Cực TRỊ TRONG mặt phẳng OXYZ

Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> />B. NỘI DUNG
/>I. BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH
/>A x ; y ; z 
B x ; y ; z 
/>
AB  AB   x  x    y  y    z  z 
/>M x ; y ;z 
/> P  : Ax  By  Cz  D  0
Ax  By  Cz  D
d
M
,
P





/>A  B C
/> 
 MN , u 
d  M ,     
/>u

N
u
/>  
u , u  . AB
/>


d  ,  
 
u , u 


/>

 
/>u u


/>Oxyz
A 1;4;2  B  1;2;4 
x  1  t
/>
 :  y  2  t
 z  2t

/>P  MA  MB
/>M 1  t; 2  t ;2t 
/>MA  t   6  t    2  2t   6t  20t  40
MB   t  2    4  t    4  2t   6t  28t  36
/> /> />1.1 Kiến thức cơ sở
Các công thức về khoảng cách:
 Khoảng cách giữa hai điểm: Cho hai điểm
Khi đó:

A

A

2

B

và

A

B

2

A

B

2

A

B

M

2

M

2

B

M

M

.

A

 Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng: Cho điểm
phẳng
. Khi đó:
M

.

B

M

và mặt

.

2

 Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng:

.

Trong đó,
là một điểm thuộc đường thẳng  và
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
1

1

là VTCP của đường thẳng  .

2

.

2

1

2

Trong đó, A , B lần lượt là các điểm thuộc đường thẳng

1

, 2 lần lượt là các VTCP của hai đường thẳng
1.2 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm

1

2

1

và

2

và

2

2

2

.

,

và

đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải.
Điểm M thuộc đường thẳng  nên tọa độ điểm M có dạng:
Ta có:

.

. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho biểu thức

đường thẳng
2

và

2

2

2

2

2

2

2

2

.

3

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3

.


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> />P  MA  MB  12t  48t  76
/>f  t   12t  48t  76
tR
f '  t   24t  48
f ' t   0  t  2
/> />
/>
/>f  t   f  2   28
t2
/>t2
M  1;0;4 
/>f  t   12t  48t  76
/>b
y  ax  bx  c
x
a0
2a
/>b
x
a0
2a
/>P  aMA  bMB
 
P  aMA  bMB

Pk
k
kP
/>Oxyz
A 1;4;2  B  1;2;4 
/>x  1  t

 />:  y  2  t
P  MA  2 MB
 z  2t

/>t 3
M  2;1;6 
P  6t  36t  32
/>Oxyz
A 1;0;2  B  2;1;0  C  0;0;3
x y 1 z
/>: 

1
2 3
/>MA  2 MB  3MC  96
MA
MB
/> /> />Do đó,

2

2

Xét hàm số
Khi đó,
Bảng biến thiên:

t

2

, với

2

. Ta có:

.

2
0



f t

.











f t

28

Từ bảng biến thiên suy ra GTNN của

khi

Vậy P có GTNN khi
, tức là
Nhận xét.
1. Việc tìm GTNN của hàm số

.

2

2

số bậc hai: “ Hàm số
GTLN tại

.

(khi

có thể sử dụng kiến thức về hàm

đạt GTNN tại

(khi

) và đạt

)’’.

2

2. Bài toán trên có thể mở rộng cho biểu thức của P có dạng:
hoặc
, với là hằng số thỏa mãn điều kiện

của P .
Bài toán 1.1 Trong không gian

, cho hai điểm

,

0

. Đạt GTLN khi

Bài toán 1.2 Trong không gian
đường thẳng

. Khi đó,

, cho ba điểm

,
là GTNN

và đường thẳng
2

. Tìm điểm M thuộc đường thẳng  sao cho biểu thức

đạt giá trị lớn nhất.
2
Gợi ý.

2

2

.

,

,

và

. Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho:

2

Dựa theo biểu thức của

2

2

và

2

2

.
có thể mở rộng bài toán với hình thức như

sau:

4

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> />Oxyz
A 1;4;2  B  1;2;4 
/>x  1  t
MA


 :  y  2  t
P
MB
/> z  2t

/>MA
6t  20t  40
309  10
P0
P 

P

MB
6t  28t  36
309  14
/>x y z
/>Oxyz
:  
A  0;0;3
1 1 1
B  0;3;3
/> />M  t; t; t 
/>P  MA  MB   0  t    0  t    3  t    0  t    3  t    3  t 
 3  t  2t  3  t  4t  6 
/>tR

/>t 1
t2

f  t  

/> t  1  2  t  2   2
  t  2
t 1
/>f ' t   0 

 t  1  2    t  2    2
/>u
g u  
uR
u 2
/>
 1
u
2
g   u    u  2  u.

0
uR
.
u

2
/>u 2

u  2
3
/> g  t  1  g    t  2    t  1    t  2   t 
2

/> /> /> />Bài toán 1.3 Trong không gian

, cho hai điểm

,

và đường thẳng

. Tìm điểm M thuộc đường thẳng  sao cho biểu thức

đạt giá trị

lớn nhất.

Gợi ý. Nhận xét

2

2

2

2

2

. Xét

. Kết quả

2

.

max

Trong bài toán 1.3, phương pháp sử dụng hàm số thể hiện rõ ràng tính hiệu quả của nó.
Ví dụ 2. Trong không gian

, cho đường thẳng

và hai điểm

,

. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho biểu thức P  MA  MB đạt
giá trị nhỏ nhất.
Lời giải.
Điểm M thuộc đường thẳng  nên tọa độ điểm M có dạng
.
2

Ta có:

2

2

2

2

2

2

Khi đó,

Ta có:

2

.

.

2

2

Xét hàm số

(*).

2

, với

.

2

2

2

.

Xét hàm số f t  t 2  2t  3  t 2  4t  6 , với
Ta có:

2

2

2

Do đó, (*)

3

, với mọi

.

Bảng biến thiên:

5

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3

.


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> /> />
/>
/>3
t
/>2
3 3 3
M ; ; 
/>2 2 2
/>a  b  c  d   a  c    b  d    ad  bc   0
/>f  t    t  1   2    2  t    2   1   2 2 
/> />Oxyz
A 1;5;0  B  3;3;6 
x  1 y 1 z
/>:


C
ABC
2
1 2
/>ABC
P  CA  CB
P  9t  20  9t  36t  56
/>Oxyz

A 1;5;0  B  3;3;6 
x  1 y 1 z
 />:


2
1 2
/> />9t  20  9t  36t  56  2 29
/>t 1
/> /> /> />t

3
2



f t



0









f t

3

Từ bảng biến thiên, suy ra GTNN của P bằng 3 3 . Đạt được tại

. Khi đó

.

Nhận xét.
1. Việc tìm GTNN của P có thể sử dụng bất đẳng thức sau:
2

2

2

2

2

Ta có:

2

2

2

2

2

2

2

2

2. Bài toán trên có thể phát biểu dưới một hình thức khác như sau:
Bài toán 2.1 Trong không gian
, cho hai điểm
,
. Tìm tọa độ điểm

chu vi nhỏ nhất.
Gợi ý. Chu vi tam giác

và đường thẳng

thuộc đường thẳng  sao cho tam giác

nhỏ nhất khi và chỉ khi
2

Bài toán 2.2 Trong không gian

.

có

đạt giá trị nhỏ nhất.

2

, cho hai điểm
M

. Tìm tọa độ điểm

,

và đường thẳng

thuộc đường thẳng



sao cho

MA  MB  2 29 .
Bài toán 2.2 có bề ngoài không phải là bài toán cực trị.
Nếu chúng ta giải quyết theo cách thông thường thì việc giải phương trình:
2

2

không hề dễ.
Ở đây, để ý giá trị 2 29 là giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA  MB thì ta sẽ có ngay

nhờ việc giải bài toán cực trị trong bài toán 2.2.

6

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>x 1 y z  2
/>Oxyz
d:
 
2
1
2
/>A(2;5;3)
d
 
 
/>M 1;0;2 
d
d
 
/> 
M 1;0;2 
 
/>
n ( A; B; C ), A  B  C  0
/>A( x  1)  By  C ( z  2)  0

 
d  ( )  u .n  0  B  2 A  2C
/> 
9 AC
( A  C)
/>d ( A,( )) 
 9.
5 A  8 AC  5C
5 A  8 AC  5C
/>C 0
/>A
9
d ( A,( ))  9.

5A
5
/>A
(t  1)
/>C 0
t
d ( A,( ))  9.
C
5t  8t  5
(t  1)
2t  2
/>f (t ) 
tR
f ' t  
5t  8t  5
5t  8t  5

f />'(t )  0  t  1
/>

0

0
f 't 
/>1
2
5
9
/>f 't 
/>1
0
5
/> /> />Ví dụ 3.(ĐH – A 2008) Trong không gian

, cho đường thẳng

và

điểm
. Lập phương trình mặt phẳng
chứa đường thẳng
sao cho khoảng
cách từ điểm A đến mặt phẳng
là lớn nhất.
Lời giải.
Lấy điểm
thuộc đường thẳng . Do mặt phẳng

chứa đường thẳng
nên
điểm M thuộc mặt phẳng
.
Phương

trình
2

Ta có :
phẳng

mặt

2

phẳng

2

d

đi

qua

điểm

và

có

VTPT

có dạng :

. Khi đó, khoảng cách từ điểm A đến mặt



là:

2

2

2

2

2

Xét hai trường hợp:
 TH1:
. Khi đó

2

.

2

2

 TH2:

. Đặt

. Khi đó,

2

.

2

2

Xét

hàm

số

2

,

với

.

Ta

có:

và

2

.

Bảng biến thiên:

t

1

1





7

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> />d  A,   
t 1
3 2
A  C  B  4 A
/>d  A,   
x  4y  z  3  0
/> /> />x 1 y z  2
Oxyz
d:
 
2
1
2
/>A(2;5;3)
d
 
9
 
/>5
Oxyz
 P : x  y  z  0
/>A 1;2; 1
O
Q 
/>2
 P
/>A, B, C
A
t


/>C
/>Oxyz
A  3;0;1 B 1; 1;3
/> P : x  2 y  2z  5  0
 P
/>
/>u   A; B : C 
A  B C 0
A  2 B  2C  0  A  2 B  2C
 P
/>
 
 AB, u    C  2B;2 A  4C ;4 B  A 
AB   4; 1;2 


/> 
 AB, u 
 C  2 B    2 A  4C    A  4 B   56 B  84 BC  69C
d /> B,       
A B C
5 B  8 BC  5C
u
/> /> />Từ bảng biến thiên, suy ra
.
So sánh TH1 và TH2 ta thấy
trình mặt phẳng cần tìm là :

lớn nhất bằng

khi

. Khi đó,

lớn nhất rơi vào trường hợp 2. Do đó, phương
.

Nhận xét.
1. Phương pháp giải bài toán trên có thể áp dụng cho các bài toán viết phương trình
mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước:
Bài toán 3.1 Trong không gian

, cho đường thẳng

. Lập phương trình mặt phẳng

điểm A đến mặt phẳng

bằng

chứa đường thẳng

sao cho khoảng cách từ

.

Bài toán 3.2 Trong không gian

, cho mặt phẳng

. Viết phương trình mặt phẳng

phẳng

và điểm

và điểm

đi qua gốc tọa độ

, vuông góc với mặt

và cách điểm A một khoảng bằng
.
2. Trong bài toán này, biểu thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng mặc dù có ba
biến là
nhưng biểu thức trong căn lại có dạng đẳng cấp bậc hai, nhờ phép
đổi biến

chúng ta thu được hàm số chỉ còn một biến là t . Điều này thuận

lợi cho việc khảo sát hàm số. Các bài toán tiếp theo trong chuyên đề đều sử dụng
được phương pháp này.
Ví dụ 4. (ĐH – B 2009) Trong không gian
, cho hai điểm
,
và
mặt phẳng
. Trong các đường thẳng đi qua điểm A và song song

với mặt phẳng
, hãy viết phương trình đường thẳng  mà khoảng cách từ điểm B đến
đường thẳng  là nhỏ nhất.
Lời giải.
2
2
Giả sử VTCP của đường thẳng  là
. Điều kiện: 2
.
Do đường thẳng  song song với mặt phẳng
nên
.
Ta có:

. Khi đó,

.

Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng  là:
2

2

2

2

2

2

Xét hai trường hợp:

8

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3

2

2

2

2


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> />56
C 0
d  B,   
5
/>B
56t  84t  69
C 0
t
d  B,   
C
5t  8t  5

/>56t  84t  69
f t  
tR
5
t

8
t

5
/> 6
t  7
28t  130t  132
/>f ' t   0  
f ' t  
5
t

8
t

5


t   11

2
/>11
6



/>
2
7
0

0
f 't 
/>56
/>5
f 't 
/>100
56
9
5
/>10
11
/>d  B,  
t 
3
2
B />11

C
2
/>x  3 y z 1
 
26
11 2
/> /> /> /> /> /> /> TH1:

. Khi đó,

.

2

 TH2:

. Đặt

. Khi đó,

.

2

2

Xét hàm số:

, với

2

.

2

Ta có:

2

2

và

.

Bảng biến thiên:

t





21

Từ bảng biến thiên, suy ra

nhỏ nhất bằng

, đạt được tại

. Khi đó,

.

So sánh hai trường hợp, ta thu được phương trình đường thẳng cần tìm là:

.

Nhận xét.
1. Trong đáp án của Bộ GD – ĐT, bài này được giải bằng phương pháp sử dụng tính
chất hình học: “Độ dài đường xiên không nhỏ hơn độ dài đoạn hình chiếu của nó”.
Lời giải tương đối ngắn gọn. Tuy nhiên, việc phát hiện ra điều này không hề dễ. Hơn
nữa, nếu thay giả thiết “khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng  là nhỏ nhất”
thành giả thiết “khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng  là lớn nhất” thì phương
pháp trên sẽ tỏ rõ hiệu quả.

9

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> />Oxyz
A  3;0;1 B 1; 1;3
 P : x  2 y  2z  5  0
/> P
/> />Oxyz
 P  : x  2 y  3z  4  0
M  0; 2;0 
d
 P
/>14
N 1;2;3
d
3

/>Oxyz
A  0; 1;2 
/>x 1 y z  2
x 5 y z
 :
 
 :


2
1
1
2
2 1
/>d

d

/>
B  1  2t; t;2  t 

/>d
AB   1  2t;1  t ; t 


u
  2; 2;1
/> 
 AB, u   1  t;1  4t; 6t 




/>C  5;0;0   AC   5;1; 2 
d

  
 AB, u  . AC
/>3t2
t  2


d d,  

3
 
53t  10t  2
 AB, u 
1  t   1  4t   36t


/>(t  2)
f (t ) 
tR
/>53t  10t  2
t  2
222t  420t  48
/>f ' t  
f ' t   0  
4
t 

53
t

10
t

2


 37
/> /> /> /> />Bài toán 4.1 Trong không gian

, cho hai điểm

,

và mặt phẳng

. Trong các đường thẳng đi qua điểm A và song song với mặt
phẳng
, hãy viết phương trình đường thẳng  mà khoảng cách từ điểm B đến đường
thẳng  là lớn nhất.
2. Phương pháp giải bài toán trên có thể áp dụng vào bài toán viết phương trình đường
thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước:
Bài toán 4.2 Trong không gian
, cho mặt phẳng
và điểm
. Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng
, đi qua điểm M
sao cho khoảng cách từ điểm

đến

Ví dụ 5. Trong không gian

bằng

.

, cho điểm

và hai đường thẳng

,

1

2

. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A , cắt 1 tại điểm B , đồng thời khoảng
cách giữa hai đường thẳng và 2 là lớn nhất.
Lời giải.
Điểm B thuộc đường thẳng 1 nên tọa độ điểm B có dạng:
.
VTCP của đường thẳng
VTCP của đường thẳng

là

2

.

là

.

Ta có:

.

Lấy điểm

. Khoảng cách giữa hai đường thẳng

và

2

2

2

2

2

2

2

Xét hàm số

, với

2

.

2

Ta có:

2

2

và

.

Bảng biến thiên:

10

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3

2

.

là:


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> />4


37
/>0

0
f 't 
1
26
/>53
9
/>f 't 
1
/>53
0
  29 41 4 
4
/>d d, 
t
AB    ; ;  
37
 37 37 37 
/> x  29t


d :  y  1  41t
/> z  2  4t

/> />x y 1 z  2
Oxyz
: 

1
2
3
/>A  2; 1;1 B 1; 1;0 
/>x 1 y  2 z 1
Oxyz
:


1
1
2
/>M  2;1;4 
/>x  2 y 1 z
Oxyz
:


2
1
1
/>d

 P : x  2 y  z 1  0
 P
d
Ox
/>x 1 y  2 z  3
Oxyz
M  4;3;1
d:


2
3
1
/>d
 P : x  2 y  z  3  0
d
 P
/> /> /> />t

2



Từ bảng biến thiên, suy ra

2



lớn nhất khi

Do đó, phương trình của đường thẳng

. Khi đó,

.

.

Nhận xét. Với bài toán này, phương pháp khảo sát hàm số có lẽ là tối ưu nhất.
1.3 Một số bài toán tương tự
Bài 1. Trong không gian

, cho đường thẳng

và hai điểm

,
. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho diện tích tam
giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 2. Trong không gian

, cho đường thẳng

và điểm

. Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng  sao cho đoạn MH có độ dài nhỏ

nhất.

Bài 3. Trong không gian
đồng thời

, cho đường thẳng

và mặt phẳng

. Viết phương trình đường thẳng song song với mặt phẳng
,
cắt trục
và đường thẳng  lần lượt tại A và B sao cho AB ngắn nhất.

Bài 4. Trong không gian

, cho điểm

, đường thẳng

và mặt phẳng
. Viết phương trình đường thẳng 1 nằm trong mặt
phẳng
, vuông góc với đường thẳng và cách M một khoảng nhỏ nhất.

11

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> />Oxyz
A  1;2;0  B 1;2; 5
 x  1  2t
 

/> :  y  3  2t
MA  3MB
 z  t

/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />Bài 5. Trong không gian

, cho hai điểm

,

và đường thẳng

. Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng  sao cho tổng

nhất.

12

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3

nhỏ


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> />II. BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN GÓC
/> 
/>u .u
cos    
u u
/> 

u u
/> 
/>n .n
cos    
n n
/> 

n n
/>
/>u.n
sin    
u n
/>


u
n
/> 
y

cos

/>0; 2 

 
y  sin 
/>0; 2 
/>Oxyz
 P : x  2 y  z  5  0
x 1 y 1 z  3
d />:


d
Q 
2
1
1
 P
/> />M  1; 1;3
d
d
Q 
M
Q 
/>
A  B C 0
 Q  n   A; B; C 

/>d
u   2;1;1
/> />2.1 Kiến thức cơ sở
Các công thức về góc trong không gian:
 Góc giữa hai đường thẳng:

1

2

1

2

Trong đó, là góc giữa hai đường thẳng và
thẳng.
 Góc giữa hai mặt phẳng:

Trong đó, là góc giữa hai mặt phẳng và
phẳng.
 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

1

.

,

2

1

2

1

2

1

,

lần lượt là VTCP của hai đường

.

lần lượt là VTPT của hai mặt

2

.

Trong đó, là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng,
là VTPT của mặt phẳng.

Chú ý. Hàm số
Hàm số

nghịch biến trên đoạn

.

đồng biến trên đoạn

2.2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian

là VTCP của đường thẳng,

.

, cho mặt phẳng

và đường thẳng

. Viết phương trình mặt phẳng

mặt phẳng
một góc nhỏ nhất.
Lời giải.
Cách 1. Phương pháp hàm số.
Lấy điểm
thuộc đường thẳng

chứa đường thẳng

. Vì mặt phẳng

và tạo với

chứa đường thẳng

.

Giả sử VTPT của mặt phẳng

là

Ta có: VTCP của đường thẳng

là

. Điều kiện:

1

2

.

13

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3

2

2

.

nên


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> />d
2 A  B  C  0  C  2 A  B
Q 

 P  n  1;2; 1
 P  Q 
/> 
n .n
A  2B  C
3
 A  B
cos     

.
/>6 5 A  4 AB  2 B
n n
6. A  B  C
/>3
B0
cos  
30
/>A
3
 t  1
B0
t
cos  
.
/>B
6 5t  4t  2

(t  1)
f
(
t
)

tR
/>5t  4t  2
 t  1
6t  6t
f ' t  
f ' t   0  
/>t  0
5t  4t  2 
/>0


0

0
f 't 
/>1
1
/>5
2
f 't 
/>1
5
/>0
3

/>0  cos  
2
 
/>y  cos 


0; 2 
/>3

t 0
/>2
A
0
A  0  C  1
B />Q  : y  z  4  0
/> /> />Lại do, mặt phẳng

chứa đường thẳng

VTPT của mặt phẳng

là

nên

.

. Góc giữa hai mặt phẳng

2

và

là:

2

1

2

2

1

2

2

2

2

.

2

Xét hai trường hợp:
 TH1:

. Khi đó,

.

2

 TH2:

. Đặt

. Ta có:

2

.

2

Xét hàm số

, với

2

.

2

Ta có:

2

2

và

.

Bảng biến thiên:

1

t



Từ bảng biến thiên, suy ra
Do hàm số



.

nghịch biến trên đoạn

nên

nhỏ nhất khi và chỉ khi cos

lớn nhất.

So sánh hai trường hợp trên, suy ra cos
. Chọn B  1 ,

lớn nhất bằng

, đạt được khi

.

Phương trình mặt phẳng
.
Cách 2. Sử dụng tính chất hình học không gian
14

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3

. Khi đó,


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> />N
d
 P
1
1  2t  2  1  t    3  t   5  0  t 
/>3
 1 2 10 
N   ; ; 

/> 3 3 3
I  1; 1;3  d
 P  Q 
/>H,K
 P

/>IKH
 P  Q 
  IH  IH
IN

IK
sin
IKH
/>IK IN
 

y

sin

IKH
N
/>0; 2 
 P
/> x  1  u

 ':  y  1  2u
/>z  3  u


/> 5 2 17 
H   ; ; 
 6 3 6
/>  1 1 

HN   ;0; 
d
u   2;1;1
2 2
/>  
1
u   HN , u   1;1;1
2
/>  
 Q  n  u , u    0;1; 1
/>Q 
Oxyz
 P : x  2 y  2z  8  0
/>A  1;2;3
 Oyz

 P
/>
u   A; B; C 
A  B C 0
/>

n  1;0;0 
n  1; 2;2 
 Oyz   P 

/>A0
 Oyz 
 P
/> /> />Gọi

là giao điểm của đường thẳng

với mặt phẳng

. Ta có phương trình:
.

Tọa độ điểm

.

Gọi  là giao tuyến của hai mặt phẳng
Gọi

và

. Lấy

.

lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm I trên mặt phẳng

thẳng  . Khi đó, HK   . Do đó, góc giữa hai mặt phẳng
Ta có:

nên

Do hàm số

và

là góc

.

.

đồng biến trên đoạn

nhỏ nhất khi K trùng

nên góc

Gọi  ' là đường thẳng đi qua điểm I và vuông góc với mặt phẳng
đường thẳng

.

Tọa độ điểm

.

Ta có:

và VTCP của đường thẳng

Suy ra, VTCP của đường thẳng  là
VTPT của mặt phẳng
phẳng

và đường

là

Q

là

.

. Phương trình

.

.



. Từ đây thu lại phương trình mặt



như cách 1.

Ví dụ 2. Trong không gian

, cho mặt phẳng

và điểm

. Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A , song song với mặt phẳng

và tạo với mặt phẳng
một góc lớn nhất.
Lời giải.
Giả sử VTCT của mặt phẳng  là
. Điều kiện:
Ta có: VTPT của các mặt phẳng

và

lần lượt là:

2

2

1

Do  song song với mặt phẳng
nên
.
Góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng
là:

15

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3

2

và

.

2

.


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> 
/>u.n
A  2 B  2C
2 B  C
sin     
 .
3 B C
u n
3. A  B  C
/>2
/>C 0
sin  
3

/>B
2  t  1
C 0
t
sin   .
C
3 t 1
/>(t  1)
f (t ) 
tR
t

1
/> t  1
2t  2
f ' t  
f ' t   0  
/>t  1
t  1
/>

0
0
f 't 


/> />f 't 
/>0
/>2 2
0  sin  

3
/> 
y  sin 

sin 
0; 2 
/>2 2
sin 
t  1
/>3
B
 1
C  1
/>C
 x  1
/>
:y  2  t
z  3  t
/>
/> /> />2

2

2

2

2

2

2

.

2

Xét hai trường hợp:
 TH1:

. Khi đó,

.

2

 TH2:

. Đặt

. Ta có:

2

.

2

Xét hàm số

, với

2

.

2

Ta có:

2

2

và

.

Bảng biến thiên:

t

1

1



2

1

1

Từ bảng biến thiên, suy ra
Do hàm số

.

đồng biến trên đoạn

nên

lớn nhất khi và chỉ khi

lớn

nhất.

So sánh hai trường hợp trên, suy ra
. Chọn

lớn nhất bằng

, đạt được khi

, B  1.

Phương trình mặt phẳng

.

16

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3

. Khi đó,


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> />Oxyz
 P : x  y  z 1  0
x  2 y 1 z
:


d
O
/>1
1 2
 P

/>d
u   A; B; C 
A  B C 0

 P  n  1; 1;1
/>d
A B C  0 B  AC

 P

/>u  1; 1;2 
d
 
u .u
A  B  2C
1
C
/>cos     

.
2 3 A  AC  C
u u
6. A  B  C
/>1
C 0
cos  
/>2 3
A
1
1
/>C 0
t
cos  
.
C
2 3 t  t 1
1
/>f (t ) 

tR
t  t 1
2t  1
1
/>f ' t  
f ' t   0  t  
2
t  t  1
/>1



/>2

0
f 't 
/>3
4
/>f t 
/> />0
/>1
0  cos  
3
/> /> />Ví dụ 3. Trong không gian

, cho mặt phẳng

và đường thẳng

. Viết phương trình đường thẳng

mặt phẳng

đi qua gốc tọa độ

, song song với

và tạo với đường thẳng  một góc nhỏ nhất.

Giả sử VTCP của đường thẳng

là

Ta có: VTPT của mặt phẳng

là

Do mặt phẳng

1

2

nên

.

.

. Góc giữa hai đường thẳng

2

và  là:

2

2

2

1

2

.

song song với đường thẳng

VTCP của đường thẳng  là

2

. Điều kiện:

1

2

2

2

2

.

2

Xét hai trường hợp:
 TH1:

. Khi đó,

 TH2:

. Đặt

Xét hàm số
Ta có:

2

. Ta có:

, với

2

2

.

2

.

.

và

.

Bảng biến thiên:

t



0

Từ bảng biến thiên, suy ra

.

17

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3

Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> /> 
y  cos 


0; 2 
/>1
1

t


/>3
2
A
1


C  2
 B  1
/>C
2
x y
z
d
:


/>1 1 2

/> /> /> />Oxyz
A  2;0;5 B 1; 2;3
x  t
/>
:y  2 t
A, B
 P
 z  2t
/>
/>Oxyz
A 1;4;2 
x 1 y  2 z
x 1 y 1 z 1
d
:


d
:


/>1
1
2
2
1
1
d
Q 
/> Oxy 

d
/>d
/> /> /> /> /> />Do hàm số

nghịch biến trên đoạn

nên

nhỏ nhất khi và chỉ khi cos

lớn nhất.

So sánh hai trường hợp trên, suy ra cos
. Chọn

, A 1

lớn nhất bằng

, đạt được khi

. Khi đó,

.

Phương trình đường thẳng

.

Nhận xét.

Cả 3 ví dụ trên đều cho thấy rõ hiệu quả của phương pháp hàm số khi xét bài toán
cực trị liên quan đến góc so với phương pháp sử dụng tính chất của hình học không gian để
giải quyết.
3.3 Một số bài toán tương tự
Bài 1. Trong không gian
, cho hai điểm

,

. Viết phương trình mặt phẳng

thẳng  một góc lớn nhất.
Bài 2. Trong không gian

và đường thẳng

đi qua hai điểm

, cho điểm

và tạo với đường

và hai đường thẳng

;

1

.

a) Viết phương trình mặt phẳng
song song với đường thẳng và tạo với mặt
phẳng
một góc nhỏ nhất.
b) Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A , vuông góc với đường thẳng
tạo với đường thẳng một góc lớn nhất.

18

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3

1

và