CHUYÊN ĐỀ ÔN TÂP TOÁN HỌC KÌ 2 11

TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT THANH HÒA

NĂM:2013-2014

BÀI TẬP ÔN TẬP HỌC KỲ II, MÔN TOÁN LỚP 11
A. ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN
I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
1/ Tìm giới hạn của dãy số, của hàm số.
Phương pháp: Vận dụng các định lí về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm giới hạn vô cực
- Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của dãy số:
+) Nếu limun = +∞ thì lim

1

un

=0

limun=L
L >0
L>0
L<0
L<0
-

limvn

Dấu của
vn

0

+
+
-

Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số:

f ( x ) = +∞ thì lim
+) Nếu xlim
x → x0
→ x0

1

f ( x)

=0

lim g ( x) Dấu của
x→ x 0
x→ x 0
g(x)
Chú ý khi gặp các dạng vô định:
+
∞ 0
L>0
; ; ∞ − ∞;0.∞ ta phải khử các dạng vô
∞ 0
0

+
đó bằng cách: chia tử và mẫu cho n hoặc x
L<0
lớn nhất; phân tích tử hoặc mẫu thành
tử để đơn giản, nhân cả tử và mẫu với một lượng liên hợp;…
lim f ( x )

-

un
vn
+∞
−∞
−∞
+∞

lim

f ( x)
x→ x 0 g ( x )
+∞
-∞
-∞
+∞
lim

định
mũ
nhân

2 Xét tính liên tục của hàm số
Phương pháp: Xét tính liên tục của hsố f(x) tại x0:
+) Tính f(x0)
+) Tìm lim f ( x ) (nếu có)
x → x0

f ( x ) không tồn tại⇒ f(x) gián đoạn tại x0.
- Nếu xlim
→x
0

f ( x ) = L ≠ f ( x0 ) ⇒ f(x) gián đoạn tại x0
- Nếu xlim
→ x0
f ( x ) = L = f ( x0 ) ⇒ f(x) liên tục tại x0.
- Nếu xlim
→ x0

3/ Chứng minh sự tồn tại nghiệm của một phương trình.
Phương pháp: Vận dụng hệ quả của định lí về giá trị trung gian: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên
đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong (a ; b).

BÀI TẬP ÁP DỤNG
*Vấn đề 1:Giới hạn của day số
1


TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT THANH HÒA
Bài 1: Tìm các giới hạn sau:
2n − 3n3 + 1

n3 + 3n − 2
a ) lim
b
)
lim
n3 + n 2
2n 2 + 1
4n 2 + n + 1
1 − 2n

f ) lim

ĐS: a) -3

g ) lim

b) +∞

3n − 2.5n
3.5n − 4n

c) 0

d) 1

NĂM:2013-2014

c) lim

−3n + 2

3
n + 2n − 1

h) lim

3n − 4n + 1
2.4n + 2n

f) -1

d ) lim

g) -2/3

h) -1/2

f) -∞

g) - ∞

4n 2 + 1 − 9n 2 + 2
2−n

Bài 2 : Tính các giới hạn sau:
a ) lim(3n3 + n 2 − 1)
b) lim(−2n 4 + n 2 − n + 3)
c) lim 3n 2 + n − 1

(

)

n2 − n + n

d)lim

e) lim( 3n 2 + 1 − 2n)
f ) lim

(

3n 2 − 6n + 1 − 7 n

(

g ) lim 2.3n − 5.4n
ĐS: a) +∞

)

b) - ∞

)
c) +∞

e) - ∞

d) +∞

Bài 3 : Tính các giới hạn sau:

a ) lim( n 2 + 1 − n)

(
c) lim (

)
− n)

b) lim n − n 2 − 3n
3

n3 + n 2

d ) lim n

(

ĐS: a) 0

n −1 − n

)

b) 3/2

c) 1/3

d) -1/2

* Vấn đề 2:Giới hạn của hàm số

0
1) Dạng :
0
Bài 1: Tìm giới hạn của các hàm số sau:
x+3
x2 − 9
x 2 − 3x + 2
a/ lim
b/ lim
c) lim 2
x →−3 x + 2 x − 3
x →3 x − 3
x →1
x −1
ĐS: a) 6

b) -1

c) -4

d) 3/2

d) lim
x →1

x3 − 1
x2 − 1

− x2 − 2 x + 3
x →1 2 x 2 − x − 1

e) lim

e)- 4/3

Bài 2: Tìm giới hạn của các hàm số sau:
a) lim
x →2

x+7 −3
2− x

ĐS: a) -1/6

b) lim

b) 24

x →3

x2 − 9
x +1 − 2

c) 4/3

d) 2

c) lim
x →4

2x +1 − 3
x −2

e) 0
2

d) lim

x →−1

x + 2 −1
x+5 −2

e) lim−
x →2

x 2 − 3x + 2
2− x


TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT THANH HÒA
∞
:
∞
Bài 1: Tìm giới hạn của các hàm số sau:
− x3 + 5 x − 1
−3 x 3 + 2
a) lim 3
b)
lim

x →+∞ 2 x + 3 x 2 + 1
x →−∞ 2 x + 1

NĂM:2013-2014

2)Dạng

x 2 − 3x + 2 x
x →+∞
3x − 1
ĐS: a) -1/2
b) -∞
d) lim

d) lim

x →−∞

c) 0

d)1

5x2 − 1
x →+∞ 2 x 3 + 3 x 2 + 1

c) lim

x 2 − 3x + 2 x
3x − 1
e)1\3

f) lim

x →−∞

f) -1/5

x2 + 2 x − 4 x2 + 1
2 − 5x

3) Dạng: a.∞ :
Bài 1: Tìm giới hạn của các hàm số sau:
3
2
4
3
a) lim (−2 x + x − 3 x + 1)
b) lim (− x + x + 5 x − 3)
x →−∞

x →+∞

x 2 − 3x + 2
d) xlim
→−∞
b) - ∞

ĐS: a) +∞
4) Dạng

e) xlim
→+∞
c) + ∞

(

3x 2 + x − 2 x

d) +∞ e) - ∞ f) + ∞

)

4 x2 + x + 2
c) xlim
→+∞
f) xlim
→−∞

(

2x2 + x + x

)

∞ - ∞ (hay 0. ∞ ):

Bài 1: Tìm giới hạn của các hàm số sau:

( x +1 − x)
b) lim ( x + 2 x − x + 1 )

c) lim ( 2 x + 4 x − x )
d) lim ( x − x − x − 1 )
a) xlim
→+∞

2

2

2

x →+∞

2

x →−∞

2

2

x →−∞

ĐS: a) 0

b) 1

c) 1/4

d) 1/2

5) Dạng :Giới hạn một bên:
Bài 7: Tìm giới hạn của các hàm số sau:
1− x
2 x +x
x +1
2x −1
−2 x + 1
a) lim−
b) lim
2
c) lim+
d) lim+
e) lim− 2
x →4
x →3 x − 3
x →3 x − 3
x →−2
x →0 x − x
( x − 4)
x+2
ĐS: a) - ∞ b) - ∞
c) + ∞
d) + ∞
e) 1
f) + ∞

* Vấn đề 3:Xét tính liên tục của hàm số
1) Dạng 1: xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm
Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau:

3

f) lim−
x →−1

3x − 1
x +1


TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT THANH HÒA
 x2 − 4

a) f ( x ) =  x + 2
 −4


khi x ≠ -2

tại x0 = -2

khi x = -2

 2 x 2 + 3x − 5

c) f ( x) = 
x −1

7

 x2 − 2


e/ f ( x) =  x − 2
2 2


khi x > 1

tại x0 = 1

khi x ≤ 1
khi x ≠ 2

tại x0 = 2

khi x = 2

NĂM:2013-2014
 x2 − 4 x + 3

b) f ( x ) =  x − 3

5

 1− x
2

d) f ( x ) =  ( x − 2 )
 3

 x−2


f) f ( x) =  x − 1 − 1
 3x − 4


khi x<3

tại x0 = 3

khi x ≥ 3
khi x ≠ 2

tại x0 =2

khi x = 2
khi x > 2

tại x0 = 2

khi x ≤ 2

ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục

Bài 2: Tìm điều kiện của số thực a sao cho các hàm số sau liên tục tại x0.
 x2 − x − 2
 x2
khi x < 1
khi x ≠ −1

f

x
=
f
(
x
)
=
a) ( )  x + 1
với x0 = -1
b)
với x0 = 1

2ax − 3 khi x ≥ 1


a
khi x = −1

 x+7 −3
 3x 2 − 1
khi x ≠ 2

c) f ( x) =  x − 2
với x0 = 2
d) f ( x) = 
 2a + 1
 a −1
khi x = 2

ĐS: a) a = -3 b) a = 2

c) a = 7/6
d) a = 1/2

khi x < 1
với x0 = 1
khi x ≥ 1

2)Dạng 2: xét tính liên tục của hàm số trên R
Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:
 2 − x +1
 x 2 − 3x + 2
khi x ≠ 2


a) f ( x ) =  x − 2
b) f ( x ) =  3 − x


1
khi x = 2
3


 x2 − x − 2

c) f ( x ) =  x − 2
 5− x


khi x > 2

khi x ≤ 2

ĐS: a) hsliên tục trên R ;
c) hsliên tục trên R ;

khi x ≠ 3

tại x0 = 3

khi x = 3

x
khi x < 0


x2
khi 0 ≤ x < 1
d) f ( x ) = 
− x 2 − 2 x + 1 khi x ≥ 1


b) hs liên tục trên mỗi khoảng (-∞; 3), (3; +∞) và bị gián đọan tại x = 3.
d) hs liên tục trên mỗi khoảng (-∞; 1), (1; +∞) và bị gián đọan tại x = 1.

* Vấn đề 4:Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình
Bài 1: Chứng minh rằng phương trình:
a) x 4 − 5 x + 2 = 0 có ít nhất một nghiệm.
b) x 5 − 3 x − 7 = 0 có ít nhất một nghiệm.
4

TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT THANH HÒA

NĂM:2013-2014

c) 2 x 3 − 3 x 2 + 5 = 0 có ít nhất một nghiệm
d) 2 x 3 − 10 x − 7 = 0 có ít nhất 2 nghiệm.
e) cosx = x có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; π/3)
f) cos2x = 2sinx – 2 = 0 có ít nhất 2 nghiệm.
g) x 3 + 3 x 2 − 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.

(

) ( x + 1) + x − x − 3 = 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với mọi m.
i) m ( x − 1) ( x − 4 ) + x − 3 = 0 luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m.
3

2
h) 1 − m

3

2

2

4

CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM
CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

1/ Các công thức tính đạo hàm:

(C)

′ =0

Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản
(C lµ h»ng sè)

( x ) ′ =1

( x )′ =n.x
n

Đạo hàm của hàm số hợp

(kx)’=k (k lµ
h»ng sè )
(n ∈ N, n ≥ 2)

n-1

′
 k
k
 ÷ =− 2
x
 x
1
( x )′ =

2 x
/
( sin x ) = cos x

(

n

′
 k
k.U′
 ÷ =− 2
U
U

(x>0)

( U)

′

=

.U ′

n-1

(x ≠ 0)

U′

2 U

(U ≠ 0)
(U > 0)

( sin U ) / = cosU .U /
( cos U ) / = − sin U .U /

( cos x ) /

= − sin x
( tgx ) / = 12 = 1 + tg 2 x
cos x
( cot gx ) / = − 12 = − 1 + cot g 2 x
sin x

(U )′ =n.U

1
U/
2
cos U
( cot gU ) / = − 12 U /
sin U

.( tgU ) =
/

)

- Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)).

( U ± V)

′

= U′ ± V ′

′
 U  U′.V − U.V ′
 ÷=
V2
V

- Đạo hàm cấp cao của hàm số
Đạo hàm cấp 2 :

( UV )

′

= U′V + UV ′

(k.U)′ = k.U′

(k là hằng số)

′
1
 1

 ÷ =− 2
V
V

f "(x) = [ f(x)'] '

n
n-1
Đạo hàm cấp n : f (x) =  f(x)  '

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Phương pháp:pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0 có hoành độ x0 có dạng:
y = f’(x0) (x – x0) + y0
Trong đó: x0 là hoành độ tiếp điểm
y0 =f(x0) là tung độ tiếp điểm.
5


TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT THANH HÒA

NĂM:2013-2014

f’(x0 ) là hệ số góc cuả tiếp tuyến

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tìm đạo hàm các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra:
1
x −1
a) y = x2 + x ; x0 = 2
b) y = ; x0 = 2

c) y =
; x0 = 0 d) y = x - x; x0 = 2
x +1
x
2x −1
π
e) y = x3 - x + 2; x0 = -1
f) y =
; x0 = 3
g) y = x.sinx; x0 =
3
x −1
Bài 2: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
x
2
5
4
1. y = x 3 − 2 x + 1
2. y = 2 x − + 3
3. y = 10 x + 2
4. y = ( x 3 + 2)( x + 1)
2
x
2
2
3
2
5. y = 5 x (3 x − 1)
6. y = ( x + 5)
7. y = ( x + 1)(5 − 3x 2 )

8. y = x ( 2 x − 1)(3x + 2)
2x
2x 2 − 6x + 5
9. y = ( x + 1)( x + 2) 2 ( x + 3) 3
10. y = 2
11. y =
x −1
2x + 4
5x − 3
12. y = 2
13. y = x 2 + 6 x + 7 14. y = x − 1 + x + 2
15. y = ( x + 1) x 2 + x + 1
x + x +1
3x - 2
3x 2 − 2 x + 1
x 2 − 2x + 3
16. y =
18) y = 2
19) y = (x7 + x)2
17. y =
x
x
+
2
2x − 3
2x + 1
1+ x
1
20) y = x2 − 3x + 2
21) y =

22) y =
23) y= x 1 + x 2
1− x
x x
1+ x
24) y=
25) y= (2x+3)10
26) y= x (x2- x +1)
1− x
Bài 3: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1 + sin x
1) y = 3 sin 2 x. sin 3x
2) y = (1 + cot x ) 2
3) y = cos x. sin 2 x
4) y =
2 − sin x
sin x + cos x
π
cosx 4
3
+ cotx
6) y =
7) y = cot (2x + )
8) y = 2 + tan2 x
9) y = −
3sin3 x 3
sin x − cos x
4
1
x

10) y = 1 + cos 2
11) y =
12) y = sin 4 2 - 3x
13) y = cos ( x3 )
(1 + sin 2 2 x ) 2
2
14) y= 5sinx-3cosx

15) y = x.cotx

18) y = sin2(cos3x)

19) y =

16) y = cot 3 1+ x2

xsinx
1+ tanx

20) y =

Bài 5: Cho hai hàm số : f ( x ) = sin 4 x + cos 4 x và g ( x) =
f '( x) = g '( x)

(∀ x ∈ ℜ ) .

Bài 6: Cho y = x 3 − 3 x 2 + 2 . Tìm x để: a) y’ > 0
x < 0
ĐS: a) 
b) 1 − 2 < x < 1 + 2

x > 2

sinx
x
+
x
sinx

17) y= sin(sinx)
21) y = tan

x+1
2

1
cos 4 x Chứng minh rằng:
4

b) y’ < 3

Bài 7: Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:
a) f(x) = cos x + sin x + x.
c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x

b) f(x) = 3sinx − cosx + x
d) f(x) = 2x4 – 2x3 – 1
6


TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT THANH HÒA

Bài 8: Cho hàm số f(x) = 1+ x. Tính:

NĂM:2013-2014

f(3) + (x − 3)f '(3)

Bài 9: CMR các hàm số sau thỏa mãn hệ thức đã cho.
a) y =

x− 3
; 2y'2 = (y − 1)y"
x+ 4

b) y = 2x − x2 ;

y3y"+ 1 = 0

c) Cho hàm số y =

sin3 x + cos3 x
; y’' = - y
1− sinx.cosx

d) Cho y =

x− 3
;
x+ 4

2(y’)2 =(y -1)y’’

1
3

e) Cho y = − cotg3x + cotgx+ x + 3 + 7 ; y’ = cotg4x
π
π
cos2 x
; f ( ) − 3f '( ) = 3
2
4
1+ sin x 4
g) Chứng tỏ hàm y = acosx+bsinx thỏa hệ thức y’’ + y = 0
x2 + 2x + 2
h) Cho hàm số: y =
. Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’2
2
i) Cho hàm số y = cos22x.
a) Tính y”, y”’.
b) Tính giá trị của biểu thức: A= y’’’ +16y’ + 16y – 8.

f)Chof(x)=

x2 + x
(C)
x−2
a) Tính đạo hàm của hàm số tại x = -1.
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = -1.
Bài 10: Cho hàm số y =

Bài 11: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 (C)
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = 2.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x + 2.
Bài 12: Gọi ( C) là đồ thị hàm số : y = x 3 − 5 x 2 + 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C )
a) Tại M (0;2).
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1.
1
c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x – 4.
7
Bài 13: Cho đường cong (C): y =
a) Tại điểm có hoành độ bằng 1
b) Tại điểm có tung độ bằng

x+2
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
x−2

1
3

c) Biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là −4
B. HÌNH HỌC
CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
 Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc
• Phương pháp 1: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 900 .
7


TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT THANH HÒA

•
•
•

rr

NĂM:2013-2014

r r

Phương pháp 2: a ⊥ b ⇔ u .v = 0 ( u , v lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b).
Phương pháp 3: Chứng minh a ⊥ (α ) ⊃ b hoặc b ⊥ ( β ) ⊃ a
Phương pháp 4: Áp dụng định lí 3 đường vuông góc ( a ⊥ b ⇔ a ⊥ b ' với b’ là hình chiếu của đt
b lên mp chứa đt a).

 Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp (P).
• Phương pháp 1: Chứng minh: d ⊥ a và d ⊥ b với a ∩ b = M; a,b ⊂ (P)
• Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a ⊥ (P)
• Phương pháp 3: Chứng minh: d ⊂ (Q) ⊥ (P), d ⊥ a = (P) ∩ (Q).
• Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q) ∩ (R) và (Q) ⊥(P), (R) ⊥ (P).
 Dạng 3: Chứng minh hai mp (P) và (Q) vuông góc.
• Phương pháp 1: Chứng minh (P) ⊃ a ⊥ (Q).
• Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R) ⊥ (Q).
• Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a ⊥ (Q).
 Dạng 4: Tính góc giữa 2 đt a và b.
• Phương pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’ ∩ b’ = O)
- Khi đó: (a, b) = (a’, b’).
 Dạng 5: Tính góc giữa đt d và mp(P).
• Phương pháp: Gọi góc giữa đt d và mp(P) là ϕ
+) Nếu d ⊥ (P) thì ϕ = 900.

+) Nếu d không vuông góc với (P): - Xác định hình chiếu d’ của d lên mp(P)
- Khi đó: ϕ = (d,d’)
 Dạng 6: Tính góc ϕ giữa hai mp (P) và (Q).
• Phương pháp 1:
- Xác định a ⊥ (P), b ⊥ (Q).
- Tính góc ϕ = (a,b)
• Phương pháp 2: Nếu (P) ∩ (Q) = d
- Tìm (R) ⊥ d
- Xác định a = (R) ∩ (P)
- Xác định b = (R) ∩ (Q)
- Tính góc ϕ = (a,b).
 Dạng 7: Tính khoảng cách.
• Tính khoảng từ một điểm M đến đt a:
Phương pháp: d ( M , a ) = MH (với H là hình chiếu vuông góc của M trên a).
• Tính khoảng từ một điểm A đến mp (P):
Phương pháp: - Tìm hình chiếu H của A lên (P).
- d(M, (P)) = AH
• Tính khoảng giữa đt ∆ và mp (P) song song với nó: d(∆, (P)) = d(M, (P)) (M là điểm thuộc ∆).
• Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng giữa 2 đt chéo nhau a và b:
+) Phương pháp 1: Nếu a ⊥ b :
- Dựng (P) ⊃ a và (P) ⊥ b
- Xác định A = (P) ∩ b
- Dựng hình chiếu H của A lên b
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b
8


TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT THANH HÒA

NĂM:2013-2014

+) Phương pháp 2:
- Dựng (P) ⊃ a và (P) // b.
- Dựng hình chiếu b’ của b lên (P). b’ // b, b’ ∩ a = H
- Dựng đt vuông góc với (P) tại H cắt đt b tại A.
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b.
+) Phương pháp 3:
- Dựng đt (P) ⊥ a tại I cắt b tại O
- Xác định hình chiếu b’ của b trên (P) (b’ đi qua O).
- Kẻ IK ⊥ b’ tại K.
- Dựng đt vuông góc với (P) tại K, cắt b tại H.
- Kẻ đt đi qua H và song song với IK, cắt đt a tại A.
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b.

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B có AC=2a,BC=a. SA ⊥ (ABC),SA=
a 3
a)
b)
c)
d)

Chứng minh: BC ⊥ (SAB).
Gọi AH là đường cao của ∆SAB. Chứng minh: AH ⊥ SC.
Xác định và tính góc giữa (SBC) và (ABC).
Tính khoảng cách từ A đến (SBC).

Bài 2: Cho tứ diện ABCD có AB=ACvà ·ACB = 300 ,AD⊥(ABC) . Gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh: (DBC)⊥ (DAI).

b) Gọi AH là đường cao của ∆ADI. Chứng minh: AH ⊥ (BCD).
c) Xác định góc giữa (DBC) và (ABC).
d) Xác định đoạn vuông góc chung của BC và AD.

Bài 3: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA= OB = OC = a.
Gọi I là trung điểm BC; H, K lần lượt là hình chiếu của O lên trên các đường thẳng AB và AC.
a) CMR: BC ⊥ (OAI).
b) CMR: (OAI) ⊥ (OHK).
c) Tính khoảng cách từ điểm O đến mp (ABC).
ĐS: a/ 3
d) Tính côsin của góc giữa OA và mp (OHK).
ĐS: cosα = 6 / 3
Bài 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng a (còn gọi là tứ diện đều
cạnh a).Gọi I là trung điểm của BC,O là chân đường cao của hình chóp.
a)Chứng minh: (SAI)⊥ (SBC).
b)Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy.
c)Tính khoảng cách từ A đến (SBC)
Bài 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a ,đường cao bằng 3a.Gọi O là giao điểm
cuả AC và BD.E,F lần lượt là trung điểm của BC và AD.
9


TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT THANH HÒA
a)
b)
c)
d)

NĂM:2013-2014

Chứng minh rằng: (SEF) ⊥ (SBC).
Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy.
Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy
Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AD và SB.

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC = a 3 , SA ⊥
(ABCD).
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
b) Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh IO⊥ (ABCD).
c) Tính góc giữa SC và (ABCD).
d) Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A, AB = BC = a và ·ADC = 450
.
Hai mặt bên SAB, SAD cùng vuông góc với mặt đáy và SA = a 2 .
a) CMR: BC ⊥ mp(SAB).
b) CMR: CD ⊥ SC .
c) Tính giữa SC và (SAB).
d) Tính tang của góc ϕ giữa mp(SBC) và mp(ABCD).
f)Tính khoảng cách giữa SA và CD.
Bài 8: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có AA' ⊥(ABC) và AA'=a,đáy ABC là tam giác vuông tại A có
BC=2a,AB= a 3
a) CMR: AB ⊥ mp(ACC'A').
b) Tính góc giữa AC' và BB’.
c) Tính góc giữa (ABC') và (ABC).
d) Tính khoảng cách từ AA' đến mp(BCC'B')

10