Đề thi ĐH tự luyện số 1

Trờng thpt đề luyện thi đại học. số 1
bắc yên thành Môn Toán Khối A. Thời gian làm bài 180 phút
Câu I. (2 điểm)
Cho hàm số
2
x mx 8
y
x m
+
=

có đồ thị (C
m
).
1) Khảo sát hàm số khi m =0.
2) Tìm m để đồ thị (C
m
) cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt. Chứng tỏ rằng hệ số góc
của tiếp tuyến tại các giao điểm đó đợc tính theo công thức
2x m
k
x m

=
=
.
Câu II. (2 điểm)
1) Giải phơng trình:
2
2
1 3 2x x

x 1 3 x
= + +
+ +
2) Giải hệ phơng trình:
x y
2
2 1
2
x y e e
log x 3log y 2 0

=


+ + =


Câu III. (2 điểm)
1) Giải phơng trình:
1
cos3xsin 2x cos4x sin x sin 3x 1 cosx
2
= + +
2) Tìm x>0 thỏa mãn:
x
2 t
2
0
t e
dt 1

(t 2)
=
+

Câu IV. (3 điểm)
1) Cho họ đờng tròn có phơng trình:
2 2
x y 2(m 1)x 4my 5 0+ + =
. Tìm điểm
cố định mà họ đờng tròn luôn đi qua khi m thay đổi và tìm tập hợp các điểm có
cùng phơng tích đối với mọi đờng tròn của họ đờng tròn đã cho.
2) Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A.
cạnh BC = 2a. Gọi M là điểm bất kì trên cạnh AA. Đặt
ã
BMC =
, góc giữa
(MBC) và (ABC) là . Chứng minh rằng
2
1 2
1
cos tg
=

Câu V. (1 điểm) Trong khai triển
21
3
3
a b
b a

+
ữ

tìm số hạng chứa a, b có số mũ bằng
nhau.
Biên soạn đề: Ths. Nguyễn Bá Thủy
Đáp án đề luyện thi số 1
Môn: Toán. Khối A Thời gian làm bài 180 phút.
Câu ý Nội dung Điểm
I I.1)
Với m =0 ta có hàm số:
2
x 8
y
x

=
(Hs tự khảo sát)
Đồ thị:
K/s:
0.75đ
Đồ thị:
0.25đ
I.2)
Xét phơng trình y = 0
2
2
x mx 8 0
x mx 8
0

x m
x m

+ =
+
=




(*)
Đồ thị hàm số cắt Ox tại 2 điểm phân biệt Hệ (*) có 2 nghiệm x phân biệt

m 2
.
Ta có
2 2
2
x 2mx 8 m
y'
(x m)
+
=

Khi đó gọi (x; y) là tọa độ giao điểm thì hệ số góc k của tiếp tuyến tại giao điểm là:
2 2 2 2 2
2 2
x 2mx 8 m x 2mx 8 m (x mx 8) 2x m
k
(x m) (x m) x m

+ + + + +
= = =

0.25
0.25
0.5
II II.1)
Giải bất phơng trình:
2
2
1 3 2x x
x 1 3 x
= + +
+ +
(1)
Điều kiện:
1 x 3
Đặt
t x 1 3 x= + +
. Phơng trình đã cho trở thành:
2
2 t 4
1
t 2

= +
2
(t 2)(t 2t 2) 0 t 2 + = =
.
Với t =2, ta có:

2
x 1
x 1 3 x 2 3 2x x 0
x 3
=

+ + = + =

=

(t/m các đk)
0.25
0.25
0.5
II.2)
Giải hệ phơng trình:
x y
2
2 1
2
x y e e
log x 3log y 2 0

=


+ + =


Điều kiện: x, y>0

Có
x y x y
x y e e x e y e = =
(1)
Xét hàm số
t
f (t) t e=
(t>0) có
t
f '(t) 1 e 0, t 0= < >
, suy ra f(t) nghịch biến trên
(0;+) Do đó từ (1) ta có f(x) = f(y) với x>0, y>0 x = y.
Thay vào phơng trình thứ 2 của hệ ta đợc:

2
2
2 2
2
log x 1
x 2
log x 3log x 2 0
log x 2 x 4
=
=


+ =


= =

Với x = 2 y = 2; x = 4 y = 4. Thử lại thấy đúng
Vậy hệ đã cho có nghiệm (x; y) là (2; 2) và (4; 4)
0.25
0.5
0.25
III III.1)
Giải phơng trình:
1
cos3x sin 2x cos 4x sin x sin 3x 1 cos x
2
= + +
(1)
Ta có
( ) ( )
1 1 1
(1) sin 5x sin x sin 5x sin 3x sin 3x 1 cos x
2 2 2
= + +
2 2
sin x 0 sin x 0
sin x 2 1 cos x
sin x 4(1 cos x) cos x 4cos x 3 0
sin x 0
x k2 (k )
cos x 1

= +

= + + + =




= +

=

Â
0.25
0.5
0.25
III.2)
Tìm x>0 thỏa mãn:
x
2 t
2
0
t e
dt 1
(t 2)
=
+

Tính
x
2 t

2
0
t e
I dt
(t 2)
=
+

. Đặt
2 t
t
2
u t e
du t(t 2)e dt
dt
1
dv
v
(t 2)
t 2

=

= +



=
=

+
+


Do đó
( )
x
x
2 t t 2 x 2
x
t t x
0
0
0
t e t(t 2)e dt x e x
I te e e x 1 1
t 2 (t 2) x 2 x 2

+
= + = + = +
ữ ữ
+ + + +


.
Do đó
x
2 t
2
0

t e
dt 1
(t 2)
=
+


2
x 2
x
e x 1 0 (x 1)(x 2) x 0 x 2
x 2

= + = =
ữ
+

T/m điều kiện x>0.
0.25
0.5
0.25
IV IV.1)
Tìm điểm cố định của đờng tròn:
2 2
x y 2(m 1)x 4my 5 0+ + =
Có
2 2 2 2
x y 2(m 1)x 4my 5 0 ( 2x 4y)m (x y 2x 5) 0+ + = + + =
Tọa độ điểm cố định phải thỏa mãn hệ phơng trình:
2 2

x 2y 0
x y 2x 5 0
+ =


+ =

Họ đờng tròn đã cho có 2 điểm cố định là:
1 2
2 29 2 29
M 2 29; ;M 2 29;
2 2

+
+
ữ ữ
ữ ữ

0.25
0.25
0.5
Tìm tập hợp các điểm có cùng phơng tích đối với các đờng tròn thuộc họ đã cho.
Giả sử d là trục đẳng phơngcủa hai đờng tròn bất kì trong học đã cho thì d phải đi qua
2 điểm M
1
, M
2
ở trên PT đờng thẳng d là x + 2y =0. Vì thế mọi điểm trên d có
cùng phơng tích với mọi đờng tròn thuộc họ này.
0.5

IV.2) Gọi N là trung điểm BC thì ta có AN = a và
AN BC.
Lại có BMA = CMA BM =CM
BMC cân đỉnh M MN BC
Do đó
ã
ANM =
và
ã ã
CMN BMN
2

= =
AMN vuông tại M nên ta có:
2 2 2
AM MN AN=
ã
MN BN.cot tgBMN a.cot g
2

= =
Trong AMN có:
ã
( )
( )
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2
2

2
AM MN AN
tg tg AMN
AN AN
a cot g a
cos
2
a
sin
2

= = =



= =

(Hình:
0.25đ)
0.25
0.5
0.5

2
2
2sin
2 1 cos 1
2
1
tg cos cos cos

= = =

. đpcm
V
Trong khai triển
21
3 3
3
a b
b a

+
ữ
ữ

tìm số hạng chứa a, b có số mũ bằng nhau.
Ta có số hạng tổng quát của khai triển
21
3
3
a b
A
b a

= +
ữ
ữ

là:
k
21 k
1 1
k 21 k 21 k k
3
2
k k
3 6 2 6
k 1 21 21
1 1
6 6
a b
T C C a b
b a



+


ữ
ữ
= =
ữ
ữ


Số mũ của a và b bằng nhau
k 21 k 21 k k

k 12
2 6 2 6

= =
Vậy số hạng cần tìm là:
5 5
12
2 2
13 21
T C a b=
0.5
0.5