SKKN: Mot so sai lam cua HS khi giai toan HSG

mét sè sai lÇm cña häc sinh THCS
khi gi¶i bµi to¸n cho häc sinh giái
I. Đặt vấn đề.
1. Trong giải toán, đặc biệt là giải các bài toán dành cho học sinh giỏi, không ít tr-
ờng hợp học sinh đã mắc phải một số sai lầm. Nếu là sai lầm trong một kỳ thi chọn học
sinh giỏi, học sinh sẽ khó đạt kết quả cao.
2. Ngời học toán, nhất là học sinh giỏi toán, ngoài việc học các kiến thức mới và
luyện các kỹ năng còn phải biết học từ chính các sai lầm của mình và của ngời khác.
3. Ngời dạy toán, nhất là dạy học sinh giỏi toán, ngoài việc dạy các kiến thức mới
và rèn các kỹ năng cho học sinh cần dành thời gian thích đáng cho việc phân tích các sai
lầm nếu có của học sinh, từ đó giúp các em hiểu rõ nguyên nhân của sai lầm, sau này
nếu gặp tình huống tơng tự sẽ không mắc phải, đồng thời qua đó điều chỉnh việc dạy
của chính mình.
4. Chuyên đề này bàn về một số tình huống sai lầm của học sinh trung học cơ sở khi
giải một số bài toán dành cho học sinh giỏi, trong đó tập trung chủ yếu vào loại sai lầm
về kiến thức, về suy luận.
5. Các ví dụ trong chuyên đề này phần lớn đợc su tầm và chọn lọc từ các tạp chí
toán và tài liệu tham khảo môn toán, một phần nhỏ là từ kinh nghiệm giảng dạy của cá
nhân. Chúng đợc trình bày theo cấu trúc:
- Nêu đề bài;
- Đa ra một lời giải sai;
- Phân tích nguyên nhân của sai lầm;
- Trình bày một lời giải đúng;
- Đôi lời bàn về việc dạy.
-----------------------------------
II. Các ví dụ.
1. Nhóm bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức.
Ví dụ 1.1)
* Đề bài: Cho A = x
2
- 3x + 5. Tìm A

min
với x 2 ?
* Một lời giải sai:
A = (x - 3/2)
2
+ 11/4 11/4 với x R.
Vậy A
min
= 11/4.
* Nguyên nhân sai: Hiểu cha đúng khái niệm.
* Một lời giải đúng: Với x 2 thì (x-3/2) 1/2 => A 3 => => A
min
= 3.
* Lời bàn: Việc dạy khái niệm
Ví dụ 1.2)
* Đề bài: Cho B =
2 2
2 2
( )
x y x y
y x y x
+ +
với x, y R, 0. Tìm B
min
?
* Một lời giải sai:
Đặt (x/y) + (y/x) = t => B = t
2
- t - 2 = (t - 1/2)
2

- 9/4 => B - 9/4 với t R;
Vậy B
min
= - 9/4, đạt khi t - 1/2 = 0 hay khi t =1/2.
* Nguyên nhân sai: Hiểu cha đúng khái niệm, xác định sai yêu cầu, lỗi trình bày.
* Một lời giải đúng: B = (t-2)(t+1). Xét với t 2 và t -2. Đáp sô B
min
= 0.
* Lời bàn: Việc dạy khái niệm, cách trình bày.
Ví dụ 1.3)
* Đề bài: Cho C = (x
2
- 1)(x
2
+ 1) với x R. Tìm C
min
?
* Một lời giải sai:
Có: (x
2
- 1) - 1; (x
2
+ 1) 1 với x R => C (-1).(1) = -1 với x R.
C = - 1 khi x
2
= 0 hay x = 0 . Vậy C
min
= -1.
* Nguyên nhân sai: Biến đổi BĐT sai.
* Một lời giải đúng: C = x

4
- 1. Đáp số C
min
= -1.
* Lời bàn: Việc dạy các phép biến đổi BĐT.
Ví dụ 1.4)
* Đề bài: Cho D = (x + y)
2
+ (x + 1)
2
+ (y - x)
2
với x, y R. Tìm D
min
?
* Một lời giải sai:
Đặt M = (x + 1)
2
và N = (x + y)
2
+ (y - x)
2
với x, y R.
Có: D đạt min <=> đồng thời xảy ra M đạt min và N đạt min. ?
Do . => M
min
= M(-1) = 0.
Khi đó N = (-1 + y)
2
+ (y + 1)

2
= 2y
2
+ 2 => => N
min
= N(0) = 2.
=> D 0 + 2 ; dấu bằng đạt khi x = -1; y = 0. Vậy D
min
= 2.
* Nguyên nhân sai: Lỗi suy luận.
* Một lời giải đúng: D = 3x
2
+ 2x + 1 + 2y
2
. Đáp số D
min
= 2/3.
* Lời bàn: Việc dạy phép suy luận.
Ví dụ 1.5)
* Đề bài: Tìm m R để phơng trình sau: x
2
+ (m+1)x + 1 = 0 (1) có tổng bình ph-
ơng các nghiệm nhỏ nhất ?
* Một lời giải sai:
- Thấy (1) có nghiệm <=> (m+1)
2
- 4 0 <=> m 1 hoặc m -3 (*)
- Khi đó x
2
2

+ x
2
2
= = (m+1)
2
- 2 - 2. Dấu bằng đạt <=> m = -1, nhng giá trị m
= -1 không thoả mãn (*).
Vậy m R để phơng trình (1) có tổng bình phơng các nghiệm nhỏ nhất ?
* Nguyên nhân sai: Hiểu cha đúng khái niệm.
* Một lời giải đúng: x
2
2
+ x
2
2
= ((m+1)
2
- 4) + 2. Đáp số m = 1 hoặc m = -3
* Lời bàn: Việc dạy khái niệm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Ví dụ 1.6)
* Đề bài: Cho E =
2 2
2 2
1 1
( ).( )x y
y x
+ +
với x, y R
+
thay đổi / x + y = 1. Tìm E

min
?
* Một lời giải sai: Có: (x
2
+ 1/y
2
) 2x/y > 0; (y
2
+ 1/x
2
) 2y/x > 0 với x, y R
+
=> E
4 với x, y R
+
. E = 4 khi xy = 1. Vậy E
min
= 4.
* Nguyên nhân sai: Hiểu cha đúng khái niệm, không xem xét điều kiện của biến.
* Một lời giải đúng: Từ giả thiết => 0 < xy 1/4. Có E = (xy + 1/xy)
2
.
Biến đổi E = ((xy + 1/16xy) + 15/16xy)
2
và dùng BĐT Côsi. Đáp số E
min
= (17/4)
2
.
* Lời bàn: Việc dạy bài toán cực trị của biểu thức nhiều biến, có điều kiện. Rèn học

sinh tính cẩn thận.
Ví dụ 1.7)
* Đề bài: Cho x, y, z R/ x
2
+ y
2
+ z
2
27 (*). Tìm F
min
với F = x+y+z+xy+yz+zx.
* Một lời giải sai:
Dễ chứng minh đợc: xy + yz + zx x
2
+ y
2
+ z
2
với x, y, z R.
Cùng với giả thiết (*) => xy + yz + zx 27 ; dấu bằng xảy ra <=> x = y = z.
Lại chứng minh đợc 2(x + y + z) (x
2
+ y
2
+ z
2
) + 3 với x, y, z R.
Cùng với giả thiết (*) => (x + y + z) 15; dấu bằng xảy ra <=> x = y = z = 1.
Từ đó suy ra F 27 + 15 = 42; dấu bằng xảy ra <=> x = y = z = 1
Vậy F

min
= 42.
* Nguyên nhân sai: Hiểu cha đúng khái niệm, không xem xét điều kiện của biến.
* Một lời giải đúng: Chứng minh đợc các kết quả: xy + yz + zx (x
2
+ y
2
+ z
2
);
(x + y + z)
2
3(x
2
+ y
2
+ z
2
); Dấu bằng cùng xảy ra khi x=y=z=3. Đáp số F
min
= 36.
* Lời bàn: Việc dạy bài toán cực trị của biểu thức nhiều biến, có điều kiện. Rèn học
sinh tính cẩn thận.
* Chú ý: Có thể chuyển các bài toán trên thành các bài toán tìm giá trị lớn nhất.
--------------------------------------------------------
2. Nhóm bài toán về phơng trình.
Ví dụ 2.1)
* Đề bài: Giải phơng trình :
2
3 2x x +

+
2
4 3x x +
= 2
2
5 4x x +
(1)
* Một lời giải sai:
- Điều kiện: x
2
-3x+2 0; x
2
-4x+3 0; x
2
-5x+4 0 <=> x 1 hoặc x 5.
- Biến đổi (1) <=>
( 1)( 2)x x
+
( 1)( 3)x x
= 2
( 1)( 4)x x

<=>
1. 2x x
+
1. 3x x
= 2
1. 4x x
<=>
2x

+
3x
= 2
4x
bình phơng 2 vế và giải tiếp, tìm đợc x = -97/64, không thoả mãn điều kiện.
Đáp số: Phơng trình (1) vô nghiệm.
* Nguyên nhân sai: Lỗi biến đổi phơng trình.
* Một lời giải đúng:
Sau khi đặt điều kiện và biến đổi (1) <=>
( 1)( 2)x x
+
( 1)( 3)x x
= 2, xét các
trờng hợp : x = 1; x < 1; x 5. Đáp số: Phơng trình (1) có duy nhất nghiệm x = 1.
* Lời bàn: Việc dạy phép biến đổi biểu thức có căn.
Ví dụ 2.2)
* Đề bài: Giải phơng trình:
3
3 1x
+
3
1x +
=
3
2x
(1)
* Một lời giải sai:
Điều kiện: x R. Lập phơng 2 vế của (1), đợc:
(1) <=> <=> 3.
3

3 1x
.
3
1x +
.(
3
3 1x
+
3
1x +
) = - 6x
<=>
3
3 1x
.
3
1x +
.
3
2x
= - 2x <=> (3x-1)(x+1)(-2x) = -8x
3
.
<=> x = 0 hoặc (3x-1)(x+1) = 4x
2
<=> x = 0 hoặc x = 1.
Vậy (1) có 2 nnghiệm là x = 0 và x = 1.
* Nguyên nhân sai: Lỗi biến đổi phơng trình.
* Một lời giải đúng:
Điều kiện: x R. Lập phơng 2 vế của (1), đợc:

(1) <=> <=> 3.
3
3 1x
.
3
1x +
.(
3
3 1x
+
3
1x +
) = - 6x
=>
3
3 1x
.
3
1x +
.
3
2x
= - 2x => (3x-1)(x+1)(-2x) = -8x
3
.
=> x = 0 hoặc (3x-1)(x+1) = 4x
2
=> x = 0 hoặc x = 1.
Thử lại, thấy x = 1 không thoả mãn (1). Vậy (1) có duy nhất nghiệm là x = 0.
* Chú ý: Có thể xét : x = 0 => là nghiệm; x>0 => VT>VP; x<0 => VT<VP

* Lời bàn: Việc dạy phép biến đổi phơng trình.
Ví dụ 2.3)
* Đề bài: Tìm các số thực m để phơng trình sau có đúng một nghiệm số thực:
2
2(2 1) 3 6
0
1
mx m x m
x
+ + +
=
+
(1)
* Một lời giải sai: Điều kiện x -1.
Với điều kiện trên, (1) <=> mx
2
-2(2m+1)x+3m+6 = 0 (2)
(1) có đúng 1 nghiệm <=> (2) có đúng 1 nghiệm x
0
và x
0
-1
<=> (2) có nghiệm kép x
0
và x
0
-1
Nếu (2) có nghiệm kép => (2m+1)
2
- m(3m+6) = 0 <=> m = 1.

Với m = 1, thử lại thấy (2) có nghiệm kép x
0
= 3 -1.
Vậy có duy nhất giá trị m = 1 thoả mãn phơng trình (1) có đúng 1 nghiệm thực.
* Nguyên nhân sai: Hiểu cha đúng khái niệm. Lỗi suy luận.
* Một lời giải đúng:
Xét các trờng hợp sau:
- m = 0 : ph/tr (1) trở thành
2 6
1
x
x
+
+
= 0, có đúng 1 nghiệm thực là x = 3.
- m 0 : Thấy mx
2
- 2(2m+1)x + 3m + 6 = 0 là phơng trình bậc 2 có biệt thức
' = (2m+1)
2
- m(3m+6) = (m-1)
2
=> ' 0 với mọi m => phơng trình luôn có hai
nghiệm x
1
= 3; x
2
= (m+2)/m. Khi đó để (1) có đúng một nghiệm cần có: hoặc (m+2)/m
= -1 hoặc (m+2)/m = 3 <=> m = - 1 hoặc m = 1.
Vậy ph/trình (1) có đúng 1 nghiệm <=> m = 0 hoặc m = - 1 hoặc m = 1.

* Lời bàn: Việc dạy phơng trình bậc hai, ph/tr có tham số; dạy phép suy luận.