 8
⇔ 1 + 2x = 3
⇔x=4

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { 0;4} .
Bài tập tương tự
Giải các phương trình sau:
2x − 3 − x = 2x − 6 .
1)
x + 2x − 1 = 2 + x + 1 .
2)
3(2 + x − 2) = 2 x + x + 6 .
3)
4)

1+ 3 x
−1 = 0 .
4x + x + 2

5)

2x + 4 − 2 2 − x =

6)

6x − 4

x2 + 4
2 x 2 = ( x + 9)(3 − 9 + 2 x ) 2 .

.

6


3x − 2 − x + 1 = 2 x 2 − x − 3 .
7)
3
8)
x + 2 + 3 x + 1 = 3 2 x2 + 3 2x2 + 1 .
Dạng 2: Tìm được một nghiệm đẹp thêm bớt để làm xuất hiện biểu thức
liên hợp.

Ví dụ 4: Giải phương trình: 3x + 1 − 6 − x + 3x 2 − 14 x − 8 = 0 .
Phân tích

4x − 5
nhưng biểu thức
3x + 1 + 6 − x
còn lại khi phân tích không thể xuất hiện nhân tử 4 x − 5
Sử dụng máy tính cầm tay ta có một nghiệm x = 5 .( Nếu không sử dụng máy

Nếu ta nhân liên hợp thì ta có 3x + 1 − 6 − x =

tính cầm tay ta có thể nhẩm nghiệm là một số sao cho các biểu thức dưới căn là
số chính phương)
Phương trình (1) có nghiệm x = 5 có thể phân tích phương trình về dạng

( x − 5).g( x) = 0 . Như vậy cần làm xuất hiện nhân tử chung là x − 5 .
Tại x = 5 ta có: 3x + 1 = 4; 6 − x = 1 , từ đó ta xác định được lượng thêm, bớt là
3x + 1 − 4 và 6 − x − 1 .
Giải
1
3

Điều kiện: x ∈ [- ;6] .
Ta có phương trình đã cho:
3x + 1 − 6 − x + 3 x 2 − 14 x − 8 = 0
⇔ ( 3 x + 1 − 4) − ( 6 − x − 1) + (3 x 2 − 14 x − 5) = 0
3 x − 15
x −5
⇔
+
+ ( x − 5)(3x + 1) = 0.
3x + 1 + 4 1 + 6 − x
3
1
⇔ ( x − 5)[
+
+3x + 1]=0
3x + 1 + 4 1 + 6 − x
⇔ x=5

Vì biểu thức còn lại luôn dương với điều kiện xác định.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S= { 5} .
Ví dụ 5: Giải phương trình: x − 3 + 3 x 2 − 8 = 3 .
Phân tích
+ Ta nhẩm được một nghiệm của phương trình là x = 1

+ Với x = 1 thì ta có: x − 3 = 1; 3 x 2 − 8 = 2
Giải
Điều kiện: ∀x ≥ 3 .
Ta có phương trình đã cho:
7


x − 3 + 3 x2 − 8 = 3
⇔ ( x − 3 − 1) + (3 x 2 − 8 − 2) = 0
x−4
( x − 4)( x + 4)
⇔
+
=0
2
x − 3 + 1 3 ( x − 8) 2 + 23 x 2 − 8 + 4
x = 4
x+4
⇔
+
= 0(1)
1
2
2

3
( x − 8) + 23 x 2 − 8 + 4
 x − 3 + 1
Vì vế trái (1) luôn dương với ∀x ≥ 3 .

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 1} .

Ví dụ 6: Giải phương trình x 2 + 91 = x − 2 + x 2 .
Phân tích
+ Nhẩm được nghiệm x = 3 .
+ Ta có với x = 3 thì x 2 + 91 = 10; x − 2 = 1
Giải
∀x
≥
2
Điều kiện:
.
Ta có phương trình đã cho:
x 2 + 91 = x − 2 + x 2
⇔ ( x 2 + 91 − 10) − ( x − 2 − 1) − ( x 2 − 9) = 0
( x − 3)( x + 3)
( x − 3)
⇔(
−
− ( x − 3( x + 3) = 0
2
x − 2 +1
x + 9 + 10
x = 3
⇔
(1)
x+3
1

−

− ( x + 3) = 0
 x 2 + 91 + 10
x − 2 +1

Ta có ∀x ≥ 2 ⇒

x+3
x + 91 + 10
2

< 1,

1
x − 2 +1

> 0, x + 3 > 1 nên phương trình (1) vô

nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 3} .
Nhận xét: Trong bài toán này công đoạn khó đó là chứng minh phương trình (1)
vô nghiệm. Để có thể chứng minh (1) vô nghiệm mà cần dựa vào điêu kiện xác
định ( có thể là cả điều kiện cần để phương trình có nghiệm ), ở bài này dựa vào
điều kiện xác định ∀x ≥ 2 .

Ví dụ 7: Giải phương trình:

3

x 2 − 1 + x = x 3 − 2 (1) .

8


Phân tích
Sử dụng máy tính ta có phương trình có nghiệm x = 3 .
Giải
3
Điều kiện: x ≥ 2
(1) ⇔ 3 x 2 − 1 − 2 + x − 3 = x 3 − 2 − 5
⇔

x2 − 9
3

( x 2 − 1)2 + 2 3 x 2 − 1 + 4

⇔ ( x − 3) (

+ x−3=

x+3
3

( x 2 − 1) 2 + 2 3 x 2 − 1 + 4

x 3 − 27
x3 − 2 + 5

+1−

x 2 + 3x + 9
x3 − 2 + 5

)=0

x = 3

x+3
x 2 + 3x + 9
⇔
+1−
= 0 (2)
3
 3 ( x 2 − 1) 2 + 2 3 x 2 − 1 + 4
x
−
2
+
5


Giải (2).
Ta có với x ≥ 3 2 > 1 thì
3

3

( x 2 − 1) 2 > x − 1 . Thật vậy

( x 2 − 1)2 > x − 1

⇔ x 4 − 2 x 2 + 1 > x3 − 3x 2 + 3x − 1
⇔ x 4 − x3 + x 2 − 3x + 2 > 0
⇔ x 3 ( x − 1) + ( x − 1)( x − 2) > 0
⇔ ( x − 1)( x3 + x − 2) > 0 ∀x > 1
x+3
x+3
<
= 1 (3)
Suy ra 3 2 2 3 2
( x − 1) + 2 x − 1 + 4 x − 1 + 4

Mặt khác
x 2 + 3x + 9
x3 − 2 + 5

>
≥

x 2 + 3x + 9
x3 − 1 + 5

=

x 2 + 3x + 9
( x − 1)( x 2 + x + 1) + 5

x 2 + 3x + 9 2 x 2 + 6 x + 18 2( x 2 + 2 x + 10) + 2( x − 1)
= 2
=

> 2 ∀x > 1 (4)
x2 + 2 x
x + 2 x + 10
x 2 + 2 x + 10
+5
2

Từ (3) và (4) ta có phương trình (2) vô nghiệm
Vậy tập nghiệm của phương trình S = {3} .
Nhận xét
Ta thấy với số liệu của phương trình trên ta không thể sử dụng biến đổi tương
đương để giải
Khi sử dụng phương pháp nhân liên hợp ta có thể dễ dàng tìm được nghiệm
x = 3 . Nhưng khâu khó nhất trong bài toán này đó là chứng minh phương trình
(2) vô nghiệm.

9


Ví dụ 8: Giải phương trình 5 − x + 32 x 2 − x 4 =

38 − x
(1).
2

Phân tích
+ Nhẩm được nghiệm x = 4 .
+ Ta có với x = 4 thì 5 − x = 1, 32 x 2 − x 4 = 16 .
Giải
Điều kiện: ∀ : −4 2 ≤ x ≤ 5 (*).

(1) ⇔ ( 5 − x − 1) + ( 32 x 2 − x 4 − 16) =

⇔ ( x − 4)[

( x − 4)( x + 4) 2
32 x − x + 16
2

4

+

4− x
2

1

1
− ]=0
5 − x +1 2

x = 4

⇔  ( x − 4)( x + 4) 2
1
1
+
− = 0(2)
2
4

 32 x − x + 16
5− x 2
( x + 4) 2
1
(2) ⇔ ( x − 4)[
+
]=0
32 x 2 − x 4 + 16 2( 5 − x + 1)
x = 4

⇔  ( x + 4) 2
1
+
= 0(3)
 32 − x 2 + 16 2( 5 − x + 1)
Ta có ∀ : −4 2 ≤ x ≤ 5 thì vế trái của phương trình (3) luôn dương nên phương

trình (3) vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 4} .
Nhận xét: Trong bài toán này, nếu vội vàng đi chứng minh phương trình (2) vô
nghiệm thì ta sẽ bị “ vướng” vì x = 4 là nghiệm kép của phương trình.
Bài tập tương tự
Giải các phương trình sau:
1) x − 2 + 4 − x = 2 x 2 − 5 x − 1
2) 5 x − 1 + 3 9 − x = 2 x 2 + 3x − 1 .
3) x + 6 + x − 1 = x 2 − 1
4) x 2 + 12 + 5 = 3x + x 2 + 5
5) x − 2 + 4 − x + 2 x − 5 = 2 x 2 − 5 x
6) 2 x 2 − 11x + 21 − 3 3 4( x − 1) = 0 .
7) x 2 + 3 x + 6 = 7 − x − 1 .

8) 3 x 2 + 4 = x − 1 + 2 x − 3 .

10


Dạng 3: Phương trình vô tỷ nhẩm được hai nghiệm đẹp.
Ví dụ 9: Giải phương trình 4 + 8 x + 12 − 8 x = 4 x 2 − 4 x + 1 .
.
Phân tích
1
2

3
2

+ Sử dụng máy tính cầm tay ta có 2 nghiệm x = − ; x = . Ta dự đoán sau khi
phân tích sẽ có nhân tử (2 x + 1)(2 x − 3). Vậy ta phải thêm bớt đại lượng nào để sau
khi nhân liên hợp ta có được nhân tử chung là 4 x 2 − 4 x − 3. Dựa vào các biểu thức
đã có trong phương trình ta có lượng thêm bớt không phải là một số mà là một
biểu thức dạng ax + b.
+ Giả sử ta thêm bớt các lượng như sau: 4 + 8 x − (ax + b); 12 − 8 x − (cx + d ) Các
hệ số a, b, c, d được xác định bằng cách như sau. Ta thay các giá trị x =

−1
3
;x =
2
2

vào các phương trình 4 + 8 x − (ax + b) = 0; 12 − 8 x − (cx + d ) = 0 ta được hai hệ

1
 2 a − b = 0
a = 2
⇒

 4 − 3 a − b = 0 b = 1
 2
 1
 4 + 2 c − d = 0 c = −2
⇒

d = 3
3 c + d = 0
 2

Giải
1
3
Điều kiện: − ≤ x ≤ .
2
2
(1) ⇔ 4 + 8 x − (2 x + 1) + 12 − 8 x − (3 − 2 x) = 4 x 2 − 4 x − 3
−4 x 2 − 4 x + 3
−4 x 2 − 4 x + 3
+
= 4 x2 − 4x − 3
4 + 8x + 2x + 1
12 − 8 x + 3 − 2 x
1
1

⇔ ( 4 x 2 − 4 x − 3) (1 +
+
)=0
4 + 8x + 2x +1
12 − 8 x + 3 − 2 x
⇔ 4 x2 − 4 x − 3 = 0
⇔

1

x = − 2
⇔
x = 3

2

 1 3
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = − ;  .
 2 2

Bài tập tương tự
11


Giải các phương trình sau:
3x + 1 + 5 x + 4 = 3 x 2 − x + 3
1)
x + 2 + 3 − x = x3 + x 2 − 4x − 1
2)
3)

2 x 2 − x + 3 − 21x − 17 + x 2 − x = 0
2 3x + 4 + 3 5 x + 9 = x 2 + 6 x + 13
4)
x + 2 + 5x + 6 + 2 8x + 9 = 4x2
5)
6)
9x − 2 + 3 7x 2 + 2x − 5 = 2x + 3
Dạng 4: Các nghiệm của phương trình đều lẻ
Ví dụ 10: Giải phương trình x + 3 − x = x 2 − x − 2 .
Phân tích:
+ Dùng máy tính tìm nghiệm của phương trình ta có nghiệm của phương trình là
x ≈ 2, 618033989... . Nếu nhẩm nhanh ta có x ≈ 2, 618033989... = 3 + 5 . Mà x = 3 + 5
2
2
2
là nghiệm của phương trình x − 3x + 1 . Như vậy ta phải làm xuất hiện nhân tử
chung là x 2 − 3x + 1 .
+ Để xuất hiện nhân tử chung là x 2 − 3x + 1 lượng thêm bớt phải có dạng ax + b .

Giả sử ta biến đổi phương trình như sau:
x − (ax + b) + 3 − x − (cx + d ) = x 2 − x − 2 − ( ax + b) − (cx + d )

Xét

vế

phải

ta

thấy

bậc

của

x2

bằng

1

nên

suy

ra

x − x − 2 − ( ax + b) − (cx + d ) = x − 3x + 1
⇒ (ax + b) + (cx + d ) = 2 x − 3
(1)
2

2

x − (ax + b) 2 k ( x 2 − 3x + 1)
=
x + (ax + b)
x + (ax + b)
Xét k = ±1; ± 2;... để tìm a, b . Trong bài này ta thấy với k = −1 ta tìm được a, b .

Thật vậy x − (ax + b)2 = − x 2 + 3x − 1 ⇔ (ax + b) 2 = ( x − 1)2 ⇒ ax + b = x − 1 (2)
Ta có thể tìm c, d bằng cách giống tìm a, b . Nhưng có thể suy ra từ (1) và (2)
cx + d = x − 2 .

Ta có x − (ax + b) =

Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 3

Giải
x ≥ 2
 x ≤ −1

2
Từ phương trình ta có x − x − 2 ≥ 0 ⇔ 

Suy ra 2 ≤ x ≤ 3 .
Phương trình đã cho tương đương với
x − ( x − 1) + 3 − x − ( x − 2) = x 2 − 3 x + 1
⇔

− x 2 + 3x − 1 − x 2 + 3x − 1
+
= x 2 − 3x + 1
x + x −1
3− x + x − 2

12


⇔ ( x 2 − 3 x + 1)(1 +

1
1
+
)=0
x + x −1
3− x + x − 2

⇔ x 2 − 3x + 1 = 0

3+ 5
x =
2
⇔
 

3− 5
( L)
x =

2

Vậy tập nghiệm của phương trình là x =

3+ 5
2

Bài tập tương tự:
Giải các phương trình sau:
1)

x2 − 6x − 2 = x + 8
2)
2 x2 − x − 3 = 2 − x
3)
x3 − 3x − 3 = 8 − 3x 2
x 2 + 6 x + 6 − ( x + 1) 14 x + 13 − 10 x + 1 = 0
4)
2.3.2.2. Sử dụng liên hợp để giải bất phương trình
Ví dụ 11: Giải bất phương trình

x2
(1 − 1 + x ) 2

≤ x+4.

Phân tích
Ta có (1 − 1 + x ) 2 (1 + 1 + x ) 2 = x 2
Giải

Điều kiện: ∀x ∈ [ − 1;+∞) \ { 0} .
Với điều kiện trên ta có bất phương trình đã cho tương đương với
(1 + 1 + x ) 2 ≤ x + 4
⇔ 1+ 2 1+ x +1+ x ≤ x + 4
⇔ 1+ x = 2
⇔x≤4

Kết hợp điều kiện ta tập nghiệm của bất phương trình là S = [ − 1;4] \ { 0}
Ví dụ 12: Giải bất phương trình

3x

3x + 10

≥ 1 − 3 x + 1 (1).

Phân tích
Ta có (1 − 3x + 1)(1 + 3x + 1) = −3x
Giải
Điều kiện: ∀x ≥
(1) ⇔

3x
3x + 10

≥

−1
3

− 3x

3x + 1 + 1

13


⇔ x(

1

3x + 10

⇔ x≥0

+

1

)≥0

3x + 1 + 1

Kết hợp điều kiện ta tập nghiệm của bất phương trình là S = [ 0;+∞)
Ví dụ 13: Giải bất phương trình ( x + 1) x + 2 + ( x + 6) x + 7 ≥ x 2 + 7 x + 12
(Đề đại học khối D năm 2014).

(1) .

Phân tích
+) Thay dấu “ ≥ ” của bất phương trình bằng dấu “ = ” ta được phương trình
( x + 1) x + 2 + ( x + 6) x + 7 = x 2 + 7 x + 12 , dùng máy tính tìm nghiệm của phương
trình ta được nghiệm x = 2 . Như vậy ta phải làm xuất hiện nhân tử chung là x − 2
.
+) Cách xác định lượng thêm bớt hoàn toàn giống phương trình. Với x = 2 ta có
x + 2 = 2; x + 7 = 3 . Ta biến đổi bất phương trình như sau
( x + 1)( x + 2 − 2) + ( x + 6)( x + 7 − 3) ≥ x 2 + 7 x + 12 − 2( x + 1) − 3( x + 6)

Giải
Điều kiện: x ≥ −2 .
Với điều kiện trên, bất phương trình đã cho tương đương với
( x + 1)( x + 2 − 2) + ( x + 6)( x + 7 − 3) ≥ x 2 + 7 x + 12 − 2( x + 1) − 3( x + 6)
x−2

x−2
⇔ ( x + 1)
+ ( x + 6)
≥ x2 + 2 x − 8
x+2+2
x+7 +3
x−2
x−2
⇔ ( x + 1)
+ ( x + 6)
≥ ( x − 2)( x + 4)
x+2+2
x+7 +3
x+6
 x +1

⇔ ( x − 2) 
+
− ( x + 4)  ≥ 0
(2)
x+7 +3
 x+2+2

Do x ≥ 2 nên x + 2 ≥ 0; x + 6 > 0 . Suy ra
x +1
x+6
x+2  x+6
x+6
1
 x+2

+
− ( x + 4) = 
−
+
−
−
<0
÷
÷
2   x+7 +3
2 
x+2+2
x+7 +3
x+2 +2
 x+2 +2
Nên ta có (2) ⇔ x − 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là S = [ −2; 2]

Ví dụ 14: Giải bất phương trình 2 x 2 + 7 x + 6 + x 2 − 4 ≥ x + 5 .
Phân tích

14


+) Thay dấu “ ≥ ” của bất phương trình bằng dấu “ = ” ta được phương trình
2 x 2 + 7 x + 6 + x 2 − 4 ≥ x + 5 , dùng máy tính tìm nghiệm của phương trình ta có
phương trình có nghiệm x =
5
2

−5
5
, x = . Như vậy ta phải làm xuất hiện nhân tử
2
2

5
2

chung là ( x + )( x − ) .
+) Lượng thêm bớt có dạng ax + b . Cách xác định lượng thêm bớt hoàn toàn
giống phương trình. Ta biến đổi bất phương trình như sau
7
3
2x 2 + 7x + 6 − (x + ) + x 2 − 4 − ≥ 0
2
2

Giải

Điều kiện: ∀ ∈ ( − ∞;−2] ∪ [ 2;+∞)
Bất phương trình đã cho tương đương
7
3
2x 2 + 7x + 6 − (x + ) + x 2 − 4 − ≥ 0
2
2
2
2

4 x − 25
4 x − 25
⇔
+
≥0
7
3
2
2
2x + 7x + 6 + x +
x −4 +
2
2
⇔ (4 x 2 − 25)[

1
2x 2 + 7x + 6 + x +

7
2

+

1
x2 − 4 +

3
2

]≥0

⇔ 4 x 2 − 25 ≥ 0
5

x ≥ 2
⇔
x ≤ − 5

2

Kết hợp ĐK ta có tập nghiệm của bất phương trình là S =  − ∞;


− 5

2 

5

 2 ;+∞  .

Bài tập tương tự
Giải các bất phương trình sau:
4 x 2 ≤ (2 x + 8)(1 − 1 + 2 x ) 2 .
1)
2)
3)
4)
5)
6)

7)

9x2
> 2x +1.
( 1 + 3x − 1) 2
x
+ x + 1 ≥ 3x + 1 .
x+2
3x 2 − 7 x + 3 + x 2 − 3 x + 4 > x 2 − 2 + 3 x 2 − 5 x − 1 .
( x + 3 − x − 1)(1 + x 2 + 2 x − 3) ≥ 4 .
2 x 2 + x + 2 + 5 ≤ 2 ( x + 2 + x)( x 2 − x + 3 + x ) .
x 2 + 35 < 5 x − 4 + x 2 + 24 .

15


8)
9)

4 x + 1 + 2 2 x + 3 ≤ ( x − 1)( x 2 − 2)
x2 + x + 1 x2
+ ≤
x+4
2

1

x2 + 1
x 2 + 6 x + 6 − ( x + 1) 14 x + 13 − 10 x + 1 ≥ 0

10)
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
2.4.1. Đối với học sinh
∗ Chọn lớp đối chứng gồm 15 học sinh lớp 10C1, chọn lớp thử nghiệm gồm 15
học sinh khác (lớp 10C1 là lớp chọn khối A), chọn học sinh trong đội tuyển học
sinh giỏi môn toán của trường THPT Như Thanh.
∗ Chọn các bài tập đã xây dựng ở trên và những bài tập khác trong các đề thi
thử THPT Quốc Gia những năm gần đây. Tiến hành hướng dẫn học sinh giải
quyết các bài tập đã chọn.
∗ Tiến hành hướng dẫn học sinh nghiên cứu chủ đề “Kỹ năng sử dụng lượng liên
hợp để giải phương trình, bất phương trình vô tỷ”. Yêu cầu học sinh viết thành đề
tài, nạp cho giáo viên (chỉ chọn học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi).
∗ Tiến hành kiểm tra đánh giá bằng một bài 45 phút cho cả các lớp nói trên.
∗ Kết quả kiểm tra: Đối với nhóm học sinh giỏi kết quả bài kiểm tra là rất tốt,
điểm của học sinh đều đạt từ loại khá trở lên, đối với lớp 10C1 kết quả đạt được
từ loại trung bình trở lên.
∗ Đối với chủ đề nghiên cứu của lớp học sinh giỏi, các em đã thực hiện tốt.
Được rèn luyện kỹ năng giải bài toán phương trình, bất phương trình vô tỷ . Đội
tuyển học sinh giỏi nhà trường gồm 5 em tham dự kì thi cấp tỉnh đạt một giải
Nhất, một giải Ba, ba giải Khuyến khích.
∗ Dạng bài tập và phương pháp này chỉ có hiệu quả cao với học sinh khá, giỏi.
2.4.2. Đối với bản thân và đồng nghiệp
∗ Đề tài này có thể dùng làm tài liệu cho học sinh và giáo viên trong quá trình
dạy học môn toán, ôn thi THPT Quốc Gia và thi học sinh giỏi.
∗ Từ đề tài này có thể mở rộng và ứng dụng trong việc giải quyết các bài toán
khó về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỷ, hệ bất phương
trình có chứa tham số.
2.4.3. Đối với nhà trường
∗ Đề tài đã và đang được áp dụng trong hoạt động giảng dạy góp phần nâng cao
chất lượng giáo dục môn Toán, nâng cao kết quả thi học sinh giỏi, kết quả thi

THPT Quốc gia của học sinh trường THPT Như Thanh.

16


3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Quá trình nghiên cứu đề tài đã thu được một số kết quả sau:
∗ Trong đề tài đã nghiên cứu về kỹ năng sử dụng lượng liên hợp để giải
phương trình, bất phương trình vô tỷ .
∗ Xây dựng được một hệ thống các bài tập về phương trình, bất phương trình
vô tỷ trong đó cách giải quyết chính là sử dụng lượng liên hợp để giải .
Nghiên cứu cơ sở lý luận về kỹ năng dạy học nói chung và các kỹ năng cơ bản
dạy học môn toán nói riêng.
3.2. Kiến nghị
Sau khi tổng kết thực nghiệm sư phạm, chúng tôi có một số đề xuất sau:
∗ Giáo viên nên thay đổi phương pháp dạy học của mình để phù hợp với từng
đối tượng, từng nội dung bài học. Giáo viên hướng dẫn học sinh tự học, tự
nghiên cứu, để tạo ra những sản phẩm hữu ích giúp các em có một lượng kiến
thức và kỹ năng tốt để chuẩn bị cho các kỳ thi.
∗ Nhà trường, các tổ chuyên môn cần khuyến khích hình thức, tự học tự nghiên
cứu, hợp tác nhóm của học sinh theo sự hướng dẫn của giáo viên, từ đó tạo điều
kiện cho giáo viên và học sinh hợp tác làm việc nhằm cải thiện chất lượng học
tập giúp các em có một nền tảng kiến thức thật sự vững chắc.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 04 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

Nguyễn Thị Kim

17


TÀI LIỆU THAM KHẢO

[ 1] . Sách giáo khoa đại số 10; NXB Giáo dục 2008
[ 2] . Tạp chí Toán học tuổi trẻ NXB Giáo dục
[ 3] . Các đề thi đại học môn toán từ năm 2002-2014

[ 4] . Nguồn internet:




18