BÀI TẬP HÀM LƯỢNG GIÁC

-Đại số 11

A. BÀI TẬP HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
• Phương pháp Sử dụng các điều kiện sau:

1) D được gọi là TXĐ của hs y = f ( x) ⇔ D = { x ∈ ¡ | f ( x) có nghĩa}
2)

A
có nghĩa khi B ≠ 0 ;
B

A có nghĩa khi A ≥ 0 ;

3) −1 ≤ s inx ≤ 1 ; -1 ≤ cosx ≤ 1

A
có nghĩa khi B > 0
B

1 ± s inx ≥ 0 &1 ± cos x ≥ 0

4) Các giá trị đặc biệt :
• sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ , k ∈ ¢

• cosx ≠ 0 ⇔ x ≠

π
+ k 2π , k ∈ ¢

2
π
• s inx ≠ -1 ⇔ x ≠ − + k 2π , k ∈ ¢
2

π
+ kπ , k ∈ ¢
2

• cosx ≠ 1 ⇔ x ≠ k 2π , k ∈ ¢

• s inx ≠ 1 ⇔ x ≠

• cosx ≠ -1 ⇔ x ≠ π + k 2π , k ∈ ¢

5) +) Hàm số y = tanx xác định khi x ≠

π
+ kπ , k ∈ ¢
2

+) Hàm số y = cotx xác định khi x ≠ kπ , k ∈ ¢

Bài tập áp dụng: Tìm tập xác định của các hàm số sau
1) y = cosx + sinx

+2) y = cos

+4) y = cos x − 3x + 2

+5) y =

2

1 + cosx
1-sinx
1
1
−
+10) y =
s inx 2cosx

7) y =

13. y = cot (x + π/3)
+16 y =

tan x + 3
sin 3x

+19. y = tan x + cot x

x +1
x+2

3) y = sin x + 4

2
cos2x

6) y =

π
)
4
1 + cos x
11. y =
sin x
cos x + 3
+14. y =
sin x + 1

8) y = tan(x +

9) y = cot(2x -

12 y =

tan x
3 + cos x

1 + tanx
cos x − 1
cot x
+ 21. y =
sin x − 1

18. y =

1 − cos x

1 + cos x

Làm quen trắc nghiệm:
GV.Nguyễn văn Phép (sưu tầm)

π
)
3

15. y = tan (π/3 – 3x)

17.. y = 1 + cos x
20. y =

2 − s inx

1


-Đại số 11

Câu 1: Điều kiện xác định của hàm số y =
A. x ≠ kπ

B. x ≠ k 2π

1
là
sin x − cos x
π

C. x ≠ + kπ
2

Câu 2: Tập xác định của hàm số y = cos x là
A. ( 0 ; + ∞ )
B. [ 0 ; + ∞ )
C. R
Câu 3: Điều kiện xác định của hàm số y =
A. x ≠

π
+ k 2π
2

B. x ≠

π
+ kπ
2

D. x ≠

π
+ kπ
4

D. R \ { 0}

1 − sin x
là

cos x

π
2

C. x ≠ − + k 2π

D. x ≠ kπ

π

Câu 4: Điều kiện xác định của hàm số y = tan  2x − ÷ là

A. x ≠

π kπ
+
6 2

B. x ≠

5π
+ kπ
12



3
π
C. x ≠ + kπ

2

D. x ≠

5π
π
+k
12
2

Dạng 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác
Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx
2
sin2(-x) = [ sin(-x) ] = (-sinx)2 = sin2x

Phương pháp:

Bước 1 : Tìm TXĐ D của hàm số f (x)
Bước 2 : Chứng minh D là tập đối xứng, nghĩa là ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D,
Bước 3 : Tính f(-x) , so sánh với f(x) . Có 3 khả năng:
+ ) f (− x) = f (x) → f ch½
n
+ ) f (− x) = − f (x) → f lÎ

+ ) Cã x0 ®Ó f (− x0 ) ≠ ± f (x0 ) → f kh«ng ch¼
n,kh«ng lÎ

Bài tập áp dụng : Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau
1) y = -2cosx
2) y = sinx + x

3) y = sin2x + 2
4) y =

1 2
tan x
2

5) y = sin x + x2

6) y = cos 3x

7. y = sin 2x
8. y = –2 + 3cos x
10. y = tan x sin x 11. y = cos x – sin |x|

9. y = cos x – sin x
12.. y = cot x |sin x|

Làm quen trắc nghiệm

Câu 1. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn trên R?
A. y = x.cos2x

B. y = (x2 + 1).sinx

C. y =

cos x
1+ x2

D. y =

tan x
1+ x2

Câu 2. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ trên tập xác định của nó?
A. y =

sin x
1 − sin x

B. y =

GV.Nguyễn văn Phép (sưu tầm)

sin 2 x
1 + cos x

C. y =
2

cos x
x + x2

D. y =

tan x
1 + sin 2 x

-Đại số 11

Câu 3. Biết rằng y = f(x) là một hàm số lẻ trên tập xác định D. Khẳng định nào sai?
A. f[sin(– x)] = – f(sinx)

B. f[cos(– x)] = f(cosx)

C. sin[ f(– x)] = sin[ f(x) ]

D. cos[ f(– x)] = cos[ f(x) ]

Dạng 3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác
Sử dụng các t/c sau :
−1 ≤ s inx ≤ 1 ; -1 ≤ cosx ≤ 1 ; 0 ≤ sin2 x ≤ 1 ; A2 + B ≥ B
•
•
−1 ≤ − s inx ≤ 1, − 1 ≤ −cosx ≤ 1;0 ≤ cos 2 x ≤ 1
ax f ( x) = f (b) ; min f ( x) = f ( a)
• Hàm số y = f(x) luôn đồng biến trên đoạn [ a ; b ] thì m
[ a ; b]
[ a ; b]
ax f ( x) = f (a ) ; min f ( x) = f (b)
• Hàm số y = f(x) luôn nghịch biến trên đoạn [ a ; b ] thì m
[ a ; b]
[ a ; b]
• − a 2 + b 2 ≤ a sin x + b cos x ≤ a 2 + b 2
Bài tập áp dụng: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
π
2

π
3

1
cos2x
2

1) y = 2sin(x- ) + 3

2) y = 3 –

4) y = 1 + cos(4x 2 ) - 2

5) y = 2 s inx + 3

3) y = -1 - cos 2 (2x + )
6) y = 5cos x +

7) y = sin 2 x − 4s inx + 3
Chú ý :
Bài 2*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
 π

π

 π



1) y = sinx trên đoạn  − ; − 

 2 3
3) y = sinx trên đoạn  − ;0
 2 

8) y =

π
4

4 − 3cos 2 3 x + 1

 π π

2) y = cosx trên đoạn  − ; 
 2 2
1 3

4) y = cos π x trên đoạn  ; 
4 2

Câu 1: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = 3sin 2 x − 5 lần lượt là:
A. −8 và − 2

B. 2 và 8

C. −5 và 2

D. −5 và 3
π
4

Câu 2: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = 7 − 2 cos( x + ) lần lượt là:
A. −2 và 7

B. −2 và 2

C. 5 và 9

D. 4 và 7

Câu 3: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = 4 sin x + 3 − 1 lần lượt là:
A. 2 và 2

B. 2 và 4

C. 4 2 và 8

D. 4 2 − 1 và 7

Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin 2 x − 4sin x − 5 là:
A. −20

B. −9

C. 0

Câu 5: Giá trị lớn nhất của hàm số y = 1 − 2 cos x − cos 2 x là:
GV.Nguyễn văn Phép (sưu tầm)

3

D. – 8


-Đại số 11
A. 2

B. 5

C. 0

D. 3

Câu 6. GTNN và GTLN của hàm số y = 5cos2x – 12sin2x + 4 bằng:
A. – 9 và 17
B. 4 và 15
C. – 10 và 14
D. – 4 và 8
Câu 7. Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = ( 2 sin x + cos x )( 2 cos x − sin x ) .
1
1
và −
2
2
π

Câu 8. GTLN và GTNN của hàm số y = − cos 2 x +  trên đoạn
3


A.

A.

5
5
và −
2
2

1
1
và −
2
2

B.

7
7
và −
2
2

B. 1 và −

C.

1
2

Câu 9: Tập xác định của hàm số y =

C.

1
và − 1
2

D. 5 và 1
 2π π 
− 3 ; 3  là:

D. 1 và − 1

tan x
là:
cos x − 1

π

x ≠ + kπ

π

2
A. x ≠ k 2π
B. x = + k 2π
D. 
3

 x ≠ π + kπ

3
Câu10: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = 3sin 2 x − 5 lần lượt là:
A. −8 và − 2
B. 2 và 8
C. −5 và 2
D. −5 và 3
π
Câu 11: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = 7 − 2 cos( x + ) lần lượt là:
4
−
2
v
à
7
−
2
v
à
2
5
v
à
9
4
A.
B.
C.
D. và 7

π

 x ≠ + kπ
2
C. 
 x ≠ k 2π

Câu 12: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = 4 sin x + 3 − 1 lần lượt là:
A. 2 và 2
B. 2 và 4
C. 4 2 và 8
D. 4 2 − 1 và 7
Câu 13: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin 2 x − 4sin x + 2 là:
A. −20
B. −1
C. 0
Câu 14: Giá trị lớn nhất của hàm số y = 4 − 2cos x − cos 2 x là:
A. 2
B. 5
C. 0
Câu 15: Tập xác định của hàm số y =
A. x ≠ k 2π

B. x ≠ kπ

Câu 16: Tập xác định của hàm số y =
A. x =

π
+ kπ

2

B. x = k 2π

GV.Nguyễn văn Phép (sưu tầm)

2sin x + 1
là
1 − cos x

C. x ≠

π
+ kπ
2

D. 9
D. 3

D. x ≠

π
+ k 2π
2

cot x
là:
cos x

C. x = kπ

4

D. x ≠ k

π
2


-Đại số 11

GV.Nguyễn văn Phép (sưu tầm)

5