Hướng dẫn học sinh ôn tập phương pháp toạ độ trong mặt phẳng bằng cách tự ra đề bài 2

Mục lục
Tran
g
1. Mở đầu ……………………………………………………….......……

1

1.1. Lý do chọn đề tài ……………………………………………….

1

1.2. Mục đích nghiên cứu …………………………………………...

1

1.3. Đối tượng nghiên cứu …………………………………………..

1

1.4. Phương pháp nghiên cứu ………………………………………

1

2. Nội dung sáng kiến …………………………………………………….

1

2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến ……………………………………

1

2.2. Thực trạng ………………………………………………………

2

2.3. Các giải pháp …………………………………………………..

2

2.3.1. Cách tổ chức thực hiện …………………………..……...

2

2.3.2. Một số bài toán thường gặp:.……………………………..

3

Bài toán 1…………………………….…………………………..

3

Bài toán 2 ………………………………………………………..

4

Bài toán 3 ………………………………………………………..

5

Bài toán 4 ………………………………………………………..

6

Bài toán 5 ………………………………………………………..

8

2.4. Hiệu quả của sáng kiến …………………………………………

9

3. Kết luận, kiến nghị …………………………………………………….

10

Tài liệu tham khảo

11

Danh mục các đề tài SKKN đã được Hội đồng Cấp phòng GD&ĐT, Cấp
Sở GD&ĐT và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C trở lên

11


1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong quá trình đổi mới chương trình giáo dục, đổi mới phương pháp dạy
học theo hướng tích cực là một trong những vấn đề quan trọng hàng đầu. Cơ sở
của việc dạy học tích cực là lấy học sinh làm trung tâm, dưới sự hướng dẫn của
giáo viên học sinh tự nghiên cứu tìm ra kiến thức.

Trong hầu hết các kiến thức toán THPT nói chung và phần toạ độ phẳng nói
riêng, học sinh chỉ được tiếp thu các kiến thức, các dạng bài tập theo khuôn mẫu
mà sách giáo khoa và thầy cô yêu cầu. Từ đó làm giảm hứng thú học tập cũng
như khả năng sáng tạo của học sinh, dẫn đến hậu quả là học sinh làm được bài
tập trong thời điểm vừa học xong nhưng chỉ cần một thời gian ngắn là các em
quên ngay kiến thức.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Sáng kiến kinh nghiệm này nhằm mục đích tạo hứng thú học toán cho học
sinh, cũng như việc củng cố, khắc sâu kiến thức về toạ độ phẳng cho các em.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
SKKN này đề cập đến việc ôn tập phần Phương pháp toạ độ trong mặt
phẳng (Sách giáo khoa Hình học 10 của Nhà xuất bản Giáo dục năm 2006 )
bằng cách học sinh tự ra đề theo định hướng của giáo viên.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Luật Giáo dục, điều 28.2, đã ghi: Phương pháp giáo dục phổ thông phải
phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc
điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ
năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui,
hứng thú học tập cho học sinh [1]. Có thể nói cốt lõi của đổi mới dạy và học là
hướng tới hoạt động học tập chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động của
học sinh.
Trong sách giáo khoa Hình học 10 của Nhà xuất bản Giáo dục năm 2006
trang 46 có bài toán: “ Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho bốn điểm A(7; -3) ,
B(8; 4),C(1; 5),D(0; -2). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông” [2] .
Đây là bài toán tương đối dễ với đa số học sinh. Tuy nhiên nếu yêu cầu ngược
lại: “Tìm toạ độ bốn điểm A, B, C, D sao cho bốn điểm đó lập thành một hình
vuông” thì không phải học sinh nào cũng trả lời được ngay. Ngay cả với giáo

viên cũng không phải ngay lập tức đưa được ra kết quả mà họ cũng phải vận

Trang 1


dụng nhiều kiến thức khác nhau để tìm toạ độ bốn điểm này. Như vậy để ra được
một đề bài thoả mãn yêu cầu nào đó, người giáo viên phải nắm rất vững các kiến
thức liên quan.
Bây giờ ta tập cho học sinh làm giáo viên thì sao? Tức là học sinh sẽ tự ra
đề, trái ngược với việc lâu nay các em làm là giải đề. Về mặt suy nghĩ chắc chắn
các em sẽ rất tò mò, thích thú được làm việc mà lâu nay thầy cô đã làm. Về mặt
kiến thức, khi đã ra được một đề toán rồi thì một cách rất tự nhiên toàn bộ kiến
thức liên quan đến đề bài đấy các em sẽ nắm rất vững.
Để thực hiện sáng kiến này thì giáo viên sẽ cho học sinh sẽ làm việc nhóm
với nhau dưới dạng làm một bài tiểu luận. Sau đó các em sẽ được trình bày
trước lớp, có sự phản biện của giáo viên và các học sinh khác. Việc làm này giúp
học sinh phát huy khả năng làm việc nhóm, khả năng phối hợp giữa các cá nhân,
khả năng phát biểu trước đám đông, tránh được hiện tượng ỷ lại, lười nhác.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Rất nhiều học sinh miền núi, vùng cao ngại và rất kém khi học hình học.
Với kiến thức mang nhiều tính trừu tượng thì học sinh gần như đã bị mất gốc
hình học từ cấp THCS. Vì vậy khi nói đến học hình học thì học sinh xuất hiện
ngay tâm lý chây lười, phó mặc.
Học sinh dễ quên kiến thức. Mặc dù khi vừa học xong các em làm rất tốt
bài tập nhưng sau thời gian ngắn các em lại quên kiến thức hoặc không nhớ cách
giải bài tập nữa.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải
quyết vấn đề.
2.3.1. Cách tổ chức thực hiện
- Giáo viên chia lớp khảo sát thành nhóm nhỏ 4 đến 6 người. Trong mỗi

nhóm cố gắng chọn một học sinh có kiến thức tương đối tốt làm nhóm trưởng và
để em này tự chọn các thành viên của nhóm.
- Giáo viên giao nhiệm vụ cho mỗi nhóm: Giáo viên ra một bài tập về phần
phương pháp toạ độ trong mặt phẳng, ví dụ như: cho ba điểm A(2; 3),
B(-1; 2), C (−7;0) . Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A. Yêu cầu học
sinh thực hiện lời giải xong và giao nhiệm vụ cho học sinh: “các em hãy ra một
đề bài tương tự như vậy”.
- Cho học sinh thời gian tự thảo luận, suy nghĩ. Việc này các em có thể làm
ở nhà trong lúc học nhóm với nhau. Giáo viên có thể gợi ý cho các nhóm nếu
các em không tìm được phương pháp làm.
- Giáo viên chọn tiết tự chọn hoặc một buổi sinh hoạt ngoại khoá để cho
các nhóm trình bày phương pháp làm cũng như cách kiểm tra tính đúng đắn của

Trang 2


đề bài. Mỗi nhóm trình bày xong thì các thành viên khác của lớp có thể thảo
luận, phản biện hoặc đưa ra cách làm khác…
- Cuối cùng giáo viên chốt lại vấn đề, nhấn mạnh cách làm các bài toán,
nhận xét từng nhóm và cho điểm.
2.3.2. Một số dạng toán thường gặp.
Bài toán 1: Tìm toạ độ ba điểm A, B, C sao cho ba diểm đấy tạo thành một tam
giác?
a. Phương pháp tham khảo.
Cách 1:
- Lấy hai điểm A, B bất kỳ
- Viết phương trình đường thẳng AB.
- Lấy điểm C không nằm trên đường thẳng AB.
Cách 2:
- Lấy hai điểm A, B tuỳ ý.

uuur
uuur
- Gọi C(x; y). Ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác khi AC và AB
không cùng phương.
- Suy ra mối qua hệ giữa x, y.
b. Ví dụ:
Cách 1:
- Lấy A(2, 3), B(3; -1) tuỳ ý.
- Phương trình đường thẳng AB là: 4x + y – 11 = 0
- Lấy C(0; 10) không nằm trên AB.
- Ta được tam giác ABC.
Cách 2:
- Lấy A(2, 3), B(3; -1) tuỳ ý.
uuur
uuur
- Gọi C(x; y). Ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác khi AC và AB
không cùng phương.
uuur
AC = ( x − 2; y − 3)
uuur
AB = (1; −4)
uuur
uuur
x−2 y −3
≠
⇒ 4 x + y − 11 ≠ 0
Vì AC và AB không cùng phương suy ra
1
−4
Cho x = 0 suy ra y ≠ 11. Chọn y = 10. Được C(0; 10)

c. Nhận xét:
- Hai cách này là tương tự nhau, tuy nhiên mỗi cách làm sử dụng các kiến
thức khác nhau vì vậy giáo viên nên hướng học sinh làm theo cả hai cách để các
em có cơ hội ôn lại kiến thức.

Trang 3


- Để làm được bài toán này học sinh cần nắm vững: cách viết phương
trình đường thẳng qua hai điểm, cách kiểm tra quan hệ thuộc giữa điểm và
đường thẳng, cách kiểm tra véctơ cùng phương không cùng phương.
Bài toán 2: Tìm toạ độ ba điểm A, B, C sao cho ba điểm A, B, C lập thành một
tam giác vuông?
B
a. Phương pháp tham khảo.
Cách 1:
- Lấy hai đường thẳng d1, d2 sao cho d1 ⊥ d 2 .
- Tìm giao điểm A của d1, d2
A
d2
C
- Lấy B, C lần lượt trên d1, d2 sao cho
B, C khác A.
d1
- Ta được tam giác ABC vuông tại A.
Cách 2:
- Lấy A, B bất kỳ.
- Viết phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc với AB.
- Lấy trên (d) điểm C khác A.

- Ta được tam giác vuông tại A.
C
b. Ví dụ:
Cách 1:
Lấy (d1): 2x – y – 1 = 0; (d2): x + 2y -3 = 0
Toạ độ của A là nghiệm của hệ phương trình:
2 x − y − 1 = 0

x + 2 y − 3 = 0

A

B

d

⇒ A(1;1)

Lấy B(2;3) ∈ (d1 ) , C (5; −1) ∈ (d 2 ) . Ta được tam giác ABC vuông tại A.
Cách 2:
Lấy A(2; 3), B(-1; 2) tuỳ ý
Phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc với AB là:
x – 3y + 7 = 0
Lấy điểm C (−7;0) ∈ (d ) ta được tam giác ABC vuông tại A.
c. Nhận xét:
- Phương pháp này giúp học sinh phân biệt rõ hai véctơ chỉ phương và véctơ
pháp tuyến, từ đó các em sẽ làm tốt bài toán viết phương trình đường thẳng đi
qua một điểm và vuông góc với đường thẳng cho trước.

Trang 4

- Trong quá trình thực hiện, học sinh có thể lấy điểm A là gốc toạ độ hai điểm B,
C lần lượt nằm trên hai trục toạ độ. (Trường hợp này tôi đã gặp 2 trên 3 lần thử
nghiệm). Giáo viên có thể từ trường hợp cụ thể này mà dẫn đến phương pháp
tổng quát như trên.
- Khi học sinh thực hiện được bài toán này, một cách rất tự nhiên các em sẽ nắm
vững được các dạng toán sau: vị trí tương đối của hai đường thẳng, viết phương
trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng cho trước, tìm
toạ độ giao điểm của hai đường thẳng, điểm thuộc đường thẳng.
- Với mỗi cách chọn hai điểm B, C ở cách 1 và chọn điểm C ở cách 2 ta sẽ được
một tam giác vuông. Từ đó học sinh có thể tìm được vô số các tam giác thoả
mãn yêu cầu bài toán từ cách làm trên.
Bài toán 3: Tìm toạ độ ba điểm A, B, C sao cho tam giác ABC là tam giác cân?
a. Phương pháp tham khảo.
Cách 1:
- Lấy hai điểm A, B bất kỳ.
C
- Viết phương trình đường thẳng trung trực
(d) của AB
- Lấy trên (d) điểm C bất kỳ không thuộc
d
đường thẳng (AB).
B
- Khi đó ta được tam giác ABC cân tại C.
A
I
Cách 2:
d
- Lấy hai điểm A, B tuỳ ý.

- Gọi C(x; y). Vì tam giác ABC cân nên CA = CB.
(Giả sử cần tam giác ABC cân tại C). Suy ra mối quan hệ giữa x, y.
- Lấy x, y thoả mãn mối quan hệ trên và x, y không thoả mãn phương trình
AB để được được điểm C.
b. Ví dụ:
Cách 1:
- Lấy A(3; 4) , B(5; -2) tuỳ ý.
- Trung điểm I của AB là: I(4; 1).
- Đường thẳng (d) qua I vuông góc với AB có phương trình: x – 3y – 1 =
0
- Lấy C (−2; −1) ∈ d và C không trùng với I.
- Ta được tam giác ABC cân tại C.
Cách 2:
- Lấy A(3; 4), B(5; -2) tuỳ ý.

Trang 5


- Gọi C(x; y). Vì tam giác ABC cân tại C nên ta có
CA = CB ⇒ (3 − x ) 2 + (4 − y ) 2 = (5 − x ) 2 + (−2 − y ) 2
⇒ x − 3y −1 = 0

- Cho x = −2 ⇒ y = −1 ta được C(-2; -1). Vì A, B, C không thẳng hàng nên
C không nằm trên đường thẳng AB.
- Ta được tam giác ABC cân tại C.
c. Nhận xét:
- Hai cách này thực ra là một, giáo viên có thể dẫn dắt để học sinh thấy được
điều đó qua mối quan hệ giữa x, y ở cách 2. Tuy nhiên mỗi cách làm lại vận
dụng các kiến thức khác nhau do đó giáo viên nên yêu cầu học sinh thực hiện
theo cả hai cách. Giáo viên cũng có thể nhắc đến một cách khác để viết phương

trình đường trung trực của một đoạn thẳng thông qua cách 2.
- Với việc thực hiện được bài toán này học sinh sẽ thành thạo các dạng toán: viết
phương trình đường thẳng trung trực của một đoạn thẳng, tìm tập hợp điểm C
cách đều hai điểm cho trước, nhớ lại được tính chất đường trung trực của đoạn
thẳng.
- Với các tam giác đặc biệt khác như tam giác đều, tam giác vuông cân ta dựa
vào hai bài toán trên và thêm những điều kiện xác định các tam giác đó để tìm
điểm C. Ví dụ như tam giác ABC đều là tam giác cân tại C và thêm điều kiện
CA = AB; tam giác ABC vuông cân tại C là tam giác vuông tại C và thêm điều
kiện CA = CB.
Bài toán 4: Tìm toạ độ bốn điểm A, B, C, D sao cho tứ giác ABCD là hình bình
hành?
a. Phương pháp tham khảo.
a
b
Cách 1:
c
B
- Lấy hai đường thẳng a, b sao cho a // b
A
- Lấy hai đường thẳng c, d sao cho c // d
và c không
d
C
D
song song với a
- Tìm toạ độ giao điểm A, B, C, D lần lượt của
a và c, b và c, b và d, a và d.
A
D

Cách 2:
- Lấy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
E
- Dựa vào tính chất của hình bình hành
(Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi
đường, hoặc AD//BC) suy ra toạ độ điểm D.
B

C

Trang 6


b. Ví dụ:
Cách 1:
- Lấy (a): x + y -1 =0; (b): 2x + 2y - 4 = 0
- Lấy (c): 3x + 4y – 4 = 0; (d): 3x + 4y – 3 = 0.
- Toạ độ của A là nghiệm của hệ phương trình
x + y −1 = 0
x = 0
⇔
⇒ A(0;1)

3 x + 4 y − 4 = 0
y =1

- Toạ độ của B là nghiệm của hệ phương trình
x + y −1 = 0
x = 1
⇔

⇒ B (1;0)

3 x + 4 y − 3 = 0
y = 0

- Toạ độ của C là nghiệm của hệ phương trình
2 x + 2 y − 4 = 0
x = 5
⇔
⇒ C (5; −3)

3 x + 4 y − 3 = 0
 y = −3

- Toạ độ của D là nghiệm của hệ phương trình
2 x + 2 y − 4 = 0
x = 4
⇔
⇒ D(4; −2)

3 x + 4 y − 4 = 0
 y = −2

Vậy A(0; 1), B(1; 0), C(5; -3), D(4; -2)
Cách 2:
- Lấy ba điểm không thẳng hàng A(3; 4), B(2; 2), C(1; -2)
- Trung điểm E của AC là E(2; 1)
- Vì ABCD là hình bình hành nên E là trung điểm của BD. Suy ra toạ độ
của D là D(2; 0)
- Vậy A(3; 4), B(2; 2), C(1; -2), D(2; 0)

c. Nhận xét:
- Trong các bài toán này nếu học sinh lấy phương trình hai đường thẳng
(c), (d) bất kỳ thì kết quả có thể là những số không nguyên. Giáo viên có thể
hướng dẫn học sinh cách để có những điểm có toạ độ là những số nguyên, bằng
cách chọn trên (a) và (b) những điểm A, B, D có toạ độ nguyên trước, sau đấy
viết phương trình đường thẳng (c) qua A, B; đường thẳng (d) qua D và song
song với (c). Như vậy ít nhất ta có 3 điểm A, B, D có toạ độ nguyên.
- Nếu học sinh thắc mắc chỉ tìm được một hình bình hành mà mất công vậy thì
giáo viên có thể hướng dẫn các em tìm thêm nhiều hình bình hành khác từ kết
quả trên bằng cách “dịch chuyển” đồng thời điểm B và C ( hoặc A, D hoặc A, B
hoặc C, D) theo hướng song song với a (hoặc b) một đoạn có cùng độ dài. Đây
là khái niệm tịnh tiến mà các em sẽ học ngay sau phần này.

Trang 7


Bài toán 5: Tìm toạ độ bốn điểm A, B, C, D sao cho tứ giác ABCD là hình chữ
nhật?
a. Phương pháp tham khảo.
Cách 1:
- Tìm ba điểm A, B, D sao cho ba điểm đấy tạo thành tam giác vuông.
- Tìm điểm C để tứ giác ABCD là hình bình hành.
Cách 2:
- Lấy hai đường thẳng a, b sao cho a // b
a
b
- Lấy hai đường thẳng c, d sao cho c // d và một
c
A
B

trong hai đường này vuông góc với a hoặc b.
- Tìm toạ độ giao điểm A, B, C, D
d
của các đường trên.
C
D
b. Ví dụ:
Cách 1:
- Lấy A(1; 1), B(3; 5), D(5; -1) tạo thành một tam giác vuông tại A.
- Trung điểm của BD là: I(4; 2).
- I là trung điểm của AC. Suy ta C(7; 3)
Cách 2:
- Lấy (a): 2x – y – 1 = 0;
(b): 2x – y +4 = 0;
(c): x + 2y + 17 = 0;
(d): x + 2y – 3 = 0.
- Toạ độ giao điểm các đường trên là: A(1; 1), B(-3; -7), C(-5; -6),
D(-1; 2)
c. Nhận xét:
- Với bài toán: tìm toạ độ bốn điểm A, B, C, D sao cho tứ giác ABCD là
hình vuông, ta làm hoàn toàn tương tự như bài này nhưng thêm điều kiện
AB = CD.
- Trong chương trình toán THPT có rất nhiều dạng toán giáo viên có thể
yêu cầu học sinh làm việc này như phần phương trình lớp 10, lượng giác lớp 11,
dãy số lớp 11, hàm số lớp 12, mũ logarit lớp 12, …
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Một điều rất thú vị là sau khi tự tin trình bày trước lớp nội dung bài toán
được giao các em mạnh dạn, thoải mái hơn hẳn trong học tập, hay thắc mắc

Trang 8


những chỗ chưa hiểu, mạnh dạn đưa ra những suy nghĩ của mình về một vấn đề
nào đấy. Đây chính là một biểu hiện của tính tích cực, sự ham học hỏi của học
sinh.
Tôi đã thực hiện sáng kiến này tại 3 lớp mình dạy: Lớp 10B7 ( Năm học
2010 - 2011), Lớp 10A2 ( Năm học 2014 - 2015 ), Lớp 10C4 ( Năm học 2015 2016 ). Tôi nhận thấy, so với các lớp tôi không thực nghiệm sáng kiến này thì
điểm kiểm tra một tiết phần hình học toạ độ phẳng của các lớp trên cao hơn hẳn.
Hơn nữa sang năm lớp 11, khi học về các phép biến hình trong mặt phẳng nếu
gặp bài toán liên quan đến toạ độ phẳng thì hầu như các em vẫn nhớ rất tốt các
kiến thức cũng như các bài toán liên quan. Sau đây là bảng thống kê điểm kiểm
tra một tiết chương 3 hình học 10 của lớp 10C4 (lớp thực nghiệm sáng kiến) và
lớp 10C6, 10C5 ( lớp không thực nghiệm sáng kiến).
Sĩ số

Giỏi

Khá

SL

%

SL

TB
%

SL

Yếu

Kém

%

SL

%

SL

%

10C4

40

4

10%

25 62,5%

11 27,5%

0

0%

0

0%

10C5

38

1

2,6%

8

21,1%

27 71%

2

5,3%

0

0%

10C6

32

0

0%

7

21,9%

14 43,7%

11 34,4%

0

0%

Trang 9


3. Kết luận, kiến nghị.
- Kết luận: Khi học sinh được chủ động tìm hiểu kiến thức, được trao đổi
thảo luận với nhau thì các em sẽ nắm vững được các nội dung liên quan đến vấn
đề đấy. Đặc biệt hơn khi các em được đóng vai trò là giáo viên; người truyền thụ
kiến thức thì ngoài sự háo hức, hăng say trong học tập các em còn có được sự tự
tin, năng động trong giao tiếp với bạn bè cũng như trong cuộc sống hàng ngày.
- Kiến nghị: Triển khai các sáng kiến kinh nghiệm có hiệu quả cao hàng
năm để mọi người có thể học tập, vận dụng vào công tác hàng ngày.

XÁC NHẬN CỦA

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20/5/2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

NGUYỄN VĂN CƯỜNG

Trang 10


Tài liệu tham khảo:
[1]. Luật giáo dục năm 2005 ( Luật số: 38/2005/GH11)
[2]. Sách giáo khoa Hình học 10, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng
Hy ( Chủ biên), Nguyễn Văn Đoành, Trần Đức Huyên của Nhà xuất bản Giáo
dục năm 2006.
Danh mục các đề tài SKKN đã được Hội đồng Cấp phòng GD&ĐT, Cấp Sở
GD&ĐT và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C trở lên. Không có.

Trang 11