Rèn luyện kỹ năng xác định hình chiếu của điểm trên mặt phẳng thông qua hoạt động giải một số bài toán

Sáng kiến kinh nghiệm
Năm học: 2016 – 2017
========================================================
=
MỤC LỤC
Mục
1.Mở đầu
1.1.Lý do chọn đề tài.
1.2.Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4.Phương pháp nghiên cứu.
2.Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2.1.Cơ sở lí luận.
2.2.Thực trạng của vấn đề.
2.3.Giải quyết vấn đề.
2.3.1.Các giải pháp thực hiện.
2.3.2.Các biện pháp tổ chức thực hiện.
2.4. Nội dung thực hiện.
2.4.1.Bài toán 1:Xác định hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P).
Biết mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d không đi qua A
sao cho MA ⊥ d.
2.4.2. Bài toán 2: Xác định hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng
(P). Biết mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B sao cho MA = MB.
2.4.3.Bài toán 3:Xác định hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P).
Biết mặt phẳng (P) ⊥ d nào đó.
2.4.4. Bài toán 4: Xác định hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng
(P). Biết mặt phẳng (P) ⊥ (Q) chứa M.
3. Kết luận.
3.1. Kết quả thực nghiệm.
3.2.Bài học kinh nghiệm.
3.3. Đề xuất.

Tài liệu tham khảo

Trang
2
2
2
2
2
2
2
3
3
4
4
4
5
7
9
12
12
12
13
14

=========================================================
Trường THPT LÊ HOÀN
1


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học: 2016 – 2017
========================================================
=
1. MỞ ĐẦU.
1.1.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Trong quá trình giải các bài toán hình không gian ta gặp rất nhiều bài toán
mà khi giải các bài toán đó ta cần tìm hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng.
Chẳng hạn, khi tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, tính góc tạo
bởi một đường thẳng với mặt phẳng, xác định số đo góc phẳng của nhị diện,…
Việc xác định được chân đường vuông góc của điểm trên mắt phẳng có vai trò
quan trọng trong việc tìm ra lời giải của các bài toán đó. Trong thực tế của việc
dạy học tôi nhận thấy có rất nhiều học sinh còn lúng túng, bối rối trước vấn đề
này. Chính vì vậy, tôi chọn viết đề tài : “Rèn luyện kỹ năng xác định hình

chiếu của điểm trên mặt phẳng thông qua hoạt động giải một số
bài toán ”.
1.2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
Mục đích của việc nghiên cứu và viết đề tài này nhằm giúp học sinh nắm
vững phương pháp và dễ dàng hơn trong việc tìm được hình chiếu của điểm trên
mặt phẳng.
1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.
Đề tài này nghiêm cứu, tổng kết về hình chiếu của một điểm trên một mặt
phẳng chủ yếu ở một số loại hình chóp trong hình học không gian lớp 11.
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Để thực hiện đề tài này phương pháp chủ yếu của tác giả là : Nghiên cứu
xây dựng cơ sở lý thuyết, xây dựng thuật toán, học hỏi, tìm tòi, đúc rút kinh
nghiệm và vận dụng giảng dạy ở nhiều năm.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1.CƠ SỞ LÍ LUẬN.

* Định nghĩa ( Phép chiếu vuông góc):
Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương l vuông góc với mặt phẳng
(P) gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P) [1].
*Từ điểm M nằm ngoài mặt phẳng (P), hạ MH ⊥ ( P ) tại H thì H là hình chiếu
vuông góc của M trên (P).
M

l

H
P

=========================================================
Trường THPT LÊ HOÀN
2


Sáng kiến kinh nghiệm
Năm học: 2016 – 2017
========================================================
=
2.2.Thực trạng của vấn đề .
Với định hướng về việc đổi mới phương pháp dạy học và những phương
pháp dạy học tích cực của Bộ GD&ĐT đã và đang diễn ra sâu rộng ở tất cả các
bậc học. Từ đó đặt ra nhiệm vụ cho người thầy là phải rèn luyện kỹ năng giải
toán cho học sinh.
Trong dạy học ở trường THPT, môn Toán được coi là một trong những
môn học giúp phát triển trí tuệ và tư duy lôgic, hoạt động giải Toán là hoạt động
tạo cơ hội tốt để học sinh bộc lộ, phát triển tư duy sáng tạo qua quá trình đem

những tri thức toán học đã được trang bị vào giải quyết những vấn đề trong toán
học cũng như trong thực tiễn.
Trong quá trình tìm tòi lời giải học sinh có thể mắc một số sai lầm và lúng
túng không biết sai từ đâu, sai ở đâu khi chưa được giáo viên nhấn mạnh đến
những sai lầm, chưa rèn luyện kỹ năng giải cho học sinh. Vì vậy, đối với mỗi
dạng toán, mỗi loại bài toán người giáo viên phải biết tạo điều kiện cho học sinh
có cơ hội rèn luyện các kỹ năng giải.
Trên thực tế giảng dạy bộ môn Toán, các bài toán thuộc bộ môn hình học
không gian thông thường học sinh luôn cảm thấy khó khăn và không có hứng
thú học tập vì có tư tưởng đã ăn sâu là “sợ hình”. Đồng thời, phần hình học
không gian ở lớp 11 thì hình chiếu vuông góc chỉ được nêu một khái niệm chung
về phép chiếu vuông góc ( Định nghĩa 2 trang 100 sách giáo khoa hình học nâng
cao 11; trang 102 sách giáo khoa hình học 11) còn các cách xác định hình chiếu
của điểm, của một hình trên mặt phẳng không được đề cập tới. Vì vậy, hầu hết
giáo viên chỉ nhắc qua cho học sinh cách xác định khi gặp những bài toán cụ thể
có liên quan mà không xây dựng cở sở lý thuyết hay thuật toán cụ thể. Tuy
nhiên, nếu chỉ dừng lại ở đó thì phần lớn học sinh , đặc biệt là đối tượng học
sinh thuộc ban cơ bản sẽ mơ hồ, lúng túng không thể tự giải quyết được các loại
bài tập có liên quan đến việc xác định chân đường vuông góc. Là một giáo viên
dạy toán tôi luôn trăn trở tìm cách khắc phục thực trạng trên bằng cách tìm tòi
các phương pháp tiếp cận mới,cách cụ thể hóa phương pháp giải, cách phân nhỏ
bài toán lớn thành các bài toán nhỏ…để rèn luyện cho học sinh dần thoải mái
hơn, hứng thú hơn đối với việc học hình.
Trong bài viết này tôi xin phân nhỏ bài toán xác định hình chiếu của một
điểm trên một mặt phẳng thành 4 bài toán sau để rèn luyện cho học sinh lớp 11
đặc biệt là đối tượng thuộc ban cơ bản dễ dàng tiếp thu và áp dụng :
Bài toán 1: Xác định hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P). Biết mặt phẳng
(P) chứa chứa điểm A và đường thăng d không đi qua A sao cho MA ⊥ d.
Bài toán 2: Xác định hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P). Biết mặt phẳng
(P) chứa hai điểm A, B sao cho MA = MB.

Bài toán 3: Xác định hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P). Biết mặt phẳng
(P) ⊥ d nào đó.

=========================================================
Trường THPT LÊ HOÀN
3


Sáng kiến kinh nghiệm
Năm học: 2016 – 2017
========================================================
=
Bài toán 4: Xác định hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P). Biết mặt phẳng
(P) ⊥ (Q) chứa M.

2.3 Giải quyết vấn đề.
2.3.1. Các giải pháp thực hiện.
1. Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng thông qua một hay nhiều buổi học
với sự hướng dẫn của giáo viên.
2. Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải.Trong đó yêu cầu khả năng phân
tích các bài toán liên quan đến xác định hình chiếu của điểm trên mặt phẳng.
2.3.2 Các biện pháp tổ chức thực hiện.
Nội dung này được triển khai thông qua 2 tiết học:
Tiết 1: Tổ chức hình thành phương pháp và rèn luyện kỹ năng giải bài toán 1+2.
Tiết 2: Tổ chức hình thành phương pháp và rèn luyện kỹ năng giải bài toán 3+4.
2.4. Nội dung thực hiện.
2.4.1.BÀI TOÁN 1: Xác định hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P).
Biết mặt phẳng (P) chứa chứa điểm A và đường thăng d không đi qua A sao
cho MA ⊥ d.
Phương pháp: Ta tiến hành theo các bước như sau:

* Bước 1: Trong mặt phẳng (P), kẻ đường thẳng d’ đi qua A và vuông góc với d.
* Bước 2: Trong mặt phẳng chứa M và đường thẳng d’, kẻ MH ⊥ d’.
* Bước 3: Kết luận, H chính là hình chiếu của M trên (P).
M

A
P

H

d
d
’

Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Xác định hình chiếu vuông góc
của A trên mặt phẳng (SBC).

=========================================================
Trường THPT LÊ HOÀN
4


Sáng kiến kinh nghiệm
Năm học: 2016 – 2017
========================================================
=
S

H
A

B
C

M

Hướng dẫn giải: Hình chóp S.ABC là hình chóp đều nên hình chiếu vuông
góc cúa đỉnh S trên mặt đáy (ABC) là trọng tâm G của tam giác ABC. Từ đó ta
suy ra, trên mp(SBC) có BC ⊥ SA. Gọi M là trung điểm của BC khi đó BC ⊥
SM. Trong tam giác SAM hạ đường cao AH xuống SM . Khi đó H chính là hình
chiếu vuông góc của A trên (SBC).
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông. Cạnh SA vuông góc
với mặt phẳng đáy. Xác định hình chiếu vuông góc của C trên mặt phẳng (SBD).
Hướng dẫn giải: Ta cần tìm trên mp(SBD) một đường thẳng d và một điểm M
sao ch CM ⊥ d ( nên để ý đến các đường thẳng, điểm có sẵn).
S

A

B
O

D

H

C

 SA ⊥ BD
⇒ BD ⊥ ( SAC )
 AC ⊥ BD

Giải: Theo giả thuyết, ta có: 

=========================================================
Trường THPT LÊ HOÀN
5


Sáng kiến kinh nghiệm
Năm học: 2016 – 2017
========================================================
=
Từ đó suy ra BD ⊥ SC .Gọi O là giao của AC và BD. Khi đó, ta có BD ⊥ SO
.Trong tam giác SOC kẻ đường cao CH xuống cạnh SO. H chính là hình chiếu
của C trên mặt phẳng (SBD)
CH ⊥ SO
⇒ CH ⊥ ( SBD)
CH ⊥ BD

vì 

2.4.2.BÀI TOÁN 2: Xác định hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng
(P). Biết mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B sao cho MA = MB.
Cách xác định:
* Bước 1:Trong mặt phẳng (P) kẻ đường trung trực d của AB.
* Bước 2: Trong mặt phẳng chứa M và d dựng MH ⊥ d.
* Bước 3: Kết luận H là điểm cần tìm.
M

H

A
P

d

B

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác cân tại A và
∧
∧
=
SAB SAC . Xác định hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng
(ABC).

=========================================================
Trường THPT LÊ HOÀN
6


Sáng kiến kinh nghiệm
Năm học: 2016 – 2017
========================================================
=
Hư
S

A

B
H

I
C

ớng dẫn giải:
Tìm trên mặt phẳng (ABC) hai điểm mà cách đều S. (sử dụng giả thuyết cho AB
= AC, ∠SAB = ∠SAC ).
Giải :
Theo giả thuyết, ta có ∆SAB = ∆SAC (c.g.c). Suy ra, SB = SC.
Trên mặt phẳng (ABC) kẻ đường trung trực của BC chính là đường cao AI ( I là
trung điểm của BC vì ∆ ABC cân tại A).
Trong ∆ SAI kẻ đường cao SH xuống cạnh AI ( H thuộc AI) .
 SH ⊥ AI
⇒ SH ⊥ ( ABC ) .
 SH ⊥ BC
Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Một mặt phẳng ( α ) đi qua AB

Khi đó, H chính là hình chiếu của S trên (ABC) vì 

và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại M, N. Xác định hình chiếu vuông góc của S
trên mặt phẳng ( α ).
Hướng dẫn giải:
Trên mặt phẳng ( α ) tìm hai điểm cách đều S. Nên chọn các điểm đã cho
trong đề ví dụ như A, M, M chẳng hạn.

=========================================================
Trường THPT LÊ HOÀN
7

Sáng kiến kinh nghiệm
Năm học: 2016 – 2017
========================================================
=
S
H
N

F

M

C

D
A

E

B

( α ) ∩ ( SCD ) = MN

Giải: Ta có: ( SCD ) ∩ ( ABCD ) = CD

( α ) ∩ ( ABCD ) = AB

Mà AB// CD nên suy ra MN // CD //AB.
Trong mp( α ) có A, B thỏa mãn đk SA = SB. Nên trong hình thang ABMN ta kẻ
đường trung trực EF của hai cạnh đáy AB, MN. Trong tam giác SEF hạ đường

cao SH xuống cạnh EF.
Khi đó H chính là hình chiếu vuông góc của S trên ( α ). Vì
 AB ⊥ SE
⇒ AB ⊥ SH ⇒ SH ⊥ (α ) .

 AB ⊥ EF

2.4.3. BÀI TOÁN 3: Xác định hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt
phẳng (P). Biết tồn tại một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).
Cách xác định:
• Bước 1: Gọi (Q) là mặt phẳng chứa M và đường thẳng d. Xác định giao
tuyến a của (P) và (Q).
• Bước 2: Trong mp(Q) qua M kẻ đường thẳng // d và cắt giao tuyến a tại
H.
Bước 3: Kết luận H là điểm cần tìm

=========================================================
Trường THPT LÊ HOÀN
8


Sáng kiến kinh nghiệm
Năm học: 2016 – 2017
========================================================
=
Q

M
d
H

a

P

Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, Bên trong tam giác SAB lấy
điểm M. Xác định hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (ABCD).
Hướng dẫn giải: Tìm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD (sử
dụng giả thiết cho hình chóp đều).
Giải:

S

M
B
C
N

H

O

A
D
Gọi O là giao của hai đường chéo AC, BD. Khi đó tao có, SO ⊥ (ABCD).
Trong mặt phẳng (SAB) kẻ SM cắt AB tai N . Mặt phẳng (SNO) chứa M và SO
cắt mặt phẳng (ABCD) theo giao tuyến là NO.
=========================================================
Trường THPT LÊ HOÀN
9

Sáng kiến kinh nghiệm
Năm học: 2016 – 2017
========================================================
=
Trong mặt phẳng (SNO), từ M kẻ MH //SO. Khi đó, MH ⊥ (ABCD) nên H là
hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (ABCD).
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C và cạnh SA
vuông góc với đáy. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm M thuộc cạnh AB
xuống mặt phẳng (SBC).
Hướng dẫn giải: - Hãy tìm một đường thẳng a vuông góc với mp(SBC), chú ý
tới các yếu tố vuông góc mà giả thuyết đã cho đó là SA ⊥ (ABC); BC ⊥ AC.
- Trong mp chứa a và M , kẻ qua M đường thẳng // a.
S

K
A

H
B

M

C
Giải:
Trong tam giác SAC, hạ đường cao AK
 BC ⊥ AC
⇒ BC ⊥ ( SAC ) ⇒ BC ⊥ AK .
 BC ⊥ SA

Theo giả thiết , ta có: 

Khi đó, AK ⊥ (SBC) và mặt phẳng đi qua M, chứa AK chính là (ABK) cắt mặt
phẳng (SBC) theo giao tuyến là BK. Trong mặt phẳng (ABK), qua M kẻ đường
thẳng song song với AK cắt BK tại H. Vậy, H chính là hình chiếu vuông góc của
M trên (SBC) vì MH// AK ⊥ (SBC).
2.4.4. BÀI TOÁN 4: Xác định hình chiếu vuông góc của điểm M trêm mặt
phẳng (P), biết M thuộc mặt phẳng (Q) vuông góc với (P).
Cách xác định:
• Bước 1: Xác định giao tuyến a của (P) và (Q).
• Bước 2: Trong mp(Q) qua M kẻ đường thẳng b ⊥ a tại H.
=========================================================
Trường THPT LÊ HOÀN
10


Sáng kiến kinh nghiệm
Năm học: 2016 – 2017
========================================================
=
Bước 3: Kết luận H là điểm cần tìm.

Q
M

b

H
a

P

Ví dụ 7: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD. Cạnh
bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm
M thuộc cạnh SA trên mặt phẳng (SBC).
Hướng dẫn: Dựa vào đề đã cho, hãy tìm mặt phẳng vuông góc với (SBC).
S
H
M

A

D

B

C

=========================================================
Trường THPT LÊ HOÀN
11


Sáng kiến kinh nghiệm
Năm học: 2016 – 2017
========================================================
=
 BC ⊥ AB
⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAB ) .
 BC ⊥ SA

Giải: Ta có: 

Mà hai mặt phẳng (SAB), (SBC) cắt nhau theo giao tuyến SB. Nên trong mặt
phẳng (SAB) từ M hạ MH vuông góc với SB tại H.
Khi đó, H chính là hình chiếu của M trên mặt phẳng (SBC) vì:
( SAB ) ⊥ ( SBC )

( SAB ) ∩ ( SBC ) = SB ⇒ MH ⊥ ( SBC ) .
 MH ⊥ SB


Ví dụ 8: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD. Cạnh
bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua giao điểm O
của hai đường chéo AC, BD đồng thời song song với BC,
Xác định hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (P).
Hướng dẫn:Tìm mặt phẳng vuông góc với (P). ( chú ý: (P) // BC ).

S

H

N

A

M

B

O
D

C

Giải:
 BC ⊥ AB
⇒ BC ⊥ ( SAB )
 BC ⊥ SA

Ta có 

Mà (P) //BC ⇒ ( P ) ⊥ ( SAB ) ; S ∈ ( SAB ) do đó hình chiếu vuông góc của S trên (P)
nằm trên giao tuyến của mặt phẳng (P) và (SAB). Gọi MN là giao tuyến của (P)
=========================================================
Trường THPT LÊ HOÀN
12


Sáng kiến kinh nghiệm
Năm học: 2016 – 2017
========================================================
=
và (SAB). Trong mặt phẳng (SAB) từ S hạ SH ⊥ MN . H chính là hình chiếu của
S trên (P).
3. KẾT LUẬN
3.1.Kết quả thực nghiệm.
Liên tục trong các năm học từ 2011-2012 đến 2015- 2016, tôi đã tiến hành
thực nghiệm sáng kiến này vào các buổi sinh hoạt chuyên đề hay các tiết dạy tự
chọn, cụ thể:

Lớp 11A5 và 11A8 năm học 2011-2012.
Lớp 11A1và 11A9 năm học 2013-2014.
Lớp12A3; 11A3 và 11A2 năm học 2014-2015.
Lớp 11A1 và 11A7 năm học 2015-2016.
* Trước khi dạy sáng kiếm kinh nghiệm này, với các bài tập kiểm tra như sau:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA = SC, SB = SD và đáy ABCD là hình
thoi.
a) Xác định chân đường vuông góc hạ từ giao điểm hai đường chéo của đáy
xuống mặt bên (SAB).
b) Xác định chân đường vuông góc hạ từ A xuông mặt bên (SBC).
Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB = AD và
∠A ' AB = ∠A ' AD . Tìm hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng
(ABCD).
Bài 3: Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng và thỏa mãn điều kiện
∠xOy = ∠xOz . Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M thuộc Ox xuống mặt
phẳng ( yOz).
Đã thu được kết quả như sau:
Tỉ lệ học sinh giải đúng Tỉ lệ học sinh giải đúng ít
Tỉ lệ học sinh không
cả 3 bài
nhất 1 bài
làm được bài
12-14%
50-63%
23-38%
* Sau khi đã rèn luyện cho học sinh các bài toán trên thì vẫn 3 bài tập đó
kết quả đã thay đổi rõ rệt như sau:
Tỉ lệ học sinh giải đúng Tỉ lệ học sinh giải đúng ít
cả 3 bài
nhất 1bài .

70-77%
92-95%

Tỉ lệ học sinh không
làm được bài
3-5%

3.2. Bài học kinh nghiệm
Do kiến thức về phần hình chiếu vuông góc này chỉ được lồng ghép trong
bài “ Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng” mà thời lượng của bài này trong
phân phối chương trình của cả hai ban nâng cao và cơ bản đều hạn hẹp( 2 tiết),
=========================================================
Trường THPT LÊ HOÀN
13


Sáng kiến kinh nghiệm
Năm học: 2016 – 2017
========================================================
=
vì vậy để áp dụng được sáng kiến kinh nghiệm này thì thời gian chủ yếu là bố trí
vào các tiết tự chọn đối với học sinh lớp 11, đối với lớp 12 thì được bố trí dạy
vào các buổi ôn tập.
3.3.Đề xuất.
Mặc dù đề tài này tôi nghiền ngẫm, đúc rút kinh nghiệm và vận dụng trong
giảng dạy ở nhiều năm, cũng đã giúp được những điều bổ ích cho học sinh học
tập tốt hơn. Xong chắc chắn còn phải tiếp tục được hoàn thiện, bổ xung thêm
mới đạt được độ hoàn chỉnh cao. Vậy tôi rất mong được sự góp ý chân tình của
các em học sinh và các bạn đồng nghiệp.
Xác nhận của đơn vị

Thọ Xuân, tháng 4 năm 2017
Tôi xin cam đoan
SKKN này là do mình viết,
không sao chép ở bất cứ tài
liệu nào.
Người viết:
Đỗ Thị Dịu

=========================================================
Trường THPT LÊ HOÀN
14


Sáng kiến kinh nghiệm
Năm học: 2016 – 2017
========================================================
=

Tài liệu tham khảo
[1]. Sách giáo khoa hình học nâng cao 11- Bộ GD&ĐT.

=========================================================
Trường THPT LÊ HOÀN
15


Sáng kiến kinh nghiệm
Năm học: 2016 – 2017
========================================================

=

DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Đỗ Thị Dịu.
Chức vụ và đơn vị công tác:Tổ phó tổ chuyên môn- Trường THPT Lê Hoàn.

TT

1.

2.

Tên đề tài SKKN

Một số ứng dụng của tích vô
hướng
Rèn luyện kỹ năng xác định
góc giữa hai mặt phẳng thông
qua hoạt động giải một số bài

Kết quả
Cấp đánh
đánh giá
giá xếp loại
xếp loại
(Phòng, Sở,
(A, B,

Tỉnh...)
hoặc C)
Sở GD&
ĐT Thanh
C
Hóa
Sở GD&
ĐT Thanh
Hóa

C

Năm học
đánh giá xếp
loại
2011-2012

2014-2015

toán
----------------------------------------------------

=========================================================
Trường THPT LÊ HOÀN
16