Một số phương pháp nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi số dương

1

A. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Chuỗi số là một phần kiến thức rất quan trọng trong chương trình giải tích
toán học và nó cũng có nhiều ứng dụng trong toán học, vật lý và hóa học. Khi
tiếp cận học phần Phép tính vi phân và tích phân hàm nhiều biến số, có nhiều
kiến thức quan trọng được vận dụng để giải quyết các vấn đề của chuỗi số như lý
thuyết giới hạn, dãy hàm, hàm số..., điều này đã kích thích sự tò mò tìm hiểu sâu
hơn kiến thức và sự vận dụng lý thuyết của chuỗi số của chúng tôi.
Mặt khác, giáo trình hiện hành đưa ra các định lý, dấu hiệu có phần trừu
tượng, hơn nữa các ví dụ minh họa chưa thật cụ thể, hơn nữa phần bài tập còn
dàn trải nên rất khó khăn cho sinh viên trong quá trình tự đọc, tự nghiên cứu.
Nhiều bạn sinh viên gặp khó khăn trong học tập vì chưa có tài liệu rèn kĩ năng
nhận dạng và giải bài tập của phần chuỗi số này.
Từ những lý do trên chúng tôi chọn đề tài “Một số phương pháp nghiên
cứu sự hội tụ của chuỗi số dương”.
2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống lại kiến thức về lý thuyết của chuỗi số, chuỗi số dương thông qua
nêu các khái niệm, tính chất và định lý; từ đó đưa ra các phương pháp nghiên
cứu, xét hội tụ của chuỗi số dương kèm với một lượng bài tập minh họa.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu lý thuyết chuỗi số, chuỗi số dương.
- Nghiên cứu các phương pháp xét sự hội tụ của chuỗi dương và thực hành
giải toán về chuỗi số, chuỗi số dương.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết và bài tập về chuỗi số dương trong khuôn khổ Đề
cương chi tiết học phần Phép tính vi phân và tích phân hàm nhiều biến số.
5. Giả thuyết khoa học
Nếu đề tài này được hoàn thành tốt thì sinh viên có thêm tài liệu để tự nghiên
cứu. Đặc biệt về lý thuyết chuỗi số dương được hệ thống một cách hoàn chỉnh,

qua đó kỹ năng vận dụng lý thuyết để giải bài tập, nhận dạng bài tập được củng
cố thêm.
6. Phương pháp nghiên cứu
Trong quá trình nghiên cứu chúng tôi đã sử dụng một số phương pháp
nghiên cứu sau:
+ Nghiên cứu lý thuyết, phân tích, tổng hợp, sưu tầm tài liệu
+ Xêmina với giáo viên hướng dẫn và bạn đồng môn
7. Cấu trúc đề tài


2

Đề tài gồm có 4 phần:
A. Phần mở đầu
B. Phần nội dung gồm có hai chương:
Chương 1. Cơ sở lý thuyết
Chương 2. Phương pháp xét sự hội tụ của chuỗi số dương
C. Phần kết luận
D. Tài liệu tham khảo


3

B. NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Khái niệm chuỗi số
1.1. Định nghĩa
Cho dãy số vô hạn , tổng vô hạn được gọi là chuỗi số, ký hiệu là:
được gọi là số hạng thứ n.
Ví dụ 1

1.2. Dãy tổng riêng
Ví dụ 2
- Chuỗi (1) có dãy tổng riêng .
- Chuỗi (2) có dãy tổng riêng
.
1.3. Chuỗi số hội tụ, phân kỳ

phân kỳ và khi đó chuỗi số không có tổng.
1.4. Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ
Định lý 1
Chứng minh

.
Hệ quả
Ví dụ 3
Chú ý

1.5. Tính chất của chuỗi số hội tụ


4

Tính chất 1

Tính chất 2

Tính chất 3
Tính hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi số không thay đổi khi ta ngắt bỏ đi
khỏi chuỗi số đó một số hữu hạn các số hạng đầu tiên.

2. Khái niệm chuỗi số dương
Định nghĩa
Ví dụ 4
Tính chất :
Chuỗi số dương hội tụ khi và chỉ khi dãy bị chặn trên.
Chứng minh:

Ví dụ 5
Xét sự hội tụ của các chuỗi số dương sau:
Ta có .
Suy ra bị chặn. Vậy chuỗi đã cho hội tụ.
Ta có .
Suy ra không bị chặn. Vậy chuỗi cho trên phân kỳ.
3. Sự hội tụ tuyệt đối

Chú ý

4. Chuỗi đan dấu, dấu hiệu Lepnit
4.1. Chuỗi đan dấu
Định nghĩa
Chuỗi đan dấu là chuỗi số có dạng:
Trong đó >0, n ≥1.
Ví dụ 6
4.2. Định lý Lepnit
Định lý 2


5

Nếu chuỗi đan dấu (*) thỏa mãn và lim = 0 thì chuỗi (*) hội tụ.

Ví dụ 7
Xét hội tụ chuỗi số:
.
Ta có:
(2):

5. Dấu hiệu so sánh
5.1. So sánh hơn
Định lý 3

Chứng minh
Do tính chất 3 của chuỗi số hội tụ, có thể giả sử N=1, nghĩa là

5.2. Tiêu chuẩn tương đương
Định lý 4

6. Dấu hiệu Đalămbe
Định lý 5

7. Dấu hiệu Cauchy


6

Định lý 6

8. Dấu hiệu tích phân
Định lý 7
.

9. Dấu hiệu Raap
Định lý 8

10. Dấu hiệu Gauss
Định lý 9


7

CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP XÉT SỰ HỘI TỤ CỦA
CHUỖI SỐ DƯƠNG
1. Sử dụng dấu hiệu so sánh

Ví dụ 1
Giải:

Ví dụ 2
Giải:

Giải:


8

2. Tiêu chuẩn tương đương

Ví dụ 3
Giải:

Ví dụ 4

Giải:

Ví dụ 5
Giải:


9

3. Sử dụng dấu hiệu Đalămbe

Ví dụ 6
Giải:

Ví dụ 7
Giải:

Ví dụ 8
Giải:


10

4. Sử dụng dấu hiệu Cauchy

Ví dụ 9
Giải:

Ví dụ 10
Giải:

Ví dụ 11
Giải:


11

5. Tiêu chuẩn tích phân

Ví dụ 12
Giải:

Ví dụ 13
Giải:


12

6. Dấu hiệu Raap

Ví dụ 14
Giải:

Ví dụ 15

7. Dấu hiệu Gauss

Ví dụ 16


13

Giải:
Bước 1.Theo công thức Taylor:

C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Đề tài này cơ bản giải quyết những mục đích yêu cầu đặt ra ở phần mở đầu.
Nó cung cấp cho sinh viên các phương pháp xét, nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi


14

số dương, một cách cụ thể, rõ ràng. Qua đó sinh viên hệ thống được lý thuyết và
bài tập về chuỗi số. Đề tài trình bày hai nội dung cụ thể như sau:
- Chương thứ nhất là kiến thức có liên quan lý thuyết chuỗi số, chuỗi số
dương làm cơ sở cho việc đưa ra các phương pháp nghiên cứu hội tụ chuỗi số
dương. Các kiến thức về chuỗi số dương được trình bày ngắn gọn súc tích nhưng
đầy đủ, đảm bảo tính hệ thống. Một số định lý, tính chất được trình bày chứng
minh.
- Ở chương thứ hai, các phương pháp dùng để nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi
số dương được đưa ra khá đầy đủ, mỗi phương pháp được trình bày tường minh
theo từng bước thực hiện; các ví dụ minh họa phương pháp thực hiện được trình
bày gắn liền các bước nêu trong từng phương pháp. Có một lượng các bài tập vận
dụng từng phương pháp nghiên cứu hội tụ được giới thiệu kèm với lời giải vắn
tắt hoặc gợi ý đáp số.
Tất cả những điều trên làm thành một chỉnh thể về mảng đề tài khai thác, vận
dụng lý thuyết vào hình thành phương pháp giải bài tập về hội tụ của chuỗi số
dương nói riêng, mảng bài tập một nội dung toán học nói chung.

D. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Mạnh Quý, Nguyễn Xuân Liêm (2005), Phép tính vi phân và

tích phân hàm nhiều biến số. NXB ĐHSP.
2. Nguyễn Mạnh Quý, Nguyễn Xuân Liêm (2005), Bài tập vi phân và tích
phân hàm nhiều biến số. NXB ĐHSP.


15

3. Nguyễn Văn Khuê, Cần Văn Tuất, Đầu Thế Cấp(1998), Phép tính vi
phân & tích phân( giải tích I, II). ĐHQG Hà Nội – Trường ĐHSP,….
4. Nguyễn Văn Đoảnh, Nguyễn Doãn Tuấn (1999), Bài tập phép tính vi
phân và phép tính tích phân. NXB Đại học quốc gia Hà Nội.
5. Website:
- />- />